En Introduktion til Sandsynlighedsregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "En Introduktion til Sandsynlighedsregning"

Transkript

1 En Introduktion til Sandsynlighedsregning 4. Udgave Michael Sørensen 26. juni 2003

2 0

3 Forord Til 2. udgave Disse forelæsningsnoter trækker i betydelig grad på noter udarbejdet af en række kolleger. Det gælder ikke mindst Tue Tjurs forelæsningsnoter Sandsynlighedsregning, som i mange år blev benyttet til Statistik 0 undervisningen, og som har været udgangspunkt for nærværende noter. Visse steder er hele passager taget næsten ordret fra Tue Tjurs noter, ligesom hovedparten af opgaverne stammer derfra. Jeg har imidlertid også hentet mange ideer, formuleringer, eksempler og opgaver fra forelæsningsnoter af Jørgen Hoffmann-Jørgensen, Preben Blæsild, Svend Erik Graversen og Ernst Hansen. I forhold til den første udgave er de væsentlige ændringer en række nye eksempler, opgaver og figurer. Endvidere er der tilføjet et appendiks om mængdelære, og en del trykfejl og uheldige formuleringer er blevet rettet. Endelig er de fleste kapitler blevet forsynet med en kort sammenfatning. København, juli 2001 Michael Sørensen Til 3. og 4. udgave I forhold til 2. udgave er der kun foretaget mindre ændringer. Et antal trykfejl er blevet rettet, og enkelte steder er forklaringer blevet uddybet eller omformuleret. København, juni 2003 Michael Sørensen

4 2

5 Indhold Forord 1 1 Sandsynlighedsregningens grundlag Indledning Det endelige sandsynlighedsfelt Det generelle sandsynlighedsfelt Betingede sandsynligheder Stokastisk uafhængighed Sammenfatning Opgaver Stokastiske variable Stokastiske variable og deres fordeling Fordelingsfunktionen Fler-dimensionale stokastiske variable Uafhængige stokastiske variable Sammenfatning Opgaver Fordelinger på endelige mængder Sandsynlighedsfunktioner Binomialfordelingen Den hypergeometriske fordeling Transformation af fordelinger Polynomialfordelingen Uafhængige stokastiske variable Middelværdi og varians

6 4 INDHOLD 3.8 Kovarians og korrelation Sammenfatning Opgaver Generelle diskrete fordelinger Diskrete fordelinger Transformation af diskrete fordelinger Uafhængige diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians Kovarians og korrelation Betingede fordelinger Sammenfatning Opgaver En-dimensionale kontinuerte fordelinger Kontinuerte fordelinger og tætheder Middelværdi og varians Normalfordelingen Transformation af kontinuerte fordelinger på IR Sammenfatning Opgaver Fler-dimensionale kontinuerte fordelinger Tætheder og fordelinger på IR n Uafhængighed Transformation af kontinuerte fordelinger på IR n Reelle transformationer Lineær transformation af en kontinuert fordeling Middelværdi, varians og kovarians Kontinuerte betingede fordelinger Sammenfatning Opgaver Grænseresultater for stokastiske variable De store tals lov Den centrale grænseværdisætning Opgaver

7 INDHOLD 5 8 Normalfordelingens teori χ 2 -fordelingen og Γ-fordelingen F-fordelingen og t-fordelingen Den fler-dimensionale normalfordeling Den fler-dimensionale standard normalfordeling Den generelle fler-dimensionale normalfordeling Den to-dimensionale normalfordeling Sammenfatning Opgaver Nogle stokastiske modeller Aktier Poisson processen Brownsk bevægelse Efterskrift 249 A Om mængder 251 A.1 Mængder og mængdeoperationer A.2 Opgaver B Om kombinatorik 258 B.1 Fakultetsfunktionen B.2 Nedadstigende faktoriel B.3 Binomialkoefficienter B.4 Polynomialkoefficienter B.5 Opgaver C Om uendelige rækker 263 D Om integraler 266 D.1 Funktioner af én variabel D.2 Funktioner af flere variable E Tabeller 275 E.1 Standard normalfordelingen E.2 χ 2 -fordelingen E.3 t-fordelingen

8 6 INDHOLD E.4 F-fordelingen E.5 Det græske alfabet Indeks 283

9 Kapitel 1 Sandsynlighedsregningens grundlag 1.1 Indledning I den menneskelige tilværelse forekommer der mange tilfældige og uforudsigelige begivenheder. Skønt dette utvivlsomt gør livet interessant, har man dog i mange situationer brug for metoder til, så vidt det nu er muligt, at håndtere sådanne usikkerhedsmomenter. Det er baggrunden for, at sandsynlighedsregningen og statistikken er blevet udviklet. Disse fags metoder har i vore dage fundet meget bred anvendelse, for eksempel inden for forsikring, finansiering, planlægning og analyse af alle former for data, som er behæftet med usikkerhed. Sandsynlighedsregningen har sin oprindelse i menneskets spilleglæde. I år gamle køkkenmøddinger har man fundet betydelige mængder astragalus knogler fra hov- og klovdyr, der kan benyttes til terningspil, ligesom et ægyptisk gravmaleri fra det første ægyptiske dynasti (ca f. Kr. ) viser en adelsmand og hans kone, der benytter astragalus knogler i forbindelse med et brædtspil. Astragalus knoglen har fire sider. Når den kastes forekommer de to af siderne med sandsynlighed 1/10, mens de to andre forekommer med sandsynlighed 2/5. Spil med astragalus terninger var meget udbredt i antikken, hvor de efterhånden ofte blev lavet af brændt ler, marmor eller bronze. Den første sekssidede terning, man kender, er fundet i det nordlige Irak. Den er fra omkring 3000 f. Kr.

10 8 Sandsynlighedsregningens grundlag og er lavet af brændt ler. Mennesker har nok spillet siden tidernes morgen, og det må formodes, at der blandt dygtige spillere har eksisteret en intuitiv fornemmelse for det, vi i dag kalder sandsynligheder. Det er dog ret sent, at en egentlig teori for udfaldet af spil udvikles. Det tidligste skriftlige vidnesbyrd om elementære sandsynlighedsberegninger findes i et i middelalderen meget udbredt opbyggeligt latinsk digt De Vetula (Om den Gamle Kone), som tilskrives Richard de Fournival ( ), en gejstlig ved katedralen i Amiens. I forbindelse med en diskussion af terningspil giver digteren en lang (og korrekt) diskussion af antallet af måder, hvorpå man ved kast med tre terninger kan opnå de forskellige mulige summer af terningernes øjne. I digtet anvendes begrebet sandsynlighed ikke, men der tales om hyppighed af forskellige summer. Det vides ikke nøjagtigt, hvornår man nåede frem til mere klare forestilliner om sandsynligheder og viden om, hvordan de kan beregnes. Muligvis blev intet nedskrevet, fordi viden om disse ting havde betydelig pekuniær betydning. Den første bog Liber de Ludo Aleae om beregning af odds og sandsynligheder for en lang række spilsituationer (terningspil, kortspil og astragalus) blev skrevet af Geronimo Cardano ( ). Bogen er formentlig blevet til omkring 1550, men Cardano, som var en lidenskabelig spiller, holdt den hemmelig, og den blev først fundet og udgivet i Cardano gav ikke en abstrakt matematisk definition af sine begreber, og bogen er præget af store tabeller over samtlige mulige udfald i forskellige situationer. Det virkelige gennembrud for sandsynlighedsregningen som matematisk disciplin skete i 1654 i en berømt brevveksling mellem Pierre de Fermat ( ) og Blaise Pascal ( ), i hvilken de diskuterede og løste en række komplicerede sandsynlighedsteoretiske problemer i relation til spil. I den forbindelse lagde de det teoretiske fundament for det, vi i dag kalder den elementære sandsynlighedsregning. Fermat var stadsadvokat i Toulouse, og var formentlig alle tiders største amatørmatematiker, mens Pascal, der levede af en mindre formue, udover sin indsats som matematiker, fysiker og astronom også var en betydelig filosof. Hverken Fermat eller Pascal samlede deres resultater i bogform. Fermat havde ikke for vane at publicere sine resultater, og Pascal trak sig kort efter brevvekslingen med Fermat tilbage til et kloster i Port Royal, hvor han resten af livet koncentrerede sig om religionsfilosofi. Det blev

11 1.1 Indledning 9 derfor hollænderen Christiaan Huygens ( ), der efter i 1655 at være kommet til Paris samlede og genbeviste deres resultater, som var i omløb blandt byens matematikere. I 1657 udgav han resultaterne i bogen De Ratiociniis in Alea Ludo, der blev lærebog for mange sandsynlighedsteoretikere i den anden halvdel af det 17. århundrede. Nogle af Pascals resultater blev iøvrigt udgivet i 1665 i Traité du Triangle Arithmetique, som behandler det vi idag kalder Pascals trekant. Det næste store skridt fremad blev taget af den schweiziske matematiker Jakob (Jacques) Bernoulli ( ). Hans bidrag til sandsynlighedsregningen blev publiceret i bogen Ars Conjectandi, der blev skrevet i perioden , men først blev udgivet i I denne bog indføres sandsynlighed som et matematisk begreb, og de store tals lov vises. Dette resultat er basis for den frekvensfortolkning af sandsynlighedsregnigen, som vi skal komme tilbage til. Løst sagt er resultatet, at den frekevens, hvormed en given hændelse indtræffer, når et forsøg udføres mange gange, er tæt på sandsynligheden for hændelsen. Den definition af en sandsynlighed, som går tilbage til Cardano, Fermat og Pascal, byggede på formlen antal gunstige udfald antal mulige udfald. Den klassiske sandsynlighedsregning, som er baseret på denne formel, kulminerede med udgivelsen i 1812 af Pierre Simon Laplace s ( ) bog Théorie Analytique des Probabilités, hvori han udtømte teoriens matematiske muligheder. Herefter optræder der en periode med stilstand i den matematiske udvikling. Derimod skete der en rivende udvikling af sandsynlighedsregningens anvendte side langt udenfor spillenes område. Sandsynlighedsregningen blev således anvendt indenfor statistik, fysik, forsikringsvidenskab, demografi og andre samfundsvidenskaber (for eksempel kriminologi). Som det ofte sker, var anvendelserne her langt foran en stringent matematisk teori. Den klassiske sandsynlighedsdefinition slår ikke til i disse anvendelser. Dette blev helt klart med den komplicerede sandsynlighedsteoretiske model for aktiekursernes udvikling på børsen i Paris, som i 1900 blev udviklet af Louis Bachelier ( ) i dennes afhandling Théorie de la Spéculation. Præcis den samme model opstilledes i 1905 uafhængigt

12 10 Sandsynlighedsregningens grundlag af Bacheliers arbejde af Albert Einstein ( ) til beskrivelse af den såkaldte Brownske bevægelse, som mikroskopiske partikler som støv, pollen og bakterier udfører i væsker og luftarter. Fra den anden halvdel af den 19. århundrede startede en søgen efter et nyt grundlag for sandsynlighedsregningen, især i den russiske skole. Lvovich Pafnufti Chebychev ( ) og dennes to studenter Andrei Andreiwich Markov ( ) og Alexander Mikhailovich Lyapunov ( ) indførte de stokastiske variable og studerede deres egenskaber. Derigennem var de i stand til at generalisere nogle af sandsynlighedsregningens vigtigste resultater. I bogen Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung fra 1933 lagde Andrej Nikolaevich Kolmogorov ( ) den såkaldte målteori til grund for sandsynlighedsregningen, som derved igen fik et stringent matematisk grundlag. Dette satte en eksplosiv udvikling igang, som endnu ikke er afsluttet, og som har fundet meget bred praktisk anvendelse. Således har det vist sig, at den især i 1970erne udviklede stokastiske analyse, der giver værktøj til studiet af en bred klasse af stokastiske processer, er som skabt til at fungere som grundlag for den moderne matematiske finansieringsteori. Imidlertid er vi nu langt udenfor, hvad vi kan beskæftige os med i disse noter. Målteori hører ikke hjemme i et førsteårskursus, så selv om vi følger Kolmogorov noget af vejen, kan vi ikke her give en fremstilling af sandsynlighedsregningen, som er matematisk helt tilfresstillende. Vi vil imidlertid indføre en række centrale begreber og studere disse. Formålet med kurset er ikke mindst at gennemgå sandsynlighedsregningens helt basale regneregler og give en vis fortrolighed med disse. Dels er dette, hvad man har brug for i elementære anvendelser af sandsynlighedsregning (specielt er det nok til at kunne forstå et introducerende statistikkursus), dels er det den bedste ballast for senere at kunne tilegne sig den mere abstrakte teori baseret på målteori. Før vi går i gang med teorien, er det på sin plads at filosofere lidt over, hvad en sandsynlighed er. Det er der i tidens løb skrevet meget om. I disse noter vil vi betragte det som sandsynlighedsteoriens opgave at beskrive systemer, hvori der er et element af tilfældighed. Der kan være tale om fysiske, biologiske, sociale eller andre systemer. Det har erfaringsmæssigt vist sig, at skønt udfaldet af en enkelt tilfældig begivenhed ikke kan forudsiges, så er der for enhver given hændelse en vis tendens

13 1.1 Indledning 11 i det betragtede system til, at netop denne hændelse indtræffer. Denne tendens kvantificeres ved et tal mellem nul og en, som kaldes sandsynligheden for hændelsen. Sandsynligheder anses således for at være egenskaber ved det studerede system. De kan ikke observeres direkte, men hvis et forsøg udføres mange gange, viser sandsynlighederne sig som de frekvenser, hvormed forskellige hændelser optræder. Hvis vi for eksempel betragter kast med en ærlig terning, har alle terningens sider samme tendens til at optræde, hvorfor sandsynligheden for hændelsen, at der slås en femmer, er 1/6. Hvis man slår mange gange med terningen, viser denne sandsynlighed sig ved, at cirka 1/6 af kastene resulterer i en femmer. Dette er sandsynlighedsregningens frekvensfortolkning. Lad os formulere den lidt mere præcist. Antag at vi udfører et forsøg N gange uafhængigt af hinanden, og at det efter hvert forsøg kan konstateres, om en hændelse, som vi betegner med A, er indtruffet. Vi skal senere definere, hvad vi præcist vil forstå ved uafhængighed af forsøg; på dette sted er den intuitive fornemmelse af, hvad uafhængighed er, tilstrækkelig. Under disse antagelser er sandsynligheden for at A indtræffer lig lim N antal forsøg hvor A indtræffer. N I 1931, altså ganske kort før Kolmogorov s bog blev publiceret, opbyggede Richard von Mises ( ) en stringent sandsynlighedsteori, hvor sådanne grænseværdier var den basale definition af sandsynligheder. Disse ideer er aldrig slået an, og de blev fuldstændig overskygget af Kolmogorovs arbejde. Vi vil derfor som alle andre følge Kolmogorov og i Afsnit 1.3 opstille nogle få basale egenskaber, som sandsynligheder rimeligvis må have. Ud fra disse vil vi argumentere os frem til en række resultater og regneregler og bl.a. bevise, at sandsynlighedsregningens frekvensfortolkning (store tals lov) følger af disse basale antagelser. At man kan bevise dette, er en bekræftelse af, at de oprindelige basale antagelser er en fornuftig definition af sandsynlighed. At sandsynligheden for at få en femmer ved kast med en ærlig terning er lig 1/6 følger ved en simpel symmetribetragtning (der er ingen forskel på de seks sider). Som regel er det sværere at beregne sandsynligheden for en hændelse. Man har typisk behov for både sandsynlighedens regneregler og for at gøre nogle antagelser om det studerede system. Ofte må man også inddrage observationer af systemet, hvorved metoder fra

14 12 Sandsynlighedsregningens grundlag statistikken kommer ind i billedet. For eksempel vil vi, for at kunne beregne sandsynligheden for, at der i en klasse med 25 børn er mindst to børn med samme fødselsdag, gøre nogle antagelser. Vi vil blandt andet antage, at børnenes fødselsdage er uafhængige af hinanden, og at antal fødsler per dag ikke varierer i løbet af året. Sådanne antagelser er ikke nødvendigvis helt korrekte. For eksempel varierer antallet af fødsler per dag lidt med årstiden. Antagelserne skal blot være tilstrækkelig tæt på tingenes faktiske tilstand til, at de beregnede sandsynligheder kan anvendes i praksis. Når man præsenteres for et sandsynlighedsudsagn, bør man derfor altid spørge hvilke antagelser, der ligger bag. Så kan man, hvis man har forstand på sandsynlighedsregning, selv vurdere, om det er rimelige antagelser. Et andet eksempel, som vi skal se på, er beregning af sandsynligheden for, at en mand, som overlever sine første 20 år, vil opnå at blive 60 år. For at beregne denne sandsynlighed, som er af stor interesse i forbindelse med livsforsikring, må man gøre antagelser, både for at kunne anvende sandsynlighedsregningens regler og for at kunne inddrage data fra Statistisk Årbog. 1.2 Det endelige sandsynlighedsfelt I det tilfælde, hvor der kun er endeligt mange mulige udfald, er det problemløst, at opstille en sandsynlighedsteoretisk model. Alt hvad vi behøver er en liste over samtlige mulige udfald og en angivelse af sandsynligheden for ethvert af disse. Dette kan formaliseres på følgende måde. Ved et endeligt sandsynlighedsfelt forstås en endelig mængde E = {e 1,..., e k }, som kaldes udfaldsrummet, og en funktion p fra E ind i intervallet [0, 1], som opfylder, at k p(e j ) = 1. (1.2.1) j=1 Elementerne i E kaldes udfald, mens en delmængde af E kaldes en hændelse. Funktionen p kaldes sandsynlighedsfunktionen. Dens værdi i e j, altså p(e j ), er naturligvis sandsynligheden for udfaldet e j. Man omtaler denne som punktsandsynligheden i e j.

15 1.2 Det endelige sandsynlighedsfelt 13 Eksempel Betragt situationen, hvor man kaster to terninger. Da består E af de 36 mulige udfald E = {(1, 1), (1, 2),..., (6, 5), (6, 6)} = {1,..., 6} {1,..., 6}. Sandsynlighedsfunktionen er givet ved p(x) = 1 36 for alle x E, da alle udfald er lige sandsynlige. Eksempel Betragt nu en klasse med 25 børn. Vi vil interessere os for udsagn vedrørende børnenes fødselsdage, så et udfald består af en vektor af 25 fødselsdage x = (x 1,..., x 25 ). For at forenkle vore overvejelser ser vi bort fra skudår og antager, at alle år har 365 dage. En fødselsdag kan så angives ved dens nummer i året, d.v.s. som et helt tal mellem 1 og 365. Vi kan derfor benytte udfaldsrummet E = {1,..., 365} 25 = {1,..., 365} {1,..., 365}. } {{ } 25 gange Vi specificerer sandsynlighedsfunktionen ved p(x) = for alle x = (x 1,... x 25 ) E, d.v.s. vi antager at alle kombinationer af fødselsdage er lige sandsynlige. Her er situationen ikke helt så klar, som den var for et kast med to terninger. At alle kombinationer er lige sandsynlige forudsætter bl.a. at børnene ikke fordeles på klasser efter alderskriterier, at alderskriteriet for optagelse på skolen ikke er blevet ændret det år klassen startede i skolen og at antal fødte per dag ikke er årstidsafhængigt (hvilket ikke er helt rigtigt). Videre antages det, at børnenes fødselsdage er uafhængige af hinanden. Vi skal senere give en definition af begrebet stokastisk uafhængighed, som kan bruges til at præcisere dette udsagn. Her er det nok at bemærke, at vi f.eks. udelukker, at der er et tvillingepar i klassen.

16 14 Sandsynlighedsregningens grundlag Hvis A er en hændelse, d.v.s. A E, så defineres sandsynligheden for A, som vi betegner med P (A), ved P (A) = x A p(x). (1.2.2) Sandsynligheden for A er altså summen af alle punktsandsynlighederne hørende til de udfald, som ligger i A. Specielt er P ({e j }) = p(e j ), og da vi definerer summen over ingen elementer til at være nul, er P ( ) = 0. Det er ikke vanskeligt at indse (udfør argumentet i detaljer), at 0 P (A) 1 (1.2.3) P (E) = 1 (1.2.4) P (A B) = P (A) + P (B), hvis A B =. (1.2.5) Her er A og B naturligvis hændelser, d.v.s. A, B E. To mængder, hvis fællesmængde er den tomme mængde, siges at være disjunkte. Vi kalder en funktion P fra klassen af delmængder af E ind i de reelle tal, som opfylder (1.2.3) (1.2.5), et sandsynlighedsmål. I de to eksempler ovenfor var sandsynlighedsfunktionen konstant. Dette er naturligvis ikke altid tilfældet, men det er en særligt pæn situation, som er forudsætningen for den kendte formel for sandsynligheden for en hændelse: antal gunstige udfald antal mulige udfald. Hvis nemlig sandsynlighedsfunktionen p er konstant, følger det af formel (1.2.1), at p(x) = 1/k, hvor k er antallet af elementer i E. For en hændelse A E følger det derfor af (1.2.2) at P (A) = x A 1 k = A E, (1.2.6) hvor A betegner antallet af elementer i A, d.v.s. antallet af gunstige udfald, mens E betegner antallet af elementer i E, d.v.s. antallet af mulige udfald. Generelt vil vi fremover for enhver endelig mængde M betegne antallet af elementer i M med M. Når sandsynlighedsfunktionen p er konstant, er sandsynlighedsmassen fordelt ligeligt over den endelige mængde E. Man taler derfor om ligefordelingen på E. Lad os nu betragte et eksempel, hvor sandsynlighedsfunktionen ikke er konstant.

17 1.2 Det endelige sandsynlighedsfelt 15 Eksempel Betragt igen kast med to terninger, men antag, at vi kun er interesserede i summen af øjnene på de to terninger. Da kan vi benytte udfaldsrummet E = {2, 3,..., 12}, og specificere sandsynlighedsfunktionen p(2) = p(12) = 1/36 p(3) = p(11) = 1/18 p(4) = p(10) = 1/12 p(5) = p(9) = 1/9 p(6) = p(8) = 5/36 p(7) = 1/ Figur 1.2.1: Sandsynlighedsfunktionen i Eksempel Denne specifikation kræver naturligvis et argument. Da modellen i eksempel er en ligefordeling, kan vi beregne sandsynligheden for at

18 16 Sandsynlighedsregningens grundlag summen af de to øjne har en bestemt værdi ved hjælp af formel (1.2.6). Således er der kun et enkelt udfald som giver sum to, nemlig (1,1). Derfor er sandsynligheden for at summen er to lig 1/36. Der er to udfald med sum tre, nemlig (1,2) og (2,1), så sandsynligheden for at summen er tre er lig 2/36 = 1/18. De øvrige sandsynligheder findes ved tilsvarende overvejelser (udfør nogle af disse). 1.3 Det generelle sandsynlighedsfelt Man har ofte brug for sandsynlighedsfelter med uendeligt mange mulige udfald, og i den situation er det mere kompliceret at definere en sandsynlighedsteoretisk model. Hvis antallet af mulige udfald er uendeligt, er det ikke altid tilstrækkeligt blot at angive alle udfald og deres sandsynligheder. Lad os illustrere problemet med et eksempel. Eksempel Lad os tænke os, at vi trækker et tilfældigt tal mellem nul og en. Vi vælger altså som udfaldsrum intervallet E = [0, 1], som i hvert fald ikke er en endelig mængde. Det er måske på nuværende tidspunkt ikke helt klart, hvad vi mener med at trække et tilfældigt tal i E, men i hvert fald må alle tal e i E have samme sandsynlighed for at blive udtrukket. Lad os betegne denne sandsynlighed med p. Hvad er sandsynligheden for at udtrække et tal i mængden {1/n, 2/n,..., (n 1)/n, 1}, hvor n er et vilkårligt positivt helt tal? Hvis vi forlanger, at formel (1.2.5) også skal gælde for uendelige sandsynlighedsfelter, ses det ved at benytte denne formel n 1 gange, at P ({1/n, 2/n,..., (n 1)/n, 1}) = P ({1/n}) + + P ({(n 1)/n}) + P ({1}) = np. Da P ({1/n, 2/n,..., (n 1)/n, 1}) skal være en sandsynlighed, d.v.s. 0 P ({1/n, 2/n,..., (n 1)/n, 1}) 1, følger det, at der for alle positive hele tal n gælder, at 0 p 1 n.

19 1.3 Det generelle sandsynlighedsfelt 17 Ved at lade n gå mod uendelig ses det, at p = 0. I denne situation er det altså ikke særlig nyttigt at angive sandsynligheden for alle mulige udfald. Således er udsagnet, at P ({e}) = 0 for alle e [0, 1], helt uanvendeligt til at sige noget om for eksempel sandsynligheden for at trække et tal mellem 1/4 og 3/4. Denne sandsynlighed bør naturligvis være lig en halv. Det er klart, at vi må gå en anden vej for at definere et sandsynlighedsfelt på en brugbar måde. Vi vil i stedet definere sandsynligheden for at udtrække et tal i et delinterval I af E. En naturlig definition af tilfældig udtrækning af et tal mellem nul og en er at kræve, at sandsynligheden for at trække et tal i intervallet I er proportional med længden af I. Vi antager derfor, at der finds et reelt tal c 0, så P (I) = c I, hvor I betegner længden af I. Vi vil også fremover benytte denne notation for længden af intervaller og af andre delmægder af den reelle akse, for hvilke det giver mening at tale om længden. Det er let at bestemme størrelsen af c, da 1 = P ([0, 1]) = c [0, 1] = c. Det ser altså ud til, at vi kan definere tilfældig udtrækning af et tal mellem nul og en på en fornuftig måde ved at specificere, at P (A) = A, (1.3.1) for alle delmængder A af [0, 1], for hvilke det giver mening at tale om længden. Udover intervaller, kan det f. eks. være foreningsmængden af to eller flere intervaller. Da et-punktsmængden {e} kan betragtes som et udartet interval [e, e] med længde nul, er (1.3.1) i overensstemmelse med resultatet P ({e}) = 0, som vi fandt ovenfor. Da det, som vi netop har set, ikke altid er nok at angive samtlige udfald og deres sandsynligheder, må man i stedet angive sandsynligheden for at få et udfald i enhver delmængde af udfaldsrummet (eller i det mindste nogle af delmængderne). Man kan ikke bare angive disse sandsynligheder helt som man har lyst: Sandsynlighederne for forskellige hændelser skal passe sammen. Vi definerer derfor et generelt sandsynlighedsfelt på følgende måde.

20 18 Sandsynlighedsregningens grundlag Definition Ved et sandsynlighedsfelt forstås en mængde E, som kaldes udfaldsrummet, en vis klasse E af delmængder af E, samt en funktion P fra E ind i intervallet [0, 1]. Elementerne i E skal mindst omfatte både E selv og den tomme mængde, mens funktionen P, som kaldes et sandsynlighedsmål, skal opfylde, at P (E) = 1 (1.3.2) P (A B) = P (A) + P (B), hvis A B =. (1.3.3) Elementerne i E kaldes hændelser. Disse er altså delmængder af E. Fortolkningen af sandsynlighedsmålet P er naturligvis, at dets værdi i en hændelse A, d.v.s. P (A), er sandsynligheden for at få et udfald i A. De to betingelser (1.3.2) og (1.3.3) er helt rimelige: Dels skal vi være sikre på at få et udfald i E, dels må sandsynligheden for at få et udfald i enten A eller B være summen af sandsynligheden for et udfald i A og sandsynligheden for et udfald i B, når de to mængder ikke har noget element til fælles. Hvis vi ikke forlangte, at et sandsynlighedsmål opfylder (1.3.3), ville vi ikke kunne bruge det til at komme med konsistente udsagn om forskellige hændelsers sandsynlighed, men ville tværtimod risikere at komme med oplagt forvrøvlede udsagn. Vi har ikke sagt, hvad E egentlig er for noget. Det skyldes, at vi i disse noter altid vil antage, at E består af alle delmængder af E. Når E er en endelig mængde, er der ikke noget problem i dette. For visse uendelige mængder, som for eksempel den reelle akse IR og delintervaller af denne, er klassen af alle delmængder imidlertid umådeligt stor. Den er faktisk så stor, at den indeholder visse sære mængder, som man ikke kan tillægge nogen sandsynlighed. Derfor må man, hvis man skal være helt matematisk stringent, nøjes med at lade E være en noget mindre klasse af forholdvis pæne delmængder. De omtalte sære mængder er heldigvis så besynderlige, at man roligt kan sige, at enhver delmængde af IR, som en typisk Statistik 0 studerende kan forestille sig, kan tillægges en sandsynlighed. Der sker derfor ikke noget ved, at vi her ser bort fra disse problemer, som i praksis er uden betydning for den elementære sandsynlighedsregning. Den antydede problemstilling vil naturligvis blive taget op i et senere kursus, da den har betydning i mere avanceret sandsynlighedsregning.

21 1.3 Det generelle sandsynlighedsfelt 19 Fra nu af er en hændelse altså en vilkårlig delmængde af E, hvorfor E, som vi dermed i dette kursus ikke behøver i definitionen af et sandsynlighedsfelt, ikke vil optræde igen. Før vi ser nærmere på regnereglerne for et sandsynlighedsmål, skal vi lige have endnu et eksempel på et sandsynlighedsfelt, hvor E er intervallet [0, 1]. Eksempel Lad E = [0, 1]. Vi definerer et sandsynlighedsmål P på E ved for en delmængde A af [0, 1] at sætte P (A) = A (x)3x 2 dx, (1.3.4) hvor 1 A er den såkaldte indikatorfunktion for A, som er defineret ved 1 A (x) = { 1 hvis x A 0 hvis x / A. (1.3.5) Læg mærke til definitionen af indikatorfunktionen, som vil spille en vigtig rolle fremover. Sandsynligheden for et delinterval [a, b], hvor 0 a b 1, er altså P ([a, b]) = b a 3x 2 dx = b 3 a 3. Specielt er det klart, at P (E) = 1, og at en et-punkts mængde {a}, der jo er lig det udartede interval [a, a], har sandsynlighed nul ligesom i Eksempel Vi ser endvidere af (1.3.4), at P ( ) = 0, idet 1 (x) er lig med nul for alle x E. For alle de hændelser, som vi vil komme ud for, er det klart, at integralet i er defineret. Hvis for eksempel A = [a, b] [c, d], hvor 0 a b < c d 1, så er P (A) = b a 3x 2 dx + d c 3x 2 dx = b 3 a 3 + d 3 c 3 = P ([a, b]) + P ([c, d]). Vi ser, at (1.3.3) er opfyldt. Dette gælder faktisk generelt. Hvis nemlig A og B er disjunkte mængder af [0, 1], er 1 A B (x) = 1 A (x) + 1 B (x) (overvej

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/

Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistik

Sandsynlighedsregning og statistik og statistik Jakob G. Rasmussen, Institut for Matematiske Fag jgr@math.aau.dk Litteratur: Walpole, Myers, Myers & Ye: Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Prentice Hall, 8th ed. Slides

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag Jens Ledet Jensen på data, og statistik er derfor et nødvendigt værktøj i disse sammenhænge. Gennem konkrete datasæt og problemstillinger giver Statistik viden fra data en grundig indføring i de basale

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Sandsynlighedsbaserede metoder

Sandsynlighedsbaserede metoder Metodeartikel 29 Sandsynlighedsbaserede metoder Monte Carlo-metoden Daniel Kjær I sidste udgave af Famøs kunne læseren finde første halvdel af en todelt artikelserie om sandsynlighedsbaserede metoder under

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Sandsynlighedregning

Sandsynlighedregning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning + = - P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 1. udgave 2007 FORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsregning. Det forudsættes,

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple binomialfordelingsmodeller Jørgen Larsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Universitetscenter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørgen Larsen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild

Spil & Sandsynlighed. Preben Blæsild Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Stx Matematik A MT 3.a Matematik Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen

En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Oplysning 23 En statistikstuderendes bekendelser Søren Wengel Mogensen Om at skrive BSc-opgave i anvendt statistik. Der findes matematikere (i hvert fald matematikstuderende), der mener, at den rene matematik

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Den gamle togkonduktør

Den gamle togkonduktør SANDSYNLIGHEDSREGNING OG LOGIK SVÆR Den gamle togkonduktør Grubleren En pensioneret togkonduktør går en gang i døgnet en tur med sin hund. Han kommer altid forbi broen over banen og altid på et tilfældigt

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014 IBC-Kolding

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Normalfordelingen. Erik Vestergaard

Normalfordelingen. Erik Vestergaard Normalfordelingen Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: jakobkramer.dk/jakob Kramer Side 7: istock.com/elenathewise Side 8: istock.com/jaroon

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik niveau

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier

Matematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier Matematiske emner SPIL Sandsynligheder og Strategier Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2006 INDHOLD Kap. Sandsynligheder ved spil.... Lotto... øvelser...2 2. Poker...3 3. Ruinsandsynligheder ved Roulette

Læs mere