Aalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren

Transkript

1 BM7-1-E09 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren Tema: Titel: Projektgruppe: Gruppemedlemmer: Vejleder: Analyse af bærende konstruktioner BM7-1-E09 Christian Jensen, Søren Hansen, Ida Folke Møller, Tina Højgaard Christiansen og Pernille Guldberg Mikkelsen Ronnie Refstrup Pedersen Lars Damkilde Projektperiode: 2. september december 2009 Synopsis Rapporten omhandler analyse af RHS stålprofiler. Der arbejdes med et perforeret og et uperforeret profil. Gennem forsøg, analytiske overslag og numeriske beregninger ved hjælp af FEM analyseres profilernes mekaniske opførsel. Der er gennemføres et parameterstudie i ANSYS med henblik på fastlæggelse af den mest optimale beregningsmodel. Gennem rapporten arbejdes der sideløbende med en solid- og en skalmodel. Stålets flyde-og brudspænding bestemmes ved trækforsøg med prøveemner. Der gennemføres bøjningsforsøg med profilerne. Symmetri undersøges igennem målinger af flytninger og tøjninger med formål at belyse imperfektioner og opstillingsfejl. Tøjningerne omregnes til spændinger. Poissoneffekten eftervises med det uperforerede profil. Der opstilles analytiske overslag for spændingsfordelingen i profilerne. Flytninger beregnes analytisk for det uperforerede profil. Der opstilles et overslag for flytningerne i det perforerede profil. Der er overensstemmelse mellem de forskellige beregningsmetoder. Resultaterne for solidmodellen er tættere på de analytiske løsninger end skalmodellen. Oplag: 8 Sideantal hovedrapport: 78 Side I

2

3 BM7-1-E09 Forord Denne rapport er udarbejdet på kandidatuddannelsens første semester af gruppe BM7-1-E09 ved det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet, i perioden 2. september til 18. december Det overordnede formål med projektet er at: sætte den studerende i stand til at anvende avancerede beregningsmetoder og eksperimentelle metoder i forbindelse med spændings- og deformationsanalyse af bærende konstruktioner. [B-studienævnet2007, side 6] Kildehenvisninger er angivet med fodnoter, der henviser til en samlet referenceliste bagerst i rapporten. Der er bagerst i rapporten vedlagt tre fold-ud-bilag. Der henvises til figurer og tabeller i fold-ud-bilag med præfiks F og fortløbende nummerering. Hvor det findes fordelagtigt nummereres formler (X.Y) hvor X er afsnitsnummeret og Y er formelnummeret. Formelnummeret nummereres fortløbende i hvert afsnit. Appendikser er vedlagt som selvstændige elektroniske dokumenter. Figurer og tabeller er af eget materiale eller undervisningsnoter, hvis ikke andet er oplyst. Alle forsøg er udført i laboratoriet i Esbjerg. I den forbindelse rettes en tak til Sven Krabbenhøft for råd og vejledning i forbindelse med forberedelse og gennemførelse af forsøgene. De to grupper på årgangen deles om en standardlængde af det valgte profil, hvor hver gruppe har deres eget perforerede profil og et fælles referenceprofil, der ikke er huller i. Resultaterne for forsøget i det plastiske område med referenceprofilet ikke er registreret på grund af en brugerfejl. Der vedlægges en CD indeholdende Hovedrapport Appendiks A-K MATLAB programmer Arbejdstegninger 18. december 2009 Christian Jensen Tina Højgaard Christiansen Ida Folke Møller Søren Hansen Pernille Guldberg Mikkelsen Side III

4 BM7-1-E09 1 Indledning Generelt Afgrænsning Opgaveformulering Profilets udseende Grundprofilet Belastningsmetode Hullernes placering og antal Stabilitetssvigt Finite Element Metoden Parameterstudie som grundlag for opbygning af finite element model Symmetribetragtninger, understøtninger og last Kort eller lang model Elementinddeling Materialemodel Modellernes opbygning Analyseresultater Forsøg Estimering af materialeparametre Trækforsøg Bjælkens bøjningsstivhed Delkonklusion Undersøgelse af bjælkens mekaniske egenskaber Forsøgsopstilling Forsøgsresultater for bøjningsforsøg Fejlkilder Trækforsøg Bøjningsforsøg Analytiske overslagsberegninger Spændinger i det elastiske område ud fra Naviers spændingsformel Airys spændingsfunktion for en plade med et cirkulært hul Bestemmelse af spændingsfordeling omkring et cirkulært hul FEM beregning af en plade med et cirkulært hul Teoretisk bestemmelse af SCF ud fra diagramopslag Opstilling af model for pladefelt med tre huller udsat for bøjning Afprøvning af antagelse ved hjælp af ANSYS Vurdering af resultaterne Estimat på SCF for RHS-profil med tre huller udsat for bøjning Analytisk bestemmelse af flytninger for referencebjælken Bestemmelse af flytningerne på bjælkemidten med VAP Side IV

5 BM7-1-E Overslag på primærbjælkens flytning ved fuldt udviklet flydning Elastisk udbøjning Plastisk udbøjning Sammenligning af resultater Flytninger Sammenligning af flytningerne for referencebjælken Sammenligning af flytningerne for primærbjælken Bjælkernes relative stivhed Sammenligning af spændinger Spændingskoncentrationsfaktoren Sammenligning af spændinger i det elastiske område Sammenligning af spændinger for referencebjælken Delkonklusion Diskussion og vurdering af resultater FEM Analytiske overslag Spændingskoncentrationsfaktoren Flytningerne ved fuldt udviklet flydning Fejl på forsøgsresultater Fejl i flytninger Fejl i spændinger og tøjninger Samlet vurdering af fejl for flytninger og spændinger Brudkraften Bruddet Konklusion Perspektivering Referenceliste Side V

6

7 BM7-1-E09 1 Indledning 1.1 Generelt Konstruktioner indeholder ofte komplekse elementer, hvor den traditionelle bjælketeori ikke kan anvendes. Det er derfor nødvendigt at bestemme en løsning ved hjælp at analytiske tilnærmelser eller avancerede numeriske modeller. Alternativt kan forsøg give de nødvendige erfaringer for at kunne dimensionere konstruktionen eller anvendes som verifikation af approksimationerne. I konstruktionsmæssige sammenhænge kan det være nødvendigt at lave perforeringer i en konstruktionsdel eksempelvis på grund af en gennemgående installation eller for at reducere egenvægten. Konstruktionsdelen, der behandles i projektet er et RHS stålprofil. RHS profiler fås med rektangulære eller kvadratiske tværsnit. Profilerne er eksempelvis velegnede til konstruktioner, der kræver lige stor bøjningsstyrke om begge akser. Ofte anvendes profilet som stolper i, trappevanger eller vindafstivning i bygninger. Nedenstående figur illustrerer Beijing National Stadium, hvor der i høj grad er anvendt RHS profiler. Figur 1: Beijing National Stadium I offshore sammenhænge anvendes RHS profiler til at konstruere Drop Object Protection (DOP), der har til formål at beskytte tanke og lignende i områder, hvor der er risiko for at kraner kan tabe tunge genstande, se figur 2. Figur 2: Anvendelse af RHS profiler på offshore platforme Side 1

8 BM7-1-E09 Spændingsfordelingen i et perforeret RHS profil kan ikke bestemmes med en simpel analytisk beregning. Problemet løses ved at opstille approksimative løsninger i form af avancerede analytiske eller numeriske modeller. Projektets formål er at skabe indsigt i teorien bag og anvendelsen af de analytiske og numeriske metoder, herunder vurdere betydningen af forenklinger og antagelser. Der skal opnås en forståelse af de forskellige modellers begrænsninger og fejl. Projektet indeholder tre kerneområder, se figur 3. Gennem en kombination at forsøg, analytisk- og numeriske modeller klarlægges bjælkens mekaniske egenskaber. Figur 3: Treenighed bestående af numeriske og analytiske modeller samt forsøg. Med henblik på at skabe forståelse for hullernes indflydelse på bjælkens mekaniske opførelse sammenlignes direkte med et tilsvarende uperforeret RHS profil. Det perforerede RHS profil benævnes herefter primærbjælke og det uperforerede kaldes referencebjælke. 1.2 Afgrænsning En måde at belyse bjælkens mekaniske opførelse på er ved at belaste, så ikke lineære forhold opstår. Disse kan forekomme som stabilitetssvigt (geometrisk svigt) eller flydning i tværsnittet (materialesvigt). Projektet afgrænses til at behandle et RHS-profil, hvor der opstår flydning i tværsnittet. 1.3 Opgaveformulering Projektets formål opnås gennem sammenligning af resultaterne fra forsøg, numeriske modeller samt analytiske overslag. Der vil gennem projektarbejdet blive lagt vægt på at fastsætte bjælkernes mekaniske egenskaber ved sammenligning af resultaterne. For at skabe grundlag for sammenligning af de approksimative analyser og målingerne skal der gennemføres trækforsøg med formål at bestemme elasticitetsmodulet og Poissons forhold samt bestemmelse af flyde- og brudspændingen undersøgelse. Der skal endvidere gennemføres bøjningsforsøg med både primær- og referencebjælken i det lineære område, samt forsøg med primærbjælken i det ikke lineære område. Profilets tværsnit skal vælges således, at de ikke-lineære effekter, der frembringes, sker som flydning i materialet og ikke som stabilitetssvigt. Bjælkens mekaniske egenskaber undersøges gennem måling af flytninger og tøjninger (deformationer), der skal danne grundlag for at bestemme spændingerne. Side 2

9 BM7-1-E09 Det leder frem til, at bjælkernes deformationer bestemmes med henblik på at undersøge - bjælkens elastiske og plastiske egenskaber - bjælkernes symmetriske egenskaber - tilstedeværelsen af poissoneffekten - hullers indvirkning på spændingsfordelingen (spændingskoncentrationsfaktoren) 1.4 Profilets udseende Projektet er defineret som analyse af et RHS-profil, hvori der laves et antal huller med henblik på at ændre spændingsfordelingen i bjælken. Bjælken ønskes belastet med bøjning, hvorfor hullerne vælges placeret i kroppen Grundprofilet For at hullerne skal få mærkbar betydning, vurderes diameteren at skulle være mindst 2/3 af profilets højde eksklusiv rundingerne. Der skal monteres måleudstyr (strain gauges) på bjælken for at måle tøjningerne. De skal bestemmes både over og under hullerne, hvorfor der skal være mindst 10 mm mellem hulrand og hjørnerundingens start på hver side af hullerne henset til montage. De ikke-lineære effekter, der skal fremprovokeres i profilet ønskes som flydning i materialet. Standardprofilerne henregnes som hovedregel til tværsnitsklasse 1 ved ren bøjning. Der vælges en godstykkelse på 5 mm. Et RHS 100x100x5 mm har en kropshøjde eksklusiv hjørnerundinger på 85 mm. Hullets diameter bliver dermed mindst 2 85 = 57 3 En diameter på 60 mm giver en højde på 12,5 mm over og under hullet til placering af måleudstyr. Bjælkelængderne vælges til 1,9 m. Trykkebænken begrænser ikke forsøgene med det aktuelle profil. Der vælges en spændvidde på 1,7 m for at sikre, at bjælken ikke glider ud af forsøgsopstillingen Belastningsmetode Forsøget udføres som four-point bending ved at påføre to lige store enkeltkræfter. Mellem enkeltkræfterne er forskydningskraften nul og momentet konstant. Den principielle opsætning af et four-point bending forsøg med tilhørende forskydnings- og momentkurver er illustreret på figur 4. Figur 4: Opsætning af four-point bending med tilhørende forskydnings- og momentkurve Side 3

