Matematik. Undervisningsvejledningen indeholder afsnit om:

Transkript

1 Undervisningsvejledningen indeholder afsnit om: Fagsyn - hvad er kernen i faget og hvordan bidrager faget til at opfylde avu s formålsparagraf. Didaktiske overvejelser om kriterier for undervisningens indhold og form. Metodiske overvejelser om planlægningen og gennemførelsen af undervisningen, herunder om anvendelse af IT i undervisningen. Uddybende kommentarer til prøvebestemmelserne. Vejledningen er en uddybning af bekendtgørelserne om undervisning og prøver inden for almen voksenuddannelse (avu), og har virkning fra den 1. august Som noget nyt indeholder vejledningen et særligt afsnit til brug for uddannelsesvejlederens arbejde. Matematik Matematik Undervisningsvejledning til almen voksenuddannelse Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie nr Voksenuddannelser

2 Matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie nr Udgivet af: Undervisningsministeriet Uddannelsesstyrelsen 1999

3 Undervisningsvejledning i Matematik Publikationen indgår i Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie som nr udgave, 1. oplag, september 1999: 1400 stk. ISBN ISBN (WWW) ISSN Udgivet af Undervisningsministeriet, Uddannelsesstyrelsen, Området for Folkeoplysning og voksenuddannelser Bestilles (UVM 9-035) hos: Undervisningsministeriets forlag Strandgade 100 D 1401 København K Tlf. nr Fax nr jan.alfredsson@uvm.dk eller hos boghandlere Omslag: Lilholt Warming Design Repro: Malchow A/S, Ringsted Tryk: Malchow A/S, Ringsted Trykt med vegetabilske trykfarver på 100% genbrugspapir Printed in Denmark 1999 Pris: 100 kr. inkl. moms Rabat: 10% ved køb af stk. 15% ved køb af stk. 20% ved køb af 100 stk. og derover

4 Forord Denne vejledning er en af en ny serie af vejledninger til fagene inden for almen voksenuddannelse. De gamle vejledninger tog afsæt i avu-reformen fra slutningen af 1980 erne og udtrykte den nytænkning, der var med til at skabe en egentlig kompetencegivende voksenuddannelse på et grundlæggende niveau. Op gennem 90 erne er der lavet forsøg med indholdet i en lang række fag. Der er udviklet nye spændende undervisningsmetoder, forskellige tilrettelæggelsesformer har været afprøvet og er under navnet fleksibelt tilrettelagt undervisning et efterhånden velkendt begreb. Værkstedsundervisningen har fra de første spæde skridt i 89 gennemgået en stor udvikling, så den i dag er et veletableret tilrettelæggelsesmæssigt supplement til undervisningen. På IT-området er der ligeledes sket store ændringer. Ændringer som i langt højere grad gør det muligt at integrere informationsteknologien i fagene og anvende IT som værktøj i forhold til den viden og de kvalifikationer, som fagene formidler. Nye opfattelser af undervisning, indlæring og ikke mindst læring påvirker til stadighed undervisernes praksis og daglige virkelighed. Det er alt sammen elementer, der har påvirket og udviklet avuundervisningen til det, den er i dag. Der tages ikke kun højde for voksnes behov, når de går til undervisning, men der tages også udgangspunkt i samfundets stadige forandring. Behovet for regelrevision, nye fagbeskrivelser og tilhørende vejledninger er vokset ud af denne udvikling - og de erfaringer, der i øvrigt er gjort på avu-området de sidste 10 år. 3

