Differentialligninger 0. Elementær Matematik. Differentialligninger Parameterkurver Keglesnit

Transkript

1 Dinilligning Elmnæ Mmik Dinilligning Pmkuv Kglsni Ol Wi-Hnsn Køg Gmnsium 8

2 Dinilligning Indhold Indhold... Kp. Dinilligning.... Dinilligning øs odn.... Føs odns dinilligning.... Eksmpl på. odns dinilligning Fuldsændig løsning il dn linæ dinilligning øs odn...8. Dinilligning ndn odn...9. Wonski-dminnn.... Endighd n løsning Eksmpl på polm, d ø il dinilligning Tkks hængighd højdn ov jodovldn Kædlinin Numisk ingion dinilligning Dinilligningsmodll Folø n inlunz pidmi Dinilligning o vkslvikning mllm o d Konkund...7 Kp. Pmkuv...3. Indldnd gning...3. Vkounkion Tngn il n pmkuv Lod, vnd ngn og spids Undsøgls pmkuv Kuvlængd og ovsøg l...45 Kp 3. Kglsni...5. indldning...5. Ellipsn...5. Ellipsns ligning...5. Ellipsns pmmsilling Ellipsngn Ellipsns ldlini Hpln Hplns smpo Hpolsk unkion. Hplns pmmsilling Pln En sæning om ændsåln og nomln Kglsni Ellips Pl Hpl...6

3 Dinilligning Kp. Dinilligning. Dinilligning øs odn En dinilligning øs odn n ligning, hvo d oudn n unkion indgå dinilkvoinn dnn unkion. Hvis også dn. ldd indgå, så sigs dinilligningn væ. odn. Vi mind om skivmådn:. d d sm diniionn dinil n unkion. d d. Foml kn mn sig, dinil d ås vd "gng ov md" d i.. Vi skl ikk skæig os md dinilligning høj odn nd o. En øsodns dinilligning, kn skivs: d H,, d hvo H n vilkålig koninu unkion og. A løs dinilligningn vil sig smm ll d unkion:, d opld H,. Vi illus d md ksmpl:.3 Eksmpl. d Vi s på dinilligningn:. Dinilligningn kn ikk umiddl løss, mn vi gæ på d løsningn: n. Vi dini: n n D h nm inds, ll unkionn: n. løsning il dinilligningn ovno. D hl kkisisk, løsningn il n. odns dinilligning, kun sm på næ én ingionskonsn. Eksmpl ovno ikk kkisisk o d dinilligning vi skl s på, mn d vis lo, hvolds mn kn undsøg om n unkion løsning.. Føs odns dinilligning Vi h lld s på dinilligning, hvo ikk opæd i ligningn, dvs. n ligning omn:

4 Dinilligning 3 d.4 d D som knd h løsningn:.4 d ll F ; R, hvo F En linæ dinilligning.odn n ligning, hvo og kun opæd i. pons linæ. En sådn ligning kn skivs: d g g h d Hvis vi indskænk os il invll, hvo g, kn vi divid md g og ligningn å d udsnd: d.5 g h d hvis h sigs ligningn væ homogn: d g d Mn kn ngiv dn uldsændig løsning il n. odns dinilligning, mn ø vi vis d, skl vi s på dinilligning, hvo mn kn sp hængighdn og på hv sid lighdsgn. Vi skiv n sådn ligning: d.6 g h, hvo g og h koninu unkion. d Ld G væ n smunkion il g og H væ n smunkion il h. D gæld lså: Gg og Hh. Vi vil d vis ølgnd: Hvis sm vd ligningn GH, så n løsning il dinilligningn.6. Hvis n løsning, så ildssill dn ligningn: GH. Nå vi h vis d, h vi vis smlig løsning il dinilligningn giv vd: G H. Vi vis øs, id vi dini GH gln o diniion smmns unkion: d G H g h g h d Som vis, sm vd G H løsning il dinilligningn.

5 Dinilligning 4 Vi vis dnæs, id, ngs væ n løsning. Vil d vis G H, hvo n konsn, ll G - H. Vi dini vnssidn ligningn G - H G - H g - h g h Vi h i d sids udk nvnd, n løsning, så g h. Dinilkvoinn G-H idnisk nul, hvilk mdø G - H G H, hvomd sæningn vis. I pksis løss ligningn.6 vd spion d vil og ingion i ølgnd skid: d.7 h d g d h d g d G H Hvo dningn G og H dn smm som ø. g h d Vi kn hvd s, vi vd spion og ingion, nop nå m il dn uldsændig løsning. Nå vi ikk sn gjod d d odi gning md dinil mmisk "uldn". Bmæk ilsdvælsn ingionskonsnn. smms vd løsningn skl gå gnnm punk,, lså så..8 Mn kn vis ølgnd: Eksisns- og ndighdssæning o dinilligning øs odn. Hvis h din og koninu i invl I og g din og koninu i invl J, så inds d nop n løsning, som gå gnnm punk,, hvo I J..7 pæsn dn gnll mod il løsning øs odns dinilligning, d kn sps.. Eksmpl på. odns dinilligning.8 Eksmpl. Vi vil smm løsningn il dinilligningn d.9 k d hvo k n l konsn oskllig. F dinilgningn vd vi, ksponnill unkion h dn gnsk, dinilkvoinn popoionl md unkionn slv. Vi gæ do på løsningn k.. Vd diniion ås: k k k k k Som vis k løsning il ligningn. Vi vil nu løs ligningn m oml og dmd godgø k hvo. R Vi sp do ligningn som d vis i.7. Vi dl løsningn op i ilæld:

6 Dinilligning 5 Mn s umiddl løsning il dinilligningn. Dnn løsning klds o nulløsningn.. Mn udgn ingln på gg sid. d k d kd d kd d ln k k k k k k.9, R Dn sids omskivning mkomm, id R og sv il nulløsningn. Dnn opdling kkisik o d ls dnn p dinilligning, og mn vil i lmindlighd ikk gng dljn, nå mn opskiv løsningn. Dog d vigig, mn husk nulløsningn.. Eksmpl Dinilligningn ovno n d ms hppig i mng vidnsk. Fsik, økonomi og isæ iologi. I diss vidnsk vil o mn ikk lid gn idn. Nå mn dini md hnsn il idn, smm mn hsighdn,.ks. vækshsighdn o n populion. Smmnlign.ks. md diniionsligningn o hsighd og lion: s v v og, som i gænsn, hvo liv il n dinilkvoin. ds s v lim d og ds d v lim Nå n hsighd skivs ligningn og dns løsning d: d k.9 k, R d. Eksmpl. Eksponnil væks. Fo n populion ki, n olkning md ugæns dgng il ød, kn mn md god ilnæmls ng, o små idsum ng ilvæksn i populionn popoionl md populionns søls og md. D kn mn udkk: Vd ld k k gå imod nul, gnind mn dinilligningn.9 d d k k, R Hvis n populion h n væks, d ø il dinilligningn.9 l mn om ksponnil væks. D vis sig lig iologisk ognism, hund olkningsvæks i n gæns idspiod kn skivs vd ksponnil væks. D lig så kl, smmnhængn vil d smmn på ll nd idspunk, d n ksponnilunkion gå huig mod undlig.

7 Dinilligning 6 ln I sni om ksponnilunkion, så vi, mn kn gn odolingskonsnn T k.. Eksmpl. Vi skl nu s på n p dinilligning, d mind mg om.9, og som løss på smm måd. d.3 d Indø vi hjælpviln z z gæld: dz d og hmd: d d d d dz d z z Vi s løsningn sv il ksponnil væks, lo pllloskud på -ksn..3 Eksmpl En sø, som h volumn V, å ilø u li oun vnd p. døgn, økdln ouning gns q. F søn udlds dn smm mængd vnd u p. døgn. Vi vil opsill n dinilligning, d ngiv dn økdl, som søn oun md. Dn hsighd d/d, hvomd søn ouns h o idg: D ilø, som d u u d u Dinilligningn liv h: q q d V V d V u q, og d ld, som V D ss umiddl dinilligningn pn.3, hvoo vi dik kn opskiv løsningn: u V q u. V Ang vi søn n il idspunk, ind mn, q -q, hvo vi kn opskiv løsningn: u u q V q q V u D V o, vil søn nd md hv dn smm ouningsgd som d ilø spildvnd. Vi vil nu smm ouningsgdn, nå d ilø oun vnd, svnd il hlvdln søns volumn. Hmd u ½V, så vi ind q, 393q, svnd il 39,3%.4 Eksmpl. Logisisk væks. Anglsn om ugæns dgng il ød kun lisisk i gænsd idsum. En m lisisk modl å mn, hvis mn ng vækshsighdn popoionl md populionns søls som vd ksponnil væks, mn også popoionl md sndn il øv gæns M o populionns søls. Hvovid dnn modl spjl n populions udvikling, kn mn kun gø vd pøv modlln på n viklig populion. D vi ksplii l om væks, nvnd vi idn som uhængig vil. Vi kn nu opskiv dinilligningn: d.5 M d Hvo M sndn il dn øv gæns o populionn.

8 Dinilligning 7 Ligningn løss som ø vd spion, id mn mæk og M gg ivill løsning il ligningn. d d M D øs ingl ikk så ligil løs, mn d udgns vd n knik, d klds o udvikling på piløk. Vi osøg sålds skiv ingndn, som n sum o øk, hv kun md n ko. p q p M q pm q p M M M M Hvis dnn idni skl gæld o ll ølg d q p og pm dn ndn sid lighdsgn å vi dinilligningn: p q. Id vi l kon ov på M M d Md ln ln M M k M Vi h h ng > og < M, som v oudsæningn o modlln. Vd dukion vd hjælp logimgngl å mn: ln ln M M k ln M M k M M k Løs vi dnn ligning md hnsn il, og sæ k, hvo n posiiv konsn å mn løsningn:.5 M M M ll M M O s mn i løsningn s md /, hvo løsningn å dn simpl om:.5 M M og M slg ud modlln, mns slg vd populionns søls på giv idspunk..5 Eksmpl I n sø osokonnionn n unkion idn. I n modl oudsæs d d p. døgn udlds n konsn mængd oso, mns dn mængd d lds søn popoionl md konnionn. Mn kn opsill n dinilligning, d udkk, dn liv ilvæks i osokonnion i idsumm n konsn gngn minus n konsn gng gng. Vd ld gå imod nul å mn n dinilligning, som mn gnind som dn logisisk ligning. d d Fo dn pågældnd sø, og /. Endvid opld ligningn Bsm n oski o, og gn, sm vækshsighdn o osokonnionn il.

9 Dinilligning 8 Vd indsæ i løsningsomln.5 ind mn: 7,95 7 7, ,95, Løsningn liv d,, md 54, Vækshsighdn d/d, og dn smms vd dik indsæls i dinilligningn. d d,, 54 54,78.3 Fuldsændig løsning il dn linæ dinilligning øs odn Vi vil løs ligningn: d.6 g h d Hvo vi ng g og h koninu unkion, så d h n smunkion. Hvis G gn n smunkion il g, så G g, gng vi ligningn ignnm md G, hvd å mn G d d G g G h d d G G h Omskivningn ølg d d G G d d G G G d d G g Dn sids ligning kn umiddl ings il G G G G.7 h d h d Hvilk dn uldsændig løsning, id mn husk på d usm ingl lid kæv n iæ konsn ingionskonsn..8 Eksmpl. Bsm dn løsning il dinilligningn: Vi ind dik d, hvo > og som gå gnnm,-3. d G og G G d ln så ln ln Vd indsæning i løsningsomln ind mn d:

10 Dinilligning 9 4 d Løsningn gnnm,-3 inds vd indsæls,,-3 i løsningsomln: Dinilligning ndn odn En dinilligning ndn odn n ligning, hvo dn ndn ldd n unkion indgå. Vi vil indskænk os il g ligning omn d. ± k, hvo k d Tilæld k ss umiddl giv løsningn Dnn p ligning, kn ikk løss på smm måd som øs odns ligning, mn opgvn dn smm, undsøg om d inds løsning og i giv ld ind dm ll smmn. Vi vis øs sæningn: Hvis og løsning il dinilligningn., så nhv linkominion:. også n løsning. Vi skiv nu dinilligningn på omn d.3 m d, hvo m ± k Vi dini nu. o gng og å iølg gngln o diniion. d såvl og løsning il.3, gæld d: m og m, hvo ølg: m m m m hvilk vis, n løsning il dinilligningn.3.

11 Dinilligning. Wonski-dminnn I d ølgnd å vi ug o løsningsomln o o linæ ligning md o uknd md dminnmodn. Ligningsssm.4 h dminnn D Hvis D, h ligningsssm,4 nop n løsning giv vd.5 og Fo smm smlig løsning il dinilligningn: m d d, indø mn dn såkld Wonski-dminn o dinil unkion:.6 g g g g g W,.7 Eksmpl Wonski-dminnn kn udgns o o vilkålig dinil unkion. F.ks. og g sin. g W sin os os sin, I lmindlighd Wonski-dminnn n unkion, mn vi vil nu vis dn lid ovsknd sæning:.8 Hvis og løsning il dinilligningn.3, så Wonski-dminnn konsn. W, <> W, Dini mn W, - podukgln o diniion o d o ko ås:, W Anvnd mn nu, og løsning il dinilligningn.3, sålds m og m

12 Dinilligning ind mn:, m m m W så Wonski-dminnn konsn o o vilkålig løsning il.3. Vi d kl il vis hovdsæningn om dinilligningn.3. Hvis og løsning il dinilligningn m d d Fo hvilk d gæld W, n konsn oskllig, så kn smlig løsning skivs som n linkominion d o løsning. Vi h lld vis, løsning, hvis og løsning, så vi mngl lo, vis ll løsning kn skivs på dnn om. Hvis mn ikk sill kv om, og konsn, så kn mn lid smm unkion og, d ildssill ligningsssm: Dminnn o ligningsssm jo nop, W, som vi h ouds oskllig nul. Løsningn og kn iølg løsningsomln o ligningsssm skivs:,,,,,, W W W W W W D, og ll ng væ løsning, ll d indgåd dminn konsn iølg dn idlig sæning og dmd og konsn, hvilk vi skull vis. Vi vil nu løs dinilligningn m d d o m > og m <.. 8 Eksmpl m>: Vi sæ m k., hvo dinilligningn liv: k d d. Funkion, hvis ndn ldd popoionl md unkionn slv nn ksponnilunkion ll sin, osunkion. Nå konsnn posiiv d ksponnilunkion.

13 Dinilligning Vd dik indsæning ss k og k løsning, id k k k og k k k k k. Vi udgn d Wonski-dminnn o d o løsning., k k W k k k k k k k D Wonski-dminnn oskllig, kn vi opskiv dn uldsændig løsning:.8 k k. 9 Eksmpl m < : Vi sæ m - k d., hvo dinilligningn liv: k. d Funkion, hvis ndn ldd popoionl md unkionn slv nn ksponnilunkion ll sin, osunkion. Nå konsnn ngiv d sin ll os.unkion. Vd dik indsæning ss osk og sin k løsning. Vi nøjs md vis d o os k os k k sin k og os k k sin k k os k. Vi udgn d Wonski-dminnn o d o løsning. os k sin k W, os sin os sin k k k k k k k k k sin k k os k D Wonski-dminnn oskllig, kn vi opskiv dn uldsændig løsning:.8 os k sin k. Endighd n løsning Vd linilmn, oså mn punk, som løsningn gå gnnm, sm kuvns dinilkvoin i d punk. E linilmn kn.ks. skiv,, α. Hvis n løsning gå gnnmlinilmn gæld sålds: og α. D gæld ølgnd Sæning: Til hv linilmn,, α inds d n løsning il dinilligningn d m, som gå gnnm d linilmn. d Vi skl lså vis, d inds n løsning, som opld og α. Smlig løsning il dinilligningn kn skivs

14 Dinilligning 3 hvo og o løsning, hvis Wonski-dminn oskllig. Løsningsinglsn og α kn do skivs: α D kn gs som ligningsssm md d uknd og. Ligningsssm dminn imidlid, som nop Wonski-dminnn o d o løsning, som vi h vis konsn, og som vi h oudsg oskllig nul. D ligningsssms dminn oskllig nul, h ligningn nop n løsning og, hvilk vi skull vis.. Eksmpl Bsm il dinilligningn 4 dn løsning, hvis g gå gnn A,6 og i punk A h n ngn md hældning. Ligningn omn k md k, så vi kn dik opskiv løsningn. md Løsningsinglsn : 6 og Løsningn liv h 4. Eksmpl Bsm il dinilligningn 9 dn løsning, hvis g gå gnn 3, 9 π P og i punk P h n ngn md hældning -6. Ligningn omn 3 k md k, så vi kn dik opskiv løsningn. 3 sin os3 md 3 os 3 sin 3 3 Løsningsinglsn: π π og 6 9 os3 3 9 sin sin 3 9 os3 π π π π 6 3 os 3 3 sin sin 3 os π π π π 3 3 3

15 Dinilligning Ligningn løss ls, vd gng dn sids ligning md - 3 og lægg ligningn smmn, hvd å mn: Løsningn liv h 3 os3 sin 3 Dinilligningn d k h dn uldsændig løsning: osk sin k d Vi ønsk smm vædimængdn o dnn unkion. D opnås vd smm l A og φ, sålds og kn skivs på omn: Aosφ og Asinφ Asinϕ A d o ligning å mn vd division n φ Aosϕ Kvds d o ligning og dds å mn A os sin ϕ ϕ, Hvo mn ind : A. Indsæ mn d undn udk o og i udkk o løsningn, å mn dnæs: Aosϕ os k sinϕ sin k Aos k ϕ D sids udk sklds n omskivning vd hjælp dn øs d ddiionsoml, d lv udld i vkogningn. Bmækning: I sikkn, hvo løsningn il dinilligningn løsningn il n hmonisk svingning, og hvo s md idn, skiv mn i lmindlighd løsningn som: Aosϕ os k sinϕ sin k Aos k ϕ D sv il mn h s φ md φ i dn øvs ligning, hvilk dog hvd vik lid kunsig på d sd Hvd nn mn nvnd d n ll d nd udk, så d indlsnd vædimængdn o løsningn [-A, A], d vædimængdn o osinus [-, ]. A klds o mpliudn i svingningn og φ klds o gndlsssn. kφ klds o sn. φ klds o gndlsssn.

16 Dinilligningsmodll 5 3. Eksmpl på polm, d ø il dinilligning I ll nuvidnsk, mn også i iologi og økonomi, opæd dinilligning, som sv på polm. Vi vil h giv nogl ksmpl, hn sikkn. 3. Tkks hængighd højdn ov jodovldn Vi g kssom udsni mosæn. Al ndldn gns A. Kssn ind sig i højdn ov jodovldn. Kssn h højdn. Tkk på ovsid og undsid gns p og p. Mssldn o lun i højdn h gns ρ. Vi mind om kn på n ld md l A F pa, hvo p kk på ldn. Vi udkk nu, osklln i kn på undsid og ovsid lig md ngdn dn lu, d ind sig i kssn. D odi lun i kssn i hvil. p p dp 3. ρ g d pa - p A m lu g ρv lu g ρa g Divids dnn ligning md A å mn: Fo løs dinilligningn 3., må vi imidlid knd ndnu n smmnhæng mllm ρ og p. Dn kn vi imidlid å :. ilsndsligningn o idl gss: PV nrt, m. diniion molmss m nm n, sm M m 3. diniion mssld: ρ m ρv. V Indsæs nmlig d o sids ligning i ilsndsligningn ind mn: m ρv PV nrt RT RT ρ M M M RT P D udk o mssldn indsæs så i 3., som h giv: dp Mg 3. p d RT Som knd g mpun. md o C o hv m, mn komm il vjs, mn vi ng øs, mpun konsn op ignnm mosæn. Løsningn il dinilligningn 3. knd, så vi ind:

17 6 Dinilligningsmodll 3.3 p p Mg RT Indsæs d knd vædi o konsnn: M 9 g/mol, g 9.8 m/s, R 8.3 J/molK og T 73 K, ind mn: p p hvo skl måls i m. D giv kld på,3% p. m og % p. m. Vi s dnæs på løsningn il dinilligningn, hvis mpun g linæ md C, p. m. Tmpun vd jodovld sæs il C 93 K. Tmpun i højdn do: T T 93 /. Dinilligning liv h: dp Mg 3.5 p d R93 Dnn ligning løss på sædvnlig vis vd spion og ings: p p dp p Mg R d 93 p p dp p Mg 93R d β md β 93 Ligningn ings il giv: 3.6 Mg p Mg Rβ ln β p p β 93 p Rβ 93 ln Udgns kk 3.6 giv d kun nldning il vigls 3.4 på,, %. 3. Kædlinin

18 Dinilligningsmodll 7 Kædlinin gnlsn o dn kuv, som n kæd ov, kl dnn, nå dn ophæng i o punk. F gn dn ngnill k, som kædn påvik vd. Dn vnd komposn F uhængig, d kædn i hvil i vnd ning. Dn lod komposn kn F i minimumspunk, d kn F vnd i d punk. A d ølg, F lig md ngdkn, d vik på kædn il. Fo længdn kuvn, giv vd, il, h vi i inglgningn udld udkk 3.7 l d Hvis kædns mss p. længdnhd µ, ngdn skk µ l g, hvo g som sædvnlig gn ngdlionn g 9,8 m/s. Kn F F nθ, hvo θ gn ngnhældningn, og dmd F F. Vi smmn d. l d og F F µ l g F µ g d µ g 3.8 d F A dnn dinilligning ss, n smunkion il og d gæld do: 3.9 g F µ g F µ, som n dinilligning pn: k, hvo µ g k n posiiv konsn. F Fo løs dn sæ vi z og dmd z. H ligningn du il ølgnd.odns dinilligning: 3. z k z Ligningn 3. kn løss, mn d kæv kndsk il d såkld hpolsk unkion. 3. Eksmpl. Hpolsk unkion. Mn din hpolsk osinus skivs osh og hpolsk sinus skivs sinh, vd ligningn: 3. osh og sinh nvn o diss unkion komm, d h mng gnsk, som lign dm vi knd sin og os. Fo ksmpl å mn vd diniion:

19 8 Dinilligningsmodll 3.3 osh sinh og sinh osh Endvid gæld gundlionn mllm os og sin i n lid modii om: osh sinh D gæld lså 3.4 osh sinh Vi løs nu dinilligningn 3. vd spion. dz dz z k z k z kd d z dz z kd Fo udgn ingl på vns sid, og vi susiuionn zsinh > dzoshd og sinh - z. Vi å d dz osh d kd kd z sinh osh d k d k k osh sinh z k z sinh k Id z ings dn sids ligning il osh k k µ g Susiu vi nu ilg i dn opindlig ligning k ind mn slulig: F F 3.5 µ g osh µ g F D sids udk vis, dn kuv som n kæd indsill sig n hpolsk osinus-unkion. Konsnn og smms vd gndlssinglsn. 4. Numisk ingion dinilligning Som oml i indldningn sni om dinilligning, d kun å p ligning, d h n nlisk løsning. D sids d, mn kn smm n oski udk md lmindlig unkionsgn, som ildssill dinilligningn. I nd ilæld, mn hnvis il løs ligningn numisk, hvilk d, s md n gndlssingls og gn sig m i små skid h. D inds dskillig mod il løs n dinilligning numisk. Diss mod n dl dn mmisk disiplin, d klds numisk nls.

20 Dinilligningsmodll 9 And ksmpl på numisk nls.ks. nulpunk o n unkion vd Nwon-Rphsons mod ll numisk udgning ingl vd Simpsons oml. Vi skl kun s på dn ms simpl mod, som også klds o Euls mod. Euls mod s på d ppoimnd. gds polnomium, som lv oml i dinilgningn. En unkion dinil i 4. h h εhh, hvo εh n psilonunkion din vd: εh > o h >. I d ppoimnd. gds polnomium h ppoim vd 3 ld. D øs nul odn i h konsn, d næs øs odn i h h og d sids ndn odn i h h på gund psilon unkionn. Hvis h lill l,.ks. h,, så h -4, dn gund å d sids ld mind dning, og dningn g md gnd h. Ld os ng, vi h giv n dinilligning: g, Euls mod do ppoim h md h. D vil giv ølgnd vædi: 4. h h g, h h h g, h Fjln i hv skid popoionl md h, mn hvis h smm ogn, vil jln kkumul., dvs. ækk i dn smm ning. Numisk løsning dinilligning sk nu om dg lid på n Compu.

21 Dinilligningsmodll En d mod, som ilskivs Aikn, kn ngivs, hvis mn som gndlssvædi knd og h. h kn.ks. væ und vd hjælp Euls mod ud. Mn smm nu h på ølgnd måd: h g h h h h, h g h h h h, Og sådn mdls. Mn kn vis, jln vd dnn mod hv skid popoionl md h 3. Ovno d o mod osøg illus gisk. I pksis nvnd mn ndnu m vnd mod. D ls pogmm nvnd nu dn såkld Rung-Ku 4. odns mod, hvo jln popoionl md h 4. Ndno vis dn nlisk og dn numisk løsning dinilligningn d d ksmpl.3. Mn s kun n kuv, så dn numisk mod mg god i d ilæld. 5. Dinilligningsmodll Nå mn l om n modl, mn mn o mmisk udk, d kn skiv nogl d, som i lmindlighd også hæ md sisisk usikkhd. Nå mn nvnd od modl, så d i lmindlighd, odi skivlsn ikk dn uldsændig sndhd, mn lo s

22 Dinilligningsmodll på nogl imlig o simpl ngls. Fo d smm ænomn, kn mn o opsill l modll, d hv o sig skiv dl d md imlighd. Himod l mn om n oi, nå d gs som dn uldsændig skivls ænomn. En skivls, d ikk kn ods dlig. Som ksmpl på n oi, kn mn i mmikkn.ks. nævn plngomin, dinil- og inglgningn og i dn klssisk sik.ks. Nwons gviionslov og Einsins livisoi, hvoimod ilsndsligningn o idl gss oi, hvis idlgss ksisd i nun, hvilk d næsn gø, mn smm gund nogn gng gns som n modl. D ksmpl vis skl s på h imidlid gnlig modll, som lng umm ll dljn d, som d pæsn. 5. Folø n inlunz pidmi. Uddls n pidmi i lmindlighd n mg kompli pos, d sklds ilældighd. Dn dødlig SARS, d lv udd i l lnd, væs i Kin og i dn vslig vdn Cnd, sklds dn omsændighd, n jkæ-hndl ovnd på innionl hol, hvo sgdommn huig lv spd il l lnd gnnm luhvnsminl mv. D ligg i sgns nu, mn ikk kn opsill n mmisk modl o n sådn uddls. E d ksmpl d inlunz pidmi, d md jævn mllmum mm Euop og USA. H kn mn god opsill n simpl modl o uddlsn i n æ populion md N individ. D kn væ n so. D inlunz smi ovøs vd då inkion udånding, d væsnlig hl populionn h mulighd dik ll indik væ i sisk konk md hinndn. Vi indø øs nogl gnls: R Rsk: Anll pson, d ndnu ikk smid il idspunk S Sg: Anll pson, d smid, og som kn ovø smin il idspunk. I Immun: Anll pson, d h væ sg, og som lv immun idspunk. D vil il hv idspunk gæld: R S I N D modlln s på sndsnlighdsgumn, indø vi også d ilsvnd økdl: R Bøkdln sk pson. N S s Bøkdln sg pson. N I i Bøkdln immun pson. N D vil il hv idspunk gæld: s i Som lid ngiv diniion md hnsn il idn hsighdn, hvomd n søls ænds. Hvis, d minds n sg vil væ n gnd unkion. Hsighdn, hvomd dn g vil und dn ms simpl ngls, væ popoionl md sndsnlighdn o n sk mød

23 Dinilligningsmodll n sg. Dnn ign popoionl md nll økdln sg gng nll økdln sk. Vi kn sålds skiv, hvo n popoionliskonsn: d 5. s d D n sg pson idsum liv sk ll dø, må hsighdn, hvomd mn liv immun væ popoionl md s, md n popoionliskonsn. di 5. s d Fo opsill n dinilligning o s, nvnd vi nomlisingsinglsn s i, som vi dini: d ds di d d d ds d d d di d ds 5.3 s s d Mn kn også dik inds 5.3, id n pson, d ikk læng sk, lv sg. Så økdln sg voks md dn smm ko s, mn g smidig popoionl md s, d n sg liv sk ll dø n vis piod. D 3 kold dinilligning h ikk nogn knd nlisk løsning. Dinilligningn løss imidlid l på n Compu og pssnd mmikpogm. Pogmm, som vis løsningn på ndnsånd g, mi g, kld Mhm, som æld DOSs pogm, skv i Tuo Psl 7. Fssælsn konsnn og, kn.ks. sk vd smmnlign md kull d, h h vi vilkålig vlg, sæ.5 og.33. Dn sids konsn kn gunds vd n smi pson kn ovø smi i 3 dg, så n djdl.333 liv immun ov døgn. På dn næs g h vi ign s.5, mn ng piodn, hvo mn kn smi 7 dg, så.4 /7. I gg ilæld s mn nll sg voks op, o d ld ign. Bmæk, mn i modlln ng sgdommn udvikl sig hl i, og mn ikk vin ll isol d sg, som d v ilæld md SARS. I d øs ilæld d miml nl sg 8%, mns d i d nd ilæld. 38% - n mg væsnlig oskl. I d øs ilæld liv. 58% smid, mns d i d nd ilæld hl opp på 96%. Hvis mn jus på, å mn nuligvis hl nd kuv.

24 Dinilligningsmodll 3

25 4 Dinilligningsmodll Modlln kn nvnds, hvis mn i sn n pidmi h nok indsml d il kunn skønn ov og, så kn mn å skøn ov hvo læng pidmin vil v og hvo mng sgdomsilæld, mn kn ovn. 5. Dinilligning o vkslvikning mllm o d En d m knd mmisk modll dn, som skiv vkslvikningn mllm o d. Vi vil h hndl o oskllig p vkslvikning, nmlig ovd- og o, d konku om smm dgng il ød. Som i d oig ilæld, gg modlln på nogl hl simpl ngls, d sl ikk g højd o dlj ll ilældighd, hvilk lid ilæld i nun. Alligvl kn modlln givn n gnl skivls nogl ilæld i nun. Ld os ng, d i n skov lv æv og mus. Anll æv il idspunk, gn vi, mns vi gn nll mus il idspunk md m. Hvis d v l om ugæns dgng il ød o gg p, og hvis ingn n v d o n nd, så vill såvl og m udvikl sig ksponnil, og do ildssill dinilligningn: d dm 5.4 k og kmm d d Nu dgngn il ød o ævn hængig nll mus, mn d vil vi på dn ms simpl måd indgg i modlln vd gø k k m il n unkion m m, nll mus.

26 Dinilligningsmodll 5 Hvodn k m hæng m, kn vi ikk vid, nd nd k m må væ n voksnd unkion m. Dn ms simpl ngls do, k m n voksnd linæ unkion m, sålds, 5.5 k m m -, hvo og posiiv konsn, d sm hvd modlln skl nvnds på. På hl ilsvnd vis kn mn gumn o k m k m n gnd unkion, nll æv. Vælg vi også h n linæ smmnhæng 5.6 k m - d å mn o n dinilligning: d dm 5.7 m og d m d d Bmæk lighdn md dn logisisk ligning. Bgg ligning vill nmlig væ logisisk, hvis mn sd m md i dn øs ligning og md m i dn ndn ligning. Ligningn h hll ikk nogn nlisk løsning, mn d kn løss numisk på smm måd, som vi gjod d i d øs ksmpl. Ndno vis n løsning, hvo vi h vlg gndlssvædin m, 9, 354, indsml n svnsk skov. D indgånd konsn slg vd,,.8,, d.. Mn s dlig, n piod md mng mus å sndn æv il voks, som d å sndn mus il ld, som å sndn æv il ld, som å sndn mus il voks. D klisk olø, og d o lv i n slgs økologisk smios. D mæklssvædig, slv om d ovd og d, så kn ingn dm ovlv udn dn ndn. Hvis mn uddd ll ævn, vil musns nl voks ud ov dn gæns, hvo d kn ind ød. Rsul vnul, d ll dø. Figun ndno vis smidig sndn æv og sndn mus, som unkion idn

27 6 Dinilligningsmodll Divid vi dn sids dinilligningn 5.7 op i dn øs ind vi ølgnd ligning 5.8 d dm m d m Dnn ligning kn imidlid sps il giv: d m 5.9 d dm m Ligningn kn nu ings. m 5. dm d m m d d ln Hvo k n ingionskonsn, d sm gndlssinglsn. Ligningn 5. nsndn og kn do hvkn løss mh. il ll m. Mn kn dog s nogl gnll gnsk ud 5.9. Fo dm, og h ognsviionn,, -, hvis d posiiv og -,, hvis d ngiv. D vis m h såvl mimum m og minimum og væg sig mllm diss o vædi. Nog hl ilsvnd kn sigs om. I sd o nvnd 5., o slægg smmnhængn mllm og m gisk, vil vi ign løs d o dinilligning 5.7, mn ild, m som n pmkuv. Ndnsånd øs vis indd il mmikpogmm og dnæs,m gn. ln k

28 Dinilligningsmodll 7 Ovnsånd g sådn s ikk ovsknd, mn dn indhold mng dlj, som mn ikk kn slu sig il udn nvndlsn n mmisk modl. 5.3 Konkund Vi skl nu s på ksmpl på n modl, d skiv o d, d konku om n gæns mængd ød. Vi vil hold d o populion nonm, og gn dm md og, så gn nll individ il idspunk og gn nll individ il idspunk. Dn logisisk ligning n modl o n populion, hvis søls h n øv gæns. D.ks. ilæld, hvis d kun n gæns mængd ød il ådighd. D do imlig i øs omgng, opsill dn logisisk ligning o d o populion. d d 5. M og M d d Imidlid hæmm d o populion hinndn væks, så vi iløj hæmmnd ld o dn ndn populion i hv d o ligning. d d 5. M og M d d Fø vi s på ksmpl på n numisk løsning, vil vi lv nogl gnll gning. Bsndn konsn, d ligvæg, hvis d/d. Tilsvnd o sndn. D ø il ligningn. 5.3 M og M

29 8 Dinilligningsmodll Ligning h ud ov d ivill løsning: Løsningn M ll M 5.3 M og M ll M og M D o ligning msil hv n lini i - plnn. Hvis linin h skæingspunk, h vi n smidig ligvæg o d o populion. Ligningsssms dminn imidlid D -, så D. Hvis ll < ll < d ingn ælls ligvægsilsnd nd nd dn ivill ll o d o populion. Slv om d inds n ligvægsilsnd, så d ikk sikk, dn sil. Sili kæv, n oskdning ligvægssilsndn ø ilg il ligvægsilsndn og ikk læng o dn. Som ksmpl på n sil ligvæg, kn mn ænk på n old, d ligg i undn n hlvkuglom skål. En oskdning ligvægsilsndn vil ø kugln ilg mod undn. Som ksmpl på n usil ligvæg, kn mn ænk på lnnumm. En oskdning lnilsndn vil ø sngn læng o ligvægsilsndn. Ndno vis 4. g ig. 5.5 il ig. 5.8, hvo d o lini 5.3 indgn o oskllig vædi d indgånd pm. Endvid ognn o d/d og d/d mk md pil. Som mn s, d ingn ligvæg i d o øs igu. Enhv oskdning vil ø il udddls dn n. På ig 5.7 d ælls punk md ligvæg, mn dnn ligvæg ikk sil. I ig. 5.8, dimod d n sil ligvægsilsnd, som kn oolks på ølgnd måd: Hvis d o gg gæld, dn n hæmm dn ndn mind nd dn hæmm sig slv, så d n mulighd o sil ligvæg.

30 Dinilligningsmodll 9 Ndno vis ksmpl på n numisk løsning på dinilligningn. D md vædin: M ;,;,8; M 6;,5 ;,5. Bmæk, diss vædi opld inglsn på ig Øvs vis n løsning, hvo mn h s,, mn hvo mn h s md 5 oskllig gndlssvædi. Som d mgå, konvg løsningn i ll ilæld mod dn smm ligvægsilsnd 84, 5. Ndno vis o sp g o og, svnd il n gn ovno.

31 3 Dinilligningsmodll E nogl hidsig ænding i gndlsn silis d sig vd d smm konvgnspunk, som vis på dn øs g.

32 Pmkuv 3 Kp. Pmkuv. Indldnd gning Nå vi hidil h hndl unkion, så h d lid væ unkion, hvo diniionsmængd og vædimængd dlmæng d ll l. Funkionsg imidlid spililæld d m gnll ildningsg. Diniion. Ld d væ giv o ikk omm mængd A og B. Vd n ildning A ind i B, som skivs: : A B osås n oski, som il hv lmn i n dlmængd A, kn og kun lmn i B. D lmn i A, som h illd i B, klds o diniionsmængdn o ildningn, og d lmn i B, som illd lmn i A, klds o illdmængdn. D lmn i B, som kn il lmn i A vd ildningn, klds o illd og skivs Hvis d o vilkålig o lmn og i A, gæld: sigs ildningn væ injkiv, og hvis hv lmn i B illd lmn i A, sigs ildningn væ sujkiv. Hvis n ildning åd injkiv og sujkiv sigs dn væ n ijkion.. Vkounkion Ld V gn mængdn vko i plnn. En vkounkion d n ildning R ind i V.

33 3 Pmkuv Hvis gn idn, og punk P væg sig und i plnn, vil punk skiv n kuv. D d nop n posiion P il hv idspunk, d n ildning R ind i mængdn punk i plnn. Hvis OP sdvkon il d punk, kn vi din n vkounkion på ølgnd måd:. OP Vi å dog ug o sndsg mllm o vko. Vd sndn mllm o vko og, oså mn længn ds dinsvko. Md dnn diniion, vi nu i snd il din, n vkounkion h n gænsvædi, dn koninu og dinil.. Diniion: gå imod o gånd mod, som skivs o ε > δ > : < δ < ε.3 Diniion: koninu i o

34 Pmkuv 33.4 Diniion: dinil i hvis og kun hvis økn: h n gænsvædi og klds o dinil- o gånd mod. Gænsvædin, hvis dn ksis gns kvoinn i. D kn skivs m kompk:.5 lim Bhndlingn vkounkion lign på mng måd hndlingn ll unkion, id n vko unkion kn ops som d o ll koodinunkion. Udn så mg omsvø, vil vi do sslå:.6 n vkounkion koninu, hvis og kun hvis gg koodinunkionn koninu..7 n vkounkion dinil, hvis og kun hvis gg koodinunkionn dinil. Rgngln o koninui og diniili ølg gngln o ll unkion. 3. Tngn il n pmkuv På igun ndno illus g ngn o n pmkuv. D o nopunk P og P sv il unkionsvædin i og sv il n skn på kuvn. Fo > vkon. Vkon

35 34 Pmkuv md, dvs. ns md vkon. Fo sdig vil væ md. < vkon gud, mns Hvis dinil, vil gænsvædin lim væ lig md dinilkvoin- n. Smidig vil gænssillingn ngnvko il kuvn. hvis dn ikk nul-vkon væ n md 3. D ø il ølgnd diniion: Hvis dinil i, og nulvkon, så sigs gn o hv n md hlvngn i. 3. Eksmpl. Smmnhængn mllm kinmik væglsslæ og pmkuv. Hvis gn idn, så sv il n vægls i plnn. Dinilkvoinn v vil væ hsighdn i væglsn og vil væ lionn. F sikkn h mn ovg dn konvnion mn gn længdn n vko md d smm ogsv udn vkosg ov. Fn i væglsn længdn hsighdsvkon v v. Sølsn lionn giv vd længdn lionsvkon: 3.3 Eksmpl. Jævn lin vægls. 3 3 En jævn lin vægls giv vd n pmmsilling: 4 3 Mn ind hsighdn vd diniion koodinunkionn: v 4 Mn s hsighdn n konsn vko. Fn v I nogl ilæld, kn mn opnå n ligning o pmkuvn vd limininion. I d ilæld d mg simpl, id mn ind: 3 3 /3 inds i 4 > 4/3 5. Hvilk mn gnknd som ligningn o n lini. 3.4 Eksmpl. Skå ks. Bvægls i ngdl. 8 Vi g n vægls giv vd n pmmsilling: Mn ind hsighdn vd diniion koodinunkionn: v 6 8 Bgndlsshsighdn o v og gndlsshsighdn v Alionn konsn ndd lig md ngdlionn v Bvæglsn s,. Vi vil smm d idspunk, hvo pikln ign mm -ksn. 5 6,.

36 Pmkuv 35 Vi indsæ d sids idspunk i udkk o 9,6. Dnn vædi klds o ksviddn. Sighøjdn inds vd sæ v 6, 6, som indsæs i ,6, 8 v 6 Endlig kn mn gn ksvinkln υ som n υ υ 36,9 v 8 Til slu vil vi smm ligningn o nkuvn vd limin Vi gnknd udkk som ligningn o n pl. En såkld kspl. På gn ndno nkuvn vis smmn md hsighdsvkon i nogl punk Eksmpl. Jævn iklvægls. 3os Vi g n vægls giv vd n pmmsilling: 3sin A nkuvn n ikl ss l vd udgn 9 os 9sin 9os sin 9. Bnkuvn n ikl md ligningn 9. Hsighdsvkon inds vd diniion: 6 sin v 6 os D mæks,, hsighdsvkon vinkl på dius vko, lngs ngnn.

37 36 Pmkuv Vi ind dnæs lionsvkon: os v sin Hvo ss, lionn il sdighd mods, lså mod num, hvoo lionn gns nipllionn. D v idlig n dl sikpnsum på dn mmisk lini. 3. Lod, vnd ngn og spids. Hvis n pmkuv dinil i og, så gæld d, hvis, så h kuvn n lod ngn i. hvis, så h kuvn n vnd ngn i. Hvis ikk dinil i, mn dinil høj og vns, lså, hvis åd lim og lim ksis, mn, så sigs pmkuvn hv n spids i. D.ks. ilæld på kuvn vis ndno, Nå mn vil gn spidsns åningsvinkl, ngiv mn d ikk som vinkln mllm og mn som vinkln mllm og. Vinkln gns vd lmindlig vko gning, som: osv

38 Pmkuv Undsøgls pmkuv En undsøgls n pmkuv udøs i pinipp på smm måd som n unkionsundsøgls, osklln ligg i, hvolds mn oolk suln.. Skæing md koodinksn. Fo smm skæingn md -ksn skl mn løs ligningn. Ld os ng, mn ind løsningn Tilsvnd o smm skæingn md -ksn skl mn løs ligningn. Ld os ng, mn ind løsningn Mn lv d n ognsviion som vis på ndnsånd igu. D mn kn læs ognsviionn ud ov skæing md ksn hvilk kvdn kuvn olø i. D mk på dn øvs llini. Hvis > og <, olø kuvn.ks. i 4. kvdn. Tilsvnd smm mn posiionn vnull lod og vnd ngn vd løs ligningn og. Ld os ng, 6 7 og 8 9 Mn lv d ligsom ø n ognsviion o og. Vis ndno på igun.

39 38 Pmkuv Ud ov kunn s, hvo d lod og vnd ngn, så kn mn læs i hvilkn ning kuvn olø i hv monooniinvlln. Udn knd il gnlig søpunk, kn mn h å ovlik ov kuvns olø. Ndno gn gn o n pmkuv, som opld kvn d o ognsviion: 4. Eksmpl. Ndno vis n Compulv kuvundsøgls, n pmkuv, som lign kuvn ovno. Blnd nd skæingn md ksn og d lod og vnd ngn sm, ndlig gn gn.

40 Pmkuv Eksmpl. Fikløv. Hvoo dnn pmkuv h å d nvn, mgå igun ndno. Pmmsillingn : 3sin os os 3sin 3sin sin sin Pmkuvn kn ops som n jævn iklvægls, mn md n dius, som vi mllm og 3 md n piod på π. Ndno vis n Compulv kuvundsøgls, sm gn o pmkuvn.

41 4 Pmkuv 4.3 Eksmpl. Ckloidn. Ckloidn n klssisk pmkuvn. D dn kuv som punk ælgn på hjul skiv, nå hjul ills sd. Fo smm pmmsillingn, gs ndnsånd igu. A igun mgå: CP OC OP os sin 3 sin 3 os π π Pmmsillingn liv d: os sin Bg vi kloidn, som n unkion, så ss d dn piodisk md piodn π. Dinilkvoinn liv: sin os

42 Pmkuv 4 Id h kloidn ingn ngn o. Fo lligvl å indlik i kuvns olø omking, kn vi g ohold o gånd mod høj og vns. D ohold nmlig ngnhældningn i punk. sin os os sin. os sin sin H ss, lim og lim Vi slu h, kloidn h n lod spids i punkn pπ, p, ±, ±, Ndno vis n ompu undsøgls kloidn ulg n g. D også udgn ovsøg l, hvilk vi skl vnd ilg il.

43 4 Pmkuv 4.4 Eksmpl. Akimds spil. Akimds spil, mkomm vd mn udø n jævn iklvægls, smidig md dius voks popoionl md djningsvinkln. Ld vi os sin så gæld d sin os I sin ms simpl om pmmsillingn do os sin osα og m gnl sinα Fo hsighdn ind vi: os sin v sin os Ndno vis gn o n Akimds spil.

44 Pmkuv 43 Også på dnn igu d gn p ngn, sm mk ovsøg l. 4.5 Eksmpl. Logimisk spil. Dn logimisk spil n spil, hvo din voks popoionl md, mns djningsvinkln voks popoionl md logimn il. Dn logimisk spil do næsn undlig lng id om og n omgng. Ndno vis n ompuundsøgls n logimisk spil md pmmsillingn.. os ln. sin ln

45 44 Pmkuv 4.6 Eksmpl. Uådsjg. Åsgn il dn logimisk spil mdg, dn komm ud som løsning i n sm slgs polm. Ld os ng n dso og n uåd å visul konk, hvo d ind sig i sndn d hinndn. Uådn dkk sks nd og g lugn udn ænd kus md n sm hsighd u. Dson kn sjl md n v. D ngs, v > u. Polm nu, om dson kn sjl på n sådn måd, dn vil mød uådn liggldig, hvilkn kus uådn h g. Siuionn illus ndno, hvo d også indlg pssnd koodinssm. Uådn vil ind sig på n iklpii md dius u. Løsningn o dson, dn skl sjl på dn smm pii indil dn h nå n omgng. D hsighdn v > u, skull d pinipil væ mulig. Føs skl dson sjl dik mod uådn il punk, på dn iklpii, hvo uådn ind sig. D nm ind, id d må gæld: u v d, så d/uv. Vi gnd nlsn ud d punk, som vi sæ il.

46 Pmkuv 45 Opgvn simpliis, hvis vi skiv dsons posiion, i polæ koodin. D knd igonomin, hv punks koodin kn skivs som:, osϕ, sinϕ Vi skiv d dsons pmmsilling som osϕ sin ϕ D kl, dilhsighdn. Dn u ds, d ovsgs, nå vinkln oøgs md d ϕ ds d ϕ. ds dϕ H ølg d, ngnilhsighdn ϕ d d D dson il sdighd skl ind sig på smm iklpii, skl dn sjl md smm dilhsighd u. H ølg, u ll u. Dsons kvdodn kvdsummn dil og ngnilhsighd. Vi å sålds: v u uϕ som kn løss mh. ϕ il giv. v u v u ϕ α ϕ α ln hvo vi h s α u u d idspunk, hvo jgn lngs piin gnd. d/uv. Fo simplhds skld sæ vi og ind: ϕ α ln. Vi indsæ nu d i pmmsillingn og s, dsons n nop vil væ n logimisk spil. u os α ln u sin α ln Vi kn osigig osøg vud, hvo lng id d vil g dson o sjl n hl omgng, og hvo lng væk uådn så komm. Vi ng do u kno og v 5 kno. Vi ind d α,83. Vi skl d løs ligningn: αln π,83ln π. > 3,98, på hvilk idspunk uådn h sjl 3,98 sm 37,8 sømil 689 km. 5. Kuvlængd og ovsøg l Figun ndno nd, hvolds vi vil ind længdn n kuv og d l som ovsg mllm o idspunk. Fomln udlds vd ininisimlgning. Vd gningn kuvlængdn g vi un ds, svnd il dn ininisiml ilvæks d. Fo ininisiml ilvæks, vil d gæld: ds d d d d ds d d d d Vi ind sålds omln 5. ds d s d

47 46 Pmkuv Hvis mn skl smm l mllm kuvn og -ksn, så kn d gøs på o oskllig måd.. Hvis mn kn ind n ligning o kuvn: vd limin pmn, så kn l mllm kuvn og -ksn udgns som lmindlig ingl. 5. A d. Slv om mn ikk kn limin pmn, kn mn i nogl ilæld lligvl smm l mllm kuvn og -ksn, id mn opskiv 5.3 A d d Hvis mn dimod ønsk smm d ovsøgn l mllm pmvædin og, s vi igun ovno, d ininisiml l da, som ovsg i idsumm d, så d hlvdln d plllogm, som udspænds d d. D l, kn ign udkks på l måd: d da d, d d, d d d

48 Pmkuv 47 Skl mn udgn l md dnn oml, så må mn dl op i invll, hvo dminnn h d smm ogn, og så iløj minusgn, d hvo dn ngiv. Mn ind d ølgnd oml: 5.4 d A d da 5.5 Eksmpl. Vi vil undsøg pmkuvn giv vd pmmsillingn:. 3 R Skæing md -ksn: Skæing md -ksn: Fognsviion: Dinilkvoin:. 3 R Lod ngn: 3 - ± Vnd ngn: - Fognsviion: Til høj gn n kuv, som i ovnssmmls md d o ognsviion. Som d ss, h kuvn dolpunk, lså o oskllig -vædi, d giv d smm,. E dolpunk kn pinipil smms vd løs d o ligning md d o uknd og.

49 48 Pmkuv og. D ligning ldig linæ så h kuvn nmlig ikk dolpunk, mn hnvis il gæ sig m. Hvis vi gæ dn n -vædi, kn mn o ind dn ndn. Vi gæ s gn ndno på, som giv, -6,8. Dnæs løs vi ligningn: 8 4 8, som inds giv, -6,8. Vi ønsk gn vinkln mllm ngnn i dolpunk og H ind mn 99, os v v Ndno vis kuvundsøglsn md mmikpogm, sm dn igig g. Kuvn gæns omåd plnn. Vi ønsk smm l d omåd. D ud d ogånd kl, ndn omåd gnnmløs -4 il. Vi nvnd do lo omln 5.4. d A D udkk ss, væ ngiv i invll [-4, ] skl vi ski ogn. Vi å d.

50 Pmkuv A 4 d , Hvilk d smm sul, som mmikpogmm å. D o minusgn n mind jl i pogmm

51 5 Pmkuv

52 Kglsni 5 Kp 3. Kglsni. indldning Kglsni n gnls o oskllig gomisk igu, nmlig llips, hpl og pl. Gundn il ællsgnlsn kglsni nuligvis, d ll kn mings som snikuv mllm n pln og n kgl. Fø vi vis d sids, vil vi giv n lniv diniion d kuv.. Ellipsn En ikl dins som d gomisk sd o d punk P som h dn smm snd giv punk C. Punk C gns num og sndn o dius.. Tilsvnd dins n llips, som d gomisk sd o d punk P, hvis snd o givn punk F og F h n givn som, sndn gn posiiv. F og F gns som llipsns ændpunk. På igun ovno, h vi indlg koodinssm, md -ksn gnnm F og F, mns - ksn dl liniskk F F, sålds OF OF. I d koodinssm må llipsn, sålds væ smmisk md hnsn il såvl som -ksn. Punkn A,B,C og D ngs væ på llipsns skæingspunk md d o koodinks. D gæld sålds.ks. F A F A og F B F B Spil må F A F B, på gund smmin, hvo ølg F A F A F B F A AB så A -, og B,. klds o llipsns hlv soks. Bg vi punk C llipsns n skæing md -ksn, så må d på gund smmin gæld: F C F C, id F C F C, d C ligg på llipsn. Vi sæ OC OD, hvomd C og D å koodinn: C, og D, -,. klds o llipsns hlv lillks. Vi giv ndvid F og F koodinn F -, og F,,

53 5 Kglsni hvo < < l, som klds o llipsns nii. mål o ldkningn llipsn i ohold il iklomn, som nås, nå. d nmlig F F. Nå, ud llipsn il n lini. A dn vinkld kn OCF å mn umiddl:. Ellipsns ligning Svnd il iklns ligning, vil vi nu smm n ligning o llipsn. D gøs ls vd ind udk o d o ændsål il punk P, på llipsn. Vd nvndlsn sndsomln ind mn: H ås: F P og F P F P F P 4, id ll d øvig ld gå ud mod hinndn. Vd n omskivning md n kvdsæningn å mn d F P F P F P F P 4 Smidig gæld d, d P ligg på llipsn: F P F P Vd divid dnn ligning op i ovnsånd, å mn d o ligning: F P F P og F P F P som nm løss il giv: F P og F P Indsæ mn nu d øs udk i ligningn: F P å mn: som kvding og dukion giv: id ø d il llipsns ligning,.

54 Kglsni 53 Fo smm skæingspunkn md ksn sæ mn ll, hvd å mn umiddl ± og ±, som vi vids i ovjn. Hl på smm måd, som d gæld o n ikl, kn mn ind ligningn o n llips md num i,..3. Ellipsns pmmsilling Sæ vi os og sin, [,π ], d n pmmsilling o n kuv. Vi vil vis kuvn n llips. Mn ind mn nmlig: os og sin, hvo ølg: os sin. Punk, ligg på llipsn. os.4, [,π ] sin klds o llipsns pmmsilling. Bdningn pmn imidlid ikk hl indlsnd, som vis på igun ndno Foudn llipsn, h vi gn n ikl md num i llipsns num og dius lig md llipsns hlv soks. Hvis Q, os, sin punk på llipsn P os, sin punk på ikln, som vis på igun. sålds ikk ningsvinkln o punk Q, som mn måsk umiddl skull o. klds o llipsns nisk nomli..3 Ellipsngn Mn kn god smm n ngnligning o llipsn vd isol i llipsns ligning, og dini d o udk, mn d ø il lid uovskulig gning. Mg l d, smm ngnvkon il pmkuvn. Vi vil smm ngnligningn i punk, sin os Id os og sin ind mn: sin og os, og hmd ngnhældningn: Tngnligningn inds h på sædvnlig vis : α, hvis mn insæ hældningn α, å mn sålds:

55 54 Kglsni D sids lighdsgn mkomm, odi, ligg på llipsn. Ligningn o n ngn il llips, gnnm punk, do.5.4 Ellipsns ldlini D vis sig, mn kn giv n lniv diniion n llips. En llips d gomisk sd o d punk, hvo ohold mllm sndn giv punk og n givn lini konsn lig md <. På igun gn n llips, sm n lini md ligningn /. D høj ændpunk F,. Vi vil smm d punk, hvo ohold mllm sndn il F og sndn il n lini lig md <. Hvis mn kvd og odn ligningn ind mn: Unødvndig sig, så h llipsn o ldlini, som sv il hv si ændpunk 3. Hpln En hpl d gomisk sd o d punk, hvis snd o givn punk F og F, h n konsn numisk dins. Klds Hpln o H, gæld d sålds: P F F P H P

56 Kglsni 55 Hvis d o ændpunk F og F liggnd på -ksn, smmisk om -ksn, så må hpln ud diniionn væ smmisk mh. -ksn og -ksn. Dn må ndvid så o dskil gn på gund numisk gn. F P F P F P F P F P F P Hpln skæ -ksn i o punk A og B, odi ligningn ovno h o løsning på -ksn. På gund smmin gæld ndvid: F A F. H ølg: B F B F B F B F A AB, så AB. A og B h do koodinn -, og,. Vi giv F og F koodinn: F -, og F,, hvo >. D il oskl llipsn hvo < <. Udldningn hplns ligning ølg do uldsændig udldningn llipsns ligning, og udgningn kn ovgs dik, indil mn nå ligningn: H husk mn >, så dn omskivs, så ll ld posiiv. Fo hpln din mn:, hvo vi kn skiv hplns ligning. 3. Bmæk dn omll lighd md llipsns ligning. Dn ns mn væsnligs oskl minusgn mllm d o ld på vns sid.

57 56 Kglsni På smm måd, som o llipsn, inds n lniv diniion hpln. 3.3 En hppl d gomisk sd o d punk, hvo ohold mllm sndn giv punk og n givn lini konsn lig md >. Udldningn d sk hl på dn sm måd som o llipsn, vd opsill ohold. md >. 3. Hplns smpo På igun md pln ovno indgn o lini md ligningn ±. Vi vil vis diss o lini smpo il hpln. Vi mind om: Linin n skå smpo il gn o, hvis og kun hvis: o ll - Hvis mn løs hplns ligning mh. ind mn: ±. Fo > og >, s vi d på osklln: o Hvilk vis skå smpo il o. D øvig ilæld viss på hl smm måd. Md indølsn smpon, kn vi også skiv, hvo mn kn læs. Linin, skæ nmlig smpon i, id:. 3. Hpolsk unkion. Hplns pmmsilling I mmikkn din mn hpolsk osinus og hpolsk sinus vd udkkn: sinh osh og Slv om gn o osh og sinh mg oskllig gn o os og sin, så h d n ækk gnsk, som mind sæk om hinndn. osh og sinh dog ikk piodisk. Gundlionn o os og sin sin os liv.ks. il sinh osh

58 Kglsni 57 A d sids ilæld ss vd n simpl udgning. osh 4 sinh 4 D ligså nm vis lionn: osh osh sinh og sinh sinh osh Ndno gn o sinh og osh vis. Vi mind om, n pmmsilling o llipsn v, os, sin. Vi vil nu vis,, osh, sinh n pmmsilling il hpln. D ølg omskivningn, osh,sinh. A lionn osh sinh ind mn: 3.4 osh sinh

59 58 Kglsni 4. Pln En pl dins om d gomisk sd o d punk, som h smm snd giv punk F og n givn lini l. F klds o plns ændpunk og l klds o plns ldlini. Bmæk, pln md dnn diniion gænsilæld mllm llipsn og hpln, hvo ohold mllm sndn v hnholdsvis < < og >. Pln sv do il. Vi indlægg pln, som vis på gningn, så koodinssms gndlsspunk O ligg på p pln. På igun h vi giv ændpunk koodinn F,. D O ligg på pln 4 OF diso, l, så ldlinin må hv ligningn p 4, hvo p klds o plns pm. Fo vilkålig punk P,, udkk vi d lo, PF disp, l p 4 p 4 Vd kvd og sml lddn å mn: 4. p Mn s umiddl, d ligningn o pln spjl i linin. p

60 Kglsni En sæning om ændsåln og nomln En omdjningspoloid, kld n pol dvs. n pl d o 8 om -ksn, h mng knologisk nvndls, som olgn på n il, i lommlg, il modg TVsignl slli, som diolskop i sonomin osv. osv. Al d gg på ølgn sæning som vi vil vis. Hvis mn ning n lskild i ændpunk n pol lg md indvndig spjl, så vil ll d lkd sål væ pllll lksionn. Omvnd hvis n pol mms und sål pllll md polns ks, så vil d ll smls i ændpunk. D sids nop gundn il poln nvnds som nnn, id d indkommnd signl i hl polns væsnisl, vil smls i ændpunk, hvo mn ning modgn. Slv om sæningn ld simpl, dn lligvl lid ik vis. På igun gn ændsåln FP. L ldlinin og iølg plns diniion FP PT. Endvid h vi gn ngnn i P, og nomln i P. Opgvn gå d ud på vis indldsvinkln i og lksionsvinkln lig so, i. Plns ligning : p. Fo d o plgn gæld do: ± p. Vi nøjs md s på dn øvs plgn, hvo p. Vi mæk øs, FP PT, så FPT lign. Vi vil d vis, ngnn så vinkl på FT, lså højd på FT. Mn hvis d ilæld, så ngnn også midnoml på FT og vinklhlvingslini o vinkl FPT. Hældningn o linin FT : α FT p p p 4 4 Hældningskoiinn o ngnn inds som dinilkvoinn : p p p

61 6 Kglsni H øl d : p α FT, p hvo vi slu, ngnn vinkl på FT, hvilk v hvd vi ønskd. D ølg så: v u. D o vinkl u lig so, d d opvinkl o o skænd lini. Nå v u imidlid i, id i v 9 og u Kglsni En kgl kn mings vd o n lini 36 omking n ks, som liv kglns smmiks. Vinkln mllm linin og ksn kglns hlv åningsvinkl α. Figun il vns vis 3 oskllig sni md n pln og kgln. I d øs ilæld, dnn plnn n vinkl md ksn, som sø nd α. Snikuvn liv n llips.en ikl hvis vinkln md ksn 9. I d nd ilæld dnn plnn n vinkl md ksn, som lig md α. Snikuvn liv n pl. I d dj ilæld dnn plnn n vinkl md ksn, som mind nd α. Snikuvn liv åd i kglns øv og nd dl. Snikuvn n hpl. Hvis vinkln, og ksn ligg i plnn, liv snikuvn o lini, som skæ hinndn i kglns oppunk. Kld o ming. D påsnd, hvo vi vil søg vis o dm. Til vis å vi gngn gng ug o n sæning gomin. Hvis n vinkls o n ng n kugl, så sndn vinklns oppunk il ngnns øingspunk dn smm.

62 Kglsni 6 D vlknd og mg l vis, sndn n ngnvinkls oppunk il d o øingspunk dn smm. D illus på igun il vns. På igun il høj vinkln ngnvinkl il n kugl. Snikuvn mllm dn pln som vinkln udspænd og kugln n ikl. Snikuvn mllm n kugl og n pln lid n ikl. Vinkln i dnn pln imidlid ngnvinkl il snikuvn, hvo sæning ølg ilæld plngomin. 5. Ellips Figun il høj vis d øs ilæld. Vi vil vis, snikuvn n llips. Vi indlægg nu o kugl i kgln, som ng sniplnn i punkn F og F. Kugln ng kgln i o ikl, som d mgå igun. Asndn mllm ikln KL. M punk på plnns snikuv md kgln. Vinkl KMF ngnvinkl il dn lill kugl. Do MK MF. Tilsvnd Vinkl LMF ngnvinkl il dn so kugl. Do ML MF. Vi å sålds: MF MF ML MK LK Vi h sålds vis, o vilkålig punk på snikuvn gæld, summn sndn il F og F konsn lig md, hvo ølg snikuvn n llips Id F F og BC, d liv nm ud gomin vis, v dn vinkl som ksn dnn md sniplnn. 5. Pl os v osα, hvo

63 6 Kglsni Pln n dl m spidsindig nd llipsn. Sniplnn vlg så dn plll md n ming. Som ø indlægg mn n kugl som ng såvl kgln som sniplnn. Dn pln som øingsikln dnn md kgln gns og dns skæingslini md sniplnn gns l. P punk på snikuvn. Gnnm d punk gns n pln plll md øingsiklns pln gg vinkl på kglns ks. Id vi nvnd iguns gnls, ss d vinkl FPL ngnvinkl il kugln, så FP PL. Endvid ss d, MP RN og NP l og NQ RS. Vi ind do: FP PL SQ RN MP Fo vilkålig punk P på snikuvn gæld d ån, d h smm snd il F og l. Snikuvn må do væ n pl. 5.3 Hpl Hpln dn vnskligs vis. Figun hn n min læog i mmik 958. Vi skis vis ndno ud gningn. Vi vil vis, snikuvn mllm kgln og sniplnn n hpl Som vd llipsn og pln, indlægg mn, nu o kugl som ng sniplnn og kgln. På gund oionssmmin, må snikuvn hv n smmilini. En ming n lini, som snikuv mllm kgln og n pln, som indhold kglns ks. På igun vis o ming Smmilinin skæ mingn i punkn B og C. Diss ligg på hv sin sid kglns oppunk A. D o kugl, ng snipln i F og F. M punk på snikuvn. MF MK, id MK og MF ngn il smm kugl. Liglds MF ML. D gæld sålds: MF MF MK - ML KL KL dn konsn snd mllm d o pllll øingsikl mål på n ming. Spil sndn KL BC, id B og C punk på hpln. BC hplns soks. Fosklln mllm sndn vilkålig punk M på snikuvn il F og F konsn, hvilk d, snikuvn n hpl.

64 Kglsni 63