MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM)

Transkript

1 Silkeborg MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & ALMENT GYMNASIUM) Udarbejdet af matematiklærere fra HF, HHX, HTX & Det Almene Gymnasium. PS: Hvis du opdager fejl i kompendiet/løsningerne, så send venligst besked til fk@silkeborg-gym.dk

2 Indhold. Indledning side.. Regnearternes hierarki og parenteser side 5.. Brøkregning side 6.. Reduktion side 7.5. Ligninger side 0.6. Uligheder side.7. Den rette linje side.8. Proportionalitet side 6.9. Potensregning side 0.0. Procentregning side.. Trekantsberegninger side.. Blandede, sværere opgaver side 8 Side

3 . Indledning Mange elever oplever, at det er svært at starte på en gymnasial ungdomsuddannelse. Dette skyldes naturligvis blandt andet, at man skal til at vænne sig til en anden skole, til andre lærere, til andre klassekammerater, til flere lektier o.s.v. Erfaringen viser, at en del elever specielt synes, at faget matematik volder problemer ved overgangen fra grundskolen til en gymnasial uddannelse. Som følge heraf, er vi en gruppe matematiklærere, der repræsenterer alle de gymnasiale ungdomsuddannelser i Silkeborg (HF, HHX, HTX & Det Almene Gymnasium), som har lavet dette lille kompendium. Kompendiet henvender sig primært til elever, der ved (eller tror), at de vil starte på en gymnasial ungdomsuddannelse. Meningen er, at såfremt man har lyst til at bruge lidt tid på at ruste sig til sin fremtidige uddannelse, kan man med udbytte arbejde med opgaverne i dette kompendium. Ud fra læseplanen for matematik i folkeskolen m.m. kan vi se, at folkeskoleelever er bekendt med alle de emner, som vi præsenterer i dette kompendium. Det drejer sig derfor primært om at opnå rutine. Matematik er jo på mange måder som et sprog: Hvis man ikke jævnligt bruger sit tysk, vil man med tiden glemme, hvordan man taler tysk. Hvis man skal være sikker bruger af sproget matematik, skal man altså øve sig. De emner, som er specielt relevante at arbejde med er:.. Regnearternes hierarki og parenteser. Regnearternes hierarki:. Potensopløftning (a n )og roduddragning ( a ). Multiplikation og division (dvs. gange og dividere). Addition og subtraktion (dvs. plus og minus).. Brøkregning Regneoperation Generelt Eksempel Addition og subtraktion af brøker ved at finde fælles 7 nævner. + = 6 Tal ganget med brøk b a b a = = = c c 6 To brøker ganget med hinanden En brøk divideret med et tal a b c d a c = b d a a : c = b b c 7 5 : 7 = = 7 5 = = En brøk divideret med en brøk a b : c d = a d b c : 5 5 = = 5 6 Side

4 .. Reduktion Kvadratsætninger Eksempler (a+b) = a + b + ab (+) = (a b) = a + b ab (a ) = a + a (a+b)(a b) = a b (b+5)(b 5) = b 5 Andre eksempler: ++++ = 5 = 5.5. Ligninger Udtryk, hvor skal isoleres. + 5 = Uligheder Udtryk, hvor skal isoleres. Lighedstegnet er erstattet af et ulighedstegn. + 5 > Den rette linje Ligning for en ret linje: y = a + b a: b: Kaldes hældningskoefficienten eller stigningstallet og angiver, hvor meget y-værdien vokser eller aftager, når -værdien forøges med. Kaldes konstantleddet, og angiver linjens skæringspunkt med y-aksen Eksempel: y = +.8. Proportionalitet Generelt Eksempel Ligefrem proportionalitet y = a y = Omvendt proportionalitet y = a y = 5 Side

5 .9. Potensregneregler Generelt Eksempel a n a m = a n+m a a = a + = a 7 n 5 a n m a 5 = a = a = a m a a a n b n = (a b) n a b = (a b) a b n n a = b n a b 7 7 a = b n m n m ( a ) = a ( a ) = a = a n = a = a n a a 7.0. Procentregning.. Trekantsberegninger.. Blandede, sværere opgaver Her kan der være tale om tekstopgaver, hvor man selv skal oversætte til matematisk sprog. Der kan også være tale om opgaver, der er relateret til bestemte uddannelsformer. Det er vigtigt at bemærke, at man godt kan starte på en gymnasial uddannelse uden at kunne regne alle de opgaver, der er i kompendiet! Side

