Effektenhed til guitar

Transkript

1 AALBORG UNIVERSITET Institut for elektroniske systemer Fredrik Bajers Vej Aalborg Øst - Telefon TITEL: Effektenhed til guitar PROJEKTPERIODE: Februar - maj 2004 TEMA: Signalbehandlingssystemer PROJEKTGRUPPE: 640 GRUPPEMEDLEMMER: Martin Skovgaard Andersen Jakob Dyreby Frederik Holmelund Kjærskov Ole Lodahl Mikkelsen Daniel Rasmussen VEJLEDER: Sofus Birkedal Nielsen ANTAL: 8 SIDER I HOVEDRAPPORT: 88 SIDER I ALT: 170 SYNOPSIS: Denne projektrapport omhandler analyse, design, konstruktion og test af en guitareffektenhed. Der implementeres både analoge og digitale effekter. De analoge effekter er wahwah, distortion og tremolo, mens de digitale effekter er reverb, echo, flanger og equalizer. De enkelte moduler er opbygget på selvstændige indstikskort til et rack. De digitale effekter er blevet implementeret vha. en TMS320C26 signalprocessor. Systemets software er udviklet i assembler, og der er benyttet en debugger/monitor som udviklingsværktøj. De digitale effekter styres vha. en brugergrænseflade, der inkluderer knapper, et jog-hjul og et display, hvor de analoge effekter justeres vha. potentiometre. Det konkluderes, at effekterne fungerer og lyder som forventet, mens brugerfladen giver mulighed for justering. Der opstår dog støj i systemet, hvilket gør sig gældende i såvel analoge som digitale effekter. Den digitalt introducerede støj skyldes afrunding efter multiplikation, mens den analoge støj til dels kan skyldes implementeringsformen.

2

3 Forord Denne projektrapport er udarbejdet af gruppe 640 på 6. semester signalbehandling ved Aalborg Universitet. Rapporten er udarbejdet i foråret 2004 i perioden fra 2. februar til 27. maj. Det overordnede tema for projektperioden har været signalbehandlingssystemer. Projektet er udarbejdet med henblik på at opnå forståelse for de principper, der gælder i forbindelse med design og konstruktion af både analoge og digitale signalbehandlingssystemer. Da projektet er et studieprojekt, er der under flere af projektets faser foretaget valg, så flest forskellige teorier og teknikker benyttes. Bl.a. benyttes der både analoge og digitale realiseringer. Alle henvisninger til eksterne kilder er vist på formen: [Orfanidis 1996, s. 10] Vedlagt rapporten er en cd-rom indeholdende rapporten i PDF-format, kildekode til det udviklede programmel samt relevante kilder i PDF-format. Martin Skovgaard Andersen Jakob Dyreby Frederik Holmelund Kjærskov Ole Lodahl Mikkelsen Daniel Rasmussen III

4

5 Indhold I Analyse 1 1 Indledning 3 2 Effekter Amplitudebaserede effekter Frekvensbaserede effekter Tidsbaserede effekter Valg af effekter Grænseflader Guitarmodel Valg af samplingsfrekvens Kravspecifikation 19 II Design 23 5 Analoge effekter Ind- og udgangstrin Wahwah Tremolo Distortion DSP-systemet DSP-system A/D- og D/A-konverter Adressering Brugergrænseflade Digitale effekter Softwareopbygning Rumklang Ekko og delay Flanger Equalizer V

6 INDHOLD III Vurdering 81 8 Systemtest 83 9 Konklusion Perspektivering 87 Litteratur 88 IV Appendiks 89 A Målejournaler 90 A.1 Måling af guitarudgang A.2 Måling af forstærkerindgang A.3 Test af wahwah A.4 Test af tremolo A.5 Test af distortion A.6 Test af equalizer B Beregninger 108 B.1 Wahwah-beregninger B.2 Timingsanalyse B.3 Lavfrekvent oscillator B.4 Kvantiseringsstøj i equalizer C Kildekode 121 C.1 Adressedekoder C.2 Hovedrutinen C.3 Brugerinterface C.4 Ekko- og delay C.5 Flanger C.6 Rumklang C.7 Equalizer C.8 Matlabprogrammer D Eldiagrammer 162 D.1 Indgangs- og udgangstrin D.2 Wahwah D.3 Tremolo D.4 Distortion D.5 Brugerflade D.6 DSP-system D.7 A/D- og D/A-konvertermodul VI

7 Del I Analyse I det følgende analyseres effekter og grænseflader for på baggrund heraf at kunne opstille en kravspecifikation til guitareffektenheden. 1

8

9 Indledning 1 Den elektriske guitar opstod udfra ønsket om at opnå større lydniveau fra en guitar. Derfor monteredes en mikrofon på en akustisk guitar for herefter elektronisk at forstærke signalet. Denne form for elektrisk guitar gav imidlertid et problem med hensyn til akustisk feedback fra højttaleren til guitarens resonanskasse. For at undgå akustisk feedback konstrueredes en guitar uden resonanskasse af massivt træ. Herved opstod den moderne elektriske guitar. Grundet den manglende resonanskasse giver den elektriske guitar en spinkel lyd i forhold til den akustiske guitar. For at give elguitaren en mere fyldig lyd manipuleres lyden ofte elektronisk før den forstærkes og sendes til højttalerne. Muligheden for at modificere lyden elektronisk medførte et ønske om at kunne modificere guitarens lyd yderligere og derved opnå en individuel lyd. En tidlig effekt opstod, da guitarister fandt på at skrue så højt op for forstærkeren, at denne overstyrede. Herved opstod effekten distortion, der tilførte forvrængning til guitarens lydbillede. Efterhånden som musikken udvikledes, opstod flere effekter, der kulminerede med nutidens digitale teknologi og har gjort implementering af effekter billigere og åbnet yderligere muligheder. I dette projekt beskrives og dokumenteres realisationen af en række af de guitareffekter, der benyttes. For at afgøre hvilke effekter, der er hensigtsmæssige at konstruere, indledes med en analyse af forskellige effekter. 3

10 Effekter 2 Kapitlets indhold: 2.1 Amplitudebaserede effekter Distortion Compressor/expander Tremolo Frekvensbaserede effekter Equalizer Wahwah Phasing Pitch shifter Tidsbaserede effekter Delay Chorus Flanger Reverb (rumklang) Valg af effekter Effektrækkefølge I dette kapitel undersøges en række af de mest anvendte guitareffekter. Med undersøgelsen sigtes der mod at kunne foretage valg af hvilke effekter, der ønskes implementeret under projektforløbet. Det er valgt at dele kapitlet op i tre områder. Denne opdeling forekommer naturlig i forhold til det effekterne baseres på. Herunder tids-, frekvens- og amplitudebaserede effekter. 2.1 Amplitudebaserede effekter I det følgende vil de effekter, der direkte relaterer sig til ændringer i signalets amplitude undersøges. 4

