Teorien. solkompasset

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Teorien. solkompasset"

Transkript

1 Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks Diverse formler Sfærisk trigonometri Litteraturliste 13 1

2 1 Indledning Matematisk baggrundsstof til solkompas programmet (jvf. http: beregnet til 3.g A niveau. Der forudsættes ikke forhåndskendskab til sfærisk trigonometri. 2 Koordinatsystemer figur 1 Enhver position på jorden kan beskrives ved et par (θ, φ), hvor θ er længdegraden, og φ er breddegraden (regnet med fortegn) jvf. figuren ovenfor. Det indlagte koordinatsystem har Origo i jordens centrum, xy-planen er ækvatorplanen, og xz-planens skæring med jordkuglen bestemmer 0-meridianen (Greenwich). Storcirklen gennem nordpolen og stedet (P) kaldes stedets meridian. Eksempel 1 København ligger 12,6 øst for Greenwich på bredden 55,7 nord, dvs. at θ = 12,6 og φ = 55,7, mens New York ligger 74,0 vest for Greenwich på bredden 40,8 nord, altså θ = 74,0 og φ = 40,8. Vi vil nu finde de kartesiske koordinater (x,y,z) til punktet P, og vi argumenterer ud fra følgende tegning: 2

3 z P(x, y, z) O φ x θ P 1 y Vi sætter længden af OP lig med r, og vi siger så, at P har de sfæriske koordinater (r, θ, φ). Vi lader P 1 være projektionen af P i xy-planen. Længden af linjestykket OP 1 bliver dermed r cos(φ). Ved at projicere OP 1 ind på x henholdsvis y-aksen fås, at og da z = r sin(φ), har vi hermed vist, at x = r cos(θ)cos(φ) og y = r sin(θ)cos(φ), (x,y, z) = (r cos(θ)cos(φ), r sin(θ)cos(φ), r sin(φ)). (2) Det er let at indse (jvf. bemærkning 3), at fomlen gælder for alle beliggenheder af P, hvis man regner vinklerne med fortegn, dvs at θ [ 180, 180 ] og φ [ 90, 90 ], hvor fortegnet følger omløbsretningen. Bemærkning 3 Når du færdiggør beviset, kan du bruge de velkendte formler: cos(180 v) = cos(v), sin(180 v) = sin(v), cos( v) = cos(v) og sin( v) = sin(v). Øvelse 4 Prøv først at argumentere for formlen, når 90 < θ < 180 og 0 < φ < 90, og gør dernæst beviset færdigt. Koordinatsystemet i figur 1 kan let udvides til et koordinatsystem for himmelkuglen, som er en tænkt kugle med centrum i jordens centrum, og en radius som er uendelig stor. Man forestiller sig så, at alle himmellegemer projiceres ind på himmelkuglen ved at skære linjen fra jordens centrum til himmellegemets centrum med himmelkuglen. Man skifter blot betegnelser, idet breddegraden kaldes for deklinationen, og længdegraden erstattes af timevinklen som er 0t i stedets meridian, og ellers går fra -12t til 12t (vokser i negativ omløbsretning). Eksempel 5 Hvis solens timevinkel fx. er -1t, betyder det at solen står 15 øst for stedets meridian i himmelkuglens koordinatsystem, da solen står op i øst og bevæger sig 15 i timen. I kapitel 4 om horisontalsystemet ser vi på eksempler, der viser, hvordan man kan beregne timevinklen ud fra et klokkeslæt. 3

4 3 Solens deklination Da vi kun interesserer os for solen, lader vi nu S betegne solens placering på himmelkuglen. I forhold til himmelkuglen vil solen bevæge sig på en lillecirkel parallel med ækvatorplanen gennem et døgn, da solens deklination praktisk taget er konstant gennem hele døgnet. Deklinationen ændrer sig med årstiden, idet den går fra ved vintersolhverv til ved sommersolhverv. Deklinationen kan med god tilnærmelse beskrives ved en harmonisk svingning af dagens nummer og med amplituden Øvelse 6 Lad f (x) = sin(ωx + ψ) være deklinationen, hvor x er dagens nummer i året (1 = 1.januar, osv.). Da perioden er 365 dage, får vi umiddelbart at ω = 2π 365 Bestem ψ, når f (x) = ved sommersolhverv (dag nr 173). Tjek den fundne forskrift ved forårsjævndøgn (79), efterårsjævndøgn (266) og vintersolhverv (356). Bemærkning 7 Lommeregneren skal indstilles til radianer, men funktionsværdien skal opfattes som et gradtal. 4

5 4 Horisontalsystemet Da vi skal beskrive solens gang hen over himlen fra et hvilken som helst sted på jorden er vi nødt til at indføre endnu et koordinatsystem (horisontalsystemet) idet solens højde måles lokalt i forhold til det vandrette plan - horisontplanet - og solens retning, som kaldes azimuth, måles tilsvarende i forhold til syd, jvf. den næste tegning, hvor horisontplanet er tegnet gennem jordens centrum : Da resten af teorien bygger på forståelsen for ovenstående tegning, vil vi her gennemgå den grundigt. Horisontplanet er markeret med nord-syd. Læg mærke til at stedets meridian er kuglens ydre omrids (gennem P og Z), og at både timevinklen (t) og Azimuth (Az) måles derudfra. Punktet P er nordpolen, og Z er Zenithpunktet, dvs. det punkt der ligger lodret over betragteren. Stedets breddegrad (b) er derfor vinklen fra ækvatorplanet og op til Zenith. Solens deklination (d) måles ud fra ækvatorplanet, men solens højde (h) måles ud fra horisontplanet, idet højden er den vinkel som går mellem vandret og solen. Vi ser, at der bestemmes en sfærisk trekant PSZ, og denne trekant gør det muligt at udtrykke solhøjden h ved hjælp af breddegraden b, deklinationen d og timevinklen t, idet følgende sætning gælder (hvor timevinklen t omregnes og indsættes som grader): Sætning 8 sin(h) = sin(b) sin(d) + cos(b) cos(d) cos(t). Bevis Vi indlægger et koordinatsystem, således at stedets meridian ligger i yz-planet og ækvatorplanet ligger i xy-planet. 5

6 Da S har de sfæriske koordinater (r,90 t, d) bliver de kartesiske koordinater derfor S = (r cos(d) cos(90 t), r cos(d) sin(90 t), r sin(d)) jvf. formel 2. Heraf får vi så let, at S = (r cos(d) sin(t), r cos(d) cos(t), r sin(d)). Da punktet Z har de sfæriske koordinater (r, 90, b) får vi på samme måde de kartesiske koordinater: Z = (0,r cos(b), r sin(b)). Da vinklen mellem de to stedvektorer OS og OZ netop er 90 h, finder vi let skalarproduktet: OS OZ = r 2 cos(90 h) = r 2 sin(h) jvf. en velkendt sætning (se evt. appendiks (6.1.22)). Hvis vi udregner skalarproduktet ud fra vores koordinatsæt, får vi og hermed har vi vist, at OS OZ = r 2 cos(b) cos(d) cos(t) + r 2 sin(d) sin(b), sin(h) = sin(b) sin(d) + cos(b) cos(d) cos(t). Bemærkning 9 Solen er tegnet med en timevinkel 0 < t < 90, men beviset gælder umiddelbart for alle værdier af t, da det sfæriske koordinatsæt er korrekt i alle tilfælde. Eksempel 10 Vi finder solhøjden ved midsommer på 55 N bredde, når solen står højest på himlen. Deklinationen er så 23,45, og timevinklen er 0. Vi får så, at sin(h) = sin(55 ) sin(23,45 ) + cos(55 ) cos(23,45 ) cos(0 ), 6

7 og heraf fås, at h = 58,45. I følge en additionsformel for cosinus (se evt. appendiks ), får vi også, at sin(h) = cos(55 23,45 ), altså er h = 90 31,55 = 58,45. Ved hjælp af et simpelt geometrisk argument er det let at indse, at solens middagshøjde altid er givet ved formlen: h = 90 b + d i overensstemmelse med ovenstående resultat. Øvelse 11 Gør dette. Den næste sætning giver os mulighed for at bestemme azimuth: Sætning 12 sin(az) = cos(d) sin(t). cos(h) Bevis Vi drejer koordinatsystemet om x-aksen, således at horisontplanet kommer til at ligge i xy-planet. Punktet S får så de sfæriske koordinater (r,90 Az,h), men dvs. at S = (r cos(h) cos(90 Az), r cos(h) sin(90 Az), r sin(h)) = (r cos(h) sin(az), r cos(h) cos(az), r sin(h)). Men da S har samme x-koordinat som før drejningen, får vi den følgende ligning cos(h) sin(az) = cos(d) sin(t), og hermed er sætningen bevist. Bemærkning 13 Da højden indgår i formlen, skal den altså bestemmes først jvf. sætning 8. Det er også muligt at lave en formel, som gør det muligt at bestemme azimuth direkte ud fra b, d og t (formel 24 i appendiks 6.2), men da den er ret besværlig at udlede i alle detaljer, vil vi holde os til ovenstående formel. I næste eksempel indgår der en del detaljer (som fx. tidsregningen MET og solens kulminationstidspunkt), som bliver uddybet lige efter eksemplet. Eksempel 14 Vi regner et eksempel fra almanakken 1 : Find retningen til solen den 25.juni kl (MET) i Skagen. Skagens geografiske bredde er = Solens deklination den 25.juni (176) er = Vi mangler nu timevinklen, som vi skal finde ud fra lokaltiden kl Da solen kulminerer kl (jvf. almanakken), må timevinklen være -1t 50min = -1,8333 t. Den skal omregnes til grader, og da solen flytter sig 15 i timen, skal vi gange med 15: t = Vi kan nu beregne solens højde ved hjælp af sætning 8, og vi får h = (50 24 ). Vi indsætter i sætning 12, og vi får Az = ( ). Hvis man kigger mod syd, skal man altså dreje ansigtet ca. 42 mod øst, og ca. 50 opad for at kigge mod solen. 1 Skriv -og rejsekalender 1985, Københavns Universitet 7

8 Øvelse 15 I ovenstående beregninger er der ikke taget hensyn til sommertiden, så timevinklen skal korrigeres med 1 time. Bestem den korrekte retning til solen. Som vi kan se af ovenstående, skal vi kende solens kulminationstidspunkt for at finde timevinklen til et bestemt klokkeslæt. I Danmark bruger vi mellemeuropæisk tid (MET), dvs. at vi er 1 time forud for Greenwich-tiden, hvilket svarer til 15 øst for Greenwich. Da Københavns længdegrad er , vil solen først kulminere 9 min 41 s efter klokken 12. Øvelse 16 Vis dette. Ovenstående bygger på begrebet middelsoltid, hvor hvert soldøgn er nøjagtig 24 t. I virkeligheden er det lidt anderledes, da soldøgnets længde varierer med årstiden, og derfor vil kulminationstidspunktet også variere med årstiden ( ca. kl ± 16min ), jvf. følgende graf ( fra almanakken): Bemærk, at grafen kan misforstås, idet den går ud fra kl. 12 i stedet for kl Kulminationstidspunktet i København varierer altså fra ca. kl til ca. kl i MET. Grunden til at soldøgnet varierer med årstiden skyldes to faktorer: solens bane omkring jorden (i virkeligheden er det omvendt) er ikke cirkulær, men elliptisk, og for det andet at jordaksen danner en vinkel på 23,5 til solens bane. Øvelse 17 Bestem solens kulminationstidspunkt (MET) i Esbjerg den 1/10, når Esbjerg har længdegraden

9 5 Solkompasset Det er let at lave et solkompas i praksis: Tegn en cirkel med radius 4 cm eller mere på et stykke karton. Inddel cirklen efter verdenshjørnerne og stik en tegnestift igennem centrum. Læg kompasset i solen på et vandret underlag, og afsæt fx. hver halve time en prik for enden af den skygge som tegnestiften giver. Når dagen er gået optegnes skyggekurven gennem de afsatte punkter. Solkompasset kan nu bruges de næste 3-4 dage. Det skal altid holdes vandret, og det skal orienteres således, at skyggen rammer skyggekurven. Da der er to muligheder, skal du vide om du bruger det før eller efter middag. Når kompasset er orienteret rigtigt, har du styr på verdenshjørnerne. Vi kan også let konstruere solkompasset ud fra vores teori. Punkterne på skyggekurven afhænger af retningen til solen (Az) og af solens højde (h), idet skyggens længde (l) er givet ved a l = tan(h), hvor a er tegnestiftens længde. jvf. den følgende tegning: Men det betyder, at vi blot skal afsætte punktet 2 (l cos(az), l sin(az)) for enhver timevinkel t i et koordinatsystem med Origo i cirklens centrum. I praksis skal vi begrænse os til vores cirkel, men dvs. at l skal være mindre end eller lig med radius, 2 se dog bemærkning 19 9

10 og vi kan også let begrænse os til den tid, hvor solen er på himlen, idet højden ellers er negativ. I beregningerne indgår også breddegraden, og solens deklination. Da vi tidligere har udledt en formel for deklinationen, som afhænger af dagens nummer i året, kan vi hermed tegne solkurver for en hvilken som helst dag i året for en vilkårlig breddegrad. Øvelse 18 Lav og udfyld en tabel som den nedenstående og tegn solkurven op i et koordinatsystem (brug fx. datoen 1/6 (152), breddegraden 55 og en tegnestift på 20 mm): t -6t -5t -4t -3t -2t -1t 0t 1t 2t 3t 4t 5t 6t h Az l l cos(az) l sin(az) Øvelsen kan med fordel laves i et regneark. Bemærk, at solkurven bliver symmetrisk om x-aksen, således at nord er i x-aksens retning. Bemærkning 19 Solkurven bliver kun rigtig, når azimuth (i radianer) ligger i intervallet [ π/2; π/2]; ellers skal azimuth skifte fortegn og der skal trækkes π fra eller lægges π til afhængig af om azimuth er mindre end π/2 eller større end π/2. Årsagen er den enkle, at sin 1 altid giver en vinkel i intervallet [ π/2; π/2], mens Az tilhører intervallet [ π; π]. Det kræver lidt snilde at få dette til at fungere i et regneark. Endelig kan du også downloade et computerprogram, der kan lave solkompasset for dig, se 10

11 6 Appendiks 6.1 Diverse formler I noterne anvendes bl.a. følgende elementære formler 1. For alle v R : cos(90 v) = sin(v) (20) sin(90 v) = cos(v) (21) 2. Hvis v er vinklen mellem to vektorer a og b, gælder a b = a b cos(v) (22) 3. For alle s, t R gælder cos(s t) = cos(s) cos(t) + sin(s) sin(t) (23) 6.2 Sfærisk trigonometri I dette afsnit viser vi, hvorledes vores resultater kan udledes ved hjælp af formler fra den sfæriske trigonometri jvf. litteraturlisten. Afsnittet kræver derfor forhåndskendskab til dette emne. Formlen i sætning 12 kan også bevises direkte ud fra en af sinusrelationerne i en sfærisk trekant: sin(a) sin(c) = sin(c) sin(a) jvf. litteraturlisten [2], formel F2 side 49. Bevis Ved et passende valg af symboler i den sfæriske trekant PS Z (A = P og C = Z) : 11

12 får vi sin(90 h) sin(180 Az) = sin(90 d) sin(t) cos(h) sin(az) = cos(d) sin(t) cos(d) sin(t) sin(az) =. cos(h) I almanakken angives følgende formel for azimuth: tan(az) = cos(d) sin(t) sin(b) cos(d) cos(t) cos(b) sin(d). (24) Vi viser nu, hvordan den kan udledes ud fra vores formel kombineret med den følgende generelle formel fra den sfæriske trigonometri: sin(a) cos(c) = cos(c) sin(b) sin(c) cos(b) cos(a). jvf. litteraturlisten [2], formel F3 side 50. Bevis Vi bruger ovenstående formel på vores trekant, og får sin(90 h) cos(180 Az) = cos(90 d) sin(90 b) sin(90 d) cos(90 b) cos(t) altså og dermed, at cos(h) ( cos(az)) = sin(d) cos(b) cos(d) sin(b) cos(t) cos(az) = cos(d) sin(b) cos(t) sin(d) cos(b) cos(h) Hvis vi nu dividerer vores formel fra sætning 12 : sin(az) = cos(d) sin(t) cos(h) med ovenstående formel, fremkommer almanakkens formel uden videre. Bemærkning 25 Fordelen ved formel 24 er, at man får udtrykt azimuth som en funktion af timevinklen (t), når man holder deklinationen og breddegraden fast, altså når man følger solen en bestemt dag på en bestemt breddegrad. 12

13 7 Litteraturliste Læseværdige gymnasiebøger: 1. MATEMATIK FOR MF, GEOMETRI af Jonny Schultz, Forlaget TRIP 1985 Bogen indeholder et meget overskueligt og letlæst kapitel om Sfærisk geometri (se kap. VI). 2. ASTRONOMISK NAVIGATION af Erik Vestergaard, Matematiklærerforeningen Meget grundig gennemgang af emnet. Halvdelen af bogen indeholder oplæg til større øvelser herunder også opgaver, der lægger op til solkompasset. Bogen indeholder også et afsnit med beviser for de sfæriske trigonometriske formler. Sværhedsgraden er for det meste ret stor. Preben M. Henriksen, juli

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse

Læs mere

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor

Rumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

Rumfang af væske i beholder

Rumfang af væske i beholder Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses

Læs mere

1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen

ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium Version: 18. august 2007 side 1 af 15 Astronomisk navigation hvad er

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug juni 2009-2010 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Grenaa Tekniske Skole HTX Fysik A Niels Gustav

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

TIL KAPITEL 1 Hvor er jeg? Hvad er jeg? OPGAVE 1.01 Beregn Jordens omkreds. (s. 12)

TIL KAPITEL 1 Hvor er jeg? Hvad er jeg? OPGAVE 1.01 Beregn Jordens omkreds. (s. 12) TIL KAPITEL 1 Hvor er jeg? Hvad er jeg? (s. 12) PGAVE 1.01 Beregn Jordens omkreds G tolinje 0 Ø 100 Ø 90 Ø 60 V 50 V 40 V 30 V 20 V 10 V 0 80 N 70 N 60 N 50 N 40 N 30 N 20 N 10 N 0 10 S 20 S 30 S 1.4 Jordkloden

Læs mere

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Projektbeskrivelse: Konstellationsdiagrammer

Projektbeskrivelse: Konstellationsdiagrammer Helena-Céline Arøe Stevelt, Simon Stuhr Harder Carlsen og Nicolai Riisbjerg Jørgensen 2. BT, Bagsværd Kostskole og Gymnasium Projektbeskrivelse: Konstellationsdiagrammer Vi stødte på konstellationsdiagrammer,

Læs mere

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens. Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,

Læs mere

Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde

Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadrant instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadrant - instrumentbeskrivelse og virkemåde Kvadranterne i instrumentpakken fra geomat.dk er kopier af et instrument lavet af Georg Hartman i 1547. Originalen

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere