Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =

Transkript

1 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet menneske skal vide om) Uendelige rækker af funktioner 6 Indeks 8 Lineær uafhængighed Lineær uafhængighed Et vektorsæt i R n siges at være lineær uafhængige, hvis og kun hvis ingen af vektorerne kan skrives som en linearkombination af de øvrige vektorer. Metoden; Reducer til Echelon-matrix, nd intialle -taller i søjlerne (Hver søjler repræsentere en vektor). Vektorer uden et intialt -tal er en linearkombination af de øvrige vektorer. Bemærk: Hvis man har et ortogonalt sæt af vektorer og ingen af dem er Sættet er lineært uafhængigt * jf. Grassmanns udskifningssætning Eksempel: Der givet følgende vektorer:,, R 3 () 2 Reducér (2) 2 Linearkombination; Eksempel: Her tages ud i den reducerede matrix i ligning (2) u 3 = u + u 2 (3) Dermed er koordinatsættet til u 3 : ( V u3 = ) (4) Basis; For en basis skal da gælder, at:. Basisvektorerne (ū, ū 2,..., ū k ) er linæert uafhængige 2. Span {ū, ū 2,..., ū k } Eksempel: Betragt matricen i ligning (2). Udfra matricen ses, at de 2 første vektorer er lineært uafhængige, den 3. er en linearkombination af de to andre vektorer. Grassmanns udskiftningssætning; Lad (ā, ā 2, ā 3,..., ā p ) være et lineært uafhængigt sæt af vektorer i R n og lad U= span{ā, ā 2, ā 3,..., ā p )} Hvis (ā, b 2, b 3,..., b q ) er et lineært uafhængigt sæt af vektorer fra U, gælder der at q p og det er muligt at udskifte q vektorer i sættet (ā, ā 2, ā 3,..., ā p ) med vektorerne fra ( b, b 2, b 3,..., b p ), således at dette nye sæt er lineært uafhængig og udspænder U.

2 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR AFBILDNINGER Gram-Schmidt's ortonormalisering For en vektorsættet (a, a 2, a 3 ) som er en basis for R 3, bestemmes ortonormalebasis (b, b 2, b 3 ) for (a, a 2, a 3 ) således): (c, c 2, c 3 ) er en ortogonalbasis for (a, a 2, a 3 ) Dermed er den ortonormale basis (b, b 2, b 3 ) for (a, a 2, a 3 ) bestemt. Lineær afbildninger c = a (5) c 2 = a 2 a 2c c c c (6) c 3 = a 3 a 3c 2 c 2 c 2 c 2 (7) b = c c (8) b 2 = c 2 c 2 (9) b 3 = c 3 c 3 () Lineær afbildning T: R n R m Følgende betingelser skal gælde for en lineær afbildning T: R n R m :. x, ȳ R n : T ( x + ȳ) = T x + T ȳ 2. x R n λ R : T (λ x) = λt ( x) T ( ) = (Nødvendig betingelse) x R : T ( x) = T ( x) (Nødvendig betingelse) Bemærk Det gælder at, hvis T ȳ = λȳ, hvor λ er en skalaring (λ ) da er λ en egenværdi for T-matricen * og ȳ den tilhørende egenvektor for λ. Rang; Antallet dimensioner matricen spænder over. Dette kan bestemmes ud fra antallet af ledende -taller i Echelon-matricen. rg(a) Fuldrang; For en matrix x R n, hvor antallet af ledende -taller er n (dermed lig antallet af rækker) Den kan dermed omdannes til Echelon-matrice. Underrums dimensioner; dim(u) er det maksimale antal lineært uafhængige vektorer i U Bemærk: dim(u) + dim(u = dim(r n ) = n * Eksempel: Hvis U = span{ā, ā 2 } R n dim(u) = 2 Nulrummet N(T ) = {x R n T x = } Nulrummet for den lineære afbildning T, er de x, hvor lineære afbildning er, ergo x N(T ) T x = : T x = a b c d e f g h i x x 2 x 2 = () Eksempel: 2 T = = 2 (2) x + x 3 = x = x 3 x 2 + x 3 x 2 = x 3 x 3 er fri (3) 2

