Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse"

Transkript

1 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse (Indholdet i dette projekt indgår i A-bogens kapitel og ) Differential- og integralregningens historiske udvikling Matematikken udviklede sig eksplosivt, efter at Newton og Leibniz i slutningen af 600-tallet havde åbnet portene til differential- og integralregningen Det var et kæmpekontinent, der her var opdaget det største indenfor hele matematikkens verden Og i begejstring stormede matematikerne gennem det næste århundrede ind over det, mens de udviklede stadigt nye teknikker Hidtil var næsten al matematik bygget op over geometriske betragtninger: Matematikken var så at sige vokset frem af den klassiske græske geometri Indenfor geometriens verden følte man sig på sikker grund, med dennes aksiomer og strenge krav til at være præcis i sine argumenter I aritmetikken talbehandlingen var man på mere usikker grund I 600-tallet var man stadig ikke fortrolig med negative tal! Når en andengradsligning havde en positiv og en negativ løsning kaldte man den sidste for en falsk eller en umulig løsning, og man så normalt bort fra sådanne Dengang repræsenterede et tal altid noget virkeligt længder, vægt, arealer, rumfang osv Derfor var det naturligt at opløfte i tredje, svarende til rumfang, men suspekt at opløfte i fjerde, for hvad skulle det repræsentere? Irrationale tal optrådte, idet man uden betænkeligheder skrev kvadratroden eller den tredje rod af et tal Allerede i 500-tallet, hvor man fandt formlen for at løse en tredjegradsligning, var man imidlertid begyndt at fundere over, om man kunne tillægge kvadratroden af negative tal nogen mening Det kunne man næppe, men ligesom med falske rødder opskrev man dem alligevel Sådanne tal blev kaldt indbildte tal og repræsenterede de første skridt ind i de komplekse tals verden Og dette sker som sagt, mens man stadig er usikker på, hvad et negativt tal er Geometriske betragtninger kom også til at præge differential- og integralregningen de første 50 år Differentialkvotienter blev defineret som hældningskoefficienter for tangenter En tangent er som bekendt graf for det approksimerende førstegradspolynomium, og man fandt tidligt ud af, at dette kunne generaliseres til approksimerende andengrads-, tredjegrads-,, n tegradspolynomium Jo større grad, desto bedre tilnærmelse Hvorfor så ikke fortsætte i det uendelige? Det så ud til, at en funktion kunne skrives som en uendelig sum af potenser en slags uendeliggradspolynomium Efterhånden lykkedes det at udtrykke flere og flere af de kendte funktioner på denne måde, feks: cos 4! 6! 8! sin! 5! 7! 9! 4 e! 4! Ligesom en tangent ligger i et bestemt punkt, således er de approksimerende polynomier også bestemt ud fra et bestemt punkt Det samme gælder de uendelige rækker, hvor ovenstående rækkeudviklinger af cos( ), sin( ) og e er foretaget i L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

2 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Da det lykkedes at finde sådanne uendelige summer for flere og flere funktioner, når nogle af de største matematikere i 700-tallet, som Euler og Lagrange, frem til den (fejlagtige) opfattelse, at dette gælder for alle funktioner Men er dette tilfældet, kan man derved også helt slippe af med det mystiske grænseværdibegreb, ræsonnerer Lagrange, og han beslutter faktisk at definere differentialkvotienten som koefficienten til førstegradsleddet i den uendelige række hørende til funktionen I ovenstående eksempler er således ifølge Lagrange: cos (0) 0, sin (0) og ep (0), hvor vi anvender notationen e ep( ) De uendelige rækker konstrueres normalt ud fra den første, anden, tredje osv afledede af funktionen, så det ser måske ud til, at Lagrange gik i ring Men det er ikke tilfældet For hvis den uendelige række findes, så kan vi jo lave definitionen som Lagrange gør Dernæst kommer ganske vist spørgsmålet, om vi i praksis kan finde disse koefficienter, men det er et teknisk problem Euler er ikke helt så radikal Han søger stadig at få hold på et grænseværdibegreb og indfører en slags uendeligt små størrelser, som han betegner med 0, og som han rask væk regner med; feks lader han 0 indgå i brøker og forkorter det væk, hvor han kan Og Euler når frem til så mange korrekte resultater, at det i sig selv var et argument for hans metode Omskrivning af funktioner til uendelige summer af potenser havde en række indlysende fordele Matematikerne havde nemlig tidligt opdaget, at det er let at differentiere hvad som helst kan vi klare men det er svært at integrere Potenser kan vi let finde stamfunktioner til, men komplicerede sammensatte udtryk må vi ofte give op over for Hvis nu alt er summer af potenser, så kan vi vel bare finde stamfunktionen led for led, og på den måde integrere vilkårlige funktioner? Se feks på rækkerne for sin() og cos(): Vi finder en stamfunktion til cos() led for led: cos d d k 4! 6! 8!! 5! 7! 9!, og det er netop sin( ) k Metoden slog igennem og var i årtier den dominerende indenfor differential- og integralregningen Den anvendtes også med succes til løsning af differentialligninger Metodens gennemslagskraft skyldtes naturligvis først og fremmest, at den var effektiv Men det talte også til dens fordel, at man undgik alle de mærkelige og løse ideer om grænseovergange Eulers nuller feks Titlen på Lagranges værk var meget sigende:»teorien om analytiske funktioner, indeholdende differentialregningens principper, renset for betragtninger om uendeligt små eller forsvindende størrelser, og for betragtninger om grænseværdier og fluioner, og indskrænket til algebraisk analyse af endelige størrelser«i begyndelsen af 800-tallet opstår der imidlertid tvivl om gyldigheden af denne matematiske metode Man opdager på den ene side funktioner, der ikke er specielt indviklede, men som ikke kan skrives som uendelige summer af potenser Og på den anden side begynder man at betragte uendelige summer af andre størrelser end potenser, specielt uendelige summer af trigonometriske funktioner Og her finder man besynderlige resultater: Summen: cosu cosu cos5u cos7 u giver en funktion med følgende graf: 5 7 Fluioner var Newtons betegnelser for de uendeligt små størrelser 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

3 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer -5 / - - / - - / / / - /4 /4 - / Den kaldes Fouriers - firkantbølge, /4 opkaldet efter den matematiker, Joseph Fourier, der som den første undersøgte disse summer systematisk - Han fandt tilsvarende -5 /4 ud af, at den uendelige sum: - / sin u sinu sinu sin u -7 /4 4 giver den såkaldte»savtakfunktion«med følgende graf: - -9 /4-5 / - / / - - / / / - /4 - /4-7 / /4 - / En sum af to kontinuerte -5 /4 funktioner giver naturligvis en kontinuert funktion Tager vi flere og flere led med i summen gør det ingen -4forskel: - /4 Det er stadig en pæn kontinuert funktion Og det uanset hvor mange millioner og milliarder led vi tog med Det forekommer også indlysende, at når vi adderer grafer, der er sammenhængende, må vi som resultat -få noget der igen er sammenhængende Men hvad ser vi så her: Tager vi alle -7 /4 led med dvs uendeligt -9 / mange så får vi en diskontinuert funktion Der kommer et spring på grafen! -5 /4 - / Dette var meget mærkelige resultater, og det tvang matematikerne til at revidere mange af deres hidtidige opfattelser Fourier publicerede sine undersøgelser i 8 Året før havde en af 800-tallets største matematikere Augustin Cauchy -7 udgivet /4 et af sine hovedværker om den matematiske analyse et værk, der genindfører grænseværdibetragtninger, og som er det første»moderne«værk om differential- og integralregningen Men heri»beviser«cauchy, - at en uendelig sum af kontinuerte funktioner er kontinuert! -9 /4 Det bliver dog ikke Fourier selv, der påpeger fejlen hos Cauchy Fourier var først og fremmest interesseret i matematikkens anvendelser, -5 / og hans epokegørende værk med de mærkelig summer er slet ikke en matematikbog, men en fysikbog omhandlende varmeteori Det er derimod den norske matematiker Niels Henrik Abel, der få år senere gør - opmærksom /4 på fejlen hos Cauchy og netop med»savtakfunktionen«som et modeksempel Så selv de største matematikere kan miste overblikket og begå fejl - Cauchys store fortjeneste var genindførelsen af grænseværdibetragtninger Hans grænseværdibegreb er - /4 stort set det, vi anvender i dag: Hvis en række af tal,,, n nærmer sig et fast tal 0, på en sådan måde, at forskellen til sidst er så -7 lille, / som man har ønsket det, så kaldes 0 for grænseværdien af de andre Sådan skrev Cauchy i 8-5 /4 Ved hjælp af sit nye grænseværdibegreb definerede Cauchy kontinuitet og differentiabilitet Cauchy er fra matematikkens hovedland Frankrig -4 og derfor den, man lagde mærke til Hans bøger blev anvendt over hele Europa Men få år før definerede en tjekkisk matematiker, Bolzano, faktisk grænseværdier og kontinuitet -7 /4-9 / Abel er i matematikhistorien bla kendt som den, der beviste, at der ikke kan findes en formel for løsning af femtegradsligninger (og heller ikke af nogen højere grad), som vi kender det fra andengradsligninger, og som der også findes for tredje- og fjerdegradsligninger 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

4 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer på samme moderne måde som Cauchy Bolzanos målsætning var at bevise den første hovedsætning om kontinuerte funktioner, og han nåede længere end andre på hans tid, men dog ikke til vejs ende Han stødte panden mod den mur, der hedder de reelle tals opbygning Hans værk fik ikke den betydning, det havde fortjent i Tyskland og Frankrig blev Bolzano først kendt, efter han var død Det blev tyskeren Karl Weierstrass, der i 860 erne fuldførte Cauchys værk og endelig fik skabt det moderne og præcise grænseværdibegreb Den måde, hvorpå en matematiker i dag opskriver definitionen på kontinuitet, når han skal være helt præcis, er ord til andet taget fra Weierstrass Dette gennemgår vi i næste afsnit Weierstrass arbejde lagde også grunden til, at en af hans elever, Georg Cantor, sammen med Richard Dedekind i 880 erne endelig fik hold på de reelle tals opbygning Disse to tyske matematikere fordybede sig ikke mindst i de matematiske og filosofiske problemer omkring de reelle tal og uendelighedsbegrebet De opdagede nemlig, at uendelighed ikke bare er uendelighed: Allerede Galilei havde faktisk gjort opmærksom på det paradoks, at der i kraft af sammenparringen:, 4, 9, 4 6,, n n, tilsyneladende er lige mange naturlige tal og kvadrattal selv om mængden af kvadrattal åbenlyst er en beskeden delmængde af de naturlige tal Der er også i en vis forstand lige mange hele tal og rationale tal, idet samtlige brøker kan stilles op på række og tælles Dette er lidt vanskeligere end Galileis sammenparring, men prøv selv, om du kan løse opgaven for de positive, rationale tal, ved at følge denne opskrift: Gruppér først alle brøkerne i halve, tredjedele, fjerdedele osv, og stil tallene i hver af disse grupper op i rækkefølge, feks således:,,, 4, Placer alle disse (uendeligt mange) rækker under hinanden Og find nu en snedig måde at tælle diagonalt, så du får alle med Lykkes det, er alle brøkerne stillet op på række, og derved parret sammen med de naturlige tal Men de irrationale tal kan ikke stilles op i række: Der er langt flere irrationale end rationale tal Der er altså forskellige grader af uendelighed Det var en af Cantors store opdagelser Den moderne matematiske analyse tager sit udgangspunkt i det arbejde, som disse matematikere lavede for godt 00 år siden Du kan finde de præcise argumenter om uendelighedsbegrebet i den indledende fortælling til A-bogens kapitel Fast grund under grænseværdi- og kontinuitetsbegrebet To skikkelser i matematikhistorien rager op i bestræbelserne på at få styr på grænseværdibegrebet og dermed også på kontinuitetsbegrebet: Franskmanden Augustin Cauchy ( ) og tyskeren Karl Weierstrass (85-897) Cauchy publicerede meget, og i det mest berømte af hans skrifter, Cours d Analyse fra 8 findes den definition på grænseværdibegrebet, som vi i praksis anvender i gymnasiet i dag: Når en følge af tal nærmer sig en fast størrelse på en sådan måde, at talfølgens elementer slutteligt adskiller sig fra den faste størrelse med så lidt som vi kunne ønske os, så siger vi, at den faste størrelse er grænseværdi for de øvrige Hans definition på kontinuitet lyder: f er kontinuert i et interval, hvis det gælder, at en uendelig lille tilvækst h af variablen, giver en uendelig lille tilvækst f( h) f( ) af funktionsværdien Også den sidste definition virker ganske moderne; men vi bemærker dog, at Cauchy kun definerede kontinuitet i et helt interval, ikke i et enkelt punkt Ud fra den intuitive opfattelse af kontinuitet som svarende til, at grafen er sammenhængende, er forestillingen om kontinuitet i et enkelt punkt også en svært begribelig egenskab Kontinuitet forstået som sammenhæng vil man umiddelbart knytte til et interval 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

5 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Når vi forsøger at oversætte Cauchy s formuleringer:»så tæt på vi ønsker«,»en uendelig lille tilvækst«osv til et præcist matematisk sprog, der giver mulighed for beregninger og præcise svar, opstår der imidlertid åbenlyse problemer Vanskelighederne heri illustreres af, at Cauchy selv»beviste«nogle forkerte sætninger Der var kort sagt brug for en så præcis matematisk formulering, at den kunne anvendes til at gennemføre præcise beviser Og det var netop hvad Weierstrass gjorde Weierstrass var oprindelig slet ikke professionel matematiker Hans far ønskede, han studerede økonomi og administration; men da sønnen ikke fandt interesse i disse fag, men derimod var en stor ynder af tyske ølstuer, gik årene, uden Weierstrass nogensinde fik en eksamen Han forlod universitetet og tog forskelligt forefaldende arbejde inden for undervisning, samtidig med at han i fritiden dyrkede sin store lidenskab, matematikken Og han demonstrerede sin store begavelse gennem en række opsigtsvækkende matematiske artikler, der resulterede i at han»blev kaldet«til en stilling på Berlins Universitet Weierstrass publicerede ikke selv ret meget; men gennem sine berømte forelæsninger præsenterede han en række nye tanker og metoder fra sin forskning, ideer, som han generøst overlod til sin store skare af højt kvalificerede studenter at færdiggøre Stort set alle Europas unge lovende matematikere drog i de år fra først i 860 erne til Berlin for at følge hans forelæsninger, og med Weierstrass forskydes tyngdepunktet i matematikhistorien fra Frankrig til Tyskland Weierstrass blev tidligt så syg, at han ikke kunne stå op og skrive under en forelæsning; han sad derfor ned, dikterede til en student, der på hans bud malede tavlen fuld Denne anstrengende arbejdsform var givetvis medvirkende til, at Weierstrass gennemarbejdede sine forelæsninger ned til den mindste detalje, hvorved de notater, studenterne tog, faktisk var som lærebøger Og netop gennem kopier af sådanne notater og gennem de artikler, hvori Weierstrass elever bearbejdede hans resultater, lærte matematikverdenen hurtigt om disse nye»weierstrasske krav til stringens (præcision)«og hans metoder blev overtaget ord til andet Men det var som nævnt altid andre, der præsenterede ideerne således var det Eduard Heine og Sofia Kovalevskaya (der begge siden indskrev sig i matematikhistorien), der publicerede Weierstrass nye tilgang til kontinuitetsbegrebet Det centrale spørgsmål var at få styr på grænseværdibegrebet: Hvad skal vi forstå ved følgende formulering: f() L når a? Vi er vant til at gribe sagen således an: Vi begynder med en følge af -værdier, og dernæst ser vi på, hvad der sker med f ( )'erne Men dette giver de føromtalte problemer: Hvordan kan vi vide, at den følge, vi begyndte med, er typisk ville vi få samme resultat med en hvilken som helst anden følge af er? Weierstrass løser knuden ved at vende problemstillingen 80 : Hvad er det, vi vil frem til, spørger han Ifølge Cauchy vil vi frem til en konklusion om, at forskellen på f() og L kan gøres så lille, som det ønskes (ved at vælge på den og den måde) Men så er det her, vi begynder, siger Weierstrass Lad os forestille os det som»et spil«: Over for os står en»modstander«, der udfordrer os ved at fastlægge et meget snævert interval om L, måske med en afstand på /000 eller / fra L Eller endnu tættere på: Vi indfører en ny størrelse (græsk bogstav:»epsilon«), der skal angive, hvor tæt vi ønsker at være på L har vi ingen indflydelse på det stikkes os ud af vores»modstander«nu er det så vor opgave at fastlægge et interval om a, på en sådan måde, at når er i dette interval, er vi sikre på, at fer ( ) i det ønskede interval om L Det interval, vi fastlægger omkring a, bestemmes mest enkelt ved at angive et tal δ (græsk bogstav:»delta«), der måler afstanden fra til a Lad os navngive de omtalte intervaller: 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

6 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer, og I a a J L ; L δ δ; δ Weierstrass definition på grænseværdi lyder så: Definition: Grænseværdi ( Version) f har grænseværdien L, når går mod a, på kort form: eksisterer et δ 0, således at der for a f gælder: I f J δ L når a, hvis der til ethvert 0 Bemærkning: Definitionen er sammensat således, at ikke kan blive lig med a Dette er vigtigt, for kan sagtens have en grænseværdi uden at være defineret i a Grafisk kan situationen være således: f J L L L a ) Først vælges intervallet J ) J fastlægger nu via grafen de ydre grænser for intervallet I ) I δ kan vælges på utallige måder, men feks som på tegningen I f J : 4) Vi kontrollerer nu, at: f kører op ad den skraverede vej δ I I Når vi skal til at udnytte definitionen til at regne, er det ofte en fordel at have den skrevet med uligheder i stedet for intervaller: Definition: Grænseværdi ( Version) Vi siger at f L når a, hvis der til ethvert 0 eksisterer et δ 0, således at: Øvelse 0 a δ f L Lav en skitse af f i intervallet ; f 4 når, og illustrer på din tegning, at der gælder: Definitionen på grænseværdi fører straks over i definitionen på kontinuitet: Definition: Kontinuitet i et punkt Vi siger, at f er kontinuert i 0, hvis der gælder, at Til ethvert 0 eksisterer et δ 0, således at: 0 a δ f L f f 0 når 0, dvs hvis der gælder: Bemærk at vi her har erstattet 0 a δ med: a δ, idet situationen for 0 er helt triviel: f er jo defineret i 0 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

7 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Det var ikke denne definition på kontinuitet, Weierstrass i første omgang gav Som tidligere omtalt opfattede de stadig kontinuitet som en egenskab i et interval; og bestræbelserne hos Weierstrass og samtidige var at få styr det lidt mere komplicerede begreb»uniform kontinuitet«(på dansk:»ligelig kontinuitet«), som vi omtaler i appendiks Det blev således en af Weierstrass elever Eduard Heine, der som den første definerede begrebet kontinuitet i et punkt Anvendelse af definitionen på grænseværdi eller kontinuitet volder altid besvær i starten Det skyldes sikkert, at vi har svært ved at slippe fokus fra erne og i stedet sætte fokus på f() Men det er her, hele ideen ligger: Vi begynder med den ønskede konklusion: f L Ud fra en analyse af dette, når vi gennem forskellige omskrivninger frem til hvilket krav, der så må stilles til erne, dvs til fastlæggelse af δ Før vi illustrerer dette med et par eksempler, så prøv at løse følgende opgaver grafisk: Øvelse Indtast i de følgende opgaver regneforskriften og indret grafvinduet således at -værdierne ligger tæt ved tallet a, og y-værdierne tæt ved tallet L Få endelig en grafisk fremstilling af, hvilket krav det givne stiller til det interval, vi ønsker at lægge om a, ved at indtaste de to konstante funktioner y = L + og y = L Bestem f ved hjælp af skæringspunkterne mellem graferne en værdi af δ, der»matcher«f ; undersøg påstanden: f når ved at finde et δ, der matcher 0,0, dvs opgaven er at finde et δ, således at: δ f 0,0 eller: ; f 0,0; 0,0 f ; undersøg påstanden: 8 f ; undersøg påstanden: f når ved at finde et δ, der matcher 0, f når 0 ved at finde et δ, der matcher 0,05 4 Undersøg påstanden: 0 når ved at finde et δ, der matcher 0,0 5 Undersøg påstanden: når ved at finde et δ, der matcher 0,00 Anvendelse af definitionen til præcise beviser for grænseværdier Eksempel Vi skal vise: 7 når Løsning: Lad være givet Den ønskede konklusion er: 7 Vi omskriver: 7 6 Den ønskede konklusion fås, hvis, dvs hvis 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

8 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Derfor vælges δ Så får vi: δ 7 Eksempel Vi skal vise: 4 Løsning: når : Lad være givet Den ønskede konklusion er: 4 Vi omskriver: 4 Den ønskede konklusion fås, hvis, dvs hvis Derfor vælges δ Så får vi: 4 δ Eksempel Vi skal vise: når 4 : Løsning: Lad være givet Den ønskede konklusion er: Vi omskriver: 4 4 Da vi skal undersøge 4, kan vi uden indskrænkning nøjes med at se på, dvs Dermed er, og Indsæt dette: 4 4 Den ønskede konklusion opnås, hvis: 4, eller: 4 Derfor vælges δ Så får vi: 4 δ 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

9 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Vi kan opsummere således: Prais: Metode til at afgøre spørgsmål om grænseværdi og kontinuitet En påstand vedrørende kontinuitet i et bestemt punkt eller vedrørende en bestemt grænseværdi: f L, når a, undersøges på følgende måde: Vi begynder med at opskrive den ønskede konklusion: f L Dernæst foretages omskrivninger af typen: f L K a, hvor K er en eller anden konstant Ud fra dette ser vi, at vi kan sikre f L Altså løser vi problemet ved at vælge δ K, hvis blot vi vælger a K Opgaver Vis: 5, når Vis:, når (Hjælp: Forkort brøken) Vis:, når (Hjælp: Forlæng med I din vurdering kan du indskrænke dig til at se på feks ) 4 Vis:, når 5 Vis: 8, når (Hjælp: Foretag polynomiers division med ) 6 Vis at grænseværdier er entydige, dvs Hvis f L M L, når a, og f M, når a, så er Vi vil nu bevise, at følgende fundamentale sætning gælder: Hovedsætning om grænseværdier Weierstrass δ definition er ensbetydende med vores traditionelle talfølge-definition Bevis: δ egenskaben medfører talfølge-egenskaben Antag: f L, når a, ifølge Weierstrass definition Lad,,,, n være en følge af tal, så n a Vi ønsker at vise: f L f nærmer sig vilkårligt tæt til tallet L, dvs Læg derfor et lille interval n J om L, bestemt ved : J L L ; 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

10 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Vælg nu ifølge Weierstrass et interval I δ om a, der afbildes ind i Iδ a δ; a δ Da nu n a, vil n erne fra et vist trin, feks nr N, være helt med i I δ Weierstrass definition på grænseværdi giver os: I f J δ Men så kan vi sammenfatte:,,, I f, f, f, J N N N δ N N N Altså netop den ønskede konklusion J : Talfølge-egenskaben medfører δ egenskaben Antag: f L, når a, ifølge den traditionelle definition med talfølger, dvs vi antager: For enhver talfølge: n a vil f n L Lad være givet og betragt J L ; L Læg nu for ethvert helt tal n i et interval I n om a, bestemt ved: I ; n a a n n Antag at ingen af disse intervaller bliver afbilledet helt ind i J, dvs ingen af dem opfylder Weierstrass krav: In f J Vi får nu en modstrid på følgende måde: f Vælg et k fra hvert I k, således at: k J Ifølge valget af erne vil der gælde:,,,, n a (Overvej dette!) Men ifølge beliggenheden af f( k ) erne holder disse sig alle uden for intervallet J, så derfor kan der ikke gælde: f k L Dette er i modstrid med, at påstanden skal gælde for enhver talfølge Altså kan vi konkludere, at ét af intervallerne I n vil blive afbildet ind i J Og dermed er Weierstrass definition opfyldt Hovedsætningen gælder specielt for kontinuerte funktioner og fortælle altså: δ-kontinuitet er ensbetydende med følgekontinuitet Følgekontinuitet appellerer til intuitionen og sætningen siger altså, at der ikke er noget galt med at fortsætte med at anvende intuitionen Men vi skal blot hele tiden have i baghovedet, at argumenterer vi ud fra følger, så skal argumentet holde for enhver følge Det kan af og til være svært at overskue, om det nu også er tilfældet som følgende eksempel i dimensioner illustrerer: Eksempel Talfølger og grænseværdi for funktioner af to variable Funktioner af to variable er naturligvis mere komplicerede end funktioner af én variabel Men det kan være lettere at se, hvilke fælder man kan lande i, ved at se på regneforskrifter for sådanne Lad os se på: y for ( y, ) (0,0) f(, y) y 0 for ( y, ) (0,0) 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

11 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Funktionen er defineret i hele planen Hvad sker der med funktionsværdierne, når vi nærmer os (0,0)? Hvis vi bevæger os ind langs -aksen, er y 0, dvs funktionsværdierne er hele vejen ind Hvis vi bevæger os ind langs y-aksen, er 0, dvs funktionsværdierne er - hele vejen ind Hvis vi bevæger os ind langs linjen y i -y-planen fås funktionsværdien 0 hele vejen ind Ved at følge andre retninger ind mod (0,0) får vi endnu flere forskellige grænseværdier Konklusionen er, at der ikke er nogen grænseværdi i (0,0), og at f derfor ikke er kontinuert i (0,0) Eksemplet indgår i A-bogens kapitel, hvor der også på hjemmesiden ligger en graf som en interaktiv figur, man kan gå på opdagelse i 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Projekt 1.3 Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne

Projekt 1.3 Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Projekter: Kapitel Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Projekt Grænseværdi og kontinuitet klassisk og moderne Introduktion Kontinuitet er et betydeligt sværere begreb at få styr på end

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj/juni 2012 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen

Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Vi laver et hop til renæssancens Norditalien. Her udarbejdede nogle matematiker i begyndelsen af 1500-tallet algoritmer for tredje- og fjerdegradsligningerne.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug 2014 - jun 2015 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Klavs

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012

Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Termin Undervisningen afsluttes den 16. maj 2012 Skoleåret hvor undervisningen har foregået: 2011-2012 Institution Skive Teknisk Gymnasium Uddannelse

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2016/17 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Valghold Matematik

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.

Matematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10. Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2014 Skoleår 2013/2014 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2016 Institution Den Jyske Håndværkerskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold EUX - Tømre Matematik

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere