CIVILINGENIREKSAMEN Side 1 af 22 sider. Skriftlig prve, den: 21. december 1995 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 CIVILINGENIREKSAMEN Side 1 af 22 sider Skriftlig prve, den: 21. december 1995 Kursus nr : 0401 Kursus navn: Statistik 1. Tilladte hjlpemidler: Alle sdvanlige Dette st er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 30 sprgsmal fordelt pa 16 opgaver, skrevet med romertallene I { XVI i selve teksten. Numrene pa de enkelte sprgsmal er angivet som (1),(2),...,(30) i teksten. Bevarelserne af de 30 sprgsmal fres ind i nedenstaende skema. Opgave Sprgsmal Svar Opgave Sprgsmal Svar Svarmulighederne for hvert sprgsmal er nummereret fra 1 til 6. Indfres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at \svrte" det forkerte nummer over og anfre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes sprgsmalet som ubesvaret. Kun forsiden skal aeveres. Aeveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel aeveres. Kladde, mellemregninger og bemrkninger tillgges ingen betydning, kun tallene indfrt ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og,1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede sprgsmal eller et 6-tal (svarende til \ved ikke") giver 0 point. Det antal point, der krves for, at et st anses for tilfredstillende besvaret, afgres endeligt ved censureringen af sttene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. 1

2 Der gres opmrksom pa atideen med opgaverne er, at der er et og kunet rigtigt svar pa de enkelte sprgsmal. Endvidere er det ikke givet, at alle de anfrte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sttets sidste side er nr 22; blad lige om og se, at den er der. Opgave I Der er udfrt et experiment, hvor en ny atomabsorptionsspektrometrisk metode til at bestemme antimon i atmosfren blev sammenlignet med en tidligere metode. For 6 prver af atmosfrisk luft fra forskellige byer opnaedes flgende resultater: Antimon fundet (mg/m 3 ) i prven Prve nr(by) Ny metode Standard metode Sprgsmal I.1 (1): Hvilket statistisk test (blandt nedenstaende forslag) ville du mene, man br anvende ved sammenligning af de to metoder: 1 2 Et parret t-test, hvor dierenserne inden for byer testes for middelvrdien Et sdvanligt ikke-parret t-test for, om forskellen mellem de to metoders middelvrdier er Et F-test for, om variansen af dierenserne inden for byer er mindre end variansen mellem byer 4 2 Ensidet variansanalyse (med to grupper, nemlig de to metoder) 5 2 Et F-test for, om varianserne af de to metoder er ens (uden hensyntagen til byer) 2

3 Opgave II Flgende data viser glucose koncentrationen (mg/100 ml) i serum i 8 mus, som to og to har vret udsat for 4 forskellige eksperimentelle behandlinger. Som dataskemaet indikerer, blev de re af musene udsat for en bakteriel smitte og de re vrige blev ikke smittet. Halvdelen af hver af disse grupper behandledes med adrenalin i en saltvandsoplsning, medens den anden halvdel kun k saltvand: Glucose (mg/100 ml) i serum i mus Ikke inceret Bakterie inc. Sum Saltvand alene 200, , Saltvand + adrenalin 330, , Sum De viste data betegnes nu x ij. Her angiver i = 1 "saltvand alene" og i = 2 angiver "saltvand+adrenalin". j = 1 angiver "ikke inceret" og j = 2 angiver "bakterie inc.". Endelig angiver = 1 eller =2nummeret pa den enkelte mus for den givne kombination af behandlinger. 2X 2X 2X i=1 j=1 =1 (x ij, x ij ) 2 = 1054:5 ; 2X i=1 4(x i:, x :: ) 2 = 17578:1 ; 2X 2X i=1 j=1 2X j=1 2(x ij, x i:, x :j + x :: ) 2 =276:1 4(x :j, x :: ) 2 =15225:1 hvor pa sdvanlig made x ij, x i:, x :j og x :: er gennemsnittene for kombination (i; j), for i'te rkke, for j'te sjle og for alle data, henholdsvis. Sprgsmal II.1 (2): Man kan uden videre beregne et estimat for dataenes varians (dvs uden antagelser om f.eks. vekselvirkning eller hovedeekter). Dette estimat er: 1 2 b 2 =276:1 ' 16: b 2 =276:1=2 ' 11: b 2 =1054:5 ' 32: b 2 =1054:5=2 ' 23: b 2 =1054:5=4 ' 16:2 2 Fortstter... 3

4 Sprgsmal II.2 (3): Man har nu undersgt, om behandling med adrenalin forhjer glucoseindholdet i serum lige meget for "ikke incerede" og for "bakterie incerede" mus. Den tilsvarende teststrrelse er (angivet ved vrdi og relevant testfordelings-fraktil): 1 2 z = 1054:5=276:1 F (4; 1) 1, 2 2 z = 276:1=(1054:5=2) F (1; 2) 1, 3 2 z = 276:1=(1054:5=4) F (1; 4) 1, 4 2 z =(276:1=2)=(1054:5=4) F (2; 4) 1, 5 2 z = (17578:1=2)=(15225:1=2) F (2; 2) 1, Undersgelsen i foregaende sprgsmal leder til, at man faktisk kan antage, at middelvrdien EfX ij g = + i + j,hvor i og j angiver rkke{ og sjle{eekter ( P i i =0og P j j = 0). Sprgsmal II.3 (4): Estimater for og 1 er henholdsvis: 1 2 b =1757ogb 1 =691=4 2 2 b =1053=4 ogb 1 =691=4 3 2 b =1757=8 ogb 1 =691=4, 1757=8 4 2 b =219:6 ogb 1 =86:4 5 2 b =1757=8 ogb 1 = 15225:1=8, 1757=8 4

5 Opgave III Ved inspektion af en kontinuert elektrolytisk proces til overadebehandling har man erfaring for, at inspektionsudstyret detekterer en overadefejl med en middelhyppighed pa ca 0.1 fejl pr minut. Man mistnker, at fejlhyppigheden kan vre steget, og man beslutter sig for at undersge dette ved at acceptere hjst 3 fejl i periode af 20 minutters lngde. Findes ere end 3 fejl (dvs 4 eller ere fejl), antages, at middelhyppigheden er steget. Sprgsmal III.1 (5): Hvilken statistisk model (blandt nedenstaende forslag) for det samlede fejlantal (X) i de 20 minutter er det rimeligst at vlge som testgrundlag, og hvilket signikansniveau,, har det anfrte test: 1 2 X 2 B(20; 0:1) og ' 13% 2 2 X 2 B(20; 0:1) og ' 87% 3 2 X 2 P (2:0) og ' 14% 4 2 X 2 P (2:0) og ' 86% 5 2 X 2 N(2:0; 1:8) og ' 13% Den vagthavende ingenir mener, at en 20 minutters periode er lige kort nok til, at man kan fa et godt test, sa han foreslar denne vsentligt forlnget og et nyt test konstrueret. Sprgsmal III.2 (6): Benyttes en lngere testperiode som f.eks. 60 minutter, glder et af flgende udsagn mht. til konstruktion af et passende test. Hvilket? 1 2 Hvis man nsker niveauet undret, kan testets styrke for store fejlhyppigheder ikke ges. 2 2 Det kan ikke undgas, at niveauet ges. 3 2 Det kan ikke undgas, at niveauet mindskes. 3 2 Hvis man fastholder accepttallet 3, vil testets styrke for store fejlhyppigheder falde. 4 2 Hvis man fastholder accepttallet 3, vil testets niveau falde. 5 2 Man kan konstruere et test, der samtidig har et mindre og en strre styrke for store fejlhyppigheder. 5

6 Opgave IV En fabrikant af opvaskemaskiner hvder, at kun ca 10% af de opvaskemaskiner, han producerer, vil krve justering af automatikken inden for maskinernes frste driftsar. I et storkkken er der indkbt 19 maskiner, men det viser sig, at 5 maskiner heraf krver justering. Sprgsmal IV.1 (7): Et 95% kondensinterval for den faktiske andel, som krver justering er da (angivet ved intervallets endepunkter): 1 2 [5=19, 14=19 ] 2 2 [1=19, 9=19 ] 3 2 [0:05,0:62 ] 4 2 [5=( :311), 6 2:448=( :448) ] 5 2 [5=( :448), 6 3:311=( :448) ] Sprgsmal IV.2 (8): Ejeren af storkkkenet nsker at udfre et formelt test med niveau = 5% for, om andelen af justeringskrvende maskiner er 10% (eller derunder). Hvor mange maskiner blandt de 19, han har kbt, br han da hjst acceptere som krvende justering: Fortstter... 6

7 Sprgsmal IV.3 (9): Han beslutter sig faktisk for kun at acceptere hjst 3 maskiner (ud af de 19) som krvende justering. Hvor stor er styrken da af hans test, safremt den faktiske andel, som krver justering, er 20%: 1 2 ca 63.5% 2 2 ca 36.5% 3 2 ca 45.5% 4 2 ca 54.5% 5 2 Alle de anfrte forslag er forkerte. 7

8 Opgave V En trakingenir er blevet bedt om at undersge, om antallet af cyklister, som krer uden lys er steget i forhold til tidligere undersgelser, hvor man pa en given vejstrkning erfaringsmssigt har haft ca = 1 mrklagte cyklister pr kvarter. Med henblik pa teste,om er steget, har ingeniren opstillet flgende beslutningstabel, som viser, hvor mange cyklister, han hjst ma observere i den angivne tidsperiode (accepttallet), for at opretholde en hypotese om, at 1. Obs.tid 15 min 30 min 60 min 90 min 120 min Accepttal Sprgsmal V.1 (10): Hvilket signikansniveau, synes ingeniren (blandt flgende muligheder) at have krvet: 1 2 1% 2 2 5% % % % Sprgsmal V.2 (11): Ingeniren har lovet sin opdragsgiver, at han med mindst 75% sandsynlighed vil kunne konstatere en stigning til = 3 mrklagte cyklister pr kvarter. Hvor lnge, blandt de ovenfor anfrte observationstider (og med de viste accepttal), skal han mindst observere trakken det pagldende sted: min min min min min 8

9 Opgave VI Flgende data stammer fra en undersgelse af intelligens hos brn i relation til deres ernringstilstand. I alt 81 subnormalt ernrede og 869 normalt ernrede brn indgik i undersgelsen. De undersgte brn blev ud fra et intelligenstest bedmt pa en skala fra 0 til 150 med flgende resultater: Ernrings{ Scoring i test Antal Brn tilstand < 90 90{99 100{109 > 110 ialt Normalt ern Subnormalt ern Sum Sprgsmal VI.1 (12): Under antagelse af, at intelligensen ikke afhnger af ernringstilstanden, nskes et skn for, hvor mange brn, man ville forvente at nde i gruppen (Subnormalt ern., scoring 100{109), hvor der faktisk er konstateret 13 brn: Sprgsmal VI.2 (13): Hvis man nsker at teste den i foregaende sprgsmal anfrte hypotese, hvilket af flgende kritiske omrader, (angivet ved testfordelings fraktil), vil man da benytte (forudsat det mest sdvanlige test benyttes og z angiver teststrrelsen) ved et test med signikansniveau : 1 2 fz > 2 (3) 1,g 2 2 fz > 2 (3) 1,=2g 3 2 fz < 2 (3) =2 g[fz> 2 (3) 1,=2g 4 2 fz >F(1; 3) 1,g 5 2 fz <F(1; 3) g 9

10 Opgave VII Vrdien af behandling med antitoxin af patienter med tetanus (stivkrampe) er undersgt med flgende resultater: Antal patienter Behandling Helbredte Dde Antitoxin beh Ikke Antitoxin 9 29 Sprgsmal VII.1 (14): Man nsker at undersge, om sandsynligheden for helbredelse er ndret i positiv retning ved behandling med antitoxin. Som teststrrelse anvendes den vrdi, der er angivet som z = 21 patienter, der modtog antitoxin og blev helbredt. Som kritisk omrade ved test pa niveau kan man benytte: 1 2 z>b(41; 0:50) 1, 2 2 z>b(79; 0:25) 1, 3 2 z>b(30; 0:50) 1, 4 2 z>h(30; 41; 79) 1, 5 2 z>h(21; 30; 79) 1, 10

11 Opgave VIII En stokastisk variabel X antages at flge en fordeling med ttheden f(x; )=( + 1)( +2)x (1, x), idet 0 <x<1 og >,1 Vi betragter nu en stikprve fx 1 ;x 2 ; ;x n g bestaende af n uafhngige observationer af X. Frekvensfunktionen og dennes logaritme svarende til stikprven er abenbart f(x 1 ; ;x n ; ) =( +1) n ( +2) n ( n i=1x i ) n i=1(1, x i ) log e f(x 1 ; ;x n ; ) =n log e ( +1)+n log e ( +2)+ n i=1 log e x i + n i=1 log e (1, x i ) Sprgsmal VIII.1 (15): Man nsker en maximum likelihood estimator for. Denne kan bestemmes af en af flgende ligninger. Hvilken? 1 2 n ( )=P n i=1 log e x i 2 2 n ( )=, P n i=1 log e x i 3 2 n ( )=P n i=1 log e x i 4 2 n ( )=, P n i=1 log e x i 5 2 n ( )=, P n i=1 log e x i Sprgsmal VIII.2 (16): Er en af flgende stikprvefunktioner sucient for? Igivet fald, hvilken? 1 2 t = P n i=1 x i 2 2 t = Q n i=1 x i (1, P n i=1 x i ) 3 2 t = P n i=1 x i (1, P n i=1 x i ) 4 2 t = Q n i=1 x i 5 2 Ingen af de anfrte er sucient Fortstter... 11

12 Sprgsmal VIII.3 (17): Det forudsttes nu, at der kan ndes en central estimator for, som kaldes b. Om denne estimators varians vil det glde, at 1 2 Varfb g 1 n ( 1 (+1) (+2) 2 ),1 2 2 Varfb g 1 n ( 1 (+1) (+2) 2 ),1 3 2 Varfb g 1 n ( 1 (+1) + 1 (+2) ),1 4 2 Varfb g 1 n ( 1 (+1) + 1 (+2) ),1 5 2 Varfb g = 1 n ( 1 (+1) + 1 (+2) ),1 12

13 Opgave IX I tekstundersgelser er man bl.a. interesseret i forfatterens ordforrad, idet anvendelse af mange forskellige ord anses for et litterrt gode. Flgende data er et uddrag fra en optlling af ordforradet i apostlen Paulus' epistler (Morgenthaler: Statistik des neue testamentlichen Wortschatzes). Tabellen angiver epistlernes samlede ordlngde (x) og antallet af forskellige ord (y) (i tabellen er begge for enkelheds skyld reduceret med faktoren 1/100): Epistlens navn x = antal ord i alt y = antal forskellige ord Romerbrevet brev til korinterne brev til korinterne Galaterbrevet Filipperbrevet brev til Timoteus brev til tessalonikerne Filemonbrevet Eksempelvis er Romerbrevet altsa pa i alt ord, men i opgaven regnes overalt med x =70:94 og tilsvarende y =10:68, som anfrt i tabellen. Flgende beregninger er udfrt pa forhand: X i x i = 245:80 ; X i y i =46:50 ; X i X i x 2 i =12632:2350 y 2 i =347:2502 og X i x i y i =2039:4727 Der nskes bestemt enmodel: Y = + (x,30:725)+e,hvor x angiver en bestemt lngde for en epistel, medens Y angiver det tilsvarende antal forskellige ord, og endelig angiver E en tilfldig afvigelse med middelvrdi 0. Sprgsmal IX.1 (18): Mindste kvadraters skn over og i den viste modelformulering ndes som: 1 2 ^ =,1:54 og ^ =7: ^ =5:81 og ^ =0: ^ =2:12 og ^ =7: ^ =5:81 og ^ =7: ^ =2:12 og ^ =0:12 13

14 Man vurderer, at variansen af de tilfldige afvigelser i modellen tilsyneladende vokser med middelvrdien EfY g = = + (x, 30:725). Man tnker sig, at VarfY g = 2 2. Sprgsmal IX.2 (19): Hvis man foretager en transformation, hvor Z =log e Y, vil den nye variabel, Z, fa variansen VarfZg. Om denne nder man: 1 2 VarfZg ' VarfZg '1= VarfZg 'log e 2 +log e VarfZg 'log e ( 2 = 2 ) 5 2 VarfZg ' 2 Ved hjlp af et plot af data med indtegning af en ret linie viser det sig, at en mere rimelig model for data kunne vre af formen EfY g = = x. Med henblik pa at analysere denne model er beregnet flgende vrdier: t i =log e x i z i =log e y i X i X i t i =23:98 ; z i =12:65 ; og X i X i X t i z i =43:03 ; i t 2 i =79:96 ; X (t i, t) 2 =8:08 i X z 2 =23:33; (z i i, z) 2 =3:33 X i i (t i, t)(z i, z) =5:12 Sprgsmal IX.3 (20): Pa basis af de logaritmerede data nskes skn over og. Disse er 1 2 b =,0:318 og b =5:12=8:08 = 0: b = exp(12:65=8, 0:634 23:98=8) = exp(,0:318) og b =5:12=8:08 = 0: b = exp(,0:634) og b =,0: b = exp(12:65=8+0:634 23:98=8) og b =5:12=8: b = log(0:318) og b =0:634 14

15 Opgave X For at vurdere forskellige arbejdspladsers indvirken pa det stressniveau, som yveledere far i lbet af en arbejdsdag, har man i Clevelands kontrolcenter i Oberlin, Ohio, afprvet tre forskellige arbejdspladser. Efter en medicinsk undersgelse og et efterflgende interview k man flgende mal for stressniveauet for 3 udvalgte yveledere, der alle prvede de tre arbejdspladser. Arbejdsplads Flyveleder A B C Sprgsmal bedst som: X.1 (21): En undersgelse af arbejdspladsens betydning for stressniveauet udfres 1 2 Test for uafhngighed i kontingenstabel. 2 2 Test i ensidet variansanalysemodel. 3 2 Sammenligning af 9 Poisson-fordelinger. 4 2 Test i en tosidet variansanalysemodel. 5 2 Bartletts varianshomogenitetstest. 15

16 Opgave XI Ved en undersgelse om den mulige eekt af fodzoneterapi i behandling af asthma bronchiale har man hos 2 15 patienter malt lungefunktionen om morgenen. De frste l5 patienter er behandlet med fodzoneterapi, de vrige 15 har fungeret som kontrolgruppe. Lungefunktionen er angivet som en sakaldt PEF-vrdi, og i nedenstaende tabel er angivet P gennemsnittet x og den empiriske standardafvigelse s (s 2 = 1 n,1 i(x i, x) 2 ) for de to grupper. Det oplyses, at Gennemsnit Standardafvigelse Behandlet gruppe Kontrol gruppe (325:0+352:5)=2 = 338:75 og (153: :0 2 )=2 =149:4 2 Det testes nu, om det kan antages, at behandlingen ikke har haft nogen eekt mod alle alternativer. Sprgsmal XI.1 (22): Da er den sdvanlige teststrrelse lig med :75=(153: :0) :5=(149:4 2 =15) 3 2 (352:5, 325:0)=((153:7+ 145:0)=2) :5=(149:4 p 2=15) :75=(149:4= p 15) Sprgsmal XI.2 (23): Teststrrelsen skal sammenlignes med en fraktil i en 1 2 B(30; 1) - fordeling N(0; 1) - fordeling 3 2 t(28) - fordeling 4 2 t(29) - fordeling (29) - fordeling 16

17 Opgave XII Iflge en Vilstrup Research undersgelse oentliggjort i Politiken den 19. november 1995 har vlgernes tilslutning til regering og opposition udviklet sig som flger Partier Tidspunkt 13/ / /11 95 A, B, D 37.4% 37.0% 38.2% C, V, Z 48.8% 47.9% 46.7% F, 10.9% 12.0% 10.6% Andre 2.9% 3.1% 4.5% Det kan antages, at hver af de angivne fordelinger er baseret pa 1000 interviews. Dette vil give flgende gennemsnitlige tilslutning til partigrupperne: Endvidere er A, B, D: % C, V, Z: 47.8% F, : % Andre: 3.5% (37:4, 37:533) 2 + ::: + 37:533 (2:9, 3:5)2 3:5 + (37:0, 37:533)2 37:533 + ::: + (4:5, 3:5)2 3:5 =0:5979 Sprgsmal XII.1 (24): Teststrrelsen Z for det sdvanlige test for en hypotese om, at der ikke er sket bevgelser i vlgerbefolkningen i den betragtede periode, bliver dermed 1 2 0: : : : p 59:79 Fortstter... 17

18 Sprgsmal XII.2 (25): Det kritiske omrade erved et test pa et 5% signikansniveau lig med 1 2 fz >9:552g 2 2 fz >1:6449g 3 2 fz >1:734g 4 2 fz <,1:96g[fz>1:96g 5 2 fz >12:592g 18

19 Opgave XIII Vi betragter et instrument, der er sammensat af 10 identiske celler. Instrumentet svigter, hvis blot 1 af cellerne svigter. Den enkelte celle antages at have en exponentialfordelt levetid med middelvrdien 5 ar. Sprgsmal med XIII.1 (26): Da er sandsynligheden for, at apparatets levetid overstiger 1 ar lig

20 Opgave XIV En pakke indeholder 5 elektroniske komponenter, hvoraf 2 er defekte. Der udtages 3 komponenter (uden tilbagelgning). Sprgsmal XIV.1 (27): Da er sandsynligheden for, at alle de udtagne er fejlfrie, lig med 1 2 1/ / / /3 20

21 Opgave XV Ved bestemmelsen af arealet T af en trekant males grundlinien X og hjden H. Det antages, at forventningsvrdierne af X og H er den sande vrdi af grundlinien (x) henholdsvis af hjden (h). Usikkerhederne pa malingerne er givet ved varianserne V (H) = 1 og V (X) = 1. Det antages, at X og H er stokastisk uafhngige. Sprgsmal XV.1 (28): For en trekant med hjden h = 6 og grundlinien x = 8 bliver standardafvigelsen af arealet T approximativt lig med 1 2 1/

22 Opgave XVI Ved en sakaldt tilstandskontrol af spildevandsudlbet fra en virksomhed kan det antages, at koncentrationen X af bioaktivt materiale i spildevandet flger en logaritmisk normalfordeling LN(1; 1=4). Myndighedernes kravvrdi (som man nsker ikke overskrides) er x krav = e 1:8225 Sprgsmal XVI.1 (29): Sandsynligheden for, at en enkelt maling overstiger kravvrdien er Fra en anden virksomhed udtages ligeledes en prve dagligt, og det antages nu, at sandsynligheden for, at kravvrdien overskrides for denne virksomhed er 0.1 for den enkelte prve. Desuden antages, at de malte koncentrationer er uafhgige. Sprgsmal XVI.2 (30): Da er middelventetiden til og med den anden overskridelse lig med dage dage dage dage dage Slut pa opgavesttet. God juleferie. 22