Økonomisk Kandidateksamen 2004II Økonometri 1. Læsefærdigheder hos skoleelever i Danmark

Transkript

1 Økonomisk Kandidateksamen 2004II Økonometri 1 Læsefærdigheder hos skoleelever i Danmark Praktiske anvisninger til individuel tag-hjem eksamen i Økonometri 1: Start med at sikre dig at du kan få adgang til data og bilag (se næste side). Opgaven skal besvares individuelt. Læs alle opgaverne igennem før du begynder at svare. Besvar alle spørgsmål og delspørgsmål i Opgave 1 til 5. Der gælder følgende vejledende vægtning af opgaverne: Opgave 1: 10%, opgave 2: 30%, opgave 3: 25%, opgave 4: 25%, opgave 5: 10%. Der ønskes en samlet rapport med specifikke referencer til relevante bilagstabeller med regressionsoutput. Teksttabeller og figurer i teksten forsynes med henvisning til den relevante bilagstabel. Bilagstabeller med regressionsoutput ønskes fortløbende nummereret og forsynet med henvisning til navnet på det SAS-program, hvorfra tabellen er genereret. SAS-programmet skal vedlægges som bilag. Forsiden til besvarelsen skal være den side, der kan downloades som opgaveforside.pdf. Siden udfyldes med eksamensnummer og samlet sidetal. Omfanget af besvarelsen bør ikke overstige 16 sider, inkl. teksttabeller og figurer i teksten og inkl. forsiden. Omfanget af bilag med regressionsoutput, SAS-program mv. bør ikke overstige 15 sider. Det er ikke nødvendigt at medtage meget omfangsrigt output fx fra Proc Univariate i bilaget. Alle sider i besvarelsen (inkl. bilag) forsynes med sidetal og eksamensnummer. Besvarelsen (inkl. bilag) afleveres i 2 eksemplarer på Fakultetskontoret, St. Kannikestræde 13, 1. sal den 14. juni senest kl Der skal afleveres 1 eksemplar af en diskette eller en CD-rom mærket med eksamensnummer med flg. indhold: o SAS-programmer, der er anvendt til løsning af opgaven. o Filen INDIVID.SAS, der er anvendt til at generere det individuelle datasæt. o SAS-datafilen INDIVID.SAS7BDAT. Der vil være almindeligt åbent i edb-kælderen fredag den 11. juni indtil kl og mandag den 14. juni fra kl Som en nødløsning vil det også være muligt at få adgang lørdag den 12. juni og søndag den 13. juni i tidsrummet fra kl til kl Kontakt i så fald edb-vagten på telefonnummer for at blive lukket ind. 1

2 Adgang til data Sådan får du fat i dit individualiserede datasæt: a. Download tre filer fra hjemmesiden til et katalog fx C:\WRK på din PC: MASTER.SAS7BDAT, SASMACR.SAS7BCAT og INDIVID.SAS. b. Placer filerne midlertidigt i det valgte katalog og check at stierne i INDIVID.SAS stemmer overens med dette. c. Indsæt dit eksamensnummer i INDIVID.SAS. d. Kør INDIVID.SAS. Programmet danner filen INDIVID.SAS7BDAT som indeholder dit datasæt, og udskriver tallene som et check på, at du kan få kontakt til datasættet. e. Kopier INDIVID.SAS7BDAT til en diskette eller direkte til det katalog på PC en hvor du ønsker at arbejde med dine data. Du er nu klar til at løse opgaven. f. Slet filen MASTER.SAS7BDAT. Har du problemer med at generere filen INDIVID.SAS7BDAT kan du kontakte Mette Ejrnæs (telefon ) eller Hans Christian Kongsted (telefon ) i tidsrummet fra til fredag den 11. juni. Der ydes ikke hjælp efter det nævnte tidsrum og heller ikke til andre dele af opgaven. 2

3 Dokumentation af data: Datasættet indeholder informationer om testresultater i læsefærdigheder samt en række baggrundsvariabler for elever født i 1984 fra OECD undersøgelsen: PISA (Programme for international student assessment). Elevens testscore stammer fra en standardiseret læsetest. Desuden har hver elev udfyldt et spørgeskema med oplysninger om personlige karakteristika og oplysninger om forældrene. Endelig har skolelederen på de pågældende skoler udfyldt et spørgeskema vedrørende en række forhold omkring skolen. Data er et udtræk af 2339 observationer fra den samlede PISA-database for år Data omfatter observationer for de børn der er født i Danmark og hvor de anvendte variabler er registreret. Variabelliste: (se bilag 2 for en nærmere beskrivelse af de anvendte indeks) Test score: tscore Testscore i læsefærdigheder i dansk (testen er normaliseret således at 500 svarer til gennemsnittet for hele OECD) Personlige karakteristika: alder Alder i år pige Dummy for pige Familie karakteristika: andetspr Dummy for det talte sprog i hjemmet (1 hvis andet sprog end dansk, 0 ellers) mudd Morens uddannelse i år fudd Farens uddannelse i år msei Morens socio-økonomiske status (indeks) fsei Farens socio-økonomiske status (indeks) formue Familiens formue (indeks) kulturel Hjemmets kulturelle resurser (indeks) famstot Hjemmets indsats med hjælp til lektielæsning (indeks) Skole karakteristika: privat Dummy for om skolen er en privatskole (1 hvis privatskole og 0 hvis folkeskole) skolestr Antal elever på skolen liniefag Antallet af lærere på skolen som har dansk som liniefag divideret med antallet af lærere på skolen som underviser i dansk klkvo Gennemsnitlige antal elever i klassen i dansktimerne geo Skolens geografiske placering (1: landsby, 2: lille by, 3: by, 4: stor by, 5: hovedstadsområdet, 6: Københavns kommune) landsby Dummy for geo=1 lilleby Dummy for geo=2 by Dummy for geo=3 storby Dummy for geo=4 hovedst Dummy for geo=5 startlon Indikator for den hovedansvarlige for fastsættelse af lærernes startløn (1: ikke skolens ansvar, 2: en person uden for skolen og skoleinspektøren, 3: skoleinspektøren, 4: skoleinspektør og viceinspektør, 5: skolebestyrelsen) 1 Se 3

4 Introduktion til opgaven Læsefærdigheder hos skoleelever i Danmark Emnet for denne opgave er at analysere de faktorer som påvirker unges faglige færdigheder, her målt ved deres læsefærdigheder. Der foregår for tiden en debat om, hvordan man kan forbedre de unges faglige færdigheder. En OECD undersøgelse (PISA-undersøgelsen) har således vist, at danske elevers færdigheder kun er på et middelniveau på trods af, at de gennemsnitlige udgifter pr. elev er blandt de højeste i OECDområdet. Emnet er indgående behandlet i Det økonomiske Råds vismandsrapport fra efteråret 2003, som blandt andet bemærker at: Den danske folkeskole er en af verdens dyreste målt ved omkostningen pr. elev, men elevernes snævert faglige færdigheder er kun på middelniveau i en international sammenligning [ ]. Dette behøver ikke umiddelbart at være uforeneligt med en effektiv resurseudnyttelse, hvis folkeskolen giver eleverne værdifulde færdigheder på en række områder, der ikke indgår i det anvendte færdighedsmål. (Det økonomiske Råds vismandsrapport Dansk økonomi, Efteråret 2003 ) Udvalgte dele af kapitel II fra DØRs rapport er vedlagt som bilag 1. 2 Der findes en omfattende økonomisk litteratur om resurseforbrugets betydning for de faglige færdigheder hos eleverne og effekten heraf på elevernes videre uddannelses- og jobforløb. I denne litteratur peges der blandt andet på de problemer, der kan være med at måle den faktiske effekt af resurseindsatsen. Bilag 1 fra DØRs rapport refererer blandt andet til to danske studier, som undersøger hvorfor det kan være problematisk at estimere en effekt af resurseforbruget i uddannelsessystemet. Hensigten med denne opgave er især at belyse empirisk, hvordan indsatsen af lærerresurser i grundskolen påvirker elevernes faglige færdigheder. Model Opgaven tager udgangspunkt i en standardmodel for læsetestscoren for skoleelever. Vi vil analysere følgende lineære regressionsmodel tscore = β0 + β1alder + β2pige + β3andetspr + β4mudd + β5 fudd + β6msei + β fsei + β formue + β skolestr + β liniefag + β klkvo + u, (1.1) hvor u er et fejlled. Der indgår således tre grupper af forklarende variabler i standardmodellen: elevkarakteristika (alder, pige), familiekarakteristika (andetspr, mudd, fudd, msei, fsei, formue) og skolekarakteristika (skolestr, liniefag, klkvo). 2 Hele rapporten findes på 4

