Ræsonnement i og uden for det matematiske domæne

Transkript

1 Projekt forskerspirer 2014 Ræsonnement i og uden for det matematiske domæne - Didaktiske implikationer af tidlig introduktion til det matematiske bevis Clara Guttman Andersen Vordingborg Gymnasium & HF Humaniora

2 Indholdsfortegnelse INDLEDNING BEGREBSAFKLARING AFGRÆNSNING TEORI KOMPETENCER I FAGET MATEMATIK RÆSONNEMENTSKOMPETENCEN OG TANKEGANGSKOMPETENCEN BEVISSKEMAER DET EMPIRISKE BEVISSKEMA DET DEDUKTIVE BEVISSKEMA GENERELLE ÅBNE OG LUKKEDE UDSAGN TEORIBASERET PROBLEMSTILLING METODE OG FREMGANGSMÅDE TOULMINS ARGUMENTATIONSMODEL I MATEMATISK BEVISFØRELSE MODELLEN SOM VÆRKTØJ EN MODIFICERET VERSION PILOTFORSØG OMSTÆNDIGHEDER FORSØGSDESIGN KVALITATIV OG ETNOGRAFISK METODE KVALITATIV ANALYSE FEJLKILDER FINDINGS FORVENTELIGE FINDINGS NYE FINDINGS KONKLUSION EN ERKENDELSESPROCES? ET SPØRGSMÅL OM ABSTRAKTION? PERSPEKTIVERING TAK REFERENCER BILAG BILAG 1. FORSLAG TIL ANALYSER AF BEVISER VINKELSUMMEN I EN TREKANT PYTHAGORAS LÆRESÆTNING BILAG 2. HVERDAGSARGUMENTER (OPGAVE TIL LEKTION 1): BILAG 3. BEVIS FOR VINKELSUMMEN I EN TREKANT (OPGAVE TIL LEKTION 2): BILAG 4. BEVIS FOR PYTHAGORAS LÆRESÆTNING (OPGAVEN TIL LEKTION 2): BILAG 5. SPØRGSMÅL TIL LEKTION 3, FORMULERET UD FRA KOM-RAPPORTEN BILAG 6. CASE BILAG 7. BUDGET PILOTFORSØG

3 Indledning Selvom matematiske beviser ikke altid har haft en fremtrædende position i matematikundervisning og i anvendt matematik, er beviser utvivlsomt en grundsten for matematikken (Hanna & de Villiers, 2009, s. 20). Matematiske beviser varierer i både form og indhold afhængigt af den matematiske disciplin, dog antages det generelt, at al matematisk bevisførelse bygger på følgende princip: To specify clearly the assumptions made and to provide an appropriate argument supported by valid reasoning so as to draw necessary conclusions (Hanna & de Villiers, 2009, s. 19). For at kunne relatere til dette meget overordnede princip kræves en forståelse af, hvordan man specificerer sine antagelser klart samt hvilke krav, der stilles til et passende matematisk argument og et matematisk gyldigt ræsonnement. På de gymnasiale uddannelser bliver elever for alvor introduceret til matematisk bevisførelse, og det er min opfattelse, at mange for det første opnår en dybere forståelse af ovenstående princip i gymnasieårene og for det andet ikke længere kun betragter matematikken som et værktøj til at belyse problemstillinger i hverdagen og inden for andre fagområder, men som en selvstændig disciplin. Derfor forekommer det vigtigt at undersøge, om det er muligt at præsentere elever for matematiske beviser tidligt i uddannelsesforløbet. Matematikdidaktiske undersøgelser peger på, at vanskeligheder ved at forstå princippet bag bevisførelse kan skyldes, at elever, der er nybegyndere inden for bevisdisciplinen, forsøger at forstå beviser ud fra hverdagsræsonnementer og erfaringer (EMS, 2011). Ifølge Jahnke (2008) har mange elever svært ved at forstå og erkende princippet om almengyldighed (forstået som det princip, der sikrer at sætningen, der bevises, gælder for alle objekter inden for den givne definitionsmængde) i matematiske sætninger og beviser, fordi vi i vores hverdag bl.a. er bekendt med, at der til alle regler findes undtagelser, og at mængden af disse undtagelser ofte er udefinerbar (Jahnke, 2008). Det leder os til én af de mest problematiske tilgange elever tager, når de skal bevise og forstå matematiske sætninger den empiriske tilgang. Undersøgelser peger på, at størstedelen af førsteårs gymnasieelever godkender og gennemfører matematisk bevisførelse, som udelukkende er understøttet af eksempler (EMS, 2011). 3