11 2.1. AMPLITUDEBASEREDE EFFEKTER Distortion En af de mest udbredte effekter er distortion (forvrængning). En typisk form for forvrængning opnås ved at klippe signalet fra guitaren i top og bund, hvorved signalets form i tid gøres mere eller mindre firkantet. Derved opstår harmonisk forvrængning af signalet. Variationen af distortion består i måden signalet forvrænges eller klippes på. Herunder kan nævnes former som blød-, hård-, symmetrisk-, asymmetrisk-, ulineær- og frekvensafhængig forvrængning. På figur 2.1 ses to grader af forvrængning. En distortion-enhed har normalt en eller flere variable parametre. Typisk vil der være mulighed at variere graden af forvrængningen samt at variere det frekvensbånd, der ønskes mest forvrænget. Herved kan samme effekt anvendes til mange forskellige formål. På figur 2.2 ses et principdiagram for en simpel distortion-enhed. Styring kan bestemme størrelsen af A og styrer derfor hvor meget signalet forvrænges. (a) (b) Figur 2.1: To grader af forvrængning af et signal. I n put A Output S ty r i n g Figur 2.2: Blokdiagram over princippet bag distortion-effekten. Blokken styring fastlægger størrelsen af A. Distortion kan både implementeres analogt og digitalt, hvor den digitale giver mulighed for efterligning af kendte forstærkerforvrængninger, mens den analoge implementering lettere giver mulighed for flere brugerindstillinger. 5

12 M KAPITEL 2. EFFEKTER Compressor/expander En compressor er en enhed med en variabel forstærkning, som er afhængig af en midling af indgangssignalet. Svage signaler bliver ikke forstærket, men passerer direkte gennem, mens kraftige signaler dæmpes. Derved bliver signalet presset sammen og dets dynamikområde reduceres. Et eksempel er vist på figur 2.3, hvor et sinussignal er sendt gennem en compressor. På figur 2.4 ses et blokdiagram for en compressor. Blokken Tærskel måler amplituden af indgangssignalet, midler dette og ændrer forstærkningen A, afhængig af indgangssignalets middelværdi. På figur 2.5 ses I/O-karakteristikken for en compressor ved forskellige kompressioner. Den viste effekt har kun to forskellige forstærkninger, der ændres ved værdien Tærskel. Kompressionen angives i et forhold, som angivet på figur 2.5, og specificerer dæmpningen af signaler når amplituden er større end tærsklen. Er kompressionen stor, betegnes compressoren som en limiter. Amplitude Tid Amplitude Figur 2.3: Eksempel på komprimering af et sinussignal. Tid I n put A Output i d l i n g S ty r i n g Figur 2.4: Blokdiagram over princippet bag en compressor/expander. En compressor høres lydmæssigt ved, at lyden fremstår mere kompakt og forskellen mellem 6

13 2.1. AMPLITUDEBASEREDE EFFEKTER V O 1:1 2 :1 4 :1 8 :1 16 :1 L i m i t e r T æ r s k e l V I Figur 2.5: Output som funktion af input for en compressor ved forskellige kompressioner. hårde og bløde anslag på strengene mindskes. Dertil kommer også, at det lyder som om guitarens strenge svinger i længere tid, idet signalniveauet ikke falder. Modsat en compressor, der reducerer dynamikken, øger expanderen dynamikken ved at dæmpe signaler med en amplitude under en tærskel. Kraftige signaler dæmpes ikke, så forskellen mellem kraftige og svage signaler øges. Denne funktionalitet er anvendelig til at fjerne støj, når der ikke spilles på guitaren. Denne effekt benævnes også noise gate. Blokdiagrammet for expanderen ses på figur 2.4, mens I/O-forholdet ses på figur 2.6. V O 1:1 T æ r s k e l 2 :1 4 :1 8 :1 N o i s e g a t e V I Figur 2.6: Output som funktion af input for en expander ved forskellige udvidelsesforhold. Der findes imidlertid en variation til compressoren og expanderen, der på samme vis dæmper signaler større end en øvre tærskel, mens svage signaler mindre end en nedre tærskel forstærkes. Derved vil toner, der klinger ud forlænges, hvilket kan være anvendeligt i forbindelse med solo-riffs. Denne funktion medfører naturligvis kraftig støjforstærkning ved små signaler, hvorfor denne funktion ofte ses som supplement til compressoren og aktiveres ved at holde fodpedalen aktiveret. Denne type betegnes som Compander. 7

14 KAPITEL 2. EFFEKTER Compressor og expander kan implementeres i en samlet effekt. En analog implementering kræver en form for automatisk gain-kontrol (AGC), hvorimod den digitale implementering anvender en form for midling af signalet til styring af forstærkningen Tremolo Tremolo tilfører guitaren en pulserende lyd ved at variere guitarsignalets amplitude med en periodisk funktion. Oftest ses dette udført vha. en multiplier og en funktionsgenerator, som det ses af figur 2.7. Ved at variere frekvensen af det modulerende signal, er det muligt at opnå flere forskellige effekter. Modulationsfrekvensen kan typisk varieres mellem 0.1 Hz og 10 Hz. Det modulerende signal skal forskydes med et offset for at undgå faseskift, når det modulerende signal skifter fortegn. På figur 2.8 ses et sinussignal, modulereret med et sinussignal med 1/10 frekvens. Det ses, at indhyldningskurven for signalet er sinusformet. Input O utput F unk ti o ns - g e ne r a to r Figur 2.7: Principdiagram over en tremolo-enhed. Amplitude Tid Figur 2.8: Et sinussignal med tremolo-effekt. En digital implementering af tremolo er ligefrem, idet der i en signalprocessor er en multiplier. Dog kan den lavfrekvente modulationsfrekvens give nogle udfordringer. Den ana- 8