5 Opgave 1: a) Karakteriser modellen: i) Beskriv standardmodellen i (1.1). ii) Hvad er fortolkningen af parametrene β 2 og β 11, hvis model (1.1) opfylder antagelse MLR.3? iii) Hvilket fortegn forventer du til parametrene β 4, β 10 og β 11? b) Beskriv data i dit individualiserede datasæt i filen INDIVID.sas7bdat ved at opstille en tabel med relevante karakteristika for de enkelte variabler. i) Kommenter kort på tabellen. ii) Udregn korrelationen mellem farens socio-økonomiske indeks og andelen af lærere med liniefag i dansk. Kommenter din beregning. iii) Lav et histogram for variablen liniefag. Findes der skoler, hvor variablen liniefag er større end 1? Giver disse observationer mening? Opgave 2: Opgave 2 omhandler kun de 1749 elever der går i folkeskolen. Her skal du altså kun analysere data for de elever som har værdien privat=0. Antag indtil videre at modellen (1.1) opfylder MLR.1- MLR.4. a. Udfør estimationen af (1.1) ved OLS. i) Rapportér regressionskoefficienterne ˆ β0, ˆ β ˆ 1,..., β 11. ii) Diskuter om OLS kan antages at være den mest præcise blandt de lineære og middelrette estimatorer af parametrene β0, β1,..., β 11. b. Undersøg om modellen i (1.1) opfylder antagelsen MLR.5 om, at fejlleddet har konstant varians, givet værdierne af de forklarende variabler. Gør dette ved at lave: i) En grafisk analyse af residualerne. ii) Breuch-Pagan testet for heteroskedasticitet. iii) White testet for heteroskedasticitet. Redegør for, hvilken hypotese du tester og din konklusion. Begrund dine svar. Antag i resten af Opgave 2 at fejlleddene i (1.1) er homoskedastiske. c. Med udgangspunkt i model (1.1) ønskes følgende undersøgt: i) Undersøg om familiens formue har betydning for elevens læsefærdigheder. ii) Undersøg om farens og morens socio-økonomiske status har samme betydning for elevens læsefærdigheder. 5

6 iii) Undersøg om resurseindsatsen målt ved variablerne liniefag og klkvo har nogen betydning for elevens læsefærdigheder. Formuler for hvert tilfælde den hypotese du undersøger og udfør det relevante test. Kommenter dine resultater. d. En mulig fortolkning af effekten af forældrenes uddannelsesniveau for elevens læsefærdigheder kunne være, at forældrene optræder som rollemodeller for eleven. Undersøg om denne effekt er afhængig af elevens køn, det vil sige at fx farens uddannelse har forskellig betydning for udviklingen af piger og drenges læsefærdigheder. Udvid model (1.1) med de relevante interaktionsled og lav testet af hypotesen om, at effekterne af begge forældres uddannelse er den samme for elever af begge køn. e. Lukning af små skoler møder ofte stor modstand i lokalsamfundet. Det lader til at være en udbredt opfattelse, at læreprocessen fungerer bedst i små miljøer. Undersøg denne påstand, idet du måler størrelsen af miljøet med variablen skolestr. i) Hvad kan du sige om gyldigheden af ovennævnte påstand ud fra estimaterne af parametrene i model (1.1)? ii) Udvid nu modellen med et kvadratisk led i skolestr og estimer den udvidede model med OLS. Definer og beregn en optimal skolestørrelse ud fra dine estimater af den udvidede model. Hvordan forholder den optimale skolestørrelse sig til den gennemsnitlige skolestørrelse i datasættet? iii) Hvad er din overordnede konklusion vedrørende en eventuel sammenhæng mellem skolestørrelse og elevernes læsefærdigheder? Begrund dit svar. f. I analyser af standardmodellen (1.1) støder man ofte på det problem, at variabler der måler indsatsen af skoleresurser har forkert fortegn. Konkret synes der at være et problem med at måle effekten af klassekvotienten. Browning og Heinesen peger i en undersøgelse på, at klassekvotienten kan afspejle valg foretaget af forældre, kommunalbestyrelse eller Folketing. F.eks. kan en lille klassekvotient afspejle, at eleverne har særlige faglige problemer, som der på den måde tages hånd om. (citeret efter kapitel II i Dansk Økonomi Efterår 2003, se også bilag 1). Man kan opfatte de særlige faglige problemer som en egenskab, der er udeladt af standardmodellen. i) Forklar hvorfor eksistensen af særlige faglige problemer udgør et muligt problem for estimation af standardmodellen (1.1)? Giv din vurdering af, om estimatet af koefficienten til klassekvotienten konkret er påvirket. ii) I datasættet indgår variablen famstot, som er et indeks der måler den støtte, som en elev får i sin læreproces fra den nære familie. Opstil betingelserne for, at famstot er velegnet som proxy-variabel for 6

7 iii) egenskaben særlige faglige problemer. Er betingelserne opfyldt i praksis? Udvid standardmodellen (1.1) med variablen famstot og estimer modellen med OLS. Løser famstot et eventuelt problem med at måle betydningen af klassekvotienten for elevens læsefærdigheder? g. Der er fra politisk side et ønske om at forbedre danske skoleelevers læsefærdighed. i) Antag at OLS anvendt på standardmodellen (1.1) giver et konsistent estimat af effekten af at have flere dansklærere med liniefag, når alle andre faktorer holdes uændret. Brug resultaterne af din estimation af model (1.1) og oplysninger fra Tabel II.3 i Dansk Økonomi Efterår 2003 (bilag 1) til at beregne den ændring i variablen liniefag, der er nødvendig for at bringe den gennemsnitlige læsefærdighed blandt samtlige grundskoleelever op på linie med svenske elevers færdigheder. ii) Vil du anse det for realistisk at opnå den ønskede ændring alene ved at øge udbredelsen af dansk som liniefag? Begrund dit svar. Opgave 3: a. I denne opgave betragter vi stadig et datasæt, som kun omfatter elever i folkeskolen (dvs. privat=0). Vi vil igen tage udgangspunkt i standardmodellen (1.1). Vi vil også her antage, at fejlleddet i modellen er homoskedastisk. Antag at klassekvotienten og andelen af dansklærere med liniefag er potentielt endogene forklarende variabler. De øvrige variabler antages at være exogene. I modsætning til Opgave 2, hvor proxy-tilgangen blev benyttet, vil vi i denne opgave benytte IV estimation. i) Diskuter hvorfor klassekvotienten og andelen af dansklærere med liniefag kan være endogene. Som instrumenter for klkvo og liniefag vil vi benytte variabler som angiver den geografiske placering af skolen. Variablerne som er dannet ud fra geo, er dummyvariablerne: landsby, lilleby, by, storby og hovedst. Den udeladte kategori er skoler i Københavns kommune. Angiv de antagelser som instrumenterne skal opfylde og diskuter derefter om antagelserne virker rimelige her. ii) Estimer den reducerede form for de to endogene forklarende variabler og test for om instrumenterne er gyldige. iii) Udfør instrument variabel estimationen. Test for om de potentielt endogene variabler faktisk er endogene. iv) Udfør testet for overidentifikation og konkluder på baggrund af testet. v) Opskriv IV-estimaterne og standard fejl. Konkluder på baggrund af dine estimationsresultater hvad modellen viser. 7

8 Antag nu at vi overvejer at bruge et andet sæt af instrumenter, som består af dummyvariabler der skal dannes på grundlag af, hvem der bestemmer lærernes startløn. Datasættet rummer information om dette i form af variablen startlon. vii) Undersøg muligheden for at bruge disse alternative instrumenter til en IV estimation af model (1.1). Hvilket af de to sæt af instrumenter vil du foretrække? b. Betragt følgende regressionsmodel med to regressorer: x og w yi = β1xi + β2w i + εi, hvor ε i er et fejlled. Vi antager at alle variabler er centeret således at E( yi) = E( xi) = E( wi ) = 0 og at modellen opfylder Gauss-Markov antagelserne MLR.1-MLR.5. Desværre er w uobserverbar og korreleret med x. I det følgende vil vi betragte to forskellige metoder til at få et konsistent estimat af β 1: Proxy-tilgangen og instrument variabel estimation. Antag nu at vi kan finde en proxy variabel w for w således at wi = γ wi + vi, hvor Ev ( wx, ) = 0. Desuden gælder at ε er ukorreleret med w. Endelig antages det at der findes en variabel z som er korreleret med x men er ukorreleret med ε, w og v. i) Proxy-tilgangen: Vis at OLS estimationen af følgende regressionsmodel vil give et konsistent estimat af β 1: y = β x + α w + u. i 1 i 1 i i Forklar hvilke af ovenstående antagelser du bruger til at vise resultatet. ii) Instrument variabel estimation: Vis at IV estimation på følgende regressionsligning yi = β1xi + ei hvor z benyttes som instrument, giver et konsistent estimat af β 1. Forklar hvilke af ovenstående antagelser du bruger til at vise resultatet. iii) En kombination af de to metoder: Man kan også forestille sig at man kombinerede de to metoder, således at man lavede en IV estimation på følgende ligning y = β x + α w + u, i 1 i 1 i i hvor z benyttes som instrument for x. Begrund hvorfor IV-estimatet af β 1 vil være konsistent. Antag at fejlleddet u er homoskedastisk. Diskuter om den kombinerede metode er bedre end proxy-metoden. 8

9 Opgave 4: Indtil nu har vi udelukkende set på modeller for læsefærdigheder blandt elever i folkeskolen. PISA datasættet omfatter også elever som går i en privatskole. a. Vi betragter nu det fulde datasæt som omfatter både elever i folkeskolen og i privatskoler. Variablen privat er lig med 1 for elever i privatskoler og lig med 0 for elever folkeskolen. Antag at det binære valg mellem skoletyper kan beskrives ved følgende model: P( privat = 1 x) = G( δ0 + δ1alder + δ2 pige + δ3andetspr + δ4 fudd + δ5mudd + δ6 fsei + δ7msei + δ formue + δ famstot + δ kulturel) exp( z) hvor G( z) = 1+ exp( z) (1.2) I denne opgave antages, at variablerne i (1.2) fremkommer som en tilfældig stikprøve, at alle forklarende variabler i (1.2) er exogene og at der ikke er perfekt multikollinearitet mellem variablerne. i) Udfør maximum likelihood estimation af modellen og rapportér regressionskoefficienterne ˆ δ0, ˆ δ ˆ 1,..., δ 10 og deres standardfejl. Udfør et test af signifikansen af variablen kulturel. Redegør for, hvilken hypotese du tester, hvilket test du har anvendt og for din konklusion. ii) Pålæg restriktionen at variablerne: forældrenes socio-økonomiske status og formue ikke betyder noget for valget mellem privatskole og folkeskole. Udfør et likelihood ratio test af hypotesen om, at socio-økonomisk status og formue ikke betyder noget. Redegør for, hvilken hypotese du tester og for din konklusion. b. Antag at vi har to grupper af elever: Gruppe a og gruppe b. For hver af de to grupper kan der udregnes et gennemsnit af variablen y: m og m. Betragt nu regressionsligningen: a y = α + α d + u i 0 1 i i b hvor d i er lig med 1 hvis observation i tilhører gruppe b og lig med 0 hvis observation i tilhører gruppe a. Vis, at OLS estimaterne for α0 og α1er givet ved ˆ α = m og ˆ α = m m 0 a 1 b a Angiv hvilke af SLR betingelserne som skal være opfyldt for at ovenstående gælder. 9

10 c. Der bliver fremsat et forslag om at fremme læsefærdighederne blandt danske skoleelever generelt ved at øge statstilskuddet til privatskoler og derved få flere familier til at vælge en privat skole. i) Sammenlign læsetest-scoren for elever i privatskoler og i folkeskolen. Test for om der er signifikante forskelle på læsefærdighederne i de to grupper af elever. ii) I stedet for den simple sammenligning foreslås det at se på en analyse hvor standardmodellen (1.1) er udvidet med dummy-variablen privat. Modellen estimeres for det samlede datasæt, der består både af elever i folkeskolen og i privatskoler. Diskuter om man kan bruge OLS estimatet af koefficienten til privat som et estimat af den forventede ændring i læsefærdighed ved at flytte en tilfældig elev fra folkeskolen til en privat skole. iii) Diskuter om man kan evaluere forslaget om øget statstilskud på grundlag af din analyse. Opgave 5: Sammenfatning og konklusion a. Lav en tabel for estimationsresultaterne for læsetest-scoren, der sammenfatter de analyser, du har lavet i Opgave 2, 3 og 4. Kommenter kort på tabellen. Kommenter også på, hvorledes de forskellige modeller forholder sig til hinanden og hvilke(t) sæt af estimater, du vil lægge til grund for din vurdering af, hvad der er afgørende for læsefærdigheder for elever i Danmark. b. Diskuter hvad man ud fra dine analyser kan sige om, hvilke faktorer der i særlig grad er bestemmende for læsefærdighederne hos elever på grundskoleniveau. Bilag 1: Bilag 2: Afsnit II.2 og II.3 fra Dansk Økonomi efterår 2003, Det økonomiske Råds formandskab, se Beskrivelse af indeks fra PISA (bearbejdet version af PISA-dokumentationen, se 10