Ræsonnement i og uden for det matematiske domæne

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Ræsonnement i og uden for det matematiske domæne"

Transkript

1 Projekt forskerspirer 2014 Ræsonnement i og uden for det matematiske domæne - Didaktiske implikationer af tidlig introduktion til det matematiske bevis Clara Guttman Andersen Vordingborg Gymnasium & HF Humaniora

2 Indholdsfortegnelse INDLEDNING BEGREBSAFKLARING AFGRÆNSNING TEORI KOMPETENCER I FAGET MATEMATIK RÆSONNEMENTSKOMPETENCEN OG TANKEGANGSKOMPETENCEN BEVISSKEMAER DET EMPIRISKE BEVISSKEMA DET DEDUKTIVE BEVISSKEMA GENERELLE ÅBNE OG LUKKEDE UDSAGN TEORIBASERET PROBLEMSTILLING METODE OG FREMGANGSMÅDE TOULMINS ARGUMENTATIONSMODEL I MATEMATISK BEVISFØRELSE MODELLEN SOM VÆRKTØJ EN MODIFICERET VERSION PILOTFORSØG OMSTÆNDIGHEDER FORSØGSDESIGN KVALITATIV OG ETNOGRAFISK METODE KVALITATIV ANALYSE FEJLKILDER FINDINGS FORVENTELIGE FINDINGS NYE FINDINGS KONKLUSION EN ERKENDELSESPROCES? ET SPØRGSMÅL OM ABSTRAKTION? PERSPEKTIVERING TAK REFERENCER BILAG BILAG 1. FORSLAG TIL ANALYSER AF BEVISER VINKELSUMMEN I EN TREKANT PYTHAGORAS LÆRESÆTNING BILAG 2. HVERDAGSARGUMENTER (OPGAVE TIL LEKTION 1): BILAG 3. BEVIS FOR VINKELSUMMEN I EN TREKANT (OPGAVE TIL LEKTION 2): BILAG 4. BEVIS FOR PYTHAGORAS LÆRESÆTNING (OPGAVEN TIL LEKTION 2): BILAG 5. SPØRGSMÅL TIL LEKTION 3, FORMULERET UD FRA KOM-RAPPORTEN BILAG 6. CASE BILAG 7. BUDGET PILOTFORSØG

3 Indledning Selvom matematiske beviser ikke altid har haft en fremtrædende position i matematikundervisning og i anvendt matematik, er beviser utvivlsomt en grundsten for matematikken (Hanna & de Villiers, 2009, s. 20). Matematiske beviser varierer i både form og indhold afhængigt af den matematiske disciplin, dog antages det generelt, at al matematisk bevisførelse bygger på følgende princip: To specify clearly the assumptions made and to provide an appropriate argument supported by valid reasoning so as to draw necessary conclusions (Hanna & de Villiers, 2009, s. 19). For at kunne relatere til dette meget overordnede princip kræves en forståelse af, hvordan man specificerer sine antagelser klart samt hvilke krav, der stilles til et passende matematisk argument og et matematisk gyldigt ræsonnement. På de gymnasiale uddannelser bliver elever for alvor introduceret til matematisk bevisførelse, og det er min opfattelse, at mange for det første opnår en dybere forståelse af ovenstående princip i gymnasieårene og for det andet ikke længere kun betragter matematikken som et værktøj til at belyse problemstillinger i hverdagen og inden for andre fagområder, men som en selvstændig disciplin. Derfor forekommer det vigtigt at undersøge, om det er muligt at præsentere elever for matematiske beviser tidligt i uddannelsesforløbet. Matematikdidaktiske undersøgelser peger på, at vanskeligheder ved at forstå princippet bag bevisførelse kan skyldes, at elever, der er nybegyndere inden for bevisdisciplinen, forsøger at forstå beviser ud fra hverdagsræsonnementer og erfaringer (EMS, 2011). Ifølge Jahnke (2008) har mange elever svært ved at forstå og erkende princippet om almengyldighed (forstået som det princip, der sikrer at sætningen, der bevises, gælder for alle objekter inden for den givne definitionsmængde) i matematiske sætninger og beviser, fordi vi i vores hverdag bl.a. er bekendt med, at der til alle regler findes undtagelser, og at mængden af disse undtagelser ofte er udefinerbar (Jahnke, 2008). Det leder os til én af de mest problematiske tilgange elever tager, når de skal bevise og forstå matematiske sætninger den empiriske tilgang. Undersøgelser peger på, at størstedelen af førsteårs gymnasieelever godkender og gennemfører matematisk bevisførelse, som udelukkende er understøttet af eksempler (EMS, 2011). 3

4 Begrebsafklaring I dette projekt forstås ræsonnering som dét at tænke på en logisk rationel måde. - Matematisk ræsonnering defineres som deduktiv ræsonnering. - Hverdagsræsonnering defineres som ikke-deduktiv ræsonnering. et argument som en konstruktion, der indeholder en påstand og én eller flere begrundelser for denne. - Et matematisk argument defineres som et argument, hvor almengyldigheden af påstanden opfyldes. - Et hverdagsargument defineres som et argument, hvor almengyldigheden af påstanden ikke opfyldes. et ræsonnement som en kæde af argumenter, som fremstilles ud fra en ræsonneringsproces med henblik på at støtte op om en påstand. - Et matematisk ræsonnement defineres som en kæde af matematiske argumenter, som fremstilles ud fra deduktiv ræsonnering. - Et hverdagsræsonnement defineres som en kæde af hverdagsargumenter, som fremstilles ud fra ikke-deduktiv ræsonnering. Et matematisk bevis er en bestemt type matematisk ræsonnement, og bevisførelse er en bestemt type matematisk ræsonnering, der resulterer i et matematisk bevis. Afgrænsning Selvom der allerede eksisterer undervisningsdesigns til at imødekomme nedenstående målsætninger, vurderes det, at der er et stadigt og stort behov for 1. at hjælpe elever til at erkende, at et matematisk bevis adskiller sig fra et hverdagsargument. 2. at give elever en forståelse af, hvordan og hvorfor man kan skelne mellem matematiske beviser og hverdagsargumenter. I dette projekt rejses følgende spørgsmål: 1. I hvilket omfang er folkeskoleelever i stand til at identificere almengyldigheden i et matematisk bevis og overveje eventuelle undtagelser tilknyttet et hverdagsargument ved at analysere et skrevet matematisk bevis og et hverdagsargument? 4

5 2. I hvilket omfang kan en sådan identifikation og analyse give folkeskoleelever en erkendelse af, at matematisk ræsonnering og hverdagsræsonnering er to forskellige discipliner? Den egentlige problemstilling gives efter teoriafsnittet, da denne bygger på disse teorier. Teori Kompetencer i faget matematik Dette projekt kan ses som et skridt på vejen mod en forbedring af elevers ræsonnementskompetence og tankegangskompetence. Niss og Jensen (2002) beskriver i alt otte kompetencer inden for faget matematik, og da de alle er tæt forbundet, er det umuligt at undersøge ræsonnementskompetencen og tankegangskompetencen uden at berøre andre af elevernes matematiske kompetencer. I dette projekt kan særligt symbol- og formalismekompetencen, som er evnen til at afkode symbol- og formelsprog (Niss & Jensen, 2002), blive en uønsket barriere, hvis denne kompetence er underudviklet. Desuden findes der både en passiv og aktiv del af alle otte kompetencer. Ræsonnementskompetencen og tankegangskompetencen Ræsonnementskompetencens passive del er beskrevet som evnen til at kunne følge og bedømme et matematisk ræsonnement [ ] og at kunne afgøre hvornår et matematisk ræsonnement faktisk udgør et bevis, og hvornår ikke (Niss & Jensen, 2002, s. 54). I dette projekt skal eleverne analysere allerede konstruerede beviser og altså ikke producere beviser. Derfor er kun den passive del af ræsonnementskompetencen i brug. Tankegangskompetencens passive del er beskrevet som evnen til at kunne forstå hvad der ligger i generalisering af matematiske resultater. [ ] Denne kompetence omfatter også det at kunne skelne, både passivt og aktivt, mellem forskellige slags matematiske udsagn og påstande, herunder betingede udsagn, definitioner, sætninger (Niss & Jensen, 2002, s. 47). Der appelleres til den passive del af tankegangskompetencen, da eleverne ikke selv skal generalisere matematiske resultater, men forstå hvad der ligge i en generalisering. De skal skelne mellem matematiske udsagn og påstande, der allerede er opgivet. 5

6 Bevisskemaer Harel og Sowder (2007) kategoriserer elevers forskellige metodiske tilgange til matematisk bevisførelse. Disse metodiske tilgange fik navnet Proof Schemes. I denne opgave oversættes det til bevisskemaer. Der findes tre overordnede bevisskemaer: Det eksterne bevisskema, det empiriske bevisskema og det deduktive bevisskema. (Harel & Sowder, 2007). Følgende gives kun en introduktion til det empiriske bevisskema og det deduktive bevisskema da kun disse er relevante for projektet. Det empiriske bevisskema I et empirisk bevisskema valideres påstande på baggrund af fysiske fakta eller sanselige erfaringer. Der skelnes mellem det induktive empiriske bevisskema og det sanselige empiriske bevisskema. Kun det induktive empiriske bevisskema er relevant, og i dette bevisskema drages der konklusioner på baggrund af måledata for enkelte tilfælde (Harel & Sowder, 2007). Det deduktive bevisskema I det deduktive bevisskema valideres påstande ud fra operationel tænkning og logiske slutninger. Man opererer med objekterne i et bevis trin for trin, således at forholdet mellem objekterne ændres alt efter det operative indgreb. Det deduktive bevisskema har altså tre centrale karakteristika: Operationel tænkning, logiske slutninger samt princippet om almengyldighed (Harel & Sowder, 2007). Generelle åbne og lukkede udsagn Hvis man gentagne gange erfarer nøjagtig det samme, vil man til sidst antage at det, der erfares, gælder generelt. Sådanne generaliseringer beskrives som generelle åbne udsagn (Jahnke, 2008). Jahnke (2008) skriver følgende om disse: They are true as a rule but suffer exceptions if modifying conditions occur (Jahnke, 2008, s. 364). Altså er generelle åbne udsagn åbne, fordi der kan opstå afvigelser fra den generelle antagelse i fremtiden et erfaringsgrundlag kan ikke spå om fremtidige afvigelser. Jahnke (2008) bemærker desuden, at undtagelserne til generelle åbne udsagn som oftest ikke gøres eksplicitte, da det er svært at kvantificere dem (Jahnke, 2008). I den anden ende af skalaen findes de generelle lukkede udsagn. Det er udsagn som ikke har tilhørende undtagelser. Sådanne udsagn findes kun i matematikkens verden. Hvis matematiske sætninger har udefinerbare mængder af undtagelser, vil matematikkens rolle som eksakt videnskab bortfalde (Jahnke, 2008). 6

7 Teoribaseret problemstilling På baggrund af Harel og Sowders (2007) teoretiske konstrukt om bevisskemaer og Jahnkes (2008) teoretiske konstrukt om åbne og lukkede udsagn undersøges folkeskoleelevers evne til at identificere sætningen og definitionerne i et matematisk bevis samt evnen til at identificere påstanden, belægget og hjemlen i en række hverdagsargumenter med henblik på, at eleverne opnår den erkendelse, at der altid findes undtagelser i et hverdagsargument, hvorimod et matematisk bevis er almengyldigt. Metode og fremgangsmåde Toulmins argumentationsmodel i matematisk bevisførelse Modellen som værktøj Flere matematikdidaktikere har ønsket at sammenligne skrevne matematiske beviser med den argumentation elever gør brug af, når de konstruerer disse (Knipping, 2008; 2010; Pedemonte, 2007; Douek, 2007). En sådan sammenligning vurderes ikke relevant for dette projekt, der centrerer sig om den passive del af ræsonnementskompetencen. I nogle af disse projekter (Knipping, 2008; 2010; Pedemonte, 2007) er Toulmins argumentationsmodel benyttet som et værktøj til at sammenligne strukturen af et matematisk bevis med strukturen af den argumentation, elever gør brug af, når de konstruerer disse. Disse projekter er interessante for nærværende projekt, fordi de bekræfter, at et matematisk bevis med fordel kan indskrives i Toulmins argumentationsmodel for at danne overblik over bevisets forskellige informationer. Hverdagsargumenter kan også indsættes i Toulmins argumentationsmodel (Toulmin, 1958). Modellen foreslås som et værktøj til at kategorisere informationerne i skrevne matematiske beviser og hverdagsargumenter med henblik på at tydeliggøre indholdsmæssige forskelle på de to konstruktioner. En modificeret version Toulmin (1958) beskriver strukturen af et rationelt argument ud fra tre hovedkategorier: Påstand, belæg, hjemmel (se figur 1 s. 8). Belægget beskriver Toulmin (1958) som facts [presented] as the foundation upon which our claim is based (Toulmin, 1958, s. 90), og hjemlen beskrives som bridges [that] authorize the sort or step to which our paticular argument commits us (som citeret i Knipping, 2010, s. 179). Toulmin (1958) introducerer også begreberne styrkemarkør, gendrivelse og rygdækning. Man kan med fordel bruge disse begreber i en analyse af den argumentation elever 7

8 gør brug af, når de skal konstruere matematiske beviser (Jahnke, 2007), men i dette projekt skal eleverne analysere allerede konstruerede matematiske beviser, og det er altså ikke relevant at medtage de tre sidstnævnte begreber. På baggrund af Pedemontes (2007) analyser defineres påstanden som bevisets sætning belæg som de operative indgreb, der er nødvendige for at bevise sætningen, og som støttes op af hjemler. hjemler som definitioner og aksiomer for påstanden samt sætninger for andre beviser. Da det er folkeskoleelever, og dermed novicer i bevisførelse, der skal indsætte beviset i Toulmins argumentationsmodel, omdøbes/uddybes begreberne sætning, definition, aksiom og operative indgreb (se figur 2). Disse opfattes som bevisets informationer. Af omdøbningen på figur 2 fremgår det desuden, at disse bevisinformationer befinder sig på forskellige niveauer. Man kan forestille sig beviset som en bygning, hvor hjemlerne er fundamentet, belæggene er skelettet og påstanden er vægge og tag. I senere afsnit kaldes disse niveauer for bevisets informationsniveauer. Figur 1: Toulmins argumentationsmodel (reduceret) Figur 2: Toulmins argumentationsmodel med omdøbte begreber Der er unægteligt mange korrekte og meningsfulde måder at indsætte et matematisk bevis i Toulmins argumentationsmodel på, og dette projekt har ikke til formål at give en vurdering af hvilke måder, der er mest fordelagtige. For overblikkets skyld er der dog vedlagt mulige løsninger (se bilag 1). 8

9 Pilotforsøg Omstændigheder Teststørrelse: 21 elever fra 9. klassetrin på Gåsetårnsskolen i Vordingborg, inddelt i 7 grupper à 3 elever. Eleverne var inddelt i tre niveauer ud fra en matematiktest læreren havde gennemført. Dette var for at få et godt sammenligningsgrundlag grupperne imellem. Pilotforsøget strakte sig over 3 lektioner. Forsøgsdesign 1. Lektion: Der gives en kort introduktion til Toulmins argumentationsmodel i plenum. Begreberne påstand, belæg og hjemmel forklares ud fra Toulmins definitioner (se afsnittet En modificeret version ). Eleverne skal finde påstand, belæg og hjemmel i hverdagsargumenter og indsætte disse i modellen. Dette gøres i de niveaudelte grupper på 3 elever. Grupperne er niveaudelte for at have et sammenligningsgrundlag for næste lektion. Der er med omhu valgt nogle hverdagsargumenter, som tydeligt er generelle åbne udsagn (se bilag 2). 2. Lektion: Der gives en introduktion til beviser for matematik fra pensum. Grupperne får beviser tilsvarende deres matematiske niveau. Niveau 1: Bevis for vinkelsummen i en trekant (se bilag 3). Niveau 2: Bevis for vinkelsummen i en trekant (se bilag 3). Niveau 3: Bevis for Pythagoras læresætning (se bilag 4). Beviserne er allerede konstruerede, og det er nu elevernes opgave at indskrive informationer fra disse i Toulmins argumentationsmodel med omdefinitionerne af begreberne påstand, belæg og hjemmel i mente (jf. figur 2 s. 8). Beviserne var opstillet i punkter, for at overskueliggøre trinene heri. 3. Lektion: Grupperne skriver en kort tekst (min. 5 linjer pr. spørgsmål), hvor de besvarer spørgsmål formuleret ud fra KOM-rapportens afsnit Matematikkens karakter som fagområde (se bilag 5). 9

10 Kvalitativ og etnografisk metode I udførslen af pilotforsøget observerede jeg testgrupperne under løsningen af de forskellige opgaver, og undersøgelsen følger i den forstand den etnografiske metode. Jeg lydoptog seks grupper to fra hvert niveau i første og anden lektion, og jeg har på baggrund af videooptagelserne og besvarelserne i de tre lektioner foretaget en kvalitativ analyse. Kvalitativ analyse Fejlkilder Nogle af eleverne havde svært ved at forstå de matematiske operationer i beviset, og brugte tiden på at forstå disse frem for at kategorisere bevisinformationerne. For disse elever var symbol- og formalismekompetencen en barriere. Nogle af eleverne opfattede bevisets punktopstilling som opgaver frem for trin. Findings En kvalitativ analyse af videooptagelserne og opgavebesvarelserne indikerer, at fire overordnede konklusioner kan drages. Heraf er to forventelige, fordi tidligere undersøgelser også peger på disse, og de to resterende mindre forventelige og mere specifikke for dette projekt. Se bilag 6 for case til belysning af finding 3 og 4 (de nye findings). Forventelige findings 1. Novicer i bevisførelse har svært ved at gennemskue et allerede konstrueret matematisk bevis. Nogle forsøger at overskueliggøre bevisinformationerne ved regneeksempler og måleforsøg, og de gør dermed brug af det empiriske bevisskema 1 (jf. Harel & Sowder, 2007). 2. Ved brug af Toulmins argumentationsmodel er det lettere for novicer i bevisførelse at kategorisere informationerne i et hverdagsargument end bevisinformationerne (jf. Jahnke, 2008). 1 NB: Det er legalt at benytte sig af det empiriske bevisskema, så længe der ikke konkluderes noget generelt ud fra dette. 10

11 Nye findings 3. Analysen indikerer, at jo bedre eleverne er til at skelne mellem informationsniveauerne i et bevis, desto mindre gøres der brug af det empiriske bevisskema. 4. Analysen indikerer, at jo bedre man er til at abstrahere fra Toulmins definitioner af påstand, belæg og hjemmel fra 1. lektion, desto nemmere bliver det at indsætte bevisinformationerne i modellen i 2. lektion ud fra omdefinitionerne af begreberne (figur 2). Konklusion En erkendelsesproces? Toulmins argumentationsmodel fungerede for de fleste af eleverne som et godt hjælpemiddel til at identificere sætningen og definitionerne i et matematisk bevis samt påstanden, belægget og hjemlen i et hverdagsargument. Selvom flere af grupperne var i stand til at gennemskue, at et hverdagsargument er et generelt åbent udsagn og formåede at medtage definitionsmængden af sætningen i det matematiske bevis, som netop indikerer, at der er tale om et generelt lukket udsagn, kunne ingen dog ikke besvare spørgsmålet: Hvordan oplever I et matematisk bevis i forhold til et hverdagsargument?. Hvorvidt brugen af Toulmins argumentationsmodel fik eleverne til at erkende hvordan og hvorfor, der må skelnes mellem et matematisk bevis og et hverdagsargument, og dermed et lukket og et åbnet udsagn, kan pilotforsøget ikke vise. Et spørgsmål om abstraktion? Elevernes brug af Toulmins argumentationsmodel indikerer, at de elever, der kunne abstrahere fra definitionerne af påstand, belæg og hjemmel givet i 1. lektion, havde lettere ved at indsætte bevisinformationerne i modellen, gjorde ikke brug af regneeksempler, og gjorde dermed i højere grad brug af det deduktive bevisskema. Perspektivering Hvis det fremover skal undersøges, hvorvidt folkeskoleelever (novicer i bevisførelse) kan opnå en erkendelse af, at matematisk ræsonnering og hverdagsræsonnering er to forskellige discipliner ved at identificere bevisinformationerne og informationerne i hverdagsargument, kræves der utvivlsomt en længere testperiode end den for pilotforsøget. Erkendelsesprocesser er ofte langvarige, og elever, der hidtil har benyttet sig af det empiriske bevisskema, lærer ikke at skelne mellem hverdagsargumenter og matematiske beviser på tre lektioner. 11

12 Pilotforsøget viser, at man med fordel kan træne novicer i bevisførelse i at abstrahere fra hverdagsargumenter, når de skal bruge deres ræsonnementskompetence og følge et matematisk bevis. Abstraheres der, gøres der i højere grad brug af det deduktive bevisskema, og på den måde bliver eleverne bedre rustet til de gymnasiale krav om at kunne Redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori [og] demonstrere viden om fagets identitet og metoder (Matematik A - faglige mål, 2013). Ord: 2499 Tak En stor tak skal lyde til Uffe Jankvist, lektor ved Institut for Uddannelse og Pædagogik (DPU), for omhyggelig og inspirerende vejledning. Ligeledes en stor tak til Jessica Carter, lektor ved Syddansk Universitet, som har givet mig faglig inspiration i den indledende fase, og Torben Lehn, forskerspirerkoordinator og historie- og samfundsfagslærer ved Vordingborg Gymnasium & HF, som motiverede mig til at deltage i Projekt Forskerspirer og gennem forløbet har informeret om møder og lign. Referencer Douek, N. (2007). Some Remarks about Argumentation and Proof an their Educational Implications. I: Boero, Paulo (Ed.) Theorems in School From History, Epistemology and Cognition to Classroom Practice. (Vol 1, s ). Rotterdam, Holland: Sense Publishers. European Mathematical Society (2011, december). Do Theorems admit Exeptions? Solid Findings in Mathematics Education on Empirial Proof Schemes. EMS Newsletter, s Fou-Lai Lin, Feng-Jui Hsieh, Gila Hanna, Michael de Villiers (Eds.) (2009). Proceedings of the ICMI Study 19 conference: Proof and Proving in Mathematics Education. (Vol. 1. s ). Taipei, Taiwan: The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University. Harel, G., & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. I: F. K. Lester Jr. (ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s ). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Jahnke, H. N. (2007). Proof and Hypotheses. ZDM the international journal on mathematics education, 39(1),

13 Jahnke, H. N. (2008). Theorems that admit exceptions, including a remark on Toulmin. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 40(3), Knipping, C. (2008). A Method for Revealing Structures of Argumentations in Classroom Proving Processes. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 40(3), Knipping, C. (2010). Argumentation Structures. I: Reid, D., & Knipping, C. (Eds.) Proof in mathematics education: Research, learning and teaching. (s ). Rotterdam, Holland: Sense Publishers. Matematik A stx faglige mål og fagligt indhold (2013). Stx-bekendtgørelsen Hentet fra https://www.retsinformation.dk/forms/r0710.aspx?id=152507#bil35. Niss, M. A., & Højgaard Jensen, T. (2002). Kompetencer og matematiklæring: ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. København, Danmark: Undervisningsministeriets forlag. (Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie; Nr. 18). Pedemonte, B. (2007). How can the Relationship between Argumentation and Proof be analyzed? Educational Studies in Mathematics, 66(1), Pedersen, J. S, & Marthinus, K. (2011). Matematisk bevissamling. København, Danmark: Systime. Toulmin, S. (1958). The Uses of Argument (1958). Cambridge, England: Cambridge University Press. 13

14 Bilag Bilag 1. Forslag til analyser af beviser Vinkelsummen i en trekant B 1 : w+x+z=180 og B+z+x=180 B 2 : w+x+z=b+z+x B 3 : B=w B 4 : A=x og C=v B 5 : v+w+x=180 B 6 (konklusion): A=x, B=w og C=v. Vinkelsummen i en trekant er 180, så A+B+C=180. H 1 : En ret linje spænder over 180 H 2 : a=a (to ens værdier er lige store) H 3 : a-a=0 (reduktion: to ens værdier trukket fra hinanden er 0). H 4 : Ensliggende vinkler H 5 : Se H 1. Pythagoras læresætning B 1 : Sidelængden af et kvadrat er a+b B 2 : 4 kongruente trekanter dannes, hvor v 1 +v 2 =90 B 3 : Den inderste firkant er et kvadrat med arealet c 2 B 4 :!! = (! +!)! 4!!!! B 5 :!! = (!! +!! + 2!!) 2!! B 6 (konklusion):!! =!! +!! Hvis trekant ABC er retvinklet og C=90, så er a 2 +b 2 =c 2 H 2 : Vinkelsummen i en trekant er 180 samt kongruensprincippet. H 3 : Kongruensprincippet, siderne i et kvadrat er lige lange, arealet af et kvadrat er s*s=s 2. H 4 : Arealet af en trekant er A=½*g*h, arealet af et kvadrat er s*s=s 2, hvis mængden x indeholder mængderne y og z og x=y+z, så må y=x-z, og z=x-y. H 5 : Kvadratsætningen (! +!)! =!! +!! + 2!!, brøkregnereglen!!! =!!! H 6 : a-a=0 (reduktion: to ens værdier trukket fra hinanden er 0) 14

15 Bilag 2. Hverdagsargumenter (opgave til lektion 1): 1. Nogle elever bliver ufokuserede, fordi de er på Facebook i timen. - Påstand: - Belæg: - Hjemmel: 2. Mikkel og Nanna har lige været til eksamen i mundtlig dansk, og de står nu uden for eksaminationslokalet og taler sammen. Mikkel siger til Nanna: Du får helt klart 12. Nanna smiler lidt og spørger ham: Hvorfor, tror du det?. Mikkel svarer: Fordi du har forberedt dig i flere dage. - Påstand: - Belæg: - Hjemmel: 3. Hun råbte begejstret til ham: Du er da en sølle kriger, når en pige som mig, kan ride fra dig. - Påstand: - Belæg: - Hjemmel: 15

16 Bilag 3. Bevis for vinkelsummen i en trekant (opgave til lektion 2): Det skal bevises, at vinkelsummen i trekant er Gennem en af trekantens vinkelspidser, i dette tilfælde B, tegnes en linje der er parallel med. Dernæst forlænges og gennem B. Derved dannes vinklerne m, u, v, w, x, z 2. Der gælder, at: og, da summen af de tre vinkler i begge tilfælde spænder over en ret linje. 3. De to udtryk for vinkelsummer sættes lig hinanden: 4. Udtrykket reduceres: 5. Da vinklerne! og x henholdsvis! og v er ensliggende, gælder der: og 6. Der gælder, at, da disse spænder over en ret linje. 7. Det konkluderes, at, da, og 16

17 Bilag 4. Bevis for Pythagoras læresætning (opgaven til lektion 2): Det skal bevises, at hvis trekant ABC er retvinklet og! = 90, så er!! +!! =!!. 1. Et kvadrat har sidelængderne a+b 2. Der markeres på hver side et punkt, der hvor a og b skiller. Derved opstår 4 kongruente retvinklede trekanter med samme hypotenuse. Vinkelsummen i en trekant er 180, og derfor er v 1 + v 2 = 90. Dermed må den inderste firkant være et kvadrat med arealet c Arealet af det inderste kvadrat må være det samme som arealet af det store kvadrat minus arealet af de fire trekanter. Trekanternes areal bestemmes som halv højde gange grundlinje:!! =! +!! 4!!!! 4. Kvadratsætningen! +!! =!! +!! + 2!! anvendes på første led:!! =!! +!! + 2!! 2!! 17

18 5. De to led går ud med hinanden, når parentesen ophæves:!! =!! +!! Bilag 5. Spørgsmål til lektion 3, formuleret ud fra KOM-rapporten I skal nu i grupper besvare nedenstående spørgsmål. I skal skrive nøjagtigt og alt, hvad der falder jer ind. Skriv min. 10 linjer pr. spørgsmål. 1. Hvad er karakteristisk for matematikkens problemstillinger, tankegange og metoder? 2. Hvorfor beviser vi? Hvad bruges beviser til? 3. Hvordan oplever I et matematisk bevis i forhold til et hverdagsargument? 4. På hvilke måder adskiller matematikken sig som videnskab fra andre fag? (læg vægt på sprogfag og fysik). 5. I har benyttet Toulmins model til at analysere både hverdagsargumenter og et matematisk bevis hvad synes I, var lettest? Hvorfor? Bilag 6. Case I det følgende fremlægges data for to sammenlignelige grupper, der begge tilhørte det højeste niveau, og som derfor begge arbejdede med beviset for Pythagoras læresætning. De to grupper løste dog opgaven stillet i trin 2 meget forskelligt. Gruppe 1 lykkedes bedre med at indsætte bevisinformationerne i Toulmins argumentationsmodel end gruppe 2. Dette kan der være flere grunde til, dog var der to bemærkelsesværdige forskelle på de to gruppers arbejdsforløb: 1) Gruppe 1 var, i modsætning til gruppe 2, med det samme i stand til at identificere påstanden (sætningen) i beviset. 2) Gruppe 1 gjorde, i modsætning til gruppe 2, ikke brug af regneeksempler da de skulle kategorisere bevisinformationerne. Gruppe 1: Nedenfor gives et uddrag af en lydoptagelse fra gruppe 1. Her diskuterer de tre gruppemedlemmer, hvorvidt bevisets punktinddeling skal opfattes som opgaver eller trin, samt hvad der er bevisets hovedpåstand: Anna: Jeg tror ikke, at det er opgaver. Det hele det beviser, hvorfor det dér gælder (Anna peger på c 2 =a 2 +b 2 ). Lotte: Det vil sige vi skal sådan set sidde og finde ud af det Som om det er løst 18

19 Anna: Det er løst. Det her er beviset. Det er også derfor, jeg tror, at dét her (Lotte peger igen på c 2 =a 2 +b 2 ) er påstanden. Selvom Lotte havde problemer med at acceptere, at punktopstillingen skulle forestille trin og ikke opgaver, så nåede de til enighed om, at påstanden defineret som det, der skulle bevises var c 2 =a 2 +b 2. Da dette var på plads, gik de videre i beviset trin for trin, og kategoriserede bevisinformationerne som vist på figuren (bemærk at de pga. tidsmangel ikke nåede gennem hele beviset): Det interessante, ved gruppe 1 s løsning på figuren, er, at de har medtaget definitionsmængden hvis ABC er retvinklet. Dette kan betyde, at de har en forståelse for, at Pythagoras læresætning er almengyldig inden for sin definitionsmængde. De har dermed udvist en forståelse for princippet bag et generelt lukket udsagn. de har til en vis grad formået at skelne mellem informationsniveauerne, og der er til en vis grad skelnet mellem bevisets definitioner som vinkelsummen i en trekant er (altid) 180 og specifikke antagelser for beviset som v 1 +v 2 =90. Når det er sagt, er hjemlen trækker man arealet af alle trekanterne fra, får man arealet af det inderste kvadrat ikke af generel karakter, men den udtrykker dog et generelt princip bag belægget!! =! +!! 4!!", nemlig hvis mængden x indeholder! mængderne y og z og x=y+z, så må y=x-z, og z=x-y. Gruppe 1 var altså i stand til at identificere princippet, men ikke til at sætte dette ind i en generel kontekst. de har nummereret belæg og hjemler, således at de er ordnet i par. Dette viser en forståelse for, at der til forskellige belæg kan høre forskellige hjemler. Dog skal det nævnes, at de ikke var i stand til at eksplicere alle hjemlerne bag deres belæg. 19

20 Gruppe 2: Nedenfor gives et uddrag af en lydoptagelse fra gruppe 2. De tre gruppemedlemmer diskuterer, hvad der er bevisets påstand (sætning): Kjeld: Påstanden er, at et kvadrat har sidelængderne a+b Benny henvender sig til Egon: Det er da ikke påstanden her, vel? Egon: Altså det (et kvadrat har sidelængderne a+b) er jo noget man påstår Benny: jamen, påstanden er jo det, der skal bevises? Der er jo ikke så meget at bevise haha a og b, a og b, a og b, a og b Kjeld: Jamen før havde vi jo påstanden Jeg er sulten, nu er det et kvadrat har sidelængderne a+b Kjeld og Egon har altså svært ved at abstraher fra øvelsen i 1. lektion, og de opfatter ikke påstanden i beviset som det der skal bevises, men som en konstatering på lige fod med konstateringen jeg er sulten. Fordi de tre gruppemedlemmer havde svært ved at skelne mellem definitionerne af begreberne påstand, belæg og hjemmel i henholdsvis et matematisk bevis og et hverdagsargument, var de lang tid om at identificere bevisets påstand defineret som dét der skal bevises, og i den forbindelse forsøgte Egon at få et overblik over bevisets informationer vha. et regneeksempel: Egon indsætter tal i Pythagoras læresætning: Det kan ikke helt passe det her hva? Jeg lavede bare sådan en for sjov eksempel. Benny: Må jeg se? Egon: Hvis vi nu siger, at a=5. Benny: 5*5=25 Egon antager at b=10: 10*10=100, er c 2 så ikke 125? Jeg spørger Egon: Hvorfor har du valgt at indsætte tal i udtrykket? Egon: Det ved jeg ikke Det giver bare mening Formålet med at benytte sig af et regneeksempel står altså ikke helt klart for Egon, men han fornemmer at det giver mening. Dette kan tyde på, at han har svært ved at forstå symbolsproget i beviset, og derfor forsøger at oversætte de for ham utydelige symboler til tydelige symboler, nemlig tal. I så fald viser det, at hans symbol- og formalismekompetence er underudviklet og dermed bliver en barriere for ham. Det er legalt at benytte sig af regneeksempler i matematematisk bevisførelse, så længe eksemplerne ikke bliver en del af det endelige bevis, som skal være almengyldigt. Egon, Benny og Kjeld indsatte ikke regneeksemplet i Toulmins argumentationsmodel, og det er derfor ikke muligt at afvise en 20

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34

Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34 Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 33-34 Årsprøve og rettevejledledning 34-36 Årsprøven i matematik Talmængder og regnemetoder 37 Fordybelses uge 38-39 40 Termins-prøve 41 Studieturen 42 Efterårsferie

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

2 Udfoldning af kompetencebegrebet

2 Udfoldning af kompetencebegrebet Elevplan 2 Udfoldning af kompetencebegrebet Kompetencebegrebet anvendes i dag i mange forskellige sammenhænge og med forskellig betydning. I denne publikation som i bekendtgørelse og vejledning til matematik

Læs mere

Opgave 1 -Tages kvadrat

Opgave 1 -Tages kvadrat Opgave 1 -Tages kvadrat Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved 1) at tegne et kvadrat, 2) markere midtpunkterne på kvadratets sider og 3) tegne linjestykker

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Toulmins Argumentationsmodel Og En Overbevisende Opgave

Toulmins Argumentationsmodel Og En Overbevisende Opgave Toulmins Argumentationsmodel Og En Overbevisende Opgave Niels Hallenberg IT University of Copenhagen BNDN Spring 2013 Hvad er en overbevisende opgave Du vil skrive en overbevisende opgave hvad mener vi

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Ræsonnementet er limen i problemløsning

Ræsonnementet er limen i problemløsning Ræsonnementet er limen i problemløsning Matematik i marts 12:45 14:00 marts 2016 Niels Jacob Hansen - UCSj 1 Kursus indhold I workshoppen vil vi gennemføre og gennemskue et matematisk ræsonnement samt

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF

Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF AT 2 ligger lige i foråret i 1.g. AT 2 er det første AT-forløb, hvor du arbejder med et skriftligt produkt. Formål Omfang Produktkrav Produktbedømmelse Opgavens

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

INTRODUKTION TIL AKADEMISK ARGUMENTATION

INTRODUKTION TIL AKADEMISK ARGUMENTATION EFTERÅR 2015 INTRODUKTION TIL AKADEMISK ARGUMENTATION - ARGUMENTER I OPGAVEN OG OPGAVEN SOM ET ARGUMENT STINE HEGER OG HELLE HVASS workahop argumnet VI TILBYDER Undervisning - vi afholder workshops for

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

Hvad er matematik? Indskolingskursus

Hvad er matematik? Indskolingskursus Hvad er matematik? Indskolingskursus Vordingborg 25. 29. april 2016 Matematikbog i 50 erne En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr. Fremstillingsomkostningerne er 4/5 af salgsindtægterne. Hvor stor

Læs mere

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole

Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Værdien af beviser og bevisførelse i gymnasiets matematikundervisning

Værdien af beviser og bevisførelse i gymnasiets matematikundervisning Værdien af beviser og bevisførelse i gymnasiets matematikundervisning Professionsprojekt ved IMFUFA, RUC Udført af: Katrine Voigt Rasmussen Thomas Høyer Karl Kristian Sol Bjerregaard Vejleder: Mogens Niss

Læs mere

Årsplan for matematik

Årsplan for matematik Årsplan for matematik 2016-17 Uge Tema/emne Metode/mål 33 Brøker + talforståelse Matematiske arbejdsmåder(metode) 34 Brøker + procent 35 Excel 35 GeoGebra/Geometri 36 Geometri 37 Emneuge 38 Geometri 39

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin

Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kompetencemål i undervisningsfaget Matematik yngste klassetrin Kort bestemmelse af faget Faget matematik er i læreruddannelsen karakteriseret ved et samspil mellem matematiske emner, matematiske arbejds-

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Matematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G

Matematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G Matematikvejledning i praksis Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G 1 De tre projekter Projekt 1 Projekt 2 Projekt 3 Tema: Begreber og begrebsdannelse Sprog og ligninger Tema: Argumentation

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012

Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand

Læs mere

Synopsis og proces. Linda Greve Aabenraa Statsskole 7. dec. 2010

Synopsis og proces. Linda Greve Aabenraa Statsskole 7. dec. 2010 Synopsis og proces Linda Greve Aabenraa Statsskole 7. dec. 2010 Din største synopsisudfordring Synopsis og proces Struktur giver overblik I skal formidle jeres niveau af viden Dagsorden for i dag Lidt

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

SYNLIG LÆRING OG LÆRINGSMÅL I MATEMATIK. Sommeruni 2015. Louise Falkenberg og Eva Rønn

SYNLIG LÆRING OG LÆRINGSMÅL I MATEMATIK. Sommeruni 2015. Louise Falkenberg og Eva Rønn SYNLIG LÆRING OG LÆRINGSMÅL I MATEMATIK Sommeruni 2015 Louise Falkenberg og Eva Rønn UCC PRÆSENTATION Eva Rønn, UCC, er@ucc.dk Louise Falkenberg, UCC, lofa@ucc.dk PROGRAM Mandag d. 3/8 Formiddag (kaffepause

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser i Toulmins argumentationsmodel

Eksempler på elevbesvarelser i Toulmins argumentationsmodel Eksempler på elevbesvarelser i Toulmins argumentationsmodel Elevernes debatoplæg blev fremført med fin fornemmelse for drama og retoriske virkemidler. Det var tydeligt at eleverne havde fået god inspiration

Læs mere

Fagansvarlige: Hans Christian Hansen Uffe Thomas Jankvist

Fagansvarlige: Hans Christian Hansen Uffe Thomas Jankvist København E2014 Holdnr. Matematik i fagdidaktisk perspektiv II (10 ECTS) Kandidatuddannelsen i didaktik, matematik 20. juni 2014 Fagansvarlige: Hans Christian Hansen (hans.christian.hansen@skolekom.dk)

Læs mere

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin

Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Kompetencemål for Matematik, 1.-6. klassetrin Matematik omhandler samspil mellem matematiske emner, matematiske kompetencer, matematikdidaktik samt matematiklærerens praksis i folkeskolen og bidrager herved

Læs mere

Progression frem mod skriftlig eksamen

Progression frem mod skriftlig eksamen Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver

Læs mere

Ens eller forskellig?

Ens eller forskellig? Ens eller forskellig? Geometri i 5./6. klasse Niels Kristen Kirk, Christinelystskolen Kaj Østergaard, VIA UC Plan Didaktisk design - modellen Fra model til praksis indledende overvejelser En konkret udmøntning

Læs mere

CAS som grundvilkår. Matematik på hf. Marts 2015 Bodil Bruun, fagkonsulent i matematik stx/hf

CAS som grundvilkår. Matematik på hf. Marts 2015 Bodil Bruun, fagkonsulent i matematik stx/hf CAS som grundvilkår Matematik på hf Marts 2015 Bodil Bruun, fagkonsulent i matematik stx/hf At spørge og svare i, med, om matematik At omgås sprog og redskaber i matematik De 8 kompetencer = 2 + 6 kompetencer

Læs mere

Hvem sagde variabelkontrol?

Hvem sagde variabelkontrol? 73 Hvem sagde variabelkontrol? Peter Limkilde, Odsherreds Gymnasium Kommentar til Niels Bonderup Doh n: Naturfagsmaraton: et (interesseskabende?) forløb i natur/ teknik MONA, 2014(2) Indledning Jeg læste

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Matematik og målfastsættelse

Matematik og målfastsættelse Matematik og målfastsættelse Målfastsættelse, feedforward og evaluering i matematik, oplæg og drøftelse 1 Problemløsning s e k s + s e k s t o l v 2 Punkter Målfastsættelse af undervisning i matematik

Læs mere

Akademisk tænkning en introduktion

Akademisk tænkning en introduktion Akademisk tænkning en introduktion v. Pia Borlund Agenda: Hvad er akademisk tænkning? Skriftlig formidling og formelle krav (jf. Studieordningen) De kritiske spørgsmål Gode råd m.m. 1 Hvad er akademisk

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Hvad er en god matematiklærer? - ifølge matematikdidaktisk forskning - fokus på et kompetenceperspektiv

Hvad er en god matematiklærer? - ifølge matematikdidaktisk forskning - fokus på et kompetenceperspektiv Disposition Hvad er en god matematiklærer? - ifølge matematikdidaktisk forskning - fokus på et kompetenceperspektiv Morten Blomhøj, IMFUFA, NSM Roskilde Universitet Holmboesymposiet, 19. maj 2008, Oslo

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Ræsonnement og tankegang. DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC

Ræsonnement og tankegang. DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Ræsonnement og tankegang DLF-Kursus Ringsted 17.-18.9 2015 Eva Rønn UCC Vivianis sætning - optakt Vicenzo Viviani (1622-1703) var en italiensk matematiker. Han var elev af Galilei. Denne opgave handler

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces..

Mundtlig matematik. - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Mundtlig matematik - et udviklingsarbejde Startet på Skovshoved Skole fortsætter her. Ikke bare en proces, men i proces.. Hjørring 7. sep. 2012 Line Engsig matematikvejleder på Skovshoved Skole og Mikael

Læs mere

Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?

Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

En dialogisk undervisningsmodel

En dialogisk undervisningsmodel 8 Lær e r v e j l e d n i n g En dialogisk undervisningsmodel Helle Alrø gør i artiklen En nysgerrigt undersøgende matematikundervisning 6 rede for en måde at samtale på, som kan være et nyttigt redskab,

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.

Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter

Læs mere

Videnskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation. Mette Dencker

Videnskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation. Mette Dencker Videnskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation Mette Dencker 1 Dagens program Logik Argumentation Toulmins argumentationsmodel Opgaver 2 Logik I hvad er logik? At tænke (ræsonnere) korrekt Vurdering

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi

Målsætning. Se hovedmål for scenariet og hovedmål for færdighedslæring her. Økonomi Målsætning Økonomiske beregninger som baggrund for vurdering af konkrete problemstillinger. Målsætningen for temaet Hvordan får jeg råd? er, at eleverne gennem arbejde med scenariet udvikler matematiske

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug 10- jun 11 Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug 10- jun 11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Grenaa Tekniske Gymnasium HTX Matematik B1 Klavs Skjold

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen?

Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? 75 K O M M E N TA R E R Det tilstræbte matematikindhold og teknologi spiller det sammen? Henrik Bang Center for Computerbaseret Matematikundervisning, CMU Claus Larsen Center for Computerbaseret Matematikundervisning,

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

AT og elementær videnskabsteori

AT og elementær videnskabsteori AT og elementær videnskabsteori Hvilke metoder og teorier bruger du, når du søger ny viden? 7 begrebspar til at karakterisere viden og måden, du søger viden på! Indholdsoversigt s. 1: Faglige mål for AT

Læs mere

Hvad er videnskabelig viden?

Hvad er videnskabelig viden? V. Anders Hjortskov Dagsorden Hvad er videnskab? Appelformerne i videnskab Forskellige videnskaber og argumentation Hvad er akademisk argumentation? Opgaven som et argument Hvad er videnskab? Videnskaben

Læs mere

Almen studieforberedelse. - Synopsiseksamen 2015

Almen studieforberedelse. - Synopsiseksamen 2015 Almen studieforberedelse - Synopsiseksamen 2015 - En vejledning Thisted Gymnasium - stx og hf Ringvej 32, 7700 Thisted www.thisted-gymnasium.dk post@thisted-gymnasium.dk tlf. 97923488 - fax 97911352 REGLERNE

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Rettevejledning til skriveøvelser

Rettevejledning til skriveøvelser Rettevejledning til skriveøvelser Innovation & Teknologi, E2015 Retteguiden har to formål: 1) at tydeliggøre kriterierne for en god akademisk opgave og 2) at forbedre kvaliteten af den feedback forfatteren

Læs mere

Ræsonnement og tankegang. DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Ræsonnement og tankegang. DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Ræsonnement og tankegang DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Mål og indhold for workshoppen Mål At I kan Indhold opstille og synliggøre læringsmål knyttet til ræsonnement og tankegang på

Læs mere

Opgave Du skal undersøge, hvad der gælder for andre størrelser af rektangler i en taltavlen.

Opgave Du skal undersøge, hvad der gælder for andre størrelser af rektangler i en taltavlen. Problembehandlingskompetence handler om at kunne opstille og løse matematiske problemer. Et matematisk problem er i denne forbindelse et problem, som ikke kan løses med rutineprægede færdigheder, men kræver

Læs mere