15 2.2. FREKVENSBASEREDE EFFEKTER loge implementering kræver en analog multiplier, som enten kan realiseres vha. transistorer eller vha. en integreret kreds. Desuden skal der til den analoge implementering designes en lavfrekvens oscillator. 2.2 Frekvensbaserede effekter I det følgende beskrives de mest almindelige effekter, der påvirker signalet som funktion af frekvensen. Denne påvirkning kan ses som en amplitude- og/eller faseændring afhængig af frekvensen eller som et frekvensskift Equalizer En equalizer gør det muligt selektivt at fremhæve eller nedtone enkelte frekvensbånd. Herved kan frekvensgangen ændres og tilpasses guitaristens ønske. Alt efter hvor præcist frekvenskarakteristikken skal kunne indstilles, opdeles frekvensområdet i et antal bånd. I hvert bånd kan forstærkningen justeres. For at kunne opnå en ønsket karakteristik er det nødvendigt at have et stort antal bånd, der kan justeres til enhver amplitude uden at påvirke de omkringliggende bånd. På en normal guitarforstærker forefindes dog oftest en equalizer, som kun giver mulighed for justering af henholdsvis bass, middle, treble og presence. En ekstern equalizer giver som regel mulighed for at justere ved specifikke frekvenser ofte opdelt i oktaver. Ved design af en equalizer er det nødvendigt at undersøge, ved hvilke frekvenser det er hensigtsmæssigt at placere de enkelte bånd. Desuden skal det fastlægges, hvor meget hvert bånd skal kunne forstærkes/dæmpes, og hvor meget hvert bånd må påvirke de omkringliggende. Inden design skal det yderligere overvejes, hvorvidt equalizeren skal implementeres digitalt eller analogt Wahwah Wahwah effekten opstår ved at sende signalet gennem et båndpasfilter og addere outputtet med det oprindelige signal. Filterets centerfrekvens reguleres af guitaristen vha. en fodpedal. Figur 2.9 viser frekvenskarakteristikken for en wahwah effekt. Ved design af en wahwah effekt skal det overvejes, i hvilket område centerfrekvensen c skal variere, hvor stor den maksimale amplitude G skal være, samt hvilken stejlhed og bredde pasbåndet skal have. Da wahwah-effekten er et filter, der hele tiden varieres, implementeres effekten lettest analogt. 9

16 KAPITEL 2. EFFEKTER G Amplitude 0 0,1c c 10c Frekvens Figur 2.9: Frekvenskarakteristik for wahwah effekt. Centerfrekvensen c varieres af guitarristen via en pedal. G angiver den maksimal amplitude. Begge akser er logaritmiske Phasing Phasing fungerer ved, at signalet sendes gennem et allpass-filter, hvorefter det filtrerede signal adderes med det oprindelige. Et allpass-filter har den egenskab, at hver pol har et tilsvarende nulpunkt, der er spejlet i den imaginære akse. Dette gør, at forstærkningen er 0 db i hele frekvensområdet. Det er kun fasen, der ændres. Når de to signaler adderes, vil amplituden af udgangssignalet ikke længere være konstant, men afhængig af faseforskydningen i allpass-filteret. Ved de frekvenser, hvor faseforskydningen i filteret er π+2πn,n Z vil additionen give nul. Dette gør, at forstærkningen vil være nul ved disse frekvenser. For at variere effekten ændres denne frekvens ved at tilpasse allpass filteret. Figur 2.10 viser frekvenskarakteristikken for en phasingeffekt, hvor f angiver den frekvens der dæmpes. Ved design af en phasing-effekt skal variationen af f undersøges både med hensyn til frekvensområde, hastighed og funktionsform. Desuden skal stejlheden omkring f overvejes. Phasing effekten er et varierende filter, hvilket taler for en analog implementering. Det er svært at placere poler og nulpunkter præcist analog pga. komponenttolerancer, hvilket taler for en digital løsning Pitch shifter En pitch shifter-effekt ændrer indgangssignalets frekvens. Frekvensændringen kan varieres, men for at bibeholde de samme harmonier ændres frekvensen normalt til den dobbelte eller den halve. Denne effekt kaldes normalt en octaver. Effekten kan laves ved at fouriertransformere input og ændre signalets frekvensspektrum for til slut at transformere tilbage til tidsdomænet. 10

17 2.3. TIDSBASEREDE EFFEKTER 0 Amplitude f Frekvens Figur 2.10: Frekvenskarakteristik for en phasing-effekt. Frekvensen f varieres som funktion af tiden. Amplituden ved f er lig nul, da de to adderede signaler er i modsat fase. Begge akser er logaritmiske. Ved design af en pitch shifter er det nødvendigt at tage højde for, hvor meget det ønskes at ændre frekvensen og om det transformerede skal kombineres med det oprindelige. Effekten implementeres oftest digitalt, hvor der er mulighed for at udføre FFT. 2.3 Tidsbaserede effekter I dette afsnit vil nogle af de mest almindelige tidsbaserede effekter kort blive beskrevet. En tidsbaseret effekt benytter et forsinket signal i kombination med det oprindelige til at skabe effekten Delay Et delay er i sin simpleste form en effekt, der gør, at lydsignalet bliver adderet med en forsinket kopi af sig selv. Et simpelt blokdiagram over denne effekt kan ses på figur Delay G Figur 2.11: Blokdiagram over simpelt delay. 11

18 KAPITEL 2. EFFEKTER En typisk udvidelse af effekten er at gentage signalet flere gange med dæmpning hver gang. Når denne forsinkelse er større end 50 ms., og kopien af signalet ligeledes bliver dæmpet, vil det lyde som et ekko. Dette kan simpelt realiseres ved at ændre feedforward-løkken på figur 2.11 til en feedback-løkke. Dette ses på figur G Delay Figur 2.12: Blokdiagram over simpelt, gentagende delay Chorus Formålet med chorus-effekten er at få et instrument til at lyde som var det flere instrumenter, der spiller det samme. Da flere musikere med stor sandsynlighed ikke vil spille nøjagtigt i fase, emuleres denne effekt ved at forsinke en eller flere kopier af signalet ms. Ligeledes vil flere instrumenter sjældent have nøjagtigt samme stemning. Denne forskel emuleres ved at variere de forskellige forsinkelser vha. f.eks. en lavfrekvent oscillator. Et simpelt blokdiagram for effekten ses på figur Delay G Delay G Figur 2.13: Blokdiagram over flere simple delays Flanger En flanger-effekt er i princippet analog med chorus-effekten, blot med mindre tidsforsinkelser. Det er i modsætning til chorus meningen at frembringe en susende lyd som et overflyvende jetfly. Dette opnås ved at benytte et delay på 0-10 ms, der er så lavt, at det ikke opfattes af øret som en forsinkelse. Fasedrejet, som det istedet vil resultere i, gør, at systemet virker som et kamfilter, hvor afstanden mellem tænderne afhænger af delayet, da y(t) = x(t) + x(t t) (2.1) Y(s) = X(s) + e jω t X(s) (2.2) H(s) = 1 + e jω t (2.3) H(s) = e jω t/2 (e jω t/2 + e jω t/2 ) (2.4) H(s) = 2cos( 1 2ω t) (2.5) 12

19 2.4. VALG AF EFFEKTER Ved at variere delayet vha. en lavfrekvent oscillator kan man dermed løbende skifte mellem forskellige filtre, og således frembringe den karakteristiske lyd. En typisk realisering vil ligne figur 2.11, hvor delayet dog varieres Reverb (rumklang) Når en lyd bliver spillet indendørs bliver denne reflekteret af vægge, gulv og loft. Denne reflektion opfattes som et rumklang, der rinder ud alt efter rummets opbygning, størrelse og overfladematerialer. Et typisk impulsrespons af et rum kan ses på figur 2.14 Figur 2.14: Et typisk impulsrespons af et rum. Som det ses, er der forholdvis langt mellem de første reflektioner, mens de senere kommer med kortere interval. Dette kan evt. emuleres vha. flere tilbagekoblede delays. Herved bliver mængden af reflektioner løbende forøget. Dette afslutter effektanalysen. Udfra denne analyse er det muligt at vælge hvilke effekter, det ønskes at implementere. 2.4 Valg af effekter I forbindelse med valg af effekter til implementering lægges der vægt på at dække forskellige dele af pensum. Der skal arbejdes med både analog og digital elektronik, men med hovedvægt på digital elektronik. Det vælges at implementere distortion, wah-wah og tremolo analogt, da disse er meget forskelligartede og velegnede til analog implementering. Det vælges digitalt at implementere effekterne equalizer, reverb, echo og flanger. Equalizeren er også velegnet til analog implementering, men den digitale realisering vælges for at inddrage digital filterteori. Delay-effekterne er alle velegnet til digital implementering og er variationer af samme grundlæggende princip. 13

20 KAPITEL 2. EFFEKTER Effektrækkefølge Det er ikke ligegyldigt i hvilken rækkefølge effekterne tilsluttes. F.eks. vil lyden af en wahwah efterfulgt af en distortion være betydeligt anderledes end hvis rækkefølgen var ombyttet. Det er valgt, at implementere effekterne i rækkefølgen vist på figur 2.15 Wah-Wah Distortion Tremolo Reverb Echo Flanger Equalizer Figur 2.15: Oversigt over rækkefølgen af effekter. Før det er muligt at konstruere de udvalgte effekter er det nødvendigt at kende de grænseflader effekterne skal tilsluttes. Derfor undersøges de eksterne grænseflader i det følgende kapitel. 14

21 Grænseflader 3 Kapitlets indhold: 3.1 Guitarmodel Model af pickup Elektrisk model af guitar Valg af samplingsfrekvens Dette kapitel beskriver grænsefladerne for den elektriske guitar og forstærkeren. Modeldannelsen danner basis for valg af samplingsfrekvensen og indgangs- og udgangsniveauer. 3.1 Guitarmodel Med udgangspunkt i målinger foretaget på laboratorieguitaren opstilles en elektrisk ækvivalent model for denne. Desuden beskrives guitarens transducer, pickup en. For dokumentation af målinger henvises til appendiks A Model af pickup Til at omsætte strengenes mekaniske svingninger til et elektrisk signal anvendes en transducer, der i guitarterminologi benævnes en pickup. Pickup en på laboratorieguitaren anvendes i det følgende som stereotyp til analysen af pickup en, hvorfor single coil pickup en analyseres. Navnet single coil pickup hentyder til, at pickup en har én spole viklet omkring seks magneter. En under hver streng. Da guitarstrengene over magneterne er af et ferromagnetisk materiale, såsom nikkel eller stål, vil svingningerne påvirke den magnetiske flux og dermed inducere en elektrisk spænding, som følge af Faradays lov: ε = N dφ dt (3.1) 15

22 KAPITEL 3. GRÆNSEFLADER hvor N angiver vindingstallet, φ den magnetiske flux og ε den elektriske spænding. Ligning 3.1 udtrykker, at den inducerede spænding er direkte proportional med den tidsmæssige ændring af den magnetiske flux. En streng, der svinger med en given frekvens, vil derfor resultere i en spænding over spolen med samme frekvens og en amplitude, der afhænger af hastigheden, hvormed strengen svinger. En model af en pickup er afbilledet på figur 3.1 L R C Figur 3.1: Model af magnetisk pickup. På figuren udtrykker R den samlede resistans af vindingerne omkring spolen, typisk mellem 5 kω og 10 kω. Kapaciteten C er summen af kapaciteterne i vindinger og kabel, normalt i størrelsesordenen pf. Typiske værdier for spolens selvinduktion er 1-10 H, mens amplituden af spændingssignalet typisk befinder sig mellem 100 mv og 1 V. [The Secrets of Electric Guitar Pickups 24/5-2004]. Udover single coil pickup en findes en række andre pickup-typer, herunder dual coil pickup en, eller humbuckeren. I modsætning til single coil pickup en, der er i højere grad er modtagelig over for udefrakommende magnetiske felter, indeholder humbuckeren to spoler i modfase med omvendt polaritet, hvorved common mode signaler, såsom magnetiske støjkilder, reduceres. For stratocaster-guitarer, som den anvendte laboratorieguitar, er det almindeligt at anvende single coil pickupper, som udmærker sig ved en skarp og klar lydgengivelse Elektrisk model af guitar Målingerne af guitarens udgangsimpedans som funktion af frekvensen er gengivet på figur 3.2. Da anslag af guitarstrengene resulterer i en udgangsspænding over en frekvensafhængig udgangsimpedans, kan Theveninmodellen på figur 3.3 på modstående side ækvivaleres med guitaren. Spændingskilden V s er vist at have en amplitude mellem ±0.6 V. For at undgå overstyring og opnå maksimalt amplitudesving vælges at lave en justerbar indgangsforstærker, der giver en indgangsfølsomhed fra 0.5 V og op. Kendskab til guitarens udgangsimpedans er nødvendig ved dimensionering af effektenhedens indgangsimpedans, som ønskes dimensioneret tilstrækkelig større end guitarens udgangsimpedans, så signalet ind på effektenheden bevares bedst muligt. Udgangsimpedansen har en maksimal værdi på 290 kω. For at undgå stort spændingsfald over udgangsmodstanden vælges, at effektenhedens indgangsimpedans skal være større end 1 MΩ. 16

23 3.2. VALG AF SAMPLINGSFREKVENS Impedans [kω] Frekvens [Hz] Figur 3.2: Guitarens udgangsimpedans som funktion af frekvensen. Guitar + Z out V s Figur 3.3: Theveninækvivalent model af guitar. - I appendiks A.1 på side 90 bestemmes laboratorieguitarens S/N-forhold til 41 db. For ikke at mindske dette forhold betydeligt skal effektenhedens S/N-forhold være større end denne værdi. Figur A.8 på side 97 viser forstærkerens indgangsimpedans som funktion af frekvens. Det ses, at den minimale indgangsimpedans i det hørbare område er 15 kω ved 20 khz. Derfor vælges, at effektenhedens udgangsimpedans skal være mindre end 1 kω. Udgangsspændingen vælges til at ligge i intervallet ±1 V når der er maksimal intern udstyring. 3.2 Valg af samplingsfrekvens Samplingsfrekvensen skal vælges under hensyntagen til to faktorer. Dels skal samplingsfrekvensen være tilstrækkelig høj for at repræsentere det tidskontinuerte signal fyldestgørende i diskret tid, men samtidig sætter en høj samplingsfrekvens strengere timingskrav til den di- 17

24 KAPITEL 3. GRÆNSEFLADER gitale signalprocessering, hvorfor en minimal samplingsfrekvens er ønskelig. Med baggrund i en frekvensanalyse af guitarsignaler er det blevet undersøgt, hvilket frekvensområde guitaren er virksom i. For dokumentation af målinger og resultater henvises til appendiks A.1. Frekvensanalysen viser, at frekvensspektret af guitarsignalerne under ordinært guitarspil ikke indeholder betydelige frekvenskomposanter over 5 khz. Forsøget viser desuden, at det er muligt at fremstille harmoniske overtoner mellem 10 khz og 15 khz, dog er amplituden af disse signaler er negligerbare i forhold til grundtonen og de øvrige harmoniske overtoner. Udfra de udførte målinger vælges samplingsfrekvensen til 16 khz. Dermed opfyldes Nyquists samplingssætning om en samplingsfrekvens, der som minimum er dobbelt så høj som den højeste frekvenskomposant i signalet. Samtidig giver en samplingsfrekvens på 16 khz mulighed for at sample højere ordens harmoniske overtoner med frekvenser op til knap 8 khz, med forbehold for antialiasing-filterets transistionsbånd. 18

25 Kravspecifikation 4 I dette kapitel vil kravene til systemet blive gennemgået. Systembeskrivelse Systemets formål er at tilføje effekter til et rent guitarsignal. Det skal indeholde syv forskellige effekter, der hver især skal kunne vælges/fravælges og indstilles. Disse effekter er wahwah, distortion, tremolo, rumklang, flanger, delay og en equalizer. Effekterne skal opbygges som en serie af blokke, hvor de digitale dog placeres i det samme DSP-system. Eksterne krav I dette afsnit vil systemets eksterne grænseflader blive specificeret. Med eksterne grænseflader menes den indgang, guitaren skal tilsluttes og udgangen, der tilsluttes guitarforstærkeren. Systemets indgang Systemets udgang Systemets S/N-forhold ˆV in = 1 V Z in 1MΩ ˆV out = 1 V Z out 1kΩ > 41 db 19

26 KAPITEL 4. KRAVSPECIFIKATION Interne krav De enkelte delkomponenter i systemet skal designes til at have ens grænseflader. For at undgå signaltab over udgangsmodstanden vælges disse som følger: Komponentens indgang Komponentens udgang ˆV in = 5 V Z in 50kΩ ˆV out = 5 V Z out 5kΩ Generelle parametre Samplefrekvens 16 khz Effektspecifikationer I dette afsnit vil de valgte effekter blive specificeret. For en beskrivelse af de enkelte effekter henvises til kapitel 2. Navn Wah-Wah Implementation Analogt Indstillinger Centerfrekvensen skal kunne varieres mellem 200Hz og 2kHz. Filterets Q-værdi og forholdet mellem båndpas og oprindeligt signal skal kunne varieres. 20

27 Navn Distortion Implementering Analogt Indstillinger En simpel tonekontrol skal være tilgængelig. Det skal være muligt at justere level. Kommentar Da der eksiterer mange forskellige former for distortion skal det tilstræbes at den implementerede effekt rent subjektivt vil blive betegnet som en god lyd. Navn Tremolo Implementation Analogt Indstillinger Frekvensen på den lavfrekvente oscillator skal kunne varieres mellem 0.1 Hz og 10 Hz. Amplituden af den lavfrekvente oscillator skal kunne justeres. Navn Rumklang Implementation Digitalt Indstillinger Effekten skal ikke have nogen indstillinger udover tilog frakobling. Navn Flanger Implementation Digitalt Indstillinger Frekvensen på den lavfrekvente oscillator skal kunne varieres mellem 0.25 Hz og 5 Hz. Intervallet, hvori delayet varieres, skal kunne justeres med udgangspunkt i intervallet fra 1 ms til 10 ms. 21

28 KAPITEL 4. KRAVSPECIFIKATION Navn Delay / Ekko Implementation Digitalt Indstillinger Varigheden af et enkelt ikke-gentagende delay skal kunne indstilles mellem 50 ms og 500 ms. Level på denne gentagelse skal kunne indstilles. Varigheden af et enkelt gentagende delay skal ligeledes kunne indstilles mellem 50 ms og 500 ms. Level på denne gentagelse skal også kunne indstilles. Kommentar Der er tale om to former for delay, et med og et uden gentagelse. Navn Equalizer Implementation Digitalt Indstillinger Effekten skal kunne justere 4 bånd, der hver især skal kunne varieres med ±15 db. De 4 bånd skal være: Hz Hz Hz Hz Brugerflade Her vil systemets brugergrænseflade blive specificeret. Valg af effekter Analoge effekter Digitale effekter Det skal for hver effekt være muligt at aktivere eller deaktivere effekten. For de digitale skal det på et display vises hvilke effekter, der benyttes. De analoge effekter skal indstilles med et potentiometer til hver indstillingsmulighed. Det skal være muligt at vælge hver indstillingsmulighed. Derudover skal der være et display, der viser den valgte indstillingsmulighed og den nuværende værdi, og et jog-hjul til at ændre denne værdi. 22

29 Del II Design Denne del omhandler design af de i kravspecifikationen specificerede effekter, herunder både analoge og digitale realiseringer. 23

30

31 Analoge effekter 5 Kapitlets indhold: 5.1 Ind- og udgangstrin Wahwah Effektens funktionalitet Design af wahwah Test af wahwah Tremolo Effektens funktionalitet Design af multiplikator Design af sinusgenerator Test af tremolo Distortion Effektens funktionalitet Løsningsmodel Design Test af distortion Dette kapitel omhandler design af de analoge guitareffektenheder wahwah, distortion og tremolo samt ind- og udgangstrinnet. De enkelte dele vil blive behandlet seperat i de efterfølgende afsnit. 5.1 Ind- og udgangstrin For at sikre samme indgangsimpedans og udgangsimpedans uafhængig af hvilke effekter, der er slået til, vælges at lave et indgangstrin og et udgangstrin. I indgangstrinnet tilføjes et højpasfilter for at undgå offset. Knækfrekvensen vælges til 50 Hz på baggrund af, at den laveste frekvens en guitar kan generere er 82.4 Hz. I udgangstrinnet tilføjes et lavpasfilter for at fjerne højfrekvent støj genereret internt. Her vælges knækfrekvensen til 10 khz. For altid at opnå det højest mulige S/N-forhold gøres indgangstrinnets forstærkning logaritmisk justerbar i intervallet mellem 0 og 10. Udgangstrinnet dæmper signalet fem gange, hvorved forstærkningen fra indgang til udgang kan varieres mellem 0 og 2. Figur 5.1 viser diagrammet for ind- og udgangstrinnet samt kontakt for til- og frakobling af hver effekt. 25

32 U D G U KAPITEL 5. ANALOGE EFFEKTER Der benyttes fire af sådanne kontakter for at kunne til- og frakoble de tre analoge effekter og det digitale kredsløb. I n p u t 3 2 G N D R 5 1K R 3 9 K 1A 1 C n F G N D R 1 10 K S 1 S 1 Effekt R K G N C p F R K N D 5 6 1B 7 O u t p u t Figur 5.1: Diagram for indgangs- og udgangstrin samt kontaktkredsløb for en enkelt effekt. Der benyttes fire af disse kontaktkredsløb for at kunne til- og frakoble fire effekter. 5.2 Wahwah Dette afsnit omhandler design og implementering af den analoge wahwah-effektenhed. Specifikke udledninger af anvendte formler er vist i appendiks B.1 på side 108, mens et komplet eldiagram er vist i appendiks D på side Effektens funktionalitet Under designfasen af wahwah-enheden tages der udgangspunkt i beskrivelsen af effekten under analysedelen, jf. afsnit Deraf følger, at wahwah-effektenheden opbygges omkring et variabelt båndpasfilter, hvor centerfrekvensen ω c og godhedsfaktoren Q indgår som variable parametre. Endvidere skal udgangen af båndpasfilteret kunne mixes med indgangssignalet således, at wahwah-enhedens effekt kan justeres. Dette betyder, at graden af wahwah kan indstilles af brugeren efter behov. For at overholde kravet om et signalsving på udgangen mellem ± 5 V designes wahwahenheden til at have enhedsforstærkning i pasbåndet. Med udgangspunkt i [GM Arts 25/3-2004] og lyttetest, kan følgende krav til wahwah-enhedens parametre formuleres: 1 Q 11 2π 200Hz ω c 2π 2000Hz Q-værdien (godhedsfaktoren) er afgørende for formen af båndpasfilteret, herunder båndbredden, som kan udtrykkes ved: 26 BW = ω c Q

33 5.2. WAHWAH hvor centerfrekvensen, ω c, er bestemmende for beliggenheden af båndpasfilteret. En høj Q-værdi vil derfor resultere i en spids båndpaskarakteristik, og dermed en skarp wahwaheffekt, hvor kun et mindre frekvensspektrum fremhæves Design af wahwah Det er valgt at dimensionere wahwah-enheden med udgangspunkt i et generelt 2. ordens båndpasfilter. Overføringsfunktionen for et 2. ordens båndpasfilter ses af ligning 5.1. H BP (s) = H o ω c Q s s 2 + ω c Q s + ω c 2 (5.1) hvor H o angiver forstærkningen ved resonansfrekvensen. I dette tilfælde er H o lig 1. En strategi, der foreskriver den elektriske implementering af filteret, kan opnås ved syntese af ligning 5.1. Udledningen heraf kan ses i appendiks B.1 og resultatet er gengivet i ligning 5.2. V out = ω c s ( 1 Q (V in V out ) ω ) c s V out (5.2) hvor V in og V out er ind- og udgangen af filteret. Et blokdiagram, der realiserer båndpasfilteret kan direkte opstilles ud fra ligning 5.2 og er vist på figur 5.2. V in + - 1/ Q + - w c / s V o u t w c / s Figur 5.2: Blokdiagram til realisation af båndpasfilter. For at lette overgangen fra blokdiagrammet i figur 5.2 til den elektriske implementering foretages få regnetekniske modificeringer af figuren således, at strukturen kan realiseres ved hjælp af inverterende operationsforstærkerkoblinger samt en differensforstærker. Resultatet af disse modificeringer ses på figur 5.3. Af figur 5.3 ses, hvordan båndpasfilteret kan implementeres ved at gøre brug af en differensforstærker, en vægtet summationsforstærker i inverterende kobling samt to integratorer. Et kredsløb, der opfylder filterstrukturen fra blokdiagrammet i figur 5.3, er vist på figur 5.4. Differenskoblingen mellem V in og V out dimensioneres til enhedsforstærkning ved at vælge modstandene R 1, R 2, R 3 og R 4 til at have samme modstandsværdi. Af hensyn til kravet om en indgangsimpedans større end 50 kω internt mellem enhederne, vælges værdien af modstandene til 100 kω. 27

34 KAPITEL 5. ANALOGE EFFEKTER V in + - 1/ Q w c / s V o u t - w c / s Figur 5.3: Modificeret blokdiagram til realisation af båndpasfilter. R3 R4 R6 C1 V in R1 R2 15V + -15V R5 15V + -15V R9 R7 C2 15V + -15V Vout 15V + R8-15V Figur 5.4: Eldiagram af båndpasfilter. Den inverterende summationsforstærker skal vægte to signaler i to forskellige forhold; et signal fra differenskoblingen, V di f f, og et fra integratoren i tilbagekoblingen, V int. Situationen er gengivet på figur 5.5. R6 V diff R5 15V V int R V V O Figur 5.5: Inverterende summationsforstærker. Udgangsspændingen, V o, for kredsløbet i figur 5.5 kan opskrives som: ( R6 V o = V di f f + R ) 6 V int R 5 R 9 (5.3) Da V int ønskes vægtet med en faktor 1, skal forholdet mellem R 6 og R 9 være 1. Idet R 6 vælges til 10 kω, bliver R 9 ligeledes 10 kω. Forholdet mellem R 6 og R 5 skal vægtes i forholdet 1 Q, hvorfor R 5 bliver: 28

35 5.2. WAHWAH 1 11 R 6 R 5 1 R 6 R 5 11R 6 10kΩ R 5 110kΩ Modstanden R 5 indsættes derfor som et 100 kω potentiometer i serie med en 10 kω modstand. Af blokdiagrammerne ses, at de to integratorer skal være identiske. Idet R 7 og R 8 benævnes med R og C 1 og C 2 med C, kan centerfrekvensen ω c udtrykkes som 1 RC. Udfra kravet om en centerfrekvens mellem 200 Hz og 2 khz kan R og C dimensioneres. 2π 200Hz 1 RC 2π 2kHz (2π 2kHz C) 1 R (2π 200Hz C) 1 Idet C vælges til en standardværdi på 68 nf findes R til: 1.17kΩ R 11.7kΩ I praksis anvendes et stereopotentiometer på 10 kω i serie med en 1.16 kω modstand. Dette giver en centerfrekvens mellem; 210Hz f c 2.02kHz Som nævnt i afsnit skal udgangen af båndpasfilteret,v out kunne mikses med indgangsignalet, V in. Dette løses ved en variabel spændingsdeling mellem de to signaler ved hjælp af et potentiometer. Ved at udtage det miksede udgangssignal på potentiometerets midterste ben kan udgangsspændingen, V out, opstilles som: V out = V in (1 K) +V out K (5.4) Her angiver K modstandsforholdet til potentiometerets miderste ben. Indsættelsen af potentiometeret påvirker både ind- og udgangsmodstanden af wahwah-effektenheden. Derfor vælges det at føre det miksede udgangssignal, V out, gennem et buffertrin med en lav udgangsimpedans og en høj indgangsimpedans. Udgangstrinnet er vist på figur 5.6. Dette betyder, at indgangsmodstanden afhænger af differensforstærkeren og potentiometeret, der mixer ind- og udgangen. Indgangsmodstanden, R in, af wahwah-enheden kan findes som: R in = 2R 1 R 10 (5.5) 29

36 KAPITEL 5. ANALOGE EFFEKTER V out R10 V in 15V + -15V V' out Figur 5.6: Udgangstrinnet af wahwah-effektenheden. hvor 2R 1 udgør indgangsimpedansen af differensforstærkeren. R in skal i henhold til kravspecifikationen være større end 50 kω, hvorfor følgende ulighed opstilles, som løses med hensyn til R 10 : R in = 2R 1 R 10 > 50kΩ R 10 > 100R 1 kω = 66.7kΩ 2R 1 50 R 10 vælges til 100 kω, hvilket giver en indgangsmodstand på 66.7 kω Test af wahwah Test af wahwah-effektenheden har vist, at centerfrekvensen kan varieres i det ønskede interval mellem 200 Hz og 2 khz, og at Q-værdien er justerbar mellem 1 og 11 i hele frekvensbåndet. For dokumentation af målinger henvises til appendiks A.3 på side Tremolo I dette afsnit beskrives design og implementering af tremolo. Som indledning diskuteres den overordnede virkemåde, hvorefter effekten designes i hardware Effektens funktionalitet Som beskrevet i analysen fungerer tremolo ved, at et lavfrekvent signal multipliceres med guitarsignalet. Figur 2.7 på side 8 viser blokdiagrammet for en tremoloeffekt. For at finde ud af hvilken kurveform det modulerende signal skal have, simuleres en tremoloeffekt i Matlab. Matlab-filen tremolo_effect.m er inkluderet på vedlagte cd, jf. [CD 2004, matlab/tremolo_effect.m]. Der simuleres en tremoloeffekt, hvor der benyttes henholdsvis et sinus-, et trekant- og et firkantsignal. Modulationssignalet gives et offset således, at det kun har een polaritet for at 30

37 5.3. TREMOLO undgå højfrekvent støj som følge af faseskift. Efter lyttetest vurderes, at den bedste effekt opnås ved benyttelse af et sinussignal. Firkantsignalet tilføjer pga. diskontinuitet højfrekvent støj til signalet. Benyttelse af et trekantsignal giver ikke en nær så intens effekt som sinussignalet pga. trekantsignalets konstante hældning. Derfor vælges det at designe en tremolo, der moduleres med et sinussignal, hvilket betyder, at der skal designes en sinusgenerator og en analog multiplikator. Brugeren skal have mulighed for at justere sinussignalets frekvens mellem 0.1 Hz og 10 Hz samt den AC-mæssige amplitude af modulationssignalet. For at imødekomme kravene til grænseflader skal outputsignalet ligge mellem ±5 V ved et input på ±5 V. Dette gør, at sinussignalets maksimale værdi altid skal være den samme uafhængigt af AC-værdien. Sinussignalets spændingsområde vælges til 0-5 V, så multiplikatorens to indgangssignaler har samme størrelse Design af multiplikator Multiplikatoren skal dimensioneres således, at 5 V på de to indgange giver 5 V på udgangen. Det vælges at benyttes den integrerede kreds XR-2208 fra Exar. Dette er en såkaldt firekvadrant multiplikator, med hvilket der menes, at den er i stand til at multiplicere to signaler, der begge kan have begge polariteter. Dette er dog ikke nødvendigt, idet det modulerende sinussignal kun har én polaritet. V C C R 1 R K R K - V C C 22K R 6 S i n u s G N D S i g n a l I n d V x C O M V y X O u t 2 O u t R K R K 30 1K U R K 12 C 1 22p F 11 S i g n a l Ud R K U1 V C C R K R 2 22K G N D R K - V C C Figur 5.7: Diagram for multiplikatorkredsløb baseret på den integrerede kreds Exar XR Signal Ind er guitarsignalet, mens Signal Ud er outputsignalet. Figur 5.7 viser, hvorledes kredsen kobles op. Opkoblingen tager udgangspunkt i figur 14 vist i databladet for kredsen [CD 2004, datablade/xr2208.pdf]. Operationsforstærkeren sidder i samme kreds som multiplikatoren og opererer her i en differenskobling, idet multiplika- 31

38 KAPITEL 5. ANALOGE EFFEKTER torens output v di f f findes differentielt mellem ben 1 og 2. Modstandene R 5 og R 10 definerer multiplikatorens forstærkning. Spændingen v di f f er givet ved følgende ligning, hvor v X og v Y er de to inputspændinger: v di f f = R 5 R 10 v X v Y (5.6) For at opnå et output i forhold til stel benyttes en differensforstærker. I/O-relationen for en differensforstærkeren er givet ved: v O = R 6 v R6 R 7 +R o2 R 7 + R o2 1 + R 8+R o1 v 2 (5.7) R 9 +R 27 R o1 og R o2 er udgangsmodstanden for de to udgange, hvilken findes i datablad til 6 kω. Det vælges at følge databladet og give hvert input en forstærkning på ti gange, hvilket opnås med de viste modstandsværdier. Der benyttes en variabel modstand, R 27, for at kunne gøre de to forstærkninger lige store og herved justere udgangens offset. Når inputspændingerne v X og v Y begge er lig 5 V, skal v O være lig 5 V. Dette betyder, at v di f f skal være 0.5 V, hvorved R 5 og R 10 kan bestemmes vha. ligning 5.8: R 5 R 10 = v X v Y v di f f = Ω 2 (5.8) For at opnå dette forhold vælges at sætte R 5 til 40 kω og R 10 til kω. De to potmetre R 1 og R 2 benyttes til at justere faktorernes offsetværdi, så output er nul, såfremt en indgang er lig nul. Der er byttet om på ben 1 og 2 i forhold til databladet for at kompensere for, at det modulerende sinussignal er negativt. Kondensatoren C 1 mellem udgangen og ben 12 sikrer, at den tilbagekoblede operationsforstærker ikke bliver ustabil, ved at tilføje overføringsfunktionen for åbensløjfen en tidlig pol, der sikrer, at forstærkningen er mindre end 1, når der er en fase på Design af sinusgenerator Guitarsignalet sættes på multiplikatorens ene indgang, mens et lavfrekvent sinussignal sættes på den anden. Det ønskes at kunne justere frekvensen og amplituden af sinussignalet. Frekvensen skal kunne justeres mellem 0.1 Hz og 10 Hz. Den maksimale værdi skal altid være 5 V, og det ønskes at kunne justere amplituden således, at den minimale værdi er 0 V. Dette betyder, at AC-værdiens, v AC, peakspænding justeres i intervallet V. For at have en maksimal spænding på 5 V skal offset følge ligningen: V O f f set = V max V AC,peak = 5 V V AC,peak (5.9) 32

39 5.3. TREMOLO Offset kommer herved til at ligge i intervallet V. Dette offset skal følge amplituden. I det næstfølgende afsnit diskuteres genereringen af et sinussignal uden offset for derefter at tilføje det ønskede offset. Sinusgenerering Det ønskes at generere et sinussignal, hvor frekvensen kan justeres ved kun at ændre een modstand. Herved kan guitaristen ændre frekvens vha. eet monopotentiometer. For at generere et sinussignal uden harmonisk forvrængning er det nødvendigt at lave et system med poler på den imaginære akse. For at holde polerne her er det nødvendigt at konstruere et automatisk gain-system for at sikre en konstant amplitude af sinussignalet. Matlab-simuleringen af tremoloeffekten har vist, at der ikke er stor lydmæssig forskel på modulation med en trekant og en sinus. På den baggrund konkluderes, at det ikke er nødvendigt at benytte et sinussignal med minimal harmonisk forvrængning. Desuden skal sinusgeneratoren kunne generere et lavfrekvent signal på 0.1 Hz, hvilket er svært at generere med en svingningskreds. En anden mulighed er at generere et sinussignal ud fra et trekantsignal. Dette kan gøres ved enten at bortfiltrere alle frekvenser over grundfrekvensen eller ved at sende trekanten gennem et system med et sinussignal som input-outputrelation (se figur 5.8). Fordelen ved denne metode fremfor filtermetoden er, at den er uafhængig af v omax v o v i v imax Figur 5.8: Sendes et trekantsignal med en maksimal amplitude på v imax ind i denne input-outputrelation bliver udgangssignalet en sinus. frekvensen, hvorimod filtermetoden er uafhængig af trekantsignalets amplitude. Af denne grund vælges at lave et system, der har et sinussignal som overføringsfunktion. Dette system kan tilnærmes vha. et netværk af zenerdioder og modstande. 33

40 KAPITEL 5. ANALOGE EFFEKTER Generering af trekantsignal Først genereres et trekantsignal. Det vælges at give trekantsignalet en peak-værdi på 10 V. Spændingen vælges så høj for bedre at kunne finde zenerdioder med passende værdier. Trekantsignalet genereres ved at integrere output fra en inverterende hysterese og sende dette signal tilbage ind i hysteresen. Da en inverterende integrator er lettest at implementere, benyttes en ikke-inverterende hysterese. Figur 5.9 viser sammenhæng mellem input og output for hysteresen. Trekantgeneratoren realiseres som vist på figur Idet det antages, v o L + V TL V TH v i L Figur 5.9: Ikke-inverterende hysterese. Udgangsspændingen v o skifter til L +, når indgangsspændingen v i overstiger V TH. v i skal være mindre end V TL, før v o skifter til L. C 2 v ii R 28 1M R K 2 3 G N D U 1A 1uF v oi 1 v i R K t r e k a n t 5 6 G N D v + U 1B R K 7 R K v o D D G N D Figur 5.10: Realisation af en trekantgenerator. at der ikke løber strøm ind i operationsforstærkeren, bliver spændingen v + på den ikkeinverterende indgang: v + = v o + v i v o R 15 + R 12 R 12 (5.10) Da v + sammenlignes med 0 V, kan den værdi af v i, hvor hysteresen skifter, bestemmes ved at sætte v + lig 0: 34 0 = v o + v i v o R 15 + R 12 R 12 v i = v o R 15 R 12 (5.11)

41 5.3. TREMOLO Herved kan V T L og V TH bestemmes som: V T L = L + R 15 R 12 V TH = L R 15 R 12 (5.12) Outputtet fra hysteresen vil altid være enten L + eller L. Herved vil udgangen af integratoren altid have konstant hældning indtil spændingen når V T L eller V T H. Ved denne spænding vil udgangen skifte, og hældningen skifter fortegn. For at få et trekantsignal på udgangen af integratoren skal firkantsignalet på indgangen have en duty cycle på 50 %. Dette gør sig gældende når L + = L. Denne betingelse opfyldes ved at fastsætte L + og L vha. zenerdioderne D 1 og D 2. Strømmen begrænses af modstanden R 16, der vælges til 10 kω. Idet operationsforstærkeren ikke kan skifte fra L + til L momentant, vælges en zenerdiode med en zenerspænding på 3.9 V. På grund af mangel på datablad måles de resulterende spændinger L + og L til 3.9 V. For at opnå et trekantsignal med en peakværdi på 10 V skal V TL = V T H = 10 V. Herved kan forholdet mellem R 15 og R 12 findes vha. ligning 5.12: V TH = L R 15 R V = 3.9 V R 15 R 12 R 15 = 2.56R 12 (5.13) R 12 vælges til 100 kω og R 15 bliver herved 256 kω, som vælges til en standardværdi på 255 kω. Denne konfiguration sikrer, at trekantsignalet får den korrekte amplitude. Næste skridt er at tilpasse frekvensen. Dette sker ved dimensionering af integratoren. Integratoren har input-outputrelationen: Z 1 v oi = (R 14 + R 28 )C 2 v ii (t)dt (5.14) hvor v oi er udgangsspændingen og v ii er indgangsspændingen. Grundet hysteresen kan v ii kun antage værdierne L + og L +.Ud fra denne ligning ses, at trekantsignalets positive hældning dv ii dt er givet ved: dv ii dt = L + (R 14 + R 28 )C 2 (5.15) Idet L + = L er den negative hældning numerisk lige stor som den positive. Hældningen af et trekantsignal er afhængig af frekvens ( f ) og amplitude. Signalet ændrer sig på en halv periode fra negativt maksimum V T H til positivt maksimum V T H med konstant hældning. Herved bliver hældningen: dv t dt = 2V T H 1 2 f = 4V T H f (5.16) 35