Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Optimalt porteføljevalg i en model med intern habit nyttefunktion og stokastiske investeringsmuligheder"

Transkript

1 Opimal poreføljevalg i en model med inern habi nyefunkion og sokasiske inveseringsmuligheder Thomas Hemming Larsen cand.merc.(ma.) sudie Insiu for Finansiering Copenhagen Business School Vejleder: Carsen Sørensen 30. sepember 2011

2 Indhold 1 Indledning Problemformulering Afgrænsning Afhandlingens srukur Nyefunkioner og risikomål Indledning Holdninger il risiko Nyefunkioner Mål for risikoaversion Inveseringsprobleme Formuedynamik Invesorens opimeringsproblem Løsningsmeoder - HJB ligningen og maringale meoden Indledning Hamilon-Jacobi-Bellman ligningen Maringale meoden De indledende ing Prisfassæelse af beingede fordringer Radon-Nikodym aflede og sokasiske diskoneringsfakorer Prisfassæelse af beingede fordringer endnu en gang Løsning af poreføljevalgsproblemer

3 5 Modellen for markede Indledning Konsan markedspris på volailie, konsan rene modellen Sokasisk markedspris på volailie, konsan rene modellen Konsan markedspris på volailie, sokasisk rene modellen Alernaive markedsdefiniioner og anagelser Løsning af inveseringsprobleme Indledning KMKR modellen CRRA HARA Habi SMKR modellen CRRA HARA Habi KMSR modellen CRRA HARA Habi Numeriske resulaer og parameeranalyse Indledning KMKR modellen CRRA HARA Habi SMKR modellen CRRA HARA Habi KMSR modellen CRRA HARA

4 7.4.3 Habi Perspekivering Konklusion 87 9 Lieraur 91 A Grafer 95 B Udledning af udvalge resulaer 101 B.1 Udledning af ligning (4.34) B.2 Udledning af ligning (6.9) B.3 Udledning af ligning (6.11) B.4 Udledning af ligning (6.14) B.5 Løsning il PDE en for SMKR modellen B.6 Løsning il PDE en for KMSR modellen C Mahemaica kode 104 C.1 KMKR modellen C.2 SMKR modellen C.3 KMSR modellen C.4 Arbejdsindkoms

5 Opimal Asse Allocaion in a Model Wih Inernal Habi Uiliy and Sochasic Invesmen Opporuniies Summary In his hesis we invesigae he problem of opimal asse allocaion given differen assumpions on he invesor s uiliy funcion and he marke he can rade in. We sar ou wih he simple CRRA uiliy funcion wih consan invesmen opporuniies and hen move on o he more complex case wih an inernal habi uiliy funcion and sochasic invesmen opporuniies. In oal we derive nine models and show numerical resuls for all of hem. The models are solved using he relaively new Maringale mehod ha uilizes a probabilisic approach insead of he usual dynamic programming via he HJB equaion. No surprisingly, he opimal bond porfolio in he case of sochasic ineres raes consiss of hree elemens: he firs is a speculaive par ha ries o ake advanage of risk premia; he second is a hedge par ha is used o offse changes in he invesmen oppporuniies; he hird par is used o ensure ha enough wealh is invesed in he relevan zero coupon bond so ha he habi level consumpion is always aainable. The expression for he opimal allocaion o he sock is adjused and compared o he case of consan invesmen opporuniies o ake ino accoun he correlaion beween he ineres rae and he sock. Wih a sochasic Sharpe raio, he allocaion ino he sock is reduced by he amoun ha is required o finance he habi level and a erm o hedge changes in he Sharpe raio. Since he ineres rae is consan i is no possible o speculae in he bond marke. Our numerical resuls show ha wih habi formaion in preferences and sochasic invesmen opporuniies invesors will have a smaller allocaion o he sock. This is no consisen wih popular invesmen advice, which says ha he allocaion o socks should increase wih he invesmen horizon. In addiion, we compare he numerical resuls across all models and show ha differen assumpions regarding boh uiliy funcions and invesmen opporuniies does in fac yield very differen opimal porfolios. 4

6 1 Indledning I hope ha poseriy will judge me kindly, no only as o he hings which I have explained, bu also o hose which I have inenionally omied so as o leave o ohers he pleasure of discovery René Descares Invesorer ønsker a maksimere deres forvenede nye over deres livsid. Men hvordan gøres dee opimal og under hvilke anagelser? Gennem iden er der bleve forske i dee, med Meron (1969) som den mes berøme arikel. Heri løser Meron som den førse de opimale poreføljevalg for en CRRA invesor i koninuer id. En naurlig udvidelse il dee seup er a inroducere sokasiske inveseringsmuligheder, bl.a. ved en sokasisk rene. De ande håndag man kan dreje på er nyefunkionen. For en CRRA invesor er præferencerne idsseparable, hvilke virker som en naiv anagelse. Ryder og Heal (1973) undersøger som en af de førse en idsinseparabel nyefunkion hvor de nuværende forbrug afhænger af hvordan man har forbrug idligere. Denne ide bygges der videre på i denne afhandling og de undersøge, via numeriske resulaer, om populære inveseringsråd er konsisene med de eoreisk fundne opimale sraegier. Udover denne arikel findes der en lang række der på den ene eller anden måde ser på opimal poreføljevalg, bl.a. kan nævnes Sørensen (1999), Wacher (2002) og Munk (2008). Yderligere behandler Consaninides (1990) de mege omdiskuerede Equiy Premium Puzzle som handler om a risikopræmien på akier er for sor for realisiske værdier af risikoaversion. Consaninides (1990) finder, a med en idsinseparabel nyefunkion er de mulig a forklare dee myserium, selv for en realisisk risikoaversion. Mege inspiraion er hene i disse 5

7 arikler, men der er ligeledes resulaer, som ikke umiddelbar kan findes i dem. Fokus vil i denne afhandling være på inveseringsprobleme for en given invesor og dermed ikke forbrugsprobleme, selvom de besem også relevan a undersøge. Dee er valg for a kunne sammenholde resulaerne på værs af alle modeller med populære inveseringsråd som f.eks. a allokeringen il akier skal sige med inveseringshorisonen, fordi der på lang sig er en forvenning om a akier giver e højere afkas end obligaioner, og a man har id il a dæmpe effeken af den højere volailie der også medfølger. I al undersøges ni modeller. Disse fremkommer ved a kombinere re forskellige nyefunkioner med re forskellige markedsspecifikaioner. De mes simple seup er ilfælde med CRRA nye og konsane inveseringsmuligheder. Dee bringer umiddelbar ikke nogen ny indsig, men skal bruges som e referencepunk, når der gåes over il de mere komplicerede modeller. Fra dee simple seup gåes over il både HARA (subsisens) nyefunkioner og inern habi nyefunkioner i e marked hvor førs Sharpe raioen følger en mean-revering proces og dernæs hvor renen følger en Vasicek dynamik. Den opimale poreføljesraegi udledes i hver model, og de umiddelbare kvaliaive egenskaber omales. Som de cenrale i denne afhandling, beregnes der eferfølgende numeriske resulaer for den opimale poreføljesraegi i alle modeller, kombinere med parameeranalyser for specifikke ineressane ilfælde. De viser sig bl.a. a HARA og habi nyefunkioerne ikke er konsisene med råde om a allokeringen il akier skal sige med inveseringshorisonen. Fakisk giver de lige de modsae resula. 1.1 Problemformulering Hovedformåle med denne opgave vil være a: præsenere power-uiliy funkionen, egenskaber ved den og o udvidelser il den opsille invesorens opimeringsproblem og præsenere maringale meoden il a løse dee 6

8 anvende maringale meoden il a løse individes opimeringsproblem sammenligne, via numeriske resulaer, hvordan forskellige anagelser omkring markede og nyefunkionen ændrer invesorens opimale poreføljesraegi 1.2 Afgrænsning For a holde fokus på de væsenlige, vil der blive gjor følgende afgrænsninger: de cenrale i denne afhandling vil være inveseringsprobleme, og derfor vil forbrugsprobleme kun blive overfladisk behandle de vil kun ganske kor blive diskuere, hvorvid de anvende nyefunkioner er korreke ud fra en empirisk synsvinkel meoder il esimaion af paramerene i nyefunkionerne vil ikke blive præsenere der vil kun kor blive redegjor for om anagelserne omkring markede og parameerværdierne er empirisk korreke andre nyefunkioner vil kun i begrænse omfang blive diskuere 1.3 Afhandlingens srukur Denne afhandling sarer med a inroducere eorien omkring nyefunkioner, diskuere anagelserne bag dem og beskrive hvilken opbakning de har fra empiriske sudier. Desuden udledes kvaniaive mål for invesorernes risikoaversion, og de vises kor hvordan forskellige anagelser om nyefunkionen ændrer disse sørrelser. I kapial 3 opsilles opimeringsprobleme ved a age udgangspunk i formuedynamikken, og præsenere ideen med en selvfinansierende porefølje. Disse resulaer er uafhængige af hvilken nyefunkion der anages og hvilke inveseringsmuligheder der er. 7

9 Kapiel 4 følger derefer med en gennemgang af o løsningsmeoder: HJB ligningen og maringale meoden. HJB vil kun blive gennemgåe ganske overfladisk, hvorimod maringale meoden og eorien bag den gennemgåes dealjere, da de er den der vil blive benye i resen af afhandlingen. I kapiel 5 præseneres de re forskellige anagelser omkring markede, både maemaisk og kvaliaiv. Derudover bliver andre markedsspecifikaioner fra lierauren diskuere. Dernæs følger kapial 6 med løsningerne af poreføljevalge for de ni modeller, hvor de bl.a. også vises hvordan poreføljesraegien kan opdeles i forskellige komponener afhængig af invesorens moiv. I kapiel 7 diskueres de numeriske resulaer for alle ni modeller og udvalge parameeranalyser behandles. Derudover perspekiveres resulaerne ved a sammenligne alle ni modeller og de vises hvordan andre anagelser kan ændre konklusionerne fra de oprindelige modeller. 8

10 2 Nyefunkioner og risikomål Though is only a flash beween wo long nighs, bu his flash is everyhing Jules Henri Poincaré 2.1 Indledning For a kvanificere en invesors nye af forskellige inveseringsbesluninger er de nødvendig a anage en nyefunkion. Hvilken, der er den rigige, og hvordan paramerene skal være, er selvsag e mege svær problem, hvilke der allerede er bleve skreve mege om, men som ikke vil blive diskuere nærmere i denne opgave. Til gengæld anages en generel form af nyefunkionen og udvide denne for a inddrage flere aspeker i individes valg af porefølje. For a holde fokus på inveseringsprobleme, vil præferencerelaioner, nyeindeks osv. ikke blive omal. Derimod gennemgås førs invesorernes holdning il risiko, der er uafhængig af hvilken nyefunkion man pålægger dem. 2.2 Holdninger il risiko For e given forbrugsniveau C og e fair væddemål ɛ, der kan age både posiive og negaive værdier, men med E[ɛ = 0. Så vil en risikoavers invesor ikke accepere dee væddemål (på rods af a E[C + ɛ = C), men derimod forerække de sikre forbrugsniveau C. Tilsvarende vil en risikoelskende invesor alid accepere væddemåle i håbe om a få e højere forbrug. En risikoneural invesor vil være indifferen mellem a age væddemåle eller 9

11 ej. Efersom de flese empiriske sudier viser a de flese mennesker udviser en risikoavers adfærd, er de også dee, der vil blive anage fremover. Der er dog de problem a invesorer kan være lokal risikoaverse-, elskende eller neurale, hvilke ypisk vil afhænge af sørrelsen af forbrugsniveaue og væddemåle. I denne sammenhæng, ville man ypisk foresille sig, a de flese er risikoelskende ved mege lave niveauer af C og ɛ, og ilsvarende risikoaverse for sore værdier af C og ɛ. I denne afhandling anages de, a invesorerne er global risikoaverse. De sikkerheds-ækvivalene af e sokasisk forbrug C, er U(C ) = E[U(C) Dvs. a man har lige så sor nye af de sikre forbrug C, som af de sokasiske forbrug C. Heraf kan man se, a der for en risikoavers invesor vil gælde E[C C. Invesoren vil derfor have en risikopræmie på λ(c) = E[C C eller omvend C = E[C λ(c). Dee sæes nu ind i foregående ligning hvilke giver E[U(C) = U(E[C λ(c)) (2.1) Risikopræmien, λ(c), kan derfor olkes som de forbrug, man er villig il a opgive for a fjerne usikkerheden omkring forbrugsniveaue. 2.3 Nyefunkioner På baggrund af foregående afsni, anages generel a en given nyefunkion U har egenskaberne U (C, ) > 0 og U (C, ) 0 dvs. a invesorerne alid har højere nye af højere forbrug (grådighed) men med afagende marginalnye (funkionen er konkav). Der findes flere forskellige klasser af nyefunkioner, en af de mes anvende er CRRA (Consan Relaive Risk Aversion), som i denne afhandling defineres som nedensående 10

12 Definiion 2.1 (CRRA Nyefunkion) En invesor siges a have en CR- RA nyefunkion, hvis den kan skrives på følgende form U(C ) = C1 1, > 0, 1 (2.2) 1 På alle nyefunkionerne ganges der også e δ på ved løsningen af inveseringsprobleme. Hvor δ er en subjekiv diskoneringsparameer, der siger noge om invesorens præference for forbrug nu, konra forbrug senere. De viser sig dog, a være nemmes a holde dee udenfor definiionen af selve nyefunkionen. Ved hjælp af L Hôpial s regel kan de vises a for 1 bliver nyefunkionen logarimisk: U(C, ) = ln C. Gennem hele afhandlingen anager vi a U( ) er en o gange differeniabel, koninuer funkion, dee gælder også for de o andre nyefunkioner. En udvidelse il CRRA funkionen er HARA (Hyperbolic Absolue Risk Aversion) Definiion 2.2 (HARA nyefunkion) En invesor siges a have en HA- RA nyefunkion, hvis den kan skrives på følgende form U(C ) = (C C) 1 1, > 0, 1 (2.3) 1 Her har invesoren e subsisensniveau, C > 0, som vedkommende skal forbruge på for ikke a have negaiv nye. Dee subsisensniveau kan olkes som den minimale levesandard man er villig il a accepere, eller de forbrug der er nødvendig for a kunne eksisere. Indførelsen af subsisensniveau beyder, a invesoren har en forpligelse på idspunk 0, der svarer il den ilbagediskonerede værdi af C. Denne forpligelse ønsker invesoren, a hedge og derfor har han færre frie midler der kan inveseres risikofyld. Forpligelsen siger med inveseringshorisonen og allerede nu kan man se hvordan de kan skabe en konflik med populære inveseringsråd. Hvis man i sede indføre en arbejdsindkoms har invesoren nuidsværdien af denne, der også skal inveseres og derfor kan disse o elemener ses som hinandens modsæninger. Den sidse ype nyefunkion der vil brug il a undersøge forskellige invesorers inveseringsbesluninger, er følgende habi nyefunkion 11

13 Definiion 2.3 (Habi nyefunkion) En invesor siges a have en inern habi nyefunkion, hvis den kan skrives på følgende form U(C, h ) = (C h ) 1 1, > 0, 1 (2.4) 1 h = h 0 e β + α 0 e β( u) C u du (2.5) Hvor h 0, α og β er ikke-negaive konsaner. Den præcise definiion af h funkion kan sagens variere fra ovensående, de der er ideen i habi nyefunkionerne er a U er afagende i h. I denne specifikke model afhænger nyen ikke kun af nuværende forbrug, men også af e eksponeniel væge gennemsni af idligere forbrug gennem habi funkionen (2.5). Dvs. a nyen af forbrug ikke er idsseparabel og e nylig høj forbrug skaber ønske om e høj forbrug nu. Derved får man idsvariaion i invesorernes præferencer. Habi funkionen er inern i den forsand, a en invesor ager højde for hans fremidige habi niveau i hans valg af forbrug i dag. α kan ses som en parameer der påvirker hvor mege invesoren væger al idligere forbrug og β som en der påvirker hvor vedholden e given forbrugsniveau er. Denne specifikke habi funkion sammer oprindelig fra Ryder og Heal (1973). Consaninides (1990) viser, a denne funkion er i sand il a forklare The Equiy Premium Puzzle, som handler om den sore forskel i afkas på akier og den kore rene for realisiske niveauer af risikoaversion. Dee myserium var ellers idligere forklare med myopic loss aversion, som ilsiger a invesorerne forlanger en høj risikopræmie, fordi de er bekymrede for korsigede ab, selvom de har en længere inveseringshorison. Consaninides (1990) noerer i den forbindelse, a modeller med raionelle invesorer ikke er urimelige. Derudover er habi funkionerne også undersøe af flere empiriske sudier med andre yper af habi funkioner. Wacher (2002) og Campbell & Cochrane (1999) finder, a med en eksern habi funkion er de mulig a forklare forskellen i afkasene på akier og obligaioner over id. Deres ekserne habi funkion bygger på Abel (1990) s specifikaion keeping up wih Joneses, hvor habi niveaue afhænger af de aggregerede forbrugsniveau i økonomien og ikke invesorens ege forbrug. 12

14 Der er dog også empiriske sudier der konkluderer, a der ikke er evidens for habi funkioner. F.eks. finder Brunnermeier & Nagel (2006) med baggrund i daa fra PSID 1, a husholdninger ikke ændrer deres relaive allokeringer i de respekive akivklasser, ved en ændring i deres formue, som habi funkionerne ilskriver. I sede finder de, a denne reallokering er bedre forklare af en CRRA nyefunkion. Denne uenighed er selvfølgelig også afhængig af, hvilke daasæ der er bleve undersøg, men undersreger samidig a der er grund il a kigge på flere forskellige specifikaioner af nyefunkionen. 2.4 Mål for risikoaversion En invesors risikoaversion handler basal se om hvor konkav (eller konveks for en risikoelskende invesor) vedkommendes nyefunkionen er. Nogle af de mes udbrede mål for risikoaversion er ARA (Absolue Risk Aversion) og RRA (Relaive Risk Aversion), som Pra (1964) førs præsenerede. ARA er give ved ARA(C ) = U (C ) (2.6) U (C ) Ikke overraskende er RRA e mål der ager højde for C RRA(C ) = C ARA(C ) = C U (C ) U (C ) (2.7) Ideen bag disse o mål er, a de ager konkavieen af nyefunkionen if. il hældningen på den, da den anden aflede ikke er invarian overfor en affin ransformaion. Ved a sæe e minus foran får man en posiiv sørrelse, da den anden aflede alid er negaiv for en risikoavers invesor. I de konkree ilfælde med en nyefunkion som i ligning (2.2) bliver ARA henholdsvis RRA følgende ARA(C ) = C 1 C = C (2.8) RRA(C ) = C C = (2.9) 1 Panel Sudy of Income Dynamics bliver udarbejde af Universiy of Michigan og indeholder informaion om husholdningers indkoms, inveseringer og lign. 13

15 Her kan man se hvorfor nyefunkionen bliver kald CRRA, den relaive risikoaversion er neop konsan for alle niveauer af forbrug. Samidig kan olkes som e mål for en invesors risikoaversion. Jo højere, deso sørre risikoaversion. Dee kan også ses ved a nyefunkionen bliver mere og mere konkav som siger. Den mes vivlsomme implikaion af disse mål er en invesor med en nyefunkion der udviser CRRA samidig vil have en afagende ARA. Dee ses nemmes ved a en invesor, der holder en porefølje med e risikofri og e risikofyld akiv, vil holde sin relaive allokering i de o akiver konsan ved en signing i sin formue. Dee fører il a vedkommende ager mere risiko i absolu forsand, hvorimod risikoen er uændre i relaive ermer. Tilsvarende for HARA nyefunkionen er de mulig, a beregne ARA og RRA. ARA(C ) = e δ (C C) 1 e δ (C C) = RRA(C ) = C C C C C (2.10) (2.11) RRA er ikke længere konsan for alle forbrugsniveauer. Hvis vi lader C C går RRA mod, ilsvarende for C går RRA mod. En invesor vil alså være eksrem risikoavers ved e forbrug omkring subsisensniveaue og blive mindre og mindre risikoavers som forbruge siger. Derudover er både ARA og RRA sigende i C hvilke er i overenssemmelse med inuiionen og empiriske sudier. Flere sudier, bl.a. Riley e al. (1992) og Guiso e al. (2008), viser a risikoaversionen er afagende i invesorernes formue. For habi funkionerne bliver ARA og RRA naurligvis næsen magen il dem for HARA nyefunkionen ARA(C ) = e δ (C h ) 1 e δ (C h ) = RRA(C ) = C h (2.12) C C h (2.13) Efer a have inroducere nyefunkionerne er de næse skrid a se på de maksimeringsproblem invesoren sår overfor for a vælge den opimale poreføljesraegi. 14

16 3 Inveseringsprobleme If I were a medical man, I should prescribe a holiday o any paien who considered his work imporan Berrand Russell 3.1 Formuedynamik For a udlede en invesors formuedynamik er de nemmes a sare i diskre id og derefer lade idsinddelingen gå mod uendelig. Denne udledning følger Munk (2011). Lad iden være del op i n lige sore perioder af længde sådan så = n for n = 0, 1, 2,.... Formuedynamikken ses dermed i idsperioden [, + ). Der anages e marked med d + 1 akiver, hvoraf de ene, P 0, er en momenan risikofri bankkono med afkas r. De d risikofylde akiver har pris P = (P 1, P 2,..., P d ) på idspunk med e afkas i idsperioden på R+ i = (P + i P i )/P i for i = 1, 2,..., d. De risikofylde akiver kan nemmes olkes som akier eller, som vi senere skal vise, e repræsenaiv akieindeks. Med M i beegnes analle af de respekive akiver der indgår i invesorens formue i perioden [, + ). En invesors formue vil på idspunk, dvs. i saren af perioden, være W = d i=0 M i P i (3.1) På idspunk besemmer invesoren også, hvor mege han vil forbruge i idsperioden [, + ), derved bliver forbruge c. For a have noaionen på plads defineres 15

17 Definiion 3.1 (Filrering) Filreringen F Z beegner den informaion som Z har genere op il og med idspunk. Hvis de er mulig a besemme om A har indruffe eller ej på baggrund af F Z skrives de A F Z og A siges a være F Z målelig eller ilpasse. Med dee defineres yderligere Definiion 3.2 (Forbrugsproces) En forbrugsproces er enhver F P -ilpasse proces {c 0; 0} Derudover kunne man anage en arbejdsindkoms i samme idsperiode som skulle lægges il den eksiserende formue. Da denne afhandling ikke vil inkorporere dee elemen, anages de a invesoren ikke modager nogen arbejdsindkoms. Budgeligningen kan nu silles op ved følgende d i=0 M i P i c = d i=0 M i P i (3.2) Inuiionen er a formuen i foregående periode minus forbruge i indeværende periode skal være lig formuen i indeværende periode. Eller ilsvarende a forbrug skal finansieres ved a realisere noge af poreføljen c = d i=0 M i P i d i=0 M i P i (3.3) Ændringen i formuen over en given idsperiode kan da skrives som W + W = = d i=0 d i=0 M i P i + d i=0 M i P i M i (P i + P i ) c hvor omskrivningen følger af budgeligningen (3.2). (3.4) Definiion 3.3 (Selvfinansierende porefølje) En porefølje siges a være selvfinansierende hvis der gælder W + W = d i=0 M i (P i + P i ) c (3.5) 16

18 ilsvarende gælder følgende beingelse i koninuer id dw = d i=0 M i dp i c d (3.6) Derudover defineres θ i = M i P i for i = 1, 2,..., d, dvs. θ skal olkes som en vekor, kan (3.4) omformuleres il a se lid mere genkendelig ud W + W = θ 0 r + θ R + c (3.7) Førse led er afkase på den del af formuen, der sår på den risikofrie bankbog, ande led er afkase på de risikofylde akiver, og de sidse led er forbruge der forsvinder ud af formuen i idsperioden. Afkase på de risikofylde inveseringer defineres på klassisk vis R + = µ + σ ɛ + (3.8) hvor µ er de forvenede afkas eller drif, ɛ + er uafhængige, idenisk fordele sokasiske chok med middelværdi nul og varians 1 og σ er en marix med volailieer. Lad θ 0 = W θ 1. Dernæs sæes ligning (3.8) ind i (3.7), hvilke giver W + W = (W θ 1)r + θ µ + θ σ ɛ + c = W r θ 1r + θ µ + θ σ ɛ + c = (r W θ 1r + θ µ c ) + θ σ ɛ + (3.9) = (r W + θ (µ r 1) c ) + θ σ ɛ + De er nu mulig a lade 0 i (3.9) for a få formuedynamikken i koninuer id dw = (r W + θ (µ r 1) c )d + θ σ dz (3.10) Mere inuiiv kan (3.10) også udrykkes ved de relaive poreføljevæge π i = θ i W c d, i = 0, 1, 2,..., d, W c d 0 (3.11) 17

19 og (3.10) kan omformuleres il dw = [ (r + π (µ r 1))W c d + W π σ dz (3.12) Yderligere defineres Definiion 3.4 (Sharpe raio) Med anagelser som i afsni 3.1 omkring markede, da er Sharpe raioen definere ved λ = σ 1 (µ r 1) (3.13) hvor λ har d elemener, svarende il de d risikofylde akiver og σ 1 anages a være ikke-singulær. λ kan olkes som markedsprisen på risiko eller Sharpe raio og (3.10) kan omskrives il dw = [ (r + π σ λ )W c d + W π σ dz (3.14) Denne ligning vil senere blive brug som udgangspunk ved HJB ligningen. 3.2 Invesorens opimeringsproblem Der anages e sandsynlighedsrum (Ω, F, (F ) [0,T, P), hvor (F ) [0,T er en filrering på (Ω, F), som grundlag for de sokasiske i modellen. Invesorens problem er a maksimere hans forvenede nye [ T J = sup E 0 e δ U(C, )d + e δt Φ(W T ) (C,π ) 0 ubb. dw = [ (3.15) (r + π σ λ )W c d + W π σ dz Dee gør han ved a vælge en koninuer forbrugsrae, (C ) [0,T og en koninuer poreføljesraegi, (π ) [0,T. Begge disse processer skal være F målelige. Funkionen Φ udrykker, a invesoren har nye af a have penge ilbage ved idspunk T. Dee kunne f.eks. være en besem arv man har e ønske om a give videre. De vises senere, a man ved brug af maringale meoden kan omforme (3.15) problem il e velkend, og noge mere simpel, Lagrange problem. J udrykker den maksimale nye for e given par (C, π ) og kaldes den indireke nyefunkion. Den defineres som 18

20 Definiion 3.5 (Den indireke nyefunkion) Den indireke nyefunkion er definere som [ T J(W, x, ) = sup E W,x, e δ(s ) U(C s, s)d + e δ(t ) Φ(W T ) (C s,π s) S s hvor r, λ og σ kan være sokasiske. (3.16) En naurlig beingelse for forbruge er C 0, [0, T, dee sikrer a e negaiv forbrug ikke giver anledning il en anden indkoms, end den der kommer fra a invesere i markede. Derimod vil vi illade π a age værdi i R d, dvs. a invesoren kan gå kor eller lang i e ehver akiv lige så mege som han skulle have lys il. Mængden af alle de illade sraegier i [0, T benævnes S. Give a arbejdsindkoms ikke er en del af modellen er de naurlig, a anage a W 0, [0, T. Invesoren kan alså få en formue på 0, men ikke vælge (C, π ) således a han får en negaiv formue. En model hvor invesoren kan gå falli og W = 0 ses som en absorberende barriere, vil ikke blive diskuere yderligere. De o løsningsmeoder vil blive gennemgåe i dealjer i næse kapial. 19

21 4 Løsningsmeoder - HJB ligningen og maringale meoden The exciemen ha a gambler feels when making a be is equal o he amoun he migh win imes he probabiliy of winning i Blaise Pascal 4.1 Indledning Maringale meoden er forholdsvis ny og blev førs anvend af Karazas, Lehoczky & Shreve (1986, 1987) il løsning af opimal poreføljevalgsproblemer efer indledende arbejde af førs Harrison & Kreps (1979) der bruge den il a prisfassæe opioner. Senere kom Pliska (1986) også med e bidrag il de indledende arbejde. Senere vise Cox & Huang (1989, 1991) også denne sandsynlighedseoreiske meode il a løse poreføljevalgsproblemer. Hvor HJB ligningen omformer de sokasiske opimeringsproblem il løsningen af en ikke-lineær deerminisisk differenialligning, bygger maringale meoden på en sandsynlighedseoreisk ilgang il a løse e given opimeringsproblem. Samidig har den også den fordel, a den kan anvendes på en række problemer hvor akiverne ikke følger Markov processer. For yderligere a moivere brugen af maringale meoden, præseneres førs HJB ligningen og de vises, a man ofe bliver nød il a løse en ikkelineær differenialligning, der ikke har nogen analyisk løsning. De kan derfor 20

22 være nødvendig med numeriske løsningsmeoder eller simpelhen a sørge for a man opsiller e problem, som man ved har en analyisk løsning. I denne afhandling vil der kun blive behandle inveseringsproblemer i e komple marked. Dee gør a den sokasiske diskoneringsfakor og de ækvivalene maringale mål er unik besem (se f.eks. Björk (2009)), hvilke leer beregningerne uden de sore ab af generalie. I e ukomple marked vil der være risiko, som den enkele invesor ikke kan diversificere væk ved a handle i markede. Derudover får man e inerval af arbiragefrie priser, hvorimod a man i e komple marked neop får en enkel arbiragefri pris. 4.2 Hamilon-Jacobi-Bellman ligningen Som idligere nævn, kræver HJB ligningen, a ilsandsvariablene følger e sysem af Markov processer, dvs. a på e given idspunk,, er al nødvendig informaion for a ræffe en besluning om forbrug og poreføljevæge inkludere i disse ilsandvariable. Den førse ilsandsvariabel der skal bruges er W, dernæs skal der bruges en en- eller flerdimensional proces x sådan a (W, x ) udgør e Markov sysem. Hvis r, λ og σ er deerminisiske er de ikke nødvendig, a have nogen x proces, da man jo vil kende alle værdier af disse paramere på alle idspunker. Hvis de derimod er sokasiske, anages følgende r = r(x ), µ = µ(x, ), σ = σ(x, ) (4.1) De sokasiske elemen kommer alså fra ændringer i ilsandsvariablen x og idens gang for drifen og volailieens vedkommede, hvorimod renen kun afhænger af x. De er klar a drifen og volailieen på især obligaioner afhænger af kalenderiden, ved a volailieen som ofes falder når iden il udløb bliver mindre. Som en konsekvens af dee bliver Sharpe raioen (3.13) også en funkion af x λ(x ) = σ(x, ) 1 (µ(x, ) r(x )1) (4.2) Tilsvarende udvikler formuen sig som (3.14) dw = [ (r(x ) + π σ(x, )λ(x )W c d + W π σ(x, )dz (4.3) 21

23 med r, λ og σ som i (4.1). Da der kun behandles komplee markeder, er dynamikken for x dx = m(x )d + v (x ) dz (4.4) hvor Wiener processen Z er den samme som i formuedynamikken. I e ukomple marked ville man ilføje en eksra Wiener proces, der var uafhængig af Z så man på den måde har noge variaion, der ikke kan diversificeres væk ved a handle i markede. Med udgangspunk i (3.16) og Bellmans ligning (jf. Munk 2011) følger de, a den indireke nyefunkion kan approksimeres i diskre id ved [ [ J(W, x, ) = sup U(C ) + e δ E W,x, J(W+, x +, + ) (C,π ) S s (4.5) hvor C og π er konsane i inervalle [ + ). Ved a gange med e δ, række J(W, x, ) fra og dividere med får vi [ e δ 1 J(W, x, ) = sup e δ U(C )+ 1 (C,π ) S s E [ W,x, J(W+, x +, + ) J(W, x, ) (4.6) Ved hjælp af L Hôpial s, Io s Lemma og ved a lade 0 følger afsnies hovedresula Theorem 4.1 (Hamilon-Jacobi-Bellman ligningen) Med anagelser som i afsni 3.2, gælder følgende [ δj(w, x, ) = sup U(C) + J (W, x, ) (C,π) S s + J W (W, x, )[ ( W r(x ) + π σ(x, )λ(x) ) c J 2 W (W, x, )W 2 π σ(x, )σ(x, ) + J (W, x, )m(x) 2 x J 2 x (W, x, 2 )v(x) v(x) + 2 J W x (W, x, )W π σ(x, )v(x) (4.7) med randbeingelse J(W T, x T, T ) = Φ(W T ), for alle W og x. 22

24 E bevis for HJB ligningen kan ses i Björk (2009). Hvad der yderligere besværliggør løsningen af HJB ligningen er, a de er supremum for de illade sraegier på id, S, der skal findes, ikke de globale suprema. De næse spørgsmål er naurligvis, hvordan de kan verificeres a en funden løsning er mulig og opimal. Til dee findes e verifikaions heorem, som fungerer i o rin. Theorem 4.2 (Verifikaions heorem) Anag a V (W, x, ) er en løsning il HJB ligningen (4.7) og lad c(w, x, ) og Π(W, x, ) være give ved [ V c (W, x, ) = arg max U(C) C (W, x, ) C 0 W [ Π(W, x, ) = arg max W V π R W (W, x, )π σ(x, )λ(x) d Hvis sraegierne V 2 W (W, x, )W 2 2 π σ(x, )σ(x, ) π + 2 V W x (W, x, )W π σ(x, )v(x) C = c (W, x, ) π = Π (W, x, ) hvor W er den formue process som (C, π ) medfører, er mulige (dvs. (C, π ) S 0 ), da er de opimale og V (W, x, ) er lig den indireke nyefunkion (3.16), dvs. [ T J(W, x, ) = V (W, x, ) = E W,x, e δ(s ) U(Cs, s)d + e δ(t ) Φ(WT ) Ideen bag dee heorem er førs a løse HJB ligningen (4.7) for en mulig kandida il de opimale valg af forbrug og porefølje, som funkion af den indireke nyefunkion. Dernæs a sæe disse kandidaer ind i HJB ligningen, ignorere sup-præfikse og løse den parielle differenialligning for J(W, x, ). 23

25 4.3 Maringale meoden De indledende ing Denne løsningsmeode vil blive brug i resen af afhandlingen og derfor vil den blive udled mere dealjere end HJB ligningen. Udgangspunke er sadig (3.15) hvor den forvenede nye på idspunk 0 skal maksimeres. Men for a logikken bag den sandsynlighedseoreiske ilgang bag meoden er velfundere, sares der med den grundlæggende ingen-arbirage prisfassæelse og derfra udvide rammerne il a meoden kan bruges i poreføljevalgsproblemer. Udledningerne i dee afsni følger generel Björk (2009), Munk (2011) og i mindre grad Øksendal (2007). For a fokusere på resulaerne og ikke eknikalieerne, laves der for de mese ikke nogen formelle beviser, men i sede henvises læseren il de førnævne bøger. Igen anages modellen for markede a være som i afsni 3.1 og dermed følger førse definiion omkring eksisensen af de sokasiske inegral 0 g s dz s (4.8) hvor Z er en Wiener proces. For a garanere eksisensen af ovensående skal g ilhøre klassen af L 2 processer. Definiion 4.1 En proces g er en L 2 [a, b proces, hvis følgende o beingelser gælder b a E [g2 s < g er ilpasse il F Z filreringen for a b Næse definiion er for e ækvivalen maringale mål, som er e af de mes cenrale begreber i moderne finansieringseori og i særdeleshes i forbindelse med udledningen af maringale meoden il løsning af poreføljevalgsproblemer, men også il prisfassæelse af beingede fordringer. Definiion 4.2 (Ækvivalen maringale mål) E sandsynlighedsmål Q på F T siges a være e ækvivalen maringale mål for markede og inervalle [0, T, hvis der gælder følgende 24

26 P er absolu koninuer if. Q (P << Q) hvis P(A) = 0 Q(A) = 0, A F T Hvis P << Q og Q << P da siges P og Q a være ækvivalene (P Q) Alle prisprocesser, P = (P 0, P 1,..., P d ), er maringaler under Q på inervalle [0, T Hvis Q P medfører a P = (P 0, P 1,..., P d ) er lokale maringaler, er Q e lokal maringale mål. Ved a ændre sandsynlighedsmål il e ande der er ækvivalen, er de mulige hændelser alså ikke ændre, men kun sandsynligheden for a nå disse. De er dee, der er grunden il a man bl.a. i e Black-Scholes seup kan ændre prisprocessen for de underliggende akiv il en der har renen som drif. Hvordan dee præcis gøres vil blive behandle senere Dee giver de vigigse heorem i ingen-arbirage prisfassæelseseorien Theorem 4.3 (Førse fundamenalsæning) Modellen er arbiragefri hvis og kun hvis der eksiserer e ækvivalen (lokal) maringale mål Q E dealjere bevis vil ikke blive gennemgåe, men kun skisere ved a man opsiller en mulig arbirage porefølje og dernæs anager e ækvivalen maringale mål Q. På den måde kan de vises, a denne porefølje vil have en posiiv pris ved = 0 og dermed a der ikke er nogen arbiragemuligheder. i øvrig kan de også bevises, a ingen arbiragemuligheder medfører eksisensen af e ækvivalen maringale mål (hvilke dog er beydelig sværere). De næse spørgsmål er så, hvornår e given deriva (beinge fordring) kan replikeres ved a handle i markede P = (P 0, P 1,..., P d+1 ). Førs defineres en T -fordring Definiion 4.3 (Beinge fordring) En beinge fordring der udløber il id T (T -fordring) er enhver sokasisk variabel X F P T Til a vise hvornår en given fordring kan replikeres findes følgende nyige lemma (se Björk (2009)) 25

27 Lemma 4.1 Berag en T -fordring X og e maringale mål Q. Hvis Q- maringalen N [ X N = E P PT 0 F (4.9) har en inegral repræsenaion på formen hvor N = X 0 + d i=0 (H 0, H 1,..., H d ) = 0 (1, P 1 M i sdh i s (4.10) P 0,..., P ) d P 0 da kan X replikeres ved a handle i P = (P 0, P 1,..., P d ). (4.11) Igen vil e formel bevis ikke blive præsenere, men blo skiseres ved a de gøres ved a vise a dynamikken for X/P 0 er lig med dynamikken for N og dermed a poreføljen d i=0 M i dh i er selvfinansierende. Dee giver de ande vigige resula Theorem 4.4 (Anden fundamenalsæning) Anag a markede er arbiragefri og a P 0 er numeraire. Da er markede komple hvis og kun hvis maringale måle Q, svarende il P 0, er unik. Hele re beviser kan ses i Björk (2009) Prisfassæelse af beingede fordringer De næse skrid er nu a udlede formler for arbiragefri priser på beingede fordringer, der har de oprindelige akiver, P = (P 0, P 1,..., P d ), som underliggende akiv. Denne prisfassæelse skal naurligvis være konsisen med de oprindelige akiver så markede er arbiragefri. Derudover må der også gælde Π (X) = W (M), dvs. a prisprocessen for fordringen er lig med den for den replikerende porefølje [ [ Π (X) = E Q ΠT (X) X P 0 PT 0 F = E Q PT 0 F (4.12) ved a age P 0 ud foran forveningen, fremkommer den generelle prisfassæelsesformel 26

28 Theorem 4.5 (Den generelle prisfassæelsesformel) Den arbiragefri pris for T -fordringen X er give ved [ X Π (X) = P 0 E Q F (4.13) Denne formel gælder for ehver valg af numeraire P 0. I specialilfælde hvor er en pengemarkedskono følger de velkende resula P 0 Theorem 4.6 (Den risikoneurale prisfassæelsesformel) Den arbiragefri pris for T -fordringen X er give ved Π (X) = E Q [e T r sds X F (4.14) P 0 T med P 0 som nedensående P 0 = P 0 0 e 0 rsds (4.15) Radon-Nikodym aflede og sokasiske diskoneringsfakorer I sede for a skrive (4.14) under Q kan den naurligvis også udrykkes under P. Ved a bruge definiion 4.2 og Radon-Nikodym heoreme (se appendix Björk (2009)) ved vi a kan dee, hvis og kun hvis der eksiserer en F T målelig sokasisk proces L T 0 sådan a eller ilsvarende dq = L T dp, på F T (4.16) Definiion 4.4 (Radon-Nikodym aflede) Med anagelser som i definiion 4.2 gælder der L = dq dp, på F (4.17) hvor L er den Radon-Nikodym aflede. Dermed har vi en måde, a udrykke hvordan sandsynlighederne under P skal ændres for a få dem under Q, for de samme hændelser. Dernæs har vi følgende vigige lemma 27

29 Lemma 4.2 Med anagelser som i definiion 4.4, da er L, (4.17), en ikkenegaiv P-maringale. E bevis kan ses i Øksendal (2007). E nærliggende spørgsmål er nu hvordan L ser ud. Fra lemma 4.2 ved vi, a L skal være en ikke-negaiv maringale, og da alle sokasiske inegraler mh. en Wiener proces er maringaler (fra maringale repræsenaionsheoreme (se Øksendal (2007)) har vi a enhver maringale kan skrives på inegralform), kan vi skrive L som dl = ϕ L dz P L 0 = 1 (4.18) dee er bare en GBM (uden drif) som har en velkend løsning { L = exp ϕ s dzs P } ϕ s 2 ds (4.19) A dee rick går så nem skyldes, a vi kun ser på e sandsynlighedsrum med Wiener processer. Flere andre seder gør anagelsen om, a de kun er Wiener processer der driver de sokasiske også arbejde en del nemmere. For a finde dynamikken for Z P under Q har vi e af de vigigse heoremer i moderne finansieringseori Theorem 4.7 (Girsanov heoreme) Lad Z P være en sandard d-dimensional Wiener proces, ϕ være en d-dimensional ilpasse vekor proces. Definér dl som (4.18) (eller (4.19)), anag a E P [L T = 1 og definer sandsynlighedsmåle Q som (4.16). Da gælder, a processen er en sandard Wiener proces. dz P = ϕ d + dz Q (4.20) Andre udgaver af Girsanov heoreme sam e bevis kan ses i Øksendal (2007). I øvrig kan ovensående resula rimelig le vises ved hjælp af Bayes formel og Io s lemma. 28

30 Girsanov heoreme er særlig vigig, fordi de viser hvordan dynamikken ser ud for en given proces under e ande sandsynlighedsmål. De viser, a der skal ilføjes e drifled (en såkald kompensaor for Z Q ) mens volailiesledde er de samme som under P. I Girsanov heoreme har vi anage a E P [L T = 1. En ilsrækkelig beingelse il a vise a L, (4.19), ren fakisk er en P-maringale er hvis Lϕ L 2 [0, T. Derudover kan vi for ϕ bruge Novikov beingelsen il a sikre a L er en P-maringale Lemma 4.3 (Novikov beingelsen) Hvis der for ϕ gælder a [ { 1 T } E P exp ϕ 2 s 2 ds < (4.21) da er L en P-maringale og E P [L T = Prisfassæelse af beingede fordringer endnu en gang For a vende ilbage il den risikoneurale prisfassæelsesformel, (4.14), er de nu mulig a omskrive denne il a være en forvenning under P i sede for Q (de kunne vi sådan se også have gjor på de idspunk, men da ville vi ikke have haf e præcis udryk for den Radon-Nikodym aflede). Ved hjælp af Bayes formel og (4.14), har vi nu Π (X) = E P [ e T r sds L T X L F = E P [ e T r L sds T X L F (4.22) her kan man se, hvordan den Radon-Nikodym aflede virker, ved a den er en eksra fakor, der skal ganges på diskoneringen. Dee er i overensemmelse med inuiionen om, a den skal korrigere for forskellene i sandsynligheder for givne hændelser. Med (4.22) synes de nu naurlig a inroducere den sokasiske diskoneringsfakor (som også går under mange andre navne i lierauren). Som sådan er der ikke noge banebrydende ved dens definiion, men de viser sig, a være nyig a arbejde med dee begreb, især i forbindelse med udledningen af maringale meoden il løsning af poreføljevalgsproblemer. 29

31 Definiion 4.5 (Sokasisk diskoneringsfakor) Anag en rene r. For ehver ækvivalen maringale mål Q, lad likelihood processen L være give ved (4.17). Da er den sokasiske diskoneringsfakor for Q definere som ζ = e 0 rsds L (4.23) Denne definiion kan sammen med (4.22) sammenfaes i følgende proposiion Proposiion 4.1 Anag a der ikke er arbirage muligheder, da gælder følgende Den arbiragefri pris for en given T -fordring er [ Π (X) = E P ζt X ζ F (4.24) For enhver arbiragefri prisproces P (deriva eller underliggende akiv) er processen ζ P (4.25) en (lokal) P-maringale Løsning af poreføljevalgsproblemer Vi mangler sadig a udlede hvordan ϕ ser ud. Igen kan vi drage fordel af, a være i en verden hvor al sokasik er dreve af Wiener processer og a alle prisprocesser følger GBM er. Vi kan nu bruge (4.18) og Girsanov heoreme il a finde dynamikken for de risikofylde akiver i markede, dvs. d > 0, (se afsni 3.1) under Q ved dp = µ P d + σ P (ϕ d + dz Q ) = (µ + σ ϕ )P d + σ P dz Q (4.26) Da vi ved a Q skal være e maringale mål for a være arbiragefri, må drifen (under Q) på de risikofylde akiver alså være lig renen µ + σ ϕ = r 1 (4.27) hvilke giver ϕ = σ 1 (µ r 1) (4.28) 30

32 Dee er den velkende Sharpe raio med negaiv foregn, som blev definere i afsni 3.1. For a følge noaionen idligere anvend for Sharpe raioen, skrives den som λ = σ 1 (µ r 1) Derudover anager vi a λ L 2 [0, T. Her er de vigig a lægge mærke il a vi har skife foregn if. ϕ. Dee har ikke anden beydning end a foregne foran de sokasiske inegral i den Radon-Nikodym aflede også skifer foregn og (4.18) ser nu ud som følger dl = λ L dz P (4.29) med følgende løsning { L = exp 0 λ s dz P s } λ s 2 ds (4.30) Læg mærke il a de er P-Wiener processen, der indgår og de negaive foregn foran førse led, hvorimod foregne foran ande led sadig er negaiv pga., a dynamikken for L skal i anden via Io s lemma. Da vi er i e komple marked, er de ækvivalene maringale mål unik og give ved ovensående Radon-Nikodym aflede. På samme måde skifes der også foregn i den sokasiske diskoneringsfakor (se definiion 4.5) { ζ = exp 0 r s ds 0 λ s dz P s } λ s 2 ds som kan vises, ved brug af Io s Lemma, a have nedensående dynamik (4.31) dζ = ζ r d λ ζ dz P (4.32) som de bliver nødvendig a have lid senere. Efer en del indledende eori går vi nu over il de, der er essensen af maringale meoden. Denne del er fakisk overraskende kor og kan rimelig hurig udledes med de foregående afsni på plads. De snedige besår selvfølgelig i a få ideen il a sare med. 31

33 Da vi har anage, a en repræsenaiv invesor ikke modager arbejdsindkoms i inervalle [0, T er en naurlig beingelse på (C, π ) processerne a de overholder [ T ζ C d + ζ T W T W 0 (4.33) E P 0 0 hvor den sokasisk diskoneringsfakor også indgår, da vi ager forvenningen under P. Dvs. a il = 0 kan invesoren ikke udforme en sraegi, der koser mere end hans iniiale formue. De er neop dee, der udnyes i maringale meoden. Derudover har vi fra (3.14), (4.32) og Io s lemma (se appendix B.1) a d(ζ W ) = ζ C d + ζ W (π σ λ )dz P (4.34) eller ilsvarende på inegralform ζ W + 0 ζ s C s ds = W ζ s W s (π s σ s λ s )dz P s (4.35) De re ovensående ligninger samles nu i følgende cenrale heorem. Theorem 4.8 Hvis (C, π ) er en mulig sraegi, så gælder der a [ T ζ C d + ζ T W T W 0 (4.36) E P 0 hvor W T er formuen, inducere af (C, π ), il id T. 0 Bevis. Dee bevis følger Munk (2011). Definér soppeiderne (τ n ) n N ved { } τ n = T inf [0, T ζ s W s (π s σ λ s ) 2 ds n 0 da er de sokasiske inegral i (4.35) en maringale i inervalle [0, τ n. Ved nu a age forvenning i (4.35) får vi [ τn E P 0 [ζ τn W τn + E P 0 ζ C d = W 0 Lader vi nu n, har vi samidig τ n T og Faou s lemma (se Browder (1996)) kan anvendes il a vise a lim inf n EP 0 [ζ τn W τn E P 0 [ζ T W T 32 0

34 Dermed har vi a førse led overholder uligheden. Ved hjælp af Lebesgue s sæning om monoon konvergens (se Royden (2010)) kan de vises, a ande led også overholder uligheden ved a der gælder [ τn [ T E P 0 ζ C d E P 0 ζ C d 0 0 Disse o resulaer beviser heorem 4.8. De snedige besår nu i, a se opimeringsprobleme som nedensående saiske problem og ikke e dynamisk som i (3.15). [ T sup E P 0 e δ U(C, )d + e δt Φ(W T ) (C,W T ) 0 [ T (4.37) ubb. E P 0 ζ C d + ζ T W T W 0 0 Læg mærke il a invesoren i ovensående problem vælger W T direke bland de ikke-negaive og F T -målelige sokasiske variable. I de oprindelige dynamiske problem følger W T derimod af forbrugs- og poreføljesraegierne. Ovensående opimeringsproblem kan på sædvanligvis opskrives som e Lagrange problem [ T ( [ T ) L = E P 0 e δ U(C, )d + e δt Φ(W T ) + ψ W 0 E P 0 ζ C d + ζ T W T 0 0 [ T ( ) = ψw 0 + E P 0 e δ U(C, ) ψζ C d + e δt Φ(W T ) ψζ T W T 0 (4.38) Vi skal senere se, a de ikke er nødvendig a inddrage Kuhn-Tucker beingelserne, da Lagrange muliplikaoren (ψ) vælges sådan a bibeingelsen i (4.37) holder med lighed, dvs. a ψ > 0 og a hele den iniiale formue bliver brug. Hele Lagrange probleme kan maksimeres ved a maksimere udrykke inde under forvenningsegne. Dee gøres ved førs a maksimere ( e δ U(C, ) ψζ C ) mh. C for alle og alle mulige værdier ζ. Dernæs a maksimere 33

35 e δt Φ(W T ) ψζ T W T mh. W T for alle mulige værdier af ζ T. Dermed har vi følgende o førseordensbeingelser e δ U C (C, ) = ψζ (4.39) e δt Φ W T (W T ) = ψζ T (4.40) her kan man neop se, hvordan a forbruge på idspunk T må svare il den formue man ønsker a lade være ilbage. Førseordensbeingelserne kan løses ved a inverere de o aflede. Hvis vi lader I U ( ) beegne den inverse af U C ( ) og ilsvarende I Φ ( ) den inverse af Φ W T ( ) har vi de o kandidaer for de opimale forbrug og formue på idspunk T C = I U (e δ ψζ ) (4.41) W T = I Φ (e δt ψζ T ) (4.42) Vi kan alså skrive nuidsværdien af valge af forbrug og formue på id T som en funkion af Lagrange muliplikaoren [ T P(ψ) = E P 0 ζ I U (e δ ψζ )d + ζ T I Φ (e δt ψζ T ) (4.43) 0 Som idligere nævn vælges Lagrange muliplikaoren sådan a P(ψ) = W 0. Hvis vi dernæs anager, a P(ψ) < for alle ψ > 0, da har P en invers Y hvor der gælder ψ = Y(W 0 ). Dee samles i næse heorem der siger, a hvis vi har en mulig løsning il de saiske problem (4.37), vil den samidig være opimal for de dynamiske problem (3.15). Theorem 4.9 Anag a P(ψ) < for alle ψ > 0. Da gælder følgende Den opimale forbrugsrae er give ved C = I U (e δ Y(W 0 )ζ ) (4.44) Give den opimale poreføljesraegi, da er den opimale formue il id T W = I Φ (e δt Y(W 0 )ζ T ) (4.45) 34

36 Formueprocessen, give de opimale sraegier for (C, π ), er W = 1 [ T E P ζ s Cs ds + ζ T W ζ (4.46) Brøken 1 ζ kommer af a formueprocessen ses på e vilkårlig idspunk [0, T og de er derfor de ækvivalene il proposiion Bevis. Dee bevis følger Munk (2011). Da U er en (sreng) konkav funkion opfylder den Inada beingelserne U (0) = lim C 0 U (C) =, U ( ) = lim C U (C) = 0 og derfor vil I U også være en konkav funkion. Dee fakum kan udnyes ved, a vi for en konkav og C 1 funkion (vi har allerede anage af alle nyefunkioner er C 1,2 ) har U( C) U(C) C C U ( C) U( C) U(C) U ( C)( C C) Lad nu C = I U (y). Deraf har vi a U ( C) = y og de følger derfor a U(I U (y) U(C) y(i U (y) C), C, y > 0 Tilsvarende for den opimale formue il id T Φ(I Φ (y) Φ(W T ) y(i Φ (y) W T ), W T, y > 0 De o resulaer kan nu sæes ind i de saiske problem (4.37) og (4.43) for a producere uligheden [ T e δ( U(C, ) U(C, ) ) d + e ( δt Φ(W ) Φ(W T ) ) E P 0 0 E P 0 0 [ T 0 Y(W 0 )ζ (C C )d + Y(W 0 )ζ T (W W T ) Den sidse ulighed følger af heorem 4.8, og a vi konsruere probleme således a [ T E P 0 0 ζ C d + ζ T W T = W 0 35

37 Heraf kan man se, a hvis vi har en mulig sraegi (C, π ) der medfører den opimale formue, W, il id T, da er (C, π ) den opimale sraegi. Definér nu processen W ved (4.46) og vi har ζ W + 0 [ T ζ s Cs ds = E P ζ s Cs ds + ζ T WT som er en maringale og ved brug af maringale repræsenaionsheoreme eksiserer en ilpasse L 2 proces η sådan a ζ W + 0 ζ s C s ds = W η s dz P s Vi ved alså a den opimale poreføljesraegi kan findes ved a løse nedensående ligning for π 0 ζ s W s (π s σ s λ s )dz P s = η s dz P s 0 π = ( ( ) (4.47) ) σ 1 η + λ W ζ med den reserende formue W (1 π 1) invesere i de risikofrie akiv. Vi kan nu se, ved a sammenligne (4.35) og (4.47), a ovensående poreføljesraegi sammen med den opimale forbrugssraegi, (4.44), neop giver den opimale formueproces W, (4.46). Dee er den generelle løsningsform som vil blive brug i kapial 6 il a løse inveseringsprobleme i modellerne. Med en CRRA nyefunkion kan ovensående resulaer bruges næsen direke, hvorimod a de for HARA og habi skal udvides. For HARA er de forholdsvis enkel mens de for habi er re komplicere. Derudover kompliceres løsningsmeoden af de o markedsmodeller med sokasiske inveseringsmuligheder, som følger i næse kapiel. De er dog sadig (4.47) som bruges i alle modeller il a finde den opimale poreføljesraegi. De er mulig, a udlede generelle resulaer for den opimale poreføljesraegi uden a anage noge specifik marked. Men i denne afhandling inroduceres markede førs for a resulaerne i kapiel 6 er direke anvendelige. 36

38 5 Modellen for markede Essenially, all models are wrong, bu some are useful George Edward Pelham Box 5.1 Indledning I dee kapial redegøres for de re modeller for markede der vil blive behandle i denne afhandling. De skal ikke ses som en udømmende gennemgang og evaluering af alle ænkelige specifikaioner af dynamikker for både akier og rener, for de er ikke dee, der er fokus på her. Derimod følges nogle velkende modeller, som sådan se er se før, men som i kombinaion med nyefunkionerne fra kapial 2 giver nogle ineressane resulaer der ikke umiddelbar findes i lierauren. De re modeller hænger inuiiv sammen i den forsand, a den førse har konsane paramere. De o næse indfører e sokasisk elemen, på hver deres måde, for a få flere ineressane aspeker frem i modellen. Den førse inroducerer en sokasisk Sharpe raio og den anden en sokasisk rene. Disse o er valg fordi, a de bidrager med e sokasisk elemen il begge akivklasser og dermed bidrager med o forskellige vinkler a anskue poreføljevalge fra. De konkree mean-revering processer er valg fordi de er forholdsvis simple, men samidig har nogle egenskaber der passer med inuiionen og derudover giver løsninger i lukke form. Desuden er anagelsen om enen sokasisk Sharpe raio eller sokasisk rene ikke empirisk urimelige, jf. nedensående afsni. De anages generel, a en invesor kun har mulighed for a invesere i 37

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet

Prisfastsættelse og hedging af optioner under stokastisk volatilitet Erhvervsøkonomisk insiu Afhandling Vejleder: Peer Løche Jørgensen Forfaere: Kasper Korgaard Anders Weihrauch Prisfassæelse og hedging af opioner under sokasisk volailie Suppose we use he sandard deviaion

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

Den forbrugsbaserede prisfastsættelsesmodel:

Den forbrugsbaserede prisfastsættelsesmodel: Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Cand.merc.finansiering Kandidaafhandling Vejleder: Tom Engsed Forfaere: Sig Vinher Møller Minh Tuong Den forbrugsbaserede prisfassæelsesmodel: En empirisk sammenligning

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil?

Hvor meget er det værd at kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Hvor mege er de værd a kunne udskyde sine afdrag, som man vil? Bjarke Jensen Rolf Poulsen 1 Indledning For den almindelig fordrukne og forgældede danske boligejer var 1. okober 2003 en god dag: Billigere

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab

Porteføljeteori: Investeringsejendomme i investeringsporteføljen. - Med særligt fokus på investering gennem et kommanditselskab Poreføljeeori: Inveseringsejendomme i inveseringsporeføljen - Med særlig fokus på invesering gennem e kommandiselskab Jonas Frøslev (300041) MSc in Finance Aarhus Universie, Business and Social Sciences

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET HANDELSHØJSKOLEN I ÅRHUS INSTITUT FOR FINANSIERING CAND.MERC. FINANSIERING KANDIDATAFHANDLING VEJLEDER: MICHAEL CHRISTENSEN UDARBEJDET AF: JULIE LINDBJERG NIELSEN PENGEPOLITIKKENS INDFLYDELSE PÅ AKTIEMARKEDET

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

PROSPEKT FOR. Hedgeforeningen Jyske Invest

PROSPEKT FOR. Hedgeforeningen Jyske Invest Prospek PROSPEKT FOR Hedgeforeningen Jyske Inves Ansvar for prospek Hedgeforeningen Jyske Inves er ansvarlig for prospekes indhold. Vi erklærer herved, a oplysningerne i prospeke os bekend er rigige og

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne

Pricing of Oil Derivatives. -With the SABR and Schwartz models. Prisfastsættelse af Oliederivater. -Med SABR og Schwartz modellerne Pricing of Oil Derivaives -Wih he SABR and Schwarz models Prisfassæelse af Oliederivaer -Med SABR og Schwarz modellerne Mark Søndergaard Pedersen CPR xxxxxx-xxxx Alex Rusanov CPR xxxxxx-xxxx Vejleder:

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Likviditetsanalyse med Konstant og Stokastisk Recovery i et Affint Modelsetup

Likviditetsanalyse med Konstant og Stokastisk Recovery i et Affint Modelsetup COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL, 2013 Cand.merc.(ma) KANDIDATAFHANDLING Likvidiesanalyse med Konsan og Sokasisk Recovery i e Affin Modelseup LIQUIDITY ANALYSIS IN AN AFFINE FRAMEWORK WITH CONSTANT AND STOCHASTIC

Læs mere

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller

Lektion 10 Reaktionshastigheder Epidemimodeller Lekion 1 Reakionshasigheder Epidemimodeller Simpel epidemimodel Kermack-McKendric epidemimodel Kemiske reakionshasigheder 1 Simpel epidemimodel I en populaion af N individer er I() inficerede og resen

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Værdien af den traditionelle pensionskontrakt

Værdien af den traditionelle pensionskontrakt Handelshøjskolen i Århus Erhvervsøkonomisk Insiu Kandidaafhandling cand.merc. finansiering Værdien af den radiionelle pensionskonrak En opionsbasere synsvinkel Februar 2007 Opgaven er udarbejde af: Carsen

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen

Appendisk 1. Formel beskrivelse af modellen Appendisk. Formel beskrivelse af modellen I dee appendiks foreages en mere formel opsilning af den model, der er beskreve i ariklen. Generel: Renen og alle produenpriser - eksklusiv lønnen - er give fra

Læs mere

Indekserede Obligationer

Indekserede Obligationer Insiu for Finansiering Cand. Merc. 3. emeser Lærer: vend Jacobsen Forfaere: Per Frederisen Torben Peersen Indeserede Obligaioner - En analyse af den implicie opions enise aspeer og anvendelsesmuligheder

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marcus Mølbak Inghol 17. okober 2012 Dokumenaion for regelgrundskyldspromillen Resumé: I dee modelgruppepapir dokumeneres konsrukionen af en idsrække for regelgrundskyldspromillen

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2.

MAKRO 2 KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER. - uundværlig i frembringelsen af aggregeret output og. 2. KAPITEL 7: GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER MAKRO 2 2. årsprøve Klassisk syn: JORDEN/NATUREN er en produkionsfakor, som er - uundværlig i frembringelsen af aggregere oupu og Forelæsning

Læs mere

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked

Udviklingen i boligomkostninger, efficiensanalyse samt udbuds- og priselasticitet på det Københavnske boligmarked Specialeafhandling for Cand. Merc sudie Erhvervsøkonomisk insiu Forfaere: Anne Kvis Nielsen Jan Furbo Fuglsang Pedersen Vejleder: Tom Engsed Udviklingen i boligomkosninger, efficiensanalyse sam udbuds-

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller 33 Finanspoliik i makroøkonomiske modeller Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Finanspoliik og pengepoliik er radiionel se de o vigigse økonomiske insrumener il sabilisering

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Lidt om trigonometriske funktioner

Lidt om trigonometriske funktioner DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK TRIGNMETRISKE FUNKTINER EFTERÅRET 000 Lid m rignmeriske funkiner Funkinerne cs g sin De rignmeriske funkiner defines i den elemenære maemaik ved

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014

Pensions- og hensættelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Pensions- og hensæelsesgrundlag for ATP gældende pr. 30. juni 2014 Indhold 1 Indledning 6 1.1 Lovgrundlag.............................. 6 1.2 Ordningerne.............................. 6 2 Risikofakorer

Læs mere

Teoretisk og empirisk markedskvalitetsanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 til august 2003

Teoretisk og empirisk markedskvalitetsanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 til august 2003 Insiu for Finansiering Vejleder: Carsen Tanggaard Kandidaafhandling Forfaer: Sudienummer: 243060 Teoreisk og empirisk markedskvaliesanalyse af Københavns Fondsbørs i perioden fra januar 2001 il augus 2003

Læs mere

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri N N N '(7.2120,6.( 5c' 6 (. 5 ( 7 $ 5, $ 7 ( 7 Den erhvervspoliiske værdi af søen il den danske vindmølleindusri Svend Jespersen Arbejdspapir 2002:3 Sekreariae udgiver arbejdspapirer, hvori der redegøres

Læs mere

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri

CS Klimateknik ApS Tlf.: +45 38 88 70 70 DATA OG FAKTA. Luftbehandlingsenhed MultiMAXX New Generation. ... God luft til erhverv og industri CS Klimaeknik ApS Tlf.: +45 38 88 7 7 DATA OG FAKTA Lufbehandlingsenhed MuliMAXX New Generaion... God luf il erhverv og indusri Enhedsbeskrivelse MuliMAXX Om dee kaalog Til vore kunder Med dee kaalog ønsker

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

tegnsprog Kursuskatalog 2015

tegnsprog Kursuskatalog 2015 egnsprog Kursuskaalog 2015 Hvordan finder du di niveau? Hvor holdes kurserne? Hvordan ilmelder du dig? 5 Hvad koser e kursus? 6 Tegnsprog for begyndere 8 Tegnsprog på mellemniveau 10 Tegnsprog for øvede

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Ejendomsinvestering og finansiering

Ejendomsinvestering og finansiering Ejendomsinvesering og finansiering Dag 5 1 Ejendomsinvesering og finansiering Undervisningsplan Inrodukion Inveseringsejendomsmarkede Teori- og meodegrundlag Inrodukion il måling af ejendomsafkas Renesregning

Læs mere

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13

Makroøkonomiprojekt Kartoffelkuren - Hensigter og konsekvenser Efterår 2004 HA 3. semester Gruppe 13 Side 1 af 34 Tielblad Dao: 16. december 2004 Forelæser: Ben Dalum og Björn Johnson Vejleder: Ger Villumsen Berglind Thorseinsdoir Charloa Rosenquis Daniel Skogemann Lise Pedersen Maria Rasmussen Susanne

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II

Hvordan ville en rendyrket dual indkomstskattemodel. Arbejdspapir II Hvordan ville en rendyrke dual indkomsskaemodel virke i Danmark? Simulering af en ensare ska på al kapialindkoms Arbejdspapir II Ændre opsparingsadfærd Skaeminiserie 2007 2007.II Arbejdspapir II - Ændre

Læs mere

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7

Slides til Makro 2, Forelæsning oktober 2005 Chapter 7 GRÆNSER FOR VÆKST? SOLOW-MODELLEN MED NATURRESSOURCER Slides il Makro 2, Forelæsning 9 31. okober 2005 Chaper 7 Hans Jørgen Whia-Jacobsen Ocober 26, 2005 De klassiske økonomer, Smih, Ricardo, Malhus m.fl.

Læs mere

Bestemmelse af CDS spreads ved strukturelle modeller. og Hull-White modellen

Bestemmelse af CDS spreads ved strukturelle modeller. og Hull-White modellen Copenhagen Business School Insiu for finansiering cand.merc.ma og cand.merc.fir Besemmelse af CDS spreads ved srukurelle modeller og Hull-Whie modellen Kandida afhandling 8. okober 009 Udarbejde af Erik

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik

1. Raketligningen. 1.1 Kinematiske forhold ved raketopsendelse fra jorden. Raketfysik Rakefysik. Rakeligningen Rakeligningen kan udlede ud fra iulssæningen. Vi anager a vi har en rake ed asse (), Rakeen drives fre ved a der udslynges en konsan asse µ r. idsenhed µ -d/d ed hasigheden u i

Læs mere

Beskrivelse af forskningsprojekt om FUNDAMENTALE OG FAKTISKE BOLIGPRISER I DANMARK OG SVERIGE

Beskrivelse af forskningsprojekt om FUNDAMENTALE OG FAKTISKE BOLIGPRISER I DANMARK OG SVERIGE Beskrivelse af forskningsprojek om FUNDAMENTALE OG FAKTISKE BOLIGPRISER I DANMARK OG SVERIGE Michael Bergman og Peer Birch Sørensen Økonomisk Insiu, Københavns Universie Okober 202 Projekes baggrund og

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 213 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Juli 213 Side 2 af 132 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale

Læs mere

Data og metode til bytteforholdsberegninger

Data og metode til bytteforholdsberegninger d. 3. maj 203 Daa og meode il byeforholdsberegninger Dee noa redegør for daagrundlage og beregningsmeoden bag byeforholdsberegningerne i Dansk Økonomi, forår 203.. Daagrundlag Daagrundlage for analysen

Læs mere

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast FJERNVARME 2 Muffer og fiings af plas INDHOLDSFORTEGNELSE Muffer Lige muffer Side 4 Krympemuffer Side 5 Svejsemuffer Side 6 Skydemuffer Side 7 Redukionsmuffer Side 9 Ballonmuffer Side 4 Slumuffer Side

Læs mere

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5.

Formler for spoler. An English resume is offered on page 5. An English resume is offered on page 5. Ledere En leder har ved lave frekvenser en inern selvindukion L 1 som følge af fele inde i lederen, men srømmen løber kun i de yderse,5 mm ved khz og,1 mm ved 1

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2011. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 2011 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Side 2 af 116 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale begivenheder...

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

Credit Default Swaps

Credit Default Swaps Erhvervsøkonomisk insiu Kandidaafhandling Cand.Merc.finansiering Forfaere: Brian roelsen Carsen Lundof Vejleder: Peer Løche Jørgensen Credi Defaul Swaps - en analyse af forskelle og anvendelsesmuligheder

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk)

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Arbejdspapir nr. 17/5 Tiel: Beregning af den srukurelle offenlige saldo 1 Forfaer: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Henvendelse: Michael Lund Nielsen (mln@fm.dk) Resumé: I arbejdspapire redegøres for den meode

Læs mere

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0

Micrologic overstrømsrelæer 2.0 og 5.0 Micrologic oversømsrelæer.0 og.0 Lær oversømsrelæe a kende Idenifikaion af oversømsrelæe Oversig over funkioner 4 Indsilling af oversømsrelæe 6 Indsillingsprocedure 6 Indsilling af Micrologic.0 oversømsrelæ

Læs mere

N O T A T Lønninger i banksektoren en ny analyse af lønpræmier. Kort resumé

N O T A T Lønninger i banksektoren en ny analyse af lønpræmier. Kort resumé N O T A T Lønninger i banksekoren en ny analyse af lønpræmier Kor resumé Konkurrencesyrelsen offenliggør i forbindelse med den årlige konkurrenceredegørelse beregninger på såkalde lønpræmier i danske brancher.

Læs mere

Nye data for husholdningernes bilpark; bruttostock, nettostock, afskrivninger og usercost. Version II

Nye data for husholdningernes bilpark; bruttostock, nettostock, afskrivninger og usercost. Version II Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir[Udkas] Peer Rørmose Jensen 12. Februar 24 Nye daa for husholdningernes bilpark; bruosock, neosock, afskrivninger og usercos. Version II Resumé: ADAM s variabler

Læs mere

Dansk pengeefterspørgsel

Dansk pengeefterspørgsel 45 Dansk pengeeferspørgsel 98 Allan Bødskov Andersen, Økonomisk Afdeling INDLEDNING OG SAMMENFATNING I den økonomiske lieraur har pengeeferspørgselsfunkioner ilrukke sig beydelig opmærksomhed. De skyldes

Læs mere

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger.

Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger. Opdaering af ilsande i afløbssysemer ved brug af on-line målinger. Juni 1999 Karsen Arnbjerg-Nielsen Insiu for Miljøeknologi Danmarks Tekniske Universie Dee er en nepublikaion, der kan downloades fra hp://www.im.du.dk/publicaions/fullex/1999/im1999-052.pdf

Læs mere