Hvorfor er det lige at vi skal lære det her?

Transkript

1 Lektion 8

2 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en afbildning af udfaldsrummet ind i de reelle tal. Man benytter ofte store bogstaver som X, Y og Z til at betegne en stokastisk variabel. Ved at udføre eksperimenter ( fx. foretage en meningsmåling, måle nitratindhold i drikkevand osv.) kan man få værdier af en stokastisk variabel. Disse værdier betegnes med de tilsvarende små bogstaver, fx. x 1, x 2, x 3, x n, hvis der er udført n eksperimenter. X R S

3 Hvorfor er det lige at vi skal lære det her?

4 Stokastisk variabel

5 og det vi vil, er jo

6 Diskret variabel (antals variabel)

7 Beskrivelse af variationen

8 De vigtigste diskrete fordelinger Den uniforme fordeling (lige-fordelingen) Binomial-fordelingen Poisson-fordelingen

9 Den Uniforme Fordeling

10 Binomial Fordelingen

11 Binomialfordelingen Et basiseksperiment beskrives af et udfaldsrum E med to udfald succes (s) og fiasko (f), dvs. E={s,f}, hvor P(s)=p og P(f)=1-p. Basiseksperimemtet gentages n gange uafhængigt af hinanden. Hvis X betegner antal succes i de n gentagelser gælder der P( X q) n q p q (1 p) nq, q 0,1,2... n Sætning: E(X)=np ; V(X)=np(1-p) Eks. 5 uafhængige kast med en terning. X er antal 6 ere. P( X 5 1 q) ( ) q 6 q 5 ( ) 6 5q, q 0,1,2...5 q P(X=q) 0,402 0,462 0,161 0,032 0,003 0,000

12 Et eksempel

13 Poisson Fordelingen

14 Poisson Fordelingen

15 Poisson Fordelingen

16 Poisson Fordelingen

17 SPSS Poisbin.sav

18

19

20

21

22

23

24 Kontinuerte fordelinger

25

26 Hvordan beskrives fordelingen?

27 Tæthedsfunktion

28 Middelværdi

29 Beskrivelse af variationen

30 Mere formelt :Kontinuerte fordelinger Definition: Tæthedsfunktion En sandsynlighedstæthedsfunktion på R er en integrabel funktion f : R [0; [ hvor =1 f ( x) dx Definition: Kontinuert fordeling En kontinuert sandsynlighedsfordeling er en sandsynlighedsfordeling, som har en sandsynlighedstæthedsfunktion f : funktionen x F ( x) f ( t) dt kaldes fordelingsfunktionen for en kontinuert fordeling på R Definition: middelværdi,varians og spredning Lad X være en stokastisk variabel med tæthedfunktion f(x) Middelværdi : μ=e(x)= xf ( x) dx Varians : σ 2 =E((X-μ) 2 )= Spredningen er σ 2 ( x ) f ( x) dx

31 Normalfordelingen er det klassiske eksempel på en kontinuert fordeling. Her er tæthedsfunktionen givet ved f ( x ) ( x) e Middelværdien er μ og spredningen σ. Den stokastiske variabel med denne tæthedsfunktion siges at være N(μ, σ 2 ) fordelt. Den normalfordelte stokastiske variabel, som har middelværdi 0 og varians 1, kaldes sædvanligvis U, og den tilhørende tæthedsfunktion for φ, dvs. at ( x) 1 e 2 2 x 2 Den tilsvarende fordelingsfunktion kaldes for Ф, dvs. at x ( x ) ( t) dt

32 Der gælder følgende : ) ( ) ( ) ( ) ( a b b U a P b X a P Man kan derfor klare sig med kendskab til værdier af Ф, som er tabellagt og indlagt i de fleste computersystemer. Undersøgelse af om et observationssæt kan betragtes som Normalfordelt: Apgar- fødselsvægt (SPSS) eller BMI Geogear (SPSS)

33 Den uniforme fordeling

34 Normalfordelingen

35 Normalfordelingen

36 Standard normalfordelingen

37 Hvorfor er normalfordelingen interessent? Ja, det er den, fordi gennemsnittet af næsten alle målinger tilnærmelsesvis er normalfordelt. Mere præcist, så gælder den centrale grænseværdisætning : Lad X 1, X 2,.X n være indbyrdes uafhængige stokastiske variable, der følger samme fordeling med middelværdi og spredning. Da er X / n tilnærmelsesvis N(0,1) - fordelt

38 QQ-plot What and How?

39 Expected Normal Value Deviation from Normal Output Normal Q-Q Plot of Variable Detrended Normal Q-Q Plot of Variable Observed Value Observed Value

40 Frequency Expected Normal Value Annual Maximums of Daily Rainfall in Sydney Normal Q-Q Plot of Rainfall 10 Not nice and normal QQ-plot is not terrible though ,0 200,0 300,0 400,0 Rainfall Mean = 136,911 Std. Dev. = 69,367 N = Observed Value

41 Expected Normal Value Log-transform Normal Q-Q Plot of Rainfall 6,0 5,5 5,0 Much nicer!! 4,5 4,0 3,5 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 Observed Value Transforms: natural log

42 Deviation from Normal Deviation from Normal Detrended QQ-plots Here we see the difference between raw and log-transformed data Detrended Normal Q-Q Plot of Rainfall Detrended Normal Q-Q Plot of Rainfall 100 0,12 0, , ,03 0, ,03 0-0,06-0, Observed Value -0,12 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 Observed Value Transforms: natural log Deviations are structured Deviations seem to be scattered unstructured

43 Count Skewness og QQ-plot 40 Venstre-skæv ,00 6,00 8,00 10,0 0 12,0 0 skew1

44 Count Skewness og QQ-plot 30 Højre-skæv ,00 10,0 0 12,0 0 14,0 0 skew2

45 Body Mass Index Box-plot 60,0 50,0 Outliers 40,0 30,0 75% percentil Median 20,0 1 2 Diabetes Type

46 Boxplot illustrerer forskelle 60,0 60,0 60,0 Body Mass Index 50,0 40,0 Body Mass Index 50,0 40,0 50,0 40,0 30,0 Body Mass Index 30,0 30,0 20,0 20,0 20,0 No Yes 1 2 Female Male Bloodpr essur e Lower ing Medication Diabetes Type Sex