3 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 SPEKTRALTEORI Med dette ndes udspændet af nulrummet; x x 2 = x 3 x 3 x 3 x 3 = x 3 x 3 (4) Derud fra gælder, at: N(T ) = span (5) Billedrummet R(T ) = {T x x R n } = {y R m x R n : T x = y}. Dimensionen af billedetrummet er det samme som rangen af matricen, dvs. rg(t)=dim(r(t)) Injektiv; At en lineær afbildning rammer punkter maksimalt én gang. For en injektiv lineær afbildning, T: R n R m, gælder, at nulrummet kun består af nulvektoren, N(T ) = { }. Surjektiv; At en lineær afbildning, T : R n R m, rammer alle punkter i R m mindst én gang. Afbildningsmatricen skal derfor være af fuld rang. Bemærk: T: R n R m hvor n m, da kan afbildningsmatrice aldrig være surjektiv. Bijektiv; En lineær afbildning, T: R n R m, der både er injektiv og surjektiv. Dermed rammer T alle punkter i R n én gang. Hvis og kun hvis afbildningsmatrice er en regulær matrice, hvormed den kan omdannes til en enhedsmatrix. Dermed vil T også have en invers matrice T, hvor T T = I Isometri; Her gælder at x R n : T x = x Spektralteori Spektralsætningen; Hvis en kvadratisk matrice A nxn er diagonaliserbar (har dermed n forskelige egenværdier og egenvektorer)da gælder; A = V DV (6) hvor V har egenvektorer i søjlerne og D er diagonalmatricen med egenværdier i diagonalen. Spektralteorien for symmetriske matricer For en symmetrisk matrice A ndes D og Q;. for D: skrive egenværdier i diagonalen 2. for Q: bruge de tilhørende normerede egenvektorer som søjler Der gælder derfra, at: D = Q AQ = Q T AQ (7) jf. spektralsætningen, hvor D er diagonalmatrice med egenværdierne og Q er en ortogonalmatrice med egenvektorer som søjler. Sporafbildningen; Er en linære afbildningen, der giver summen af diagonalen. Bemærk: For kvardratiske matrice gælder følgende; T r(ab) = T r(ba), T r(a) = T r(a t ), (A B) = * T r(a t B) = T r(b t A) Eksempel: Ud fra matricen T i ligning (2) vil sporafbildning: T r(t ) = T r = = 4 (8) 2 Egenværdimultiplikatoren; Antallet af dimensioner den tilhørende egenvektor(er) for egenværdien spænder over, em A (λ i ). Bemærk em A (λ i ) rm A (λ i ), og for symmetriske matricer rm A (λ i ) = em A (λ i ) * Rodmultiplikatoren; Antallet af gange et tal er egenværdi for matricen, rm A (λ i ). 3

4 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 KOMPLEKSE TAL Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler Spektret Er σ(a) (mængden af egenværdierne=spektret). For en symmetrisk matrice (jf. spektralteorien) og f : R R deneret på spektret gælder, at: f(a) = f(qdq ) = Qf(D)Q (9) Bemærk sin(a), cos(a) og e A er deneret for alle symmetriske matricer. ln(a) er deneret for alle * matricer, som er positiv denit. Positiv denit egenværdierne (se Denit 5) Specialtilfælde; det(f(a)) = det(qdq ) = det(q)det(f(d))det(q ) = det(qq )det(f(d)) = det(f(d)) (2) Bemærk at man da kan udlede, at en matrice A ikke er regulær, hvis den har en egenværdi, da * determinanten til diagonalmtricen, da vil være. Komplekse tal Komplekse tal; a + bi C, hvor i er den imaginære tal Imaginære tal; i=. Betragt det imaginære tal som et værktøj/denition, hvor man inddrager til de realle tal. F.eks.: f(z) = az 2 + bz + c = 2z 2 4z + 4 = ; d = ( b) 2 4ac = 6 (2) For realle tal,r, er det ikke muligt at bestemme rødder for f(z). Men med de komplekse tal (og dermed også i), C, kan man arbejde videre: x = b ± d 2a Newtons binomialformel ( a hvor b) = a! b!(a b)! (a + b) n = a n + = 4 ± 6 4 ( ) n a n b + = 4 ± 6 4 = + = + i (22) ( ) ( ) n a n 2 b 2 n... ab n + b n (23) 2 n Reale del; Re (cos(nx) + isin(nx)) = cos(nx) * Imaginære del; Im (cos(nx) + isin(nx)) = sin(nx) * Eulers lov e inx = cos(nx) + isin(nx); x, n R (24) cos(nx) = einx + e inx 2 Eksempel; Vi får givet følgende cos 3 (x)dx: (25) sin(nx) = einx e inx ; x, n R (26) 2i ( e cos 3 ix + e ix ) 3 (x) = = ( e ix + e ix) 3 (27) 2 8 = (( ( ( ( ) 3 e 8 ) 3ix 3 + e ) ix 3 + e 2) ix 3 + e 3) 3ix (28) = ( e 3ix + e 3ix + 3 eix + e ix ) = (cos(3x) + 3cos(x)) (29) cos 3 (x)dx = cos(3x) + 3cos(x)dx = ( ) sin(3x) + 3sin(x) + k (3)

5 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 KOMPLEKSE TAL De Moivre's formel Formellen er således og benyttes til at omdanne cos og sin: (cos(x) + isin(x)) n = cos(nx) + isin(nx); x R (3) Eksempel; Bestem cos(2x),sin(3x),os(3x) og sin(3x), udnyt real del, imaginær del og cos(x) 2 +sin(x) 2 = : ( cos(2x) = Re (cos(x) + sin(x)) 2) = Re ( cos 2 (x) sin 2 (x) + 2cos(x)isin(x) ) (32) = cos 2 (x) sin 2 (x) = cos 2 (x) + (cos 2 (x) ) = 2cos 2 (x) (33) ( sin(2x) = Im (cos(x) + sin(x)) 2) = 2cos(x)sin(x) (34) ( cos(3x) = Re (cos(x) + sin(x)) 3) = Re ( cos 3 (x) + 3cos(x) 2 isin(x) 3cos(x)sin(x) 2 isin 3 (x) ) (35) = cos 3 (x) 3cos(x)sin(x) 2 = cos 2 (x) + 3cos(x)(sin 2 (x) ) = 4cos 3 (x) 3cos(x) (36) ( sin(3x) = Im (cos(x) + sin(x)) 3) = 3cos(x) 2 sin(x) sin 3 (x) = 3sin(x) 4sin(x) 4 (37) Egenværdier For diagonal- og trekantsmatricer Egenværdierne aæses i diagonalen. Generelt Bestem det karakteristiske polynomium for en 3x3 matrice. Dette kan gøres på to måder. Her bruges den generelle metoder for matricer, hvor der udvikles om. søjle (kaldes strkla Places' udviklingsformel); a t b c P A(t) = det(a te 3 = d e t f (39) g h i t = ( ) + (a t) e t f h i t + ( )2+ d b c h i t + ( )3+ g b c e t f (4) Egenværdierne λ, λ 2 og λ 3, er de (3) t'er, hvor det karakteristiske polynomium er. Husk: Noter her rm A (λ i ). Dette er antallet af gange tallet for λ i er rod til det karakteriske polynomium. * EgenvektorerBestem de tilhørende egenvektorer ved at reducere den karakteriske polynomium for hver egenværdi. Eksempel for en given matrice og en egenværdi 3: P A(3) = A 3E 3 = = = x x 2 = x = x 2 x 2 er fri x 3 = (38) (4) Med dette kan man nde egenvektoren for egenværdien 3 således: x x 2 x 2 = x 2 = x 2 x 2 (43) x 3 (42) Derud fra gælder, at: V A (3) = span (44) Husk: Noter her em A (λ i ). Dette er antallet af dimensioner egenvektoren spænder over (tæl vektorer i * V A (i)). Egenværdimultiplikatoren, em A (3) er. Denit For en symmetrisk matricer gælder følgende:. A er positiv denit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er positive 5

6 (HVAD ETHVERT DANNET MENNESKE SKAL VIDE OM) UENDELIGE RÆKKER AF FUNKTIONER Goutham Jørgen Surendran3. januar A er positiv semidenit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er ikke-negativ 3. A er negativ denit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er negative 4. A er negativ semidenit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er ikke-positive Polynomisk division Polynomisk division kan benyttes til at reducere et polynomium til f.eks. 2.gradsligning. F.eks. kan følgende 3.gradsligning reduceres: f(t) = at 3 + bt 2 + ct + da (45). Find alle q, således at d q = p, hvor q, p Z (Z Heltal) 2. Find et q, hvor f(q i ) =. Dette er af 3 løsninger til f(t)(èn er nok). 3. Divider f(t) med t q i, hvor q i opfylder f(q i ) =. 4. Løs 2.gradsligningen fra den polynomiske division. 5. Løsningen for f(t) er da q i fra punkt 2 og løsningerne fra punkt 4. Fås kun 2 løsninger er den ene en dobbeltrod. Dobbeltroden er den, der opopfylder f (t) = Eksempel: Der er givet følgende ligning:. Her ses at; q =, q 2 =, q 3 = 2, q 4 = 2 g(t) = t 3 + 3t + 2 (46) 2. Ved at indsætte, indses at g( ) = og g(2) = 3. Her udnyttes q 2 = og g(t) divideres derfor med t ( ): t + t 3 + 3t + 2 t 2 + t + 2 = g(x) t 3 t 2 t 2 + 3t + 2 t 2 + t 2t + 2 2t + 2 (47) 4. Rødderne til 2.gradsligningen g(x) er dermed t 2 =,t 3 = 2 5. Løsningen er for f(t) = er da t =,t 2 = og t 3 = 2 (- er dobbeltrod) (Hvad ethvert dannet menneske skal vide om) Uendelige rækker af funktioner Sum for endelige rækker; Det gælder følgende for en sumfunktioen: Sum for uendelige rækker; Det gælder følgende for en sumfunktioen: k x n = xk+ ; x < (48) x x n = ; x < (49) x Summen for funktion; For en funktion g(x), der er C og rækket (g(x))n er konvergent for x [a; b], da gælder, at: g(x) = (g(x)) n = g(x) på x [a; b] (5) 6

7 (HVAD ETHVERT DANNET MENNESKE SKAL VIDE OM) UENDELIGE RÆKKER AF FUNKTIONER Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 Når der gives opgaver i sum af funktioner, giver oftest følgende spørgsmål:. For hvilke x er g(x) deneret/for x er rækken konvergent. Løs da g(x) < x I. 2. Hvad er regneforskriften for g(x): g(x) for x I 3. Monotoniforhold g dierentiabel: Beregn g (x) Bemærk at g (x) = g (x) ( g(x)), hvormed g(x) og g (x) har samme monotoniforhold 2 4. Værdimængden for g(x) Udnyt monotoniforholdene og x I Bemærk Der kan gives en gives en ekstra, der ofte er modiceret version af den første sumrække. Der er * oftest funktionen g(x) dierentieret. En metode til at bevise dette ses forneden: g(x) = a f(x) n = a + af(x) + af(x) 2 + af(x) (5) g (x) = + af (x) + 2af (x)f(x) + 3af (x)f(x) (52) = af (x)( + 2f(x) + 3f(x) ) (53) = af (x)(n + )f(x) n (54) Fra punkt 3 vides at regneforskriften for g (x) er: g (x) = af (x)(n + )f(x) n = g (x) g(x) (55) 7

8 Indeks Basis, Bijektiv, 3 Billedrummet, 3 De Moivre's formel, 5 Denit, 5 diagonaliserbar, 3 Egenværdier, 5 Egenværdimultiplikatoren;, 3 Egenvektorer, 5 Eulers lov, 4 Fuldrang;, 2 Gram-Schmidt's ortonormalisering, 2 Grassmanns udskiftningssætning;, Imaginære del, 4 Imaginære tal, 4 Injektiv, 3 Isometri, 3 Komplekse tal, 4 Lineær afbildning T: R n R m, 2 Lineær uafhængighed, Linearkombination, Newtons binomialformel, 4 Nulrummet, 2 ortonormalebasis, 2 Polynomisk division, 6 Rang;, 2 Reale del, 4 Rodmultiplikatoren, 3 Spektralsætningen, 3 Spektralteorien for symmetriske matricer, 3 Spektret, 4 Sporafbildningen, 3 Sum for endelige rækker, 6 Sum for uendelige rækker, 6 Summen for funktion, 6 Surjektiv, 3 Underrums dimensioner, 2 8