5 Sættes disse overvejelser ind i et større perspektiv, er almen voksenuddannelse stadig en kompetencegivende undervisning, der har til formål at sikre voksne mulighed for at forbedre eller supplere deres almene kundskaber og færdigheder. Dette skal ses ud fra det faktum, at samfundet befinder sig i en fase, hvor stort set alt er under forandring. Denne udvikling er en medvirkende årsag til det stigende fokus på uddannelsestilbudene - ikke mindst voksenuddannelserne. Vi lever i et samfund, hvor der generelt er stærkt øget efterspørgsel efter uddannelse, der er tilpasset dagens - og ikke mindst fremtidens - samfund. Teknologiudviklingen sprænger de nationale rammer, og udviklingstempoet tvinger de voksne til at revidere deres opfattelse af uddannelsesniveau og -behov. Livslang læring og tilbagevendende uddannelse er velkendte begreber for mange. Stort set alle voksne får brug for videre- og/eller efteruddannelse hele livet. Dette giver øget efterspørgsel efter blandt andet voksenuddannelsescentrenes tilbud. Almen voksenuddannelse tilbyder en bred vifte af fag og tilrettelæggelsesformer - for at imødekomme deltagernes mangeartede behov, ønsker og forudsætninger. Samfundets krav om nye kompetencer og tilrettelæggelsesformer har også haft betydning for gennemførelsen af en regelrevision på avu-området. Samtlige vejledninger indeholder: Betragtninger om fagsyn - hvad er kernen i faget og hvordan bidrager faget til at opfylde avu s formål. Didaktiske overvejelser om kriterier for undervisningens indhold og form. Metodiske overvejelser om planlægningen og gennemførelsen af undervisningen. Uddybende kommentarer til prøvebestemmelserne. Undervisningsvejledningerne er blevet til i et givtigt samarbej- 4

6 de mellem Undervisningsministeriet og en stor gruppe undervisere fra avu-området. Undervisningsministeriet ønsker her at benytte lejligheden til at sige tak til disse og til de centre, som har stillet arbejdskraft og erfaringer til rådighed under denne udviklingsproces. Uddannelsesstyrelsen, juli

7 Indhold 3 Forord 8 Fagsyn 9 Formål og mål 9 Formål 9 Mål 12 Trin, moduler og vejledende timetal 13 Matematikken og den voksnes hverdag 13 Numeralitet 16 Matematikundervisning og numeralitet 18 Matematiksvage kursister 21 Fagstof 21 Basis 25 Trin 1 25 Fælles fagstof i modul 1A og 1B 26 Fagstof i modul 1A 28 Fagstof i modul 1B 30 Trin 2 31 Fælles fagstof i modul 2A og 2B 32 Fagstof i modul 2A 33 Fagstof i modul 2B 35 Det selvvalgte problemområde 36 Eksempel på kort skriftligt oplæg 37 Arbejde med åbne problemstillinger 37 Eksempler på åbne problemstillinger 44 Matematikundervisning med udgangspunkt i emner 45 Krav til emnet 45 Valg af emne 48 Eksempler på valg af emne 6

8 53 Matematikundervisning med udgangspunkt i fagstof 53 Eksempel på fagstoforienteret basisforløb 54 Eksempel på fagstoforienteret trin 1-forløb 56 Eksempel på fagstoforienteret trin 2-forløb 58 Eksempel på et undervisningsforløb i modul 1B 65 Matematik og Samfundsfag - et eksempel på fagligt samarbejde og matematik i anvendelse 66 Levevilkår, individ og samfund 67 Det politiske system 68 Grundlæggende samfundsøkonomi 69 Danmark i international sammenhæng 70 IT i undervisningen 73 Et bud på fremtidens matematikundervisning med IT 74 Studieværkstedet 75 Eksempler på særligt matematikrelevante materialer i studieværkstedet 75 Vejledningsforløb 76 Afholdelse af minikurser 76 Studieværkstedet og arbejdet med det selvvalgte emne 77 Prøver 77 Trin 1 80 Trin 2 84 Til uddannelsesvejlederen 84 Vejledningssamtalen 85 Supplement til vejledningssamtalen 86 Matematikundervisning og personer, der ikke har dansk som førstesprog 87 Generelt om matematikundervisningen 90 Lov, bekendtgørelser og fagbeskrivelse 90 Bekendtgørelse om undervisning m.v. inden for almen voksenuddannelse i Matematik 7