6 . Regnearternes hierarki og parenteser... Beregn følgende tal uden brug af lommeregner. a) 6+ b) 5 7+ d) 5+ e) 8 5+ f) Beregn følgende tal uden brug af lommeregner. a) b) d) ( 5) g) + e) h) 5 f) +( ) i) +.. Beregn følgende tal uden brug af lommeregner. a) +(5 ) b) (+) ( ) d) 7 (+( ) ) e) 5 ( ) ( ) f) ( ) ( ).. Reducer følgende udtryk, så de ikke indeholder parenteser. a) (+) b) 7a+( a) 6 (5 b)+b d) 8 ( +5) ( 6) e) (6z+) ( z) f) 5 ( ) Side 5

7 . Brøkregning.. a) Hvilket tal står som tæller i brøken 8? b) Hvilket tal står som nævner i brøken 5?.. Beregn følgende tal uden brug af lommeregner. Resultatet skal angives som en uforkortelig brøk. a) + b) + 5 d) + g) + e) h) + 5 f) Beregn følgende tal uden brug af lommeregner. Resultatet skal angives som en uforkortelig brøk. a) b) d) e) Beregn følgende tal uden brug af lommeregner. Resultatet skal angives som en uforkortelig brøk. a) : 7 b) : : 5.5. Forkort nedenstående brøker mest muligt. a) b) 7 7 a d) a e) Side 6

8 . Reduktion.. Reducer nedenstående udtryk mest muligt. a) + 5 b) 7 5 (+) d) + ( ) e) 6+ (+ ( )) f) a+ (a ).. Reducer nedenstående udtryk mest muligt. a) 5 ( z) 9 + 6z b) (+) 7(+a) (0+6a) d) 6(+) 6 g) ( ) ( )+ e) +( ) 5 h) (+8)+ f) 7 (+) 7 i) 6( )+.. Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte en faktor uden for parentes. Eksempel: +6y+=(+y+) a) +y d) b+ab g) 0+0y b) 8 e) 5 y h) 7s qs 9a 6b f) ab ac.. Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte en faktor uden for parentes. Eksempel: (+)+6(+)=(+)(+6)=9(+) a) (a+b) (a+b) d) (+)5+(+)a b) y(+z) (+z) e) 5(a b) c(a b) (a+)b (a+)c f) ( y)a+( y)a.5. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (5) b) (5) () () d) (6) ( ) e) (6y) Side 7

9 .6. Omskriv nedenstående udtryk ved at gange parenteserne sammen: a) ( )(+) b) ( )(+7) (+)(+) d) (a )(+a) e) (y )( y) f) (q+)( q).7. Omskriv nedenstående udtryk ved at gange parenteserne sammen: a) ( )(+) b) ( )(+) (y+)( 7y) d) (00+5)(0 ) e) (5q+)(q ) f) ( ( Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (a+) +(a+)(a+) b) a a+(a+) (a ) +(a+) d) 5+a+(a ) g) (y+7) y y e) (a+)(a )+a +9 h) (+) (+)(+) f) ( )(+).9. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (y+) 6y b) (z+) (+z) ( a+) +a d) ( +) 9 e) (t+)(t ) f) (5 (5+.0. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (a+) (a+)(a+) b) a a (a+) (a ) (a+) d) 5+a (a ) e) (w+)(w ) (w+) f) (z ) (z ).. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (d+) (d+) +5d b) (+) (+) (c ) (.. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) (+y) ( y) b) (a+b)(a b) ab+b ( y) (+y) d) (a +(a+ e) (a+b+ a b c f) (+y) (+y)( y) Side 8

10 .. Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) + b) d) + 9 e) 0 f) Reducer nedenstående udtryk mest muligt: a) b) d) ( + ) 8( + ) e) b ab 5a 5 f) 5( a b) ( a b) 0.5. Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte på fælles brøkstreg: a) + b) d) + a a e) + a a f) Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte på fælles brøkstreg: a) + a b b) + a b + b a d) + 6y e) + b 5a f) a b 6ab + Side 9

11 5. Ligninger: Eksempel: Løs følgende ligning: ( - ) = G = R ( ) = + 6 c 6 = + 6 c + = c = c = L = {} Opgaver: Løs følgende ligninger = ( + ) = ( - ) = ( + ) = - ( + ) = = 6 + Side 0

12 5.7-5( - ) = = = = = = = = ( - 5) + = - Side

13 6. Uligheder: Eksempel: > 5 er større end 5 ( 5 kan ikke bruges) ] 5 ; [ Eksempel: < er mindre end eller lig med ( kan godt bruges) ] - ; ] : betyder eller. : betyder og. Opgaver: Skriv med ord, hvad følgende betyder (prøv evt. at skrive i mængdetegn) : < 5 - < < 5 - < < 6 > <6 > <5 -<< > <7 Side

14 Eksempel: Løs følgende ulighed: - > + G= R > + c > + c > 7 c > c 7 > L = [ ; ] Opgaver: Løs følgende uligheder 6. - > < < > < < > < > < < < > - + Side

15 7. Den rette linie: Eksempel: Tegne grafen for linien: y = - Metode. Der laves et "sildeben". I dette beregnes nogle støttepunkter. X 0 y = - 0 = = = 0 Vi ved nu, at punkterne ( 0, - ), (, ) og (, 0 ) ligger på linien. Disse punkter indtegnes i et koordinatsystem - og forbindes. Metode. Ret linie. Skærer y-aksen i punktet ( 0, - ) Hældningstallet er. Dvs. fra ( 0, - ) går man en hen og op. Her har vi et punkt mere. Punkterne forbindes. Side

16 Opgaver: 7. Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = - + b. y = - 6 c. y = Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = + b. y = - - c. y = Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = - + b. y = - 6 c. y = Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = - + b. y = - c. y = 7.5 Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = b. y = - 6 c. y = Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = - + b. y = c. y = - + Side 5

17 8. Proportionalitet Ligefrem proportionalitet: Ligning: y = a Forholdet mellem - og y - værdierne er konstant Eksempel: Grafen for linien y = Grafen er en ret linie, der går gennem ( 0, 0 ). Hældningstallet er. 8 y Opgaver 8. Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = b. y = - c. y = 8. Tegn følgende linier i samme koordinatsystem: a. y = - b. y = c. y = Side 6

18 8. Undersøg om følgende tal er proportionale:,5,7, 6, 9,9 y,5,05 6,5 9,5,85 Tegn (,y) - værdierne ind i et koordinatsystem. 8. Undersøg om følgende tal er proportionale:,5,5 6 y -,5 -,875 -,5 - -,5 Tegn (,y) - værdierne ind i et koordinatsystem 8.5 Undersøg om følgende tal er proportionale: 5 6 y,5,5 5,6 6,5 7, Tegn (,y) - værdierne ind i et koordinatsystem 8.6 Nedenfor er tegnet fire grafer i samme koordinatsystem. Hvad er hældningstallene for graferne? Find ligningerne for graferne. 8 y a 6 b c -6-8 d Side 7

19 Omvendt proportionalitet Ligning: y = a Karakteristisk er det at ganget med y giver et konstant tal, dvs. at vokser i samme "takt" som y aftager: y Eksempel: Grafen for y = 8 y Opgaver Tegn graferne for 8.7 a. y = b. y = 0,5 c. y = Side 8

20 8.8 Undersøg om følgende tal er omvendt proportionale: y 5,,6, 0,65 0,5 Tegn (,y) - værdierne ind i et koordinatsystem 8.9 Undersøg om følgende tal er omvendt proportionale: y,,6 0,7 0, 0,5 Tegn (,y) - værdierne ind i et koordinatsystem Side 9

21 9. Potensregning Alle opgaverne i dette afsnit regnes uden lommeregner 9. Reducér følgende udtryk a) 5 b) d) e) f) 9 9 g) 9. Reducér følgende udtryk 7 a) d) b) 0 ( ) e) ( ) f) Reducér følgende udtryk a) d) b) (6 ) e) 6 5 (0 ) 0 (0 ) 5 9. Reducér følgende udtryk ( ) ( a) ) 7 b) 7 ( ) ( ) ( ) m a a d) n a n+ Side 0

22 9.5 Reducér følgende udtryk a) 7 b) 5 0 a 6 a 0 a d) (-5) - - (-) - e) (-5) Reducér følgende udtryk ( ) 5 a) ( ) y d) ( ) b) ( 5) 6 a b c (ab 9.7 Reducér følgende udtryk a) (( ) ) b) ( ) ( 5 ) d) (( 5 ) ) e) ( (( ) ) f) 5 ((( ) ) ) g) (( a ) ) Side

23 0. Procentregning 0. Udregn ved hjælp af lommeregner a) Hvad er % af 7? b) Hvad er 6% af 7,5? Hvad er 8,7% af,6? d) Hvor mange % er 7 af? e) Hvor mange % er 5 af 00? f) Hvor mange % er, af 78? g) Hvor mange % er af 5 h) Hvor mange % er 7 af Skemaet nedenfor indeholder oplysninger om nogle varer som er sat ned fra en gl. pris til en ny pris. Udfyld resten af skemaet. Gl. pris Rabat, kr Rabat, % 5% 8% % 0% 0% Ny pris Samme som opgave 0. Gl. pris Rabat, kr. 9, Rabat, % 0% % 5% % Ny pris Side

24 . Trekantsberegninger. I den retvinklede trekant ABC er a = 7 og b =. M c er midtpunktet af siden AB. Beregn længden af medianen CM c. Bevis at vinkel AM c C = B, og at vinkel BM c C = A. C I den retvinklede trekant ABC er a = 7 og b =. H c er fodpunktet af højden fra C. 7 Beregn CH c. A H c B C. I trekant ABC er AC = BC, AB = 0 og CH c = 0. Bestem længderne AH a og BH b af de to andre højder. H b H a A H c B B. 7 I en retvinklet trekant ABC er AH c = 8 og BH c = 7. Beregn længderne af trekantens kateter samt længden af højden fra C. H c 8 Side C A

25 .5 C I trekant ABC er A = 60 og B = 0. Bevis, at den mindste katete er halvt så stor som hypotenusen (hjælp: spejl trekanten i linien BC), og at den største katete er gange så stor som den lille katete. A 60 0 B.6 C I trekant ABC er A = B = 0, og AC =. Beregn længden AB (hjælp: tegn højden fra C). A 0 0 B.7 C I trekant ABC ligger punktet D på siden AC, således at AD = og DC =. E er fodpunktet af højden fra C i trekant BCD. Vinkel BAC er 5, og vinkel ABD er 5. Beregn DE, CE, AE, EB og vinkel C i trekant ABC. A D 5 E 5 B.8 Snapseglasset til højre kan rumme cl. På en bestemt restaurant koster en snaps på cl. 0 kroner. En gæst vil kun have en halv snaps. Tjeneren skænker op, således at overfladen af snapsen når halvt op i glasset som vist på tegningen. Gæsten betaler ti kroner for lyksaligheden. Hvor meget har gæsten betalt for meget? Side

26 C.9 I trekant ABC er M a, M b og M c midtpunkterne af hhv. BC, AC og AB. Bevis, at trekant M a M b M c er ligedannet med trekant ABC i størrelsesforholdet :. M b M a A M c B.0 C I trekant ABC er H a fodpunktet af højden fra A, mens M b og M c er midtpunkterne af AC hhv. AB. Bevis, at H a M c M b er ligedannet med ABC i størrelsesforholdet :. M b H a A M c B C. H b I trekant ABC er M c midtpunktet af AB, mens H b og H a er fodpunkterne af højderne fra A og B. Bevis, at H a M c H b er ligebenet, og at M c H a H b = M c H b H a = C. H a. ( ) A M c C B I trekant ABC er H a, H b og H c fodpunkterne af højderne fra A, B og C. H b Bevis, at trekanterne AH b H c, BH c H a og CH b H a alle er ligedannet med trekant ABC. (Hjælp : brug resultatet fra opg. G) H a Bevis endvidere, at trekant ABC s højder er vinkelhalveringslinier i fodpunkttrekanten H a H b H c A H c B Side 5

27 . ( ) Et betonrør ligger nedgravet i jorden. Man har målt bredden og højden af den del af røret, der rager op over jorden. Målene fremgår af tegningen. Beregn rørets udvendige diameter., m 0, m. B I den retvinklede trekant ABC med katetelængderne 8 og 55 er indskrevet et kvadrat som vist på tegningen. Beregn længden af kvadratets side. 8 Kateterne har nu længderne a og b Beregn længden af kvadratets side udtrykt ved kateternes længde. C 55 A.5 ( ) Tegningen herunder viser en 0-60 tegnetrekant. Længdemålene er i cm. 5 Side 6

28 Beregn (uden at måle) hvor mange procent arealet af den lille trekant udgør af arealet af den store trekant?.6 ( ) En retvinklet trekant har omkredsen 0 m og arealet 570 m. Beregn siderne i denne trekant..7 ( ) I en retvinklet trekant er længden af hypotenusen 7, og arealet er 0. Bestem længderne af trekantens kateter. Side 7

29 . Blandede sværere opgaver Reduktion:. Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte på fælles brøkstreg: a) + b) z + 5 a 6 + a + a d) + c e) + + f) g) + h) Omskriv nedenstående brøker ved at forkorte: + + z z + a) b) + z d) a a + e) + f) 9 6. Omskriv nedenstående brøker ved at forkorte: + y + y a + ab + b a) b) + y a + b 8y + y e) + y 6y y + y a + az + z f) z a d) 6y + 9y y. Omskriv nedenstående udtryk ved at sætte på fælles brøkstreg: Side 8

30 a) + a + b a b b) y y y ( y)( + y) ( a b) + a a b a + b d) b a + b a + b + ab.5 Reducer følgende udtryk uden brug af lommeregner: 6 8 ( ) 6 a) b) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( 5) e) ( 00).6 Ved salg af en del produkter, antager man, der er en lineær sammenhæng mellem antal solgte varer (afsætningen) og den pris man tager for varen. Man kan for en vare lave følgende oversigt: Afsætningen Pris pr. stk Lav en kurve (ret linie) hvor angiver afsætningen og y angiver prisen.. Hvilken pris er der tale om, hvis afsætningen er på a. 0 stk. b. 75 stk. c. 5 stk.. Hvor mange sælges, hvis prisen pr. stk. er kr. a. 50,- b. 00. Bestem forskriften for den lineære funktion f(), der fastlægger prisen som en funktion af afsætningen Side 9

31 .7 En virksomhed nedskriver hvert år værdien af sit inventar (alle de ting, der er købt til virksomheden).. Denne afskrivning kan foregå efter en metode, der kaldes den lineære metode. Det betyder, man afskriver med et beløb, der har samme værdi hvert år. En virksomhed har købt inventar hjem til en værdi af kr ,- Virksomheden regner med at beholde inventaret i 8 år, hvorefter det skal skiftes ud. Man antager, at værdien (scrapværdien) efter de 8 år er nede på kr ,-. Indtegn forløbet i et koordinatsystem, idet du har punkterne (0, ) og (8,0.000). Hvor stor er den årlige afskrivning?. Hvad er værdien (den bogførte værdi) efter 5 år?. Opstil forskriften for den funktion, der fastlægger den bogførte værdi til tiden, hvor angiver antal år efter inventaret er købt..8 Se også opgave.6. Ved sammenligningen af pris og afsætning, kan der opstilles følgende oversigt: Afsætningen Pris pr. stk Lav en kurve (ret linie) hvor angiver afsætningen og y angiver prisen.. Hvilken pris er der tale om, hvis afsætningen er på a. 5 stk. b. 75 stk.. Hvor mange sælges, hvis prisen pr. stk. er kr. a..000,- b ,-. Bestem forskriften for den lineære funktion f(), der fastlægger prisen som en funktion af afsætningen.9 En virksomhed køber nogle varer hjem, som den sælger videre efterfølgende. Indkøbsprisen for en bestemt vare er kr. 50,-, pr. stk. og de samlede hjemtagelsesomkostninger er på kr. 500,- uafhængig af hvor mange der købes.. Bestem, hvad prisen bliver for købet, hvis der købes a. 00 stk. b. 500 stk. c. 00 stk.. Bestem forskriften for den funktion (lineære) der fastlægger den samlede indkøbspris for varerne, når der købes stk.. Bestem hvor mange varer der er købt, hvis den samlede pris er på kr. 50,-. Tegn grafen for funktionen, der fastlægger den samlede indkøbspris..0 En virksomhed sælger nogle bestemte varer (se opgave. ovenfor). Varerne sælges til en pris på kr. 0,- pr. stk.. Bestem den samlede salgspris, hvis der sælges a. 00 stk. b. 500 stk.. Virksomheden er selvfølgelig interesseret i at vide, hvor stor fortjenesten er.de regner derfor ud, hvad fortjenesten er ved at trække indkøbspriserne fra salgspriserne. Bestem fortjenesten, hvis virksomheden sælger 00 stk. eller 500 stk. Side 0

32 . Opstil en forskrift for den funktion, der fastlægger fortjenesten som en funktion af antal solgte stk. (Salgspris - købspris). Tegn det grafiske billede af funktionen.. A tænker på et helt positivt tal mindre end million. B må stille A 0 spørgsmål, som A skal besvare med ja eller nej. Er det muligt for B at finde tallet? (Hvis ja: Hvordan?). Et tog afgår fra Udby kl mod Sønderby, og samtid afgår et tog fra Sønderby mod Udby. Det første tog tilbagelægger afstanden non-stop på 6 timer, mens det andet, der kører op ad bakke, er 9 timer om turen. Hvad er klokken, når de mødes, hvis man går ud fra, at de to tog kører med konstant fart?. På en jernbanebro over en rivende flod har en mand tilbagelagt /5 af afstanden, da han opdager et tog, der kommer kørende mod ham med 00 km/t. Uanset hvilken ende han løber mod, vil han nå denne ende samtidig med toget. Hvor hurtigt løber manden?. Nogle piger og drenge står i en gruppe. Da 8 piger har forladt gruppen, er forholdet mellem antallet af drenge og piger :. Derefter forlader 0 drenge gruppen, og forholdet mellem drenge og piger er nu 5:. Hvor mange drenge og piger bestod gruppen oprindeligt af?.5 I fysik gælder følgende formel om modstanden i en ledning. R = ρ l A Her l trådens længde, A er trådens tværsnitsareal og ρ er resistiviteten. l A ) To. g elever har lavet en serie målinger af modstanden i forskellige stykker konstantan - tråd. Det har først lavet en serie målinger, hvor tråden hver gang havde et tværsnitsareal på 0, mm. Resistiviteten er et tal, som er det samme, når trådene er lavet af samme stof. For konstantan er det 0,9 (Ω m)/mm. l (m) 0, 0,5 0,7,0,, R (Ω),0,,5 5,0 5,85 6,9 Side

33 Undersøg om de to talserier er proportionale (bemærk, at det jo er målinger, som er lavet, så små afvigelser kan godt accepteres). Tegn tallene ind i et koordinatsystem med l på - aksen og R på y - aksen. Tegn en ret linie som følger punkterne bedst muligt. Find en ligning for grafen. Hældningstallet på grafen vil være det samme som A ρ. Stemmer det med dine resultater? Forklar ved hjælp af formlen ovenfor, hvorfor hældningstallet er det samme som A ρ ) De to elever har lavet flere målinger: Nu har de målt på konstantan - tråd med en fast længde på 0,5 m. De har så målt modstanden i nogle stykker tråd med forskellige tværsnitsareal: A (mm ) 0, 0,65 0,9,0,,0 R (Ω) 0,80 0,8 0,0 0,5 0, 0,08 Undersøg om de to talserier er omvendt proportionale Tegn tallene ind i et koordinatsystem med A på - aksen og R på y - aksen. Tegn også en graf for R = 0,5 ind i koordinatsystemet. Følger punkterne fra målingerne grafen? Kan du forklare A hvorfor de må gøre det? Arne, Bent og Christian har en lottoklub. De vinder kr. Da de ikke har betalt lige meget i indskud, har de aftalt, at hvis de vinder skal Arne have udbetalt dobbelt så meget som Christian, og Christian dobbelt så meget som Bent. Hvor meget får de hver? En kaffehandler sælger to slags kaffe : Brazil Etra til 50 kr/kg og Brazil Medium til kr/kg. Han sælger for lidt af den dyre kaffe, så derfor laver han en blanding på 00 kg af de to slags kaffe. Hvor mange kg af Brazil Etra / Brazil Medium skal blandingen indeholde for at kunne sælges for en pris af 0 kr/kg? Lagenlærred kryber 0% i vask. En kunde skal bruge m (efter vask ) Hvor mange meter skal kunden købe for at der er nok?.9 En person investerer kr. I de følgende fire år går det op og ned med investeringen:.år : +0%,.år : - 5%,. år :+0%,.år : - % Side

34 Hvordan er det gået med investeringen? Hvad er gennemsnitsforrentningen pr. år (samme % hvert år ) over de fire år? Hvorfor kan man ikke udregne det således : 0% + ( 5%) + 0% + ( %) = % = 6%.0 På en skole er halvdelen af lærerne kvinder og halvdelen er mænd. Kvindernes gennemsnitsalder er 5 år, mændenes gennemsnitsalder er år. Hvad er lærernes gennemsnitsalder? På en anden skole er fordelingen : 6% kvinder, 8% mænd og her er de kvindelige læreres gennemsnitsalder også 5 år og de mandlige læreres gennemsnitsalder også år Hvad er lærernes gennemsnitsalder på denne skole? Side