Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 4.1 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse"

Transkript

1 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer - grundlaget for moderne analyse (Indholdet i dette projekt indgår i A-bogens kapitel og ) Differential- og integralregningens historiske udvikling Matematikken udviklede sig eksplosivt, efter at Newton og Leibniz i slutningen af 600-tallet havde åbnet portene til differential- og integralregningen Det var et kæmpekontinent, der her var opdaget det største indenfor hele matematikkens verden Og i begejstring stormede matematikerne gennem det næste århundrede ind over det, mens de udviklede stadigt nye teknikker Hidtil var næsten al matematik bygget op over geometriske betragtninger: Matematikken var så at sige vokset frem af den klassiske græske geometri Indenfor geometriens verden følte man sig på sikker grund, med dennes aksiomer og strenge krav til at være præcis i sine argumenter I aritmetikken talbehandlingen var man på mere usikker grund I 600-tallet var man stadig ikke fortrolig med negative tal! Når en andengradsligning havde en positiv og en negativ løsning kaldte man den sidste for en falsk eller en umulig løsning, og man så normalt bort fra sådanne Dengang repræsenterede et tal altid noget virkeligt længder, vægt, arealer, rumfang osv Derfor var det naturligt at opløfte i tredje, svarende til rumfang, men suspekt at opløfte i fjerde, for hvad skulle det repræsentere? Irrationale tal optrådte, idet man uden betænkeligheder skrev kvadratroden eller den tredje rod af et tal Allerede i 500-tallet, hvor man fandt formlen for at løse en tredjegradsligning, var man imidlertid begyndt at fundere over, om man kunne tillægge kvadratroden af negative tal nogen mening Det kunne man næppe, men ligesom med falske rødder opskrev man dem alligevel Sådanne tal blev kaldt indbildte tal og repræsenterede de første skridt ind i de komplekse tals verden Og dette sker som sagt, mens man stadig er usikker på, hvad et negativt tal er Geometriske betragtninger kom også til at præge differential- og integralregningen de første 50 år Differentialkvotienter blev defineret som hældningskoefficienter for tangenter En tangent er som bekendt graf for det approksimerende førstegradspolynomium, og man fandt tidligt ud af, at dette kunne generaliseres til approksimerende andengrads-, tredjegrads-,, n tegradspolynomium Jo større grad, desto bedre tilnærmelse Hvorfor så ikke fortsætte i det uendelige? Det så ud til, at en funktion kunne skrives som en uendelig sum af potenser en slags uendeliggradspolynomium Efterhånden lykkedes det at udtrykke flere og flere af de kendte funktioner på denne måde, feks: cos 4! 6! 8! sin! 5! 7! 9! 4 e! 4! Ligesom en tangent ligger i et bestemt punkt, således er de approksimerende polynomier også bestemt ud fra et bestemt punkt Det samme gælder de uendelige rækker, hvor ovenstående rækkeudviklinger af cos( ), sin( ) og e er foretaget i L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

2 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Da det lykkedes at finde sådanne uendelige summer for flere og flere funktioner, når nogle af de største matematikere i 700-tallet, som Euler og Lagrange, frem til den (fejlagtige) opfattelse, at dette gælder for alle funktioner Men er dette tilfældet, kan man derved også helt slippe af med det mystiske grænseværdibegreb, ræsonnerer Lagrange, og han beslutter faktisk at definere differentialkvotienten som koefficienten til førstegradsleddet i den uendelige række hørende til funktionen I ovenstående eksempler er således ifølge Lagrange: cos (0) 0, sin (0) og ep (0), hvor vi anvender notationen e ep( ) De uendelige rækker konstrueres normalt ud fra den første, anden, tredje osv afledede af funktionen, så det ser måske ud til, at Lagrange gik i ring Men det er ikke tilfældet For hvis den uendelige række findes, så kan vi jo lave definitionen som Lagrange gør Dernæst kommer ganske vist spørgsmålet, om vi i praksis kan finde disse koefficienter, men det er et teknisk problem Euler er ikke helt så radikal Han søger stadig at få hold på et grænseværdibegreb og indfører en slags uendeligt små størrelser, som han betegner med 0, og som han rask væk regner med; feks lader han 0 indgå i brøker og forkorter det væk, hvor han kan Og Euler når frem til så mange korrekte resultater, at det i sig selv var et argument for hans metode Omskrivning af funktioner til uendelige summer af potenser havde en række indlysende fordele Matematikerne havde nemlig tidligt opdaget, at det er let at differentiere hvad som helst kan vi klare men det er svært at integrere Potenser kan vi let finde stamfunktioner til, men komplicerede sammensatte udtryk må vi ofte give op over for Hvis nu alt er summer af potenser, så kan vi vel bare finde stamfunktionen led for led, og på den måde integrere vilkårlige funktioner? Se feks på rækkerne for sin() og cos(): Vi finder en stamfunktion til cos() led for led: cos d d k 4! 6! 8!! 5! 7! 9!, og det er netop sin( ) k Metoden slog igennem og var i årtier den dominerende indenfor differential- og integralregningen Den anvendtes også med succes til løsning af differentialligninger Metodens gennemslagskraft skyldtes naturligvis først og fremmest, at den var effektiv Men det talte også til dens fordel, at man undgik alle de mærkelige og løse ideer om grænseovergange Eulers nuller feks Titlen på Lagranges værk var meget sigende:»teorien om analytiske funktioner, indeholdende differentialregningens principper, renset for betragtninger om uendeligt små eller forsvindende størrelser, og for betragtninger om grænseværdier og fluioner, og indskrænket til algebraisk analyse af endelige størrelser«i begyndelsen af 800-tallet opstår der imidlertid tvivl om gyldigheden af denne matematiske metode Man opdager på den ene side funktioner, der ikke er specielt indviklede, men som ikke kan skrives som uendelige summer af potenser Og på den anden side begynder man at betragte uendelige summer af andre størrelser end potenser, specielt uendelige summer af trigonometriske funktioner Og her finder man besynderlige resultater: Summen: cosu cosu cos5u cos7 u giver en funktion med følgende graf: 5 7 Fluioner var Newtons betegnelser for de uendeligt små størrelser 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

3 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer -5 / - - / - - / / / - /4 /4 - / Den kaldes Fouriers - firkantbølge, /4 opkaldet efter den matematiker, Joseph Fourier, der som den første undersøgte disse summer systematisk - Han fandt tilsvarende -5 /4 ud af, at den uendelige sum: - / sin u sinu sinu sin u -7 /4 4 giver den såkaldte»savtakfunktion«med følgende graf: - -9 /4-5 / - / / - - / / / - /4 - /4-7 / /4 - / En sum af to kontinuerte -5 /4 funktioner giver naturligvis en kontinuert funktion Tager vi flere og flere led med i summen gør det ingen -4forskel: - /4 Det er stadig en pæn kontinuert funktion Og det uanset hvor mange millioner og milliarder led vi tog med Det forekommer også indlysende, at når vi adderer grafer, der er sammenhængende, må vi som resultat -få noget der igen er sammenhængende Men hvad ser vi så her: Tager vi alle -7 /4 led med dvs uendeligt -9 / mange så får vi en diskontinuert funktion Der kommer et spring på grafen! -5 /4 - / Dette var meget mærkelige resultater, og det tvang matematikerne til at revidere mange af deres hidtidige opfattelser Fourier publicerede sine undersøgelser i 8 Året før havde en af 800-tallets største matematikere Augustin Cauchy -7 udgivet /4 et af sine hovedværker om den matematiske analyse et værk, der genindfører grænseværdibetragtninger, og som er det første»moderne«værk om differential- og integralregningen Men heri»beviser«cauchy, - at en uendelig sum af kontinuerte funktioner er kontinuert! -9 /4 Det bliver dog ikke Fourier selv, der påpeger fejlen hos Cauchy Fourier var først og fremmest interesseret i matematikkens anvendelser, -5 / og hans epokegørende værk med de mærkelig summer er slet ikke en matematikbog, men en fysikbog omhandlende varmeteori Det er derimod den norske matematiker Niels Henrik Abel, der få år senere gør - opmærksom /4 på fejlen hos Cauchy og netop med»savtakfunktionen«som et modeksempel Så selv de største matematikere kan miste overblikket og begå fejl - Cauchys store fortjeneste var genindførelsen af grænseværdibetragtninger Hans grænseværdibegreb er - /4 stort set det, vi anvender i dag: Hvis en række af tal,,, n nærmer sig et fast tal 0, på en sådan måde, at forskellen til sidst er så -7 lille, / som man har ønsket det, så kaldes 0 for grænseværdien af de andre Sådan skrev Cauchy i 8-5 /4 Ved hjælp af sit nye grænseværdibegreb definerede Cauchy kontinuitet og differentiabilitet Cauchy er fra matematikkens hovedland Frankrig -4 og derfor den, man lagde mærke til Hans bøger blev anvendt over hele Europa Men få år før definerede en tjekkisk matematiker, Bolzano, faktisk grænseværdier og kontinuitet -7 /4-9 / Abel er i matematikhistorien bla kendt som den, der beviste, at der ikke kan findes en formel for løsning af femtegradsligninger (og heller ikke af nogen højere grad), som vi kender det fra andengradsligninger, og som der også findes for tredje- og fjerdegradsligninger 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

4 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer på samme moderne måde som Cauchy Bolzanos målsætning var at bevise den første hovedsætning om kontinuerte funktioner, og han nåede længere end andre på hans tid, men dog ikke til vejs ende Han stødte panden mod den mur, der hedder de reelle tals opbygning Hans værk fik ikke den betydning, det havde fortjent i Tyskland og Frankrig blev Bolzano først kendt, efter han var død Det blev tyskeren Karl Weierstrass, der i 860 erne fuldførte Cauchys værk og endelig fik skabt det moderne og præcise grænseværdibegreb Den måde, hvorpå en matematiker i dag opskriver definitionen på kontinuitet, når han skal være helt præcis, er ord til andet taget fra Weierstrass Dette gennemgår vi i næste afsnit Weierstrass arbejde lagde også grunden til, at en af hans elever, Georg Cantor, sammen med Richard Dedekind i 880 erne endelig fik hold på de reelle tals opbygning Disse to tyske matematikere fordybede sig ikke mindst i de matematiske og filosofiske problemer omkring de reelle tal og uendelighedsbegrebet De opdagede nemlig, at uendelighed ikke bare er uendelighed: Allerede Galilei havde faktisk gjort opmærksom på det paradoks, at der i kraft af sammenparringen:, 4, 9, 4 6,, n n, tilsyneladende er lige mange naturlige tal og kvadrattal selv om mængden af kvadrattal åbenlyst er en beskeden delmængde af de naturlige tal Der er også i en vis forstand lige mange hele tal og rationale tal, idet samtlige brøker kan stilles op på række og tælles Dette er lidt vanskeligere end Galileis sammenparring, men prøv selv, om du kan løse opgaven for de positive, rationale tal, ved at følge denne opskrift: Gruppér først alle brøkerne i halve, tredjedele, fjerdedele osv, og stil tallene i hver af disse grupper op i rækkefølge, feks således:,,, 4, Placer alle disse (uendeligt mange) rækker under hinanden Og find nu en snedig måde at tælle diagonalt, så du får alle med Lykkes det, er alle brøkerne stillet op på række, og derved parret sammen med de naturlige tal Men de irrationale tal kan ikke stilles op i række: Der er langt flere irrationale end rationale tal Der er altså forskellige grader af uendelighed Det var en af Cantors store opdagelser Den moderne matematiske analyse tager sit udgangspunkt i det arbejde, som disse matematikere lavede for godt 00 år siden Du kan finde de præcise argumenter om uendelighedsbegrebet i den indledende fortælling til A-bogens kapitel Fast grund under grænseværdi- og kontinuitetsbegrebet To skikkelser i matematikhistorien rager op i bestræbelserne på at få styr på grænseværdibegrebet og dermed også på kontinuitetsbegrebet: Franskmanden Augustin Cauchy ( ) og tyskeren Karl Weierstrass (85-897) Cauchy publicerede meget, og i det mest berømte af hans skrifter, Cours d Analyse fra 8 findes den definition på grænseværdibegrebet, som vi i praksis anvender i gymnasiet i dag: Når en følge af tal nærmer sig en fast størrelse på en sådan måde, at talfølgens elementer slutteligt adskiller sig fra den faste størrelse med så lidt som vi kunne ønske os, så siger vi, at den faste størrelse er grænseværdi for de øvrige Hans definition på kontinuitet lyder: f er kontinuert i et interval, hvis det gælder, at en uendelig lille tilvækst h af variablen, giver en uendelig lille tilvækst f( h) f( ) af funktionsværdien Også den sidste definition virker ganske moderne; men vi bemærker dog, at Cauchy kun definerede kontinuitet i et helt interval, ikke i et enkelt punkt Ud fra den intuitive opfattelse af kontinuitet som svarende til, at grafen er sammenhængende, er forestillingen om kontinuitet i et enkelt punkt også en svært begribelig egenskab Kontinuitet forstået som sammenhæng vil man umiddelbart knytte til et interval 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

5 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Når vi forsøger at oversætte Cauchy s formuleringer:»så tæt på vi ønsker«,»en uendelig lille tilvækst«osv til et præcist matematisk sprog, der giver mulighed for beregninger og præcise svar, opstår der imidlertid åbenlyse problemer Vanskelighederne heri illustreres af, at Cauchy selv»beviste«nogle forkerte sætninger Der var kort sagt brug for en så præcis matematisk formulering, at den kunne anvendes til at gennemføre præcise beviser Og det var netop hvad Weierstrass gjorde Weierstrass var oprindelig slet ikke professionel matematiker Hans far ønskede, han studerede økonomi og administration; men da sønnen ikke fandt interesse i disse fag, men derimod var en stor ynder af tyske ølstuer, gik årene, uden Weierstrass nogensinde fik en eksamen Han forlod universitetet og tog forskelligt forefaldende arbejde inden for undervisning, samtidig med at han i fritiden dyrkede sin store lidenskab, matematikken Og han demonstrerede sin store begavelse gennem en række opsigtsvækkende matematiske artikler, der resulterede i at han»blev kaldet«til en stilling på Berlins Universitet Weierstrass publicerede ikke selv ret meget; men gennem sine berømte forelæsninger præsenterede han en række nye tanker og metoder fra sin forskning, ideer, som han generøst overlod til sin store skare af højt kvalificerede studenter at færdiggøre Stort set alle Europas unge lovende matematikere drog i de år fra først i 860 erne til Berlin for at følge hans forelæsninger, og med Weierstrass forskydes tyngdepunktet i matematikhistorien fra Frankrig til Tyskland Weierstrass blev tidligt så syg, at han ikke kunne stå op og skrive under en forelæsning; han sad derfor ned, dikterede til en student, der på hans bud malede tavlen fuld Denne anstrengende arbejdsform var givetvis medvirkende til, at Weierstrass gennemarbejdede sine forelæsninger ned til den mindste detalje, hvorved de notater, studenterne tog, faktisk var som lærebøger Og netop gennem kopier af sådanne notater og gennem de artikler, hvori Weierstrass elever bearbejdede hans resultater, lærte matematikverdenen hurtigt om disse nye»weierstrasske krav til stringens (præcision)«og hans metoder blev overtaget ord til andet Men det var som nævnt altid andre, der præsenterede ideerne således var det Eduard Heine og Sofia Kovalevskaya (der begge siden indskrev sig i matematikhistorien), der publicerede Weierstrass nye tilgang til kontinuitetsbegrebet Det centrale spørgsmål var at få styr på grænseværdibegrebet: Hvad skal vi forstå ved følgende formulering: f() L når a? Vi er vant til at gribe sagen således an: Vi begynder med en følge af -værdier, og dernæst ser vi på, hvad der sker med f ( )'erne Men dette giver de føromtalte problemer: Hvordan kan vi vide, at den følge, vi begyndte med, er typisk ville vi få samme resultat med en hvilken som helst anden følge af er? Weierstrass løser knuden ved at vende problemstillingen 80 : Hvad er det, vi vil frem til, spørger han Ifølge Cauchy vil vi frem til en konklusion om, at forskellen på f() og L kan gøres så lille, som det ønskes (ved at vælge på den og den måde) Men så er det her, vi begynder, siger Weierstrass Lad os forestille os det som»et spil«: Over for os står en»modstander«, der udfordrer os ved at fastlægge et meget snævert interval om L, måske med en afstand på /000 eller / fra L Eller endnu tættere på: Vi indfører en ny størrelse (græsk bogstav:»epsilon«), der skal angive, hvor tæt vi ønsker at være på L har vi ingen indflydelse på det stikkes os ud af vores»modstander«nu er det så vor opgave at fastlægge et interval om a, på en sådan måde, at når er i dette interval, er vi sikre på, at fer ( ) i det ønskede interval om L Det interval, vi fastlægger omkring a, bestemmes mest enkelt ved at angive et tal δ (græsk bogstav:»delta«), der måler afstanden fra til a Lad os navngive de omtalte intervaller: 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

6 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer, og I a a J L ; L δ δ; δ Weierstrass definition på grænseværdi lyder så: Definition: Grænseværdi ( Version) f har grænseværdien L, når går mod a, på kort form: eksisterer et δ 0, således at der for a f gælder: I f J δ L når a, hvis der til ethvert 0 Bemærkning: Definitionen er sammensat således, at ikke kan blive lig med a Dette er vigtigt, for kan sagtens have en grænseværdi uden at være defineret i a Grafisk kan situationen være således: f J L L L a ) Først vælges intervallet J ) J fastlægger nu via grafen de ydre grænser for intervallet I ) I δ kan vælges på utallige måder, men feks som på tegningen I f J : 4) Vi kontrollerer nu, at: f kører op ad den skraverede vej δ I I Når vi skal til at udnytte definitionen til at regne, er det ofte en fordel at have den skrevet med uligheder i stedet for intervaller: Definition: Grænseværdi ( Version) Vi siger at f L når a, hvis der til ethvert 0 eksisterer et δ 0, således at: Øvelse 0 a δ f L Lav en skitse af f i intervallet ; f 4 når, og illustrer på din tegning, at der gælder: Definitionen på grænseværdi fører straks over i definitionen på kontinuitet: Definition: Kontinuitet i et punkt Vi siger, at f er kontinuert i 0, hvis der gælder, at Til ethvert 0 eksisterer et δ 0, således at: 0 a δ f L f f 0 når 0, dvs hvis der gælder: Bemærk at vi her har erstattet 0 a δ med: a δ, idet situationen for 0 er helt triviel: f er jo defineret i 0 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

7 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Det var ikke denne definition på kontinuitet, Weierstrass i første omgang gav Som tidligere omtalt opfattede de stadig kontinuitet som en egenskab i et interval; og bestræbelserne hos Weierstrass og samtidige var at få styr det lidt mere komplicerede begreb»uniform kontinuitet«(på dansk:»ligelig kontinuitet«), som vi omtaler i appendiks Det blev således en af Weierstrass elever Eduard Heine, der som den første definerede begrebet kontinuitet i et punkt Anvendelse af definitionen på grænseværdi eller kontinuitet volder altid besvær i starten Det skyldes sikkert, at vi har svært ved at slippe fokus fra erne og i stedet sætte fokus på f() Men det er her, hele ideen ligger: Vi begynder med den ønskede konklusion: f L Ud fra en analyse af dette, når vi gennem forskellige omskrivninger frem til hvilket krav, der så må stilles til erne, dvs til fastlæggelse af δ Før vi illustrerer dette med et par eksempler, så prøv at løse følgende opgaver grafisk: Øvelse Indtast i de følgende opgaver regneforskriften og indret grafvinduet således at -værdierne ligger tæt ved tallet a, og y-værdierne tæt ved tallet L Få endelig en grafisk fremstilling af, hvilket krav det givne stiller til det interval, vi ønsker at lægge om a, ved at indtaste de to konstante funktioner y = L + og y = L Bestem f ved hjælp af skæringspunkterne mellem graferne en værdi af δ, der»matcher«f ; undersøg påstanden: f når ved at finde et δ, der matcher 0,0, dvs opgaven er at finde et δ, således at: δ f 0,0 eller: ; f 0,0; 0,0 f ; undersøg påstanden: 8 f ; undersøg påstanden: f når ved at finde et δ, der matcher 0, f når 0 ved at finde et δ, der matcher 0,05 4 Undersøg påstanden: 0 når ved at finde et δ, der matcher 0,0 5 Undersøg påstanden: når ved at finde et δ, der matcher 0,00 Anvendelse af definitionen til præcise beviser for grænseværdier Eksempel Vi skal vise: 7 når Løsning: Lad være givet Den ønskede konklusion er: 7 Vi omskriver: 7 6 Den ønskede konklusion fås, hvis, dvs hvis 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

8 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Derfor vælges δ Så får vi: δ 7 Eksempel Vi skal vise: 4 Løsning: når : Lad være givet Den ønskede konklusion er: 4 Vi omskriver: 4 Den ønskede konklusion fås, hvis, dvs hvis Derfor vælges δ Så får vi: 4 δ Eksempel Vi skal vise: når 4 : Løsning: Lad være givet Den ønskede konklusion er: Vi omskriver: 4 4 Da vi skal undersøge 4, kan vi uden indskrænkning nøjes med at se på, dvs Dermed er, og Indsæt dette: 4 4 Den ønskede konklusion opnås, hvis: 4, eller: 4 Derfor vælges δ Så får vi: 4 δ 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

9 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Vi kan opsummere således: Prais: Metode til at afgøre spørgsmål om grænseværdi og kontinuitet En påstand vedrørende kontinuitet i et bestemt punkt eller vedrørende en bestemt grænseværdi: f L, når a, undersøges på følgende måde: Vi begynder med at opskrive den ønskede konklusion: f L Dernæst foretages omskrivninger af typen: f L K a, hvor K er en eller anden konstant Ud fra dette ser vi, at vi kan sikre f L Altså løser vi problemet ved at vælge δ K, hvis blot vi vælger a K Opgaver Vis: 5, når Vis:, når (Hjælp: Forkort brøken) Vis:, når (Hjælp: Forlæng med I din vurdering kan du indskrænke dig til at se på feks ) 4 Vis:, når 5 Vis: 8, når (Hjælp: Foretag polynomiers division med ) 6 Vis at grænseværdier er entydige, dvs Hvis f L M L, når a, og f M, når a, så er Vi vil nu bevise, at følgende fundamentale sætning gælder: Hovedsætning om grænseværdier Weierstrass δ definition er ensbetydende med vores traditionelle talfølge-definition Bevis: δ egenskaben medfører talfølge-egenskaben Antag: f L, når a, ifølge Weierstrass definition Lad,,,, n være en følge af tal, så n a Vi ønsker at vise: f L f nærmer sig vilkårligt tæt til tallet L, dvs Læg derfor et lille interval n J om L, bestemt ved : J L L ; 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

10 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Vælg nu ifølge Weierstrass et interval I δ om a, der afbildes ind i Iδ a δ; a δ Da nu n a, vil n erne fra et vist trin, feks nr N, være helt med i I δ Weierstrass definition på grænseværdi giver os: I f J δ Men så kan vi sammenfatte:,,, I f, f, f, J N N N δ N N N Altså netop den ønskede konklusion J : Talfølge-egenskaben medfører δ egenskaben Antag: f L, når a, ifølge den traditionelle definition med talfølger, dvs vi antager: For enhver talfølge: n a vil f n L Lad være givet og betragt J L ; L Læg nu for ethvert helt tal n i et interval I n om a, bestemt ved: I ; n a a n n Antag at ingen af disse intervaller bliver afbilledet helt ind i J, dvs ingen af dem opfylder Weierstrass krav: In f J Vi får nu en modstrid på følgende måde: f Vælg et k fra hvert I k, således at: k J Ifølge valget af erne vil der gælde:,,,, n a (Overvej dette!) Men ifølge beliggenheden af f( k ) erne holder disse sig alle uden for intervallet J, så derfor kan der ikke gælde: f k L Dette er i modstrid med, at påstanden skal gælde for enhver talfølge Altså kan vi konkludere, at ét af intervallerne I n vil blive afbildet ind i J Og dermed er Weierstrass definition opfyldt Hovedsætningen gælder specielt for kontinuerte funktioner og fortælle altså: δ-kontinuitet er ensbetydende med følgekontinuitet Følgekontinuitet appellerer til intuitionen og sætningen siger altså, at der ikke er noget galt med at fortsætte med at anvende intuitionen Men vi skal blot hele tiden have i baghovedet, at argumenterer vi ud fra følger, så skal argumentet holde for enhver følge Det kan af og til være svært at overskue, om det nu også er tilfældet som følgende eksempel i dimensioner illustrerer: Eksempel Talfølger og grænseværdi for funktioner af to variable Funktioner af to variable er naturligvis mere komplicerede end funktioner af én variabel Men det kan være lettere at se, hvilke fælder man kan lande i, ved at se på regneforskrifter for sådanne Lad os se på: y for ( y, ) (0,0) f(, y) y 0 for ( y, ) (0,0) 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

11 ISBN Projekter: Kapitel 4 Projekt 4 Weierstrass metode til at håndtere grænseværdiproblemer Funktionen er defineret i hele planen Hvad sker der med funktionsværdierne, når vi nærmer os (0,0)? Hvis vi bevæger os ind langs -aksen, er y 0, dvs funktionsværdierne er hele vejen ind Hvis vi bevæger os ind langs y-aksen, er 0, dvs funktionsværdierne er - hele vejen ind Hvis vi bevæger os ind langs linjen y i -y-planen fås funktionsværdien 0 hele vejen ind Ved at følge andre retninger ind mod (0,0) får vi endnu flere forskellige grænseværdier Konklusionen er, at der ikke er nogen grænseværdi i (0,0), og at f derfor ikke er kontinuert i (0,0) Eksemplet indgår i A-bogens kapitel, hvor der også på hjemmesiden ligger en graf som en interaktiv figur, man kan gå på opdagelse i 0 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf:

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Eksamensopgaver i matematik

Eksamensopgaver i matematik Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Quaternioner blev første gang beskrevet

Quaternioner blev første gang beskrevet vise sig indirekte, i forandret form, som f.eks. neurotiske symptomer eller fejlhandlinger. Det ubevidste er imidlertid ikke bare en art skjult bevidsthed, men er knyttet til træk ved mennesket, der er

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere