En Introduktion til Sandsynlighedsregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En Introduktion til Sandsynlighedsregning"

Transkript

1 En Introduktion til Sandsynlighedsregning 4. Udgave Michael Sørensen 26. juni 2003

2 0

3 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det gælder ikke mindst Tue Tjurs forelæsningsnoter Sandsynlighedsregning, som i mange år blev benyttet til Statistik 0 undervisningen, og som har været udgangspunkt for nærværende noter. Visse steder er hele passager taget næsten ordret fra Tue Tjurs noter, ligesom hovedparten af opgaverne stammer derfra. Jeg har imidlertid også hentet mange ideer, formuleringer, eksempler og opgaver fra forelæsningsnoter af Jørgen Hoffmann-Jørgensen, Preben Blæsild, Svend Erik Graversen og Ernst Hansen. I forhold til den første udgave er de væsentlige ændringer en række nye eksempler, opgaver og figurer. Endvidere er der tilføjet et appendiks om mængdelære, og en del trykfejl og uheldige formuleringer er blevet rettet. Endelig er de fleste kapitler blevet forsynet med en kort sammenfatning. København, juli 2001 Michael Sørensen Til 3. og 4. udgave I forhold til 2. udgave er der kun foretaget mindre ændringer. Et antal trykfejl er blevet rettet, og enkelte steder er forklaringer blevet uddybet eller omformuleret. København, juni 2003 Michael Sørensen

4 2

5 Indhold Forord 1 1 Sandsynlighedsregningens grundlag Indledning Det endelige sandsynlighedsfelt Det generelle sandsynlighedsfelt Betingede sandsynligheder Stokastisk uafhængighed Sammenfatning Opgaver Stokastiske variable Stokastiske variable og deres fordeling Fordelingsfunktionen Fler-dimensionale stokastiske variable Uafhængige stokastiske variable Sammenfatning Opgaver Fordelinger på endelige mængder Sandsynlighedsfunktioner Binomialfordelingen Den hypergeometriske fordeling Transformation af fordelinger Polynomialfordelingen Uafhængige stokastiske variable Middelværdi og varians

6 4 INDHOLD 3.8 Kovarians og korrelation Sammenfatning Opgaver Generelle diskrete fordelinger Diskrete fordelinger Transformation af diskrete fordelinger Uafhængige diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians Kovarians og korrelation Betingede fordelinger Sammenfatning Opgaver En-dimensionale kontinuerte fordelinger Kontinuerte fordelinger og tætheder Middelværdi og varians Normalfordelingen Transformation af kontinuerte fordelinger på IR Sammenfatning Opgaver Fler-dimensionale kontinuerte fordelinger Tætheder og fordelinger på IR n Uafhængighed Transformation af kontinuerte fordelinger på IR n Reelle transformationer Lineær transformation af en kontinuert fordeling Middelværdi, varians og kovarians Kontinuerte betingede fordelinger Sammenfatning Opgaver Grænseresultater for stokastiske variable De store tals lov Den centrale grænseværdisætning Opgaver

7 INDHOLD 5 8 Normalfordelingens teori χ 2 -fordelingen og Γ-fordelingen F-fordelingen og t-fordelingen Den fler-dimensionale normalfordeling Den fler-dimensionale standard normalfordeling Den generelle fler-dimensionale normalfordeling Den to-dimensionale normalfordeling Sammenfatning Opgaver Nogle stokastiske modeller Aktier Poisson processen Brownsk bevægelse Efterskrift 249 A Om mængder 251 A.1 Mængder og mængdeoperationer A.2 Opgaver B Om kombinatorik 258 B.1 Fakultetsfunktionen B.2 Nedadstigende faktoriel B.3 Binomialkoefficienter B.4 Polynomialkoefficienter B.5 Opgaver C Om uendelige rækker 263 D Om integraler 266 D.1 Funktioner af én variabel D.2 Funktioner af flere variable E Tabeller 275 E.1 Standard normalfordelingen E.2 χ 2 -fordelingen E.3 t-fordelingen

