Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, ( , ) Per Bruun Brockhoff

Transkript

1 Kursus Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, ( , ) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark perbb@dtu.dk Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

2 Oversigt 1 Hypotesetest - en repetition Hypotesetest og konfidensintervaller 2 Styrke og stikprøvestørrelse 3 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Generel formulering Med kendt varians Med "ukendt" varians - store stikprøver Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Eksempel 1 - fortsat 4 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 1 - fortsat Eksempel 2 5 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat 6 R (R note 7) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

3 Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, ( , ) Hypotesetest ( , ) Test og konfidensintervaller Hypotesetest for to gennemsnit Randomisering og parring R Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

4 Hypotesetest - en repetition Oversigt 1 Hypotesetest - en repetition Hypotesetest og konfidensintervaller 2 Styrke og stikprøvestørrelse 3 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Generel formulering Med kendt varians Med "ukendt" varians - store stikprøver Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Eksempel 1 - fortsat 4 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 1 - fortsat Eksempel 2 5 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat 6 R (R note 7) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

5 Hypotesetest - en repetition Hypoteser nul hypotese testes mod en alternativ hypotese H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 Bemærk: bevisbyrden er lagt på H 0. Man vælger enten at acceptere H 0 eller at forkaste H 0 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

6 Hypotesetest - en repetition Hypoteser Et par tommelfingerregler ved formulering af hypoteser: I nulhypotesen anvendes så vidt muligt lighedstegn = I den alternative hypotese placeres det udsagn som man gerne vil vise Den alternative hypotese kan enten være ensidet eller tosidet, afhængig af hvad man gerne vil vise tosidet: ensidet: < eller > Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

7 Hypotesetest - en repetition Hypoteser Når man tester statistiske hypoteser, kan man i princippet begå to typer af fejl: Type I: Fejlagtig forkaste H 0 når H 0 er sand Type II: Fejlagtig acceptere H 0 når H 1 er sand Vi definerer: P (fejl af type I) = α P (fejl af type II) = β Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

8 Hypotesetest - en repetition Eksempel: formulering af hypoteser Et ambulancefirma påstår at det i gennemsnit tager 20 minutter fra et opkald til centralen modtages indtil en ambulance er på stedet. Eksempelvis kan vi have målt tiderne: Hvis vi f.eks. ønsker at påvise, at det i gennemsnit tager længere tid end 20 minutter, bliver nul- og alternativ hypotese: H 0 : µ = 20 minutter H 1 : µ > 20 minutter Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

9 Hypotesetest - en repetition Eksempel Hvilke fejl kan begås? Type I: Fejlagtig forkaster H 0 når H 0 er sand dvs. man fejlagtig konkluderer at det tager længere tid for ambulancen at nå frem end 20 minutter Type II: Fejlagtig accepterer H 0 når H 1 er sand dvs. man fejlagtig konkluderer at det tager 20 minutter for ambulancen at nå frem Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

10 Hypotesetest - en repetition Valg af signifikansniveau α Man vælger signifikansniveau α ud fra hvor stor type I fejl man kan acceptere Typisk vælges α = 5% Såfremt man vil reducere fejlen for en type I fejl må α vælges mindre, f.eks. α = 1% Et mindre signifikansniveau betyder at det bliver sværere at påvise H 1 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

11 Hypotesetest - en repetition Trin ved Hypotesetest 1 Opstil hypoteser og vælg signifikansniveau α (vælg "risiko-niveau") 2 Beregn teststørrelse (se på data) 3 Beregn p-værdi vha. teststørrelse(mål forskellen på data og hypotesen) 4 Samenlign p-værdi med signifikansniveau og drag en konklusion alternativt til (3)-(4) kan testet udføres ved at sammenligne teststørrelse med kritisk værdi Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

12 Hypotesetest - en repetition Hypotesetest og konfidensintervaller Sammenhæng mellem hypoteseprøvning og konfidensintervaller Vi betragter (1 α)100% konfidensinterval for µ (eksempel for lille n og ukendt σ): x t α/2 s n < µ < x + t α/2 s n Konfidensintervallet svarer til acceptområdet (af H 0 ), når man tester hypotesen (med to-sidet alternativ): H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

13 Styrke og stikprøvestørrelse Oversigt 1 Hypotesetest - en repetition Hypotesetest og konfidensintervaller 2 Styrke og stikprøvestørrelse 3 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Generel formulering Med kendt varians Med "ukendt" varians - store stikprøver Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Eksempel 1 - fortsat 4 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 1 - fortsat Eksempel 2 5 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat 6 R (R note 7) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

14 Styrke og stikprøvestørrelse Styrke og stikprøvestørrelse Hvordan kan sandsynligheden for fejl påvirkes? Ændre signifikansniveau α Øge stikprøvestørrelsen, n Testets styrke defineres ved 1 β Afsnit 7.7 Krævet stikprøvestørrelse givet en ønsket styrke: ( n = σ z ) 2 β + z α (µ 0 µ 1 ) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

15 Hypotesetest for to gennemsnit Oversigt 1 Hypotesetest - en repetition Hypotesetest og konfidensintervaller 2 Styrke og stikprøvestørrelse 3 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Generel formulering Med kendt varians Med "ukendt" varians - store stikprøver Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Eksempel 1 - fortsat 4 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 1 - fortsat Eksempel 2 5 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat 6 R (R note 7) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

16 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Eksempel 1 I et ernæringsstudie ønsker man at undersøge om der er en forskel i energiforbrug for forskellige typer (moderat fysisk krævende) arbejde. I studiet har man målt energiforbruget for 9 sekretærer, som forventes at have et stillesiddende arbejde, og 9 sygeplejersker, som forventes at have et lidt mere fysisk betonet arbejde. Målingerne, angivet i MJ, er givet i nedenstående tabel: Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

17 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Eksempel 1 A (sekretærer) B (sygeplejersker) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

18 Hypotesetest for to gennemsnit Generel formulering Hypotesetest for to gennemsnit Vi sammenligner gennemsnit (middelværdier) af 2 stikprøver Stikprøve 1: n 1, x 1 og s 2 1 Stikprøve 2: n 2, x 2 og s 2 2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

19 Hypotesetest for to gennemsnit Generel formulering Formulering af Hypoteser nul hypotese testes mod en alternativ hypotese (her vist for et to-sidet alternativ) H 0 : H 1 : µ 1 µ 2 = δ µ 1 µ 2 δ Man vælger enten at acceptere H 0 eller at forkaste H 0 (Typisk er man interesseret i at teste med δ = 0) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

20 Hypotesetest for to gennemsnit Med kendt varians 2. Beregning af teststørrelse Ved hypoteseprøvning af 2 middelværdier (µ 1 og µ 2 ) for data, der antages normalfordelt og varianser σ 2 1 og σ 2 2 er kendte, fås teststørrelsen Z = ( X 1 X 2 ) δ σ 2 1 /n 1 + σ 2 2 /n 2 Det følger under nul hypotesen at Z N(0, 1 2 ). Herfra kan testets p-værdi beregnes Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

21 Hypotesetest for to gennemsnit Med kendt varians Sammenligning med kritisk værdi Ved hypoteseprøvning af to middelværdier (µ 1 og µ 2 ) for data, der antages normalfordelt og σ1 2 og σ2 2 er kendte, fås Alternativ Afvis hypotese nul-hypotese hvis µ 1 µ 2 < δ Z < z α µ 1 µ 2 > δ Z > z α µ 1 µ 2 δ Z < z α/2 eller Z > z α/2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

22 Hypotesetest for to gennemsnit Med "ukendt" varians - store stikprøver Beregning af teststørrelse Ved hypoteseprøvning af to middelværdier (µ 1 og µ 2 ) for data hvor σ 2 1 og σ 2 2 er ukendte, men for store stikprøver, fås teststørrelsen Z = ( X 1 X 2 ) δ s 2 1 /n 1 + s 2 2 /n 2 Det følger under nul hypotesen at Z N(0, 1 2 ). Herfra kan testets p-værdi beregnes. Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

23 Hypotesetest for to gennemsnit Med "ukendt" varians - store stikprøver Sammenligning med kritisk værdi Ved hypoteseprøvning af to middelværdi for data hvor σ1 2 og σ2 2 er ukendte, men vi har store stikprøver, fås Alternativ Afvis hypotese nul-hypotese hvis µ 1 µ 2 < δ Z < z α µ 1 µ 2 > δ Z > z α µ 1 µ 2 δ Z < z α/2 eller Z > z α/2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

24 Hypotesetest for to gennemsnit Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Beregning af teststørrelse Ved hypoteseprøvning af to middelværdier for data der antages normalfordelt hvor σ 2 1 og σ 2 2 er ukendte (men med σ 2 1 = σ 2 2), og stikprøverne er små, fås teststørrelsen hvor t = ( X 1 X 2 ) δ s 2 p/n 1 + s 2 p/n 2 s 2 p = (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n 2 2 Idet t t(n 1 + n 2 2) kan testets p-værdi beregnes Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

25 Hypotesetest for to gennemsnit Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Sammenligning med kritisk værdi Ved hypoteseprøvning af to middelværdi for data der antages normalfordelt og σ1 2 og σ2 2 er ukendte, og for små stikprøver: Alternativ Afvis hypotese nul-hypotese hvis µ 1 µ 2 < δ t < t α µ 1 µ 2 > δ t > t α µ 1 µ 2 δ t < t α/2 eller t > t α/2 Ved opslag i tab. 4 vælges v = n 1 + n 2 2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

26 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 - fortsat Eksempel 1 A (sekretærer) B (sygeplejersker) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

27 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 - fortsat Eksempel 1 - fortsat Udfør et hypotesetest om energiforbruget (i middel) ved de to typer arbejde er ens. Anvend signifikansniveau α = 5% Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

28 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Oversigt 1 Hypotesetest - en repetition Hypotesetest og konfidensintervaller 2 Styrke og stikprøvestørrelse 3 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Generel formulering Med kendt varians Med "ukendt" varians - store stikprøver Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Eksempel 1 - fortsat 4 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 1 - fortsat Eksempel 2 5 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat 6 R (R note 7) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

29 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Beregning af konfidensinterval for forskel i middelværdi For store stikprøver beregnes et (1 α)% konfidensinterval ved: s 2 1 x 1 x 2 ± z α/2 + s2 2 n 1 n 2 (kendes σ 2 1 og σ 2 2 anvendes disse i stedet for s 2 1 og s 2 2) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

30 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Beregning af konfidensinterval for forskel i middelværdi For små stikprøver (ukendte σ 2 1 og σ 2 2) (men med σ 2 1 = σ 2 2) beregnes et (1 α)% konfidensinterval ved: x 1 x 2 ± t α/2 (n 1 1)s (n 2 1)s 2 2 n 1 + n n n 2 Ved opslag i tabellen over t-fordelingen (tab. 4) vælges antal frihedsgrader v = n 1 + n 2 2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

31 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 1 - fortsat Eksempel 1 - fortsat, konfidensinterval Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

32 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 2 Eksempel 2 I et studie er man interesseret i at sammenligne 2 sovemidler A og B. For 10 testpersoner har man fået følgende resultater, der er givet i forlænget søvntid (i timer) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

33 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 2 Eksempel 2 - fortsat person A B Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

34 Parret t-test Oversigt 1 Hypotesetest - en repetition Hypotesetest og konfidensintervaller 2 Styrke og stikprøvestørrelse 3 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Generel formulering Med kendt varians Med "ukendt" varians - store stikprøver Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Eksempel 1 - fortsat 4 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 1 - fortsat Eksempel 2 5 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat 6 R (R note 7) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

35 Parret t-test Parret t-test Vi betragter nu en situation hvor vi vil sammenligne 2 middelværdier, men hvor data er parret Hypotesetestet foregår derfor ved at undersøge forskellen, D i, mellem de parrede observationer: D i = X i Y i for i = 1, 2,..., n Vi kan herefter beregne middelværdi D og varians S 2 D for D. Test af D gøres nu som de sædvanlige test for én middelværdi Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

36 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat Eksempel 2 - fortsat person A B D = B A Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

37 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat Eksempel 2 - fortsat Udfør et hypotesetest sovemidlerne er lige effektive. Anvend signifikansniveau α = 5% Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

38 R (R note 7) Oversigt 1 Hypotesetest - en repetition Hypotesetest og konfidensintervaller 2 Styrke og stikprøvestørrelse 3 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Generel formulering Med kendt varians Med "ukendt" varians - store stikprøver Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Eksempel 1 - fortsat 4 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 1 - fortsat Eksempel 2 5 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat 6 R (R note 7) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

39 R (R note 7) R (R note 7) > x1=c(10,13,16,19,17,15,20,23,15,16) > x2=c(13,16,20,25,18,16,27,30,17,19) > t.test(x1,x2,alt="less",conf.level=0.95,var.equal=true) Pooled-Variance Two-Sample t-test data: x1 and x2 t = , df = 18, p-value = alternative hypothesis: difference in means is less than 0 95 percent confidence interval: -Inf sample estimates: mean of x mean of y Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40

40 R (R note 7) Oversigt 1 Hypotesetest - en repetition Hypotesetest og konfidensintervaller 2 Styrke og stikprøvestørrelse 3 Hypotesetest for to gennemsnit Eksempel 1 Generel formulering Med kendt varians Med "ukendt" varians - store stikprøver Med "ukendt" varians - små stikprøver, normalfordelinger Eksempel 1 - fortsat 4 Konfidensinterval for forskel i middelværdi Eksempel 1 - fortsat Eksempel 2 5 Parret t-test Eksempel 2 - fortsat 6 R (R note 7) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 7 Foråret / 40