BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik
|
|
- Bent Andresen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012
2 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater Et prædikat er en funktion fra en mængde som vi kalder prædikatets domæne til mængden af sandhedsværdier: {S, F }. Vi bruger tit mængden af naturlige tal N som domæne. Et eksempel på et prædikat med domæne N er følgende: { S hvis man som n-årig kan modtage efterløn eller pension E(n) = F hvis man ikke kan. I skrivende stund har vi eksempelvis E(60) = S og E(32) = F. Bemærk at det ikke går at spørge om E( 10) er sandt eller falsk for vi er røget ud af domænet.
3 Hotdogprædikatet og Java Hotdogprædikatet H med domæne N er tankevækkende: { S hvis der er muligt at spise n hotdogs på 10 min. P(n) = F ellers I Java vil det se omtrent sådan ud: Hotdogprædikatet i Java public static boolean hotdog(int n) { return n <= 68; } Metoden tager et argument af typen int der nogenlunde modsvarer N og returnerer en værdi af typen boolean.
4 Hotdogs eller efterløn: Universel kvantifikation Lad n N være et vilkårligt naturligt tal. Hvis n 60 har vi at E(n) holder. Hvis n 68 har vi at H(n) holder. Og da n 60 n 68 har vi at prædikatet D med domæne N givet ved D(n) = E(n) H(n) giver sandt, uanset input. Dette skriver vi n N. D(n). Universel kvantifikation For et prædikat P med domæne D skriver vi d D. P(d) og mener at P giver sand på alle elementerne i domænet. Tænk gerne maskinelt : Løb alle værdierne i domænet igennem og hvis P faktisk svarer sand til dem alle så har vi d D. P(d). Men hvis en eller flere giver falsk går den ikke, så er d D. P(d) selv falsk og d D. P(d) sand.
5 Universel kvantifikation: for og imod d D. P(d) er sand hvis P altid returnerer sand. Derfor: Den svære at bevise universel kvantifikation For at bevise d D. P(d) skal vi godtgøre at P(d) = S uanset valg af d D. Da D kan være endda overordentlig stor fører vi tit et abstrakt argument: lad d D være vilkårligt,..., P(d) er sand. Den lette at modbevise universel kvantifikation For at modbevise d D. P(d) skal vi blot hitte et vidne, det vil sige et element i D som giver falsk. Eksempelvis har vi ikke n N. E(n) H(n). Hvorfor ikke? Tag n = 1 N, vi får E(1) H(1) = F S = F. Liden tue kan vælte stort læs. Hvis man kan finde den.
6 At bevise (!) universel kvantifikation i Java Undertiden kan vi eftervise universel kvantifikation i Java. Metoden er sjældent anvendelig men giver en vis intuition. Vi vil vise at n {1, 2, 3, 4, 5}. n! n n n. Gennemløb i Java boolean result = true; for(int n = 1; n <= 5; n++) { boolean ntruth = fact(n) <= n * n * n; result = result && ntruth; } System.out.println("Udsagnet er : " + result); Output Udsagnet er : true
7 At modbevise (!!) universel kvantifikation i Java At modbevise universel kvantifikation i Java er mere realistisk. Vi lader programmet finde modeksemplet for os. Vi vil modbevise følgende, som man kunne forledes til at tro efter forrige slide: n {1, 2, 3,...}. n! n n n. Gennemløb i Java for(int n = 1; true; n++) { if(fact(n) > n*n*n) { System.out.println("n = "+n+" er modeksempel."); break; } } Output n = 6 er modeksempel.
8 Hotdogs og efterløn: Eksistentiel kvantifikation Vi så at n N. E(n) H(n) ikke gik, fordi E(1) H(1) = F. Omvendt har vi 64 N og E(64) H(64) = S S = S. Der findes altså et element i domænet som gør prædikatet sandt. Dette skriver vi n N. E(n) H(n). Eksistentiel kvantifikation For et prædikat P med domæne D skriver vi d D. P(d) og mener at P giver sand på et eller flere elementer i domænet. Tænk igen maskinelt : Løb alle værdierne i domænet igennem, hvis P svarer sand en eller flere gange, så har vi d D. P(d). Men hvis alle elementer giver falsk går den ikke, så er d D. P(d) selv falsk og d. P(d) sand.
9 Eksistentiel kvantifikation: for og imod d D. P(d) holder hvis P er sand for mindst et element. Derfor: Den lette at bevise eksistentiel kvantifikation Vi viser d D. P(d) ved at fremvise et vidne, det vil sige et element d D så P(d) holder. I tilfældet n N. E(n) H(n) er 64 et sådant vidne. Den svære at modbevise eksistentiel kvantifikation For at modbevise d D. P(d) skal vi godtgøre P(d) = F uanset valg af d D. Vi fører hyppigt et abstrakt argument i stil med følgende: lad d D være vilkårligt,..., P(d) er falsk.
10 At bevise eksistentiel kvantifikation i Java Vi viser eksistentiel kvantifikation ved at rode rundt i domænet indtil vi (måske) finder et vidne. Til tider kan Java tage slæbet, lad os eksempelvis eftervise n N. n 2 + (n + 7) 2 = (n + 32) 2. Gennemløb i Java for(int n = 0; true; n++) { if(n*n + (n+7)*(n+7) == (n+32)*(n+32)) { System.out.println("n = " + n + " er vidne."); break; } } Output n = 65 er vidne.
11 Indlejrede kvantorer Vi kan gerne have prædikater over mere end en variabel og dermed bruge mere end en kvantor. Det ser flot ud, men man angriber bare fra venstre mod højre. Her er et eksempel: n N. m N. m 2n. Hvis du giver mig et tal, så kan jeg give dig et tal som er mindst dobbelt så stort. Eller mere formelt: Lad n N være vilkårligt. Vi skal vise m N. m 2n og prøver med m = 2n N. Vi har at m = 2n 2n så den er ok. Vi viser altså al- og eksistenskvantor som vi plejer.
12 Flere indlejrede kvantorer Mon rækkefølgen har betydning? Lad os prøve den anden version m N. n N. m 2n. Jeg kan give dig et tal som er mindst dobbelt så stort som ethvert tal du kan give mig. Så skal m være stort. Vi prøver modbevis: Lad m N være vilkårligt, vi prøver at modbevise n N. m 2n. Vi skal altså finde n N så m 2n ikke går. Vi prøver n = m + 1 og får m 2m < 2m + 2 = 2(m + 1) = 2n. Rækkefølgen har altså betydning. Før kunne vi vælge m efter n, her skal vi præstere m som det første. Og den går ikke.
13 Indlejrede kvantorer er indlejrede løkker Tænk gerne indlejrede løkker for indlejrede kvantorer. Her viser vi det første eksempel, dog med lidt mindre domæner: n {1, 2, 3,..., 10}. m {1, 2, 3,..., 20}. m 2n. Løkken er Java boolean forall, exists; forall = true; for(int n = 1; n <= 10; n++) { exists = false; for(int m = 1; m <= 20; m++) { exists = exists m >= 2*n; } forall = forall && exists; } System.out.println("Løkkelogikken siger: " + forall);
14 Nogle tal er mere lige end andre Et tal er lige hvis 2 går op i det. Eller mere præcist med kvantorer: Lig(e)heds prædikatet L : N {S, F} L(n) = m N. n = 2m. Er eksempelvis 10 lige? Ja, L(10) = S for 5 N og 10 = 2 5. Et tal er omvendt ulige hvis det er 2 gange noget plus en: Ulig(e)heds prædikatet U : N {S, F} U(n) = m N. n = 2m + 1. Er 117 ulige. Ja, U(117) = S for 58 N og 117 =
15 Efter ulighed kommer lighed Det synes rimeligt (måske ganske trivielt) at der følger et lige tal efter et ulige. Vi kan faktisk vise det præcist: Sætning: Lige tal følger ulige n N. U(n) L(n + 1). Bevis: Lad n N være vilkårligt. For at vise implikationen antager vi at U(n) er sand, altså at m N. n = 2m + 1. Vi kan altså vælge l N så n = 2l + 1. Vi vil gerne vise at L(n + 1) holder, altså at m N. n + 1 = 2m. Vi skal med andre ord finde et m N med egenskaben n + 1 = 2m. Vi prøver med l + 1 N: n + 1 = 2l = 2l + 2 = 2(l + 1).
16 L er dominant Vi skruer lidt op: Hvordan går det med produktet af et lige og et ulige tal? Vi fornemmer lighed ja vi kan vise det helt præcist: Sætning: U er recessiv n N. m N. L(n) U(m) L(nm). Bevis: Lad n N være vilkårligt. Lad m N være vilkårligt. Vi antager L(n) U(m) altså at L(n) = S og U(m) = S. Vi kan vælge l N så n = 2l og vi kan vælge k N så m = 2k + 1. Vi skal vise at L(nm) holder, altså at j N. nm = 2j. Vi regner: nm = 2l(2k + 1) = 4lk + 2l = 2(2lk + l). Så vi kan vælge j = 2lk + 1 N og så er L(nm) vist.
17 De Morgan og kvantorerne, del I Vi modbeviser en alkvantor ved at finde et element der gør prædikatet falsk. Vi beviser en eksistenskvantor ved at finde et element der gør prædikatet sand. De er snublende ens. De Morgan negerer alkvantorer ( d D. P(d) ) d D. P(d). Venstresiden er sand netop når der findes et d D så P(d) er falsk. Og højresiden går det ligeså. Det er lidt det samme som De Morgan fra udsagnslogikken: (p q) p q.
18 De Morgan og kvantorerne, del II Vi beviser en alkvantor ved at vise at prædikatet holder for alle elementer i domænet. Vi modbeviser en eksistenskvantor ved at vise at prædikatet fejler for alle elementer i domænet. Igen er sammenhængen nærliggende: De Morgan negerer eksistenskvantorer ( d D. P(d) ) d D. P(d). Venstresiden er sand netop når P(d) er falsk for alle d D. Og højresiden går det ligeså. Igen modsvarer det De Morgan fra udsagnslogikken: (p q) p q.
19 Et prim(a) eksempel, del I 17 er primtal, det har kun de trivielle divisorer 1 og 17. På græsk: n N. ( m N. 17 = nm ) n = 1 n = er næppe et primtal. Så vi forventer at have ( n N. ( m N. 42 = nm ) ) n = 1 n = 42. Magen til suppedas skal man lede længe efter. Vi må omskrive lidt.
20 Et prim(a)) eksempel, del II Vi regner derudad, først negerer vi en alkvantor og så er det udsagnslogik resten af vejen: ( n N. ( m N. 42 = nm ) ) n = 1 n = 42 ( ( m ) ) n N. N. 42 = nm n = 1 n = 42 ( n N. ( m N. 42 = nm ) ) n = 1 n = 42 n N. ( m N. 42 = nm ) n 1 n 42. Der skal med andre ord findes en ikke-triviel divisor netop hvad man ville forvente af et sammensat tal. 7 er et godt bud her.
t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereBOSK F2011, 1. del: Induktion
P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) February 15, 2011 Summa summarum Vi får et tip om at følgende kunne finde på at holde for n N: n N. n i = n(n + 1). 2 Vi husker at summation læses meget som
Læs mereBOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik
( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereIntroduktion til prædikatlogik
Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mere//Udskriver System.out.println("Hej " + ditfornavn + " " + ditefternavn + "."); System.out.println("Du er " + dinalder + " aar gammel!
Denne guide er oprindeligt udgivet på Eksperten.dk Brugerinput i Java Denne her artikel gennemgår diverse ting ved brug af brugerinput i Java. Den starter med det simple og fortæller derefter skridt for
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereKursus 02199: Programmering. Kontrol af programudførelsen. afsnit 3.1-3.5. if (indkomst > 267000) topskat = (indkomst-267000) * 0.
Kursus 02199: Programmering afsnit 3.1-3.5 Anne Haxthausen IMM, DTU 1. Kontrol af programudførn (afsnit 3.1) 2. Valg-sætninger (if og switch) (afsnit 3.2 og 3.3) 3. Bloksætninger (afsnit 3.2) 4. Logiske
Læs mereForelæsning Uge 2 Mandag
Forelæsning Uge 2 Mandag Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Java syntax og style guide Afleveringsopgave:
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereMartin Olsen. DM507 Projekt Del I. 19. marts 2012 FOTO: Colourbox
Martin Olsen DM0 Projekt 0 Del I. marts 0 FOTO: Colourbox Indhold Indledning... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Kildekode til SimpleInv.java... Kildekode til MergeSort.java...
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereP vs. NP. Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012
P vs. NP Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 Den handelsrejsendes problem Kan det lade sig gøre at besøge n byer forbundet ved et vejnet, G, inden for budget, B? Hvad
Læs mereBevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereSproget Rascal (v. 2)
Sproget Rascal (v. 2) Til brug i K1 på kurset Oversættere Opdateret 29/11 2004 Abstract Rascal er et simpelt Pascal-lignende imperativt sprog. Dette dokument beskriver uformelt Rascals syntaks og semantik
Læs mereForelæsning Uge 2 Mandag
Forelæsning Uge 2 Mandag Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Java syntax og style guide Afleveringsopgaver
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereAalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem
Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereForelæsning Uge 2 Mandag
Forelæsning Uge 2 Mandag Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Java syntax og style guide Afleveringsopgaver
Læs mereUniversity of Southern Denmark Syddansk Universitet. DM502 Forelæsning 4
DM502 Forelæsning 4 Flere kontrolstrukturer for-løkke switch-case Metoder Indhold Arrays og sortering af arrays String-funktioner for-løkke Ofte har man brug for at udføre det samme kode, for en sekvens
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereGreenfoot En kort introduktion til Programmering og Objekt-Orientering
Greenfoot En kort introduktion til Programmering og Objekt-Orientering Greenfoot er et computer-program, som kan benyttes til at skrive andre computer-programmer, i et programmeringssprog kaldet Java.
Læs mereUgeseddel 4 1. marts - 8. marts
Ugeseddel 4 1. marts - 8. marts Læs følgende sider i kapitel 6 i lærebogen: s. 233 258 og s. 291 317 (afsnit 6.3 overspringes). Begynd at overveje, hvad afleveringsopgaven skal omhandle. Læs vejledningen,
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereUdsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013
Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative):
Læs mereInteger.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. "10") til heltal (10). if (udtryk) else
Programmering 1999 Forelæsning 2, fredag 3. september 1999 Betingede ordrer: if-, if Indlejrede betingede ordrer Løkker med begrænset iteration: for Løkker med ubegrænset iteration: while Betingede ordrer,
Læs mereBevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)
Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereA. Appendix: Løse ender.
Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen
Læs mereForelæsning Uge 2 Torsdag
Forelæsning Uge 2 Torsdag Java syntax og style guide Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Brug
Læs mere16. december. Resume sidste gang
16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereSortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 32 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereSortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Læs mereForelæsning Uge 2 Mandag
Forelæsning Uge 2 Mandag Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Java syntax og style guide Afleveringsopgave:
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Onsdag den. august 200, kl. 9.00.00 Opgave (25%) Lad A = A[] A[n] være et array af heltal. Længden af det længste
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereLogik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mereSortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden
Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden
Læs mereSortering. De n tal i sorteret orden. Eksempel: Kommentarer:
Sortering Sortering Input: Output: n tal De n tal i sorteret orden Eksempel: Kommentarer: 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 Sorteret orden kan være stigende eller faldende. Vi vil i dette kursus
Læs mereSkriftlig eksamen i Datalogi
Roskilde Universitetscenter side 1 af 9 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1999/2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 5% Opgave 2
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse 1 Indledning...2 2 Logiske kredsløb...3 Eksempel:...3 Operatorer...4 NOT operatoren...4 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mere16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang
16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...3 Logiske kredsløb...4 Eksempel:...4 Operatorer...4 NOT operatoren...5 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereKapitel 3 Betinget logik i C#
Kapitel 3 i C# er udelukkende et spørgsmål om ordet IF. Det er faktisk umuligt at programmere effektivt uden at gøre brug af IF. Du kan skrive små simple programmer. Men når det bliver mere kompliceret
Læs mereSkriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)
Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Mandag den 27. maj 2002, kl. 9.00 13.00 Opgave 1 (25%) Denne opgave handler om multiplikation af positive heltal.
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve, 14. december 2018, 4 timer Side 1 af 18 Kursus navn: 02101 Indledende Programmering Kursus : 02101 Tilladte hjælpemidler: Ikke-digitale skriftlige hjælpemidler
Læs mereNoter til C# Programmering Iteration
Noter til C# Programmering Iteration Programflow Programmer udfører det meste af deres arbejde vha. forgrening og løkker. Løkker Mange programmeringsproblemer kan løses ved at gentage en handling på de
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereSortering af information er en fundamental og central opgave.
Sortering 1 / 36 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 9 Mange opgaver er hurtigere i sorteret information (tænk på ordbøger, telefonbøger,
Læs mereKlassetrinsgruppering=0-3 klasse
Resultatskema: Hvordan har du det? 1 Klassetrinsgruppering=0-3 klasse Er du dreng eller pige? Dreng 56% (126) 51% (5.378) Pige 44% (99) 49% (5.197) Manglende svar 0% (1) 0% (7) Sådan er jeg for det meste:
Læs mere4 ledtråde til at hjælpe dig i arbejdet med dit Solar Plexus
4 ledtråde til at hjælpe dig i arbejdet med dit Solar Plexus Jes Dietrich Dette er et lille udsnit fra min bog Hjertet og Solar Plexus. Nogle steder vil der være henvisninger til andre dele af bogen, og
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereAlgoritmer og invarianter
Algoritmer og invarianter Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker. Iterative algoritmer Algoritmen er overordnet set een eller flere while eller for-løkker.
Læs mereSproget Limba. Til brug i G1 og K1. Dat1E 2003
Sproget Limba Til brug i G1 og K1 Dat1E 2003 Abstract Limba er et simpelt imperativt sprog med hoballokerede tupler. Dette dokument beskriver uformelt Limbas syntaks og semantik samt en fortolker for Limba,
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mere3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.
3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDesign by Contract Bertrand Meyer Design and Programming by Contract. Oversigt. Prædikater
Design by Contract Bertrand Meyer 1986 Design and Programming by Contract Michael R. Hansen & Anne Haxthausen mrh@imm.dtu.dk Informatics and Mathematical Modelling Technical University of Denmark Design
Læs mereResultatskema kommunen: Hvordan har du det? 2011 I procent, antal i parentes
=0 Er du dreng eller pige? Dreng 51% (1.232) Pige 49% (1.198) Manglende svar 0% (8) Sådan er jeg for det meste: Meget glad 74% (1.808) Glad 22% (544) Ikke glad 3% (75) Hvad synes du om klassen? Meget glad
Læs mereBeck Depressions Test - ( søg: BDI = Beck Depression Inventory). Hvilket af disse 4 x 21 udsagn beskriver bedst, det som du føler?
Beck Depressions Test - ( søg: BDI = Beck Depression Inventory). Hvilket af disse 4 x 21 udsagn beskriver bedst, det som du føler? På den følgende liste skal du finde de emotionelle sætninger og udsagn,
Læs mereJESUS ACADEMY TEMA: GUDS FULDE RUSTNING
Tro på Gud Det første punkt i troens grundvold er Omvendelse fra døde gerninger, og dernæst kommer Tro på Gud.! Det kan måske virke lidt underlig at tro på Gud kommer som nr. 2, men det er fordi man i
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereVejledende løsninger
Roskilde Universitetscenter side 1 af 8 sider Vejledende løsninger Opgave 1 Spørgsmål 1.1 a = b - a; b = b - a; a = b + a; Opgaven har flere løsninger. En anden løsning er: a = b + a; b = a - b; a = a
Læs mereTrivselsmåling 2015, 4.-9. klasse Varde Kommune
Trivselsmåling 2015, 4.-9. klasse Varde Kommune Spørgsmål Svarmuligheder Varde Kommune 4-9 klasse 1. Er du glad for din skole? 2. Er du glad for din klasse? 3. Hvad synes dine lærere om dine fremskridt
Læs mereTrivselsmåling 2015 Mellemtrin
Trivselsmåling 2015 Mellemtrin Under landsplan Svarer til landsplan Over landsplan q1. Er du glad for din skole? q2. Er du glad for din klasse? q3. Hvad synes dine lærere om dine fremskridt i skolen? q4.
Læs mereInduktive og rekursive definitioner
Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mere