10 BM7-1-E Hullernes placering og antal Der skal etableres flere huller. Hullerne placeres i symmetriaksen med henblik på at opnå lige store områder for placering af måleudstyr, samt muligheden for at opnå symmetrifordele i forbindelse med FEM modelleringen. Afstanden mellem trykpunkterne i trykaggregatet er 500 mm. Ved belastning opstår en spæn- dingskoncentration omkring trykzonen, der skal tages hensyn til. Hullerne skal placeres uden- for denne zone for at tilsikre en normal spændingsfordeling. Figur 5: Saint Venant princip for et pladefelt udsat for koncentreret trykkraft. kraft. Der sker en spændingskoncentrati- on centreret lige under kraftens angrebspunkt. Spændingerne i bredden aftager. Fordelingen ændrer sig med højden af snitet, og ved en højde svarende til bredden er spændingskoncentrationen ca. 1. Kilde: The civil engineering Handbook p.1387 Saint Venant s princip for spændingsfordelingen fremgår af figur 5. Her ses, at spændingsforbredde er lig med højden af pladefeltet. Det bety- delingen er normaliseret, når trykzonens der, at hulranden for hullet tættest på trykpunkterne ikke må komme tættere på end den hal- ve profilhøjde, se figur 6. Det svarer til, at hullerne skal placeres indenfor 490 mm. Figur 6: Grænserne for Saint Venant effekten. Afstanden mellem hullerne ønskes lig med diameteren. Der kan dermed være plads til = 1 å 2 1 = = Der laves tre gennemgående huller i profilet, der placeres symmetrisk om bjælkemidten Stabilitetssvigt Profilet undersøges es jf. afgrænsningen afsnit 1.2 med hensyn til stabilitetssvigt. For detaljer i beregningen se appendiks A Overslagsberegning på foldning i kroppen Referencebjælken tilhører tværsnitsklasse 1. Det samme gør flangerne i primærbjælken, mens hullerne i kroppene gør, at der skal laves en foldningsundersøgelse.

11 BM7-1-E09 Der er alene risiko for foldning i trykzonerne og foldningen vil ske det sted, hvor pladefeltet i trykzonen mellem hullernes centrer er fastholdt mod udbøjning ved profilets rundinger. På den sikre side regnes spændingerne i trykzonen i kroppen som jævnt fordelt over hullet i profilet ved fuldt udviklet flydning. Der er usikkerhed på stålets reelle flydespænding, hvorfor der regnes med stålets ultimale spænding, se figur 7. Figur 7: Regningsmæssig spændingsfordeling i pladefeltet mellem hullerne. Den røde stiplede linje illustrerer pladefeltet. Afstanden mellem hullerne er 120 mm og pladefeltets højde regnes som 50 mm, hvilket også er på den sikre side. Foldningskoefficienten, k σ, findes for en plade, der er fastholdt i en rand og fri i den anden og udsat for rent tryk til 0, Den kritiske spænding, σ cr, bestemmes som = 0,903 = 0,903 0, = 806 Der er usikkerhed på stålets reelle flydespænding, hvorfor der på den sikre side regnes med stålets ultimale spænding 490MPa jf. teknisk ståbi. Pladefeltets relative slankhedsforhold ved bøjning og normalkraft er = 490 = = 0,78 0,8 806 Da er mindre end 0,8, er = 1 hvor er spændingen for begyndende foldning Det medfører, at der ikke opstår foldning i kroppen før flydning, hvilket betyder, at der ikke forventes foldning i profilet. 1 Teknisk Ståbi p.225 afsnit (4) Side 5

12 BM7-1-E09 2 Finite Element Metoden Finite element metoden (FEM) er en numerisk metode til løsning af komplicerede fysiske problemer. Metoden kan blandt andet anvendes til løsning af varmelednings-, strømnings- og strukturanalyser. Med håndberegning kan det være vanskeligt at danne sig overblik over, hvordan komplicerede konstruktioner opfører sig, når de udsættes for forskellige påvirkninger. Det kan også være vanskeligt at foretage de rigtige antagelser, når en forenklet model skal bruges. Det centrale i forbindelse med finite element analyse er opbygningen af den model, der skal analyseres. Modellen skal tilpasses virkeligheden på et tilpas nøjagtigt detaljeringsniveau, der sikrer, at de væsentligste fysiske og geometriske karakteristika medtages. Den fysiske model opbygges af en række elementer. Elementernes størrelse har afgørende betydning for beregningens nøjagtighed. Omkring huller eller kærve skal der typisk anvendes et stort antal elementer for at få nøjagtige resultater. Det betyder imidlertid ikke, at det er nødvendigt at anvende meget små elementer i den øvrige konstruktion. Hvor store elementer, man kan tillade sig at anvende, kan undersøges ved et konvergensstudie. Der er mulighed for at anvende forskellige typer elementer i modellen. Elementvalget har betydning for konvergenshastigheden. Modellen skal understøttes og belastes på passende vis, hvorefter en egentlig beregning kan foretages. Når bjælkerne påvirkes i bøjningsforsøgene, vil de undergå nogle flytninger. Flytningerne medfører spændinger i materialet som følge af tøjningerne. Ved hjælp af finite element metoden kan flytninger, tøjninger og spændinger beregnes på forhånd og der kan dannes et billede af, hvorledes profilerne opfører sig mekanisk. Forsøget i trykkebænken kan designes på baggrund af finite element. Processen er illustreret i figur 8. Definition af konstruktionen Geometri og materiale Valg af elementtype MESH Last og understøtning Løsning mht. flytninger og spændinger. Numerisk, fx vha. ANSYS Figur 8: Simulering ved hjælp af finite element proces. Arbejdet med finite element metoden adskiller sig i forbindelse med dette projekt i to dele Teoretisk grundlag for numerisk beregning Opbygning af finite element model med formål at - danne grundlag for design af forsøg og - skabe grundlag for sammenligning af resultater Det teoretiske arbejde med finite element ikke har direkte betydning for projektarbejdet. Der er redegjort for det teoretiske grundlag for bestemmelse af flytninger og spændinger ved hjælp af finite element metoden. Som demonstration af teorien er der udarbejdet to programmer i MATLAB, der for CST og LST elementerne kan beregne spændinger og flytninger for en vilkårlig geometri udsat for et givent lastscenarie, se appendiks B. Side 6

13 BM7-1-E Parameterstudie som grundlag for opbygning af finite element model Der gennemføres en parameterundersøgelse i ANSYS med formål at bestemme, hvordan den mest optimale finite element beregningsmodel opbygges. Den udgave af ANSYS, som er til rådighed, er begrænset til at kunne behandle modeller med højest knuder. Der gøres derfor nogle overvejelser omkring, hvordan bjælken kan modelleres og beregnes i ANSYS på den bedst mulige måde, dvs. med størst mulige nøjagtighed for de til rådighed værende knuder. I appendiks C er der foretaget en undersøgelse af, hvordan analysemodellen opbygges på den mest hensigtsmæssige måde, under hensyn til programmets begrænsninger. I dette afsnit vil de væsentligste betragtninger og overvejelser vedrørende modellen fremgå. Der arbejdes med to typer modeller. En skalmodel og en solidmodel. I forbindelse med solidmodellen modelleres profilhjørnerne i overensstemmelse med virkeligheden. I forbindelse med skalmodellen er det ikke muligt. Modellering af profilhjørner for begge modeltyper fremgår af figur 9. Figur 9: a) Profilets virkelige geometri, b) Tværsnittets udseende modelleret med skalelement inden parallelforskydning, c) Tværsnittets udseende modelleret med skal elementer efter parallelforskydning. Mål i mm. Beregninger jf. appendiks C afsnit C.3.1 viser, at grundet modelleringen af profilhjørnerne bliver skalmodellens stivhed mindre end solidmodellens. Forskellen i stivhed er ca. 3 %. For de to typer undersøges følgende områder med henblik på modeloptimering: Symmetribetragtninger, understøtning og last Kort eller lang model Elementinddeling Materialemodel Med referencerne kort og lang model menes bjælker som illustreret på figur 10. Figur 10: Øverst: lang bjælkemodel. Nederst: kort bjælkemodel. Side 7

14 BM7-1-E Symmetribetragtninger, understøtninger og last Bjælken forudsættes belastet med centrum af trykaggregatet over profilets symmetriakse gennem centrum af midterhullet, der igen er placeret midt mellem understøtningerne. Det medfører, at lastfordelingen i bjælkens to halvdele i længderetningen er ens. Disse betragtninger gøres også omkring den lodrette symmetriakse gennem profilets tværsnit, se figur 11. Det betyder, at profilet kan modelleres som et U-profil i bjælkens halve længde. Figur 11: Symmetribetragtninger Understøtninger Ud fra symmetribetragtningerne er det muligt at modellere profilet i reduceret størrelse. Bjælken er simpelt understøttet i begge ender. Den maksimale flytning findes, hvor tangenthældningen er 0, hvilket svarer til at = = 0 hvor er tværflytningen og er drejningen Hvor drejningen er nul, er symmetrilinjen lodret. Det betyder, at ved en model med den halve bjælkelængde, skal symmetrilinjen fastholdes mod flytning i længderetningen, se figur 12. Figur 12: Model af bjælken. Øverst: Symmetrilinjen i bjælkens længderetning. Nederst: Bjælken deformeret og udeformeret. Bjælkens tværsnit er symmetrisk om lodret akse, da hullerne i profilets kroppe er placeret over for hinanden. Det betyder, at drejningen af flangerne i symmetriakserne ligeledes er nul. Fladerne i symmetriaksen skal fastholdes mod flytning på tværs af profilets tværsnit, figur 13. Side 8

15 BM7-1-E09 Figur 13: Til venstre: Lodret symmetrilinje i tværsnittet. Til højre: Flangernes vertikale deformation. Bjælken orienteres i et rummeligt kartesisk koordinatsystem, hvor bjælkens længdeakse placefigur res i x-retningen, bjælkehøjden i y-retningen og bjælkebredden i z-retningen, se 14. Figur 14: Bjælkens orientering i et rummeligt kartesisk koordinatsystem. Snittene skal fastholdes mod rotation samt flytning normalt på snittet. Når solidmodellen fastholdes mod flytning normalt på fladen i snittet, er den automatisk fast- holdt mod rotation. Linjerne i skalmodellen len skal desuden forhindres mod rotation omkring sig selv. Understøtningen i y-retningen modelleres ens for skal- og solidmodellerne. Ved analyse af modellerne åbnes mulighed for at analysere på kort eller lang model. Den korte model fastholdes mod flytning i y-retningen i et enkelt punkt, mens den lange model (svarende til den halve bjælkelængde) understøttes mod flytning i y-retningen i en linje, der åbner mulig- hed for rotation omkring linjen svarende til et charnier. Understøtningsforholdene for lang- og kort model, henholdsvis solid- og skalmodel fremgår af figur 15 og figur 16. Solid model Lang model Kort model - Fastholdelse e mod flytning i y. For lang model i en linje og for den korte i et punkt. - Fastholdelse i z-aksen retning. Fastholdelse i en flade for at undgå rotation. - Fastholdelse i x-aksen retning. Fastholdelse i en flade for at undgå rotation. Figur 15: Illustration af understøtningsforhold for henholdsvis lang og kort solidmodel. Side 9

16 BM7-1-E09 Skal model Lang model Kort model - Fastholdelse mod flytning i y - Fastholdelse i z-aksen retning og fastholdelse mod rotation om x-aksen - Fastholdelse i x-aksen retning og fastholdelse mod rotation om z-aksen - Fastholdelse i x-aksen retning og fastholdelse mod rotation omkring y-aksen Figur 16: Illustration af understøtningsforhold for henholdsvis lang og kort skalmodel. Analyser viser, at der opstår områder omkring linjeunderstøtningen (rød), hvor spændingsniveauet er højt. Spændingskoncentrationen er illustreret for solidmodellen, se figur 17. Tilsvarende gør sig gældende for skalmodellen. Figur 17: Spændingsfordeling (Von Mises) omkring bjælkeenden. Solidmodel. Spændingskoncentration skyldes, at understøtningen er placeret i en linje. Det vurderes, at de hotspots, der opstår ved simuleringen, ikke vil være så markant i forhold til den virkelige spændingsfordeling i profilet under forsøget Last Kort model Når der trykkes på bjælken ved four point bending skabes en zone med konstant moment. For den korte model kan lasten ikke påsættes direkte. Derfor skal momentet i trykzonen modelleres som et kraftpar, P øvre og P nedre, jf. figur 18. Side 10

17 BM7-1-E09 Figur 18: Omregning af moment til kraftpar. Der er lavet et studie af, hvordan P øvre og P nedre påsættes modellerne på den mest hensigtsmæssige måde i forholdt til spændingsfordelingen omkring hullerne samt lokal deformation/spændingskoncentration. I undersøgelsen er P øvre og P nedre påsat som enkeltkræfter, en række enkeltkræfter eller en linjelast (skal)/fladelast (solid). Det er fundet, at lasten bør påsættes skalmodellen som en linjelast og solidmodellen som fladelast, da dette skaber den mindste spændingskoncentration ved belastningsområdet. Lang model I tilfælde af den lange model skal lasten påføres flangen i y-retningen 250 mm fra midten af bjælken. Her kan lasten enten påføres som en linjelast, en fladelast eller en punktlast. Da det ikke er muligt, at påføre en linjelast vinkelret på et skalelement og belastningen ønskes ens for de to modeller, undersøges linjelasten ikke som en mulighed. Det konkluderes, at lasten for både skal- og solidmodel bør påsættes som fladelast på et areal med bredden 5 mm, da dette skaber den mindste spændingskoncentration ved belastningsområdet Kort eller lang model Det er ønskeligt at reducere modellen mest muligt af hensyn til antallet af elementer og dermed beregningsprocessen. For at undersøge modellens indflydelse på spændingsfordelingen analyseres den korte og den lange model af bjælken, jf. figur 10. Studiet er tilrettelagt således at der for én given lastsituation og én given elementinddeling gennemføres en analyse med ANSYS, hvorefter spændingerne i kritiske punkter omkring hullerne udlæses, se figur 19. Figur 19: Referencepunkter. Der aflæses både yderside og inderside. Side 11

18 BM7-1-E09 Af hensyn til sammenligningsgrundlaget laves elementinddelingen for den korte og lange model ens for henholdsvis skal- og solidmodellen. Beregningerne gennemføres med ækvivalente belastninger og understøtningsforhold. Der er således gennemført beregninger på følgende fire modeller: Skalmodel - Kort - Lang Solidmodel - Kort - Lang For hver af de fire modeller er der aflæst spændinger i otte punkter. I alle beregninger har det vist sig, at der er forskel mellem resultaterne fra kort og lang model. Der er ikke signifikant forskel på spændingerne i overkant og underkant hulrand, men spændingerne er generelt størst på indersiden af profilet. Spændingsfordelingen om hullerne for de forskellige modeller fremgår af figur 20. Skalmodeller Kort model, spændingsfordeling Solidmodeller Kort model, spændingsfordeling Lang model, spændingsfordeling Lang model, spændingsfordeling Figur 20: Von Mises spændingsfordelingen omkring hullerne for de to modeller i kort og lang version. Den største afvigelse mellem den korte og den lange model er omkring 5 % for både skal og solid. Det vurderes derfor, at en reduktion i modellens omfang fra lang til kort vil kunne betyde en reduktion i nøjagtighed af beregningsresultater på indtil 5 %. En forudsætning for anvendelsen af den lange model er dog, at elementinddelingen kan gøres tilstrækkelig fin indenfor den øvre begrænsning af knudeantallet, som ANSYS sætter. Side 12

19 BM7-1-E09 Lineært eller andenordens element Struktureret eller ustruktureret mesh Elementstørrelse Elementinddeling For at kunne vurdere, hvor store elementer, der med rimelighed kan anvendes i elementindde- lingen, er der lavet et med formål at klarlægge: Der er alene arbejdet med den korte model, dels med og uden huller, da der ønskes mulighed for at lave meget fine elementinddelinger uden at overstige det maksimale knudeantal. Modelvil vise sig i forbindelse med konver- gensstudiet. Konklusionerne kan videreføres direkte til anvendelse på en lang lens længde har ingen betydning for de tendenser, der model. Der er undersøgt følgende fire elementer: Solid45 (lineært solidelement), Solid95 (andenor- dens solidelement, Shell63 (lineært skalelement) og Shell93 (andenordens skalelement). Der er undersøgt for struktureret og ustruktureret mesh, jf. figur 21. Figur 21: Eksempel på et struktureret mesh (til venstre, grøn) og et ustruktureret mesh (til højre, rød) omkring et hul. I konvergensstudiet arbejdes derfor med følgende modeller, se figur 22: Modeller til undersøgelse i konvergensstudie solid skal solid95 solid45 shell93 shell63 m. huller u. huller m. huller u. huller m. huller u. huller m. huller u. huller free free free free free free free free mapped mapped mapped mapped mapped mapped mapped mapped Figur 22: Oversigtsdiagram der viser de 16 forskellige modeller, der er gennemført beregninger for, i forbindelse med konvergensstudiet. Mapped = struktureret elementinddeling. Free = ustruktureret elementinddeling. Side 13

20 BM7-1-E Konvergensstudie Konvergensstudiet er tilrettelagt således, at der for hver af de 16 modeller er lavet en spændingsanalyse, hvor knudeantallet 2 er tæt på den øvre grænse og som minimum større end Løsningen fra denne beregning betragtes som den rigtige løsning. Derefter udføres desuden en række analyser, hvor meshet gradvist gøres grovere, hvorved det totale knudeantal mindskes. Resultaterne fra disse gennemregninger sammenlignes med de rigtige resultater og afvigelsen beregnes. Der tillades en afvigelse på 0,5 %. Dette er en vurderet grænse for, hvornår det ikke kan svare sig at medtage flere elementer, fordi det er ineffektivt. På figur 23 er 0,5 % grænsen illustreret, idet der er taget udgangspunkt i en skalmodel med huller, shell63 og struktureret mesh. I stedet for at aflæse knudeantallet på grafen, er der valgt den første af de undersøgte elementstørrelser, som ligger i den konvergerede zone. Figur 23: 0,5 % grænsen er lagt ind. Til venstre for den lodrette linje er resultaterne ikke konvergeret. Til højre for linjen betragtes resultaterne som konvergerede. Aflæses 0,5 % grænsen på grafen, bliver knudeantallet ca Da der ikke er lavet undersøgelser på, hvilken elementlængde dette svarer til, vælges elementlængden for det første konvergerede punkt. Punktet er markeret med rød cirkel. Dvs. knudeantal Resultater af elementinddelingen Resultaterne af konvergensstudiet fremgå af tabel 1 og tabel 2. Solidmodel med huller Elementinddeling Max sidelængde på Antal knuder pr 250 mm udsnit element [mm] Solid95 struktureret mesh Solid95 ustruktureret mesh Solid45 struktureret mesh 1, Solid45 ustruktureret mesh Konvergerer ikke Solidmodel uden huller Solid95 struktureret mesh Solid95 ustruktureret mesh Solid45 struktureret mesh Solid45 ustruktureret mesh 2, Tabel 1: Elementstørrelse og antal knuder på den korte model ved konvergens. 2 I forbindelse med Solid45 er det ikke knudeantallet, men antallet af elementer, der giver den øvre begrænsning. Der kan højst anvendes elementer. Side 14

21 BM7-1-E09 Skalmodel med huller Elementinddeling Max sidelængde på Antal knuder pr 250 mm udsnit element [mm] Shell93 struktureret mesh Shell93 ustruktureret mesh Shell63 struktureret mesh Shell63 ustruktureret mesh Skalmodel uden huller Shell93 struktureret mesh Shell93 ustruktureret mesh Shell63 struktureret mesh Shell63 ustruktureret mesh Tabel 2: Elementstørrelse og antal knuder på den korte model ved konvergens. Det mest effektive mesh er et struktureret mesh for både solid og skalmodel. Det bedste element for solidmodellen er solid95 i størrelsen 3 mm omkring hullerne og 5 mm på den resterende del af bjælken. Til skalmodellen er det mest effektivt at anvende shell93 i størrelsen 2 mm omkring hullerne og 5 mm på den resterende del af bjælken Materialemodel Materialemodellens indflydelse undersøges i forhold til spændingerne. Ved analyser i det plastiske område skal materialemodellen tilpasses, så den kan håndtere deformationerne over flydegrænsen. Det ufuldstændige kendskab til materialets egenskaber over flydegrænsen betyder, at der benyttes en bilineær materialemodel frem for en multilineær materialemodel. En bilineær materialemodel betyder, arbejdskurven opdeles i to stykkevise lineære funktioner, der skærer hinanden i flydepunktet, se figur 24. Den lokale undersøgelse af de to elasticitetsmoduler bestemmes ud fra arbejdskurven for varmvalset stål. Materialekonstanterne fremgår af tabel 3. Figur 24: Principiel arbejdskurve for varmvalset stål. Den blå streg viser den lineære tilnærmelse i den plastiske del af arbejdskurven. I ANSYS anvendes von mises flydeflade og isotropic hardening plasticity. 355 MPa 490 MPa 2 40 Tabel 3: Materialekonstanter jf. stålkonstruktioner efter DS 412. Side 15

22 BM7-1-E09 Hældningen på den tilnærmede, lineære kurve for den plastiske del beregnes vha. Hookes lov = = = ,038 Resultaterne fra en bilineær materialemodel undersøges i forhold til en lineær model. Endvidere undersøges beregningstiden for elastiske analyser under anvendelse af en bilineær materialemodel frem for en lineær. Studiet gennemføres ved at lave otte analyser på hver af de to modeller, skalmodel og solidmodel. Der varieres mellem fire laster, to over og to under den last, der medfører flydning i det hårdest belastede punkt og det gøres for både modeller hvor der er anvendt lineær og bilineær materialemodel, jf. figur 25. modeller til undersøgelse solid skal lineær materialemodel bilineær materialemodel lineær materialemodel bilineær materialemodel last1. Ingen flydning last1. Ingen flydning last1. Ingen flydning last1. Ingen flydning last2. ingen flydning last2. ingen flydning last2. ingen flydning last2. ingen flydning last3. Flydning last3. Flydning last3. Flydning last3. Flydning last4. flydning Figur 25: Oversigtsdiagram der viser de forskellige analyser der er gennemført med henblik på at undersøge for- holdene vedrørende anvendelse af bilineær materialemodel. For de tilfælde, hvor lasten ikke giver anledning til flydning, skal spændingen i referencepunklineær eller bilineær materialemodel. Afvigelsen mellem en bilineær og lineær materialemodel er ikke betydende for lastpåvirknin- tet være den samme uanset, om der anvendes en ger under flydegrænsen. 10 last4. flydning last4. flydning last4. flydning 8 Afvigelse [%] Elastisk spænding [MPa] Figur 26: Afvigelsen mellem den lineære og bilineære materialemodel. model. Grafen knækker inden flydespændingen, da der er lavet en lineær udvikling mellem et punkt over og under denne grænse.

23 BM7-1-E09 Beregningstiden påvirkes betydeligt for belastninger der medfører spændinger under flydespændingen, da der er singulariteter i forbindelse med understøtninger og lastens påsætning. Anvendelsen af den samme beregningsmodel i alle analyser er en fordel. Den samlede beregningsmodel bør opbygges af to materialemodeller, hvor områder der er udsat for singulariteter tildeles en lineær materialemodel Modellernes opbygning På baggrund af parameterstudiet opbygges de numeriske analysemodeller. Der arbejdes videre med både en skal- og en solidmodel. Skalmodellens stivhed er ca. 3 % mindre end solidmodellens. Materialemodellerne vælges som bilineære omkring hullerne og lineær på den øvrige del. Materialemodellerne opbygges på baggrund af materialeparametrene jf. afsnit 3.1., se tabel 4. Flydespænding Elasticitetsmodul, E1 Elasticitetsmodul, E2 = 1 = = Tabel 4: Anvendte materialeparametre. Solidmodellen opbygges med Solid95 og skalmodellen med Shell93. Elementerne inddeles i strukturerede mesh. Bjælken meshes med en element størrelse på 5 mm. Omkring hullerne mindskes elementstørrelsen til 2 mm for skalmodel og 3 mm for solidmodel. Med dette mesh vil den lange model være konvergeret indenfor det rådige antal knuder. Bjælken modelleres som den lange model. Der indlægges en trykzone på 5 mm, hvor lasten påføres. Lasten påsættes som en fladelast for at mindske singulariteterne omkring angrebspunktet. Modellerne understøttes i en linje mod flytninger i lodret retning. For skalmodellen fastholdes linjerne i snittene langs symmetrilinjerne mod flytning normalt på linjen i fladens plan. Modellen fastholdes endvidere mod rotation om linjen. Ved solidmodellen fastholdes arealet i snittet mod flytninger normalt på fladen. Den principielle opbygning af skal- og solidmodellen er illustreret på figur 27. Figur 27: Skitsering af opbygning af solid- og skalmodel. Side 17

24 BM7-1-E Analyseresultater Der gennemføres en række beregninger i ANSYS med de i foregående afsnit beskrevne numeriske analysemodeller. Flytninger og spændinger udlæses i udvalgte punkter og til udvalgte belastninger, med henblik på senere sammenligning med forsøgsresultater og analytiske overslagsberegninger. Hvor der udlæses til sammenligning med strain gauges bestemmes en middelværdi over strain gaugens længde. På primærbjælken foretages plastiske analyser, både for skal- og solidmodellen. I appendiks D findes resultaterne af ANSYS beregningerne som tabelopslag. På figur 28 plottes spændingerne i området omkring hullerne, hvor den bilineære materialemodel anvendes. Samtidig er bjælkens nedbøjning i forhold til udgangspositionen vist. Figur 28: Konturplot for skalmodellen. Samme tendens for solidmodellen. De største koncentrationer af spændinger opstår omkring hullernes over- og underkanter. Analyseres bjælken ved belastninger omkring og over flydegrænsen, vil en tøjningsundersøgelse vise, hvor bjælken vil bryde. Flydeleddet vil opstå, hvor flydetøjningen (2 ) først er udviklet over hele tværsnittet. Tøjningsudviklingen fremgår af figur 29. Figur 29: Konturplot af ækvivalente tøjninger for solidmodellen. Tøjningerne ved hulranden på midterhullet er større end over sidehullet. Tøjningernes udviklingen gennem kroppen over/under hullerne er ligeledes størst for midterhullet, hvilket indikerer at bruddet vil opstå her. Side 18

25 BM7-1-E09 3 Forsøg Der udføres en række forsøg med henblik at undersøge materialeparametrene og bjælkens mekaniske egenskaber. 3.1 Estimering af materialeparametre Med henblik på at bestemme værdierne til den bilineære materialemodel i forbindelse med de numeriske analyser i ANSYS, ønskes følgende materialeparametre bestemt Flyde- og brudspænding Bjælkestivhed (E-modul og inertimoment) Poissons forhold Materialeparametrene estimeres på baggrund af trækforsøg med prøveemner samt bøjningsforsøg med referencebjælken (uden perforeringer) Trækforsøg Bjælkens flyde- og brudspænding bestemmes ved trækforsøg med prøveemner (dogbones). Dogbones er udskåret af samme materiale som reference- og primærbjælke. Det undersøges endvidere, om Poissons forhold samt elasticitetsmodulet kan bestemmes ved trækforsøgene. For detaljeret gennemgang af trækforsøg henvises til appendiks E. Desuden bestemmes et estimat for hældningen på den plastiske del af den bilineære materialemodel Forsøgsbeskrivelse trækforsøg Trækforsøgene udføres under anvendelse af en trækprøvemaskine, der primært er konstrueret til trækprøvning af plastmaterialer. Illustration af prøveemner samt trækprøvemaskine jf. figur 30. Den røde cirkel på figuren illustrerer laserekstensiometeret, der måler flytningerne ved, at måle afstanden mellem to stykker tape, der klistres på prøvelegemerne. Figur 30: Til venstre: trækprøvemaskinen, rød markering viser laserekstensiometeret. Til højre: prøveemnernes geometri og strain gauges monteret i midten på for- og bagside. Mål i mm. Der udføres seks trækforsøg, der navngives P1-P6 (prøveemne 1-6). Flyde- og brudspændingen bestemmes ved samtlige trækforsøg og danner grundlag for estimering af hældningen af den plastiske del af den bilineære materialemodel. Trækforsøgene inddeles i to grupper for bestemmelse af elasticitetsmodul samt Poissons forhold. Side 19

26 BM7-1-E09 P1-P3: Bestemmelse af elasticitetsmodul. Tøjningerne måles med laserekstensiometer. Der anvendes ikke strain gauges under disse forsøg. P4-P6: bestemmelse af Poissons forhold vha. strain gauges. Strain gauges forstyrrer laseren, hvorfor forsøgene gennemføres uden anvendelse af denne. Teorien omkring strain gauges virkemåde behandles i appendiks F Resultater Arbejdslinjerne opstilles ud fra forsøgsresultaterne. Udvalgte arbejdslinjer fremgår af figur Arbejdslinjer for prøveemne P2-P5 P2 P3 P4 P5 Trækspænding [MPa] tøjning Figur 31: Arbejdslinjer for prøveemne P2-P5. For den blå og den lilla kurve er flytningerne målt med laser ekstensiometeret og for den blå og grønne kurve er flytningerne målt med trækmaskinens indbyggede flytningsmåler. Flyde- og brudspænding bestemmes som et gennemsnit af forsøgsresultaterne. Der anvendes følgende værdier = 400 = 505 På baggrund af samhørende værdier af tvær- og længdetøjninger, målt med strain gauges, er Poissons forhold bestemt til = 0,23 [%] Resultatet ligger så langt fra de forventede 0,30, at resultatet må forkastes. Der anvendes i de efterfølgende beregninger en værdi på 0, Bjælkens bøjningsstivhed Bjælkestivheden afhænger af elasticitetsmodulet og inertimomentet. Stål regnes som et homogent materiale og derfor kan elasticitetsmodulet betragtes som en relativ fast størrelse, mens inertimomentet kan variere som følge af imperfektioner. I numeriske analyser er det fordelagtigt, at variere bjælkestivheden via elasticitetsmodulet frem for inertimomentet, grundet det faktum, at det er lettere at ændre elasticitetsmodulet frem for at modellere en ny geometri.

27 BM7-1-E09 Forudsat at inertimomentet og bjælkens kropareal 3 er kendte bestemmes elasticitetsmodulet ved hjælp af virtuelt arbejdes princip, med udgangspunkt i en kendt sammenhæng mellem kraft og flytning, se afsnit Bøjningsforsøg Sammenhængen mellem kraft og flytning bestemmes ved et bøjningsforsøg med referencebjælken. En illustration af forsøgsopstillingen fremgår af figur 34, side 23. Der gennemføres et forsøg med to flytningsmålere, benævnt Flyt 3 og 4, placeret under kraftens angrebspunkt i den ene side. Flytningsmålernes placering ved dette forsøg er illustreret på figur 32. Figur 32: Placering af Flyt 3 og Flyt 4 ved forsøg til bestemmelse af E-modulet. Mål i mm. Sammenhængen mellem kraften og flytningen fremgår af figur 33. Figur 33: Flytningerne målt under hver side af profilet under trykaggregatets ene cylinder. 3 Bjælkens kropareal anvendes, da der tages hensyn til forskydningsfleksibiliteten ved beregningen. Side 21

28 BM7-1-E09 Den størst målte kraft er N. Flytningerne er 6,294 mm og 6,348 mm for henholdsvis flytningsmåler 3 og 4. Den gennemsnitlige flytning er 6,321 mm Gennemsnitligt inertimoment Bjælkernes gennemsnitlige inertimoment estimeres på baggrund af følgende metoder Inertimoment på baggrund af godstolerancer (EN ) Inertimoment på baggrund af målte profildimensioner Inertimoment på baggrund af massebetragtning Der er redegjort for metoderne i appendiks G. Metoden med massebetragtning vurderes som den mest realistiske gennemsnitsbetragtning. Metoden er baseret på en sammenligning af bjælkernes aktuelle vægt og deres teoretiske vægt. Bjælkernes reelle vægt ligger i et interval på [95,1 %; 98 %] af den teoretiske vægt. Den procentvise afvigelse overføres direkte til inertimoment og areal Estimering af elasticitetsmodul Elasticitetsmodulet beregnes på baggrund af de estimerede intervaller for inertimoment og areal ved hjælp af virtuelt arbejdes princip (VAP) under hensyntagen til forskydningsfleksibiliteten, jf. appendiks G. hvor = + er den gennemsnitlige målte flytning beregnes på baggrund af den målte kraft er inertimomentet. Der indsættes henholdsvis øvre og nedre grænse for intervallet beregnes på baggrund af den målte kraft er bjælkens kropareal. Der indsættes intervalgrænserne Elasticitetsmodulet er den eneste ubekendte i arbejdsligningen. Det estimerede elasticitetsmodul ligger i intervallet E = 1,98 10 MPa 1,92 10 MPa Intervallet afviger ca. 10 % i forhold til den teoretiske E-modul på 2,05-2,1 x10 5 MPa. Det estimerede interval for elasticitetsmodulet er ikke stålets faktiske elasticitetsmodul, men et intervaludtryk, der tager hensyn til den samlede bjælkestivhed. Intervallet kan anvendes i forbindelse med numeriske beregninger i ANSYS Delkonklusion Som udgangspunkt for opbygningen af den numeriske beregningsmodel vælges elasticitetesmodulet under flydegrænsen til den teoretiske værdi på MPa. De teoretiske værdier for flyde- og brudtøjning 4 anvendes i kombination med de målte værdier for flyde- og brudspænding, da resultaterne for tøjningerne ikke er realistiske. De teoretiske værdier for tøjningerne bestemmes, jf. stålkonstruktioner efter DS412 = 2 = 20 = 40 4 Materialekonstanter jf. Stålkonstruktioner efter DS412 Side 22

29 BM7-1-E09 Forholdet giver hældningen, der svarer til elasticitetsmodulen for den bilineære materialemodel over flydegrænsen. = ,04 0,002 Poissons forhold sættes til 0,30. = Undersøgelse af bjælkens mekaniske egenskaber Bjælkernes mekaniske egenskaber undersøges på baggrund af bøjningsforsøg. Forsøgene udføres med det formål at indsamle data, der danner sammenligningsgrundlag for de analytiske overslagberegninger og de numeriske beregninger ved hjælp af ANSYS. Sammenligningen gennemføres i afsnit 5. Reference- og primærbjælkernes mekaniske egenskaber belyses gennem samhørende målinger af kraft, flytninger og tøjninger med henblik på undersøgelse af 1. kraft som funktion af flytning 2. kraft i forhold til tøjninger og spændinger 3. brudkraft (primærbjælken) 4. poissoneffekt (referencebjælken) Forsøgene planlægges med udgangspunkt i punkterne 1-4 samt de numeriske analyser fra ANSYS jf. afsnit Forsøgsopstilling Forsøgene med reference- og primærbjælken udføres principielt med samme forsøgsopstilling, se figur 34. Flytningsmåler Understøtning Kraftmåler Trykaggregat Flytningsmåler Figur 34: Forsøgsopstilling for forsøg med referencebjælken. Kraftmåleren placeres på midten af trykaggregatet. Side 23

30 BM7-1-E09 Benævnelse og placeringer af anvendte flytningsmålere jf. figur 35. Figur 35: Principskitse for forsøgsopstillingen. Mål i mm. Flytningerne bestemmes under bjælkemidten med Flyt 3 og 4. De anvendes også til at undersøge symmetri på tværs af bjælken. Flytningerne ved kraftens angrebspunkter bestemmes med Flyt 1 og 2. De anvendes samtidig til undersøgelse af symmetri på langs af bjælken. Flytningsmålernes præcise placering for de respektive forsøg fremgår af appendiks H (bøjningsforsøg med referencebjælken) og appendiks I (bøjningsforsøg med primærbjælken). Strain gauges monteres i udvalgte punkter. Numeriske analyser i ANSYS viser, at de kritiske punkter er over- og underkant af hulrandene, se afsnit 2.2. Strain gauges placeres så tæt på hulrandene som muligt. Enkelt gauges placeres med henblik på måling af symmetri på langs og på tværs. Enkelt gauges orienteres i x-aksens retning (bjælkens længderetning). Rosette gauges placeres i de punkter, hvor der ønskes sammenligninger baseret på spændinger og orienteres med en gauge i x-aksens retning. Rosette- og enkelt gauges placering og navngivning fremgår af figur 36. Figur 36: Illustration af strain gaugenes placering på primærbjælken. F står for forside, B står for bagside, O for overside og U for underside. Rød markering = defekt undervejs i forsøgene, målt data fra disse anvendes ikke. Side 24

31 BM7-1-E09 Strain gauges placeres på referencebjælkens forside i samme punkter som på primærbjælkens forside. På referencebjælkens bagside placeres to rosetter i over- og undersiden af det midterste hul. De største spændinger i referencebjælken opstår i flangerne, hvorfor der placeres en rosette midt på bjælkens overside. Placering og navngivning fremgår af figur 37. Figur 37: Illustration af strain gaugenes placering på referencebjælken. Mål i mm. F står for forside, B står for bagside, O står for overside og U står for underside. Forsøgene udføres efter fremgangsmåden beskrevet i appendiks H og appendiks I Forsøgsresultater for bøjningsforsøg I dette afsnit præsenteres og beskrives forsøgsresultaterne for de gennemførte forsøg. Sammenligning med beregnede resultater (numerisk vha. ANSYS samt analytiske) fremgår af afsnit 5 side 55. Primærbjælken belastes til ca. halvdelen af flydespændingen. Forsøget repeteres fem gange. Der påføres en kraft på op til 30 kn. Forsøgene benævnes P1-P5 (primær 1-5). Primærbjælken belastes derefter til brud, hvorigennem bjælkens plastiske egenskaber undersøges. Forsøget benævnes P6 (primær 6). Forsøget er gennemført uden flytningsmålerne under bjælken (Flyt 3 og 4). Referencebjælken belastes til ca. halvdelen af flydespændingen. Forsøget gentages fem gange. Der påføres en kraft på op til 40 kn. Forsøgene benævnes R1-R5 (reference 1-5). Yderligere to forsøg med referencebjælken gennemføres med henblik på måling af poissoneffekten. Forsøgene benævnes RP1-RP2 (reference poissoneffekt 1-2). Side 25

32 BM7-1-E Kraft som funktion af flytning elastisk undersøgelse I det følgende præsenteres forsøgsresultater vedrørende flytninger for henholdsvis primærog referencebjælken. Primærbjælkens symmetri på langs undersøges med udgangspunkt i P6. P6 er valgt, da der er belastet til brud i dette forsøg. Primærbjælkens symmetri på tværs undersøges med udgangspunkt i P2. P2 er repræsentativ for de første fem målinger på primærbjælken, hvor der er placeret flytningsmålere under bjælken. Symmetriundersøgelse på langs og tværs af referencebjælken sker med udgangspunk i R5, da dette forsøg er repræsentativt for de øvrige målinger. Primærbjælken - Kraft som funktion af Flyt 1 for P1-P6 - Kraft som funktion af Flyt 1 og 2 for P6 (symmetri på langs) - Kraft som funktion af Flyt 3 og 4 for P2 (symmetri på tværs) Kraft som funktion af Flyt 1 for P1-P6 er afbildet på figur 36. Resultater for øvrige flytningsmålere fremgår af appendiks I. Primærbjælken - Forsøg P1 - P6 45 kraft [kn] Flytning [mm] Figur 38: Kraft som funktion af flytningerne for Flyt1. Forsøg P1-P6 for primærbjælken. Forsøg P6 er alene vist for belastninger op til 30 kn. Det fremgår af figur 38, at flytningerne er sammenfaldende for P1-P6, hvilket viser, at bjælken kan betragtes elastisk. Tilsvarende tendens ses for de øvrige flytningsmålere. I det efterfølgende tages for Flyt 1 og 2 udgangspunkt i forsøg P6, da dette forsøg er belastet til brud. For Flyt 3 og 4 anvendes forsøg P2 som udgangspunktet. Med henblik på at undersøge symmetrien på langs af bjælken, plottes kraften som funktion af Flyt 1 og Flyt 2, se figur 39. P1 P2 P3 P4 P5 P6 Side 26

33 BM7-1-E Primærbjælken - Forsøg P6 - Flyt 1 og Flyt 2 Flyt 1 Flyt 2 kraft [kn] Figur 39: Kraft som funktion af flytningerne for Flyt1 Flytning og 2 (symmetri [mm] på langs). Forsøg P6 for primærbjælken. Flytningerne målt ved kræfternes angrebspunkter. Forskellen mellem Flyt 1 og Flyt 2 stiger, når lasten øges. Denne udtrykker enten en skævhed i bjælken og/eller i opstillingen. Med henblik på at undersøge symmetrien på tværs af bjælken, plottes kraften som funktion af Flyt 3 og Flyt 4. Der tages udgangspunkt i forsøg P2, se figur Primærbjælken - Forsøg P2 - Flyt 3 og Flyt 4 Flyt 3 Flyt 4 kraft [kn] Flytning [mm] Figur 40: Kraft som funktion af flytningerne for Flyt 3 og 4 (symmetri på tværs). Forsøg P2 for primærbjælken. Der er ingen nævneværdig forskel mellem Flyt 3 og 4, hvilket betyder, at bjælken opfører sig symmetrisk på tværs. Referencebjælken - Kraft som funktion af flyt1 for R1-R5 - Kraft som funktion af flyt1 og 2 for R5 (symmetri på langs) - Kraft som funktion af flyt3 og 4 for R5 (symmetri på tværs) Side 27

34 BM7-1-E09 Kraft som funktion af Flyt 1 for R1-R5 er afbildet på figur 41. Resultater for øvrige flytningsmålere fremgår af appendiks H R1 R2 R3 R4 R5 Referencebjælken - Forsøg R1 - R5 kraft [kn] Flytning [mm] Figur 41: Kraft som funktion af Flytningerne for flyt 1. Forsøg R1-R5 for referencebjælken. Flytningerne er sammenfaldende for R1-R5, hvilket viser, at bjælken kan betragtes elastisk. Tilsvarende tendens ses for grafer for de øvrige flytningsmålere. I det efterfølgende tages udgangspunkt i forsøg R5. Med henblik på at undersøge om der er symmetri på langs af bjælken, plottes kraften som funktion af Flyt 1 og Flyt 2. Der tages udgangspunkt i forsøg R5, se figur Flyt 1 Flyt 2 Referencebjælken - Forsøg R5 - Flyt 1 og Flyt 2 kraft [kn] Figur 42: Kraft som funktion af flytningerne for Flyt1 og 2 (symmetri på langs). Forsøg R5 for referencebjælken. Forskellen mellem Flyt 1 og 2 stiger, når lasten øges. Denne udtrykker enten en skævhed i bjælken og/eller i opstillingen. Med henblik på at undersøge symmetrien på tværs af bjælken plottes kraften som funktion af Flyt 3 og Flyt 4, se figur 43. Side Flytning [mm]

35 BM7-1-E Flyt 3 Flyt 4 Referencebjælken - Forsøg R5 - Flyt 3 og Flyt 4 kraft [kn] Flytning [mm] Figur 43: Kraft som funktion af flytningerne for Flyt3 og 4 (symmetri på tværs). Forsøg R5 for referencebjælken. Forskellen mellem Flyt 3 og 4 stiger, når lasten øges. Denne udtrykker enten en skævhed i bjælken og/eller i opstillingen Kraft i forhold tøjninger og spændinger elastisk undersøgelse I det følgende præsenteres forsøgsresultater vedrørende tøjninger for henholdsvis primær- og referencebjælken. På baggrund af de målte tøjninger i rosetterne beregnes Von Mises spændinger, fremgangsmåden er beskrevet i appendiks F. Spændingerne anvendes til sammenligning med ANSYS og med referencebjælken. Primærbjælken Kraften som funktion af tøjningerne i x-aksens retning (absolutte værdier) afbildes for rosetterne på primærbjælken, se figur 44. Primærbjælken - Forsøg P6 - Tøjninger Rosette,FO2 Rosette,FU2 Rosette,FO3 Rosette,FU3 Kraft [kn] Tøjninger i x-retningen [ ](Absolutte værdier) Figur 44: Kraften som funktion af de numeriske værdier af tøjningerne i x-retningen for rosetterne på primærbjælken. Værdierne fra rosetterne danner sammenligningsgrundlag til ANSYS. Side 29

36 BM7-1-E09 Målinger fra enkelt strain gauges danner grundlag for en vurdering af symmetri på langs og på tværs af bjælken. Der udlæses tøjninger i x-aksens retning for samtlige strain gauges for en kraft på 30 kn. Undersøgelsen af symmetri på tværs af primærbjælken fremgår af tabel 5. Symmetri på tværs Forside Bagside Afvigelse [%] Hul 1, underside (FU1, BU1) 0,688 0,700 1,71 Hul2, overside (FO2, BO2) -0,689-0,606 13,70 Hul 2, underside (FU2, BU2) 0,677 0,709 4,51 Hul 3, overside (FO3, BO3) -0,672-0,646 4,02 Hul 3, underside(fu3, BU3) 0,628 0,773 18,76 Tabel 5: Afvigelser mellem symmetrisk placerede strain gauges på tværs af primærbjælken. Strain gauges placering fremgår af figur 36. Der er stor forskel på for- og bagside ved oversiden af hul 2 og undersiden af hul 3. De store afvigelser tyder på eventuelle lokale fejl i bjælken alternativt har de pågældende strain gauges ikke har målt korrekt eventuelt på grund af skæv montage. Undersøgelse af symmetri på langs af primærbjælken fremgår af tabel 6. Symmetri på langs Hul 1 Hul 3 Afvigelse [%] Underside, forside (FU1, FU3) 0,688 0,628 9,55 Underside, bagside (BU1, BU3) 0,700 0,773 11,0 Tabel 6: Afvigelser mellem symmetrisk placerede strain gauges på langs af primærbjælken. Strain gauges placering fremgår af figur 36. Forskellen er relativ stor, hvorfor der ikke er symmetri på langs af bjælken. Kraften som funktion af Von Mises spændingerne for rosetterne fremgår af figur 45. Primærbjælken - Forsøg P6 - Spændinger Rosette,FO2 Rosette,FU2 Rosette,FO3 Rosette,FU3 Kraft [kn] Von Mises spænding [MPa] Figur 45: Kraften som funktion af Von Mises spændingerne for rosetterne på primærbjælken. Der gælder de samme tendenser for Von Mises spændingerne som for de absolutte tøjninger i x-aksens retning. Side 30

37 BM7-1-E09 Referencebjælke Kraften som funktion af tøjningerne i x-aksens retning (absolutte værdier) afbildes for rosetterne på referencebjælken, se figur 46. Kraft [kn] Rosette,FO2 Rosette,FU2 Rosette,FO3 Rosette,FU3 Rosette,BO2 Rosette,BU2 Rosette,Top Referencebjælke - Forsøg R5 - Tøjninger Tøjning i x-retningen [ ](Absolutte værdier) Figur 46: Kraft som funktion af tøjningen i x-retningen for rosetterne på referencebjælken. Tøjningerne i x-aksens retning for rosetterne på kroppen er af samme størrelsesorden, mens tøjningerne for rosetten på toppen er større. En given kraft medfører en bøjning af bjælken, hvor flangen flytter sig mere end kroppen. Rosetterne danner sammenligningsgrundlag til ANSYS. Enkelt strain gauges danner grundlag for en vurdering af symmetri på langs og på tværs af bjælken. Der udlæses tøjninger i x-aksens retning for samtlige strain gauges for en kraft på 30 kn. Undersøgelse af symmetri på tværs af referencebjælken fremgår af tabel 7. Forside Bagside Afvigelse [%] Hul2, overside (FO2, BO2) -0,532-0,533 0,19 Hul 2, underside (FU2, BU2) 0,534 0,547 2,38 Tabel 7: Afvigelser mellem symmetrisk placerede strain gauges på tværs af referencebjælken. Strain gauges placering fremgår af figur 37. Afvigelsen mellem værdierne i tabel 7 er lille, hvorfor der er symmetri på tværs af bjælken. Undersøgelse af symmetri på langs af referencebjælken fremgår af tabel 8. Hul 1 Hul 3 Afvigelse [%] Overside, forside (FO1, FO3) -0,559-0,550 1,64 Underside, forside (FU1, FU3) 0,552 0,519 6,36 Tabel 8: Afvigelser mellem symmetrisk placerede strain gauges på langs af referencebjælken. Strain gauges placering fremgår af figur 37. Afvigelsen mellem værdierne i tabel 8 er lille. Bjælken vurderes at opføre sig symmetrisk på langs. Side 31

38 BM7-1-E09 Kraften som funktion af Von Mises spændingerne for rosetterne fremgår af figur 47. Kraft [kn] Rosette,FO2 Rosette,FU2 Rosette,FO3 Rosette,FU3 Rosette,BO2 Rosette,BU2 Rosette,Top Referencebjælke - Forsøg R5 - Spændinger Von Mises spænding [MPa] Figur 47: Kraft som funktion af Von Mises spændingerne for rosetterne på referencebjælken. Tendenserne for spændingerne er de samme som for tøjningerne i x-retningen Kraft som funktion af Flytninger plastisk undersøgelse I det følgende præsenteres forsøgsresultater vedrørende flytninger for forsøg P6, med henblik på fastlæggelse af brudkraften. Brudkraften findes, hvor der er vandret tangent til kraft flytningskurven, hvilket svarer til et fuldt udviklet flydecharnier. Kraft som funktion af Flyt 1 og Flyt 2 fremgår af figur Flyt 1 Flyt 2 Primærbjælken - Forsøg P6 - Flyt 1 og Flyt 2 Zoom 60 kraft [kn] Flytning [mm] Figur 48: Flytninger ved Flyt 1 og 2 for bøjningsforsøget på primærbjælken til flydning. Fra ca. 30 kn til omkring 65 kn ses en lineær sammenhæng, hvorefter denne begynder at blive ikke-lineær, hvilket fremgår af figur 49, hvor der er zoomet i forhold til markeringen på figur 48.

39 BM7-1-E09 Zoom Figur 49: Flytningsforholdet ved belastninger over 30 kn for Flyt 1 og 2. De grønne og turkisblå linjer er parallelle med hhv. det lineære stykke for Flyt 1 og 2. Der ses en lineære sammenhæng mellem kurverne indtil ca. 64 kn for Flyt 1 og ca. 62 kn for Flyt 2. På figur 50 er der zoomet yderligere ind på området på graferne med kraften som funktion af flytningerne med henblik på at fastlægge brudkraften Flyt 1 Flyt 2 Primærbjælken - Forsøg P6 - Zoom X: Y: X: Y: kraft [kn] X: Y: X: Y: Flytning [mm] Figur 50: Nærbillede af området omkring fuld flydning. Det fremgår, at der er to peaks på graferne i området omkring fuld flydning. Begge værdier aflæses med hensyn til senere sammenligninger. Forskellen mellem Flyt 2 og 1 øges fra en belastning på 84,29 kn og frem til brud. Det er et udtryk for at flydecharnieret udvikles over hullet nærmest Flyt 2. Side 33

40 BM7-1-E Poissoneffekt Poissoneffekten forsøges eftervist gennem bøjningsforsøg. Der udføres to forsøg, der benævnes RP1-RP2. I en bjælke udsat for bøjning med tryk i oversiden vil tværsnittet deformere under hensyn til Poissons forhold. En forkortelse af bjælkelængden vil medføre en forøgelse af bjælkebredden og omvendt. Opdeles bjælken i lameller, se figur 51, skal der være kontinuitet langs bjælkeranden. Breddeændringen skal være ens over lamellens højde, hvilket medfører, at tværsnittet vil krumme. Denne krumning er et udtryk for poissoneffekten. Figur 51: Bjælketværsnit med tryk i oversiden opdelt i lameller. I midten: diskontinuitet i bjælkeranden. Til højre: Kontinuitet i bjælkeranden. Forsøgsopstillingen til undersøgelse af Poissoneffekten er illustreret på figur 52. Figur 52: Illustration af flytningsmålernes placering for undersøgelse af poissoneffekten. Flyt = Flytningsmåler. Mål i mm Poissoneffekten ønskes bestemt under hensyntagen til en eventuel skævhed. Grundet det faktum, at der kun er to flytningsmålere til rådighed, vælges forsøg RP2 udført, hvor bjælken er roteret 180 grader omkring y-aksen i forhold til forsøg RP1. En eventuel skævhed vil kunne ses på Flyt 3 og modvirke poissoneffekten. Princippet er illustreret på figur 53. Side 34

41 BM7-1-E09 Figur 53: Til venstre: Flytningsmålernes placering ved RP1. I midten: Flytningsmålernes placering ved RP2. Til højre: Indflydelse af skævhed i opstillingen. Størrelsen af flytningerne ved den maksimalt påførte kraft fremgår af tabel 9. Her fremgår det, at flytningen ved kanten i forsøg RP1 er større en flytningen på midten, mens det modsatte er tilfældet ved forsøg RP2. Max kraft [N] Flyt 1 [mm] Flyt 2 [mm] Flyt 3 [mm] Flyt 4 [mm] Forsøg RP ,00 6,94 Forsøg RP ,38 6,25 6,83 6,86 Tabel 9: Flytningerne for de to forsøg ved den maksimal kraft. Eftersom forskellen på flytningerne under bjælkemidten er marginal vurderes forskellen mellem flytningerne ved kanterne af profilet at skyldes fejl i opstillingen jf. figur 53 (til højre). Ved en lineær sammenhæng mellem flytningerne over tværsnittet vil flytningen på midten skulle være større end den målte gennemsnitsværdi af flytningen på midten, såfremt poissoneffekten eksisterer 7,00 + 6,83 6,94 + 6,86 = = = 6,92 > = 6, Nøjagtigheden på flytningsmålerne er 1/100 mm, hvorfor det vurderes, at forskellen på gennemsnitsflytningen på midten og den interpolerede flytning skyldes poissoneffekten. 3.3 Fejlkilder I dette afsnit gives en kort redegørelse for fejlkilder i forbindelse med udførelsen af træk- og bøjningsforsøg Trækforsøg Fejl på trækmaskinens interne flytningsmåler - Længdetøjningerne, der registreres i trækmaskinen, kan ikke anvendes til bestemmelse af elasticitetsmodulet grundet glidning i trækmaskinens kæber. Fejl på ekstensiometermålinger Ekstensiometeret registrerer en afstand på baggrund af laserlysets frekvens. Små svingninger i prøvelegemet har indflydelse på resultatet. Forskelle på godstykkelser og udfræsning af prøveemner - Tolerancerne i forhold til prøveemnernes geometri betyder, at der bestemmes forskellige flyde- og brudspændinger. Slibning med henblik på montage af strain gauges medfører at der fjernes materiale. Det vurderes, at der ved en slibning kan fjernes op imod 2/10 mm. Side 35

42 BM7-1-E09 Trækhastighed - Der er trukket med en hastighed på 10 mm pr. minut, hvilket kan være for hurtigt i forhold til, at kunne måle de korrekte tøjninger. Det har ikke haft indflydelse på værdierne af flyde- og brudspænding Bøjningsforsøg Kraftmålerens nøjagtighed - Da der anvendes resultater, hvor kraftmåleren måler i den øverste halvdel af sit måleområde, antages målinger fra kraftmåleren at være tilstrækkeligt nøjagtige. - Ved forsøg P6 er anvendt en større kraftmåler, hvor der under hele forsøget blev belastet i den nederste del af kraftmålerens måleområde. Det medfører, at nøjagtigheden af kraftmålingerne for dette forsøg kan være mindre end for de forsøg, hvor der er anvendt en mindre kraftmåler. Kraftmålerne nøjagtighed er 1 % og vurderes ikke at have afgørende betydning på resultaterne. Flytningsmålernes nøjagtighed - Flytningsmålernes nøjagtighed er 1/100 mm. På bjælkens overside trykkers flytningsmålerne 90 mm ind, mens de under bjælken trykkes 10 mm ind. De derfor ikke kommer i nærheden af deres øvre eller nedre grænse i løbet af forsøget, hvorfor flytningsmålernes nøjagtighed ikke antages at have betydning for resultaterne. - Ved forsøg P6 er flytningsmålerne næsten helt trykket ind ved starten af forsøget, hvorfor de første målinger af flytninger ved dette forsøg kan være behæftet med større usikkerheder end flytningsmålingerne ved de andre forsøg. Ledningerne til strain gauges - Alle de anvendte ledninger er testede med henblik på at undersøge, om afvigelser i ledningerne kan have betydning for de målte tøjninger. Undersøgelsen fremgår af appendiks J. Afvigelserne på ledningerne er ca. 1 %, hvorfor ledningerne vurderes, at måle tilstrækkeligt nøjagtigt. Orientering og placering af strain gauges Strain gauges nøjagtighed varierer inden for 1 %, såfremt de er monteret korrekt. - Det er væsentligt for nøjagtigheden af resultaterne fra strain gauges, at de er placeret og orienteret præcist. Ved intern sammenligning af symmetrien i bjælken er det specielt væsentligt, at alle strain gauges er placeret i nøjagtig samme afstand til hulranden, da spændinger og tøjninger varierer mest i denne retning. Afstanden er målt med tommestok, hvilket giver en tolerance på ca. 0,5 mm. Det er ikke praktisk muligt, at fastholde strain gauges det samme sted ved pålimning. Bjælkens geometri - Bjælkens geometri varierer i forhold til det foreskrevne. Det er f.eks. observeret, at der er en svejsning på indersiden af bjælken i x-retningen. Det er ligeledes observeret, at tykkelsen af tværsnittet varierer. Bjælken er vejet og det er konstateret, at stivheden af bjælken er mindre end den teoretiske stivhed for en perfekt bjælke. - Hullernes størrelse og placering kan variere i forhold til det foreskrevne. Tolerancerne vurderes dog mindre end nøjagtigheden ved måleudstyret, der anvendes til montering af strain gauges og placering af bjælken. Forsøgsopstillingen - Det er væsentligt, at placeringen af bjælken på understøtningerne er præcist som foreskrevet, ligesom det er væsentligt, at kraften angriber symmetrisk og at flytningsmålernes præcise placering kendes. Måleudstyret der blev anvendt i forbindelse med opstillingerne begrænsede sig til tommestok, vinkel og skydelære, og nøjagtigheden vurderes ikke højere end 1/10 mm. Trykkebænken var ved forsøg P6 placeret 10 mm forskudt. Det betyder, at kraften ikke angriber om bjælkeaksens symmetrilinje på. Dette medfører usikkerheder på momentfordelingen og dermed resultaterne for flytninger og tøjninger. Side 36

43 BM7-1-E09 4 Analytiske overslagsberegninger For referencebjælken kan der i det elastiske område opstilles udtryk for den eksakte løsning af bjælkens udbøjning. Det er ikke muligt at opstille den eksakte analytiske løsning for deformationen og spændingsfordelingen af primærbjælken, da inertimomentet varierer grundet hullerne. Der kan imidlertid opstilles forenklede modeller med henblik på overslagsberegning. Analytiske overslag bestemmes med formål at verificere FEM-modellerne og danne sammenligningsgrundlag med forsøgsresultater. Der opstilles et estimat på spændingerne i det elastiske område ud fra Naviers spændingsformel. De analytiske bestemte spændinger sammenholdes med spændinger fundet eksperimentelt og numerisk ved hjælp af FEM. Spændingskoncentrationsfaktoren (SCF) kan analytisk bestemmes ud fra Airys spændingsfunktion eller ud fra diagram opslag. Som grundlag for diagramopslag anvendes Petersons Stress- Concentration-Factors. 5 Airys spændingsfunktion anvendes til at verificere ANSYS-modellen indirekte. Endvidere skal metoden verificere diagramopslagene. Petersons Stress-Concentration-Factors skal anvendes som grundlag for en overslagsberegning af spændingskoncentrationsfaktoren for den aktuelle bjælke. Flytningerne i punkterne for referencebjælken, hvor disse måles eksperimentelt, bestemmes analytisk med formål at danne sammenligningsgrundlag i det elastiske område. Flytningerne bestemmes analytisk ud fra virtuelt arbejdes princip under hensyntagen til forskydningsfleksibilitet. Endvidere opstilles et overslag for flytningerne i det plastiske område for primærbjælken i punkterne, hvor disse måles eksperimentelt. Overslaget sammenlignes med de eksperimentelt og numerisk bestemte resultater. 4.1 Spændinger i det elastiske område ud fra Naviers spændingsformel Herunder beregnes et estimat på spændingerne i de punkter strain gauges rosetterne er placeret på referencebjælken vha. Naviers spændingsformel. Placering af strain gauges jf. figur 36 og figur 37. Bjælken udsættes alene for bøjning, hvorfor spændingerne beregnes som = Modstandsmomentet er bestemt i appendiks K afsnit 3. Naviers spænding på toppen af flangen bliver ved en samlet kraft på eksempelvis 30 kn numerisk set, = = ,9 10 = 161 Ved sammenligning med Naviers spændingsformel for de rosetter, der er placeret 14,5 mm fra toppen og bunden antages en lineær spændingsfordeling gennem profilet, se figur Peterson s Side 37

44 BM7-1-E09 σ x σ Figur 54: Naviers spændingsfordeling ned gennem tværsnittet. Det vil sige, at spændingen i punktet bliver, = = ,9 10 0,71 = 114, Airys spændingsfunktion for en plade med et cirkulært hul Der opstilles et analytisk udtryk for spændingsfordelingen omkring et hul. Der tages udgangspunkt i en plade med et cirkulært hul. n påføres en enakset spændingstilstand med spændingen, se figur 55. Figur 55: Plade med cirkulært hul belastet i aksialretningen. Det analytiske udtryk, for ovenstående geometri, udledes på baggrund af Airys spændingsfunktion. Der er fundet et standardtilfælde til ovenstående geometri via litteraturen. 6 Formålet er at foretage en indirekte verifikation af FEM-modellen. Findes overensstemmelse mellem den analytiske løsning og en numerisk beregning ved hjælp af FEM, må det formodes, at en FEM model, af en mere kompleks geometri ligeledes giver korrekte resultater. I 2- dimensionelle problemstillinger kan en spændingsfordeling i et kontinuum beskrives ved at sammenholde følgende styrende ligninger. De styrende ligninger fremgår af appendiks K afsnit 1. 6 Timoshenko et al.

45 BM7-1-E09 Ligevægtsligninger Kinematiske betingelser Konstitutive betingelser. Kompatibilitetsbetingelser Krav til et infinitesimalt udsnits ligevægt Krav til et infinitesimalt udsnits flytningsfelt Krav til relation mellem spændinger og tøjninger Krav til et infinitesimalt udsnits sammenhæng På baggrund af de styrende ligninger og Airys spændingsfunktion opstilles den biharmoniske ligning. Løsningen til den biharmoniske 4.ordens differentialligning findes ved at indføre en ny funktion, der kaldes Airys spændingsfunktion. Spændingsfunktionen, φ, der opfylder den bi- harmoniske ligning vil samtidig også opfylde ligevægts- og kompatibilitetsligningen Bestemmelse af spændingsfordeling omkring et cirkulært hul I et pladefelt svækket med et hul og belastet i en enakset spændingstilstand vil der omkring hullet opstå en spændingskoncentration. Spændingerne vil være normaliserede i en afstand, der benævnes b, forudsat, at b>> >>a, hvor a er cirklens radius, jf. Saint-Venants princip, se figur 56. Figur 56: Pladefelt med et cirkulært hul og b>>a. Kilde: Timoshenko et al. Randbetingelserne omkring hullet med r=b bestemmes ved transformationsformel (4.1). Spændingskomposanterne i afstanden b fremgår af figur 57. Figur 57: Spændingskomposanter i pladefeltet i afstanden b fra centrum. = = = = σ 1 + cos 2θ 2 = σ sin 2θ 2 = 0 (4.1) hvor =, =, cos Randbetingelserne omkring hullet med r=a. Spændingskomposanterne på hulranden fremgår af figur 58. Side 39

46 BM7-1-E09 = 0 (4.2) = 0 Figur 58: Spændingskomposanterne på hulranden Det analytiske udtryk opstilles ved at finde en spændingsfunktion φ. Airys spændingsfunktion opfylder automatisk ligevægtsligningerne samt kompatibilitetsbetingelser. Randbetingelserne (4.1) og (4.2) indgår i bestemmelsen af spændingsfunktionen. Det analytiske udtryk, se (4.3) findes via litteraturen. 7 = cos 2 (4.3) = = cos sin 2 hvor a er hullets radius r er afstanden hvori spændingen ønskes bestemt For at danne sammenligningsgrundlag mellem det analytiske udtryk og en tilsvarende FEM model, bestemmes spændingsvariationen langs y-aksen. Det betyder = /2 og y=[-b, b] = = cos 2 (4.4) = = = = cos 2 For at illustrere spændingsvariation langs y-aksen er forholdet mellem r/a plottet som funktion af σ /σ, se figur Timoshenko et al. Side 40

47 BM7-1-E Spændingsvariation langs y-aksen Hulrand Analytisk udtryk r/a σ xx /σ 0 Figur 59: Analytisk udtryk for spændingsvariation langs y-aksen, hvor r/a er plottet som funktion af /. I punktet r=a findes σ = 3σ. Spændingskoncentrationsfaktoren på randen findes til. = = 3 = FEM beregning af en plade med et cirkulært hul Det analytiske udtryk sammenholdes med en FEM model. FEM modellen opbygges som en 50x50mm plade med et cirkulært hul med en r=2 mm. Modellen opbygges som en skal- og solidmodel. Der meshes med et free mesh på 1mm. Pladen påføres en enakset spændingstilstand i x-retningen, se figur 60. Figur 60: Plade med et cirkulært, med et free mesh, påført enakset spændingstilstand i x-retningen. x Side 41

48 BM7-1-E09 r/a plottes som funktion af σ /σ i samme graf som det analytiske udtryk, se figur Spændingsvariation langs y-aksen Hulrand Analytisk udtryk ANSYS solid model ANSYS skal model 2 r/a σ /σ xx 0 Figur 61: Spændingsvariation langs y-aksen, hvor forholdet r/a er plottet som funktion af /. Analytisk løsning og FEM beregning. FEM modellerne er i god overensstemmelse med det analytiske udtryk. Afvigelserne kan reduceres yderligere ved anvendelse af et finere mesh omkring hullet. 4.3 Teoretisk bestemmelse af SCF ud fra diagramopslag Som grundlag for overslagsberegningen anvendes Petersons Stress-Concentration-Factors. Det analytiske udtryk, baseret på Airys spændingsfunktion, for en plade med et cirkulært hul, er i overensstemmelse med den tilsvarende situation i Petersons Stress-Concentration- Factors, se figur 62 for diameter-højdeforholdet = 0 (rød cirkel). Peterson kan dermed anvendes som grundlag for analytisk beregning. Figur 62: Bestemmelse af spændingskoncentrationsfaktor for en plade med et cirkulært hul Kilde: Peterson p. 270 (diagram 4.1).

49 BM7-1-E09 Spændingskoncentrationsfaktoren fundet via diagram opslag stemmer overens med det analy- tiske udtryk, hvorfor Peterson kan anvendes ved analytisk beregning. Peterson anvender forskellige udtryk for spændingskoncentrationsfaktoren afhængigt af refe- rencespændingen. Et udtryk er K tg, hvor den nominelle spænding er regnet på baggrund af hele tværsnittet. Et andet udtryk er K tn, hvor den nominelle spænding er regnet i forhold til nettotværsnittet. = = = = Referencespændingerne for henholdsvis et pladefelt med et hul udsat for rent træk og et pla- defelt med et hul udsat for ren bøjning findes som = hvor er = = = = 1 6 Relative størrelser på s: s max s s net Figur 63: Spændingsbegreberne illustreret på pladefelt udsat for rent træk. Ud fra ovennævnte kan omregningsfaktoren mellem K tg og K tn findes som = = Peterson beskriver ikke en standardsituation for bøjning af bjælke med tre huller. Derfor er det nødvendigt at finde et udtryk for, hvorledes et kvalificeret overslag over SCF beregnes Opstilling af model for pladefelt med tre huller udsat for bøjning Der kan på baggrund af Peterson findes en standard situation for Træk i en plade med ét hul. Træk i en plade med tre huller. Bøjning af en plade med ét hul. Forholdet for SCF ved flere huller for rent træk i pladefeltet i en retning antages at kunne over- føres til situationen med bøjning således, at, æ, æ =, ø, ø Side 43

50 BM7-1-E Bjælke med et hul udsat for bøjning For en bjælke med et cirkulært hul udsat for bøjning afhænger SCF af forholdet mellem hullets diameter, d, og bjælkens højde, H. For RHS-profilet gøres den betragtning at pladefeltet i kroppene svarer til en bjælke, hvor forholdet mellem d og H bestemmes til 60 = 85 = 0,706 K tg aflæses jf. figur 64 til 2,2 for et pladefelt med et hul udsat for bøjning i planen, mens K tn aflæses til 1,4. 2,2 1,4 Figur 64: Bestemmelse af spændingskoncentrationsfaktoren for plade med et hul udsat for bøjning i planen. Værdien d/h er med udgangspunkt i RHS-profilet. Kilde: Peterson p. 379 (diagram 4.88) Plade med tre huller udsat for træk Flere huller i pladefeltet udsat for rent træk påvirker SCF. Centerafstanden og hullernes diameter er væsentlige parametre for størrelsen af SCF. Ved tre huller i et pladefelt udsat for rent træk, findes forholdet mellem SCF for tre huller og et hul (K t /K t0 ) til 0,92. Der er anvendt et diagram for elliptiske huller til aflæsning af K t /K t0. Der er aflæst for a=r, svarende til en cirkel, ved a/c=0,25, hvor c er hullernes centerafstand, se figur 65. Overslaget for SCF for pladefeltet svarende til kroppen bliver dermed, ø = 092 2,2 = 2,02, ø =, ø = 092 1,4 = 1,29

51 BM7-1-E09 0,92 Figur 65: Forholdet mellem SCF for et hul og en uendelig række huller ved træk på langs af et uendeligt pladefelt. Kilde: Peterson p 365 (diagram 4.74). Peterson konstaterer, at SCF beregnet ved finite element analyse giver en værdi, der er 5 % større end den teoretisk beregnede Afprøvning af antagelse ved hjælp af ANSYS Rimeligheden i antagelsen af at forholdet mellem SCF for et hul og flere huller udsat for træk kan overføres til bjælken udsat for bøjning kontrolleres med en numerisk beregning i ANSYS. En SCF bestemt ved hjælp af ANSYS vurderes at være ca. 5 % højere end den teoretiske løsning. 8 Der modelleres to plader (500x85x5 mm) med henholdsvis et hul og tre huller. Huldiameteren er 60 mm og afstanden mellem centrum på de tre huller er 120 mm. Modellen belastes med henholdsvis rent træk og ren bøjning. De to modeller og lasttilfælde ses af figur Peterson p. 239 m. Side 45

52 BM7-1-E09 Figur 66: Illustration af modellens mål og de to modeller og lasttilfælde. Mål i mm. Pladen modelleres med solid95 og en elementstørrelse på 2 mm i et struktureret mesh, se figur 67. sidehul Figur 67: Elementinddelingen omkring et hul. Den røde kasse viser indikerer knuderne, hvor spændingerne aflæses. Midterhul sidehul Trækket påføres som en fladelast (Pressure) på endearealerne. Fladelasten sættes til 1 N/mm 2, hvorfor den nominelle spænding, σ,(i forhold til K tg ) bliver 1 MPa. Momentet påføres som to trykkræfter i hjørnerne i hver side i top og to trækkræfter bund af pladen. Den nominelle spænding er 1 MPa. Størrelsen af kræfterne bliver derfor 2 = = 1 6 = 1 6 = 1,

53 BM7-1-E09 Den ækvivalente spænding for de to modeller og begge lasttilfælde fremgår af figur 68. Afstanden fra hulrand [mm] Spændingsfordelingen over hulranden bøjning 3 huller, midt bøjning 3 huller, side bøjning 1 hul træk 3 huller, midt træk 3 huller, side træk 1 hul Spændingen [MPa] Figur 68: Spændingsfordelingen over hullerne ved en nominel spænding på 1 MPa. Den nominelle spænding til bestemmelse af K tn findes som middelværdien af spændingerne over hullet, mens K tg bestemmes ud fra den maksimale Naviers spænding for en bjælke uden hul. Dette gælder i begge lastsituationer, bøjning og træk. 3 huller træk 3 huller bøjning Et hul midt side midt side træk bøjning s hulrand 6,901 6,970 2,068 2,098 7,033 2,069 s net 3,333 3,333 1,339 1,339 3,144 1,339 K tn 2,070 2,091 1,544 1,545 2,237 1,545 s nom 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 K tg 6,901 6,970 2,068 2,069 7,033 2,069 Tabel 10: Spændingskoncentrationsfaktorerne på baggrund af netto- og bruttotværsnittet Forhold mellem tre huller og et hul, træk Sidehul, K tn,, = 2,091 2,237 = 0,935 Midterhul, K tn,, = 2,070 2,237 = 0,925 Sidehul, K tg,, = 7,00 7,07 = 0,990 Side 47

54 BM7-1-E09 Midterhul, K tg,, = 6,93 7,07 = 0,980 Da forholdet mellem de bestemte spændingskoncentrationsfaktorer er forskellige fra en, er der indflydelse fra flere huller, hvilket svarer overens med Petersons. Umiddelbart stemmer forholdet fra ANSYS beregnet ud fra K tn bedst med Petersons forhold ved indflydelsen fra flere huller Forhold mellem tre huller og et hul, bøjning Sidehul, K tn,, = 1,545 1,545 = 1,000 Midterhul, K tn,, = 1,544 1,545 = 0,999 Sidehul, K tg,, = 2,069 2,069 = 1,000 Midterhul, K tg,, = 2,068 2,069 = 0,999 Beregningen af SCF i ANSYS viser, at der stort set ingen forskel er mellem pladefelt med et og flere huller udsat for bøjning i eget plan. Spændingskoncentrationsfaktoren er ca.0, 1 % højere ved sidehullet end ved midterhullet Vurdering af resultaterne Bjælkeforhold ved flere huller Antagelsen om at overføre forholdet mellem SCF for henholdsvis et og tre huller i pladefelt udsat for træk kan ikke overføres til situationen med bøjning. FEM-beregningen viser, at antallet af huller ikke giver en forskel på SCF. Det estimerede resultat fra overslagsberegningen giver dog en rimelig størrelse på resultatet. En mulig forklaring kan findes ved såkaldte parasitiske momenter i tværsnittet ved hullerne. Det lokale moment (det parasitiske moment) henholdsvis over og under hullet vil have forskellig effekt afhængigt af belastningssituationen. Spændingsfordelingen lokalt i tværsnittet gennem hullets centrum ved hhv. træk og bøjning fremgår af figur 69. Ved rent træk, vil de lokale momenter ophæve hinanden, da de er modsatrettede. Dermed bidrager momentet ikke til bæreevnen i tværsnittet. Side 48

55 BM7-1-E09 Ved bøjning derimod er momenterne ensrettede og bidrager dermed til bæreevnen lokalt i tværsnittet. Det betyder, at hullerne ikke vil påvirke hinanden i samme grad ved bøjning som ved træk. Figur 69: Spændingsfordelingen og snitkræfterne i tværsnittet gennemhullet for bøjning og træk Estimat på SCF for RHS-profil med tre huller udsat for bøjning For bjælken udsat for bøjning vil et overslag på SCF skulle tage hensyn til bjælkens fulde højde og ikke højden af pladefeltet i kroppen alene. RHS-profilet er 100 mm højt mens kroppens pladefelt er 85 mm højt. Det har betydning for referencespændingen. Højde-bredde forholdet er ændret fra 0,71 til 0,60, hvilket betyder, at spændingskoncentrationsfaktoren for pladefeltet med et hul aflæses til 1,2 (K tn ) henholdsvis 1,5 (K tg ), jf. figur 70. 1,5 1,2 Figur 70: SCF aflæst ved et diameter-højdeforhold på 0,6. Kilde: Peterson s p. 379 (diagram 4.88). Side 49