9 Fagsyn Både formålet med undervisningen i Matematik, fagbeskrivelsen og denne undervisningsvejledning bygger på følgende pædagogiske antagelser: at mange voksne har svært ved at beskæftige sig aktivt med matematik - enten på grund af mangel på matematisk viden og matematiske arbejdsmetoder eller fordi matematik opfattes som abstrakt uden tilknytning til hverdagen at mange voksne på grund af deres livserfaringer er i besiddelse af en skjult matematisk kompetence, der kan aktiveres og udvikles gennem deltagelse i undervisning at voksnes faglige viden og færdigheder øges gennem aktivt arbejde med matematikundervisning, der overvejende tager udgangspunkt i private, arbejds- eller samfundsmæssige problemstillinger at matematikundervisning, der involverer kursisterne i såvel planlægning som gennemførelse, motiverer til aktivt arbejde med matematik at matematikundervisning, der er baseret på det kendte og det funktionelle, forøger kursisternes muligheder for at påvirke deres egen livssituation og giver dem mulighed for at forbedre deres forudsætninger for aktiv medvirken i samfundslivet at matematikundervisning, der planlægges, gennemføres og evalueres i samarbejde med kursisterne, øger deres generelle demokratiske kompetence. 8

10 Formål og mål Formål I fagbeskrivelsen for Matematik er der fastsat følgende formål: Formålet med undervisningen er at sikre kursisten mulighed for at tilegne sig viden og færdigheder for at kunne forstå og aktivt anvende matematik i såvel private som arbejds- og samfundsmæssige sammenhænge. Undervisningen skal give kursisten mulighed for at opnå sikkerhed i at overskue, analysere, beskrive og behandle autentiske data, informationer og problemstillinger af matematisk art. Matematikundervisningen skal altså give kursisterne mulighed for at opnå såvel demokratisk som personlig og videreuddannelsesmæssig kompetence, og det er derfor centralt, at undervisningen tager udgangspunkt i problemstillinger, kursisterne kan møde i dagligdagen. En matematisk disciplins praktiske anvendelse prioriteres højere end disciplinens teoretiske grundlag. Mål Det enkelte trins faglige mål er slutmål, altså beskrivelser af kursistens viden og færdigheder efter at have arbejdet med det indhold inden for de 3 faglige hovedområder, der er angivet i fagbeskrivelsen. 9

11 Fagbeskrivelsen fastsætter følgende mål for undervisningen: Basis Undervisningens mål er, at kursisten har grundlæggende matematiske færdigheder har kendskab til matematiske begreber, arbejdsmetoder og udtryksformer kan udvælge, fortolke og behandle matematikrelevante data i simple informationsmaterialer fra dagligdagen. Basisundervisningen skal give kursisterne mulighed for med udgangspunkt i de autentiske og aktuelle informationer, kursisterne kan møde i deres hverdag, at blive fortrolige med tal og talbehandling. Basisundervisningen skal desuden bidrage til kursisternes forståelse af egen rolle i forbindelse med planlægningen af undervisningen, egen læringsstil og ansvarsfordelingen i forbindelse med læring og undervisning. Trin 1 Undervisningens mål er, at kursisten kan anvende matematikken som redskab til beskrivelse og løsning af enkle problemstillinger fra hverdagen kan udvælge, fortolke, behandle og vurdere matematikrelevante data i overskuelige, autentiske informationsmaterialer har viden om matematiske begreber, arbejdsmetoder og udtryksformer kan vurdere egne løsninger. Undervisningen bygger på, at kursisterne har viden og færdigheder svarende til indholdet af basis og dermed er i stand til at arbejde med matematisk fagstof i private og arbejdsmæssige sammenhænge - fx budget, lønseddel og skat - samt at analysere og vurdere informationsmaterialer og fremkomne resultater. 10

12 Trin 2 Undervisningens mål er, at kursisten kan anvende matematikken som redskab til analyse, beskrivelse og løsning af mere komplicerede problemstillinger kan udvælge, fortolke, behandle og vurdere informationer i autentiske informationsmaterialer har sikkerhed i rutinemæssige matematiske operationer kan systematisere og omsætte givne oplysninger til matematikkens sprog har indblik i den rolle matematikken spiller i mere generelle samfundsmæssige spørgsmål selvstændigt kan formidle matematiske problemstillinger. Undervisningen bygger på, at kursisterne har viden og færdigheder svarende til indholdet af undervisningen på trin 1 og dermed er i stand til at arbejde med problemstillinger af såvel mere teoretisk matematisk som arbejds- og samfundsmæssig art. 11

13 Trin, moduler og vejledende timetal Faget Matematik er som det fremgår af fagbeskrivelsen opdelt i basis, trin 1 bestående af modulerne 1A og 1B og trin 2 bestående af modulerne 2A og 2B. Trin 1 og 2 afsluttes med prøve på henholdsvis niveau G og E. Basismatematik består af et modul. Vejledende timetal Basis Matematik 1 Matematik 2 60 lektioner 2 moduler a 80 lektioner 2 moduler a 120 lektioner Undervisningen, herunder de vejledende timetal på et modul, tager normalt udgangspunkt i, at kursisterne har viden og færdigheder svarende til det foregående modul. Fx bygger undervisningen på modul 1A på, at kursisterne har kendskab til faget svarende til basis, ligesom undervisningen på modul 2B bygger på, at kursisterne har kendskab til faget svarende til modul 2A. Kursister, der ikke er i besiddelse af disse forudsætninger, henvises til støtte i studieværkstedet eller andre fleksible aktiviteter, der bygger på individuelle ønsker, behov og forudsætninger samt selvstændigt arbejde med eller uden vejledning. Gælder de manglende forudsætninger hele hold, kan ovenstående naturligvis også iværksættes, men i denne situation bør en forhøjelse af det vejledende timetal desuden indgå i overvejelserne om hjælp og støtte. 12

14 Matematikken og den voksnes hverdag Vores hverdag er fyldt med tal, beregninger, kurver og figurer, men selv om der indgår matematik i omgangen med uret, køreplanen, madlavningen, pengesagerne og medierne, så er matematikken ofte usynlig. Den voksnes opfattelse af matematik stammer fra skolens matematikundervisning, og hverdagens aktiviteter minder ikke nødvendigvis om skolematematikken. Matematikken forsvinder i hverdagens sammenhænge, og derfor mener mange ikke, at de bruger eller møder matematik i dagligdagen. Denne opfattelse har ikke stor betydning for hverdagens gøremål, men opfattelsen kan blive problematisk, når den voksne begynder på matematikundervisning på avu. Numeralitet Ordet numeralitet omfatter begreber, der skal gøre det lettere at beskrive den usynlige matematik i hverdagen. Numeralitet er betegnelsen for de matematikkompetencer, som alle mennesker principielt har brug for - de funktionelle matematikfærdigheder og matematikforståelser, som er relevante for alle. Numeralitet er altså ikke de isolerede færdigheder, fx at gange brøken 2/5 med 7, eller at omregne den til 40 %, men fx det at ændre madopskrifter, således at de svarer til det antal, der skal spise maden. Numeralitet er også at vurdere størrelsesforhold mellem de mange tal, der præsenteres i medierne, således at den flydende informationsstrøm kan omsættes til viden og indsigt: Politikens netavis 24. marts 1999: Svensk tvivl om mammografi En svensk undersøgelse af over kvinder viser, at screening for brystkræft med mammografi langt fra har den effekt på kvinders overlevelse, man hidtil har antaget. 13

15 Undersøgelsen har vurderet dødeligheden af brystkræft i Sverige i perioden Den konkluderer, at på trods af omfattende mammografiscreeninger er dødeligheden som følge af brystkræft i denne årrække kun reduceret med 0,8 pct. i forhold til det forventede. Lægeforeningens etiske udvalg vil nu bede Sundhedsstyrelsen vurdere den opsigtsvækkende undersøgelse, som imidlertid kritiseres hårdt af flere eksperter. Internetavisen Jyllandsposten 8. august 1999 Tusindvis af biler med fejl i trafikken DAF anfører, at der inden nytår er ca personbiler, som ikke vil være synet i henhold til Danmarks tilslutning til fælles EU-regler for periodisk syn. 40 % af samtlige personbiler over fire år vil ikke være synet. Ifølge Statens Bilinspektion fandt man fejl ved de første biler, der har været igennem det periodiske bilsyn. 26,3 % af fejlene var ved bremserne, og det bekymrer bilforhandlerne. De biler, der venter på at komme til syn, er givetvis i samme stand. Det svarer i værste fald til, at biler nu kører rundt på vejene med halvdårlige bremser og udgør en risiko i trafikken. Det bør gøres til genstand for en offentlig debat. Problemet er for få ressourcer til bilinspektionerne. Flere fejl ved hver bil I Statens Bilinspektion påpeger informationskonsulent Arne Rud Christensen, at den enkelte bil kan have flere fejl. Derfor er der ikke biler med bremsefejl, fordi fejlene kan sidde på færre køretøjer. Så tallet er lavere. Hvis vi kunne have holdt takten i bilsynene, havde bilerne været til syn nu, siger han. 14

16 Numeralitet omfatter indsigt i og metoder til forståelse og håndtering af mønstre, størrelser, rum og relationer brugt i hverdagssituationer, der ikke på forhånd er beskrevet matematisk eller tilrettelagt for matematisk behandling. De matematiske færdigheder og forståelser, der ligger i numeraliteten, er tal- og rumfornemmelse håndtering af procenter og andele diagram- og formelforståelse beherskelse af overslagsregning opstilling af relevante regnestykker vurdering af regneresultater. I hverdagen bruges disse matematiske færdigheder og forståelser altid med en bestemt personlig hensigt i en bestemt sammenhæng i et bestemt medium. Hensigten er afgørende for brugen af matematik og kan variere. Hensigten kan fx være: at tjene penge at øge sin prestige at spare at være sammen at lege at diskutere at kontrollere at blive informeret at more sig at få tiden til at gå at få besked at forstå. Brugen af matematik kan hos den enkelte person være knyttet til en begrænset sammenhæng. Selv om man kan klare hushold- 15

17 ningsregnskabet, er det ikke givet, at man kan klare at være kasserer i en forening, heller ikke selv om omsætningen i hjemmet er større end i foreningen. En persons matematiske kompetence kan ofte ikke overføres fra én sammenhæng til en anden. Brugen af matematik tager udgangspunkt i og foregår i bestemte medier. De voksnes grundskolematematik er for en stor dels vedkommende foregået på papir med tal og symboler, men i hverdagen indgår matematikken både i visuelle og auditive medier. Matematikundervisning og numeralitet Undervisningen bør overvejende tage udgangspunkt i autentiske informationsmaterialer på papir eller skærm. Informationsmaterialerne kan være prosatekster, opslagstekster eller udfyldningstekster. Fagblade, livsstilsmagasiner, reklamer, aviser, internetsider, optagelsesprøver til uddannelser, brugsanvisninger, ansættelsesprøver til arbejdspladser eller udfyldningsskemaer til offentlige myndigheder kan være fortrinlige kilder til sådanne informationer. Det matematikholdige i de nævnte autentiske materialer findes især i formidling af undersøgelsesresultater, prognoser, kampagner, beskrivelser af beslutninger og beslutningsgrundlag, men også i annoncer, propagandatekster, brugs- og konstruktionsanvisninger, konkurrencer, skemaer til skatteberegning, låneansøgninger m.m. Kursisten kan gennem arbejdet med autentiske informationsmaterialer udbygge sit kendskab til, hvilke spørgsmål som kan - eller ikke kan - besvares ved hjælp af matematik. Man kan fx arbejde med problemstillinger som: Hvilke beregninger ligger bag tallene? Hvilke konklusioner kan man drage af denne undersøgelse med de givne forudsætninger? 16