8 6 INDHOLD E.4 F-fordelingen E.5 Det græske alfabet Indeks 283

9 Kapitel 1 Sandsynlighedsregningens grundlag 1.1 Indledning I den menneskelige tilværelse forekommer der mange tilfældige og uforudsigelige begivenheder. Skønt dette utvivlsomt gør livet interessant, har man dog i mange situationer brug for metoder til, så vidt det nu er muligt, at håndtere sådanne usikkerhedsmomenter. Det er baggrunden for, at sandsynlighedsregningen og statistikken er blevet udviklet. Disse fags metoder har i vore dage fundet meget bred anvendelse, for eksempel inden for forsikring, finansiering, planlægning og analyse af alle former for data, som er behæftet med usikkerhed. Sandsynlighedsregningen har sin oprindelse i menneskets spilleglæde. I år gamle køkkenmøddinger har man fundet betydelige mængder astragalus knogler fra hov- og klovdyr, der kan benyttes til terningspil, ligesom et ægyptisk gravmaleri fra det første ægyptiske dynasti (ca f. Kr. ) viser en adelsmand og hans kone, der benytter astragalus knogler i forbindelse med et brædtspil. Astragalus knoglen har fire sider. Når den kastes forekommer de to af siderne med sandsynlighed 1/10, mens de to andre forekommer med sandsynlighed 2/5. Spil med astragalus terninger var meget udbredt i antikken, hvor de efterhånden ofte blev lavet af brændt ler, marmor eller bronze. Den første sekssidede terning, man kender, er fundet i det nordlige Irak. Den er fra omkring 3000 f. Kr.

10 8 Sandsynlighedsregningens grundlag og er lavet af brændt ler. Mennesker har nok spillet siden tidernes morgen, og det må formodes, at der blandt dygtige spillere har eksisteret en intuitiv fornemmelse for det, vi i dag kalder sandsynligheder. Det er dog ret sent, at en egentlig teori for udfaldet af spil udvikles. Det tidligste skriftlige vidnesbyrd om elementære sandsynlighedsberegninger findes i et i middelalderen meget udbredt opbyggeligt latinsk digt De Vetula (Om den Gamle Kone), som tilskrives Richard de Fournival ( ), en gejstlig ved katedralen i Amiens. I forbindelse med en diskussion af terningspil giver digteren en lang (og korrekt) diskussion af antallet af måder, hvorpå man ved kast med tre terninger kan opnå de forskellige mulige summer af terningernes øjne. I digtet anvendes begrebet sandsynlighed ikke, men der tales om hyppighed af forskellige summer. Det vides ikke nøjagtigt, hvornår man nåede frem til mere klare forestilliner om sandsynligheder og viden om, hvordan de kan beregnes. Muligvis blev intet nedskrevet, fordi viden om disse ting havde betydelig pekuniær betydning. Den første bog Liber de Ludo Aleae om beregning af odds og sandsynligheder for en lang række spilsituationer (terningspil, kortspil og astragalus) blev skrevet af Geronimo Cardano ( ). Bogen er formentlig blevet til omkring 1550, men Cardano, som var en lidenskabelig spiller, holdt den hemmelig, og den blev først fundet og udgivet i Cardano gav ikke en abstrakt matematisk definition af sine begreber, og bogen er præget af store tabeller over samtlige mulige udfald i forskellige situationer. Det virkelige gennembrud for sandsynlighedsregningen som matematisk disciplin skete i 1654 i en berømt brevveksling mellem Pierre de Fermat ( ) og Blaise Pascal ( ), i hvilken de diskuterede og løste en række komplicerede sandsynlighedsteoretiske problemer i relation til spil. I den forbindelse lagde de det teoretiske fundament for det, vi i dag kalder den elementære sandsynlighedsregning. Fermat var stadsadvokat i Toulouse, og var formentlig alle tiders største amatørmatematiker, mens Pascal, der levede af en mindre formue, udover sin indsats som matematiker, fysiker og astronom også var en betydelig filosof. Hverken Fermat eller Pascal samlede deres resultater i bogform. Fermat havde ikke for vane at publicere sine resultater, og Pascal trak sig kort efter brevvekslingen med Fermat tilbage til et kloster i Port Royal, hvor han resten af livet koncentrerede sig om religionsfilosofi. Det blev

