Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "www.matematiksider.dk/perspektiv_down.html"

Transkript

1

2 Indholdsfortegnelse 1. Indledning Centralprojektionsmodellen Kort om rumgeometri Rummet og den perspektiviske plan Den perspektiviske afbildning Perspektivets egenskaber ved lodret billedplan Introduktion til Perspective Modeler Perspective Modeler: En tutorial Centralprojektionmodellens egenskaber og begrænsninger Kameraer og perspektiv Eksempler på forskellige perspektiver Appendiks A Opgaver Websites Litteratur... 71

3 Erik Vestergaard Indledning Denne note er skrevet med den hensigt at skulle udgøre hovedmaterialet i et projekt i matematik på obligatorisk niveau i emnet perspektivregning. Noten vil ikke i ret stort omfang komme ind på den historiske udvikling af teorien for linearperspektivet, selv om dette kan være aldeles interessant og relevant. Den interesserede læser må så finde materiale herom andetsteds. I stedet vil noten koncentrere sig om at definere de forskellige begreber matematisk forsvarligt, at udlede egenskaber for linearperspektivet og sætte eleverne i stand til at tegne simple figurer i perspektiv. Med Windows programmet Perspective Modeler kan eleverne eksperimentere med perspektivet. Dermed kan perspektivets egenskaber og regler udforskes uden at man behøver udføre alle tegningerne selv. Omtalte program kan downloades fra min hjemmeside på følgende sted: Selvom materialet er tiltænkt matematik på obligatorisk niveau har jeg været nødt til at introducere emner såsom vektorer og linjer i rummet, for at kunne bevise de forskellige sætninger. Rumgeometrien er dog minimeret til det absolut nødvendige og burde ikke udgøre nogen hindring for eleverne. (Opdateret ). 2. Centralprojektionsmodellen Metoder til at afbilde den tredimensionelle verden på en todimensional flade har optaget mennesket lige siden tidernes morgen. I Lascaux-grotten i Sydfrankrig har man fundet hulemalerier, som er ca år gamle billeder af kæmpetyre, heste og hjorte, afbildet på klipperne. Siden har ægypterne, grækerne og romerne på hver deres måde afbildet tredimensionelle figurer på vægge, vaser etc. Man skal dog helt frem til den italienske renæssance før man har det første kendte billede, hvor afbildningen er foretaget perspektivisk korrekt. Det skal dog ikke forlede én til at tro, at datidens folk var primitive mange af datidens værker var stor kunst, men afbildningerne var altså ikke naturtro. Det første kendte billede, som er perspektivisk korrekt, skyldes Filippo Brunellischi ( ). En anden italiener, Leone Battista Alberti ( ), var derimod den første til at udgive en bog om maleriets teori, Della Pittura. Renæssancen i Italien var netop karakteriseret ved at kunsten havde helt enestående betingelser. I starten var det at udføre malerier, skulpturer og bygge kirker blevet betragtet som simpelt håndværk, men efterhånden vandt de bedste udøvere berømmelse og blev anerkendte som store kunstnere. Vi behøver bare nævne sublime udøvere som Leonardo da Vinci ( ), Raphaello Santi eller bare Raphael ( ) og Michelangelo Buonarroti ( ). Paver og fyrster bestilte kunstværker hos de bedste udøvere for at lade sig udødeliggøre... Med introduktionen af centralprojektionsmodellen fik man endelig en metode til at afbilde en 3D figur, som vi ser den. Denne model vil blive beskrevet i det følgende.

4 6 Erik Vestergaard Lad os sige, at vi ønsker at afbilde en 3D-figur i en plan, kaldet billedplanen. Ethvert objektpunkt P fra 3D-figuren afbildes i et billedpunkt Q, som er skæringspunktet mellem billedplanen og synsstrålen. Med sidstnævnte menes linjen gennem P og øjepunktet. En sådan afbildning kaldes for en centralprojektion. Figur 1 Situationen er illustreret på figur 1. Filosofien bag centralprojektionsmodellen er den simple, at personen ikke kan se forskel på selve objektpunktet og billedpunktet, da vi kan antage, at lys bevæger sig ad rette linjer. Tænk for eksempel på, at billedplanen kan være af glas så vil 3D-figuren og dens billede se ud til at ligge oveni hinanden! På figur 1 er også tegnet en linje kaldet synsretningen, som skal forestille at stå vinkelret på billedplanen og gå igennem øjepunktet. Det er en ren teknisk betegnelse idet øjet jo ikke bare kan se punkter i en specifik retning, men modtager lys indenfor hele øjets synsfelt. Vi vil vende tilbage til denne problematik i afsnit 9. Synsretningens skæring med billedplanen kaldes hovedpunktet og betegnes med H. Alternativt kan hovedpunktet beskrives som øjepunktets vinkelrette projektion på billedplanen. Afstanden fra øjepunktet til hovedpunktet vil vi kalde for distancen og betegne med d. Figur 2 og 3 Men hvordan skal billedplanen da placeres i forhold til øjepunktet? Ja, det er i princippet helt vilkårligt, så længde billedplanen ikke indeholder øjepunktet! Figur 2 viser et tilfælde, hvor billedplanen er vippet opad, svarende til at synsretningen forløber opad

5 Erik Vestergaard 7 (frøperspektiv), mens figur 3 viser et tilfælde, hvor billedplanen er vippet nedad, svarende til en nedadgående synsretning (fugleperspektiv). Man kan endda tænke sig billedplanen drejet i sin eget plan omkring synsretningsaksen, hvilket man kan sige svarer til at observatøren hælder hovedet til siden som en pilot, der vipper den ene vinge ned for at flyve i en kurve. Figur 4 forestiller en betragter, en billedplan og en linje l. En linje, som er parallel med billedplanen, vil vi kalde for en frontlinje. Alle andre linjer vil vi betegne dybdelinjer, fordi de bevæger sig ind i dybden. Linjen l er et eksempel på en sådan. Til enhver dybdelinje vil vi knytte to punkter, nemlig linjens spor S l og linjens forsvindingspunkt F l. Førstnævnte er linjens skæring med billedplanen, mens sidstnævnte fås som skæringspunktet mellem billedplanen og den linje l 0, som er parallel med l, og som går igennem øjepunktet. Hvis vi har at gøre med et dybdelinjestykke, dvs. en del af en dybdelinje, så vil vi også tale om, at det har et spor og et forsvindingspunkt, nemlig sporet og forsvindingspunktet for forlængelsen af l. Figur 4 Selv om billedplanen som nævnt kan anbringes på mange måder, så skal vi hovedsagligt beskæftige os med det specialtilfælde, hvor billedplanen er anbragt lodret, hvormed synsretningen altså bliver vandret. En af årsagerne er, at i dette specialtilfælde bliver det nemmere at formulere perspektivets regler og bevise dem. En anden er, at de fleste kunstværker også er udført i et perspektiv med lodret billedplan. Figur 5 på næste side viser en person betragte en terning. Perspektivet er med lodret billedplan. Bemærk, at der i billedplanen er afbildet en vandret linje gennem hovedpunktet, kaldet horisonten. Man kan vise, at horisonten er forsvindingslinje for enhver vandret plan! Det perspektiviske billede af et punkt, som bevæger sig i en vandret plan og ind i dybden, vil nærme sig til et punkt på horisonten.

6 8 Erik Vestergaard Figur 5 3. Kort om rumgeometri For at kunne foretage beviser for kommende sætninger vedrørende perspektivet er det hensigtsmæssigt at indføre nogle få centrale begreber fra rumgeometrien. Vi skal indføre vektorbegrebet og definere hvad en parameterfremstilling for en linje i rummet er. Som koordinatsystem i rummet benyttes det, som består af tre akser anbragt vinkelret på hinanden, som vist på figur 6. Akserne orienteres som et højresystem, der er karakteriseret ved, at hvis man befinder sig et sted på den positive del af z-aksen og kigger ind mod origo O, så skal den drejning, som sender x-aksen over i y-aksen, foregå mod uret. Hvis man vender z-aksen på figur 6 nedad, så fås et såkaldt venstresystem. Vi vil kun arbejde med højresystemer! Figur 6 og 7 Et punkt P i rummet siges at have koordinaterne ( x, y, z ), hvis punktets vinkelrette projektion ind på hver af akserne er henholdsvis x, y, og z. Situationen er vist på figur 6, hvor en illustrativ rektangulær kasse er tegnet med diagonal OP. Samtidigt viser figuren, at hvis vi anvender Pythagoras læresætning på ORQ og OQP, fås henholdsvis

7 Erik Vestergaard x + y = OQ og OQ + z = OP, hvilket tilsammen betyder, at man har følgende udtryk for længden af linjestykket OP: (1) OP = x + y + z Når man parallelforskyder en pil i rummet fås en ny pil med samme længde og retning. Samlingen af alle pile med en bestemt retning og længde vil vi betegne som én vektor. Hver pil er blot en repræsentant for vektoren. På figur 7 er tegnet en række repræsentanter for den samme vektor. Som betegnelse for en vektor benyttes ofte et bogstav med en pil over, såsom v. Som repræsentant for vektoren v kan man vælge den pil, som har begyndelsespunkt i origo. Hvis denne repræsentants endepunkt kaldes P kan man skrive v = OP og vektoren v siges at være stedvektor for punktet P. Koordinaterne til en vektor v defineres som koordinaterne til endepunktet P for den repræsentant, som har begyndelsespunkt i origo. På figur 6 har vektoren OP derfor koordinater ( x, y, z ). Den vektor, som har koordinaterne (0,0,0), betegnes nulvektoren. Længden af en vektor v betegnes med v og defineres som længden af en af dens repræsentanter. Ifølge ovenstående samt (1) fås derfor: v = OP = x + y + z. En vektor med længden 1 kaldes for en enhedsvektor. En af grundene til, at vi indfører vektorer er naturligvis, at vi ønsker at regne med dem. Vi skal definere, hvad det vil sige at addere to vektorer samt at gange en vektor med et tal. Lad u= ( x1, y1, z1) og v = ( x2, y2, z2) være to vektorer og t et tal. Da defineres vektorerne u + v og t u som vektorerne med følgende koordinater, idet koordinaterne nu alternativt skrives lodret: (2) x1+ x2 t x1 u+ v = y + y ; t u = t y z1 z 2 t z + 1 Figur 8 og 9

8 10 Erik Vestergaard Det overlades til læseren at overbevise sig om, at summen af to vektorer kan fås ved at anvende parallelogramreglen: Vælg to repræsentanter, som har samme begyndelsespunkt og tegn det plane parallelogram, som de to vektorer udspænder. Så er diagonalen en repræsentant for summen af de to vektorer, som vist på figur 8. En alternativ metode er at vælge repræsentanter for u og v, så begyndelsespunktet for sidstnævnte er lig med slutpunktet for førstnævnte. Så er den pil, som har begyndelsespunkt fælles med u s repræsentant og slutpunkt fælles med v s repræsentant, en repræsentant for vektoren u + v, som illustreret på figur 9. Vektoren t u har længden t u, og har samme retning som u, hvis t er positiv og modsat retning af u, hvis t er negativ. Dette har jeg illustreret på figur 10, hvor u er multipliceret med 3 og v er multipliceret med 1. Bemærk, at jeg har tegnet repræsentanter, som er lidt forskudt i forhold til hinanden, så man tydeligt kan se begyndelsespunktet for alle vektorerne! Man kan også trække to vektorer fra hinanden: u v defineres da ved, at det skal være vektoren u + ( v ). Så koordinaterne til differensen u v fås ved at subtrahere koordinaterne parvis. Rent geometrisk kan man få en repræsentant for u v på følgende måde: Vælg to repræsentanter for u og v, som har samme begyndelsespunkt. Da er den pil, som går fra endepunktet af u s repræsentant til endepunktet af v s repræsentant en repræsentant for u v, som illustreret på figur 11. Figur 10 og 11 og v= ( 1,3, 7). I øv- Eksempel 1 Bestem koordinaterne til vektoren 2 u 5 v, hvor u= (2, 1,4) rigt betegnes 2 u 5 v en linearkombination af u og v. Løsning: ( 1) 9 2 u 5 v = = = ( 4) Med ovenstående definitioner er vi nu klar til at indføre parameterfremstillingen for en ret linje i rummet. Et punkt P( x, y, z ) på linjen kan beskrives ved dets stedvektor OP, som kan splittes op i en sum af stedvektoren til et fast punkt P0 ( x0, y0, z 0) på linjen og

9 Erik Vestergaard 11 en vektor P0 P= t v, som er proportional med en retningsvektor v = ( v1, v2, v3) for linjen (se figur 12). Når t (parameteren) gennemløber alle reelle tal, vil alle punkter på linjen fremkomme. (3) Figur 12 x x0 v1 OP = OP0 + t v y = y0 + t v2 z z 0 v 3 Eksempel 2 a) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, der går igennem følgende to punkter: P 1 (0;2;2,5) og P 2(1;6; 3). b) Bestem skæringspunktet mellem linjen l og den lodrette plan med ligning y= 4. Til venstre på figur 12 ses planen i en lodret projektion i xy-planen. Løsning: a) Som fast punkt på linjen vælger vi P 1. Som retningsvektor kan vi vælge v = PP 1 2 = OP2 OP1 = 6 2 = 4 3 2,5 0,5 En mulig parameterfremstilling for linjen er derfor 0 1 t OP = OP1 + t PP 1 2 = 2 + t 4 = 2+ 4t 2,5 0,5 2,5+ 0,5t b) Når t gennemløber de reelle tal, gennemløbes linjens punkter. Derfor gælder det om at finde den værdi for t, som giver y-værdien 4: y= t = 4 t= 0,5. Indsættes denne værdi i linjens ligning fås stedvektoren til skæringspunktet S: 0 1 0,5 OS = 2 + 0,5 4 = 4 2,5 0,5 2,75

10 12 Erik Vestergaard Figur 13 I denne note vil vi kun beskæftige os med planer, som er lodrette og parallelle med xzplanen. I afsnit 5 skal vi anvende rumgeometrien til at udlede en formel for billedpunktets koordinater. 4. Rummet og den perspektiviske plan For at undgå at rode rundt i begreberne er det uhyre vigtigt, at man skelner mellem, hvordan genstanden i virkeligheden ser ud i rummet (3D), og hvordan dens perspektiviske billede i den perspektiviske plan ser ud. Man kan beskrive en genstand i 3D på forskellig måde. Én måde er at angive en plantegning og en eller flere opstalttegninger. Med en plantegning menes genstanden projiceret vinkelret ned i en vandret plan. Man kan eventuelt samtidigt indtegne billedplanen, øjepunktet O, samt koordinatakser på plantegningen. Situationen fra figur 5, hvor en observatør betragter en terning, er beskrevet på figur 14. Plantegningen kaldes her for Top, der er betegnelsen anvendt i programmet Perspective Modeler, som vi skal benytte senere. Da billedplanen er lodret, vil billedplanen i projektionen Top fremstå som et linjestykke. En opstalttegning er genstanden projiceret ind i en lodret plan. På figur 14 bliver opstalttegningen betegnet Left. Bemærk, at der er lagt et koordinatsystem ind, som har begyndelsespunkt i øjepunktet, og x-aksen er anbragt vandret og parallel med billedplanen, y-aksen vinkelret derpå og z-aksen lodret. Dette valg af koordinatsystem skal vi anvende i næste afsnit, så den perspektiviske afbildning får et simpelt udseende. Når vi skal til at bruge programmet Perspective Modeler er valget af koordinatsystem derimod helt vilkårligt, og her vil det måske være mere hensigtsmæssigt at lægge koordinatsystemet anderledes, for eksempel så punkter i grundplanen, hvorpå terningen står, får z-koordinat 0. Et punkts rumlige koordinater kan aflæses udfra plantegningen og opstalttegningen. Idet hvert tern repræsenterer 0,5 meter og øjepunktet befinder sig 1,70 meter over grundplanen, kan vi for ek-

11 Erik Vestergaard 13 sempel finde koordinaterne til punktet A 2. Plantegningen giver x= 0,5 og y= 4,5, mens opstalttegningen giver y= 4,5 og z= 0,7. De rumlige koordinater for punktet A 2 er dermed (0,5; 4,5; 0, 7). Den sidste tegning i figur 14 kaldet Perspective er det perspektiviske billede. I næste afsnit skal vi se, hvordan man kan beregne de perspektiviske koordinater i billedplanen. Figur 14

12 14 Erik Vestergaard 5. Den perspektiviske afbildning I det følgende vil vi igen antage, at billedplanen er lodret, samt at man lægger et koordinatsystem ind i rummet på følgende måde: i) Koordinatsystemets begyndelsespunkt anbringes i øjepunktet. ii) z-aksen skal pege lodret opad. iii) y-aksen er vandret og anbringes så den peger i synsretningens retning. iv) x-aksen anbringes vinkelret på de to andre akser, så der dannes et højresystem. Afstanden fra øjepunktet O til billedplanen er lig med d (distancen), så billedplanen har ligningen y= d. Situationen kan ses på figur 15. Punktet P 1 er et objektpunkt og linjen gennem O og P1 ( x1, y1, z 1) en synsstråle. Synsstrålens skæring med billedplanen er billedpunktet Q. Da dette punkt ligger i billedplanen med ligning y= d må anden koordinaten være lig med d. Billedpunktets koordinater er derfor på formen ( xq, d, z Q). Ved at droppe anden koordinaten får vi ( xq, z Q ), som vi vil kalde for billedpunktets koordinater i billedplanen. Billedplanens koordinatsystem er indtegnet på figur 15. Bemærk, at dette koordinatsystem har begyndelsespunkt i det, der svarer til hovedpunktet H. Figur 15 Sætning 3 En lodret billedplan er anbragt i afstanden d fra øjepunktet. Med ovenstående valg af koordinatsystem i rummet afbildes P1 ( x1, y1, z 1) i billedpunktet med koordinater: ( x, z ) = ( d x y, d z y ) Q Q

13 Erik Vestergaard 15 Bevis: Vi skal have fundet synsstrålens skæringspunkt med billedplanen. Som fast punkt på synsstrålen kan vi bruge O (0,0,0) og v = OP1 = ( x1, y1, z1 ) kan benyttes som retningsvektor. Ifølge (3) giver det anledning til følgende parameterfremstilling for synsstrålen: x 0 x1 t x1 y = 0 + t y = t y 1 1 z 0 z 1 t z 1 For at finde skæringspunktet med billedplanen finder vi først den parameterværdi for t, der betyder at 2. koordinaten bliver lig med d: y= d t y1 = d t= d y1. Indsættes denne parameterværdi i parameterfremstillingen fås: d y1 x1 d x1 y1 OQ = d = d d y z d z y hvormed ( xq, zq ) = ( d x1 y1, d z1 y1 ) som påstået. Figur 16 Eksempel 4 På figur 16 er afbildet plantegning og opstalttegning for en pyramide i rummet. Den betragtes fra øjepunktet O, som er anbragt i origo, og synsretningen er identisk med y-aksen. Betingelserne for at bruge sætning 3 er dermed opfyldt. Billedplanen er ikke anført på figuren, men det oplyses, at distancen i billedet er 20 cm.

14 16 Erik Vestergaard Det er kun nødvendigt at bestemme billedpunkterne for pyramidens hjørner, og så forbinde disse billedpunkter med rette linjestykker for at få hele det perspektiviske billede. I næste afsnit skal vi nemlig vise, at et ret linjestykke afbildes i et ret linjestykke (eller punkt)! Det er hensigtsmæssigt at lave en tabel, hvori man anfører de rumlige koordinater for de fem hjørner A, B, C, D og E. Disse koordinater kan fås udfra figur 16, idet det oplyses, at gitteret har masker på 1 gange 1 meter. I skemaets sidste to rækker anbringes billedpunkterne, som er beregnet via formlerne i sætning 3. Alle mål i tabellen er i cm. x 1 y 1 1 x = d x y zq = d z1 y1 z Q 1 1 A ,86 4,29 B ,00 3,00 C ,82 2,73 D ,00 3,75 E ,22 Herefter konstrueres et koordinatsystem for billedplanen. Det er gjort nedenfor, hvor hvert tern svarer til 1 cm. Billedpunkterne kan herefter indtegnes og forbindes med rette linjer, så billedet af pyramiden fremkommer. Origo svarer til hovedpunktet H og x Q - aksen er identisk med horisonten. Figur 17

15 Erik Vestergaard Perspektivets egenskaber ved lodret billedplan For at holde matematikken på et rimeligt niveau vil vi nøjes med at bevise sætninger, som vedrører perspektiv foretaget med lodret billedplan, hvilket er det samme som at sige, at synsretningen er vandret. Første sætning vil handle om frontlinjer, den næste om dybdelinjer, jævnfør definitionerne fra afsnit 2. Sætning 5 (Om frontlinjer m.m.) For den perspektiviske afbildning på lodret billedplan gælder følgende: a) Et frontlinjestykke afbildes i et linjestykke. b) Et lodret linjestykke afbildes i et lodret linjestykke. c) Et vandret frontlinjestykke afbildes i et vandret linjestykke. d) Et objekt, som befinder sig i en plan parallel med billedplanen, afbildes i et objekt, som er ligedannet med det originale objekt. Alle afstande og vinkler er dermed bevaret ved den perspektiviske afbildning. Det bør nævnes, at a) og d) også gælder selv om billedplanen ikke er lodret. Før vi beviser sætningen, vil vi illustrere nogle af udsagnene i sætningen. Betragt figur 14 fra afsnit 4. Linjestykket A1 A 2 er i virkeligheden lodret, og som vi ser, afbildes linjestykket også lodret i billedplanen (Perspective). Linjestykket A2 D 2 er en af de forreste vandrette kanter på terningen. Det er vandret og parallel med billedplanen. Linjestykket er altså et vandret frontlinjestykke og skal afbildes vandret i den perspektiviske plan. Dette konstateres også i feltet Perspective. Den forreste lodrette side i terningen opfylder betingelsen i d) og skal derfor afbildes som et kvadrat i billedplanen. Bevis for sætning 5: Vi antager, at det rumlige koordinatsystem er indlagt som i afsnit 5, så vi kan bruge sætning 3. a) Betragt figur 18: Endepunkterne af linjen l betegnes A og B. Billedet af l fås da som skæringen mellem den plane trekant ABO og billedplanen, hvilket giver et linjestykke l '. Dog må vi forudsætte, at linjen l ikke befinder sig i xzplanen, i hvilket tilfælde linjen ikke har noget billede (Overvej!). b) De rumlige koordinater for punkterne på en lodret linje vil alle have samme x- og y-koordinat. Af sætning 3 fås derfor, at alle linjens billedpunkter vil have den samme xq -koordinat, da xq = d x1 y1. Med andre ord: Billedet af linjen vil være lodret. c) Alle punkter på en vandret frontlinje vil have samme y- og z- koordinat. Da zq = d z1 y1 vil alle punkter på billedet derfor have samme zq -koordinat, hvilket betyder, at billedet af linjen er vandret. d) Situationen er illustreret med eksemplet på figur 19, som viser at billedet af en husfacade er en formindsket udgave af den originale husfacade. Påstanden i d) kan også forklares via billedpunktets koordinater: Alle punkter ( x1, y1, z 1) i objektet har samme 2. koordinat y 1. Det betyder, at vi i udtrykket for billedpunkterne kan sætte y 1 udenfor som en konstant: ( xq, zq ) = ( d x1 y1, d z1 y1) = d y1 ( x1, z1). Så ethvert objektpunkt beskrevet ved x 1 og z 1 i den lodrette plan y= y1 afbildes i billedplanen i et punkt med koordinater, som er et fast tal d y 1 gange ( x1, z 1). Dette viser det ønskede.

16 18 Erik Vestergaard Figur 18 Figur 19 Sætning 6 (Om dybdelinjer) For den perspektiviske afbildning på lodret billedplan gælder følgende: a) En dybdelinje, som passerer igennem øjepunktet, afbildes i et punkt, som er identisk med linjens spor og forsvindingspunkt. b) En dybdelinje, som ikke passerer igennem øjepunktet, afbildes i den linje, som går gennem forsvindingspunktet F l og sporet S l. Selve forsvindingspunktet kan dog ikke forekomme som billedpunkt! Når man bevæger sig på linjen ind i dybden, vil billedpunktet nærme sig til linjens forsvindingspunkt. c) Parallelle dybdelinjer har samme forsvindingspunkt. d) En vandret dybdelinje, som danner vinklen v med synsretningen, har et forsvindingspunkt, som ligger på horisonten stykket d tan( v) fra hovedpunktet H. Til højre for H, hvis dybdelinjen bevæger sig mod højre på vej ind i dybden, og til venstre for H, hvis det modsatte er tilfældet.

17 Erik Vestergaard 19 Det bør nævnes, at a), b) og c) også gælder selv om billedplanen ikke er lodret. Før vi beviser sætningen, vil vi illustrere nogle af udsagnene i sætningen. Betragt figur 14 fra afsnit 4. Lad os se på linjestykket A2 B 2. Det er åbenlyst parallel med synsretningen og ifølge definitionen af forsvindingspunkt i afsnit 2, har det derfor et forsvindingspunkt, som findes på følgende måde (se figur 4): Man ser på den linje l 0, som går igennem øjepunktet og er parallel med linjestykket A2 B 2. l 0 bliver i dette tilfælde identisk med synsretningen. Denne linjes skæringspunkt med billedplanen er forsvindingspunktet, og det bliver derfor i dette tilfælde lig med hovedpunktet H. Vi ser da også i feltet Perspective, at linjestykket skal afbildes, så det nærmer sig til hovedpunktet. Hovedpunktet er også forsvindingspunkt for andre kanter i terningen, for eksempel C2D 2, som jo er parallel med kanten A2 B 2. Vi er nu klar til at bevise sætningen. Bevis for sætning 6: a) Følger direkte af, at linjen er sammenfaldende med synsstrålen for ethvert punkt på linjen (se figur 1). Desuden er l og l 0 sammenfaldende og dermed F l og S l også sammenfaldende. b) Hvis linjen ikke passerer igennem øjepunktet har vi en situation som på figur 20. Figur 20 Husk definitionen af forsvindingspunkt fra afsnit 2: Forsvindingspunktet F l for en dybdelinje l fås ved at betragte den linje l 0, som er parallel med l og som går gennem øjepunktet, og bestemme denne linjes skæringspunkt med billedplanen. Billedpunkterne for ethvert punkt på l må ligge i planen, som indeholder l samt øjepunktet O. Da skæringen mellem denne plan og billedplanen er den linje, som passerer igennem F l og S l, må alle billedpunkterne ligge på denne linje. Alle punkter på linjen gennem F l og S l kan forekomme som billedpunkter, bortset fra F l selv (Overvej!). Figur 20 antyder

18 20 Erik Vestergaard også, at hvis et punkt P bevæger sig ud af linjen l, så vil dets billedpunkt Q konvergere mod forsvindingspunktet F l. Dette er illustreret ved at se på to punkter P 1 og P 2 og deres respektive billedpunkter Q 1 og Q 2. I appendiks A vil der blive givet et matematisk bevis for denne påstand. c) Følger direkte af, at parallelle linjer har samme linje l 0. d) En plantegning af situationen ser ud som på figur 21. Påstanden fås umiddelbart ved at regne på den retvinklede OHFl. Figur Introduktion til Perspective Modeler I dette afsnit skal vi introducere programmet Perspective Modeler, som kan downloades fra hjemmesiden angivet i notens indledning. Programmet kan benyttes til at fremstille perspektivisk korrekte tegninger. Programmet er velegnet til undervisningsbrug til at afprøve nogle af perspektivets egenskaber fra de forrige afsnit samt til at lade elever eksperimentere på egen hånd. Lad os se på programmets hovedstruktur. Programmet er indrettet, så brugeren skal beskrive et objekt i rummet, samt beskrive hvorfra det ses foruden billedplanens placering, hvorefter programmet automatisk vil beregne det perspektiviske billede. Sidstnævnte kan ses i feltet Perspective nede til højre (se figur 22). Man kan frembringe forskellige objekter linjer, rektangler, kasser og mere generelle kurver via værktøj i værktøjslinjen. Når et værktøj er valgt kan man frembringe objektet i en af de tre projektionsplaner af rummet kaldet Top, Front og Left. Top viser scenen projiceret ned i xy-planen (plantegning), Front viser situationen projiceret ind i xz-planen (opstalt) og Left viser situationen projiceret ind i yz-planen (opstalt). Efter et objekt er dannet, kan man redigere, strække, flytte, rotere, kopiere samt slette det. Ude til højre i vinduet har vi den såkaldte Object Manager, som er en træstruktur, som holder styr på de enkelte objekter og delobjekter. Det næste vigtige punkt er, hvordan objektet betragtes. Her skal øjepunktet specificeres og en synsretning samt en distance ( d). Øjepunkt og synsretning kan tilpasses interaktivt via den lille synspil, som befinder sig i hver af de tre projektionsplaner. I enderne af synspilen er der et stort og et lille rødt punkt. Det store angiver øjepunktets placering. Synspilens retning angiver synsretningen. Disse to størrelser kan også specificeres manuelt ved koordinater i Edit Perspective

19 Erik Vestergaard 21 dialogboksen, som kan frembringes via menuen View > Edit Perspective... eller ved blot at klikke på knappen med øjet i værktøjslinjen. Her kan distancen i afbildningen også sættes. Dette er hovedingredienserne i programmet. Det vil føre for vidt at gennemgå alle funktioner i detaljer. I stedet vil læseren blive ledt igennem vigtige dele af programmet i et eksempel (en tutorial) i næste afsnit. Figur Perspective Modeler: En tutorial Frem for at gennemgå Perspective Modelers funktioner én efter én vil det være mere hensigtsmæssigt at se på en konkret opgave, og så vise læseren skridt for skridt hvordan denne opgave løses. Det betegnes en tutorial. Lad os sige, at vi ønsker at skabe en terning og betragte den fra forskellige positioner for at undersøge, hvordan det perspektiviske billede tager sig ud. Tastaturgenveje skrives i parentes. Husk, at hvis du kommer til at gøre noget forkert kan du altid klikke på fortryde-værktøjet (Undo) i værktøjslinjen. a) Bemærk, at feltet Top øverst til venstre er omkredset af en rød ramme. Det betyder, at feltet er aktiveret og klar til at arbejde i. Prøv for sjov skyld at klikke et sted i feltet Front og se at det nu bliver aktiveret. Hvis du herefter højreklikker i feltet vises en forstørret udgave af feltet. Højreklikkes igen i feltet er man tilbage. Det samme kan gøres i de andre felter... En anden mulighed for at zoome ind er at anvende F2-tasten og trække et felt ud. F3-tasten bringer én tilbage igen...

20 22 Erik Vestergaard b) Der er allerede et objekt i rummet, nemlig et hus. Aktiver feltet Top og marker huset ved at klikke et sted i nærheden af huset. Når det er markeret, vises huset nu i rødt. Tryk på Delete-tasten på tastaturet, hvorefter huset forsvinder. c) Du kan se scenens dimensioner via menuen View > Rulers (Ctrl+R). Ved at kigge i de forskellige felter kan man se, at defaultdimensionerne af scenen er 20 x 20, 20 y 20 og 20 z 20. Du kan vedtage med dig selv, at det er meter. Skulle scenens dimensioner ikke være tilfredsstillende kan de ændres i dialogboksen Scene Properties, som kan nås fra menuen View > Scene Properties... (F6). Her kan du også ændre linjernes tykkelser og farver og ændre på gitteret m.m. Men som situationen er her stiller vi os tilfreds med default værdierne. Bemærk, at en fornyet brug af Ctrl+R vil fjerne linealerne igen. d) Vi er nu klar til at lave terningen. Klik på Box Tool (ikke Rectangle Tool!!) i værktøjslinjen og bemærk, at cursoren skifter udseende! Kasseværktøjets virkemåde er lidt specielt, idet man skal frembringe en tredimensional figur i et felt, som er todimensionalt. Dette lader sig gøre ved at man i feltet Top først trækker et rektangel ud i xy-planen og når man slipper venstre museknap er objektet endnu ikke færdigt. Kig nemlig i de to øvrige felter Front og Left og bemærk, at højden endnu ikke er dannet. Når du bevæger cursoren op eller ned vil højden nemlig ændres i disse felter. Når du har placeret cursoren, så en tilfredsstillende højde er opnået, foretager du et sidste venstreklik, hvorefter kassen endelig er færdig. Lad os sige, at vi ønsker at lave en terning med sidelængden 5 meter. Da gitterlinjerne har afstanden 1 meter skal vi altså lave en kasse på 5 gange 5 gange 5 enheder. Hvis du holder Shifttasten nede samtidigt med at du frembringer kassen, vil programmet udføre Snap to Grid, dvs. kassen vil holde sig til gitterlinjerne! Vær ikke så bekymret for hvor du anbringer kassen. Under punkt e) vil vi alligevel flytte kassen! Figur 23

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Arbejde med 3D track motion

Arbejde med 3D track motion Arbejde med 3D track motion Gary Rebholz I sidste måneds Tech Tip artikel gennemgik jeg det grundlæggende i track motion. Selv om vi ikke gennemgår alle værktøjer i Track Motion dialog box vil du alligevel

Læs mere

Perspektiv. At illustrerer rumligt. Forsvindingspunkt Horisont

Perspektiv. At illustrerer rumligt. Forsvindingspunkt Horisont Rumlig afbildning For at illustrere en bygning eller et Rum, i et sprog der er til at forstå, for ikke byggefolk, kan det være en fordel at lave en gengivelse af virkeligheden. Perspektiv At illustrerer

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008

Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon

Filtyper, filformat og skabelon. Tabel. Tekstombrydning. Demo Fremstil, gem og brug en skabelon. Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Disposition for kursus i Word 2007 Filtyper, filformat og skabelon Demo Fremstil, gem og brug en skabelon Øvelser Fremstil, gem og brug en skabelon Tabel Demo Opret en tabel ud fra en tekst Øvelser Opret

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

En lille vejledning i at bruge Paint Win 98 og Win XP Indhold

En lille vejledning i at bruge Paint Win 98 og Win XP Indhold 1 En lille vejledning i at bruge Paint Win 98 og Win XP Indhold Indhold...2 1. Åbn Paint...3 2. Vælg en baggrundsfarve og en forgrundsfarve...3 3. Tegn et billede...4 4. Ny, fortryd og gentag...4 5. Andre

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Opsætte f.eks. en rejsebeskrivelse med tekst og billede i Draw side 1

Opsætte f.eks. en rejsebeskrivelse med tekst og billede i Draw side 1 side 1 Hvis man vil lave en opsætning af rejsebeskrivelse og billeder, kan man også gøre det i DRAW. Denne vejledning vil vise hvordan man indsætter hjælpelinjer så man laver en pæn opstilling med billede

Læs mere

Introduktion til Rhinoceros 3d

Introduktion til Rhinoceros 3d Introduktion til Rhinoceros 3d September 2012, ruben.borup@aarch.dk, Arkitektskolen Aarhus Interfacets opbygning B A C D F E G H I a) Den øverst menu (alle kommandoer, kategoriseret browse) b) Kommandoprompt

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr. 108 Side 1. Lave visitkort i dankort størelse med eget foto

Vejledning til Photofiltre nr. 108 Side 1. Lave visitkort i dankort størelse med eget foto Side 1 I denne vejledning vises hvordan man kan lave visitkort, på samme måde som der blev lavet bordkort. Vi vil her som baggrund bruge et af vores egne foto. Opsætningen foregår i LibreOffice Draw og

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Ved brug af computer handler det derfor mest om, hvordan man får teksten til at stå på papiret og på skærmen.

Ved brug af computer handler det derfor mest om, hvordan man får teksten til at stå på papiret og på skærmen. Side 1 af 21 I dette materiale skal du prøve at arbejde med tekster og billeder. Tekster er bogstaver, der er sammensat til ord. Ord er igen sat sammen, så de danner sætninger. Sætninger kan udtrykke en

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

AutoCAD 2012. 2D øvelser til bygningstegning. Frede Uhrskov

AutoCAD 2012. 2D øvelser til bygningstegning. Frede Uhrskov AutoCAD 2012 2D øvelser til bygningstegning Frede Uhrskov Forord Øvelserne er opbygget som detaljerede indtastningsøvelser, og som indlæring kan de ikke stå alene, men da det også er vigtigt at få succes

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Word-5: Tabeller og hængende indrykning

Word-5: Tabeller og hængende indrykning Word-5: Tabeller og hængende indrykning Tabel-funktionen i Word laver en slags skemaer. Word er jo et amerikansk program og på deres sprog hedder skema: table. Det er nok sådan udtrykket er opstået, da

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

AutoCAD 2013 2D øvelser til bygningstegning

AutoCAD 2013 2D øvelser til bygningstegning AutoCAD 2013 2D øvelser til bygningstegning Frede Uhrskov Forord Øvelserne er opbygget som detaljerede indtastningsøvelser, og som indlæring kan de ikke stå alene, men da det også er vigtigt at få succes

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr. 105 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr. 105 Side 1 Side 1 Denne vejledning er et smalt grafikbillede man kan bruge i toppen af en mail lavet i PhotoFiltre 7 hvor man nu kan arbejde i lag. Med PhotoFiltre 7 er det nu endnu nemmere at sammensætte grafik

Læs mere

Microsoft Visio 2010 DK

Microsoft Visio 2010 DK I n d h o l d s f o r t e g n e l s e Introduktion... 1 Skabeloner og stencils...2 Visio 2010 arbejdsskærmen... 4 Stencils...4 Sidens egenskaber...7 Faneblade og trykknapper i Visio 2010... 10 Quick Access

Læs mere

På min hjemmeside under Libre Draw finder du nederst en skabelon Skabelon med 2 spalter. Det er den vi skal bruge i dette eksempel.

På min hjemmeside under Libre Draw finder du nederst en skabelon Skabelon med 2 spalter. Det er den vi skal bruge i dette eksempel. Side 1 Mange kender programmet Microsoft Publisher hvor man sætte forskellige ting op i, blade, skrivelser, sange m.m. Libre Office Draw der er en del af den gratis LibreOffice pakke kan noget i samme

Læs mere

Nero Cover designer. 1. Opstart og justering af Printer første gang! Brug af Nero til at lave labler-indlægmm. til CD/DVD skiver af egenproduktion.

Nero Cover designer. 1. Opstart og justering af Printer første gang! Brug af Nero til at lave labler-indlægmm. til CD/DVD skiver af egenproduktion. Nero Cover designer. Brug af Nero til at lave labler-indlægmm. til CD/DVD skiver af egenproduktion. 1. Opstart og justering af Printer første gang! Start Nero og vælg i sidepanelet til venstre(åbnes ved

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

PHOTOSHOP - BILLEDREDIGERING

PHOTOSHOP - BILLEDREDIGERING PHOTOSHOP - BILLEDREDIGERING Billeder åbnes via: File - Open... Et billede kan roteres via: Image - Rotate Canvas Under Image - Image Size... kan billedets størrelse og opløsning ændres. Under Image -

Læs mere

Edb-tekstbehandling, præsentation mm

Edb-tekstbehandling, præsentation mm Edb-tekstbehandling, præsentation mm I denne lektion skal du: - hente kopier et skærmbillede og sætte det ind i et dokument - beskære billedet, så det passer til dit dokument Der findes specielle programmer

Læs mere

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012 Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL

INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL INTRODUKTION TIL DIAGRAMFUNKTIONER I EXCEL I denne og yderligere at par artikler vil jeg se nærmere på diagramfunktionerne i Excel, men der er desværre ikke plads at gennemgå disse i alle detaljer, dertil

Læs mere

Quick guide til Condes 8.

Quick guide til Condes 8. Quick guide til Condes 8. Quick guide til Condes 8.... 1 Starte Condes:... 2 Opret poster.... 6 Opdatere post detaljer:... 7 Finjustere postcirklen.... 8 Flytte postnummer... 9 Sætte poster sammen til

Læs mere

FORMATERING AF REGNEARK

FORMATERING AF REGNEARK FORMATERING AF REGNEARK Indtil nu har vi set på, hvordan du kan udføre beregninger i dit regneark, og hvordan du kan redigere i regnearket, for hurtigt at få opstillet modellerne. Vi har derimod overhovedet

Læs mere

KOMPENDIUM i Google SketchUp

KOMPENDIUM i Google SketchUp KOMPENDIUM i Google SketchUp UDVIKLINGSKURSUS Design og IT d. 21. maj 2008 ved arkitekter maa Cecilia Nilsson og Susanne Andersen fra SCAN arkitekter (www.scan-ark@mail.dk) Formålet med kurset er at give

Læs mere

Publisher 2003 Indhold

Publisher 2003 Indhold Publisher 2003 Indhold Indhold...1 Introduktion...2 Skærmsiden...2 Opgaverude...3 Værktøjer...4 Overskrift...5 Billeder...5 Flytning...6 Ændring af størrelse...6 Formatere billedet...7 Indskrivning af

Læs mere

MathType 6.7e og 6.8 for elever og lærere på HAKA

MathType 6.7e og 6.8 for elever og lærere på HAKA MathType 6.7e og 6.8 for elever og lærere på HAKA Med årene er der blevet større og større behov for i gymnasiet at kunne skrive formler ind i elektroniske dokumenter, fx når der skal udfærdiges rapporter

Læs mere

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt:

Kirsten Isager, perspektivkasse 1. Forudsætninger: øjet står 2 m foran rummet og rummet bliver 1,5 m dybt, men skal se ud som om det er 3,85 m dybt: Kirsten Isager, perspektivkasse 1 Projektopgave nr 2: Geoetri, Perspektivkasse. uet skal være et snydeperspektiv. Først tager vi ålene i det virkelige ålestoksforhold. Forudsætninger: øjet står 2 foran

Læs mere

Indhold. Brugermanual

Indhold. Brugermanual Indhold 1. Installering af pcon.planner ME... 3 1.1 Start pcon.planner... 3 2. Brugerfladen... 4 2.1 Programmenuen... 5 2.2 Værktøjslinje Hurtig adgang... 5 2.3 Menubaren (ribbon)... 5 2.4 Arbejdsområdet...

Læs mere

Introduktion. Installation. En kort oversigt

Introduktion. Installation. En kort oversigt Indhold Indhold...1 Introduktion...2 Installation...2 En kort oversigt...2 Biblioteksoversigt...3 Liste over mapper...3 Miniatureportrætter...4 Flytte et billede...4 Slette et billede...4 Det nederste

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

01-04-2014 SketchUp 2014

01-04-2014 SketchUp 2014 01-04-2014 SketchUp 2014 Hans Lyche Dahl Heiselberg SKIVETS.DK Hans Heiselberg - Skive Tekniske Skole Side : 1/16 SketchUp i undervisningen SketchUp er et let tilgængeligt tegneprogram, hvor brugeren kommer

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Tekstbokse er et meget fint værktøj til at få placeret tekster et vilkårligt sted i et dokument. Det vil det følgende give nogle eksempler på.

Tekstbokse er et meget fint værktøj til at få placeret tekster et vilkårligt sted i et dokument. Det vil det følgende give nogle eksempler på. Indhold Lav en tekstboks...2 Indskrivning af tekst...2 Tekstboksens størrelse...3 Sammenkædning af tekstbokse...4 Billeder og tekster...4 Rækkefølge...6 Fjerne en tekstboks...6 Rammer og udfyldning...6

Læs mere

Kom godt igang med OpenMeetings

Kom godt igang med OpenMeetings Kom godt igang med OpenMeetings Kom godt igang med OpenMeetings Side 2 Indholdsfortegnelse 1. Log på / Registrer dig... 3 1.1 Find Forsvarets Elektroniske Skole på internettet... 3 1.2 Login skærmen...

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Installer DesignPro. DesignPro I Side 1

Installer DesignPro. DesignPro I Side 1 DesignPro I Side 1 Installer DesignPro DesignPro 5 DesignPro fra Avery, er fint layoutprogram, der har nogle store fordele frem for Publisher og Draw. Det er på Dansk, og så er det gratis. Programmet er

Læs mere

TINKERCAD - VEJLEDNING. af Mette Lynnerup & Peter Søgaard. VIA Center for Undervisningsmidler - Tinkercad Vejledning. Side 1/9

TINKERCAD - VEJLEDNING. af Mette Lynnerup & Peter Søgaard. VIA Center for Undervisningsmidler - Tinkercad Vejledning. Side 1/9 TINKERCAD - VEJLEDNING af Mette Lynnerup & Peter Søgaard Side 1/9 Tinkercad - Vejledning Videovejledning http://youtu.be/hmfpkviif6u NB! Vejledningen tager udgangspunkt i anvendelse af Tinkercad på PC

Læs mere

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word.

Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 75 Paint & Print Screen (Skærmbillede med beskæring) Åbn Paint, som er et lille tegne- og billedbehandlingsprogram der findes under Programmer i mappen Tilbehør. Åbn også Word. 1. Minimer straks begge

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Som regel kan alle Apps ikke vises på en side du kan derfor skyde frem og tilbage på skyderen. For at se alle dine Apps - klik på den nedadvendende

Som regel kan alle Apps ikke vises på en side du kan derfor skyde frem og tilbage på skyderen. For at se alle dine Apps - klik på den nedadvendende Som regel kan alle Apps ikke vises på en side du kan derfor skyde frem og tilbage på skyderen. For at se alle dine Apps - klik på den nedadvendende pil (gælder kun i Windows 8,1) 1 Siden Apps. Ved at klikke

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Introduktion til billeddatabasen

Introduktion til billeddatabasen Introduktion til billeddatabasen Colourbox.dk Colourbox.dk er den billeddatabase som Odense Kommune har købt licens til. Det er vigtigt at bemærke, at der ikke er ubegrænset download af billeder. I materialet

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

IT-Brugerkursus. Modul 1 - Introduktion til skolens netværk og FC. Modul 1 - Introduktion til FC og Lectio. Printvenligt format. Indholdsfortegnelse

IT-Brugerkursus. Modul 1 - Introduktion til skolens netværk og FC. Modul 1 - Introduktion til FC og Lectio. Printvenligt format. Indholdsfortegnelse Modul 1 - Introduktion til FC og Lectio IT-Brugerkursus Modul 1 - Introduktion til skolens netværk og FC Printvenligt format Indholdsfortegnelse Formål og opbygning Opgave Vejledning til intranettet Åbne

Læs mere

Vejledning i brug af Kommunen på kort

Vejledning i brug af Kommunen på kort Vejledning i brug af Kommunen på kort Indhold Adgang til Kommunen på kort... 2 Kortvindue og infolinje... 2 Målforhold... 2 Zoom... 3 Signaturforklaring... 3 Værktøjslinjen den øverste sorte del... 3 Navn...

Læs mere

Kom nemt i gang med ViTre pakken fra ScanDis A/S

Kom nemt i gang med ViTre pakken fra ScanDis A/S Kom nemt i gang med ViTre pakken fra ScanDis A/S ViTal ViseOrd ViTex Denne korte manual gør det muligt, hurtigt og nemt, at komme i gang med at bruge programmerne i ViTre pakken. ScanDis A/S Kom nemt i

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Billeder og tegninger i Word 2007 Indhold

Billeder og tegninger i Word 2007 Indhold Billeder og tegninger i Word 2007 Indhold Indhold...1 Introduktion...2 Indsætte billeder...2 Formater billedet...3 Layout...4 Beskære billedet...4 Størrelse...5 Streger/ramme...6 Billedeffekter...6 Skygge...7

Læs mere

TØMRERFAGET. AutoCAD 3D for. Undervisningsmateriale. Indhold

TØMRERFAGET. AutoCAD 3D for. Undervisningsmateriale. Indhold AutoCAD 3D for TØMRERFAGET Undervisningsmateriale Indhold Indledning...2 AutoCAD brugerinterface...2 Anbefalede O snap s...2 Orientering i 3D rummet...3 Visuel fremstilling...3 Skabelon...4 Lag...4 Grundlæggende

Læs mere

Vejledning til brug af KortVordingborg

Vejledning til brug af KortVordingborg Vejledning til brug af KortVordingborg På Vordingborg Kommunes interaktive kort har du mulighed for at se en række af de oplysninger kommunen registrerer på kort. Denne vejledning giver en kort introduktion

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

DesignPro II Side 11. Grupper

DesignPro II Side 11. Grupper DesignPro II Side 11 Grupper Hvis man arbejde helt fra grunden, er det ofte en fordel at kunne samle tekst, billeder og baggrund til en fast gruppe, som så kan flyttes rundt, og ændres i størrelsen. I

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

IT i dagtilbud. Begynder manual VIFIN. Af Elin B. Odgaard

IT i dagtilbud. Begynder manual VIFIN. Af Elin B. Odgaard IT i dagtilbud Begynder manual Af Elin B. Odgaard VIFIN Indholdsfortegnelse IPad'en og dens dele Sådan ser ipad'en ud - Forsiden Sådan ser ipad'en ud - Bagsiden For at komme igang Hjemmeskærm som funktion

Læs mere

Vejledning i brug af MiljøGIS.

Vejledning i brug af MiljøGIS. NOTAT Naturplanlægning, naturprojekter og skov J.nr. NST-3379-00005 Ref. MOBKI/TRDIP/KINIE Den 11. februar 2014 Vejledning i brug af MiljøGIS. Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 1. Fremsøgning af lokalitet...

Læs mere

Gadwin PrintScreen Version 3,5

Gadwin PrintScreen Version 3,5 Side 1 af 6 Gadwin PrintScreen Version 3,5 Indhold: Introduktion...1 Properties (indstillinger)...2 Preferences...2 Source...3 Destination....3 Image...4 About...4 Brug af programmet...5 Introduktion Når

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.128 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr.128 Side 1 Side 1 Denne vejledning er blot et lille eksempel på hvordan man også kan bruge Photofiltre 7 som en slags grafikprogram. Det er med udgangspunkt i f.eks. min hjemmeside hvor vi vil bruge den blå farve

Læs mere

Orddeling. Automatisk orddeling. Manuel orddeling. Word 2010 18 thoremil.dk. Vælg fanebladet [Sidelayout] Vælg [Orddeling] Markér Automatisk orddeling

Orddeling. Automatisk orddeling. Manuel orddeling. Word 2010 18 thoremil.dk. Vælg fanebladet [Sidelayout] Vælg [Orddeling] Markér Automatisk orddeling Orddeling Automatisk orddeling Vælg [Orddeling] Markér Automatisk orddeling Manuel orddeling Vælg [Orddeling] Klik [Manuelt] For hvert ord, som vises, kan der gøres følgende: Accepter det foreslåede orddelingssted

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

SÅDAN BRUGER DU TEKST- BEHANDLING INTRODUKTION

SÅDAN BRUGER DU TEKST- BEHANDLING INTRODUKTION SÅDAN BRUGER DU TEKST- BEHANDLING INTRODUKTION I vejledningen bruger vi det gratis program Writer fra OpenOffice som eksempel til at vise, hvordan man bruger nogle helt grundlæggende funktioner i tekstbehandling.

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Svar på de mest almindelige Citrix spørgsmål

Svar på de mest almindelige Citrix spørgsmål Svar på de mest almindelige Citrix spørgsmål Henrik Meyer og Ajâja Hyttel Oprettet: 24/6-13 Sidst revideret 14/5-14 h t t p s : / / c i t r i x. a a b n e t. d k Hvad er nyt i Citrix?... 2 Hvis du ikke

Læs mere

Excel-1: kom godt i gang!!

Excel-1: kom godt i gang!! Excel-1: kom godt i gang!! Microsoft Excel er et såkaldt regneark, som selvfølgelig bliver brugt mest til noget med tal men man kan også arbejde med tekst i programmet. Excel minder på mange områder om

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Kom nemt i gang med. TRE fra ScanDis A/S

Kom nemt i gang med. TRE fra ScanDis A/S Kom nemt i gang med TRE fra ScanDis A/S TAL SEORD TEX Denne korte manual gør det muligt, hurtigt og nemt, at komme i gang med at bruge programmerne ViTal, ViseOrd og ViTex fra ScanDis A/S Kom nemt i gang

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Tegnedelen i Open- og LibreOffice

Tegnedelen i Open- og LibreOffice Tegnedelen i Open- og LibreOffice Lav en plakat med værktøjet og lær det grundlæggende Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad skal der ske?...4 Programmer og hjemmesider...4 Plakaten!...4 Indstillinger

Læs mere