18 Ville det være mere klart, hvis oplysningerne var opgivet i eksakte tal i stedet for i procenter? Kunne der være tale om forsøg på manipulation i denne grafiske fremstilling? Hvem er afsender af dette materiale - og hvilken betydning har det for forståelsen af materialets indhold/budskab? Hvilket tilbud er billigst, og hvad betyder det for mig og mine omgivelser? Svar på visse spørgsmål kan kræve telefoninterview med journalister, undersøgelser blandt folk på gaden, samtaler med fagfolk eller nærmere undersøgelse på internettet. Vigtigst er det dog, at kursisterne arbejder med spørgsmål, som kunne være autentiske spørgsmål i hverdagen. Undervisningen kan tilrettelægges på flere forskellige måder og kan fx organiseres som problemorienteret projektarbejde, hvor kursisterne i samråd med læreren formulerer en problemstilling og undersøger den organiseres som mesterlære, hvor læreren giver eksempler på materialer eller problemstillinger, han selv er optaget af, og eksempler på metoder, som han ville anvende. Kursisterne afprøver herefter lærerens opskrift på andre problemstillinger eller materialer organiseres som reel brug af numeralitet in natura. Kursisterne arrangerer fx fælles frokost, foretager indsamling til humanitære formål eller arbejder med aktuelle begivenheder uden for VUC organiseres i korte sekvenser udfra en annonce, et diagram, et bykort eller et åbent spørgsmål som Hvor skal du hen på ferie? Kursisterne stiller selv matematikspørgsmål til oplægget og besvarer dem. Lærere og kursister diskuterer de forskellige resultater og løsningsstrategier. Dette kan tydeliggøre, at der kan ligge forskellige metoder og tankegange bag 17

19 resultatet af en opgave, og at forskellige måder at regne og tænke på kan føre til forskellige, men ud fra forudsætningerne korrekte resultater. Uanset hvordan undervisningen tilrettelægges, er det af stor vigtighed, at undervisningen indeholder eksempler på matematikbrug i en bred vifte af personlige hensigter, i en bred vifte af sammenhænge og i en bred vifte af medier. Matematiksvage kursister Som alle kursister, der følger avu-undervisning, er de matematiksvage kursister forskellige, men der er dog to typiske fællestræk ved denne kursistgruppe. Det ene er, at de har en opfattelse af, at de ikke kan matematik, og hvis, der er noget, de kan, så må det være fordi, det ikke er matematik. Sagt på en 18

20 anden måde: Jeg kan ikke matematik. Det, jeg kan, er ikke rigtig matematik, men bare regning og sund fornuft. I undervisningen er det derfor vigtigt at arbejde grundigt med, at det kursisterne faktisk kan er matematik eller i hvert fald indeholder matematik, men at denne matematik ofte er tavst indlejret i deres regnefærdigheder og sunde fornuft. Det andet fællestræk for mange matematiksvage kursister er modstand og blokeringer. Modstand og blokeringer er fænomener, der kan vedrøre alle fagområder, men de findes i særlig stor målestok og på en særlig vedholdende måde i forhold til matematik. For at gøre den kursist, der tidligere har oplevet vanskeligheder med matematiklæring, mere bevidst om, at han ikke er den eneste på holdet, der har sådanne oplevelser, er det vigtigt at gennemføre åbne samtaler om undervisning og læring. Mange voksne har den opfattelse, at den mest betydende faktor for matematiklæring er den lærer, der underviser. Denne opfattelse er et udmærket udgangspunkt for samtale og diskussion om, hvad der er afgørende for kursisternes hidtidige matematikoplevelser og for deres undervisning og læring på avumatematik. Følgende problemstillinger kan fx overvejes og drøftes: Hvad var kursisternes folkeskolelærere og/eller voksenundervisere gode og dårlige til? Hvad gjorde de, hvad sagde de, og hvilken betydning havde det for, hvad kursisterne lærte, for deres arbejdsindsats, selvtillid, samarbejde, syn på faget og på deres faglige dygtighed og formåen? Nogle kursister tror, at matematikevner kan hierarkiseres og måles, ligeså præcist som hvor gode en flok løbere er til 100 m-løb, og at matematikevner bestemmes af gener eller af oplevelser i den tidlige barndom og de første skoleår. Denne tro kan konfronteres med og udfordres af en anden tro, nemlig troen på, at alle normalt begavede kan lære fx at forstå 19

21 20 og regne med brøker og ligninger, men at forskellen mellem menneskers læring ligger i forskelle i læringsstil, motivation, behov, erfaringsunivers og behov for hjælp og hjælpemidler.

22 Fagstof De følgende beskrivelser af fagstof er beskrivelser af minimumskrav. I arbejdet med fagstoffet inddrages informationsteknologiske læremidler. Basis De 4 regningsarter inden for hele tal og decimaltal, herunder afrundingsregler I forbindelse med afrunding fokuseres på, at antallet af decimaler ved afrunding afgøres af den sammenhæng, hvori tallet indgår, medmindre der forlanges et bestemt antal decimaler. Overslagsregning Ud fra paktiske situationer fx indkøb i et supermarked arbejdes med tal og talfornemmelse, tierafrunding samt praktiske talsammensætninger: = (8+2) + (5 +5) = = 20. Brøkbegrebet Centralt i undervisningen er sammenhængen mellem division og brøkdele, og der arbejdes med brøkernes indbyrdes størrelse, brøkdele af helheder samt brøkers sammenhæng med decimaltal og procenter. Simpel procentregning Beregning af en procentdel af en helhed fx: find 15 % af 400. Omsætning mellem decimaltal og procenter fx: skriv 34 % som decimaltal eller skriv 1,5 om til procent. Reduktion af enkle bogstavudtryk og løsning af ligninger Eksempler på reduktionsopgaver: 2a + 3a + 4 eller 5 2d. Eksempler på ligninger: 3x = 9 eller p + 1 =

23 En ligning kan også være gemt i en simpel tekst fx: hvilket tal skal man trække fra 74 for at få 32? I arbejdet med både ligninger og reduktionsopgaver bør valg af anvendte bogstaver varieres. Såvel gætte- som beregningsmetode for ligninger betragtes som gyldige. Funktionsbegrebet Funktionsbegrebet belyses gennem eksempler på talmæssige sammenhænge hentet fra dagligdagen. Fx sammenhængen mellem stykprisen for en vare og den samlede pris for et bestemt antal af den pågældende vare. Enkle statistiske beskrivelser Der arbejdes med indsamling og bearbejdning af enkle data. Begreberne observation, hyppighed, størsteværdi, mindsteværdi og typetal indføres. Kursisterne skal kunne fremstille et pindediagram ud fra en simpel tabel, fx: ved en konkurrence opnåede deltagerne følgende resultater: Antal point Antal deltagere Aflæsning af enkle tabeller og diagrammer Overskuelige og entydige tabeller samt pinde- og cirkeldiagrammmer skal kunne aflæses. Grafer i koordinatsystemet skal kunne aflæses fra førsteaksen. 22

24 Eksempel: Diagrammet viser fordelingen af karakterer ved en matematikprøve. 20 Karakterfordeling 15 Hyppighed Karakterer Spørgsmål af typen: Hvor mange kursister fik karakteren 9? Er det rigtigt, at mere end halvdelen af kursisterne fik over 8? - skal kunne besvares. Areal- og rumfangsgeometri Med udgangspunkt i konkrete eksempler fra hverdagen arbejdes med begreberne: længde, areal og rumfang målestoksforhold omsætning mellem enheder. Problemstillinger som: Hvor stort må køleskabet være, når det skal stå i det gamle kosteskab? Hvilket af de to annoncerede køleskabe giver mest plads for pengene? 23

25 Hvor stort skal køleskabet være for at dække min families behov? - kan danne grundlag for arbejdet. Areal- og rumfangsberegninger omfatter rektangler og kasser. I arbejdet med målestoksforhold skal kursisterne kunne omsætte mål på et kort eller en arbejdstegning til virkelige mål. Omsætning mellem enheder omfatter omsætninger fra: km til m, m til cm, cm til mm kg til g liter til dl timer til minutter og omvendt. 24

26 Trin 1 Undervisningen på trin 1 tager overvejende udgangspunkt i private og arbejdsmæssige problemstillinger fx budgetlægning, husholdningsregnskab, opskrifter og brugsanvisninger, løn og skat, befordring, lån og opsparing, reparations- og vedligeholdelsesarbejde, forskellige lønsystemer samt figurer og tegninger. Overskuelige, aktuelle og autentiske informationsmaterialer fremskaffet af såvel kursister som lærer danner grundlag for arbejdet. Fælles fagstof i modul 1A og 1B De 4 regningsarter inden for de rationale tal Præcision i beregninger og resultater - herunder antal decimaler - diskuteres løbende. Procentregning Beregning af stigning/fald i procent i forhold til oprindeligt tal: en vares pris stiger fra 12 kr. til 15 kr. Hvor mange procent bliver varen dyrere? Beregning af oprindelige størrelse efter en procentændring: en vares pris er steget 10 %. Varen koster nu 22 kr. Hvor meget kostede den før? Procentpoint indføres som begreb: hvis vælgertilslutningen stiger fra 15,5 % til 17,8 %, er stigningen 2,3 procentpoint. Simple matematiske modeller Kursisterne skal selvstændigt kunne anvende og opbygge simple modeller med og uden brug af informationsteknologiske læremidler. Arbejdet omfatter fx: K = s 3-5. Hvordan påvirkes K af ændringer i værdien af s? Opbyg en model, der beskriver udgiften til elektricitet, når den faste afgift er 350 kr. pr. kvartal og prisen pr. kwh er 1,17 kr. Opstil i et regneark på baggrund af dette års indtægter og udgifter et simpelt budget for næste år 25

27 Opbyg regnearksmodeller til beregning af arealer af kvadrater, rektangler og cirkler. Simulation I forbindelse med arbejdet med matematiske modeller arbejdes med problemstillinger af typen: Hvordan vil det påvirke familiens økonomi, hvis moren går på nedsat arbejdstid? Hvad betyder det for arealet af et rektangel, at siderne ændrer længde? Konsekvenserne af ændringer i forskellige parametre i modeller og formler diskuteres. Ud over manuelle beregninger arbejdes med regneark og andre IT-baserede simulationsprogrammer fx budget- og skatteprogrammer fra pengeinstitutter. Funktionsbegrebet Med udgangspunkt i daglige sammenhænge arbejdes med funktioner og deres grafiske billeder. Ved hjælp af givne funktionsforskrifter skal kursisterne kunne finde sammenhængende værdier og indtegne funktionernes grafiske billeder i et koordinatsystem. Funktionsforskrifterne kan være: y = -2,2x + 4,5 y = 2 x +2,2 y = 3x 2 + 3,3 x +2 IT-baserede funktionsregne- og tegneprogrammer bør indgå i arbejdet med funktioner. Fagstof i modul 1A Indføring i potenser, kvadrat- og kubikrødder Der arbejdes med potenser, kvadrat- og kubikrødder ud fra definitionerne og ved hjælp af lommeregner, fx: 4 3 = = 64 (-3,6) 3 = (-3,6) (-3,6) (-3,6) = -46,656 26

28 p 5 = p p p p p kvadratroden af 16,1604 = 4,02 kubikroden af 79,507 = 4,3 Grundlæggende algebra, herunder reduktion af bogstavudtryk samt parentesregler - i forbindelse med formler og løsning af ligninger Den grundlæggende algebras hovedformål er at være hjælpeværktøj til ligningsløsning og formelregning. Eksempler på grundlæggende algebra: 4a + 3j - 3a = a + 3j 2,7(4,2 + 2,25x) = 11,34 + 6,075x 4a - 3(-a + 2p) = 4a + 3a - 6p = 7a - 6p Ligninger af 1. grad Der arbejdes med løsning af ligninger, når arbejdet kan indgå naturligt og hensigtsmæssigt i undervisningen. Der skal indgå løsning af ligninger af typen: 4x + 2 = 3x - 1 4,2(52,2a + 7) = 37,2 + a. Den lineære funktion Kursisterne skal kunne identificere y = ax + b, som forskriften for en lineær funktion. IT-baserede funktionsregne- og tegneprogrammer indgår i arbejdet med den lineære funktion. Simpel rente Der arbejdes med renter inden for én og samme rentetermin. Antallet af rentedage beregnes efter de regler, der gælder i pengeinstitutter. Valuta Der arbejdes med begrebet kurs og ud fra aktuelle kurslister med omregning mellem fremmed og dansk valuta. 27