11 1.1 Indledning 9 derfor hollænderen Christiaan Huygens ( ), der efter i 1655 at være kommet til Paris samlede og genbeviste deres resultater, som var i omløb blandt byens matematikere. I 1657 udgav han resultaterne i bogen De Ratiociniis in Alea Ludo, der blev lærebog for mange sandsynlighedsteoretikere i den anden halvdel af det 17. århundrede. Nogle af Pascals resultater blev iøvrigt udgivet i 1665 i Traité du Triangle Arithmetique, som behandler det vi idag kalder Pascals trekant. Det næste store skridt fremad blev taget af den schweiziske matematiker Jakob (Jacques) Bernoulli ( ). Hans bidrag til sandsynlighedsregningen blev publiceret i bogen Ars Conjectandi, der blev skrevet i perioden , men først blev udgivet i I denne bog indføres sandsynlighed som et matematisk begreb, og de store tals lov vises. Dette resultat er basis for den frekvensfortolkning af sandsynlighedsregnigen, som vi skal komme tilbage til. Løst sagt er resultatet, at den frekevens, hvormed en given hændelse indtræffer, når et forsøg udføres mange gange, er tæt på sandsynligheden for hændelsen. Den definition af en sandsynlighed, som går tilbage til Cardano, Fermat og Pascal, byggede på formlen antal gunstige udfald antal mulige udfald. Den klassiske sandsynlighedsregning, som er baseret på denne formel, kulminerede med udgivelsen i 1812 af Pierre Simon Laplace s ( ) bog Théorie Analytique des Probabilités, hvori han udtømte teoriens matematiske muligheder. Herefter optræder der en periode med stilstand i den matematiske udvikling. Derimod skete der en rivende udvikling af sandsynlighedsregningens anvendte side langt udenfor spillenes område. Sandsynlighedsregningen blev således anvendt indenfor statistik, fysik, forsikringsvidenskab, demografi og andre samfundsvidenskaber (for eksempel kriminologi). Som det ofte sker, var anvendelserne her langt foran en stringent matematisk teori. Den klassiske sandsynlighedsdefinition slår ikke til i disse anvendelser. Dette blev helt klart med den komplicerede sandsynlighedsteoretiske model for aktiekursernes udvikling på børsen i Paris, som i 1900 blev udviklet af Louis Bachelier ( ) i dennes afhandling Théorie de la Spéculation. Præcis den samme model opstilledes i 1905 uafhængigt

12 10 Sandsynlighedsregningens grundlag af Bacheliers arbejde af Albert Einstein ( ) til beskrivelse af den såkaldte Brownske bevægelse, som mikroskopiske partikler som støv, pollen og bakterier udfører i væsker og luftarter. Fra den anden halvdel af den 19. århundrede startede en søgen efter et nyt grundlag for sandsynlighedsregningen, især i den russiske skole. Lvovich Pafnufti Chebychev ( ) og dennes to studenter Andrei Andreiwich Markov ( ) og Alexander Mikhailovich Lyapunov ( ) indførte de stokastiske variable og studerede deres egenskaber. Derigennem var de i stand til at generalisere nogle af sandsynlighedsregningens vigtigste resultater. I bogen Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung fra 1933 lagde Andrej Nikolaevich Kolmogorov ( ) den såkaldte målteori til grund for sandsynlighedsregningen, som derved igen fik et stringent matematisk grundlag. Dette satte en eksplosiv udvikling igang, som endnu ikke er afsluttet, og som har fundet meget bred praktisk anvendelse. Således har det vist sig, at den især i 1970erne udviklede stokastiske analyse, der giver værktøj til studiet af en bred klasse af stokastiske processer, er som skabt til at fungere som grundlag for den moderne matematiske finansieringsteori. Imidlertid er vi nu langt udenfor, hvad vi kan beskæftige os med i disse noter. Målteori hører ikke hjemme i et førsteårskursus, så selv om vi følger Kolmogorov noget af vejen, kan vi ikke her give en fremstilling af sandsynlighedsregningen, som er matematisk helt tilfresstillende. Vi vil imidlertid indføre en række centrale begreber og studere disse. Formålet med kurset er ikke mindst at gennemgå sandsynlighedsregningens helt basale regneregler og give en vis fortrolighed med disse. Dels er dette, hvad man har brug for i elementære anvendelser af sandsynlighedsregning (specielt er det nok til at kunne forstå et introducerende statistikkursus), dels er det den bedste ballast for senere at kunne tilegne sig den mere abstrakte teori baseret på målteori. Før vi går i gang med teorien, er det på sin plads at filosofere lidt over, hvad en sandsynlighed er. Det er der i tidens løb skrevet meget om. I disse noter vil vi betragte det som sandsynlighedsteoriens opgave at beskrive systemer, hvori der er et element af tilfældighed. Der kan være tale om fysiske, biologiske, sociale eller andre systemer. Det har erfaringsmæssigt vist sig, at skønt udfaldet af en enkelt tilfældig begivenhed ikke kan forudsiges, så er der for enhver given hændelse en vis tendens

13 1.1 Indledning 11 i det betragtede system til, at netop denne hændelse indtræffer. Denne tendens kvantificeres ved et tal mellem nul og en, som kaldes sandsynligheden for hændelsen. Sandsynligheder anses således for at være egenskaber ved det studerede system. De kan ikke observeres direkte, men hvis et forsøg udføres mange gange, viser sandsynlighederne sig som de frekvenser, hvormed forskellige hændelser optræder. Hvis vi for eksempel betragter kast med en ærlig terning, har alle terningens sider samme tendens til at optræde, hvorfor sandsynligheden for hændelsen, at der slås en femmer, er 1/6. Hvis man slår mange gange med terningen, viser denne sandsynlighed sig ved, at cirka 1/6 af kastene resulterer i en femmer. Dette er sandsynlighedsregningens frekvensfortolkning. Lad os formulere den lidt mere præcist. Antag at vi udfører et forsøg N gange uafhængigt af hinanden, og at det efter hvert forsøg kan konstateres, om en hændelse, som vi betegner med A, er indtruffet. Vi skal senere definere, hvad vi præcist vil forstå ved uafhængighed af forsøg; på dette sted er den intuitive fornemmelse af, hvad uafhængighed er, tilstrækkelig. Under disse antagelser er sandsynligheden for at A indtræffer lig lim N antal forsøg hvor A indtræffer. N I 1931, altså ganske kort før Kolmogorov s bog blev publiceret, opbyggede Richard von Mises ( ) en stringent sandsynlighedsteori, hvor sådanne grænseværdier var den basale definition af sandsynligheder. Disse ideer er aldrig slået an, og de blev fuldstændig overskygget af Kolmogorovs arbejde. Vi vil derfor som alle andre følge Kolmogorov og i Afsnit 1.3 opstille nogle få basale egenskaber, som sandsynligheder rimeligvis må have. Ud fra disse vil vi argumentere os frem til en række resultater og regneregler og bl.a. bevise, at sandsynlighedsregningens frekvensfortolkning (store tals lov) følger af disse basale antagelser. At man kan bevise dette, er en bekræftelse af, at de oprindelige basale antagelser er en fornuftig definition af sandsynlighed. At sandsynligheden for at få en femmer ved kast med en ærlig terning er lig 1/6 følger ved en simpel symmetribetragtning (der er ingen forskel på de seks sider). Som regel er det sværere at beregne sandsynligheden for en hændelse. Man har typisk behov for både sandsynlighedens regneregler og for at gøre nogle antagelser om det studerede system. Ofte må man også inddrage observationer af systemet, hvorved metoder fra

14 12 Sandsynlighedsregningens grundlag statistikken kommer ind i billedet. For eksempel vil vi, for at kunne beregne sandsynligheden for, at der i en klasse med 25 børn er mindst to børn med samme fødselsdag, gøre nogle antagelser. Vi vil blandt andet antage, at børnenes fødselsdage er uafhængige af hinanden, og at antal fødsler per dag ikke varierer i løbet af året. Sådanne antagelser er ikke nødvendigvis helt korrekte. For eksempel varierer antallet af fødsler per dag lidt med årstiden. Antagelserne skal blot være tilstrækkelig tæt på tingenes faktiske tilstand til, at de beregnede sandsynligheder kan anvendes i praksis. Når man præsenteres for et sandsynlighedsudsagn, bør man derfor altid spørge hvilke antagelser, der ligger bag. Så kan man, hvis man har forstand på sandsynlighedsregning, selv vurdere, om det er rimelige antagelser. Et andet eksempel, som vi skal se på, er beregning af sandsynligheden for, at en mand, som overlever sine første 20 år, vil opnå at blive 60 år. For at beregne denne sandsynlighed, som er af stor interesse i forbindelse med livsforsikring, må man gøre antagelser, både for at kunne anvende sandsynlighedsregningens regler og for at kunne inddrage data fra Statistisk Årbog. 1.2 Det endelige sandsynlighedsfelt I det tilfælde, hvor der kun er endeligt mange mulige udfald, er det problemløst, at opstille en sandsynlighedsteoretisk model. Alt hvad vi behøver er en liste over samtlige mulige udfald og en angivelse af sandsynligheden for ethvert af disse. Dette kan formaliseres på følgende måde. Ved et endeligt sandsynlighedsfelt forstås en endelig mængde E = {e 1,..., e k }, som kaldes udfaldsrummet, og en funktion p fra E ind i intervallet [0, 1], som opfylder, at k p(e j ) = 1. (1.2.1) j=1 Elementerne i E kaldes udfald, mens en delmængde af E kaldes en hændelse. Funktionen p kaldes sandsynlighedsfunktionen. Dens værdi i e j, altså p(e j ), er naturligvis sandsynligheden for udfaldet e j. Man omtaler denne som punktsandsynligheden i e j.

15 1.2 Det endelige sandsynlighedsfelt 13 Eksempel Betragt situationen, hvor man kaster to terninger. Da består E af de 36 mulige udfald E = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} = {1,..., 6} {1,..., 6}. Sandsynlighedsfunktionen er givet ved p(x) = 1 36 for alle x E, da alle udfald er lige sandsynlige. Eksempel Betragt nu en klasse med 25 børn. Vi vil interessere os for udsagn vedrørende børnenes fødselsdage, så et udfald består af en vektor af 25 fødselsdage x = (x 1,..., x 25 ). For at forenkle vore overvejelser ser vi bort fra skudår og antager, at alle år har 365 dage. En fødselsdag kan så angives ved dens nummer i året, d.v.s. som et helt tal mellem 1 og 365. Vi kan derfor benytte udfaldsrummet E = {1,..., 365} 25 = {1,..., 365} {1,..., 365}. } {{ } 25 gange Vi specificerer sandsynlighedsfunktionen ved p(x) = for alle x = (x 1,... x 25 ) E, d.v.s. vi antager at alle kombinationer af fødselsdage er lige sandsynlige. Her er situationen ikke helt så klar, som den var for et kast med to terninger. At alle kombinationer er lige sandsynlige forudsætter bl.a. at børnene ikke fordeles på klasser efter alderskriterier, at alderskriteriet for optagelse på skolen ikke er blevet ændret det år klassen startede i skolen og at antal fødte per dag ikke er årstidsafhængigt (hvilket ikke er helt rigtigt). Videre antages det, at børnenes fødselsdage er uafhængige af hinanden. Vi skal senere give en definition af begrebet stokastisk uafhængighed, som kan bruges til at præcisere dette udsagn. Her er det nok at bemærke, at vi f.eks. udelukker, at der er et tvillingepar i klassen.

16 14 Sandsynlighedsregningens grundlag Hvis A er en hændelse, d.v.s. A E, så defineres sandsynligheden for A, som vi betegner med P (A), ved P (A) = x A p(x). (1.2.2) Sandsynligheden for A er altså summen af alle punktsandsynlighederne hørende til de udfald, som ligger i A. Specielt er P ({e j }) = p(e j ), og da vi definerer summen over ingen elementer til at være nul, er P ( ) = 0. Det er ikke vanskeligt at indse (udfør argumentet i detaljer), at 0 P (A) 1 (1.2.3) P (E) = 1 (1.2.4) P (A B) = P (A) + P (B), hvis A B =. (1.2.5) Her er A og B naturligvis hændelser, d.v.s. A, B E. To mængder, hvis fællesmængde er den tomme mængde, siges at være disjunkte. Vi kalder en funktion P fra klassen af delmængder af E ind i de reelle tal, som opfylder (1.2.3) (1.2.5), et sandsynlighedsmål. I de to eksempler ovenfor var sandsynlighedsfunktionen konstant. Dette er naturligvis ikke altid tilfældet, men det er en særligt pæn situation, som er forudsætningen for den kendte formel for sandsynligheden for en hændelse: antal gunstige udfald antal mulige udfald. Hvis nemlig sandsynlighedsfunktionen p er konstant, følger det af formel (1.2.1), at p(x) = 1/k, hvor k er antallet af elementer i E. For en hændelse A E følger det derfor af (1.2.2) at P (A) = x A 1 k = A E, (1.2.6) hvor A betegner antallet af elementer i A, d.v.s. antallet af gunstige udfald, mens E betegner antallet af elementer i E, d.v.s. antallet af mulige udfald. Generelt vil vi fremover for enhver endelig mængde M betegne antallet af elementer i M med M. Når sandsynlighedsfunktionen p er konstant, er sandsynlighedsmassen fordelt ligeligt over den endelige mængde E. Man taler derfor om ligefordelingen på E. Lad os nu betragte et eksempel, hvor sandsynlighedsfunktionen ikke er konstant.

17 1.2 Det endelige sandsynlighedsfelt 15 Eksempel Betragt igen kast med to terninger, men antag, at vi kun er interesserede i summen af øjnene på de to terninger. Da kan vi benytte udfaldsrummet E = {2, 3,..., 12}, og specificere sandsynlighedsfunktionen p(2) = p(12) = 1/36 p(3) = p(11) = 1/18 p(4) = p(10) = 1/12 p(5) = p(9) = 1/9 p(6) = p(8) = 5/36 p(7) = 1/ Figur 1.2.1: Sandsynlighedsfunktionen i Eksempel Denne specifikation kræver naturligvis et argument. Da modellen i eksempel er en ligefordeling, kan vi beregne sandsynligheden for at

18 16 Sandsynlighedsregningens grundlag summen af de to øjne har en bestemt værdi ved hjælp af formel (1.2.6). Således er der kun et enkelt udfald som giver sum to, nemlig (1,1). Derfor er sandsynligheden for at summen er to lig 1/36. Der er to udfald med sum tre, nemlig (1,2) og (2,1), så sandsynligheden for at summen er tre er lig 2/36 = 1/18. De øvrige sandsynligheder findes ved tilsvarende overvejelser (udfør nogle af disse). 1.3 Det generelle sandsynlighedsfelt Man har ofte brug for sandsynlighedsfelter med uendeligt mange mulige udfald, og i den situation er det mere kompliceret at definere en sandsynlighedsteoretisk model. Hvis antallet af mulige udfald er uendeligt, er det ikke altid tilstrækkeligt blot at angive alle udfald og deres sandsynligheder. Lad os illustrere problemet med et eksempel. Eksempel Lad os tænke os, at vi trækker et tilfældigt tal mellem nul og en. Vi vælger altså som udfaldsrum intervallet E = [0, 1], som i hvert fald ikke er en endelig mængde. Det er måske på nuværende tidspunkt ikke helt klart, hvad vi mener med at trække et tilfældigt tal i E, men i hvert fald må alle tal e i E have samme sandsynlighed for at blive udtrukket. Lad os betegne denne sandsynlighed med p. Hvad er sandsynligheden for at udtrække et tal i mængden {1/n, 2/n,..., (n 1)/n, 1}, hvor n er et vilkårligt positivt helt tal? Hvis vi forlanger, at formel (1.2.5) også skal gælde for uendelige sandsynlighedsfelter, ses det ved at benytte denne formel n 1 gange, at P ({1/n, 2/n,..., (n 1)/n, 1}) = P ({1/n}) + + P ({(n 1)/n}) + P ({1}) = np. Da P ({1/n, 2/n,..., (n 1)/n, 1}) skal være en sandsynlighed, d.v.s. 0 P ({1/n, 2/n,..., (n 1)/n, 1}) 1, følger det, at der for alle positive hele tal n gælder, at 0 p 1 n.

19 1.3 Det generelle sandsynlighedsfelt 17 Ved at lade n gå mod uendelig ses det, at p = 0. I denne situation er det altså ikke særlig nyttigt at angive sandsynligheden for alle mulige udfald. Således er udsagnet, at P ({e}) = 0 for alle e [0, 1], helt uanvendeligt til at sige noget om for eksempel sandsynligheden for at trække et tal mellem 1/4 og 3/4. Denne sandsynlighed bør naturligvis være lig en halv. Det er klart, at vi må gå en anden vej for at definere et sandsynlighedsfelt på en brugbar måde. Vi vil i stedet definere sandsynligheden for at udtrække et tal i et delinterval I af E. En naturlig definition af tilfældig udtrækning af et tal mellem nul og en er at kræve, at sandsynligheden for at trække et tal i intervallet I er proportional med længden af I. Vi antager derfor, at der finds et reelt tal c 0, så P (I) = c I, hvor I betegner længden af I. Vi vil også fremover benytte denne notation for længden af intervaller og af andre delmægder af den reelle akse, for hvilke det giver mening at tale om længden. Det er let at bestemme størrelsen af c, da 1 = P ([0, 1]) = c [0, 1] = c. Det ser altså ud til, at vi kan definere tilfældig udtrækning af et tal mellem nul og en på en fornuftig måde ved at specificere, at P (A) = A, (1.3.1) for alle delmængder A af [0, 1], for hvilke det giver mening at tale om længden. Udover intervaller, kan det f. eks. være foreningsmængden af to eller flere intervaller. Da et-punktsmængden {e} kan betragtes som et udartet interval [e, e] med længde nul, er (1.3.1) i overensstemmelse med resultatet P ({e}) = 0, som vi fandt ovenfor. Da det, som vi netop har set, ikke altid er nok at angive samtlige udfald og deres sandsynligheder, må man i stedet angive sandsynligheden for at få et udfald i enhver delmængde af udfaldsrummet (eller i det mindste nogle af delmængderne). Man kan ikke bare angive disse sandsynligheder helt som man har lyst: Sandsynlighederne for forskellige hændelser skal passe sammen. Vi definerer derfor et generelt sandsynlighedsfelt på følgende måde.

20 18 Sandsynlighedsregningens grundlag Definition Ved et sandsynlighedsfelt forstås en mængde E, som kaldes udfaldsrummet, en vis klasse E af delmængder af E, samt en funktion P fra E ind i intervallet [0, 1]. Elementerne i E skal mindst omfatte både E selv og den tomme mængde, mens funktionen P, som kaldes et sandsynlighedsmål, skal opfylde, at P (E) = 1 (1.3.2) P (A B) = P (A) + P (B), hvis A B =. (1.3.3) Elementerne i E kaldes hændelser. Disse er altså delmængder af E. Fortolkningen af sandsynlighedsmålet P er naturligvis, at dets værdi i en hændelse A, d.v.s. P (A), er sandsynligheden for at få et udfald i A. De to betingelser (1.3.2) og (1.3.3) er helt rimelige: Dels skal vi være sikre på at få et udfald i E, dels må sandsynligheden for at få et udfald i enten A eller B være summen af sandsynligheden for et udfald i A og sandsynligheden for et udfald i B, når de to mængder ikke har noget element til fælles. Hvis vi ikke forlangte, at et sandsynlighedsmål opfylder (1.3.3), ville vi ikke kunne bruge det til at komme med konsistente udsagn om forskellige hændelsers sandsynlighed, men ville tværtimod risikere at komme med oplagt forvrøvlede udsagn. Vi har ikke sagt, hvad E egentlig er for noget. Det skyldes, at vi i disse noter altid vil antage, at E består af alle delmængder af E. Når E er en endelig mængde, er der ikke noget problem i dette. For visse uendelige mængder, som for eksempel den reelle akse IR og delintervaller af denne, er klassen af alle delmængder imidlertid umådeligt stor. Den er faktisk så stor, at den indeholder visse sære mængder, som man ikke kan tillægge nogen sandsynlighed. Derfor må man, hvis man skal være helt matematisk stringent, nøjes med at lade E være en noget mindre klasse af forholdvis pæne delmængder. De omtalte sære mængder er heldigvis så besynderlige, at man roligt kan sige, at enhver delmængde af IR, som en typisk Statistik 0 studerende kan forestille sig, kan tillægges en sandsynlighed. Der sker derfor ikke noget ved, at vi her ser bort fra disse problemer, som i praksis er uden betydning for den elementære sandsynlighedsregning. Den antydede problemstilling vil naturligvis blive taget op i et senere kursus, da den har betydning i mere avanceret sandsynlighedsregning.

21 1.3 Det generelle sandsynlighedsfelt 19 Fra nu af er en hændelse altså en vilkårlig delmængde af E, hvorfor E, som vi dermed i dette kursus ikke behøver i definitionen af et sandsynlighedsfelt, ikke vil optræde igen. Før vi ser nærmere på regnereglerne for et sandsynlighedsmål, skal vi lige have endnu et eksempel på et sandsynlighedsfelt, hvor E er intervallet [0, 1]. Eksempel Lad E = [0, 1]. Vi definerer et sandsynlighedsmål P på E ved for en delmængde A af [0, 1] at sætte P (A) = A (x)3x 2 dx, (1.3.4) hvor 1 A er den såkaldte indikatorfunktion for A, som er defineret ved 1 A (x) = { 1 hvis x A 0 hvis x / A. (1.3.5) Læg mærke til definitionen af indikatorfunktionen, som vil spille en vigtig rolle fremover. Sandsynligheden for et delinterval [a, b], hvor 0 a b 1, er altså P ([a, b]) = b a 3x 2 dx = b 3 a 3. Specielt er det klart, at P (E) = 1, og at en et-punkts mængde {a}, der jo er lig det udartede interval [a, a], har sandsynlighed nul ligesom i Eksempel Vi ser endvidere af (1.3.4), at P ( ) = 0, idet 1 (x) er lig med nul for alle x E. For alle de hændelser, som vi vil komme ud for, er det klart, at integralet i er defineret. Hvis for eksempel A = [a, b] [c, d], hvor 0 a b < c d 1, så er P (A) = b a 3x 2 dx + d c 3x 2 dx = b 3 a 3 + d 3 c 3 = P ([a, b]) + P ([c, d]). Vi ser, at (1.3.3) er opfyldt. Dette gælder faktisk generelt. Hvis nemlig A og B er disjunkte mængder af [0, 1], er 1 A B (x) = 1 A (x) + 1 B (x) (overvej

En Introduktion til Sandsynlighedsregning

En Introduktion til Sandsynlighedsregning En Introduktion til Sandsynlighedsregning 9. Udgave Michael Sørensen 11. juli 2008 0 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

TØ-opgaver til uge 46

TØ-opgaver til uge 46 TØ-opgaver til uge 46 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [ITP], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.4)

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Jørgen Larsen Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende 2006 Indhold Forord 5 Del I Sandsynlighedsregning 7 Indledning 9 Endelige udfaldsrum. Grundlæggende definitioner.....................

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Introduktion til sandsynlighedsregning

Introduktion til sandsynlighedsregning Jens E. Overø Introduktion til sandsynlighedsregning Samfundslitteratur Jens E.Overø Introduktion til sandsynlighedsregning 1. udgave 1992 1. udgave, 2. oplag 2001 Samfundslitteratur 2001 Grafisk tilrettelæggelse:

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005

Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen

Kombinatorik. M-serien består af disse arbejdskort: M1 Formler til kombinatorik M2 Pascals trekant M3 Binomialformlen 1 Statistik og sandsynlighedsregning er et relativt nyt emne i folkeskolens matematikundervisning. Ja, det er for den sags skyld et relativt nyt emne også i fagmatematikken og i anvendelser af matematik.

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Fagplan for statistik, efteråret 2015

Fagplan for statistik, efteråret 2015 Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning

Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 14. September, 2007 Betinget sandsynlighed ud fra proportioner Vi husker på definitionen IP(A B) = IP(A B). IP(B) Betragt en befolkning bestående af N personer.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Statistik viden eller tilfældighed

Statistik viden eller tilfældighed MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

4 Stokastiske variabler

4 Stokastiske variabler 4 Stokastiske variabler I kapitel 3 viste vi, hvordan man kan tilskrive sandsynligheder til forskellige hændelser, der knytter sig til et eksperiment. I praksis vil et eksperiment ofte involvere mange

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere