Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2."

Transkript

1 Plan Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Introduktion Philip Bille Algoritme Algoritme Algoritme Algoritmer og datastrukturer Eks: Max i tabel Hvad er det? Algoritmisk problem: præcist defineret relation mellem input og output. Algoritme: metode til at løse et algoritmisk problem. Beskrevet i diskrete og entydige skridt. Matematisk abstraktion af program. Datastruktur: Metode til at organise data så det kan søges i eller manipuleres Maxproblemet: givet en tabel A[..n] find et tal i, således at A[i] er maksimal. Input: tabel A[..n]. Output: et tal i, i n, så A[i] A[j] for alle indgange j i. Algoritme til maxproblemet: Gennemløb A og vedligehold nuværende maximale indgang. Returner den til slut.

2 Beskrivelse af algoritmer Naturligt sprog. Program. public static int findmax(int[] A) { int max = 0; for(i=0; i< n; i++) if (A[i] > A[max]) max = i; return max; } int findmax(int* A, n) { int max = 0; for(i=0; i< n; i++) if (A[i] > A[max]) max = i; return max; } Pseudokode. def findmax(a): max = 0 for i in range(len(a)): if A[i] > A[max]: max = i return max fun findmax [] = raise Empty findmax [x] = x findmax (x::xs) = max(x, findmax xs) Pseudokode Beskrivelse af algoritmer FindMax(A, n) max = 0 for i = to n if (A[i] > A[max]) then max = i return max Naturligt sprog, pseudokode eller program? Som (imperativt) programmeringssprog men uden sprogspecifikke ting. Nemt at implementere og analysere.

3 Toppunkter Toppunkter Lad A[..n] være en tabel. En indgang A[i] er et toppunkt hvis det ikke er mindre end dets naboer: A[i-] A[i] A[i+] A[] toppunkt hvis A[] A[] og A[n] er toppunkt hvis A[n-] A[n]. (Tænk A[0] = A[n+] = - ) Toppunkter Algoritme Toppunktsproblemet: Givet en tabel A[..n] find et tal i, således at A[i] toppunkt. For hver indgang i A, check om den er et toppunkt. Returner det første toppunkt. Som input/output relation: Input: En tabel A[..n]. Output: Et tal i, i n, så A[i] er et toppunkt.

4 Pseudokode Teoretisk analyse Toppunkt(A, n) if A[] A[] return for i = to n- if A[i-] A[i] A[i+] return i if A[n-] A[n] return n T(n) = antallet af skridt som en algoritmen udfører på et input af størrelse n. Skridt = Læsning/skrivning til hukommelse (x := y, A[i], i++,...), aritmetiske/ boolske operationer (+,-,*,/,%,&&,, &,, ^,~), sammenligninger (<,>,,, =, ) og program-flow (if-then-else, while, for, goto, funktionskald,..) T(n) kaldes tidskompleksiten eller køretiden af algoritmen. Interesseret (næsten altid) i værstefaldstidskompleksitet = maksimal køretid over alle input af størrelse n. Køretid Eksperimentiel analyse Toppunkt(A, n) if A[] A[] return for i = to n- if A[i-] A[i] A[i+] return i if A[n-] A[n] return n c (n-) c c Hvordan opfører algoritmen sig i praksis? Passer den teoretisk analyse med den eksperimentielle analyse? T(n) = c + (n-) c + c T(n) er lineær funktion af n: T(n) = an + b, for passende konstanter a,b>0 I asymptotisk notation: T(n) = Θ(n)

5 0 Alg Algoritme Givet en tabel A[..n] løser Algoritme toppunktsproblemet i Θ(n) tid., Stemmer overens med praksis. sek. for 000 kørsler Kan vi gøre det bedre?, 0 00k 00k 00k 00k 900k.m.m.m.m.9m tabel str. Algoritme Algoritme findmax(a, n) max = for i = to n if A[i] > A[max] max = i return max c n c c Algoritme = FindMax Det maximale element er også et toppunkt. T(n) = c + n c + c = Θ(n) Samme asymptotisk køretid som algoritme. Bedre konstanter?

6 0 Alg Alg Algoritme Givet en tabel A[..n] løser Algoritme toppunktsproblemet i Θ(n) tid., Er hurtigere i praksis en algoritme. sek. for 000 kørsler Kan vi gøre det betydeligt bedre?, 0 00k 00k 00k 00k 900k.m.m.m.m.9m tabel str Algoritme Snedig ide: Kig på en vilkårligt indgang A[i] og dens naboer A[i-] og A[i+]. A[i] er et toppunkt => returner i. Ellers: A er lokalt voksende i mindst en retning. => Der findes et toppunkt i den voksende retning Kig på miderste indgang A[m] og dens naboer A[m-] og A[m+]. A[m] er et toppunkt => returner m. Ellers: A er lokalt voksende i mindst en retning. Find toppunkt i en lokalt voksende retning rekursivt. => Vi kan smide resten af tabellen væk og stå tilbage med enten A[..i-] eller A[i+..n].

7 Toppunkt(A,i,j) m = floor((i+j)/) if A[m-] A[m] A[m+] return m elseif A[m-] > A[m] return Toppunkt(A,i,m-) elseif A[m] < A[m+] return Toppunkt(A,m+,j) Kig på miderste indgang A[m] og dens naboer A[m-] og A[m+]. A[m] er et toppunkt => returner m. Ellers: A er lokalt voksende i mindst en retning. Find toppunkt i en lokalt voksende retning rekursivt. Køretid Et rekursivt kald tager konstant tid. Hvormange rekursive kald laver vi? Et rekursivt kald halverer størrelsen af tabellen vi kigger på. Vi stopper når tabellen har størrelse.. rekursive kald: n/. rekursive kald: n/. k te. rekursive kald: n/ k. => Efter log n rekursive kald har tabellen størrelse. => Køretiden er Θ(log n) 0 Alg Alg Alg Algoritme Givet en tabel A[..n] løser Algoritme toppunktsproblemet i Θ(log n) tid. sek. for 000 kørsler, Meget, meget hurtigere end algoritme og., 0 00k 00k 00k 00k 900k.m.m.m.m.9m tabel str.

8 Opsummering Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Algoritme Algoritme Algoritme Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Søgning Flettesortering

9 Søgning Lineær søgning En tabel A[..n] er sorteret (i ikke-faldende rækkefølge) hvis A[] A[] A[n] Søgningsproblemet: Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x. Undersøg for alle indgange A[i] om A[i] = x. Tid: Θ(n) Binær søgning Analyse Kig på midterste indgang m i A. A[m] = x: færdig A[m] < x: fortsæt rekursivt på højre halvdel. A[m] > x: fortsæt rekursivt på venstre halvdel. Stopper når tabellen har størrelse Hvor hurtigt kører den? Analog til analyse af rekursiv toppunktsalgoritme. Et rekursivt kald tager konstant tid. I hver rekursion halverer vi tabellen vi kigger på. Vi stopper når tabellen har størrelse. Køretiden er Θ(log n)

10 Alternativ analyse T (n) = ( T (n/) + c hvis n> d hvis n = Lad T(n) være køretiden for binær søgning. Opskriv og udregn rekursionsligningen for T(n). T (n) = ( T (n/) + c hvis n> d hvis n = n T (n) =T + c n = T + c + c n = T + c + c + c. n = T k + ck. n = T log n + c log n = T () + c log n = d + c log n = (log n) Søgning Lineær søgning løser søgningsproblemet i Θ(n) tid. Binær søgning løser søgningsproblemet i Θ(log n) tid. Sortering

11 Sortering Anvendelser 0 0 Sorteringsproblemet: Givet en tabel A[..n] returner en tabel B[..n] med samme indhold som A men i sorteret orden. Oplagte: Sortere en liste af navne, organisere et MP bibliotek, vise Google PageRank resultater, vise Facebook feed i kronologisk rækkefølge. Ikke oplagte: Datakompression, computergrafik, bioinformatik, anbefalingssystemer (film på Netflix, bøger på Amazon, reklamer på Google,..). Nemme problemer for sorteret data: Binær søgning, find median, identificer duplikater, find tætteste par, find statiske perifere observationer (outliers). Indsættelsessortering (insertion-sort) Korrekthed Start med en ikke sorteret tabel. Kig på indgangene fra venstre til højre. Ved indgang i: Indsæt A[i] i rækkefølge blandt deltabellen A[..i-]. For at finde rette sted sammenligner vi med indgangene fra højre til venstre. Hvorfor virker det? Før iteration i består deltabellen A[..i-] af de tal der oprindeligt var i A[..i-] i sorteret rækkefølge. Iteration i indsætter A[i] i deltabellen A[..i-] Efter iteration i består deltabellen A[..i] af de tal der oprindeligt var i A[..i]

12 Analyse Analyse Hvor hurtigt kører den? Indsættelsessortering kører i Θ(n ) tid. Hvor lang tid tager det at indsætte A[i] i korrekt position? Samlet tid = Θ(tid for at indsætte alle indgangene i korrekt position) Flettesortering (mergesort) Fletning (merge) Hurtigere sorteringsalgoritme. Ide: Rekursiv sortering vha. fletning af sorterede deltabeller. Mål. Kombiner to sorterede tabeller til én sorteret tabel i lineær tid Ide: Hold styr på mindste element i hver sorteret tabel. Indsæt mindste af de to elementer i en ekstra tabel. Gentag indtil færdig.

13 Analyse Flettesortering Hvert skridt i algoritmen tager Θ() tid. I hvert skridt flytter vi en indgang frem i en af tabellerne. Linæer tid i sum af længde af tabellerne. Del A i to halvdele. Sorter hver halvdel rekursivt. Flet de to halvdele sammen. Stop når tabel har størrelse

14 Analyse Lad T(n) være køretiden af flettesortering. Hvor hurtigt kører den? Ide: T(n) = Θ(total tid brugt på fletning) Fletning tager lineær tid. T(n) = Θ(total længde af tabeller over alle rekursive kald)

15 Analyse Flettesorting kører i Θ(nlog n) tid. Del og hersk (divide-and-conquer) Sortering Flettesortering er eksempel på en del-og-hersk algoritme. Del-og-hersk: algoritmisk designparadigme Del: Opdel problemet i et eller flere delproblemer Indsættelsessortering i Θ(n ) tid. Flettesortering i Θ(nlog n) tid. Fletning i Θ(n) tid. Hersk: Løs delproblemerne rekursivt Kombiner: Sæt løsningerne til delproblemerne sammen til en samlet løsning for problemet. Flettesortering: Del: Del A i to halvdele. Hersk: Sorter hver halvdel rekursivt. Kombiner: Flet de to halvdele sammen.

16 Opsummering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Analyse af algoritmer Philip Bille Plan Teoretisk analyse af algoritmer Køretid Pladsforbrug Asymptotisk notation O, Θ og Ω-notation. Analyse af algoritmer Eksperimentiel analyse af algoritmer

17 Analyse af algoritmer Analyse af algoritmer Hvorfor virker min algoritme ikke? Hvorfor kører min algoritme så langsomt? Hvorfor løber min algoritme tør for hukommelse? Analyser om en algoritme er korrekt. Robusthed + sikkerhed Analyser hvor mange resourcer en algoritme bruger. Tid Plads Cache-misses Båndbredde... Primært fokus er tid og plads. Analyse af algoritmer Køretid Teoretisk analyse Eksperimentiel analyse T(n) = antallet af skridt som en algoritmen udfører på et input af størrelse n. Skridt: Læsning/skrivning til hukommelse (x := y, A[i], i = i +,...) Arithmetiske/boolske operationer (+,-,*,/,%,&&,, &,, ^,~) Sammenligninger (<,>,=<, =>, =, ) Programflow (if-then-else, while, for, goto, funktionskald,..) T(n) kaldes tidskompleksiten eller køretiden af algoritmen.

18 Køretid Pladsforbrug Værstefalds-køretid (eng: worst-case running time): maksimal køretid over alle input af størrelse n. Bedstefalds-køretid (eng: best-case running time): minimal køretid over alle input af størrelse n. Gennemsnitlige-køretid (eng: average-case running time): gennemsnitlig køretid over alle input af størrelse n. S(n) = antallet af lagerpladser som algoritmen bruger. Variable og pointere = lagerplads. Tabel af længde x = x lagerpladser. S(n) kaldes pladskompleksiten eller pladsforbruget af algoritmen. Køretid = værstefaldskøretid (medmindre vi eksplicit skriver andet). Findes også amortiseret, randomiseret, etc. køretider. Asymptotisk notation O, Θ og Ω-notation. Notation til at give grænser for funktioners asymptotiske vækst. Velegnet til analyse af algoritmer. Asymptotisk notation

19 O-notation f(n) er O(g(n)) hvis f(n) cg(n) for store n Eksempel: f(n) er O(n ) hvis f(n) cn for store n. n er O(n )? n n for store n. n + er O(n )? n + n for store n. n + n er O(n )? cg(n) f(n) n + n n for store n. n + n er O(n )? n + n = n n for store n. n er O(n )? n cn for alle konstanter c for store n. f(n) er O(g(n)) hvis der findes konstanter c, n0 > 0, således at for alle n n0 gælder at f(n) cg(n) Notation Hvis f(n) er O(g(n)) skriver vi f(n) = O(g(n)). O(g(n)) er en mængde af funktioner. cg(n) Tænk på = som eller. Man kan skrive f(n) = O(n ) men ikke O(n ) = f(n). f(n) n0

20 Opgaver f(n) er Ω(g(n)) hvis der findes konstanter c, n0 > 0, således at for alle n n0 gælder at f(n) cg(n) f(n) = n + n - n f(n) = O(n)? f(n) = O(n )? f(n) = O(n )? g(n) = n + log n g(n) = O(n log n)? g(n) = O(n )? g(n) = O(f(n))? f(n) cg(n) f(n) = O(g(n))? n0 f(n) er Θ(g(n)) hvis f(n) er både O(g(n)) og Ω(g(n)) Flere opgaver Hvilke påstande gælder? n log n = O(n ) c g(n) f(n) c g(n) n + n = Ω(n ) n (n - )/ = Θ(n ) n /00 = Ω(n) n /00 + log n = Θ(n ) log n = O(n) log n + n + = Ω(log n)

21 Egenskaber Typiske køretider a 0 + a n + a n + + a d n d = (n d ) log a (n) = log b n log b a = (log c(n)) for alle konstanter a, b > 0 log(n) =O(n d ) for alle d>0 n d = O(r n ) for alle d>0 og r> for i = to n < Θ() tids operation > for i = to n for j = to n < Θ() tids operation > for i = to n for j = i to n < Θ() tids operation > Typiske køretider T (n) = ( T (n/) + () hvis n> () hvis n = T (n) = ( T (n/) + (n) hvis n> () hvis n = Eksperimentiel analyse T (n) = ( T (n/) + (n) hvis n> () hvis n = T (n) = ( T (n/) + () hvis n> () hvis n =

22 Eksperimentiel analyse Eksempel Hvad hvis man ikke kender teoretisk køretid. Kan man finde den eksperimentielt? Kør programmet for forskellige størrelser og mål køretiden (manuelt eller automatisk). Fordoblingsteknik: Kig på hvilken faktor køretiden vokser med når man fordobler størrelsen af input. Tid vokser med en faktor ~ når input vokser med faktor. Passer med kvadratisk køretid: T(n) = cn T(n) = c(n) = c n = cn T(n)/T(n) = n tid (sekunder) ratio ? Opsummering Teoretisk analyse af algoritmer Køretid Pladsforbrug Asymptotisk notation O, Θ og Ω-notation. Eksperimentiel analyse af algoritmer Introduktion til datastrukturer Philip Bille

23 Plan Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller Datastrukturer Datastrukturer Datastruktur: Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/ manipuleres effektivt. Mål: kompakt og hurtig. Dynamisk vs. statisk datastruktur. Abstrakt vs. konkret datastruktur. Stakke og køer

24 Stak Implementation med tabel Vedligehold en dynamisk sekvens X af elementer under følgende operationer. Push(x): tilføj et nyt element x til X Pop(): fjern og returner det seneste tilføjede element i X. isempty(): returner sand hvis X ikke indeholder nogle elementer. Implementer en stak med maksimalt N elementer. Datastruktur: Tabel X[..N] Position top i X. Operationer: Push(x): Tilføj x på X[top+], sæt top = top + Pop(): returner X[top], sæt top = top - isempty(): returner sand hvis og kun hvis top =. Tjek for overløb og underløb i Push og Pop. Analyse Kø Hvor hurtigt kører Push, Pop, isempty? Push, Pop, isempty bruger Θ() tid. Hvor meget plads bruger vi? Θ(N) Vedligehold en dynamisk sekvens X af elementer under følgende operationer. Enqueue(x): tilføj et nyt element x til X Dequeue(): fjern og returner det tidligst tilføjede element i X. isempty(): returner sand hvis X ikke indeholder nogle elementer. Den dårlige nyhed: Vi skal kende den maksimale størrelse af stakken fra start. Vi spilder plads når antal elementer i stakken er < N.

25 Implementation med tabel Implementer en kø med maksimalt N elementer. Datastruktur: Tabel X[..N] Positioner head (tidligst indsatte element) og tail (næste ledige element) i X og tæller count (antal elementer i kø). Operationer: Enqueue(x): Tilføj x på X[tail], opdater count og tail cyclisk. Dequeue(): returner X[head], opdater count og head cyclisk. count= count= count= dequeue() dequeue() head tail head tail head tail count= count= count= enqueue() enqueue(9) 9 dequeue() 9 tail head tail head tail head isempty(): returner sand hvis og kun hvis count = 0. Tjek for overløb og underløb i Dequeue og Enqueue. Analyse Stakke og køer Hvor hurtigt kører Dequeue, Enqueue, isempty? Dequeue, Enqueue, isempty bruger Θ() tid. Hvor meget plads bruger vi? Θ(N) Den dårlige nyhed: Vi skal kende den maksimale størrelse af køen fra start. Vi spilder plads når antal elementer i køen er < N. Stak implementeret med tabel Køretid: Push, Pop, isempty i Θ() tid. Pladsforbrug: Θ(N) Kø implementeret med tabel Køretid: Enqueue, Dequeue, isempty i Θ() tid. Pladsforbrug: Θ(N) Kan vi komme ned på lineær plads med samme tid?

26 Hægtede lister Datastruktur til at vedligeholde en sekvens af elementer i lineær plads. Rækkefølge af elementer bestemt af referencer/pegere kaldet hægter. Effektiv at indsætte og fjerne elementer eller delsekvenser af elementer. Hægtede lister Dobbelt-hægtede eller enkelt-hægtede. head null Dobbelt-hægtede lister i Java Hvordan implementerer man dobbelt-hægtede lister i Java? head null null

27 class Node { int key; Node next; Node prev; } Node head = new Node(); Node b = new Node(); Node c = new Node(); head.key = ; b.key = ; c.key = ; head.prev = null; head.next = b; b.prev = head; b.next = c; c.prev = b; c.next = null; head null head null null b b null null c c null null null Node Insert(Node head, Node x) { x.prev = null; x.next = head; head.prev = x; return x; } Node Search(Node head, int value) { Node x = head; while (x = null) { if (x.key == value) return x; x = x.next; } return null; } Node Delete(Node head, Node x) { if (x.prev = null) x.prev.next = x.next; else head = x.next; if (x.next = null) x.next.prev = x.prev; return head; } Analyse Stak og kø implementation med hægtede lister Hvor hurtigt kører Search, Insert og Delete på liste af længde n? Θ(n) for Search Θ() for Insert og Delete Hvor meget plads bruger en hægtet liste af størrelse n? Θ(n) Hvordan kan man implementere stakke og køer med hægtede lister? Stak Push Pop isempty Kø Enqueue Dequeue isempty

28 Stakke og køer Hægtede lister Stak implementeret med hægtet liste Køretid: Push, Pop, isempty i Θ() tid. Pladsforbrug: Θ(n) Fleksibel datastruktur til at vedligeholde en sekvens af elementer i lineær plads. Eksempel på hægtet datastruktur. Findes også cykliske lister, træer, grafer, Kø implementeret med hægtet liste Køretid: Enqueue, Dequeue, isempty i Θ() tid. Pladsforbrug: Θ(n) root null null null 0 null null null null Dynamiske tabeller null null

29 Stak med dynamisk tabel Første forsøg Kan vi implementere en stak effektivt med tabel(ler)? Behøver vi fastsætte en øvre grænse på antallet af elementer? Kan vi komme ned på lineær plads og konstant tid? Mål: Vi vil kun bruge Θ(n) plads for stak med n elementer Ignorer Pop og isempty indtil videre. Datastruktur: Tabel X[..n] Operationer: Push(x): Opret ny tabel af størrelse n+. Flyt alle elementer til ny tabel. Slet gammel tabel. Analyse Andet forsøg Hvor hurtigt kører det? n Push-operationer tager n = Θ(n ) tid. Plads: Θ(n) plads. Ide: Undgå at bygge en tabel og flytte elementer for ofte. Fordobling: Start med tabel af størrelse. Hvis tabel er fuld (antallet af elementer i stak er lig tabellens størrelse). Opret ny tabel af dobbelt størrelse. Flyt elementer over i ny tabel. Slet gammel tabel.

30 Analyse Stak Hvor hurtigt kører det? n Push-operationer tager n/ + n < n = Θ(n) tid. Plads: Θ(n) plads. Stak implementeret med dynamisk tabel Køretid: n Push operationer tager Θ(n) tid. Pladsforbrug: Θ(n) Muligt at opnå n Push, pop og isempty operationer i Θ(n) tid. Tilsvarende resultat for køer Køretiden er amortiseret Θ() per operation. Med snedige tricks: Muligt at deamortisere løsning og opnå Θ() værstefaldskøretid per operation. Opsummering Datastrukturer Stakke og køer Hægtede lister Dynamiske tabeller Prioritetskøer og hobe Philip Bille

31 Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Prioritetskøer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskø Anvendelser Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hver element x er tilknyttet en nøgle x.key. Insert(x): sæt S = S cup {x}. Max(): returner element med største nøgle. Extract-Max(): fjern og returner element med største nøgle. Increase-Key(x, k): sæt x.key = k (vi antager k er større end x.key). Hvad kan vi bruge en prioritetskø til? Skedulering Korteste veje i grafer (Dijkstras algoritme + venner) Mindste udspændende træer i grafer (Prims algoritme) Kompression (Huffmans algoritme)

32 Implementation Hvordan kan vi implementere en prioritetkø med nuværende teknikker? Med hægtet liste: O(n) for Insert, Max, Extract-Max og Increase-Key Med sorteret hægtet liste: O() for Max, Extract-Max Træer O(n) for Insert og Increase-Key. Kan vi gøre det betydeligt bedre? Kræver nye teknikker Rodfæstet træ T. Består af knuder og kanter. Børn, forælder, efterkommer, forfader, blade, interne knuder. Acyklisk sammenhængende graf. Lad v være en knude i T. dybden af v = længden af sti fra v til roden. højden af v = længden af længste sti fra v til en bladefterkommer. dybden af T = højden af T = længden af længste sti fra rod til et blad.

33 Binært træ = alle knuder har børn, kaldet venstre barn og højre barn. Komplet binært træ = alle interne knuder netop børn. Næsten komplet binært træ = komplet binært træ hvor 0 eller flere blade er fjernet fra højre mod venstre. Hvad er sammenhæng mellem antallet af knuder og højden af (næsten) komplet binært træ? 0 k 0 k k 9 n = antal knuder, h = højden. Antal blade = h Antal interne knuder = h- = h - n = h + h - = h+ - h = Θ(log n) (gælder også for næsten komplet binært træ) En hob (heap) er et næsten komplet binært træ så hver knude indeholder et element hver knudes nøgle et højst ligeså stor som dens forælders (hob-orden) Kaldes en max-hob. Tilsvarende kan man definere min-hob.

34 Repræsentation af hobe 0 Hvordan kan vi repræsentere en hob? Vi har brug for effektivt at kunne navigere mellem børn og forælder. 0 9 root null 0 null 0 null null null null null null null null 9 null null null null Prioritetskøoperationer Hvordan kan vi implementere prioritetskøoperationerne? Insert(x): sæt S = S {x}. Max(): returner element med største nøgle. Extract-Max(): fjern og returner element med største nøgle. Increase-Key(x, k): sæt x.key = k (vi antager k er større end x.key) Tabel H[..n]. H[] er rod, H[n] er blad længst til højre. Knude i har venstre barn på i, højre barn på i+ og forælder på i/

35 Insert(x): Indsæt x på næste ledige plads i tabel. Bobl op. Max(): Returner toppen af hob i A[] Extract-Max() r = top af hob. Flyt blad længst til højre til top af hob. Bobl ned (Max-Heapify) Analyse Køretid: Insert, Extract-Max, Increase-Key i O(log n) tid Max i O() tid. Pladsforbrug: O(n) plads. Eksempel på implicit datastruktur. Returner r. Increase-Key(x,k) Sæt x.key = k Bobl op. Konstruktion af hob Lav A[..n] være en tabel af heltal. Hvordan kan vi effektivt bygge en hob ud af tallene i A? (præprocessering) Konstruktion af hob

36 Første forsøg Andet forsøg Sæt alle elementer i A ind i hoben med n Insert operationer. Tid: Θ(n log n) Bygger hoben "oppefra og ned". Kan vi gøre det bedre? Opfat A som næsten komplet binært træ og Etabler hoborden nedefra og op for alle knuder Blade er allerede hobe af størrelse. For hver intern knude, bobl ned. Hvor hurtigt kører det? Konstruktion af hob Givet en tabel A[..n] kan vi bygge en hob i Θ(n) tid. Bruger kun O() ekstra plads. For hver knude af højde h: O(h) tid. ~ n/ knuder af højde, n/ knuder af højde, n/ knuder af højde,..., knude af højde h. n/ + n/ + n/ h = O(n) O(n) tid

37 Hobsortering Lad A[..n] være en tabel. Hobsortering: Byg hob af A. Hobsortering Lav n Extract-Max. Indsæt resultater sidst i tabel i stedet for at slette. Analyse. Byg en hob i Θ(n) tid n Extract-Max i Θ(nlog n) tid. i alt Θ(nlog n) tid. Hobsortering Opsummering Givet en tabel A[..n] kan vi sortere i Θ(n log n) tid. Bruger kun O() ekstra plads. Ækvivalens af sortering og prioritetskøer. Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering

38 Plan Uorienterede grafer Anvendelse og modellering med grafer Introduktion til grafer Philip Bille Søgning i grafer Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Korteste vej Todelte grafer Uorienterede grafer 9 Uorienterede grafer 0 (Uorienterede) grafer består af knuder forbundet med kanter. Hvorfor studere grafer? Modellerer naturligt mange problemer i mange forskellige områder. Tusindvis af praktiske anvendelser. Hundredevis af kendte grafalgoritmer.

39 "Visualizing friendships", Paul Butler Tube map Chesham 9 Chalfont & Latimer Amersham Watford Rickmansworth Uxbridge Ruislip Manor Ickenham Harrow & Wealdstone Harrowon-the-Hill West Harrow South Harrow South Ruislip B Edgware Stanmore Kenton Queensbury Preston Road Kingsbury North Wembley Neasden Wembley Park Kensal Rise Willesden Junction Queen s Park Kilburn High Road Kilburn Park C Maida Vale Warwick Avenue Westbourne Park Park Royal East Acton Ealing Broadway West Acton North Acton Acton Central Ealing Common South Acton D South Ealing Boston Manor Acton Town Chiswick Park Shepherd s Bush White City Wood Lane Shepherd s Bush Market West Kensington Kew Gardens Hounslow Central Richmond Heathrow Terminals,, Heathrow Terminal Baker Street Bond Street Gloucester Road Cannon Street Mansion House Charing Cross Blackfriars Imperial Wharf East Putney Vauxhall Clapham Junction Wandsworth Road Wimbledon Tooting Bec Tooting Broadway Colliers Wood South Wimbledon MAYOR OF LONDON Rotherhithe Morden Bermondsey Heron Quays South Quay East Ham West Ham Devons Road Star Lane Langdon Park Canning Town All Saints Blackwall Poplar C Upton Park Plaistow Royal Victoria East India Custom House for ExCeL Emirates Royal Docks Prince Regent Royal Albert West Silvertown D Beckton Park Cyprus North Greenwich Emirates Greenwich Peninsula Pontoon Dock Gallions Reach London City Airport Beckton King George V Queens Road Peckham Peckham Rye Stockwell New Cross Greenwich Brockley Woolwich Arsenal E Elverson Road Lewisham Hammersmith & City Jubilee Metropolitan Sydenham Northern Penge West Piccadilly Anerley Crystal Palace London metro, London Transport F Norwood Junction West Croydon Central Circle Forest Hill Brixton Bakerloo District District open weekends, public holidays and some Olympia events Deptford Bridge Honor Oak Park Denmark Hill Cutty Sark for Maritime Greenwich New Cross Gate Bank Waterloo & City line open between Bank and Waterloo Mondays to Fridays and Saturdays. Between Waterloo and Bank Mondays to Fridays and Saturdays. Closed Sundays and Public Holidays Camden Town Sunday 00-0 open for interchange and exit only Canary Wharf Step-free interchange between Underground, Canary Wharf DLR and Heron Quays DLR stations at street level Cannon Street Open until 00 Mondays to Fridays and Saturdays. Closed Sundays Embankment Bakerloo and Northern line trains will not stop at this station from early January 0 until early November Emirates Greenwich Peninsula and Emirates Royal Docks Special fares apply. Open Mondays to Fridays, Saturdays, Sundays and Public Holidays. Opening hours are extended by one hour in the evening after April 0 and may be extended on certain events days. Please check close to the time of travel Heron Quays Step-free interchange between Heron Quays and Canary Wharf Underground station at street level Hounslow West Step-free access for manual wheelchairs only Kilburn No step-free access from late January 0 until mid May Stanmore Step-free access via a steep ramp Turnham Green Served by Piccadilly line trains until 00 Mondays to Saturdays, 0 Sundays and after 0 every evening. At other times use District line Waterloo Waterloo & City line open between Bank and Waterloo Mondays to Fridays and Saturdays. Between Waterloo and Bank Mondays to Fridays and Saturdays. Closed Sundays and Public Holidays. No step-free access from late January 0 until late July West India Quay Not served by DLR trains from Bank towards Lewisham before 00 on Mondays to Fridays Key to lines Island Gardens Borough Kennington Upney Barking Canary Wharf Canada Water Crossharbour Elephant & Castle Oval Dagenham Heathway Abbey Road Bromleyby-Bow West India Quay Wapping Mudchute Lambeth North Clapham North F Westferry Limehouse Tower Gateway Surrey Quays Clapham Common Balham Tower Hill Southwark Stepney Green Whitechapel Shadwell River Thames London Bridge Waterloo Pimlico Pudding Mill Lane Elm Park Becontree Woodgrange Park Bow Road Aldgate Fenchurch Street Embankment Clapham South Monument Aldgate East Wanstead Park Mile End B Hornchurch Dagenham East Stratford Bow Church Temple Westminster Clapham High Street Transport for London Bank Upminster Upminster Bridge Leyton Stratford High Street Bethnal Green St. Paul s Holborn Gants Hill Leytonstone High Road Hackney Wick Shoreditch High Street Moorgate Chancery Lane Leicester Square St. James s Park Hoxton Liverpool Street Barbican Piccadilly Circus Victoria Canonbury Dalston Junction Fairlop Barkingside Newbury Park Wanstead Stratford International Homerton Farringdon Russell Square Leytonstone Leyton Midland Road A Redbridge Walthamstow Central Hackney Central Old Street Euston Square Snaresbrook Walthamstow Queen s Road Haggerston Covent Garden Putney Bridge Wimbledon Park Caledonian Road & Barnsbury Tottenham Hale Dalston Kingsland King s Cross St. Pancras Tottenham Court Road Sloane Square South Kensington South Woodford Grange Hill Chigwell Hainault Blackhorse Road Euston Green Park Southfields Mornington Crescent Goodge Street Marble Arch Hyde Park Corner Finsbury Park Highbury & Islington Angel Oxford Circus Fulham Broadway Parsons Green Arsenal Holloway Road Kentish Town Camden Road Camden Town Warren Street Knightsbridge Earl s Court Chalk Farm Great Portland Street West Brompton Hounslow East Hatton Cross Heathrow Terminal Queensway Seven Sisters South Tottenham Tufnell Park Regent s Park Lancaster Gate High Street Kensington Barons Court Hammersmith Turnham Stamford Ravenscourt Brook Park Green Gunnersbury E Holland Park Harringay Green Lanes Manor House Upper Holloway Kentish Town West Bayswater Notting Hill Gate Kensington (Olympia) Goldhawk Road Osterley Hounslow West St. John s Wood Edgware Road Ladbroke Grove Latimer Road North Ealing Northfields Swiss Cottage Edgware Marylebone Road Royal Oak Hanger Lane Paddington Finchley Road South Hampstead Woodford Turnpike Lane Caledonian Road West Hampstead Brondesbury Kensal Green Alperton Roding Valley Crouch Hill Archway Gospel Oak Hampstead Heath Belsize Park Kilburn Brondesbury Park Greenford Perivale Hampstead Finchley Road & Frognal Willesden Green Harlesden Finchley Central Highgate Dollis Hill Stonebridge Park Check before you travel Buckhurst Hill Arnos Grove Bounds Green Wood Green Golders Green Wembley Central Sudbury Hill Loughton Southgate West Finchley East Finchley Brent Cross 9 Debden Oakwood Woodside Park Mill Hill East Colindale Hendon Central South Kenton Northolt Sudbury Town Burnt Oak Canons Park Northwick Park Epping Theydon Bois Hatch End North Harrow Rayners Lane Cockfosters Totteridge & Whetstone Headstone Lane Pinner Eastcote Ruislip Gardens High Barnet Carpenders Park Northwood Northwood Hills Ruislip Bushey Moor Park West Ruislip Hillingdon Watford Junction Watford High Street Croxley Chorleywood A Special fares apply Victoria Waterloo & City DLR London Overground This diagram is an evolution of the original design conceived in 9 by Harry Beck Correct at time of going to print, December 0 Emirates Air Line 9 Protein-protein interaktionsnetværk, Jeong et al, Nature Review Genetics

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Introduktion til grafer

Introduktion til grafer Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Todelte grafer Philip Bille Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder.

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Seværdigheder. Tower Bridge & Tower of London Tate museum of Modern Art British Museum Big Ben

Læs mere

TUREN GÅR TIL LONDON GUNHILD RISKE 24. UDGAVE

TUREN GÅR TIL LONDON GUNHILD RISKE 24. UDGAVE TUREN GÅR TIL LONDON GUNHILD RISKE 24. UDGAVE Hampstead Heath Holloway Road Hackney Marshes High Road Finchley Road Road CAMDEN Camden Westway NOTTING HILL Holland Avenue Earls Court KENSINGTON Fulham

Læs mere

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er

En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

DDD Runde 2, 2015 Facitliste

DDD Runde 2, 2015 Facitliste DDD Runde 2, 2015 Facitliste Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen Opgaver og løsninger til 2. runde af DDD 2015. 1 4. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og

Læs mere

STUDIETURSPROGRAM I LONDON 2m. 21.-28. marts 2014

STUDIETURSPROGRAM I LONDON 2m. 21.-28. marts 2014 STUDIETURSPROGRAM I LONDON 2m 21.-28. marts 2014 STUDIETURSPROGRAM LONDON 2m 21.-27. marts 2014 Dato Fredag 21/3 Aktivitet 5.15 Mødetid i ventesalen på Århus Hovedbanegård. 5.40: Afgang med tog mod København.

Læs mere

Programmeringscamp. Implementer funktionerne én for én og test hele tiden.

Programmeringscamp. Implementer funktionerne én for én og test hele tiden. Programmeringscamp De to opgaver træner begge i at lave moduler som tilbyder services der kan bruges af andre, samt i at implementere services efter en abstrakt forskrift. Opgave 1 beder jer om at implementere

Læs mere

Dagsorden: 1: Præsentation af program 2: Praktiske oplysninger 3: Metrogrupper: 4: Økonomi 5: Regler Evt:

Dagsorden: 1: Præsentation af program 2: Praktiske oplysninger 3: Metrogrupper: 4: Økonomi 5: Regler Evt: London 2015 Dagsorden: 1: Præsentation af program 2: Praktiske oplysninger 3: Metrogrupper: 4: Økonomi 5: Regler Evt: Program London 2015: Dolphin Hotel 32-34, Norfolk Square London W2 +44 020 7402 4943

Læs mere

UGEDAG FORMIDDAG EFTERMIDDAG AFTEN

UGEDAG FORMIDDAG EFTERMIDDAG AFTEN Studietur 2.a 2013 London Musik (PE) og Engelsk (LE) UGEDAG FORMIDDAG EFTERMIDDAG AFTEN Fredag den 15 3 13 AT (opgave på rejsen). 12:00 Mødetid vi mødes under uret på Århus H 12:27 Afgang fra Århus H.

Læs mere

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering

Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Introduktion Til Konkurrenceprogrammering Søren Dahlgaard og Mathias Bæk Tejs Knudsen {soerend,knudsen}@di.ku.dk Version 0.1 Indhold Indhold i Introduktion 1 1 Palindromer 3 1.1 Introduktion til Python...............

Læs mere

Mm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 6, 2009

Mm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 6, 2009 Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jens Myrup Pedersen (JMP) Mm1: Introduction to analysis and design of algorithms - October 6, 2009 Algorithms and Architectures I 1. Introduction

Læs mere

Om binære søgetræer i Java

Om binære søgetræer i Java Om binære søgetræer i Java Mads Rosendahl 7. november 2002 Resumé En fix måde at gemme data på er i en træstruktur. Måden er nyttig hvis man får noget data ind og man gerne vil have at det gemt i en sorteret

Læs mere

Sortering i CPH STL. Jakob Sloth, Morten Lemvigh & Mads Kristensen. CPH STL rapport 2003-2 maj 2003; revidered november 2003

Sortering i CPH STL. Jakob Sloth, Morten Lemvigh & Mads Kristensen. CPH STL rapport 2003-2 maj 2003; revidered november 2003 Sortering i CPH STL Jakob Sloth, Morten Lemvigh & Mads Kristensen CPH STL rapport 2003-2 maj 2003; revidered november 2003 1 INDHOLD S. 2 Indhold Indhold 2 1 Indledning 5 1.1 Problemstilling..........................

Læs mere

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding?

Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Programmering, algoritmik og matematik en nødvendig sammenblanding? Oplæg til IDA møde, 29. november 2004 Martin Zachariasen DIKU 1 Egen baggrund B.Sc. i datalogi 1989; Kandidat i datalogi 1995; Ph.D.

Læs mere

Sviptur til London for at se spændende ny arkitektur??

Sviptur til London for at se spændende ny arkitektur?? Sviptur til London for at se spændende ny arkitektur?? Har du lyst til en sviptur til London den 3. 6. juni 2007 og se på spændende ny arkitektur. Pris Kr. 998,- plus rejse og ophold. Prisen dækker en

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Grafer og grafalgoritmer

Grafer og grafalgoritmer Algoritmer og Datastrukturer/Datalogi C Forelæsning 15/10-2002 Henning Christiansen Grafer og grafalgoritmer Hvad mener vi med en graf? NEJ! Graf: En matematisk abstraktion over ting som er logisk forbundet

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Øvelse 9. Klasser, objekter og sql-tabeller insert code here

Øvelse 9. Klasser, objekter og sql-tabeller insert code here Øvelse 9. Klasser, objekter og sql-tabeller Denne opgave handler om hvordan man opbevarer data fra databasekald på en struktureret måde. Den skal samtidig give jer erfaringer med objekter, der kommer til

Læs mere

TLF. 7070 8065 SPORT@REJSEGALLERIET.DK WWW.REJSEGALLERIET.DK

TLF. 7070 8065 SPORT@REJSEGALLERIET.DK WWW.REJSEGALLERIET.DK ARSENAL Fodboldrejser 2008/2009 TLF. 7070 8065 SPORT@REJSEGALLERIET.DK WWW.REJSEGALLERIET.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER REJSEGALLERIET Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har sendt fodboldglade

Læs mere

Herefter vil vi indkvartere os på The Kensington Close Hotel & Spa, som ligger centralt i Kensington tæt på shoppinggaden Kensington High Street.

Herefter vil vi indkvartere os på The Kensington Close Hotel & Spa, som ligger centralt i Kensington tæt på shoppinggaden Kensington High Street. London 24. 26. april 2012 Tirsdag d. 24. april 2012 Kl. 6.50 Kl. 7.50 Kl. 9.00 Check-in i Københavns Lufthavn terminal 3 skal være overstået. Afrejse Københavns Lufthavn med British Airways BA 811 til

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2008/2009 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER PLATINUM SPORT Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har sendt

Læs mere

ARSENAL. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

ARSENAL. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK ARSENAL Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2

Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Symmetrisk traveling salesman problem Dat2A godkendelsesopgave 2 Jens Kristian Jensen, David Pisinger og Martin Zachariasen 13. april 2003 1 Formalia Dette er den anden af to godkendelsesopgaver på kurset

Læs mere

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK ARSENAL Fodboldrejser 2009/2010 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse

UNION-FIND. UNION-FIND-problemet. Forbundethed kan være svær at afgøre (især for en computer) Eksempel på udførelse UNION-FIND-problemet UNION-FIND inddata: en følge af heltalspar (p, q); betydning: p er forbundet med q uddata: intet, hvis p og q er forbundet, ellers (p, q) Eksempel på anvendelse: Forbindelser i computernetværk

Læs mere

ARSENAL. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

ARSENAL. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK ARSENAL Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

London 2015. Skal og kan aktiviteter på turen. Vi skal bo på:

London 2015. Skal og kan aktiviteter på turen. Vi skal bo på: London 2015 Skal og kan aktiviteter på turen. Vi skal bo på: Royal Bayswater Hostel 121 Bayswater Road, London W2 3JH, Storbritannien Telefon:+44 20 7229 8888 Mere information: http://www.globalkeyuk.com/royalbayswater-hotel

Læs mere

Start af nyt schematic projekt i Quartus II

Start af nyt schematic projekt i Quartus II Start af nyt schematic projekt i Quartus II Det følgende er ikke fremstillet som en brugsanvisning der gennemgår alle de muligheder der er omkring oprettelse af et Schematic projekt i Quartus II men kun

Læs mere

Beskrivelse: Booking nummer er 1192510 Alamo Prisen for din billeje er 2090 DKK ogden er bekræftet.

Beskrivelse: Booking nummer er 1192510 Alamo Prisen for din billeje er 2090 DKK ogden er bekræftet. ons. 7. apr. 2010 tor. 8. apr. 2010 fre. 9. apr. 2010 lør. 10. apr. 2010 11:25 Fly København - Atlanta Fra København 1125 ank Atlanta 1525. Confirmation nr. PE4NF0 16:30 Hente bil Atlanta Booking nummer

Læs mere

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2009/2010 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe

Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Projekt - Visual Basic for Applications N på stribe Mikkel Kaas og Troels Henriksen - 03x 3. november 2005 1 Introduktion Spillet tager udgangspunkt i det gamle kendte 4 på stribe, dog med den ændring,

Læs mere

Program for Finansudvalgets besøg i London den 15.-17. juni 2008

Program for Finansudvalgets besøg i London den 15.-17. juni 2008 Finansudvalget (2. samling) FIU alm. del - Bilag 102 Offentligt Program for Finansudvalgets besøg i London den 15.-17. juni 2008 NB: Programpunkter med fed er for hele udvalget med kursiv er for enkeltmedlemmer.

Læs mere

DM502. Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/

DM502. Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/ DM502 Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/ 1 DM502 Bog, ugesedler og noter De første øvelser Let for nogen, svært for andre Kom til øvelserne! Lav opgaverne!

Læs mere

CHELSEA. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

CHELSEA. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

CHELSEA. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

CHELSEA. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

Synopsis: Titel: Flugtveje. Tema: Algoritmer og netværk. Projektperiode: P2, forårssemesteret 2010. Projektgruppe: A312

Synopsis: Titel: Flugtveje. Tema: Algoritmer og netværk. Projektperiode: P2, forårssemesteret 2010. Projektgruppe: A312 Flugtveje [1] A312 Jens Stokholm Høngaard Kristian Pilegaard Jensen Thomas Birch Mogensen Niels Asger Aunsborg Nicolai Vesterholt Søndergaard Daniel Agerskov Heidemann Jensen 26. maj 2010 I II Det Teknisk-Naturvidenskabelige

Læs mere

(OBS: Manden på billedet er altså ikke én af os )

(OBS: Manden på billedet er altså ikke én af os ) Fredag d. 8. marts Afrejse med Norwegians tidlige forbindelse, DY 3510 kl. 07:20 fra Københavns Lufthavn med destination London Gatwick. Der opstod en mindre forsinkelse pga. vejret. Ankomst Gatwick, nonstop

Læs mere

London studietur. Institut for Samfundsudvikling og Planlægning

London studietur. Institut for Samfundsudvikling og Planlægning London studietur Hver enkelt bør købe et 7-dages kort til Transport for London. 1-2 zoner er nok til vort program. Hvis I skal uden for zone 1-2 kan I købe tillægsbillet. Jeg ved ikke, om I kan få studenterrabat,

Læs mere

Digital positioner type RE 3446

Digital positioner type RE 3446 Installations- og driftsvejledning IN145 Digital positioner type Indholdsfortegnelse: Side 1 Generel information 2 2 Montering og tilslutning 2 3 Idriftsættelse 3 4 Drifts funktioner 6 5 Funktions beskrivelser

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Lørdag d. 31. marts lørdag d. 7. april 2012 Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole

Lørdag d. 31. marts lørdag d. 7. april 2012 Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole Lørdag d. 31. marts lørdag d. 7. april 2012 Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole LONDON CALLING Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole tilbyder dig hermed en forrygende storbyoplevelse i påskeferien, hvor vi afvikler

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Inden I rejser til London

Inden I rejser til London Elevaktivite ter 1 Elevaktiviteter til Hi London med klassen på tur Peter Bejder & Turbine 2013 Fotos: Peter Bejder Inden I rejser til London Her er en række aktiviteter til bogen Hi London med klassen

Læs mere

Regularitet og Automater

Regularitet og Automater Plan dregaut 2007 Regularitet og Automater Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske oplysninger om kurset Ugens emner Introduktion til ugens opgaver 2 Regularitet og Automater Formål med kurset: at

Læs mere

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design

DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design DM13-1. Obligatoriske Opgave - Kredsløbs design Jacob Christiansen moffe42@imada.sdu.dk Institut for MAtematik og DAtalogi, Syddansk Universitet, Odense 1. Opgaven Opgaven består i at designe et kredsløb,

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller.

Flowchart og Nassi ShneidermanN Version. Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Flowchart Et flowchart bruges til grafisk at tegne et forløb. Det kan fx være et programforløb for en microcontroller. Et godt program til at tegne flowcharts med er, EDGE-Diagrammer, eller Smartdraw.

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Introduktion til Quality of Service

Introduktion til Quality of Service Introduktion til Quality of Service Henrik Thomsen/EUC MIDT 2005 IP standard service IP er designet til best-effort services Best-effort: Transport af data efter bedste-evne IP er fra starten designet

Læs mere

Data lagring. 2. iteration (implement backend)

Data lagring. 2. iteration (implement backend) Data lagring 2. iteration (implement backend) Emner Grundlæggende database begreber. Data definitionskommandoer ER-diagrammer og cardinalitet/relationer mellem tabeller Redundant data og Normalisering

Læs mere

Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer.

Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer. Indhold Vejledning til at, komme på nettet. (DANSK)... 2 Gælder alle systemer.... 2 Vejledning til at tjekke om du har sat manuel IP på din computer.... 2 Windows 7... 2 Windows Vista... 2 Windows XP...

Læs mere

Database for udviklere. Jan Lund Madsen PBS10107

Database for udviklere. Jan Lund Madsen PBS10107 Database for udviklere Jan Lund Madsen PBS10107 Indhold LINQ... 3 LINQ to SQL og Arkitektur... 3 O/R designere... 5 LINQ Den store introduktion med.net 3.5 er uden tvivl LINQ(udtales link): Language-INtegrated

Læs mere

Programmering og Problemløsning. Bedre Eksamensplanlægning

Programmering og Problemløsning. Bedre Eksamensplanlægning Programmering og Problemløsning Bedre Eksamensplanlægning Eva Fajstrup Graversen, Jens Emil Gydesen Mathias Ormstrup Bjerregaard, Mikkel Alexander Madsen Nichlas Bo Nielsen, Sander Jespersen & Ulf Gaarde

Læs mere

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak

Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Google Pagerank Hvordan man finder en nål i en høstak Georg Mohr, 4. marts 2008 Kim Knudsen kim@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ kim/georgmohr2008.pdf

Læs mere

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard

Mandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

WT-1011RC Programmer User Guide

WT-1011RC Programmer User Guide WT-1011RC Programmer User Guide Firmware Version 1.9 Note: 1. Information in this manual is subject to change without notice and does not represent a commitment of manufacturer. 2. Manufacturer shall not

Læs mere

RentCalC V2.0. 2012 Soft-Solutions

RentCalC V2.0. 2012 Soft-Solutions Udlejnings software Vores udvikling er ikke stoppet!! by Soft-Solutions RentCalC, som er danmarks ubetinget bedste udlejnings software, kan hjælpe dig med på en hurtigt og simple måde, at holde styr på

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Databaseadgang fra Java

Databaseadgang fra Java Databaseadgang fra Java Grundlæggende Programmering med Projekt Peter Sestoft Fredag 2007-11-23 Relationsdatabasesystemer Der er mange databaseservere Microsoft Access del af Microsoft Office MySQL god,

Læs mere

Kontraktbaseret Design. Anker Mørk Thomsen

Kontraktbaseret Design. Anker Mørk Thomsen Kontraktbaseret Design Anker Mørk Thomsen 5. marts 2014 -2 Kontraktbaseret Design Anker Mørk Thomsen 1. udgave ISBN: 9788740491500 Forord Bogen er blevet til gennem undervisning i faget Kontraktbaseret

Læs mere

QUICK START Updated: 18. Febr. 2014

QUICK START Updated: 18. Febr. 2014 QUICK START Updated: 18. Febr. 2014 For at komme hurtigt og godt igang med dine nye Webstech produkter, anbefales at du downloader den senest opdaterede QuickStart fra vores hjemmeside: In order to get

Læs mere

PHP 3 UGERS FORLØB PHP, MYSQL & SQL

PHP 3 UGERS FORLØB PHP, MYSQL & SQL PHP 3 UGERS FORLØB PHP, MYSQL & SQL Uge 1 & 2 Det basale: Det primære mål efter uge 1 og 2, er at få forståelse for hvordan AMP miljøet fungerer i praksis, og hvordan man bruger PHP kodesproget til at

Læs mere

Introduktion til ActionScript, fortsat

Introduktion til ActionScript, fortsat Introduktion til ActionScript, fortsat Kaspar Rosengreen Nielsen kaspar@interactivespaces.net i n t e r a c t i v e s p a c e s. n e t Kaspar Nielsen, kaspar@interactivespaces.net 1 Dagens program Opsamling

Læs mere

Min rejse. til. London

Min rejse. til. London Min rejse til London 4. april 2003 14. april 2003 Punkt...Side Fredag den 4. april... 3 Lørdag den 5. april... 4 Søndag den 6. april... 5 Mandag den 7. april... 6 Tirsdag den 8. april... 8 Onsdag den 9.

Læs mere

Programmering af Babysimulator

Programmering af Babysimulator Programmering af Babysimulator Indhold Introduktion... 3 Programmering via computeren... 3 Class... 5 Student... 5 Baby... 6 Start/stop... 6 Schedule order... 6 Quiet Times... 7 Daycare vuggestue... 7

Læs mere

Skriftlig opgave. Designtanker i database-nære systemer

Skriftlig opgave. Designtanker i database-nære systemer Skriftlig opgave til eksamen for faget»databaser«designtanker i database-nære systemer Martin Ancher Holm Juni 2010 1 Intro Denne skriftlige opgave indeholder kort de daglige tanker jeg har omkring design

Læs mere

Indholdsfortegnelse Databaser og PHP... 3 Opgave... 4 Opgave... 5 Opgave... 6 Sidste opgave er en lille gæstebog... 7 Kilder og nyttige links:...

Indholdsfortegnelse Databaser og PHP... 3 Opgave... 4 Opgave... 5 Opgave... 6 Sidste opgave er en lille gæstebog... 7 Kilder og nyttige links:... Indholdsfortegnelse Databaser og PHP... 3 Opgave... 4 Opgave... 5 Opgave... 6 Sidste opgave er en lille gæstebog... 7 Kilder og nyttige links:... 9 Nogle HTML tags... 9 Databaser og PHP Når vi snakker

Læs mere

Start på Arduino og programmering

Start på Arduino og programmering Programmering for begyndere Brug af Arduino Start på Arduino og programmering EDR Hillerød Knud Krogsgaard Jensen / OZ1QK 1 Start på Arduino og programmering Sidste gang (Introduktion) Programmeringssproget

Læs mere

The New Line Copenhagen-Ringsted. Bentleyusers.dk 14 November 2011

The New Line Copenhagen-Ringsted. Bentleyusers.dk 14 November 2011 The New Line Copenhagen-Ringsted Bentleyusers.dk 14 November 2011 Rail transport in Denmark The history of rail transport in Denmark began in 1847 with the opening of a railway line between Copenhagen

Læs mere

Håndbog Til CPR services. Bilag 8 GCTP-standard m.m. CPR-kontoret

Håndbog Til CPR services. Bilag 8 GCTP-standard m.m. CPR-kontoret Håndbog Til CPR services Bilag 8 GCTP-standard m.m. CPR-kontoret Datavej 20, Postboks 269, 3460 Birkerød E-post: cpr@cpr.dk. Telefax 45 82 51 10. Hjemmeside: www.cpr.dk Side 2 af 14 Indholdsfortegnelse

Læs mere

! #!! $ % $! & " &'"! & *+ "! " $ $ ""!,-! $!.! $! " # 1!! &' "

! #!! $ % $! &  &'! & *+ !  $ $ !,-! $!.! $!  # 1!! &' ""# "" # $ % $ & " &'" & " "()" *+ " " $ $ *+" $ %"&'" "( "",- $. + /"&'"-0 $ " # 1 &' " +"% $ %'('" 2 ' ) )030 )030) * )033 " )033 // " " 1 1 41 ")035)036 5- " " " *+773,8 *+ % " " )035& " )036& " 1 %"

Læs mere

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau

Roskilde Tekniske Gymnasium. Eksamensprojekt. Programmering C niveau Roskilde Tekniske Gymnasium Eksamensprojekt Programmering C niveau Andreas Sode 09-05-2014 Indhold Eksamensprojekt Programmering C niveau... 2 Forord... 2 Indledning... 2 Problemformulering... 2 Krav til

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

DATALOGI 1F. Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 %

DATALOGI 1F. Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 % Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1F Skriftlig eksamen tirsdag den 10. juni 2003 Opgave Vægtning 1 25 % 2 10 % 3 25 % 4 10 % 5 30 % Alle de sædvanlige hjælpemidler må benyttes,

Læs mere

Guide til Umbraco CMS

Guide til Umbraco CMS web Guide til Umbraco CMS Indhold Indledning 3 Kompatible browsere 3 Log ind i Umbraco 4 Content-delen 5 Indholdstræet 5 Tilføjelse af en side/sektion 7 Sortering af indhold 12 Galleri 14 Mediebibliotek

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Lederens ressourceoptimering

Lederens ressourceoptimering Lederens ressourceoptimering 44568 5S Sortere Sætte i orden Skure Standardisere Selvdisciplin 1 Derfor skal der indføres 5S Eksempler på forventede resultater ved succesfuld 5S implementering: Reducerede

Læs mere

Guide til indbygget PLC Teco 7300 CV frekvensomformere

Guide til indbygget PLC Teco 7300 CV frekvensomformere Guide til indbygget PLC Teco 7300 CV frekvensomformere Juni 2005 Indholdsfortegnelse. Interface...3 Installering af PC-program...3 Forbindelse til frekvensomformer...4 Gem parameteropsætning / PLC-program...7

Læs mere

Ruko SmartAir. Updater installation

Ruko SmartAir. Updater installation Ruko SmartAir Updater installation Introduktion. Updateren er en speciel enhed som giver os mulighed for at tilføje, læse og skrive funktioner i en offline installation. Med læse og skrive funktionen kan

Læs mere

Miniprojekt2011. Formålet er at lære og indlære god objektorienteret programudvikling og programmering med Java, samt undervejs at opfylde studiekrav.

Miniprojekt2011. Formålet er at lære og indlære god objektorienteret programudvikling og programmering med Java, samt undervejs at opfylde studiekrav. Miniprojekt2011 Projektbeskrivelse Der skal fremstilles en lille java application på PC, hvor brugeren kan foretage interaktioner med en simpel database på disken via et grafisk brugerinterface. Formålet

Læs mere

Statistik (deskriptiv)

Statistik (deskriptiv) Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken

Læs mere