Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik"

Transkript

1 , september 2013 Oplag: 400 stk. ISSN: Fagbladet Famøs c/o Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Universitetsparken København Ø Famøs er et internt fagblad. Eftertryk tilladt med kildeangivelse. Indlæg modtages gerne og bedes sendt til famos@math.ku.dk gerne i LATEX og gerne baseret på skabelonen som kan hentes på hjemmesiden. Deadline for næste nummer: 18. oktober 2013 Illustrationer: Nilin Abrahamsen (forside) Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik ved Københavns Universitet FAMØS SuperSune: Præmieopgaveløseren af stål Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik, september 2013 FAMØS

2 Redaktion Jingyu She, Kristian Knudsen Olesen, Maria Bekker-Nielsen Dunbar, Martin Patrick Speirs, Nilin Abrahamsen, Søren Wengel Mogensen Dit navn kunne stå på denne side! Hvad venter du på? Skriv til i dag, og bliv redaktør i morgen! Daniel Kjær 59 Litteratur [1] Jacobsen, M., Videregående Sandsynlighedsregning, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, 3. udgave, 2003 [2] Wichmann, B. A. & Hill, I. D., Algorithm AS 183: An Efficient and Portable Pseudo-Random Number Generator, Applied Statistics, Vol 31, No. 2 (1982),

3 58 Sandsynlighedsbaserede metoder Listing 2 C++ kode 1 // : MC_intro : Uniform. cpp 2 // Generate pseudo random numbers uniformly between 0 and 1 3 # include <iostream > 4 # include <math.h> // For using " fmod ()" 5 using namespace std ; 6 7 float uniform (){ 8 // A sequence of initial values 9 static int x = 5; 10 static int y = 11; 11 static int z = 17; // Some integer arithmetic required 14 x = 171 * (x % 177) - 2 * (x / 177); 15 y = 172 * (y % 176) - 35 * (y / 176); 16 z = 170 * (z % 178) - 63 * (z / 178); /* If both operands are nonnegative then the 19 remainder is nonnegative ; if not, the sign of 20 the remainder is implementation - defined. */ 21 if (x < 0) 22 x = x ; 23 if (y < 0) 24 y = y ; 25 if (z < 0) 26 z = z ; return fmod (x / y / z / , 1.); 29 } int main (){ 32 // Print 5 random numbers 33 for ( int i = 0; i < 5; ++i){ 34 cout << uniform () << ", "; 35 } 36 } // /:~ I næste artikel diskuteres, hvorledes pseudotilfældige tal bekvemt og effektivt kan bruges til frembringe af stokastiske variable til brug i en Monte Carlo-model. Indhold 3 Indhold Introduktion til ES Hex Blokkens spil Banach-Steinhaus sætning Side 9-sætning Hvad er et tal? Et års udveksling til Singapore Sjov med pizza Præmieopgave og ekstraopgave Her nytter solve ikke! Svar på opgaver fra FAMØS Årgang 22, nr. 3 Gammafunktionen Introduktion til Gammafunktionen Sandsynlighedsbaserede metoder

4 4 Introduktion til ES01 Introduktion til ES01 Fem HV-spørgsmål med tilhørende svar Maria Bekker-Nielsen Dunbar Hvad er ES01? ES01 er studenterkøkkenet på IMF 1 et sted at opbevare mad og ting, læse, drikke kaffe, hyggesnakke, lave fællesaftensmad mm. Hvor er ES01? ES01 ligger til venstre for auditorie 5 og 6. Hvem har lov at være i ES01? IMF-studerende (man skulle ikke tro det ud fra fordelingen af ES01-brugere, men mat-øk- og aktuarstuderende må godt være i køkkenet). Vær endelig ikke bange for at kigge derind! Hvordan kommer man ind i ES01? Man får adgang til ES01 ved at udfylde en adgangsseddel (de findes til venstre for døren) og aflevere den til en kortansvarlig. Som kan ses på døren, er kortansvarlige pt Alexander Jasper, Martin Mads og tidligere Famøsredaktør Kristian Poulsen. Hvad gælder i ES01? Reglerne kan læses øverst på adgangssedlen samt diverse sedler, der hænger rundt omkring i lokalet (primært på døre). Opsummeret: Hold stedet pænt og lad være med at sove derinde 1 Det svarer til fysikernes DS01 ( det absolutte rum ) Daniel Kjær 57 hvor (9) følger af (6), (10) følger af (5), og (11) følger af (8). Da ml(a c ) 1 ε konkluderer vi at ml(a) < ε. Da dette gælder for alle ε > 0, har vi bevist at ml(a) = 0. Programmel En klar-til-brug implementering af den s.k. Wichmann & Hillgenerator følger. Algoritmen er anstændig nok til personlig brug. Listing 1 R kode 1 local ({ # A x = 5 y = z = x, y variables. function (){ < <- * (x - 2 * (x %/% < <- * (y - 35 * (y %/% < <- * (z - 63 * (z %/% x, if (x < 0) < <- x + if (y < 0) < <- y + if (z < 0) < <- z + return (( x / + y / + z / for (i print ( uniform ()) ## Generate pseudo random numbers uniformly between 0 and 1 2 uniform <- 3 sequence of initial values # Make and z local static 9 f <- 10 x 171 %% 177) 177) 11 y 172 %% 176) 176) 12 z 170 %% 178) 178) 14 # The part where we deal with negative y and z x y z ) %% 1) 23 } 24 }) 26 # Print 5 random numbers 27 in 1:5){ }

5 56 Sandsynlighedsbaserede metoder Det genstår at bevise den anden halvdel. Lad A I være en T -invariant mængde, A = T 1 (A). Vi skal vise, at ml(a) = 0 eller 1. I tilfældet ml(a) = 1 er der intet at vise. Lad os antage at ml(a) < 1 og vise at ml(a) = 0 ved at vise, at ml(a) < ε for alle ε > 0. Lad In,m = [(m 1)a n, ma n ) for n N og m = 1,..., a n. Observér først, at T k (In,m) = [ m 1 mod an k a n k, m 1 mod an k + 1 a n k ), (4) for k {0,..., n}. Fra (4) har vi, at ml(t k (In,m)) = a k ml(in,m). (5) Bemærk dernæst, at T n (In,m A c ) T n (In,m) T n (A c ) T n (In,m) A c = A c, (6) hvor anden inklusion gælder, fordi også A c er T -invariant og T (T 1 (A c )) T 1 (A c ) = A c. Lighedstegnet følger af (4) idet T n (In,m) = [0, 1). Givet ε > 0 findes et n N og et m {1,..., a n }, således at Dette er ækvivalent med ε > m L(In,m A) ml(in,m). (7) ml(in,m A c ) > (1 ε)ml(in,m). (8) Ved udregning har vi altså, at ml(a c ) ml(t n (In,m A c )) (9) = a n ml(in,m A c ) (10) a n (1 ε)ml(in,m) (11) = 1 ε (12) Blokkens spil 5 Hex Et kompliceret spil med simple regler Bo Maling Malling Christensen Tidligere i år skrev Famøs om spillet Go blandt andet kendt fra filmen»a Beautiful Mind«. Hex er et spil meget i samme stil som Go i den forstand, at spillet, trods dets simple regelsæt, er ekstremt kompliceret at analysere. Man spiller normalt Hex på et diamantformet bræt bestående af sekskanter. Ved skiftevis at tage sin tur gælder det om at forbinde en side med dens modstående side med sine brikker. Figur 1 Et afgjort standardspil Hex hvor sort har vundet ved at forbinde A11 og J1 Selv om Hex i den mest populære udgave (11 11) endnu ikke er blevet løst, end ikke ved hjælp af de kraftigste computere og det bedste software 2, så er mange mindre udgaver løst. Senest er der i 2009 fundet en vindende strategi for hvid på 9 9. Man 2 Der afholdes årligt konkurrencer, hvor computerprogrammer dyster mod hinanden i endnu ikke løste spil, såsom Go, Skak og Hex.

6 6 Hex estimerer imidlertid, at det vil tage halvandet årtusinde at løse med nuværende udstyr og derfra er der stadig langt til, at standardudgaven af spillet er løst. Figur Hex løst. Ved at starte spillet på de sorte felter kan man gennemtvinge en sejr. De resterende felter angiver, hvor man som nummer to skal spille for at kunne gennemtvinge en sejr, skulle den første spiller starte her. Man kan ret hurtigt overbevise sig selv om, at Hex aldrig kan ende uafgjort, og der vil altid være netop én vinder. Helt tydeligt kan begge spillere ikke vinde. Omvendt, kan man ved hjælp af lidt simpel grafteori vise, at det ikke kan lade sig gøre, at ingen af spillerne får koblet sine sider sammen. Derfor er der kun muligheden tilbage, at spillet altid vil have netop én vinder. Det er tydeligt, at eftersom samtlige træk kan kortlægges, så kan man lave et såkaldt spiltræ og ud fra dette, finde ud af hvem der har den vindende strategi. Bemærk for 2 2, at hvis hvid Daniel Kjær 55 vi, at T er ml-målbevarende. Dernæst beviser vi, at enhver T - invariant mængde A I er triviel, i den forstand at A har ml-mål 0 eller 1. Bevis. Genkald, at [λ] = max{k Z+ : k λ} for λ R+ og omskriv T på formen T (ω) = aω [aω], ω [0, 1). (2) Det er klart, at T er målelig, og i øvrigt har vi fra (2), at [ ) T (ω) = aω (k 1), ω k 1 a, k a, k = 1,..., a. (3) For at bevise at T er ml-målbevarende, lad α, β [0, 1) med α < β være givet. Bemærk først, at fra (3) har vi at a T 1 ([α, β)) = [ α+k 1 a, β+k 1 a ). k=1 Herfor finder vi ved udregning, at T (ml)([α, β)) = ml(t 1 ([α, β))) a = ml([ α+k 1 a, β+k 1 a )) k=1 = β α = ml([α, β)). Bemærk dernæst at {[α, β) [0, 1): α, β [0, 1), α < β} er et fællesmængdestabilt frembringersystem for Borel σ-algebraen B [0,1) af delmængder af [0, 1). Dette beviser at T (ml) = ml, altså at T er ml-målbevarende.

7 54 Sandsynlighedsbaserede metoder m. I øvrigt viser det sig, at L er periodisk i den forstand, at der findes et n N, således at den n-foldige sammensætning af L med sig selv er den identiske afbildning. At L er periodisk, er selvfølgelig acceptabelt, kun hvis perioden er meget stor. ωk+1 ωk+1 1 T 1 Γ 0 1 ωk 0 1 ωk Figur 2 Den ergodiske transformation T (ω = aω mod 1) for et a = 3. Figur 3 Den lineære kongruensgenerator for parametre a = og c/m = Den lineære kongruens-generator er altså modelleret efter følgende ergodiske transformation. Se figuren for sammenligning. Sætning 10 Betragt sandsynlighedsfeltet ([0, 1), B [0,1), ml). Lad a N, a > 1 være et naturligt tal. Den målelige afbildning T på [0, 1) ind i [0, 1) givet ved multiplikation med a modulo 1, altså T (ω) = aω mod 1, ω [0, 1) er ergodisk. Note 11 (Bevisskitse) Vi skal bevise, at ([0, 1), B [0,1), ml, T ) er et ergodisk system. Vi opdeler vores bevis i to trin: Først beviser Bo Maling Malling Christensen 7 Figur 3 Et komplet spiltræ over 2 2. starter i en af midterpositionerne, så kan han tvinge en sejr hjem. Til gengæld, hvis man starter i de spidse hjørner, så kan sort tvinge en sejr hjem. Det viser sig faktisk, at lige meget hvor stor pladen er, så kan sort altid tvinge en sejr, hvis hvid starter i disse hjørner. Theorem 1 Første spiller (hvid) har en vindende strategi på n n. Bevis. Vi ved allerede, at en af spillerne har en vindende strategi. Antag det er spiller to (sort). For n lige: Lad hvid spille et tilfældigt sted. Da brættet er symmetrisk, og sort har en vindende strategi, kan hvid blot kopiere sorts træk symmetrisk. Skulle sort spille det symmetriske sted til hvids åbningstræk, så spiller hvid bare et nyt tilfældigt sted.

8 8 Hex For n ulige: Lad hvid spille i midterfeltet. Da resten af brættet er symmetrisk, og sort har en vindende strategi, kan hvid blot kopiere sorts træk symmetrisk. I begge tilfælde vil hvid altid have mindst lige så mange brikker på brættet som sort, og eftersom enhver brik aldrig kan være en ulempe, så står hvid mindst lige så godt stillet som sort. Men sort havde jo en vindende strategi, så vores antagelse må være forkert. Ergo har hvid en vindende strategi. Denne strategityveri-taktik er et velkendt bevis for symmetriske spil af denne type. Desværre er det blot et eksistensbevis, så det giver os ingen idé om, hvordan en generel løsning kunne se ud. For at undgå at hvid lægger for stærkt ud, har man mange steder tilføjet Swap Rule, der tillader sort at bytte brikker med hvid efter åbningen af spillet. Dog, eftersom der altid findes en vindende strategi for enten sort eller hvid, kan sort altid vinde spil, der benytter Swap Rule. Der er analyseret adskillige træk, som gør, at man kan nøjes med at kigge på en brøkdel af kombinationerne, når man prøver at finde de vindende strategier. Kan du gennemskue nogle af dem? Spil spillet et par gange med en ven og se om du kan finde frem til nogle gode tommelfingerregler, og om de altid gælder. Daniel Kjær 53 Definition 8 Lad a, c, m Z+ være ikke-negative heltal, således at 0 < a < m og 0 c < m. Den lineære kongruens-generator er en afbildning L på {0,..., m 1} ind i {0,..., m 1} givet ved L(γ) = aγ + c mod m, γ {0,..., m 1}. Den egentlige produktion af en følge (ωk)k Z+ af pseudotilfældige tal i [0, 1) under den lineære kongruens-generator fås ved at lade γ0 {0,..., m 1} være givet og sætte γk = L k (γ0), ωk = γk/m, k Z+. Bemærkning 9 Lad Γ være en afbildning på { 0 m,..., m 1 m } ind i { 0 m,..., m 1 m } givet ved Γ(ω) = L(mω)/m, ω { 0 m,..., m 1 m }. Fra et matematisk synspunkt er følgen (ωk)k Z+ af pseudotilfældige tal frembragt af den lineære kongruens-generator ækvivalent med den af ω0 γ0/m frembragte omløbsbane under Γ, altså Γω0 = (ω k)k Z+. (1) Det ses endvidere ved udregning, at Γ(ω) = aω + c m mod 1, ω { 0 m,..., m 1 m }. Lad os tage en time-out til en sludder for en sladder: Den lineære kongruens-generator er altså ikke en pseudotilfældig generator i den ideale forstand, som vi har lagt op til indtil videre, for eksempel er Γ ikke en afbildning på hele [0, 1), men med en vederstyggelig brug af notation har vi at { 0 m,..., m 1 m } [0, 1) dersom

9 52 Sandsynlighedsbaserede metoder Definition 6 (Pseudotilfældig talgenerator) Lad os betragte sandsynlighedsfeltet ([0, 1), B [0,1), ml), hvor ml er Lebesgue målet på Borel σ-algebraen B [0,1) af delmængder af [0, 1). Ved en pseudotilfældig talgenerator på ([0, 1), B [0,1), ml) mener vi en målelig afbildning Γ på [0, 1) ind i [0, 1), således at følgende betingelse er opfyldt: 1. Kvadruplet ([0, 1), B [0,1), ml, Γ) er et ergodisk system. At bruge Birkhoff ergodesætningen til estimation af integraler er idéen bag Monte Carlo-metoder, og fejlen kan estimeres ved hjælp af statistiske standardmetoder. Korollar 7 Lad Γ være en pseudotilfældig talgenerator på sandsynlighedsfeltet ([0, 1), B [0,1), ml). For enhver mængde A B [0,1) findes en nulmængde Λ i ([0, 1), B [0,1), ml), således at lim n n 1 k=0 1A T k (ω) = ml(a), dersom ω Λ c. Bevis. Følger af Birkhoff s ergodesætning. Det er i denne forstand, at omløbsbanerne for en ergodisk afbildning skulle forestille at replikere udfaldsrummet, og det er denne ideale egenskab, vi vil kræve fra en pseudotilfældig talgenerator: Omløbsbanerne for en pseudotilfældig talgenerator rammer A uendeligt ofte med asymptotisk relativ frekvens ml(a). Den letteste og mest populære algoritme til frembringelsen af pseudotilfældige tal, den s.k. lineære kongruens-generator, blev udviklet af D. H. Lehmer i 1949, og algoritmen for den lineære kongruens-generator er modelleret efter en ergodisk transformation. Side 9-sætning 9 Banach-Steinhaus sætning Rasmus Sylvester Bryder Vi vil her give et kort og elementært bevis for Banach-Steinhaus sætning, også kendt under navnet Uniform boundedness principle, hvis anvendelighed har nærmest ingen ende i felter som funktionalanalyse og operatoralgebra. Beviset og dets optakt stammer fra [2]. For normerede rum X og Y og en lineær afbildning T : X Y defineres T = sup{ T x x X, x 1}. Der gælder da, at T er kontinuert hvis og kun hvis T <, i hvilket fald T x T x for alle x X (se fx [1, Sætning 4.6 og 4.8]). Mængden B(X, Y ) af kontinuerte lineære afbildninger X Y er et vektorrum med punktvis addition og skalarmultiplikation, og T T er en norm på B(X, Y ). Lemma 1 Lad X og Y være normerede rum og lad T B(X, Y ). Da vil der for alle x X og r > 0 gælde sup{ T x x X, x x < r} T r. Bevis. Lad M betegne ovenstående supremum. Idet y y y + y for y, y X grundet trekantsuligheden, har vi at max{ T (x + z), T (x z) } ( T (x + z) + T (x z ) T z ( T z) = T z for alle z X. For z X med z < r vil (x + z) x < r og (x z) x < r, hvormed max{ T (x + z), T (x z) } M

10 10 Banach-Steinhaus sætning og dermed M T z. Dermed er M et overtal for { T z z X, z < r}, hvilket medfører den ønskede ulighed: M sup{ T z z X, z r} = T r Korollar 2 Lad X og Y være normerede rum og lad T B(X, Y ). Da vil der for alle x X og r > 0 findes et x X så x x r og T x 2 3 T r. Bevis. Ovenstående gælder klart hvis T = 0. Hvis T 0, sættes ε = 1 3 T r. Jf. ovenstående lemma findes x X med x x < r så T x +ε T r, hvormed det ønskede følger. Sætning 3 (Banach-Steinhaus, 1927) Lad A B(X, Y ), hvor X er et Banach-rum og Y et normeret rum. Hvis sup T A T x < for alle x X, vil sup T A T <. Bevis. Hvis sup T A T =, findes en følge (Tn)n 1 i A så Tn 4 n for alle n. Sæt x0 = 0 og benyt Korollar 2 for T1 og x0 til at bestemme x1 X med x1 x0 3 1 med T1x T1. Ved gentagen brug af Korollar 2 opnås nu en følge (xn)n 1 i X med xn xn 1 3 n og Tnxn n Tn. For Daniel Kjær 51 En idé er, at man for en generel målbevarende afbildning T kræver, at enhver T -invariant mængde er triviel som f.eks. Ω og. Definition 4 (Ergodisk System) Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. En målelig afbildning, T, på Ω ind i Ω siges at være ergodisk, hvis følgende betingelser er opfyldt: 1. T er P -målbevarende, 2. For enhver mængde A i den T -invariante σ-algebra I, så er P (A) = 0 eller 1. Kvadruplet (Ω, F, P, T ) kaldes et ergodisk system. Definitionen af et ergodisk system giver, overraskende nok, løsningen på spørgsmålet. Følgende sætning er endda også ergodeteoriens ubestridte højdepunkt. Sætning 5 (Birkhoffs ergodesætning) Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. Hvis T er en P -målbevarende afbildning på Ω ind i Ω, og X er en integrabel reel stokastisk variabel på Ω, da findes en nulmængde Λ i (Ω, F, P ), således at n 1 1 lim X T k (ω) = E(X I)(ω), dersom ω Λ c. n n k=0 Hvis yderligere T er ergodisk, gælder at der findes en nulmængde Λ i (Ω, F, P ), således at n 1 1 lim X T k (ω) = E(X), dersom ω Λ c. n n k=0 Bevis. Se [1].

11 50 Sandsynlighedsbaserede metoder Definition 3 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt og lad T være en P -målbevarende afbildning på Ω ind i Ω. En mængde A F siges at være T -invariant, hvis T 1 (A) = A. Ved den T -invariante σ-algebra, betegnet ved I, forstås samlingen {A F: T 1 (A) = A} af T -invariante mængder. Øvelse: Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt og lad T være en P -målbevarende afbildning på Ω ind i Ω. Bekræft, at den T -invariante σ-algebra I faktisk er en σ-algebra. Øvelse: Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. Lad T være en P -målbevarende afbildning på Ω ind i Ω og lad A I være en mængde i den T -invariante σ-algebra. Antag, at A / {, Ω} og at P (A) (0, 1). Vis, at T (A) A og forklar hvorfor det kan være problematisk at bruge T som generator. I øvelsen er strukturen af den frembragte omløbsbane antaget så simpel, at den ikke lader sig fordele jævnt over hele udfaldsrummet. Spørgsmål: Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. Lad T være en målelig afbildning på Ω ind i Ω, og lad Tω være den af ω frembragte omløbsbane under T. Hvilke yderligere betingelser skal T opfylde, for at følgende betingelse gælder? 1. Der findes en nulmængde Λ i (Ω, F, P ), så Tω i en vis forstand er en replika af Ω for alle ω Λ c. Rasmus Sylvester Bryder 11 m > n vil xm xn m k=n+1 m k=n+1 xk xk 1 3 k m n 1 = 3 (n+1) k=0 3 k (n+1) = n, så (xn)n 1 er en Cauchy-følge og konvergerer derfor mod et punkt x X. Ved at lade m i ovenstående fås x xn n, hvormed Tn(xn x) Tn xn x n Tn og Tnx Tnxn Tn(xn x) ( ) n Tn = n Tn 1 ( ) 4 n, 6 3 så sup T A T x =. Dette viser sætningen. Litteratur [1] Berg, Christian, Metriske rum, Matematisk afdeling, Københavns Universitet, [2] Sokal, Alan D., A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, American Mathematical Monthly, 2010.

12 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre matematiske begreber. F.eks. kunne man måske sige, at tallet 1 var det objekt, der repræsenterede antallet af næser, du har (hvis vi antager, at du er et nogenlunde normalt menneske); eller hvis man er til mængdelære, ville man måske definere 1 som { }. Men begge disse metoder beskriver blot tallet 1 med hhv. kardinaliteter og mængder. Er det ikke muligt, at definere hvad et tal er uafhængigt af anden matematik? Dette er, hvad matematikeren og filosoffen Gottlob Frege ( ) ville prøve at give sig i kast med. Nærmere betegnet ville han gerne kunne definere alle de naturlige tal udelukkende ved brug af logik 3. Han fik opbygget en yderst elegant og intuitiv teori, som dog senere hen blev angrebet og endte ud i, at han opgav teorien fuldstændigt - dette ledte dog andre filosoffer, såvel som matematikere, til at videreudvikle hans idéer. Vi vil her vise, hvordan hans teori så ud, og hvad der fik hele fundamentet til at smuldre. Først og fremmest skal vi lige have et par småting på plads for at kunne forstå definitionerne. Et begreb er ment som en grundlæggende tanke omkring beskrivelsen af objekter - f.eks. er at være rød et begreb, da dette kan bruges til at beskrive røde objekter. Derudover siger vi, at et objekt falder ind under et begreb, hvis objektet bliver beskrevet af begrebet - med ovenstående eksempel kan vi så sige, at jordbær falder ind under begrebet at være rød. 3 Egentlig havde han til mål at dække al matematik, men han startede nu engang beskedent ud med tal. Daniel Kjær 49 sammensætning af T med sig selv, betegnet ved T n, ved { T 0 = idω, T n = T T n 1, n N hvor idω er den identiske afbildning på Ω. Ved den af ω frembragte omløbsbane under T for et ω Ω, betegnet ved Tω, forstås følgen (T n (ω))n Z+. Ω: ω3 ω2 ω1 ω4 ω0 Figur 1 En omløbsbane under transformationen T. Lad (Ω, F) være et målbart rum og lad ω0 Ω være et element i udfaldsrummet. Lad T være en målelig afbildning på Ω ind i Ω og lad Tω0 betegne den af ω 0 frembragte omløbsbane under T. Omløbsbanen under T kan visualiseres som i ovenstående skema. De idéelle egenskaber hørende til en god pseudotilfældig talgenerator til generelle formål er lette at blive enige om. Tilstedeværelsen af uafhængighed og ensartethed er de gældende kriterier for en generators tilstrækkelighed. Vi vil gerne matematisk afspejle idéen om, at ligefordelingen bevares af generatoren under iterationer, der bærer et pseudotilfældigt tal over i et andet. Det leder os til studiet af målbevarende afbildninger, ergodeteorien. Definition 2 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsfelt. En målelig afbildning, T, på Ω ind i Ω siges at være P -målbevarende, hvis T (P ) = P.

13 48 Metodeartikel Sandsynlighedsbaserede metoder Et førstehåndsindtryk med pseudotilfældige tal Daniel Kjær For nogle uger siden pålagde jeg mig selv den opgave at aflevere to artikler til Famøs om Monte Carlo-metoden. Af hensyn til bekvemmelighed forbindes disse artikler sekventielt, idet første artikel indeholder en introduktion til metoderne til frembringelsen af stokastiske variable (s.k. pseudotilfældige tal), og den anden artikel omhandler den egentlige Monte Carlo-metode. De problemer, vi i det følgende vil betragte, er forholdsvist enkle, og vores fremstilling af emnet vil kun kræve et indledende kendskab til målteori. Ved udfærdigelsen af den foreliggende artikel er der på ingen måde gjort et forsøg på at give en fuldstændig fremstilling af emnet. Pseudotilfældige talgeneratorer Vi skal nu træde et skridt tilbage og finde en kilde til produktionen af s.k. pseudotilfældige tal og konverteringen af disse tal til udfald af ligefordelte stokastiske variable. De fleste algoritmer til frembringelsen af pseudotilfældige tal er på formen ωk = Γ(ωk 1), k N. Elementet ω0 kaldes et seed og siges at initialisere følgen af pseudotilfældige, tal og transformationen Γ kaldes en pseudotilfældig talgenerator. Det er klart, at det ikke er enhver afbildning, der kan spille rollen som generator. Definition 1 Lad (Ω, F) være et målbart rum og lad T være en målelig afbildning på Ω ind i Ω. Lad n N og definér den n-foldige Dan Saattrup Nielsen 13 Frege definerer så, at tallet 0 dækker over et begreb, hvis det, lige meget hvad a er, altid holder, at a ikke falder ind under begrebet. Altså hvis begrebet eksempelvis er menneske uden hjerne, så for at et objekt kan falde under et sådan begreb, kræver det, at objektet er et menneske og ikke har en hjerne. Men da et sådant objekt ikke eksisterer (håber jeg stærkt på), vil det derfor gælde, at tallet 0 dækker over menneske uden hjerne. Bemærk, at vi ikke har defineret hvad tallet 0 er, men kun hvad dette mystiske objekt dækker over. Herfra definerer han så rekursivt, at tallet (n + 1) dækker over et begreb F, hvis der findes et objekt a, som falder ind under F, og at tallet n dækker over begrebet falder ind under F, men er ikke identisk 4 med a - for at forstå dette en smule bedre vil vi forsøge at definere 1. Lad os starte med begrebet F som værende er eiffeltårnet i Paris. For at 1 kan dække over dette begreb, skal der først og fremmest findes et objekt, som falder ind under det; det overlades som en øvelse til læseren. Dernæst skal tallet 0 dække over begrebet falder ind under F men er ikke identisk med eiffeltårnet i Paris, som, ved at indsætte begrebet F, bliver til falder ind under er eiffeltårnet i Paris, men er ikke identisk med eiffeltårnet i Paris. Da der ikke findes nogen objekter, som falder ind under dette begreb, dækker 0 per definition over det; altså dækker 1 over F. For at have en definition af tallene selv og ikke bare hvad de dækker over, definerer han, at n er et tal, hvis og kun hvis at der findes et begreb, som n dækker over. Altså er tallene defineret! Der er blot et lille problem. Disse definitioner lægger op til, at der findes mange forskellige former for 0, 1 osv. Da dette bliver 4 Frege bruger identisk, som værende at man kan udskifte de to med hinanden uden at ændre sandhedsværdien.

14 14 Hvad er et tal? noget bøvl, vælger Frege at definere 0 som tallet, der dækker over begrebet ikke lig med sig selv og (n + 1) til at være tallet, som dækker over begrebet lig med n. Tjek at denne definition faktisk er et specialtilfælde af den foregående! Nu kunne man komme til at tro, at vi var færdige. Men alt, hvad vi har gjort, er at definere en hulens masse. Jovist, vi har retfærdiggjort en eksistens af disse objekter, som vi tillader os at kalde for tal. Men for at det virkelig er tal, så kræver det, at de opfører sig, som vi forventer, at tal nu engang gør. Men hvordan kan vi overhovedet sige, hvornår at et tal er lig med et andet tal? Hvordan ved vi at 1 er større end 0? Hvad er 1 + 1? Han lagde ud med at besvare identitetsspørgsmålet, ved at tillade Humes princip som et logisk aksiom: Definition 1 (Humes princip) For alle begreber F, G, gælder det, at tallet, der dækker over F, er identisk med tallet, der dækker over G, hvis og kun hvis der er en en-til-en korrespondance imellem objekterne, som falder under F og G. Dette viste sig dog at skabe komplikationer, for dette princip skabte, hvad der bliver kaldt for Cæsar-problemet - som egentlig blot er, at princippet ikke kan svare på, om tallet, dækkende over et begreb F, er identisk med Julius Cæsar. Et fjollet spørgsmål kunne man måske tænke, men humlen ligger i, at princippet ikke kan sammenligne tal, der dækker over et begreb og andre objekter, der ikke nødvendigvis falder indenfor denne kategori. Frege var ikke tilfreds. Hans løsning var at erstatte Humes princip med noget bedre, som, han besluttede, skulle handle om udvidelser af begreber. En udvidelse af et begreb skal ses som et objekt, der indeholder alle de objekter, der falder under begrebet. Altså kan man vælge Jacob Stevne Jørgensen 47 Da imidlertid µ(x) 0 for x, vil pµ(n) µ(np) 0, og n b 1 p = p a p 1. (9) For p = 2 har vi altså 2 a = b 1 2 = 2Γ ( 1 2 ) Γ(1) = 2 π, hvor vi ved sidste lighedstegn har brugt Γ( 1 2 ) = π (hvilket kan vises uafhængigt af denne sætning, f.eks. ved formlen Γ(x)Γ(1 x) = π hvorved sætningen er vist. sin πx ). Nu har vi, at a = 2π og ved (9) at bp = p 1 2 (2π) 1 p 2, Blod på tanden? Har du fået blod på tanden og vil vide mere om Gammafunktionen, så skal du være velkommen til at læse mit bachelorprojekt (henvendelse på m10jsj@math.ku.dk), der udover resultaterne i denne artikel også indeholder en udvidelse af Gammafunktionen til at tage komplekse værdier, samt en masse saftige resultater om den komplekse Gammafunktion. Litteratur [EA] Artin, Emil: The Gamma Function, Holt, Rinehart and Winston (1964). (Oversat af M. Butler fra den tyske originaludgave Einführung in die Theorie der Gammafunktion, B. G. Teubner (1931)), %20The%20Gamma%20Function%20(1931)(23s).pdf.

15 46 Gammafunktionen Går vi ind i denne formel med (5), 16 får vi p n! n i p b 1 p = p i=1 = p lim n = p lim n = p lim n lim n i p ( i p + 1)... ( i p + n) p n! n i p p n+1 i(i + p)... (i + np) i=1 (n!)p n 1 p p i=1 i p np+p (np + p)! ) ( p+1 (n!) p n 2 p np+p (np + p)!. Den sidste linje ganger vi med 1 = lim n p i=1 ( 1 + i np ) = lim n p i=1 ( np + i np ) = lim n (np + p)! (np)! (np) p, og får b 1 p = p lim n ( 1 p (n!) p n 2 p np (np)! Nogle af faktorerne kan nu omskrives vha. Lemma 6. ). (n!) p = (n a n n 1 2 e n+µ(n) ) p = a p n np+ p 2 e np+pµ(n). (np)! = a (np) np+ 1 2 e np+µ(np). Indsættes disse i udtrykket for b 1 p, fås p n epµ(n) µ(np) b 1 = p a p 1 lim. 16 Vi har kun vist, at formel (5) holder på ]0, 1], men det er let at udvide til R \ Z 0. Dan Saattrup Nielsen 15 at se det som en slags mængde af objekter, uden at det direkte har noget med mængdelære at gøre. Hans formulering af hans erstatning blev kaldt det originale navn Basic Law V : Definition 2 (Basic Law V) For alle begreber F, G, gælder det, at udvidelsen af F er identisk med udvidelsen af G, hvis og kun hvis det for alle objekter a gælder, at a falder under F, hvis og kun hvis a falder under G. For at dette havde relevans til tal, redefinerede han hans definition af tal, til at et tal dækker over et begreb F, hvis og kun hvis tallet er en udvidelse af begrebet har en en-til-en korrespondance med begrebet F. Igen er n et tal, hvis og kun hvis der er et begreb, som n dækker over. Dette er hvad, der senere hen skabte problemer for Frege - men inden vi blot frastøder hans idéer, så kan vi lige se, hvordan han brugte dette til at vise, at der var uendelig mange naturlige tal. Med identitetsproblemet fikset ville Frege nu finde en logisk måde at repræsentere tallenes orden; han besluttede at benytte følger. Han definerede, at n direkte følger m i følgen af naturlige tal, hvis og kun hvis der er et begreb F og et objekt x faldende under F, så tallet, som dækker over begrebet F, er n, og at tallet, som dækker over begrebet falder under F men er ikke identisk med x, er m. Det er en lille mundfuld, men det fanger dog den intuitive fornemmelse af dét at direkte følge efter noget andet. Fra dette kunne han så let bevise at Dermed kunne han definere n + 1 som værende det tal, som direkte følger n i følgen af naturlige tal, hvilket medfører at = 2, da tallet 2 dækker over begrebet lig med 1. 5 Altså at 0 < 1 og intet naturligt tal findes imellem de to.

16 16 Hvad er et tal? Hans sidste udfordring var at definere, at der findes uendelig mange naturlige tal. Selvfølgelig havde han ikke induktion til rådighed, da han arbejder nede på det grundlæggende niveau, så han måtte komme på andre idéer. Han formulerede sætningen som Sætning 3 Tallet, der dækker over begrebet tilhører følgen af naturlige tal, sluttende med n, følger n direkte i følgen af naturlige tal. Beviset giver han kun en kort skitse af, da det ellers would take us too far afield. Et af lemmaerne, der skal bruges til beviset, er Lemma 4 Hvis a direkte følger d i følgen af naturlige tal, og hvis tallet, der dækker over begrebet tilhører følgen af naturlige tal sluttende med d, direkte følger d i følgen af naturlige tal, så gælder det, at tallet, som dækker over begrebet tilhører følgen af naturlige tal sluttende med a, direkte følger a i følgen af naturlige tal. Til at bevise dette skal det bl.a. vises, at a er tallet, der dækker over begrebet tilhører følgen af naturlige tal, men er ikke lig med a, og for at bevise dette skal det vises, at dette begreb har den samme udvidelse som begrebet tilhører følgen af naturlige tal sluttende med d. Til at vise dette skal det først bevises, at intet endeligt 6 objekt kan følge sig selv i følgen af naturlige tal. Ja, det samlede bevis bliver ret langhåret. Efter alt dette kunne han dog definere det første uendelige tal ℵ0 7 som tallet, der dækker over begrebet er et endeligt tal. 6 Han definerer endelige tal som tal, der tilhører følgen af naturlige tal begyndende med 0. 7 Han brugte notationen 1, men her er brugt den moderne notation. Jacob Stevne Jørgensen 45 Vi undersøger µ(x + 1) µ(x): µ(x + 1) µ(x) = g(x + n + 1) g(x + n) n=0 = g(x) + lim g(m) m = g(x) + lim m ( log ( m ) m ) = g(x) + lim m ( log ( m) m + log 1 + 1m 1 ) = g(x) + log(e) + log( 1) 1 = g(x). Ved at indsætte e µ(x+1) µ(x) = e g(x) = e e log(1+ 1 x )x+ 1 2 e = (1 + 1 x )x+ 1 2 i (8) får vi f(x + 1) f(x) = x for alle x > 0, hvorved der ved Bohr-Mollerups sætning findes en konstant a, så Γ(x) = af(x) for alle x > 0. Nu er vi klar til at vise Sætning 4. Bevis. Det vi skal vise er blot, at a = 2π i Lemma 6 og bp = p 1 2 (2π) 1 p 2 i Lemma 5. Imidlertid får vi brug for næsten al den teori, vi hidtil har udviklet om Gammafunktionen. Lad p N. For at (i) fra Bohr-Mollerups sætning kan være overholdt, må b 1 p = p p i=1 Γ ( i p).

17 44 Gammafunktionen Men dette svarer netop til, at x e µ(x) er logaritmisk konveks. g (x) = d2 dx 2 ( (x ) log(1 + 1 x ) 1 ) = d dx ( log(1 + 1 x ) x x 2 (1 + 1 x ) ) 1 = x 2 (1 + 1 x ) x2 (1 + 1 x ) (x )(2x(1 + 1 x ) x2 x 4 (1 + 1 x )2 x 2 ) = 2x2 (1 + 1 x ) + 2x2 (1 + 1 x ) x + x(1 + 1 x ) 1 2 x 4 (1 + 1 x )2 = 1 2x 4 (1 + 1 x )2 > 0, for x > 0, så g er konveks. Nu mangler vi blot at vise, at f opfylder Gammafunktionens funktionalligning. Ved at skrive f(x + 1) = (x + 1) x+ 1 2 e x 1 e µ(x+1) f(x) = x x+ 1 2 x 1 e x e µ(x), ser vi, at f(x + 1) f(x) = ( x ) x+ 1 2 x e eµ(x+1) µ(x). (8) Dan Saattrup Nielsen 17 Frege kom igennem hele det ovenstående bevis og fik bevist, at der er uendeligt mange tal og vigtigere, at tallene kunne defineres logisk (han mente også, at Basic Law V var selvindlysende logisk). Ni år senere, i år 1902, fik Frege et brev fra Bertrand Russell. I dét fremlagde Russell et paradoks, som han lige havde opdaget - et paradoks, som nu kaldes Russells paradoks: Lad R være begrebet, der dækker over et objekt x, hvis og kun hvis der er et begreb F, sådan at x er udvidelsen af F, og at x ikke falder under F. Lad nu r være udvidelsen af R og antag at r falder under R. Da findes der et begreb F, så r er udvidelsen af F, og r ikke falder under F. Jf. Basic Law V falder r heller ikke under R, modstrid. Altså må r ikke falde under R. Dermed findes der et begreb F (nemlig R), så r er udvidelsen af F, og r ikke falder under F. Men per definition af R betyder dette, at r falder under R, modstrid. Dermed er Basic Law V inkonsistent. Frege sendte et høfligt brev tilbage til Russell, hvori han nævnte, at Russells opdagelse var ekstraordinær, og vil betyde en masse fremskridt indenfor logikken, men at det desværre også gjorde, at hele Freges arbejde gik til grunde. Efter dette forsøgte Frege at redde, hvad han kunne, men han endte med at opgive hele projektet. Russell tog dog faklen op og konstruerede hans egen teori fra bunden, kaldet typeteori, hvor han undgik disse problemer. Der forskes stadig i typeteori den dag i dag som et fundament for al matematik. Hans teori bruger dog aksiomer, som ikke kan retfærdiggøres ud fra logik alene, så Freges forsøg på at opbygge al matematik ud fra logik er i stedet blevet genoptaget af nylogicismen, som går tilbage og begynder fra Humes princip igen. Disse nylogicister

18 18 Hvad er et tal? findes stadig i dag - så hele ånden i at logikken må ligge som et grundfundament lever stadig. Litteratur [1] Frege, Gottlob. Die Grundlagen der Arithmetik. Breslau, Oversat af Michael S. Mahoney. [2] Shapiro, Stewart. Thinking about mathematics: the philosophy of mathematics. Oxford University Press, Jacob Stevne Jørgensen 43 Bevis. Af hensyn til artiklens omfang udelader vi beviset for, at rækken for µ konvergerer, og at µ(x) 0 for x. (For et bevis se [EA, s ]. Vi bærer os ad som i beviset for Lemma 5. Lad først funktionen f være giveet ved f(x) = x x 1 2 e x+µ(x) for x > 0. Først viser vi den logaritmiske konveksitet på ]0, [. Hvis vi kan vise, at x x x 1 2, x e x og x e µ(x) hver især er logaritmisk konvekse, så vil deres produkt, f, også være det. En funktion er konveks, hvis og kun hvis dens andenafledede er ikke-negativ. x x x 1 2 er logaritmisk konveks, da d 2 (( dx 2 log(xx 1 2 ) = d2 dx 2 x 1 ) ) log(x) 2 = d ( ) log(x) + x 1 2 dx x = 1 x + 1 2x 2 > 0 for x > 0. Ligeledes er x e x logaritmisk konveks, da d 2 dx 2 (log(e x )) = d2 ( x) = 0, dx 2 for alle x R og dermed specielt for x > 0. Hvis vi kan vise, at x g(x) er konveks, så vil x µ(x) være konveks (da konveksitet bevares ved summer og grænseværdier).

19 42 Gammafunktionen Lemma 5 For hvert p N findes en konstant bp R så p 1 Γ(x) = bp p x i=0 Γ( x+i p ) for alle x R \ Z 0. Bevis. Lad p N og lad f : R\Z 0 R betegne funktionen med forskriften p 1 f(x) = p x i=0 Γ( x+i p ). Vi viser, at f opfylder (ii) og (iii) fra Bohr-Mollerups sætning. Derved adskiller f sig fra Γ med en multiplikativ konstant, og lemmaet er vist. Vi ser, at x p x er logaritmisk konveks for x > 0, da log p x = x log p er affin. Da Γ er logaritmisk konveks på ]0, [, er x Γ( x+i p ) det også for i {0, 1,..., p 1}. Produktet af logaritmisk konvekse funktioner er igen logaritmisk konveks, og dermed opfylder f kriterium (iii) fra Bohr-Mollerups sætning. f opfylder også funktionalligningen, da f(x + 1) = p x+1 Γ( x+1 p = p p x Γ( x+1 p = xf(x) x+2 ) Γ( p x+2 ) Γ( p x+p 1 )... Γ( p ) Γ( x+p p ) )... Γ( x+p 1 p ) x p Γ( x p ) for alle x R \ Z 0. Lemma 6 Der findes et a R så Γ(x) = a x x 1 2 e x+µ(x), x > 0, hvor µ er som i (6). Rejsebrev 19 Et års udveksling til Singapore Jonathan Mills Jeg var på udveksling hos National University of Singapore (NUS) fra august 2012 til maj Det var en rigtig fin oplevelse, både fagligt, kulturelt og oplevelsesmæssigt. Denne artikel er en lettere omskrevet og stærkt forkortet version af den obligatoriske erfaringsrapport, som er blevet indsendt til KU og på et tidspunkt vil kunne findes på Ihåndeværende artikel skriver lidt om campus, de fag, jeg endte med at tage, og bureaukratiet på universitetet. For beskrivelser af nogle af de rejser i Asien, jeg foretog mig i ferierne, kan henvises til Universitetet: faciliteter, bolig og mad NUS hovedcampus ligger en halv time vest for centrum af Singapore og består af bygninger af varierende alder fra 1970 erne og op til i dag. Campus er meget stort. Det tager cirka 20 minutter at gå fra ende til anden på hvert led i raskt tempo. På hovedcampus finder man alle fakulteter, bortset fra Law og Postgraduate Medicine. Der findes desuden også latterligt mange faciliteter til fri afbenyttelse såsom to udendørs svømmehaller, flere fitnesscentre, biblioteker, computerlokaler, badmintonbaner og en løbebane. Desuden er der også adskillige restauranter, food courts, cafeer, en sundhedsklinik med tandlæge, et (dyrt) supermarked, døgnkiosker, dansesale og en bank. Der gik nogen gange flere uger, uden at jeg forlod campus, da næsten alt netop kan fås på campus. Lokalerne til undervisning er generelt acceptable. Auditorierne er i varierende stil, men fælles for dem alle er, at de er airconditio-

20 2 Γ( x x+1 p )Γ( p 20 Et års udveksling til Singapore neret til HCØ om vinteren temperatur, så tro ikke, at man kan slippe helt væk fra kulden ved at tage til Singapore. I visse auditorier er rækkerne også meget tæt på hinanden, så det bliver lidt trængt med knæ- og benpladsen, og i nogle af auditorierne kan man undre sig, om der nogensinde er blevet støvsuget. Men langt de fleste af de over 30 auditorier på campus er i fuldstændig acceptabel stand med godt lysniveau eller stor klar projektorskærm (begge opnås sjældent samtidig), lydsystem (da auditorierne er store), ren luft og gode stole med fold-ud bord i armlænet stort nok til at stille en bærbar på. Øvelseslokalerne er også at finde i mange forskellige udgaver. Igen her bliver stolene nogen gange stillet lidt tæt, især på FASS (Faculty of Arts and Social Sciences), men også her gælder, at lokalerne normalt er helt acceptable. Især øvelseslokalerne i matematikbygningen (S17) er gode, med bløde kontorstole og store borde. Til matematikbygningen kan desuden nævnes, at der er en lounge på fjerde sal med bløde sofaer, dagens avis, whiteboard og en stor samling matematiske journaler og bøger. Her tilbragte jeg meget af min tid mellem timer. Campus er røgfrit og alkoholfrit, og det tages rimelig seriøst, hvis man bliver fanget i at drikke på kollegieværelserne. Dog skal det siges, at så længe man er på god fod med sine naboer og sørger for kun at varme op på værelserne, for derefter at tage videre i byen, så kan man godt slippe afsted med det. 8 Jeg boede på et kollegie i det nybyggede University Town (i 8 Generelt om hele Singapore kan siges, at love og regler er meget strikse, men de anvendes utrolig arbitrært. Det er for eksempel ulovligt at udøve homoseksualitet, men der er ikke nogen, der er blevet straffet for det i mange år. Loven er der dog sådan, at den kan anvendes, hvis der skulle blive brug for det. Man kan godt nogle gange se i medierne, at der bliver drevet klapjagt på visse personer. Jacob Stevne Jørgensen 41 Da Γ også opfylder (i)-(iii), må der ligeledes gælde Γ(x) = lim x(x + 1) (x + n) n n x n! (5) for x ]0, 1], hvorved sætningen er vist. Stirlings Formel og Gauss Multiplikationsformel Bohr-Mollerups sætning gør det let at vise identiteter om Gammafunktionen. Vi vil her illustrere dette, ved at vise to store resultater om Gammafunktionen ved hjælp af den. Sætning 4 (Stirlings Formel) For x > 0 er Γ(x) = 2πx x 1 2 e x+µ(x), (6) hvor µ(x) = n=0 g(x + n) og g(x) = (x ) log(1 + 1 x ) 1. (Gauss Multiplikationsformel) For hvert p N og x R \ Z 0 er Γ(x) = p x 1 2 (2π) 1 p x+p 1 )... Γ( p ). (7) Stirlings formel er en måde at approksimere Gammafunktionen på ved hjælp af simplere funktioner. µ(x) 0 for x, så fejlen ved at se bort fra µ bliver mindre og mindre, des større x bliver. Gauss Multiplikationsformel er en æstetisk sammenhæng mellem Γ(x) og p 1 x+i i=0 Γ( p ), der holder for alle naturlige tal p. Vi viser de to formler ved først at vise to lemmaer, der giver os formlerne på nær nogle multiplikative konstanter. Dernæst fastslår vi konstanterne.

21 40 Gammafunktionen Ved brug af (4) fås nu log(n 1) log(f(x + n)) log((n 1)!) x log(n) Det vil sige log((n 1) x (n 1)!) log(f(x + n)) log(n x (n 1)!) Ved at tage eksponentialfunktionen på denne ulighed og herefter benytte (3), fås (n 1) x (n 1)! n x (n 1)! x(x + 1) (x + n 1) f(x) x(x + 1) (x + n 1) Da n ikke længere indgår i den midterste term, kan vi opfatte ovenstående som to separate uligheder, der begge holder for n 2. Altså må vi godt operere med forskellige værdier af n til venstre og højre henholdsvist, og specielt kan vi gå ind i venstresiden med n + 1, hvilket giver n x n! n x (n 1)! x(x + 1) (x + n) f(x) x(x + 1) (x + n 1). En simpel manipulation med disse uligheder giver f(x) n n x n! x + n x(x + 1) (x + n) f(x), og tager vi grænseværdien for n, får vi f(x) = lim n n x n! x(x + 1) (x + n), for alle x ]0, 1]. Jonathan Mills 21 daglig tale, UTown). UTown er en helt ny del af campus, som ligger på den anden side af en motorvej. Man kan gå over til resten af campus via en bro eller vente på bussen. UTown er fantastisk flot arkitektur og består af i alt 6 højhuse til kollegiebrug, en håndfuld restauranter (der faktisk serverer alkohol om aftenen - her kan man godt få snakken til at gå med venner indtil langt ud på aftenen hen over en øl), to food courts, to store computerlokaler med PC- og Maccomputere, masser af studiepladser, svømmehal, døgnåbent Starbucks og diverse butikker inklusive supermarked. Da jeg var der, var der desuden også dagligt meget byggelarm fra en udvidelse af UTown, der er i gang, som skal huse Yale-NUS, et samarbejde mellem de to universiteter. Mit værelse var på omkring 3,5 gange 2 meter, og jeg betalte 100 singaporeanske dollars (SGD) om ugen for det, hvilket svarer til cirka 500 kr. Der findes både værelser med og uden aircondition, og værelser på gangen og i en suite. Aircondition er forbrugsafregnet, og hvis man ikke vælger aircondition, så har man stadig en blæser i loftet, som er kraftig nok kombineret med et åbent vindue til, at det føles behageligt. Vælger man et værelse i en suite, får man badeværelse og stue til deling med de fem andre. Boligen blev anvist af universitetet efter at have takket ja til at ville bo på campus under ansøgningsprocessen. Kollegiet i sig selv er en bygning på 20 etager, og på hver etage er der omkring 30 værelser, toiletter og en lounge med sofaer. På hver fjerde etage er der desuden køkken (som ikke på nogen måde kan måle sig med et dansk kollegiekøkken. Tænk snarere 30 kvm-lejlighedsstil), og der findes også vaskerum to steder i bygningen. På stueetagen er der postkasser, bygningsadministrationens kontor, en stor lounge med borde og og et klaver til fri afbenyttelse. De fire kollegier i UTown (hermed undtaget UTown Residence, tidligere Graduate Residence) er underlagt en obligatorisk mad-

22 22 Et års udveksling til Singapore plan på $8 SGD om dagen. For dette får man morgenmad og aftensmad i spisesalen, som ligger i forbindelse med kollegiet. Til morgenmad kan man vælge mellem tre forskellige boder, hhv. kinesisk, vestlig og malaysisk morgenmad. Til aftensmad desuden indisk og nudler. Maden smager generelt helt fint, selvom man kan få mere værdi for pengene i et hvilket som helst Hawker Centre i Singapore. Frokost klares på egen hånd, hvor de food court, der kan findes rundt omkring på campus, sagtens kan levere frokost til mellem to og fem SGD per portion. Fagligt Generelt er niveauet højt - hvis man finder det rigtige niveau! Dette skal forstås således, at finder man et kursus på det rette startniveau, så kan man nå rigtig langt i løbet af semestret. Men det, at finde et kursus på det rette niveau, kan godt være noget af en opgave, som oftest vil kræve, at man har en liste på omkring 8-10 interessante kurser linet op, hvor man så tager til første forelæsning i dem alle. For eksempel kan nævnes, at jeg som tredjeårs Matematik-Økonomi studerende tog både level 3000 og level 4000 kurser, hvor mange af de level 3000 kurser, jeg kiggede på i starten, simpelthen var for nemme. Jeg endte med at tage følgende fag i løbet af mine to semestre: EC3101 Microeconomic Analysis II Generelt udmærket kursus. Professoren (Peter McGee) var amerikaner. Emner som i kursusbeskrivelsen, dog er den spilteoretiske del ikke meget at skrive hjem om i forhold til MA4264. Folk til forelæsningerne var generelt meget støjende af en eller anden årsag, måske fordi mange af de lokale var andetårs-studerende, som snakkede med deres sidemand, enten fordi de ikke gad lytte, eller fordi de ikke forstod, det Jacob Stevne Jørgensen 39 Bevis. Vi har allerede set, at Γ(1) = 1 og at Γ(x + 1) = xγ(x) er opfyldt. At vise, at Gammafunktionen er logaritmisk konveks, kræver lidt mere arbejde. Et vigtigt (og ikke trivielt) resultat om logaritmisk konvekse funktioner er, at summen af to logaritmisk konvekse funktioner igen er logaritmisk konveks. (Dette kan vises ved Hölders ulighed). Et andet vigtigt resultat er, at den punktvise grænse af en følge af logaritmisk konvekse funktioner igen er logaritmisk konveks. Kombinationen af disse resultater giver, at integralet af en logaritmisk konveks funktion igen er logaritmisk konveks. Vi skal altså blot vise, at x t x 1 e t er logaritmisk konveks for hvert t > 0. Lad t > 0 være givet. Nu vil log(t x 1 e t ) = (x 1) log(t) t være affin og dermed konveks (kordehældningen vil være konstant og dermed svagt voksende som funktion af venstre såvel som højre endepunkt). Antag nu, at f opfylder (i)-(iii). Ved (ii) ser vi, at f(x + n) = (x + n 1)(x + n 2)... x f(x) (3) for alle x ]0, [, n N, og ved at bruge (i), gælder f(n) = (n 1)! (4) Dermed stemmer f overens med Γ på N. Hvis vi kan vise, at de også stemmer overens på ]0, 1], så følger det af (ii), at de stemmer overens på hele A \ Z 0. Lad derfor x ]0, 1] være givet. Ved at bruge (iii) har vi følgende ulighed for n 2. log f(n) log f(n 1) log f(x + n) log f(n) [ n (n 1) (x + n) n log f(n + 1) log f(n) (n + 1) n

23 38 Gammafunktionen f a x b Figur 1 En konveks funktion I 1922 opdagede de danske matematikere Johannes Mollerup og Harald Bohr 15, at disse tre kriterier var nok til at karakterisere Gammafunktionen entydigt. Sætning 3 (Bohr-Mollerups sætning) Gammafunktionen opfylder, at Γ(1) = 1, at Γ(x + 1) = x Γ(x) for alle x R \ Z 0, og at Γ ]0, [ er logaritmisk konveks. Hvis f : A R, hvor ]0, [ A R opfylder (i) f(1) = 1, (ii) f(x + 1) = xf(x) for alle x A, (iii) f ]0, [ er logaritmisk konveks, så er f(x) = Γ(x) for alle x A \ Z Udover at være matematiker var han en glimrende fodboldspiller, der vandt OL-sølv med det danske landshold i Han var professor her ved instituttet, og du har måske prøvet at sidde i hans sofagruppe, der var udstillet i frokoststuen på fjerde sal i foråret. Jonathan Mills 23 der blev snakket om, som professoren også kommenterede på. EC3102 Macroeconomic Analysis II Indholdsmæssigt fint kursus. Ho Kong Weng, professoren, var indfødt singaporeaner med autentisk Singlish accent, som skal høres for at opleves. Forelæsningerne lå klokken 8 mandag morgen, men heldigvis blev de optaget og lagt ud på kursushjemmesiden, hvis man nu konsekvent kom til at sove over sig. EC3880A Topics in Economics: Understanding Government Dette kursus var nok det mest interessante af alle dem, jeg tog. Forelæseren, Donald Low, har arbejdet i Singapore s finansministerium og gav et overblik over mikroøkonomiens teoretiske mangler og faldgrupper, som de relaterer til statens funktion. Kurset var kun på omkring 30 folk, og jeg måtte også ud i noget papirarbejde for at få det, men det var klart det værd. MA3205 Set Theory Spændende kursus som generelt omhandlede det aksiomatiske grundlag for matematikken. Dette var igen et lille kursus med omkring 30 folk, og forelæseren Yang Yue brugte god tid på at sørge for, at hele holdet var med. Ingen slides, men udelukkende tavleskrivning, som var det rigtige valg til dette bevistunge fag. MA3238 Stochastic Processes Lidt rodet kursus, som brugte for meget tid på basal sandsynlighedsregning, inden det nåede til de egentlige stokastiske processer. Forelæseren Rongfeng Sun var noget uklar i sin tale en gang imellem, og det var da også første år, han underviste på kurset. Men indholdet til sidst var spændende. MA4254 Discrete Optimization

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder 48 Metodeartikel Sandsynlighedsbaserede metoder Et førstehåndsindtryk med pseudotilfældige tal Daniel Kjær For nogle uger siden pålagde jeg mig selv den opgave at aflevere to artikler til Famøs om Monte

Læs mere

t x 1 e t dt. Man kan let vise, at dette integral er endeligt for positive x- værdier (se f.eks. [EA, s ]).

t x 1 e t dt. Man kan let vise, at dette integral er endeligt for positive x- værdier (se f.eks. [EA, s ]). Artikel 35 Gammafunktionen En introduktion Jacob Stevne Jørgensen I 1700-tallet var interolation en vigtig discilin blandt matematikere. Det handler om ud fra et givet datasæt at finde en funktion, hvis

Læs mere

Et års udveksling til Singapore Jonathan Mills

Et års udveksling til Singapore Jonathan Mills Rejsebrev 19 Et års udveksling til Singapore Jonathan Mills Jeg var på udveksling hos National University of Singapore (NUS) fra august 2012 til maj 2013. Det var en rigtig fin oplevelse, både fagligt,

Læs mere

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 1, september 2013

Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 1, september 2013 FAMØS Fagblad for Aktuar, Matematik, -Økonomi og Statistik 23. årgang, nr. 1, september 2013 SuperSune: Præmieopgaveløseren af stål Redaktion Jingyu She, Kristian Knudsen Olesen, Maria Bekker-Nielsen Dunbar,

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 5 ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

En martingalversion af CLT

En martingalversion af CLT Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter

Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver

Læs mere

Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER

Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Ide med Diff. Mål. Tidsplan. 1.uge: 2.uge:

Ide med Diff. Mål. Tidsplan. 1.uge: 2.uge: Side 1 af 5 Ide med Diff. Min ide med differenertierings modulet er at lave et program som kan vise 3d objekter, og få lavede en konverter som kan konventer 3ds filer over til noget som flash kan bruge.

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Modtog du vejledning fra Internationalt Center? Kun til det fælles orienteringsmøde, der blev afholdt for alle, der skulle afsted.

Modtog du vejledning fra Internationalt Center? Kun til det fælles orienteringsmøde, der blev afholdt for alle, der skulle afsted. US AARH Generelle oplysninger Studie på Aarhus Universitet: BA Fransk sprog, litteratur og kultur Navn på universitet i udlandet: Université de la Sorbonne Paris IV Land: Frankrig Periode: Fra: Januar

Læs mere

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Statskundskab. Navn på universitet i udlandet: University of Montana.

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Statskundskab. Navn på universitet i udlandet: University of Montana. US AARH Generelle oplysninger Studie på Aarhus Universitet: Statskundskab Navn på universitet i udlandet: University of Montana Land: USA Periode: Fra:1/9-2010 Til:20/12-2010 Udvekslingsprogram: Statskundskab

Læs mere

Normale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017

Normale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017 Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Medievidenskab

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Medievidenskab US AARH Generelle oplysninger Studie på Aarhus Universitet: Medievidenskab Navn på universitet i udlandet: Institute of Education, University of London Land: England, United Kingdom Periode: Fra: 4. januar

Læs mere

Grundlæggende Algoritmer og Datastrukturer

Grundlæggende Algoritmer og Datastrukturer Grundlæggende Algoritmer og Datastrukturer Om kurset Grundlæggende Algoritmer og Datastrukturer Undervisningsformer Forelæsninger: 4 timer/uge (2+2). Øvelser: 3 timer/uge. Café. Obligatorisk program 13

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Meditation over Midterbinomialkoefficienten

Meditation over Midterbinomialkoefficienten 18 Juleeventyr Meditation over Midterbinomialkoefficienten En rusrejse fra en fjern juletid Frederik Ravn Klausen, Peter Michael Reichstein Rasmussen Ved juletid for ikke så længe siden faldt tre russer

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Analyse af PISA data fra 2006.

Analyse af PISA data fra 2006. Analyse af PISA data fra 2006. Svend Kreiner Indledning PISA undersøgelsernes gennemføres for OECD og de har det primære formål er at undersøge, herunder rangordne, en voksende række af lande med hensyn

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 6

ANALYSE 1, 2014, Uge 6 ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino 12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Tue Tjur: Hvad er tilfældighed?

Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Hvor tilfreds var du med dit ophold? Yderst tilfreds. Opholdet var alt hvad jeg forventede og håbede på, at det ville være.

Hvor tilfreds var du med dit ophold? Yderst tilfreds. Opholdet var alt hvad jeg forventede og håbede på, at det ville være. US AARH Generelle oplysninger Studie på Aarhus Universitet: Jura Navn på universitet i udlandet: Leicester University Land: England Periode: Fra: 23/9 2013 Til: 24/1 2014 Udvekslingsprogram: Erasmus Hvorfor

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen

Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen 4 Analyse Rustur, campusuge og frafald Søren Wengel Mogensen Den seneste tid har budt på studiestart, og først og fremmest skal der lyde et stort velkommen til de nye studerende. Det er ikke sikkert, at

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

4 Oversigt over kapitel 4

4 Oversigt over kapitel 4 IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt

Læs mere

Matematik, der afgør spil

Matematik, der afgør spil Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.

Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5. Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Rapport over Research Exchange i Brno, Tjekkiet

Rapport over Research Exchange i Brno, Tjekkiet Rapport over Research Exchange i Brno, Tjekkiet Mit navn er Kamilla Maria Hansen, jeg er 23 år gammel og læser medicin ved København Universitet. I sommerferien før 5. semester var jeg på Research Exchange

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Statskundskab

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Statskundskab US AARH Generelle oplysninger Studie på Aarhus Universitet: Statskundskab Navn på universitet i udlandet: Institut d Etudes Politique Paris (Sciences Po) Land: Frankrig Periode: Fra: Januar 2013 Til: Maj

Læs mere

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Pædagogisk Sociologi

US AARH. Generelle oplysninger. Studie på Aarhus Universitet: Pædagogisk Sociologi US AARH Generelle oplysninger Studie på Aarhus Universitet: Pædagogisk Sociologi Navn på universitet i udlandet: University of London, Instutite of Education Land: England Periode: Fra:1. oktober Til:

Læs mere

Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. Et Bayesiansk argument

Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. Et Bayesiansk argument Sandsynlighedsteori Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (, E, ν). Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål,

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Differensligninger og populationsstørrelser

Differensligninger og populationsstørrelser Differensligninger og populationsstørrelser Søren Højsgaard Department of Mathematical Sciences Aalborg University, Denmark October 22, 2015 Printed: October 22, 2015 File: differensligninger-slides.tex

Læs mere