4 Begrebsafklaring I dette projekt forstås ræsonnering som dét at tænke på en logisk rationel måde. - Matematisk ræsonnering defineres som deduktiv ræsonnering. - Hverdagsræsonnering defineres som ikke-deduktiv ræsonnering. et argument som en konstruktion, der indeholder en påstand og én eller flere begrundelser for denne. - Et matematisk argument defineres som et argument, hvor almengyldigheden af påstanden opfyldes. - Et hverdagsargument defineres som et argument, hvor almengyldigheden af påstanden ikke opfyldes. et ræsonnement som en kæde af argumenter, som fremstilles ud fra en ræsonneringsproces med henblik på at støtte op om en påstand. - Et matematisk ræsonnement defineres som en kæde af matematiske argumenter, som fremstilles ud fra deduktiv ræsonnering. - Et hverdagsræsonnement defineres som en kæde af hverdagsargumenter, som fremstilles ud fra ikke-deduktiv ræsonnering. Et matematisk bevis er en bestemt type matematisk ræsonnement, og bevisførelse er en bestemt type matematisk ræsonnering, der resulterer i et matematisk bevis. Afgrænsning Selvom der allerede eksisterer undervisningsdesigns til at imødekomme nedenstående målsætninger, vurderes det, at der er et stadigt og stort behov for 1. at hjælpe elever til at erkende, at et matematisk bevis adskiller sig fra et hverdagsargument. 2. at give elever en forståelse af, hvordan og hvorfor man kan skelne mellem matematiske beviser og hverdagsargumenter. I dette projekt rejses følgende spørgsmål: 1. I hvilket omfang er folkeskoleelever i stand til at identificere almengyldigheden i et matematisk bevis og overveje eventuelle undtagelser tilknyttet et hverdagsargument ved at analysere et skrevet matematisk bevis og et hverdagsargument? 4

5 2. I hvilket omfang kan en sådan identifikation og analyse give folkeskoleelever en erkendelse af, at matematisk ræsonnering og hverdagsræsonnering er to forskellige discipliner? Den egentlige problemstilling gives efter teoriafsnittet, da denne bygger på disse teorier. Teori Kompetencer i faget matematik Dette projekt kan ses som et skridt på vejen mod en forbedring af elevers ræsonnementskompetence og tankegangskompetence. Niss og Jensen (2002) beskriver i alt otte kompetencer inden for faget matematik, og da de alle er tæt forbundet, er det umuligt at undersøge ræsonnementskompetencen og tankegangskompetencen uden at berøre andre af elevernes matematiske kompetencer. I dette projekt kan særligt symbol- og formalismekompetencen, som er evnen til at afkode symbol- og formelsprog (Niss & Jensen, 2002), blive en uønsket barriere, hvis denne kompetence er underudviklet. Desuden findes der både en passiv og aktiv del af alle otte kompetencer. Ræsonnementskompetencen og tankegangskompetencen Ræsonnementskompetencens passive del er beskrevet som evnen til at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement [ ] og at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis, og hvornår ikke (Niss & Jensen, 2002, s. 54). I dette projekt skal eleverne analysere allerede konstruerede beviser og altså ikke producere beviser. Derfor er kun den passive del af ræsonnementskompetencen i brug. Tankegangskompetencens passive del er beskrevet som evnen til at kunne forstå hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater. [ ] Denne kompetence omfatter også det at kunne skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, herunder betingede udsagn, definitioner, sætninger (Niss & Jensen, 2002, s. 47). Der appelleres til den passive del af tankegangskompetencen, da eleverne ikke selv skal generalisere matematiske resultater, men forstå hvad der ligge i en generalisering. De skal skelne mellem matematiske udsagn og påstande, der allerede er opgivet. 5

6 Bevisskemaer Harel og Sowder (2007) kategoriserer elevers forskellige metodiske tilgange til matematisk bevisførelse. Disse metodiske tilgange fik navnet Proof Schemes. I denne opgave oversættes det til bevisskemaer. Der findes tre overordnede bevisskemaer: Det eksterne bevisskema, det empiriske bevisskema og det deduktive bevisskema. (Harel & Sowder, 2007). Følgende gives kun en introduktion til det empiriske bevisskema og det deduktive bevisskema da kun disse er relevante for projektet. Det empiriske bevisskema I et empirisk bevisskema valideres påstande på baggrund af fysiske fakta eller sanselige erfaringer. Der skelnes mellem det induktive empiriske bevisskema og det sanselige empiriske bevisskema. Kun det induktive empiriske bevisskema er relevant, og i dette bevisskema drages der konklusioner på baggrund af måledata for enkelte tilfælde (Harel & Sowder, 2007). Det deduktive bevisskema I det deduktive bevisskema valideres påstande ud fra operationel tænkning og logiske slutninger. Man opererer med objekterne i et bevis trin for trin, således at forholdet mellem objekterne ændres alt efter det operative indgreb. Det deduktive bevisskema har altså tre centrale karakteristika: Operationel tænkning, logiske slutninger samt princippet om almengyldighed (Harel & Sowder, 2007). Generelle åbne og lukkede udsagn Hvis man gentagne gange erfarer nøjagtig det samme, vil man til sidst antage at det, der erfares, gælder generelt. Sådanne generaliseringer beskrives som generelle åbne udsagn (Jahnke, 2008). Jahnke (2008) skriver følgende om disse: They are true as a rule but suffer exceptions if modifying conditions occur (Jahnke, 2008, s. 364). Altså er generelle åbne udsagn åbne, fordi der kan opstå afvigelser fra den generelle antagelse i fremtiden et erfaringsgrundlag kan ikke spå om fremtidige afvigelser. Jahnke (2008) bemærker desuden, at undtagelserne til generelle åbne udsagn som oftest ikke gøres eksplicitte, da det er svært at kvantificere dem (Jahnke, 2008). I den anden ende af skalaen findes de generelle lukkede udsagn. Det er udsagn som ikke har tilhørende undtagelser. Sådanne udsagn findes kun i matematikkens verden. Hvis matematiske sætninger har udefinerbare mængder af undtagelser, vil matematikkens rolle som eksakt videnskab bortfalde (Jahnke, 2008). 6

7 Teoribaseret problemstilling På baggrund af Harel og Sowders (2007) teoretiske konstrukt om bevisskemaer og Jahnkes (2008) teoretiske konstrukt om åbne og lukkede udsagn undersøges folkeskoleelevers evne til at identificere sætningen og definitionerne i et matematisk bevis samt evnen til at identificere påstanden, belægget og hjemlen i en række hverdagsargumenter med henblik på, at eleverne opnår den erkendelse, at der altid findes undtagelser i et hverdagsargument, hvorimod et matematisk bevis er almengyldigt. Metode og fremgangsmåde Toulmins argumentationsmodel i matematisk bevisførelse Modellen som værktøj Flere matematikdidaktikere har ønsket at sammenligne skrevne matematiske beviser med den argumentation elever gør brug af, når de konstruerer disse (Knipping, 2008; 2010; Pedemonte, 2007; Douek, 2007). En sådan sammenligning vurderes ikke relevant for dette projekt, der centrerer sig om den passive del af ræsonnementskompetencen. I nogle af disse projekter (Knipping, 2008; 2010; Pedemonte, 2007) er Toulmins argumentationsmodel benyttet som et værktøj til at sammenligne strukturen af et matematisk bevis med strukturen af den argumentation, elever gør brug af, når de konstruerer disse. Disse projekter er interessante for nærværende projekt, fordi de bekræfter, at et matematisk bevis med fordel kan indskrives i Toulmins argumentationsmodel for at danne overblik over bevisets forskellige informationer. Hverdagsargumenter kan også indsættes i Toulmins argumentationsmodel (Toulmin, 1958). Modellen foreslås som et værktøj til at kategorisere informationerne i skrevne matematiske beviser og hverdagsargumenter med henblik på at tydeliggøre indholdsmæssige forskelle på de to konstruktioner. En modificeret version Toulmin (1958) beskriver strukturen af et rationelt argument ud fra tre hovedkategorier: Påstand, belæg, hjemmel (se figur 1 s. 8). Belægget beskriver Toulmin (1958) som facts [presented] as the foundation upon which our claim is based (Toulmin, 1958, s. 90), og hjemlen beskrives som bridges [that] authorize the sort or step to which our paticular argument commits us (som citeret i Knipping, 2010, s. 179). Toulmin (1958) introducerer også begreberne styrkemarkør, gendrivelse og rygdækning. Man kan med fordel bruge disse begreber i en analyse af den argumentation elever 7

8 gør brug af, når de skal konstruere matematiske beviser (Jahnke, 2007), men i dette projekt skal eleverne analysere allerede konstruerede matematiske beviser, og det er altså ikke relevant at medtage de tre sidstnævnte begreber. På baggrund af Pedemontes (2007) analyser defineres påstanden som bevisets sætning belæg som de operative indgreb, der er nødvendige for at bevise sætningen, og som støttes op af hjemler. hjemler som definitioner og aksiomer for påstanden samt sætninger for andre beviser. Da det er folkeskoleelever, og dermed novicer i bevisførelse, der skal indsætte beviset i Toulmins argumentationsmodel, omdøbes/uddybes begreberne sætning, definition, aksiom og operative indgreb (se figur 2). Disse opfattes som bevisets informationer. Af omdøbningen på figur 2 fremgår det desuden, at disse bevisinformationer befinder sig på forskellige niveauer. Man kan forestille sig beviset som en bygning, hvor hjemlerne er fundamentet, belæggene er skelettet og påstanden er vægge og tag. I senere afsnit kaldes disse niveauer for bevisets informationsniveauer. Figur 1: Toulmins argumentationsmodel (reduceret) Figur 2: Toulmins argumentationsmodel med omdøbte begreber Der er unægteligt mange korrekte og meningsfulde måder at indsætte et matematisk bevis i Toulmins argumentationsmodel på, og dette projekt har ikke til formål at give en vurdering af hvilke måder, der er mest fordelagtige. For overblikkets skyld er der dog vedlagt mulige løsninger (se bilag 1). 8

9 Pilotforsøg Omstændigheder Teststørrelse: 21 elever fra 9. klassetrin på Gåsetårnsskolen i Vordingborg, inddelt i 7 grupper à 3 elever. Eleverne var inddelt i tre niveauer ud fra en matematiktest læreren havde gennemført. Dette var for at få et godt sammenligningsgrundlag grupperne imellem. Pilotforsøget strakte sig over 3 lektioner. Forsøgsdesign 1. Lektion: Der gives en kort introduktion til Toulmins argumentationsmodel i plenum. Begreberne påstand, belæg og hjemmel forklares ud fra Toulmins definitioner (se afsnittet En modificeret version ). Eleverne skal finde påstand, belæg og hjemmel i hverdagsargumenter og indsætte disse i modellen. Dette gøres i de niveaudelte grupper på 3 elever. Grupperne er niveaudelte for at have et sammenligningsgrundlag for næste lektion. Der er med omhu valgt nogle hverdagsargumenter, som tydeligt er generelle åbne udsagn (se bilag 2). 2. Lektion: Der gives en introduktion til beviser for matematik fra pensum. Grupperne får beviser tilsvarende deres matematiske niveau. Niveau 1: Bevis for vinkelsummen i en trekant (se bilag 3). Niveau 2: Bevis for vinkelsummen i en trekant (se bilag 3). Niveau 3: Bevis for Pythagoras læresætning (se bilag 4). Beviserne er allerede konstruerede, og det er nu elevernes opgave at indskrive informationer fra disse i Toulmins argumentationsmodel med omdefinitionerne af begreberne påstand, belæg og hjemmel i mente (jf. figur 2 s. 8). Beviserne var opstillet i punkter, for at overskueliggøre trinene heri. 3. Lektion: Grupperne skriver en kort tekst (min. 5 linjer pr. spørgsmål), hvor de besvarer spørgsmål formuleret ud fra KOM-rapportens afsnit Matematikkens karakter som fagområde (se bilag 5). 9

10 Kvalitativ og etnografisk metode I udførslen af pilotforsøget observerede jeg testgrupperne under løsningen af de forskellige opgaver, og undersøgelsen følger i den forstand den etnografiske metode. Jeg lydoptog seks grupper to fra hvert niveau i første og anden lektion, og jeg har på baggrund af videooptagelserne og besvarelserne i de tre lektioner foretaget en kvalitativ analyse. Kvalitativ analyse Fejlkilder Nogle af eleverne havde svært ved at forstå de matematiske operationer i beviset, og brugte tiden på at forstå disse frem for at kategorisere bevisinformationerne. For disse elever var symbol- og formalismekompetencen en barriere. Nogle af eleverne opfattede bevisets punktopstilling som opgaver frem for trin. Findings En kvalitativ analyse af videooptagelserne og opgavebesvarelserne indikerer, at fire overordnede konklusioner kan drages. Heraf er to forventelige, fordi tidligere undersøgelser også peger på disse, og de to resterende mindre forventelige og mere specifikke for dette projekt. Se bilag 6 for case til belysning af finding 3 og 4 (de nye findings). Forventelige findings 1. Novicer i bevisførelse har svært ved at gennemskue et allerede konstrueret matematisk bevis. Nogle forsøger at overskueliggøre bevisinformationerne ved regneeksempler og måleforsøg, og de gør dermed brug af det empiriske bevisskema 1 (jf. Harel & Sowder, 2007). 2. Ved brug af Toulmins argumentationsmodel er det lettere for novicer i bevisførelse at kategorisere informationerne i et hverdagsargument end bevisinformationerne (jf. Jahnke, 2008). 1 NB: Det er legalt at benytte sig af det empiriske bevisskema, så længe der ikke konkluderes noget generelt ud fra dette. 10

11 Nye findings 3. Analysen indikerer, at jo bedre eleverne er til at skelne mellem informationsniveauerne i et bevis, desto mindre gøres der brug af det empiriske bevisskema. 4. Analysen indikerer, at jo bedre man er til at abstrahere fra Toulmins definitioner af påstand, belæg og hjemmel fra 1. lektion, desto nemmere bliver det at indsætte bevisinformationerne i modellen i 2. lektion ud fra omdefinitionerne af begreberne (figur 2). Konklusion En erkendelsesproces? Toulmins argumentationsmodel fungerede for de fleste af eleverne som et godt hjælpemiddel til at identificere sætningen og definitionerne i et matematisk bevis samt påstanden, belægget og hjemlen i et hverdagsargument. Selvom flere af grupperne var i stand til at gennemskue, at et hverdagsargument er et generelt åbent udsagn og formåede at medtage definitionsmængden af sætningen i det matematiske bevis, som netop indikerer, at der er tale om et generelt lukket udsagn, kunne ingen dog ikke besvare spørgsmålet: Hvordan oplever I et matematisk bevis i forhold til et hverdagsargument?. Hvorvidt brugen af Toulmins argumentationsmodel fik eleverne til at erkende hvordan og hvorfor, der må skelnes mellem et matematisk bevis og et hverdagsargument, og dermed et lukket og et åbnet udsagn, kan pilotforsøget ikke vise. Et spørgsmål om abstraktion? Elevernes brug af Toulmins argumentationsmodel indikerer, at de elever, der kunne abstrahere fra definitionerne af påstand, belæg og hjemmel givet i 1. lektion, havde lettere ved at indsætte bevisinformationerne i modellen, gjorde ikke brug af regneeksempler, og gjorde dermed i højere grad brug af det deduktive bevisskema. Perspektivering Hvis det fremover skal undersøges, hvorvidt folkeskoleelever (novicer i bevisførelse) kan opnå en erkendelse af, at matematisk ræsonnering og hverdagsræsonnering er to forskellige discipliner ved at identificere bevisinformationerne og informationerne i hverdagsargument, kræves der utvivlsomt en længere testperiode end den for pilotforsøget. Erkendelsesprocesser er ofte langvarige, og elever, der hidtil har benyttet sig af det empiriske bevisskema, lærer ikke at skelne mellem hverdagsargumenter og matematiske beviser på tre lektioner. 11

12 Pilotforsøget viser, at man med fordel kan træne novicer i bevisførelse i at abstrahere fra hverdagsargumenter, når de skal bruge deres ræsonnementskompetence og følge et matematisk bevis. Abstraheres der, gøres der i højere grad brug af det deduktive bevisskema, og på den måde bliver eleverne bedre rustet til de gymnasiale krav om at kunne Redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori [og] demonstrere viden om fagets identitet og metoder (Matematik A - faglige mål, 2013). Ord: 2499 Tak En stor tak skal lyde til Uffe Jankvist, lektor ved Institut for Uddannelse og Pædagogik (DPU), for omhyggelig og inspirerende vejledning. Ligeledes en stor tak til Jessica Carter, lektor ved Syddansk Universitet, som har givet mig faglig inspiration i den indledende fase, og Torben Lehn, forskerspirerkoordinator og historie- og samfundsfagslærer ved Vordingborg Gymnasium & HF, som motiverede mig til at deltage i Projekt Forskerspirer og gennem forløbet har informeret om møder og lign. Referencer Douek, N. (2007). Some Remarks about Argumentation and Proof an their Educational Implications. I: Boero, Paulo (Ed.) Theorems in School From History, Epistemology and Cognition to Classroom Practice. (Vol 1, s ). Rotterdam, Holland: Sense Publishers. European Mathematical Society (2011, december). Do Theorems admit Exeptions? Solid Findings in Mathematics Education on Empirial Proof Schemes. EMS Newsletter, s Fou-Lai Lin, Feng-Jui Hsieh, Gila Hanna, Michael de Villiers (Eds.) (2009). Proceedings of the ICMI Study 19 conference: Proof and Proving in Mathematics Education. (Vol. 1. s ). Taipei, Taiwan: The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University. Harel, G., & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. I: F. K. Lester Jr. (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s ). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Jahnke, H. N. (2007). Proof and Hypotheses. ZDM the international journal on mathematics education, 39(1),

13 Jahnke, H. N. (2008). Theorems that admit exceptions, including a remark on Toulmin. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 40(3), Knipping, C. (2008). A Method for Revealing Structures of Argumentations in Classroom Proving Processes. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 40(3), Knipping, C. (2010). Argumentation Structures. I: Reid, D., & Knipping, C. (Eds.) Proof in mathematics education: Research, learning and teaching. (s ). Rotterdam, Holland: Sense Publishers. Matematik A stx faglige mål og fagligt indhold (2013). Stx-bekendtgørelsen Hentet fra https://www.retsinformation.dk/forms/r0710.aspx?id=152507#bil35. Niss, M. A., & Højgaard Jensen, T. (2002). Kompetencer og matematiklæring: ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. København, Danmark: Undervisningsministeriets forlag. (Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie; Nr. 18). Pedemonte, B. (2007). How can the Relationship between Argumentation and Proof be analyzed? Educational Studies in Mathematics, 66(1), Pedersen, J. S, & Marthinus, K. (2011). Matematisk bevissamling. København, Danmark: Systime. Toulmin, S. (1958). The Uses of Argument (1958). Cambridge, England: Cambridge University Press. 13

14 Bilag Bilag 1. Forslag til analyser af beviser Vinkelsummen i en trekant B 1 : w+x+z=180 og B+z+x=180 B 2 : w+x+z=b+z+x B 3 : B=w B 4 : A=x og C=v B 5 : v+w+x=180 B 6 (konklusion): A=x, B=w og C=v. Vinkelsummen i en trekant er 180, så A+B+C=180. H 1 : En ret linje spænder over 180 H 2 : a=a (to ens værdier er lige store) H 3 : a-a=0 (reduktion: to ens værdier trukket fra hinanden er 0). H 4 : Ensliggende vinkler H 5 : Se H 1. Pythagoras læresætning B 1 : Sidelængden af et kvadrat er a+b B 2 : 4 kongruente trekanter dannes, hvor v 1 +v 2 =90 B 3 : Den inderste firkant er et kvadrat med arealet c 2 B 4 :!! = (! +!)! 4!!!! B 5 :!! = (!! +!! + 2!!) 2!! B 6 (konklusion):!! =!! +!! Hvis trekant ABC er retvinklet og C=90, så er a 2 +b 2 =c 2 H 2 : Vinkelsummen i en trekant er 180 samt kongruensprincippet. H 3 : Kongruensprincippet, siderne i et kvadrat er lige lange, arealet af et kvadrat er s*s=s 2. H 4 : Arealet af en trekant er A=½*g*h, arealet af et kvadrat er s*s=s 2, hvis mængden x indeholder mængderne y og z og x=y+z, så må y=x-z, og z=x-y. H 5 : Kvadratsætningen (! +!)! =!! +!! + 2!!, brøkregnereglen!!! =!!! H 6 : a-a=0 (reduktion: to ens værdier trukket fra hinanden er 0) 14

15 Bilag 2. Hverdagsargumenter (opgave til lektion 1): 1. Nogle elever bliver ufokuserede, fordi de er på Facebook i timen. - Påstand: - Belæg: - Hjemmel: 2. Mikkel og Nanna har lige været til eksamen i mundtlig dansk, og de står nu uden for eksaminationslokalet og taler sammen. Mikkel siger til Nanna: Du får helt klart 12. Nanna smiler lidt og spørger ham: Hvorfor, tror du det?. Mikkel svarer: Fordi du har forberedt dig i flere dage. - Påstand: - Belæg: - Hjemmel: 3. Hun råbte begejstret til ham: Du er da en sølle kriger, når en pige som mig, kan ride fra dig. - Påstand: - Belæg: - Hjemmel: 15

16 Bilag 3. Bevis for vinkelsummen i en trekant (opgave til lektion 2): Det skal bevises, at vinkelsummen i trekant er Gennem en af trekantens vinkelspidser, i dette tilfælde B, tegnes en linje der er parallel med. Dernæst forlænges og gennem B. Derved dannes vinklerne m, u, v, w, x, z 2. Der gælder, at: og, da summen af de tre vinkler i begge tilfælde spænder over en ret linje. 3. De to udtryk for vinkelsummer sættes lig hinanden: 4. Udtrykket reduceres: 5. Da vinklerne! og x henholdsvis! og v er ensliggende, gælder der: og 6. Der gælder, at, da disse spænder over en ret linje. 7. Det konkluderes, at, da, og 16

17 Bilag 4. Bevis for Pythagoras læresætning (opgaven til lektion 2): Det skal bevises, at hvis trekant ABC er retvinklet og! = 90, så er!! +!! =!!. 1. Et kvadrat har sidelængderne a+b 2. Der markeres på hver side et punkt, der hvor a og b skiller. Derved opstår 4 kongruente retvinklede trekanter med samme hypotenuse. Vinkelsummen i en trekant er 180, og derfor er v 1 + v 2 = 90. Dermed må den inderste firkant være et kvadrat med arealet c Arealet af det inderste kvadrat må være det samme som arealet af det store kvadrat minus arealet af de fire trekanter. Trekanternes areal bestemmes som halv højde gange grundlinje:!! =! +!! 4!!!! 4. Kvadratsætningen! +!! =!! +!! + 2!! anvendes på første led:!! =!! +!! + 2!! 2!! 17

18 5. De to led går ud med hinanden, når parentesen ophæves:!! =!! +!! Bilag 5. Spørgsmål til lektion 3, formuleret ud fra KOM-rapporten I skal nu i grupper besvare nedenstående spørgsmål. I skal skrive nøjagtigt og alt, hvad der falder jer ind. Skriv min. 10 linjer pr. spørgsmål. 1. Hvad er karakteristisk for matematikkens problemstillinger, tankegange og metoder? 2. Hvorfor beviser vi? Hvad bruges beviser til? 3. Hvordan oplever I et matematisk bevis i forhold til et hverdagsargument? 4. På hvilke måder adskiller matematikken sig som videnskab fra andre fag? (læg vægt på sprogfag og fysik). 5. I har benyttet Toulmins model til at analysere både hverdagsargumenter og et matematisk bevis hvad synes I, var lettest? Hvorfor? Bilag 6. Case I det følgende fremlægges data for to sammenlignelige grupper, der begge tilhørte det højeste niveau, og som derfor begge arbejdede med beviset for Pythagoras læresætning. De to grupper løste dog opgaven stillet i trin 2 meget forskelligt. Gruppe 1 lykkedes bedre med at indsætte bevisinformationerne i Toulmins argumentationsmodel end gruppe 2. Dette kan der være flere grunde til, dog var der to bemærkelsesværdige forskelle på de to gruppers arbejdsforløb: 1) Gruppe 1 var, i modsætning til gruppe 2, med det samme i stand til at identificere påstanden (sætningen) i beviset. 2) Gruppe 1 gjorde, i modsætning til gruppe 2, ikke brug af regneeksempler da de skulle kategorisere bevisinformationerne. Gruppe 1: Nedenfor gives et uddrag af en lydoptagelse fra gruppe 1. Her diskuterer de tre gruppemedlemmer, hvorvidt bevisets punktinddeling skal opfattes som opgaver eller trin, samt hvad der er bevisets hovedpåstand: Anna: Jeg tror ikke, at det er opgaver. Det hele det beviser, hvorfor det dér gælder (Anna peger på c 2 =a 2 +b 2 ). Lotte: Det vil sige vi skal sådan set sidde og finde ud af det Som om det er løst 18

19 Anna: Det er løst. Det her er beviset. Det er også derfor, jeg tror, at dét her (Lotte peger igen på c 2 =a 2 +b 2 ) er påstanden. Selvom Lotte havde problemer med at acceptere, at punktopstillingen skulle forestille trin og ikke opgaver, så nåede de til enighed om, at påstanden defineret som det, der skulle bevises var c 2 =a 2 +b 2. Da dette var på plads, gik de videre i beviset trin for trin, og kategoriserede bevisinformationerne som vist på figuren (bemærk at de pga. tidsmangel ikke nåede gennem hele beviset): Det interessante, ved gruppe 1 s løsning på figuren, er, at de har medtaget definitionsmængden hvis ABC er retvinklet. Dette kan betyde, at de har en forståelse for, at Pythagoras læresætning er almengyldig inden for sin definitionsmængde. De har dermed udvist en forståelse for princippet bag et generelt lukket udsagn. de har til en vis grad formået at skelne mellem informationsniveauerne, og der er til en vis grad skelnet mellem bevisets definitioner som vinkelsummen i en trekant er (altid) 180 og specifikke antagelser for beviset som v 1 +v 2 =90. Når det er sagt, er hjemlen trækker man arealet af alle trekanterne fra, får man arealet af det inderste kvadrat ikke af generel karakter, men den udtrykker dog et generelt princip bag belægget!! =! +!! 4!!", nemlig hvis mængden x indeholder! mængderne y og z og x=y+z, så må y=x-z, og z=x-y. Gruppe 1 var altså i stand til at identificere princippet, men ikke til at sætte dette ind i en generel kontekst. de har nummereret belæg og hjemler, således at de er ordnet i par. Dette viser en forståelse for, at der til forskellige belæg kan høre forskellige hjemler. Dog skal det nævnes, at de ikke var i stand til at eksplicere alle hjemlerne bag deres belæg. 19

20 Gruppe 2: Nedenfor gives et uddrag af en lydoptagelse fra gruppe 2. De tre gruppemedlemmer diskuterer, hvad der er bevisets påstand (sætning): Kjeld: Påstanden er, at et kvadrat har sidelængderne a+b Benny henvender sig til Egon: Det er da ikke påstanden her, vel? Egon: Altså det (et kvadrat har sidelængderne a+b) er jo noget man påstår Benny: jamen, påstanden er jo det, der skal bevises? Der er jo ikke så meget at bevise haha a og b, a og b, a og b, a og b Kjeld: Jamen før havde vi jo påstanden Jeg er sulten, nu er det et kvadrat har sidelængderne a+b Kjeld og Egon har altså svært ved at abstraher fra øvelsen i 1. lektion, og de opfatter ikke påstanden i beviset som det der skal bevises, men som en konstatering på lige fod med konstateringen jeg er sulten. Fordi de tre gruppemedlemmer havde svært ved at skelne mellem definitionerne af begreberne påstand, belæg og hjemmel i henholdsvis et matematisk bevis og et hverdagsargument, var de lang tid om at identificere bevisets påstand defineret som dét der skal bevises, og i den forbindelse forsøgte Egon at få et overblik over bevisets informationer vha. et regneeksempel: Egon indsætter tal i Pythagoras læresætning: Det kan ikke helt passe det her hva? Jeg lavede bare sådan en for sjov eksempel. Benny: Må jeg se? Egon: Hvis vi nu siger, at a=5. Benny: 5*5=25 Egon antager at b=10: 10*10=100, er c 2 så ikke 125? Jeg spørger Egon: Hvorfor har du valgt at indsætte tal i udtrykket? Egon: Det ved jeg ikke Det giver bare mening Formålet med at benytte sig af et regneeksempel står altså ikke helt klart for Egon, men han fornemmer at det giver mening. Dette kan tyde på, at han har svært ved at forstå symbolsproget i beviset, og derfor forsøger at oversætte de for ham utydelige symboler til tydelige symboler, nemlig tal. I så fald viser det, at hans symbol- og formalismekompetence er underudviklet og dermed bliver en barriere for ham. Det er legalt at benytte sig af regneeksempler i matematematisk bevisførelse, så længe eksemplerne ikke bliver en del af det endelige bevis, som skal være almengyldigt. Egon, Benny og Kjeld indsatte ikke regneeksemplet i Toulmins argumentationsmodel, og det er derfor ikke muligt at afvise en 20