Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 ="

Transkript

1 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet menneske skal vide om) Uendelige rækker af funktioner 6 Indeks 8 Lineær uafhængighed Lineær uafhængighed Et vektorsæt i R n siges at være lineær uafhængige, hvis og kun hvis ingen af vektorerne kan skrives som en linearkombination af de øvrige vektorer. Metoden; Reducer til Echelon-matrix, nd intialle -taller i søjlerne (Hver søjler repræsentere en vektor). Vektorer uden et intialt -tal er en linearkombination af de øvrige vektorer. Bemærk: Hvis man har et ortogonalt sæt af vektorer og ingen af dem er Sættet er lineært uafhængigt * jf. Grassmanns udskifningssætning Eksempel: Der givet følgende vektorer:,, R 3 () 2 Reducér (2) 2 Linearkombination; Eksempel: Her tages ud i den reducerede matrix i ligning (2) u 3 = u + u 2 (3) Dermed er koordinatsættet til u 3 : ( V u3 = ) (4) Basis; For en basis skal da gælder, at:. Basisvektorerne (ū, ū 2,..., ū k ) er linæert uafhængige 2. Span {ū, ū 2,..., ū k } Eksempel: Betragt matricen i ligning (2). Udfra matricen ses, at de 2 første vektorer er lineært uafhængige, den 3. er en linearkombination af de to andre vektorer. Grassmanns udskiftningssætning; Lad (ā, ā 2, ā 3,..., ā p ) være et lineært uafhængigt sæt af vektorer i R n og lad U= span{ā, ā 2, ā 3,..., ā p )} Hvis (ā, b 2, b 3,..., b q ) er et lineært uafhængigt sæt af vektorer fra U, gælder der at q p og det er muligt at udskifte q vektorer i sættet (ā, ā 2, ā 3,..., ā p ) med vektorerne fra ( b, b 2, b 3,..., b p ), således at dette nye sæt er lineært uafhængig og udspænder U.

2 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR AFBILDNINGER Gram-Schmidt's ortonormalisering For en vektorsættet (a, a 2, a 3 ) som er en basis for R 3, bestemmes ortonormalebasis (b, b 2, b 3 ) for (a, a 2, a 3 ) således): (c, c 2, c 3 ) er en ortogonalbasis for (a, a 2, a 3 ) Dermed er den ortonormale basis (b, b 2, b 3 ) for (a, a 2, a 3 ) bestemt. Lineær afbildninger c = a (5) c 2 = a 2 a 2c c c c (6) c 3 = a 3 a 3c 2 c 2 c 2 c 2 (7) b = c c (8) b 2 = c 2 c 2 (9) b 3 = c 3 c 3 () Lineær afbildning T: R n R m Følgende betingelser skal gælde for en lineær afbildning T: R n R m :. x, ȳ R n : T ( x + ȳ) = T x + T ȳ 2. x R n λ R : T (λ x) = λt ( x) T ( ) = (Nødvendig betingelse) x R : T ( x) = T ( x) (Nødvendig betingelse) Bemærk Det gælder at, hvis T ȳ = λȳ, hvor λ er en skalaring (λ ) da er λ en egenværdi for T-matricen * og ȳ den tilhørende egenvektor for λ. Rang; Antallet dimensioner matricen spænder over. Dette kan bestemmes ud fra antallet af ledende -taller i Echelon-matricen. rg(a) Fuldrang; For en matrix x R n, hvor antallet af ledende -taller er n (dermed lig antallet af rækker) Den kan dermed omdannes til Echelon-matrice. Underrums dimensioner; dim(u) er det maksimale antal lineært uafhængige vektorer i U Bemærk: dim(u) + dim(u = dim(r n ) = n * Eksempel: Hvis U = span{ā, ā 2 } R n dim(u) = 2 Nulrummet N(T ) = {x R n T x = } Nulrummet for den lineære afbildning T, er de x, hvor lineære afbildning er, ergo x N(T ) T x = : T x = a b c d e f g h i x x 2 x 2 = () Eksempel: 2 T = = 2 (2) x + x 3 = x = x 3 x 2 + x 3 x 2 = x 3 x 3 er fri (3) 2

3 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 SPEKTRALTEORI Med dette ndes udspændet af nulrummet; x x 2 = x 3 x 3 x 3 x 3 = x 3 x 3 (4) Derud fra gælder, at: N(T ) = span (5) Billedrummet R(T ) = {T x x R n } = {y R m x R n : T x = y}. Dimensionen af billedetrummet er det samme som rangen af matricen, dvs. rg(t)=dim(r(t)) Injektiv; At en lineær afbildning rammer punkter maksimalt én gang. For en injektiv lineær afbildning, T: R n R m, gælder, at nulrummet kun består af nulvektoren, N(T ) = { }. Surjektiv; At en lineær afbildning, T : R n R m, rammer alle punkter i R m mindst én gang. Afbildningsmatricen skal derfor være af fuld rang. Bemærk: T: R n R m hvor n m, da kan afbildningsmatrice aldrig være surjektiv. Bijektiv; En lineær afbildning, T: R n R m, der både er injektiv og surjektiv. Dermed rammer T alle punkter i R n én gang. Hvis og kun hvis afbildningsmatrice er en regulær matrice, hvormed den kan omdannes til en enhedsmatrix. Dermed vil T også have en invers matrice T, hvor T T = I Isometri; Her gælder at x R n : T x = x Spektralteori Spektralsætningen; Hvis en kvadratisk matrice A nxn er diagonaliserbar (har dermed n forskelige egenværdier og egenvektorer)da gælder; A = V DV (6) hvor V har egenvektorer i søjlerne og D er diagonalmatricen med egenværdier i diagonalen. Spektralteorien for symmetriske matricer For en symmetrisk matrice A ndes D og Q;. for D: skrive egenværdier i diagonalen 2. for Q: bruge de tilhørende normerede egenvektorer som søjler Der gælder derfra, at: D = Q AQ = Q T AQ (7) jf. spektralsætningen, hvor D er diagonalmatrice med egenværdierne og Q er en ortogonalmatrice med egenvektorer som søjler. Sporafbildningen; Er en linære afbildningen, der giver summen af diagonalen. Bemærk: For kvardratiske matrice gælder følgende; T r(ab) = T r(ba), T r(a) = T r(a t ), (A B) = * T r(a t B) = T r(b t A) Eksempel: Ud fra matricen T i ligning (2) vil sporafbildning: T r(t ) = T r = = 4 (8) 2 Egenværdimultiplikatoren; Antallet af dimensioner den tilhørende egenvektor(er) for egenværdien spænder over, em A (λ i ). Bemærk em A (λ i ) rm A (λ i ), og for symmetriske matricer rm A (λ i ) = em A (λ i ) * Rodmultiplikatoren; Antallet af gange et tal er egenværdi for matricen, rm A (λ i ). 3

4 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 KOMPLEKSE TAL Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler Spektret Er σ(a) (mængden af egenværdierne=spektret). For en symmetrisk matrice (jf. spektralteorien) og f : R R deneret på spektret gælder, at: f(a) = f(qdq ) = Qf(D)Q (9) Bemærk sin(a), cos(a) og e A er deneret for alle symmetriske matricer. ln(a) er deneret for alle * matricer, som er positiv denit. Positiv denit egenværdierne (se Denit 5) Specialtilfælde; det(f(a)) = det(qdq ) = det(q)det(f(d))det(q ) = det(qq )det(f(d)) = det(f(d)) (2) Bemærk at man da kan udlede, at en matrice A ikke er regulær, hvis den har en egenværdi, da * determinanten til diagonalmtricen, da vil være. Komplekse tal Komplekse tal; a + bi C, hvor i er den imaginære tal Imaginære tal; i=. Betragt det imaginære tal som et værktøj/denition, hvor man inddrager til de realle tal. F.eks.: f(z) = az 2 + bz + c = 2z 2 4z + 4 = ; d = ( b) 2 4ac = 6 (2) For realle tal,r, er det ikke muligt at bestemme rødder for f(z). Men med de komplekse tal (og dermed også i), C, kan man arbejde videre: x = b ± d 2a Newtons binomialformel ( a hvor b) = a! b!(a b)! (a + b) n = a n + = 4 ± 6 4 ( ) n a n b + = 4 ± 6 4 = + = + i (22) ( ) ( ) n a n 2 b 2 n... ab n + b n (23) 2 n Reale del; Re (cos(nx) + isin(nx)) = cos(nx) * Imaginære del; Im (cos(nx) + isin(nx)) = sin(nx) * Eulers lov e inx = cos(nx) + isin(nx); x, n R (24) cos(nx) = einx + e inx 2 Eksempel; Vi får givet følgende cos 3 (x)dx: (25) sin(nx) = einx e inx ; x, n R (26) 2i ( e cos 3 ix + e ix ) 3 (x) = = ( e ix + e ix) 3 (27) 2 8 = (( ( ( ( ) 3 e 8 ) 3ix 3 + e ) ix 3 + e 2) ix 3 + e 3) 3ix (28) = ( e 3ix + e 3ix + 3 eix + e ix ) = (cos(3x) + 3cos(x)) (29) cos 3 (x)dx = cos(3x) + 3cos(x)dx = ( ) sin(3x) + 3sin(x) + k (3)

5 Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 KOMPLEKSE TAL De Moivre's formel Formellen er således og benyttes til at omdanne cos og sin: (cos(x) + isin(x)) n = cos(nx) + isin(nx); x R (3) Eksempel; Bestem cos(2x),sin(3x),os(3x) og sin(3x), udnyt real del, imaginær del og cos(x) 2 +sin(x) 2 = : ( cos(2x) = Re (cos(x) + sin(x)) 2) = Re ( cos 2 (x) sin 2 (x) + 2cos(x)isin(x) ) (32) = cos 2 (x) sin 2 (x) = cos 2 (x) + (cos 2 (x) ) = 2cos 2 (x) (33) ( sin(2x) = Im (cos(x) + sin(x)) 2) = 2cos(x)sin(x) (34) ( cos(3x) = Re (cos(x) + sin(x)) 3) = Re ( cos 3 (x) + 3cos(x) 2 isin(x) 3cos(x)sin(x) 2 isin 3 (x) ) (35) = cos 3 (x) 3cos(x)sin(x) 2 = cos 2 (x) + 3cos(x)(sin 2 (x) ) = 4cos 3 (x) 3cos(x) (36) ( sin(3x) = Im (cos(x) + sin(x)) 3) = 3cos(x) 2 sin(x) sin 3 (x) = 3sin(x) 4sin(x) 4 (37) Egenværdier For diagonal- og trekantsmatricer Egenværdierne aæses i diagonalen. Generelt Bestem det karakteristiske polynomium for en 3x3 matrice. Dette kan gøres på to måder. Her bruges den generelle metoder for matricer, hvor der udvikles om. søjle (kaldes strkla Places' udviklingsformel); a t b c P A(t) = det(a te 3 = d e t f (39) g h i t = ( ) + (a t) e t f h i t + ( )2+ d b c h i t + ( )3+ g b c e t f (4) Egenværdierne λ, λ 2 og λ 3, er de (3) t'er, hvor det karakteristiske polynomium er. Husk: Noter her rm A (λ i ). Dette er antallet af gange tallet for λ i er rod til det karakteriske polynomium. * EgenvektorerBestem de tilhørende egenvektorer ved at reducere den karakteriske polynomium for hver egenværdi. Eksempel for en given matrice og en egenværdi 3: P A(3) = A 3E 3 = = = x x 2 = x = x 2 x 2 er fri x 3 = (38) (4) Med dette kan man nde egenvektoren for egenværdien 3 således: x x 2 x 2 = x 2 = x 2 x 2 (43) x 3 (42) Derud fra gælder, at: V A (3) = span (44) Husk: Noter her em A (λ i ). Dette er antallet af dimensioner egenvektoren spænder over (tæl vektorer i * V A (i)). Egenværdimultiplikatoren, em A (3) er. Denit For en symmetrisk matricer gælder følgende:. A er positiv denit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er positive 5

6 (HVAD ETHVERT DANNET MENNESKE SKAL VIDE OM) UENDELIGE RÆKKER AF FUNKTIONER Goutham Jørgen Surendran3. januar A er positiv semidenit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er ikke-negativ 3. A er negativ denit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er negative 4. A er negativ semidenit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er ikke-positive Polynomisk division Polynomisk division kan benyttes til at reducere et polynomium til f.eks. 2.gradsligning. F.eks. kan følgende 3.gradsligning reduceres: f(t) = at 3 + bt 2 + ct + da (45). Find alle q, således at d q = p, hvor q, p Z (Z Heltal) 2. Find et q, hvor f(q i ) =. Dette er af 3 løsninger til f(t)(èn er nok). 3. Divider f(t) med t q i, hvor q i opfylder f(q i ) =. 4. Løs 2.gradsligningen fra den polynomiske division. 5. Løsningen for f(t) er da q i fra punkt 2 og løsningerne fra punkt 4. Fås kun 2 løsninger er den ene en dobbeltrod. Dobbeltroden er den, der opopfylder f (t) = Eksempel: Der er givet følgende ligning:. Her ses at; q =, q 2 =, q 3 = 2, q 4 = 2 g(t) = t 3 + 3t + 2 (46) 2. Ved at indsætte, indses at g( ) = og g(2) = 3. Her udnyttes q 2 = og g(t) divideres derfor med t ( ): t + t 3 + 3t + 2 t 2 + t + 2 = g(x) t 3 t 2 t 2 + 3t + 2 t 2 + t 2t + 2 2t + 2 (47) 4. Rødderne til 2.gradsligningen g(x) er dermed t 2 =,t 3 = 2 5. Løsningen er for f(t) = er da t =,t 2 = og t 3 = 2 (- er dobbeltrod) (Hvad ethvert dannet menneske skal vide om) Uendelige rækker af funktioner Sum for endelige rækker; Det gælder følgende for en sumfunktioen: Sum for uendelige rækker; Det gælder følgende for en sumfunktioen: k x n = xk+ ; x < (48) x x n = ; x < (49) x Summen for funktion; For en funktion g(x), der er C og rækket (g(x))n er konvergent for x [a; b], da gælder, at: g(x) = (g(x)) n = g(x) på x [a; b] (5) 6

7 (HVAD ETHVERT DANNET MENNESKE SKAL VIDE OM) UENDELIGE RÆKKER AF FUNKTIONER Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 Når der gives opgaver i sum af funktioner, giver oftest følgende spørgsmål:. For hvilke x er g(x) deneret/for x er rækken konvergent. Løs da g(x) < x I. 2. Hvad er regneforskriften for g(x): g(x) for x I 3. Monotoniforhold g dierentiabel: Beregn g (x) Bemærk at g (x) = g (x) ( g(x)), hvormed g(x) og g (x) har samme monotoniforhold 2 4. Værdimængden for g(x) Udnyt monotoniforholdene og x I Bemærk Der kan gives en gives en ekstra, der ofte er modiceret version af den første sumrække. Der er * oftest funktionen g(x) dierentieret. En metode til at bevise dette ses forneden: g(x) = a f(x) n = a + af(x) + af(x) 2 + af(x) (5) g (x) = + af (x) + 2af (x)f(x) + 3af (x)f(x) (52) = af (x)( + 2f(x) + 3f(x) ) (53) = af (x)(n + )f(x) n (54) Fra punkt 3 vides at regneforskriften for g (x) er: g (x) = af (x)(n + )f(x) n = g (x) g(x) (55) 7

8 Indeks Basis, Bijektiv, 3 Billedrummet, 3 De Moivre's formel, 5 Denit, 5 diagonaliserbar, 3 Egenværdier, 5 Egenværdimultiplikatoren;, 3 Egenvektorer, 5 Eulers lov, 4 Fuldrang;, 2 Gram-Schmidt's ortonormalisering, 2 Grassmanns udskiftningssætning;, Imaginære del, 4 Imaginære tal, 4 Injektiv, 3 Isometri, 3 Komplekse tal, 4 Lineær afbildning T: R n R m, 2 Lineær uafhængighed, Linearkombination, Newtons binomialformel, 4 Nulrummet, 2 ortonormalebasis, 2 Polynomisk division, 6 Rang;, 2 Reale del, 4 Rodmultiplikatoren, 3 Spektralsætningen, 3 Spektralteorien for symmetriske matricer, 3 Spektret, 4 Sporafbildningen, 3 Sum for endelige rækker, 6 Sum for uendelige rækker, 6 Summen for funktion, 6 Surjektiv, 3 Underrums dimensioner, 2 8

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Lineære Modeller. Metodesamling. Forfatter Thomas Woergaard Kjær

Lineære Modeller. Metodesamling. Forfatter Thomas Woergaard Kjær Lineære Modeller Metodesamling Forfatter Thomas Woergaard Kjær Indhold Huskeliste Første undervisningsuge Vektorer og vektorrum........................................... Lineær (u)afhængighed........................................

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Kompendium til Lineær Algebra Politstudiet, matematik, 1. årsprøve Af Erik Bennike

Kompendium til Lineær Algebra Politstudiet, matematik, 1. årsprøve Af Erik Bennike Kompendium til Lineær Algebra Politstudiet matematik. årsprøve Indholdsfortegnelse : Elementær vektorregning... Matricer... 5 Lineære ligningssystemer... 8 Operationsmatricer... Basis og dimension... Lineære

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0 Middelværdi og varians Middelværdien af en diskret skalarfunktion f(x), for x = 0, N er: µ = N f(x) N x=0 For vektorfuktioner er middelværdivektoren tilsvarende: µ = N f(x) N x=0 Middelværdien er en af

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse

LinAlg Skriftlig prøve 20. januar 2009, 9 12 Vejledende besvarelse LinAlg Skriftlig prøve. januar 9, 9 Vejledende besvarelse Dette eksamenssæt løber over 5 sider, denne side inklusive. Sættet stilles til løsning over 3 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, bortset fra

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2010 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2010 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2010 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [P] Lawrence Perko: Differential equations

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat Egenværdier og Egenvektorer DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).

Læs mere

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

S u p p l e r e n d e n o t e r t i l C a l c u l u s

S u p p l e r e n d e n o t e r t i l C a l c u l u s S u p p l e r e n d e n o t e r t i l C a l c u l u s S e b a s t i a n Ø r s t e d y 2 1 1 2 x 1 2 3 r(θ) = 2 2sinθ + sinθ cosθ 1/2 sinθ + 7/5 E f t e r å r e t 2 0 1 6 Forord Følgende noter er tænkt

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006

Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006 Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Elektriske netværk. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Elektriske netværk. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Elektriske netværk Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Indledning. Formålet med projektet er at anvende lineær algebra til at etablere det matematiske grundlag for elektriske netværk betstående af

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere