iha.dk Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. Ai = Ay K u = U Bjælkens differentialligning Arbejdsligningen FEM formulering

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "iha.dk Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. Ai = Ay K u = U Bjælkens differentialligning Arbejdsligningen FEM formulering"

Transkript

1 Finite Element Method Stænger, Gitre, Rammer og Søjler. p(x) M V+dV V M+dM Bjælkens differentialligning dx + Ai Ay Arbejdsligningen K u U FEM formulering P p s s P Eksempel Opgave marts 7, C

2 Den Store Danske Encyklopædi fortæller om Finite Element Method: finite element metoden, (af lat. finitus 'afsluttet, begrænset', af finire 'slutte', af finis 'slutning, ende'), FEM, computerbaseret teknisk beregningsmetode til løsning af partielle differential- og integralligninger. Metoden har siden 95 haft en revolutionerende indflydelse på løsning af mange fysiske og ingeniørmæssige problemer, fx inden for faststofmekanik, varmetransmission, strømningslære samt elasticitets- og plasticitetsteori. Fælles for disse problemer er, at de kræver en feltbeskrivelse: et forskydningsfelt, et temperaturfelt, et magnetisk felt eller et strømningsfelt. Forskningsarbejde udført af M. Turner og R. Clough (f. 9) i 95 ved Boeing-flyfabrikkerne vedrørende dynamisk beregning af flyvninger førte direkte mod FEM; dog havde R. Courant i 9'erne fra en mere direkte matematisk synsvinkel arbejdet med FEM. Metodens udvikling er tidsmæssigt sammenfaldende med computerens. FEM er i praksis ikke anvendelig uden computerfaciliteter, og udviklingen af FEM-programmer har været direkte knyttet til udviklingen i computerhardware. Udviklingen i 99'erne vedrører i høj grad mand-computersamspillet, dvs. interaktive grafiske værktøjer til formulering af problemet (preprocessing) og interaktive grafiske værktøjer til anskueliggørelse af beregningsresultater (post-processing). Vigtige begreber for metodens beskrivelse er knudepunkter og elementer. en gitter- eller rammekonstruktion, fx en højspændingsmast, er knudepunkterne de punkter, hvor stænger eller bjælker mødes, og elementerne er stængerne eller bjælkerne. dette tilfælde svarer finite element modellen direkte til den fysiske virkelighed. et kontinuum, fx et tandhjul, er knudepunkterne i en finite element model valgte, såvel i antal som i placering. Der er et endeligt antal, og da modellen beskrives ved knudepunkternes frihedsgrader, fx forskydningerne i rummets tre retninger, bliver der totalt et endeligt antal frihedsgrader. Elementerne i en finite element modellering af et kontinuum er også valgte, og valget er knyttet til de valgte knudepunkter, men ikke dermed entydigt. For todimensionale modeller anvendes ofte trekanter eller firkanter som elementer, og for tredimensionale modeller tilsvarende tetraedre og kasser. FEM er baseret på en entydig forbindelse mellem feltstørrelserne i et elements knudepunkter og feltstørrelserne et vilkårligt sted i elementet. Matematisk er dette et interpolationsproblem: Er hjørnepunkternes værdier givet, hvad er da værdien i et vilkårligt punkt i elementet? Fra en mere fysisk synsvinkel kan resultaterne udledes ved en antaget feltvariation, fx lineær variation for en trekant med kun knudepunkter i hjørnerne. En væsentlig del af FEM er principielt ens for selv meget forskelligartede problemer, hvilket er en af grundene til metodens store udbredelse. Mange forskellige elementer er til rådighed, og begrebet isoparametrisk element bør nævnes. Det dækker over elementer, hvis facon beskrives på principielt samme måde som det aktuelle felt, dvs. ved knudepunktsværdier; dette muliggør fx krumme elementer, men nødvendiggør så anvendelse af numerisk integration. Primært har FEM givet mulighed for beregning af konstruktioner med komplicerede faconer. samspil med iterations- og/eller inkrementalmetoder løses også teknisk vigtige ulineære problemer, fx inden for faststofmekanik eksemplificeret ved ulineær materialeopførsel og kontaktproblemer. nkrementalmetoder er karakteriseret ved en stepvis beregning, hvor fx belastninger antages at vokse trinvis. terationsmetoder har derimod fastholdte beregningsbetingelser, men i modsætning til direkte metoder bestemmes løsninger ved en gentagen tilstræbt forbedring af resultatet. Til dynamiske problemer anvendes inkrementalmetoder til simulering af transiente problemer, der er karakteriseret ved at problemets parametre ikke kan regnes konstante i tiden, fx er dette gældende ved opstart af maskineri og for indsvingning til mere stationære tilstande. Computerprogrammer baseret på FEM blev oprindelig udviklet på universiteterne, men ret hurtigt etableredes virksomheder for at distribuere, dokumentere og videreudvikle programmerne. Disse internationale firmaer er baggrunden for den stadig voksende anvendelse af FEM, selv i mindre maskin- og bygningsvirksomheder. PaPe af 5 marts 7, C

3 ndledning Finite Element Method (FEM) er en beregningsmetode, der er udviklet til beregninger udført med computer. Metodens grundtanke er, at de differentialligninger, der styrer mange af de fysiske problemstillinger, en ingeniør beskæftiger sig med, matematisk kan tilnærmes nogle matrixligninger. En computer er ikke så god til at løse differentialligninger, mens den til gengæld er ret skrap til at behandle store talmængder så som matricer. Gennem denne proces foretages nogle tilnærmelser, der gør det ekstra vigtigt at forholde sig kritisk til de resultater man får. FEM beregninger bygger på, at alle legemer opbygges af knuder og elementer. Et stangelement er ét element, der har knuder, nemlig en i hver ende. Hver knude har én frihedsgrad, nemlig deformation i stangens længde, da en stang kun kan optage kræfter i sin egen længdeakse. Disse beregninger er korrekte i forhold til de differentialligninger, man går ud fra. Altså en beregning af en stang er en eksakt beregning. Såfremt stangen indgår i en gitterkonstruktion, kan den stadig kun optage kræfter i sin egen længde akse. Hvis deformationerne ønskes betragtet ud fra et globalt koordinatsystem, vil en skrå stang derfor have frihedsgrader til hver knude. x- og y-retningen Et bjælkeelement består ligeledes af ét element og knuder ligesom stangelementet. Bjælkeelement regnes at kunne optage forskydningskræfter og momenter. Bjælkeelementet regnes ikke at optage normalkræfter, idet disse er gennemgået under stangelementer. Hver knude i et bjælkeelement har frihedsgrader, nemlig lodret flytning og vinkeldrejning. Ved indførelse af et charnier indfører man en ekstra frihedsgrad i form af en ekstra vinkeldrejning i en knude. Som udgangpunkt i et beregningsprogram er alle knuder indspændte. Charniers skal derfor altid påføres som ekstra frihedsgrader, der resulterer i større ligningssystemer. Hvis bjælkeelementet indgår i en ramme eller er skrå, vil frihedsgraderne ændre sig ud fra et globalt koordinatsystem. Bjælkeelementet bliver således til et rammeelement. Rammeelementet er stangelementet sat sammen med bjælkeelementet. Et rammeelement kan derfor optage normalkræfter, forskydningskræfter og momenter. Både for stangelementer og rammeelementer gælder, at de kun kan sættes sammen via knuderne. Det kan ikke lade sig gøre at lade et bjælkeelement gå ind midt på et rammeelement. Det er nødvendigt at placere en ekstra knude i rammeelementet, hvor et andet element støder til. Derimod kan man godt påføre an fordelt last, på et element uden for knuderne. Søjleberegninger kan også udføres med FEM. Beregningen er noget anderledes end for rammeberegninger. En søjleberegning resulterer ikke i nogle snitkræfter, men i en kritisk last, som søjlen kan optage inden der opstår udknækning. Ved beregning af temperaturer og spændinger i flader er det nødvendigt at anvende såkaldte fladeelemnter. Disse elementer er på opbygget af knuder i hjørnerne og en flade i mellem disse knuder. Fladeelementerne kan være trekantede eller firkantede, og de kan indeholde forskelligt antal knuder. De forskellige fladeelementer har forskellige egenskaber, og det er således ikke ligegyldigt, hvilket element man bruger til en bestemt beregning. Ved anvendelse af fladeelementer kan de tilhørende differentialligninger sjældent løses eksakt. Derfor er FEM beregningen ikke eksakt, som for stænger, gitre, bjælker og rammer. Resultatet er behæftet med usikkerhed, og det er derfor altid nødvendigt at foretage kontrol med forskellige typer elementer og forskellige antal elementer. Ved alle FEM beregninger er det nødvendigt at forstå den bagvedliggende teori, for kritisk at kunne vurdere resultaterne. Selve FEM beregningen med et program, kan de fleste hurtigt lære at udføre. Det er vurderingen af resultaterne, der er det kritiske punkt. Ved at kende teorien er det også langt lettere at forstå de fejlmeddelelser, programmet kommer med. Grundstrukturen i de fleste FEM programmer er ens, så når man har kendskab til ét af dem, er det ret hurtigt at sætte sig ind i et andet. af 5 marts 7, C

4 EMNE. Stænger - Hookes lov - Stivhedsmatrice - Opgaver N u u U ( x ) x N. Gitterkonstruktioner - Globale koordinater - Global stivhedsmatrice - Gitterkonstruktion - Eksempel - Opgave kn 5 kn. Bjælkens differentialligning - Kræfter - Deformationer M p(x) M+dM V+dV V. Fem formulering og Formfunktioner - Definitioner - Fortegnsdefinitioner dx 5. Arbejdsligningen - Femformulering - Enkeltkræfter - Fordelt last. Eksempel - bjælkeelement - Udkraget med enkeltkraft 7. Eksempel - bjælkeelementer - Momentpåvirkning - Elastisk løsning af 5 marts 7, C

5 EMNE 8. Eksempel - bjælkeelementer - Mometpåvirkning - Plastisk løsning 9. Eksempel - bjælkeelementer - Mometpåvirkning - Charnier. Eksempel - bjælkeelementer - Fordelt last. Skrå bjælker og rammer - elementer - Fordelt last Stang Bjælke ast 5 kn/m. Søjler - astgeometri matrice - Eksempel - Opgave 5 s s P P Opgaver - Opgaver i bjælker - Opgave i søjle udknækning Eksempel Opgave 5 af 5 marts 7, C

6 Finite Element Method - Stænger. N u u U (x ) N x Symboler: E er elasticitetsmodulet A(x) er arealet, der kan være afhængig af x u er deformationen U(x) er en fordelt normalkraft, der kan være afhængig af x. Stangsystemer: En stang der belastet i enderne, kan beregnes efter Hooks lov: F k u, hvor F er stangkraften, k er stivheden (elasticitetsmodulet arealet) pr. længdeenhed, og u er den resulterende deformation. u Stangen vil få deformationen u i den ene ende og u i den anden ende. u F k( u u) F k( u + u) Dette kan skrives på matrixform på denne måde: k EA F F EA u u F F k u u K kaldes for stivhedsmatricen K EA af 5 marts 7, C

7 u værdier: u er deformationen i venstre ende. u er deformationen i højre ende. u u u U værdier: U(x) er den fordelte belastning. Kendte U værdier fastsættes ud fra randbetingelser. U( x) ϕ dx F Som er normalkraften i venstre ende. U( x) ϕ dx F Som er normalkraften i højre ende. U F F FEM formulering: (Bevises senere mere generelt) Ku U bliver til: EA u u F F Ovenstående forudsætter, at koordinatsystemets. akse er sammenfaldende med stangens længde akse. Stangen i det lokale koordinatsystem falder sammen med hovedsystemets koordinatsystem. Denne forudsætning er kun sjældent opfyldt. Ofte indgår stangen i et gittersystem, hvor stængerne har hvert sit lokale koordinatsystem. For at kunne behandlen alle stængerne samtidigt i det samme system, er det derfor nødvendigt at omsætte stivhedsmatrisen fra de lokale koordinatsystemer til det globale koordinatsystem. 7 af 5 marts 7, C

8 FEM opgave med stænger. A) En stålstang med længde 5 mm og en aluminiumsstang også på 5 mm er samlet til een stang, der på midten er påvirket af en aksial kraft på P. Find deformationen i knude B og reaktionerne i knude A og C. C Ø mm aluminium B P Ø mm stål A Stål: A mm Aluminium: A mm : E : N mm : E : 7 N mm P : N : 5mm 8 af 5 marts 7, C

9 FEM opgave med stænger. B) En stålstang med længde 5 mm og en aluminiumsstang også på 5 mm er samlet til een stang, der er påvirket af en aksial kraft på P på midten og af en aksial kraft på P i knude C. Find deformationen i knude B og i knude C samt reaktionen i knude A. C P Ø mm aluminium B P Ø mm stål A Stål: A mm Aluminium: A mm : E : N mm : E : 7 N mm P : N : 5mm 9 af 5 marts 7, C

10 FEM opgave med stænger. Et system er opbygget som vist nedenfor af stænger. - Aluminium med diameter Da, længde a og E-modul 7 Gpa. - Kobber med diameter Dk, længde k og E-modul Gpa. - Stål med diameter Ds, længde s og E-modul Gpa Opgaven skal løses med blyant og papir eller på MathCad som en FEM-beregning med opstillelse af stivhedsmatrix, randbetingelser, belastninger og hist op og kom herned. Diametre og længder kan vælges frit, dog vil det nok være en god idé af vælge a k + s. Påvirkningen F kan også vælges frit. Eksempel på værdier: π E a : 7 A a : a : π E c : A c : c : 5 π E s : A s : s : 5 af 5 marts 7, C

11 Skrå stænger Den generelle ligning Ku U, vil i dette tilfælde se således ud: Globalt: Kp P og lokalt: K e u N. p,p u, N p, P p, P p, P u, N okale system: u p cos( γ) + p sin( γ) u p cos( γ) + p sin( γ) Dette kan skrives på matrixform: u u cos( γ) sin( γ) cos( γ) sin( γ) p p p p cos( γ) sin( γ) cos( γ) sin( γ) kaldes T, så matrixligningen hedder: u Tp for deformationer og N TP for kræfter. Globale system: p u cos( γ) p u sin( γ) p u cos( γ) p u sin( γ) af 5 marts 7, C

12 Dette kan skrives på matrixform: p p p p cos( γ) sin( γ) cos( γ) sin( γ) u u cos( γ) sin( γ) cos( γ) sin( γ) kaldes T T, så matrixligningen hedder: p og P T T N for kræfter. T T u for deformationer K e u N Det lokale system T T K e u T T N Der højreganges med T T på begge sider. T T K e u P T T N sættes lig P T T K e Tp P u sættes lig med T p Det ses således, at stivhedsmatricen i det globale system K kan findes ud fra stivhedsmatricen i det lokale system K e som K T T K e T af 5 marts 7, C

13 Eksempel med gitterkonstruktion, herunder placering i den samlede stivhedsmatrice. p5 p X p p p p Y Tallene, og angiver elementnumre. Tallene, og i cirkler angiver knudenumre. p, p...p angiver deformationer i det globale koordinatsystem. Stivhedsmatricerne for de enkelte elementer udregnes som vist: cos( v) sin( v) cos( v) sin( v) A E cos( v) sin( v) cos( v) sin( v) π v : svarende til K, med følgende værdier: E : 7 A : : K : cos( v) A E A cos( v) E sin( v) cos( v) A E A cos( v) E sin( v) A cos( v) E sin( v) sin( v) A E A cos( v) E sin( v) sin( v) A E cos( v) A E A cos( v) E sin( v) cos( v) A E A cos( v) E sin( v) A cos( v) E sin( v) sin( v) A E A cos( v) E sin( v) sin( v) A E af 5 marts 7, C

14 K Pladserne i den samlede stivhedsmatrice fra element fastlægges ved at kigge på element fra knude til knude, der giver følgende bidrag til den samlede stivhedsmatrice: K : K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, Placering i den samlede stivhedsmatrice for K: K K K K5 K K K K5 K K5 K5 K55 K5 K K K5 K K Placering i den samlede stivhedsmatrice for K: K K55 K5 K5 K5 K5 K K K K5 K K K K5 K K K Pladserne i den samlede stivhedsmatrice fra element fastlægges ved at kigge på element fra knude til knude, der giver følgende bidrag til den samlede stivhedsmatrice: K, K, K : K K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, Bidragene til den samlede stivhedsmatrice er som det ses helt ens. Det er derfor helt ligegyldigt, om man kigger på stangen fra knude til knude eller fra knude til knude. af 5 marts 7, C

15 5 af 5 marts 7, C

16 FEM opgave, gitterkonstruktion. kn 5 kn Ovenfor er der vist en gitterkonstruktion. Alle stænger er cirkulære rør i stål S5 med udvendig diameter på mm og godstykkelse på mm. Vandret last i knude er kn og lodret last i knude er 5 kn i det angivne koordinatsystem. A) Opstil stivhedsmatrice for de enkelte elementer i lokale og globale koordinater. Knude har koordinater i meter: (,), knude : (,), knude : (5,) og knude : (,-) B) Opstil stivhedsmatrix for det samlede system. C) øs ligningssystemet og find deformationerne i knude. D) Find stangkræfterne i alle stænger. E) Kontrollér resultaterne med EDB. F. eks. Robot. Tip: Deformationer i det globale koordinatsystem kan benævnes således: Vandret - henholdsvis lodret deformation i knude kaldes p henholdsvis p. Vandret - henholdsvis lodret deformation i knude kaldes p henholdsvis p Vandret - henholdsvis lodret deformation i knude kaldes p5 henholdsvis p Vandret - henholdsvis lodret deformation i knude kaldes p7 henholdsvis p8 af 5 marts 7, C

17 Bjælkens differentialligning Bjælkens differentialligning: d p( x) u Dette er en. ordens differentialligning, dx E hvor den ubekendte er u. Der betragtes et udsnit af en udeformeret bjælke: p(x) p A B p(x) odret projektion giver: M M+dM dv p( x) dx dv dx p( x) (A) V V+dV Momentligning giver: dm + p( x) ( dx ) ( V + dv) dx dm dx Vdx dm dx V (B) Tilsammen giver dette: dx er en lille størrelse. dx er derfor meget mindre og udelades derfor. Samme betragtning gælder dv dx, der således også udelades. Tilbage er der d M dx p( x) Der betragtes et udsnit af en deformeret bjælke: 7 af 5 marts 7, C

18 p(x) p A B dx r du R M V+dV dr Buelængden ds Rdr. ds sættes lig dx. ε er tøjningen. y V M+dM dr dx R ( + ε) dx ε R + y y R dx ds Hookes lov: σ Eε σ E y R ( + ε) ds ( + ε) dx ængdesnit med deformeret tværsnit Tværsnittets normalkraft N findes ved at integrere normalspændingen op over hele arealet. Da nullinien går gennem tyngdepunktet er N.: N E σ da y da R Tilsvarende findes momentet: 8 af 5 marts 7, C

19 M σy da E R y E da R R M E Af figuren ses det, at vinklen dx Rdr dr dx R Det negative fortegn på grund af at vinklen bliver mindre med voksende x. Endvidere ses det at: tan( r) du du da r er meget lille er tan(r) r r dr d u dx dx dx d x d u dx R M d u E dx M (C) Fra ovenfor har vi E d M dx p( x) Kombinationen af disse differentialligninger giver bjælkens differentialligning: d u dx p( x) E FEM formulering: 9 af 5 marts 7, C

20 FEM formulering: Bjælken differentialligning Symboler: d p( x) u bliver til en matrixformulering Ku U dx E E er elasticitetsmodulet. er inertimomentet. u(x) er lodret deformation og r(x) er vinkeldrejning. U er en funktion af belastningen p(x). ængden af bjælken er. Fortegnsdefinition ved beregning af knudekræfter: Den utraditionelle fortegnsdefinition for beregning af knudekræfter indføres, da det på denne måde er muligt direkte at sammenlægge flere bjælkeelementer. p(x) M V x M V Fortegnsdefinition ved optegning af snitkraftkurver: Traditionel fortegnsdefinition. p(x) M V x M V Formfunktioner: af 5 marts 7, C

21 Formfunktioner: Formfunktioner er matematiske udtryk, der beskriver bjælkens deformation. En vandret bjælke har frihedsgrader og derfor formfunktioner: ϕ ( x) En lodret deformation i venstre ende. ϕ ( x) En vinkeldrejning i venstre ende. ϕ ( x) En lodret deformation i højre ende. ϕ ( x) En vinkeldrejning i højre ende. Der ses bort fra vandrette flytninger, da disse behandles under emnet stænger. En formfunktion har den egenskab, at den kan antage værdien eller. Når eksempelvist formfunktion ϕ ( x) har værdien, er værdien af de andre formfunktioner. Dette betyder, at hvis formfunktion ϕ ( x) har værdien, er vinkeldrejningen i venstre side. Den lodrette flytning i venstre side ϕ ( x) er da lig. Det samme gælder den lodrette flytning i højre side ϕ ( x) og vinkeldrejningen i højre side ϕ ( x). Formfunktionerne ser ud som vist nedenfor. Disse udledes under det punktet: Det virtuelle arbejdes princip. x ϕ ( x) x + ϕ ( x) x x x + x ϕ ( x) x + ϕ ( x) x x x Grafisk ser formfunktionerne ud som vist her: φ(x).5 odret deformation....8 φ(x).5 odret deformation....8 Deformationer tegnes positivt nedad. x/ x/ φ ( x ) Vinkeldrejning....8 x/ Vinkeldrejning....8 φ(x) x/ Det virtuelle arbejdes princip Bjælkens deformationsfigur har vendetangenter. Derfor må funktionerne være. grads polynomier. Bjælkens udbøjning beskrives derfor således: ( ) a a a a u( x) a + ax + ax + ax (D) u( x) x x x ( ) T (E) af 5 marts 7, C

22 a, a, a og a er konstanter. Vinkeldrejningen findes som den. afledede af udbøjningen. d dx u( x) ( ) r( x) r( x) ( ) x x ( a a a a ) T igningen skrives nu på matrixform med brug af randbetingelserne i begge ender af bjælken. u r u r a a a a Randbetingelser: u u() a, r r() -a u u() a + a + a + a ( + + a ) r r() a a u Ma a M u a a a a a u r a u Disse værdier for a indsættes i (E) ( ) u( x) x x x r u r u + r + u + r u r u r a a a a u r u + r + u + r u r u r af 5 marts 7, C

23 Ganges der ud, får man udtrykket fra (D) u( x) u rx + r + r u + u x + u r r u x u( x) x + x u x x + x r + x x u + x x r De funktioner, der ganges på u, r, u og r ses da at være de formfunktioner. r u( x) ( ϕ( x) ϕ( x) ϕ( x) ϕ( x) ) u( x) ϕ( x) u u u r (F) B( x) defineres som d ϕ( x) dx. B( x) x + u + x r + x u + x r ængdesnit i bjælken u er udbøjningen. du er da vinkeldrejningen. dx Buelængden er l( x) y du( x). sættes lig buelængden. dx l( x) y du( x) tøjningen ε dx dl( x) dx Det indre arbejde: d d ε y u( x) y ( ϕ( x) u) ε yb( x) u dx dx Ai εσ dv v er volumen σ Eε Ai ε T Eε dv yb T u T EyBu dv Det ydre arbejde fra den fordelte last: Ays u( x) p( x) dx ϕ( x) up( x) dx fra (F) Ydre arbejde fra enkeltkræfter og momenter:ayn up ( P M P M ) af 5 marts 7, C

24 Ai Ays + Ayn yb T u T EyBu dv ϕ( x) T u T p( x) dx + ( P M P M ) u T y B T EBu dv u T ϕ( x) T p( x) dx + u T P e y dae ( B) T B dxu ( ϕ( x) ) T p( x) dx + u T P e E ( B) T B dxu ( ϕ( x) ) T p( x) dx + P e Ku U K E () ( B) T B dx K - matrice: K ij E ( B B B B ) T ( B B B B ) dx K ij E BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB BB dx Eks. K kan findes ved at indsætte formfunktionerne ϕ ( x) og ϕ ( x) : K E d d ϕ ( x) dx dx ϕ ( x) dx K E d x x x + d d x dx x x + dx Hele stivhedsmatricen K for en vandret bjælke for forskydningskræfter og momenter ser således altid sådan ud. af 5 marts 7, C

25 K - matrice: K E u værdier: Kendte u værdier fastsættes ud fra randbetingelser. Enkeltkræfter og momenter u er lodret deformation i venstre ende. r er vinkeldrejningen i venstre ende. u er lodret deformation i højre ende. r er vinkeldrejningen i højre ende. u u r u r U værdier: U(x) er den fordelte belastning. Kendte U værdier fastsættes ud fra randbetingelser. U( x) ϕ dx V Som er den lodrette kraft eller reaktion i venstre ende. U( x) ϕ dx M Som er momentet i venstre ende. U( x) ϕ dx V Som er den lodrette kraft eller reaktion i højre ende. U V M V M U( x) ϕ dx M Som er momentet i højre ende. Udkraget bjælke PE- med enkeltkraft: 5 af 5 marts 7, C

26 P b : kn : 5m : 8.9 mm E :. 5 N mm M a : P b V a P b P b P b : u b : r b : E E M a 5kNm R a : kn u b 5.mm r b. P b K E u U u b De første rækker i u er. Derfor kan man også fjerne de første søjler og rækker i K-matricen. Man får således et modificeret sytem: r b R a. M a P b K mod E u b P b u mod U mod u mod K mod r b U mod u b r b E P b E E P b P b u( x) : x + x x x + x + x x E P b + x x E P b u( x) x + x : P b M( x) : P b ( + x) V( x) : P b E af 5 marts 7, C

27 . 5 Udbøjningskurve Momentkurve Forskydningskraftkurve 7 af 5 marts 7, C

28 Eksempel med Bjælke over fag med en momentpåvirkning. M A B C E E E Bjælken opdeles i elementer med hver sin K-matrice. Disse K-matricer expanderes for direkte at kunne lægge dem sammen. 8 af 5 marts 7, C

29 E K K E Ku U Der dannes nu et modificeret sytem, hvor alle 'er i deformationsmatricen u fjernes. Dermed fjernes de tilsvarende søjler og rækker i stivhedsmatricen, der bliver til den modificerede stivhedsmatrice K mod. ( ) K K + K u T u b r b r c U T A l M a C l M K, Udbøjning i A og C er ligesom vinkeldrejning i A ( ) K mod K K K,,, u mod u b r b r c U mod ( M ) K, K mod u mod K, K, U mod K, K, u mod K mod U mod ( ) K mod E 8 E E u mod E E E E E E 8 E E E E E M 8E M M 8 E M E 9 af 5 marts 7, C

30 U Ku U E E E E E E E E E E E E E E E 8 E E E E E E E E E E E 8E M M 8 E M E M M M M Taleksempel : m :.7 mm E :. 5 N M C : knm mm A l : M C 5N M A : M C 5Nm Positiv p.g.a. fortegnsdefinition C l : M C 5N u b : M C u b.mm r b : M C r b.7 8E 8 E r c : M C r c.8 E For at få snitkræfter på midten betragtes element alene: Ku U af 5 marts 7, C

31 K E u U u b r b V A M a V B M B U Ku U E u b r b E u b E r b E u b + E r b E u b + E r b E u b + E r b u( x) ϕ( x) u (D) u( x) x + x x x + x + x x 8E M C + x x 8 E M C af 5 marts 7, C

32 u( x) x 8 M + x C M( x) E M + x : C V( x) : M C Udbøjningskurve d M( x) ( u( x) E) dx Momentkurve.5.5 V( x) d dx M( x) 5 Forskydningskraftkurve af 5 marts 7, C

33 Eksempel med Bjælke over fag med en momentpåvirkning. Plastisk beregning M A B C E E E Fremgangsmåden følger eksemplet ovenfor. E K K E K u U Der dannes nu et modificeret sytem, hvor all 'er i deformationsmatricen u fjernes. Dermed fjernes de tilsvarende søjler og rækker i stivhedsmatricen, der bliver til den modificerede stivhedsmatrice K mod. ( ) K K + K u T u b r b r c U T A l M a C l M ( ) K, K mod K K K,,, u mod u b r b r c K, K, K, K, K, ( ) U mod ( M C ) K mod u mod u mod K mod U mod U mod af 5 marts 7, C

34 U Ku E E E E E E E E E E E E E E E 8 E E E E E E E E E E E u B r B r C A l M A C l M C Dette ligningssytem løses med iteration, indtil M A 7.5 M C Dette er en nedreværdiløsning..5 Momentkurve.5 5 Forskydningskraftkurve af 5 marts 7, C

35 Eksempel. Bjælke over fag med charnier. M A B C E E E Proceduren er igen den samme. På grund af charnier i pkt. B kommer der en frihedsgrad mere, da der nu er vinkeldrejninger i pkt. B E K K E K K + K u T ( u B r B r B r C ) K mod E E M M C E E E E U T ( A l M A C l M u mod ( u B r B r B r C ) U mod ( M ) M C M C M C Ku M C M C M C M C 5 af 5 marts 7, C

36 Taleksempel : m :.7 mm E :. 5 N M C : knm mm u B : M C u B 8.55mm r B : M C r B.8 E E r B : M C r B. r C : M C r C 5.7 E E M A : M C A l : M C A l. N x :,... M( x) : M C + x M A Momentkurve Forskydningskraftkurve af 5 marts 7, C

37 Fordelt last Bjælken analyseres nu for en trekantformet fordelt belastning. Bjælken inddeles i elementer: Element fra A-B og element fra B-C. Der ses bort fra normalkræfter. p p : kn m E E E Den generelle stivhedsmatrice for en vandret bjælke er som angivet K. Med de nævnte forudsætninger, vil stivhedsmatricerne for element og element være ens. K E Deformationsmatricen u ser ud som følger. Randbetingelserne er deformation og vinkeldrejning i pkt. A er ligesom deformationen i pkt B. u u A r A u B r B u C r C r B u C r C For direkte at kunne lægge K-matricerne for de elementer sammen, ekspanderes de begge. E K K E 7 af 5 marts 7, C

38 Det samlede system vil have frihedsgrader, nemlig lodret deformation og vinkeldrejning i alle punkter A, B og C. Den samlede stivhedsmatrix vil derfor være en * matrix K K + K En trekantformet fordelt last kan opskrives med funktionen: p( x) p x Trekantlasten skal transformeres til nogle ækvivalente virtuelle knudelaste på element ud fra udtrykket: U i ϕ i p( x) dx. For den første ækvivalente knudelast, som er den lodrette påvirkning i punkt B, giver x x dette: U + x p dx P På samme måde fastsættes den næste ækvivalente knudelast, som er momentpåvirkningen i pkt. B: x x U x + x p dx p På samme måde fastsættes de ækvivalente knudelaste i pkt. C. x x U x x p d 7 p x x U x x p d p vektoren for det samlede system vil da komme til at se sådan ud: R A U V A M A V B M B V C M C M A p p Deformationsvektoren u 7 p p u A r A u B r B u C r C og søjle. Vi kan derfor opstille et modificeret system, hvor vi udnytter, at de første rækker i u er. Derfor kan vi kigge på et modificeret system, hvor række, og i stivhedsmatricen kan slettes. r B u C r C 8 af 5 marts 7, C

39 Den modificerede stivhedsmatrix findes som K mod K K K 5, 5, 5 5,. dette tilfælde giver 8 E K, K, K, 5 K, 5 dette: K E E mod E. U mod E E E E E For at finde de ubekendt i u, løses følgende ligning: r B u C r C K, K, p 7 p p K mod U mod Hvilket giver: 8 E E E E E E E E E p 7 p p p E 7 E p 5 p E Ku U 9 af 5 marts 7, C

40 A l M A B l M B C M C p p 7 p p 7 p p p p 7 p p p p p De vituelle knudekræfter trækkes fra de fundne knudelaste Bjælken opdeles i element og. Element nr. : V A M A V B M B E p E p p p p Element af 5 marts 7, C

41 V B M B V C M C E p E 7 p E 5 p E p p 7 p p p p Element : u( x) x + x x x + x + x x + x x p E u( x) : x x p E M( x) d u( x) E dx x p M( x) : x p Element : u( x) x + x x x + x p E + x x 7 p E + x x 5 u( x) x p 8x + 7x d : M( x) u( x) E E dx p( + 7x) af 5 marts 7, C

42 FEM beregningen giver kun resultater i knuderne. For at få førløbet af momentkurven for den fordelte last, lægges det simple moment for en trekantlast til samt virkningerne fra de virtuelle momenter: M( x) p[ + 7( x) ] px x : + x + + p x p M( x) : ( ) p x + x Udbøjningskurve Momentkurve Bjælke-/ramme konstruktioner af 5 marts 7, C

43 En rammekonstruktion er en bjælkekonstruktion, hvor der dels optræder normalkræfter og dels optræder bjælker, og hvor længdeaksen ikke følger det globale koordinatsystem. Bjælkens stivhedsmatrice skal nu også indeholde bidragene fra normalkræfterne. Dette gøres ved at tillægge de bidrag, vi fandt ved behandling af stænger: Eksempel: Stang Bjælke ast 5 kn/m K e E A A A A 5 Som for stænger skal vi nu omsætte stivhedsmatricen fra det lokale system til det globale system: K T T K e T. For bjælker ser T matricen ud som følger: T cos( v) sin( v) sin( v) cos( v) cos( v) sin( v) sin( v) cos( v) For stænger blev stivhedsmatricen i det globale koordinatsystem en matrix, hvor stivhedsmatricen for den tilsvarende stang i lokale koordinatsystem var en matrix. For bjælker er stivhedsmatricerne i både det lokale- og det globale koordinatsystem en matrix. Dette hænger sammen med, at en skrå kraft altid kan projiceres i retningerne for forskydningskraft og normalkraft, mens momentet er uafhængig af vinklen. Eksempel i Kraftmetoden sammenholdt med FEM programmet ANAYS af 5 marts 7, C

44 Eksempel i Kraftmetoden sammenholdt med FEM programmet ANAYS Nedenstående konstruktion gennemregnes med forskellige tværsnitskonstanter dels ved hjælp af kraftmetoden og dels ved hjælp af programmet Analys. beregningerne er indspændingsmomentet valg som den overtallige. Forskellene i resultaterne skyldes, at normalkraftens bidrag for bjælken ikke er medregnet i arbejdsligningen. ast 5 kn/m Stang Bjælke 5 af 5 marts 7, C

45 Arbejdsligning ANAYS Manuel F EM Stangelement Ø Ø Ø Bjælkeelement HEA HEA HEA ndspændingsmoment.57 knm.7 knm.7 knm Stangkraft 8.8 kn 8.7 kn 8.7 kn Stangelement Ø Ø Bjælkeelement HEB HEB ndspændingsmoment.7 knm.7 knm Stangkraft.78 kn.75 kn Stangelement PE PE Bjælkeelement PE PE ndspændingsmoment. knm. knm Stangkraft.8 kn. kn Stangelement ude n charnier Bjælkeelement ndspændingsmoment Stangkraft PE PE 8.88 knm. kn kn : N p 5 kn : m Stang er Ø og bjælke er HEA, arbejdsligningen: E : kn A : m m :.7 m 7 : m :.m 7 7 M : knm M : N : kn N : m δ : M M E + N N EA δ : M M E + N EA δ M : M.57kNm δ 5 af 5 marts 7, C

46 M p 7 Stang : Stang 8.8kN m Stang er PE og bjælke er PE, arbejdsligningen: E : kn A : m m :.8 m 7 : m :.m 7 7 M : knm M : N : kn N : m M M N N δ : + M M N E EA δ : + E EA δ M : M.kNm δ M p 7 Stang : Stang.8kN m Stang er Ø og bjælke er HEB, arbejdsligningen: E : kn A : m m : 57.8 m 7 : m :.m 7 7 M : knm M : N : kn N : m δ : M M E + N N EA δ : M M E + N EA af 5 marts 7, C

47 δ M : M.7kNm δ M p 7 Stang : Stang.78kN m FEM-beregning af opgave med analys og arbejdsligningen 7 Element, Ø: A : : E :. 5 π : π v : atan 5 Element, HEA: A : 88 : :.7 ast er 5 kn/m, der omsat til enkeltkræfter i knuderne giver /8 last længde i toppen og 5/8 last længde ved indspændingen. Det globale koordinatsystem placeres med. aksen i bjælkens, element 's længdeakse. Det er derfor kun element, der skal drejes. p : 5 Py : Topologimatrix for en bjælke ser ud som T: T : cos( v) sin( v) sin( v) cos( v) cos( v) sin( v) sin( v) cos( v) Kl E A A A A 7 af 5 marts 7, C

48 Kl E A A A A K T T KlT K T T KlT K K + K r u u U u r l v M l v M l v M K, K K K K,,, 5, K mod U mod K K K K 5, 5, 5, 5 5, K, K, K, K, 5 K, 5 K, K, Py 8 af 5 marts 7, C

49 u mod K mod U mod U Ku U l v M l v M l v M af 5 marts 7, C

50 Opgave. Bjælke over fag. F A B C Bjælken er HE A. ængden er 5 m og længden er m. F er kn.. A) Opstil ligningssystemet for bjælken B) Find reaktionerne i A og i B. C) Find vinkeldrejning i B, og find udbøjning og vinkeldrejning i C. D) Find momentet i B. 5 af 5 marts 7, C

51 Opgave. FEM-beregning af bjælke, tvangsdeformation F A B C Bjælken er HE A. ængden er 5 m og længden er m. Pkt. B skal have en deformation på mm. A) Find den nødvendige kraft F. B) Find reaktionerne i A og i C samt vinkeldrejning i B. C) Find momentet i B. D) Find stivhedsmatrice og snitkræfter, hvis der indføres charnier i B. 5 af 5 marts 7, C

52 Bestemmelse af kritisk normalkraft astgeometrimatrice astgeometrmatricen udledes på samme måde som stivhedsmatricen, blot med den. aflede af formfunktionerne K σij ( ) T P( ) ϕ' ϕ' ϕ' ϕ' ϕ' ϕ' ϕ' ϕ' dx x ϕ x + ϕ x x x + x ϕ x + ϕ x x x K σ P ( ) u K λk σ ( ) u igevægtsligningen for stabilitet er K λk σ hvor λ er den faktor, der skal påføres belastningen, før der opstår instabilitet. λ findes ved at sætte determinanten for matricen K λk σ lig nul: K λk σ. 5 af 5 marts 7, C

53 Eksempel. Find den kritiske værdi for P. P s s P Eksempel Opgave øs opgaven med element og med elementer. Sammenlign med de eksakte udtryk: P cr π E s 5 af 5 marts 7, C

54 Eksempel, løsningsforslag med element. s hvor er den samlede længde K E K σ P u u r u r ( K λp ) u K σ Da λ er uafhængig af u, kan ligningen opfyldes ved: K λp K σ u u r s E E E λp λp λp λp 5 s 5E s Eksempel, løsningsforslag med elementer. svarer til figuren 5 af 5 marts 7, C

55 u u r K E 8 K mod E 8 K σ P K σ.mod P u 5 r u r 5 5 K mod λk σ.mod λ : P : : E : : 55 af 5 marts 7, C

56 Given 8 5 E λp 5 5 λ : Find( λ) 5.8 λ E s.5e λ λp π E P cr s s Detaljeret beregning af rammekonstruktion 5 af 5 marts 7, C

57 Bjælken er HE A. ængden er 5 m og længden er m. Pkt. B skal have en deformation på mm. A) Find den nødvendige kraft F. B) Find reaktionerne i A og i C samt vinkeldrejning i B. C) Find momentet i B. D) Find stivhedsmatrice og snitkræfter, hvis der indføres charnier i B. Stivhedsmatrix for element, (bjælken): K : E A A A A i :.. 9 j :.. 9 K : i, j K 57 af 5 marts 7, C

58 K : E A A A A Stivhedsmatrix for element, (stangen) udformet som bjælke: K : T T K T t :.. s :.. K : K K : K t, s t, s t+, s+ t, s K : K + K K af 5 marts 7, C

59 r u u U u r R R Py R5 R M K mod : K, K, K 5, K, K, K, K 5, K, K, 5 K, 5 K 5, 5 K, 5 K, K, K 5, K, U mod : Py K mod u mod : K mod U mod u mod u mod af 5 marts 7, C

60 i :.. 9 u : j :.. u : u i j+ modj ( ) u T U : Ku Stangkraften S: S : U ( ) + ( U ) S.87 U ndspændingsmomentet fra den jævnt fordelte last: M : 8 5 ndspændingsmoment: M i : M + U M 9 i.7 7 Vinkeldrejning i knude : r : u r. odret udbøjning i knude : u.8 Vandret udbøjning i knude : u.8 5 Vinkeldrejning i knude : u.98 af 5 marts 7, C

61 e på element ende bidrag til af 5 marts 7, C

62 af 5 marts 7, C

63 x :,... ( x) : u( ) 5.mm af 5 marts 7, C

64 Udbøjningen er på grund af fortegnsdefinotionen regnet positive opad. Den korrekte udbøjningsfigur er således spejlvendt i forhold til x-aksen. af 5 marts 7, C

65 x :,.5.. u( x) : x 8 M + x C E 5 af 5 marts 7, C

66 ( x) : af 5 marts 7, C

67 M( x) : ( + x) + M C x M C M A + M C 7 af 5 marts 7, C

68 ) 8 af 5 marts 7, C

69 9 af 5 marts 7, C

70 kan vi kigge på 7 af 5 marts 7, C

71 x :,... p E y :, +... u( y) : ( y ) p 8( y ) + 7( y ) E 7 af 5 marts 7, C

72 M( y) : p[ + 7( y ) ] p( y ) y + + p y y p 7 af 5 marts 7, C

73 kn N 7 af 5 marts 7, C

74 7 af 5 marts 7, C

75 75 af 5 marts 7, C

76 af 5 marts 7, C

= K u = U. Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. Ai = Ay. Bjælkens differentialligning. Arbejdsligningen.

= K u = U. Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. Ai = Ay. Bjælkens differentialligning. Arbejdsligningen. Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. oktober, JPU/C p(x) M V+dV V M+dM Bjælkens differentialligning + Ai = Ay Arbejdsligningen = K u = U FEM formulering p Den Store Danske Encyklopædi

Læs mere

afdeling. Opgaver FEM opgave med gitterkonstruktion Side 8 FEM opgave med bjælke,differentialligning og FEM. Side 14

afdeling. Opgaver FEM opgave med gitterkonstruktion Side 8 FEM opgave med bjælke,differentialligning og FEM. Side 14 Opgaver Indholdsfortegnelse FEM opgave med stænger Side FEM opgave med 3 stænger Side FEM opgave med gitterkonstruktion Side 8 FEM opgave med bjælke,differentialligning og FEM. Side 4 FEM opgave med bjælke

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Deformationsmetoden. for rammekonstruktioner

Deformationsmetoden. for rammekonstruktioner Deformationsmetoden for rammekonstruktioner Lars Damkilde og Peter Noe Poulsen BYG DTU Januar 2002 Resumé Rapporten omhandler anvendelse af deformationsmetoden til beregning af statisk ubestemte rammer.

Læs mere

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Tektonik Program lektion 4 12.30-13.15 Indre kræfter i plane konstruktioner 13.15 13.30 Pause 13.30 14.15 Tøjninger og spændinger Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke Kursusholder Poul

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Konstruktion af DARK s mobile rampe

Konstruktion af DARK s mobile rampe Konstruktion af DARK s mobile rampe HDN 1.0 Overordnet design: DARK s mobile rampe er tænkt som en modulær konstruktion som kan transporteres i små lette sektioner. En nærmere analyse af DARK s raket projekter

Læs mere

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter.

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter. Tektonik Program lektion 4 8.15-9.00 Indre kræfter i plane konstruktioner 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Indre kræfter i plane konstruktioner. Opgaver 10.00 10.15 Pause 10.15 12.00 Tøjninger og spændinger

Læs mere

Introduktion til programmet CoRotate

Introduktion til programmet CoRotate Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

2. ordens differentialligninger. Svingninger.

2. ordens differentialligninger. Svingninger. arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

En introduktion til beregning af rammekonstruktioner med lineært-elastisk/ideal-plastisk materialeopførsel

En introduktion til beregning af rammekonstruktioner med lineært-elastisk/ideal-plastisk materialeopførsel En introduktion til beregning af rammekonstruktioner med lineært-elastisk/ideal-plastisk materialeopførsel Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Højskole DK-2800

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

3/4/2003. Tektonik Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt Ligevægtsbetingelser.

3/4/2003. Tektonik Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt Ligevægtsbetingelser. Tektonik Program lektion 3 8.15-9.00 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt. 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Bestemmelse af stangkræfter Løsskæring af knuder. Rittersnit 10.00 10.30 Pause 10.30

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1. Armeringsstål Klasse A eller klasse B?

Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1. Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1 Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen 13. august 2007 Bjarne Chr. Jensen Side 2 Introduktion Nærværende lille notat er blevet til på initiativ af direktør

Læs mere

Horisontalbelastet pæl

Horisontalbelastet pæl Horisontalbelastet pæl Anvendelsesområde Programmet beregner bæreevnen for enkeltpæle i lagdelt jord. Både vertikal og horisontal belastning af pælen er tilladt. Desuden kan en eventuel overbygnings stivhed

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt.

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt. Statik og bygningskonstruktion Program lektion 6 8.30-9.15 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15. 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning

Læs mere

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 1 Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 2 Ansvar Programmet anvendes helt på eget ansvar, og hverken programmør eller distributør kan

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Statik og styrkelære

Statik og styrkelære Bukserobot Statik og styrkelære Refleksioner over hvilke styrkemæssige udfordringer en given last har på den valgte konstruktion. Hvilke ydre kræfter påvirker konstruktionen og hvor er de placeret Materialer

Læs mere

Bjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365

Bjælkeoptimering. Opgave #1. Afleveret: 2005.10.03 Version: 2 Revideret: 2005.11.07. 11968 Optimering, ressourcer og miljø. Anders Løvschal, s022365 Bjælkeoptimering Opgave # Titel: Bjælkeoptimering Afleveret: 005.0.0 Version: Revideret: 005..07 DTU-kursus: Underviser: Studerende: 968 Optimering, ressourcer og miljø Niels-Jørgen Aagaard Teddy Olsen,

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne

Læs mere

F inite E lement M ethod

F inite E lement M ethod INGENIØRHØJSKOLEN I ÅRHUS 27. november 2007, LC F inite E lement M ethod 1) Geometri 2) Elementvalg 3) Elementopdeling 4) Materialekonstanter 5) Randbetingelser 6) Belastninger 7) Beregning 8) Vurdering

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

Opgave 1. Spørgsmål 4. Bestem reaktionerne i A og B. Bestem bøjningsmomentet i B og C. Bestem hvor forskydningskraften i bjælken er 0.

Opgave 1. Spørgsmål 4. Bestem reaktionerne i A og B. Bestem bøjningsmomentet i B og C. Bestem hvor forskydningskraften i bjælken er 0. alborg Universitet Esbjerg Side 1 af 4 sider Skriftlig røve den 6. juni 2011 Kursus navn: Grundlæggende Statik og Styrkelære, 2. semester Tilladte hjælemidler: lle Vægtning : lle ogaver vægter som udgangsunkt

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Eksempel på inddatering i Dæk.

Eksempel på inddatering i Dæk. Brugervejledning til programmerne Dæk&Bjælker samt Stabilitet Nærværende brugervejledning er udarbejdet i forbindelse med et konkret projekt, og gennemgår således ikke alle muligheder i programmerne; men

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

9/25/2003. Arkitektonik og husbygning. Kraftbegrebet. Momentbegrebet. Momentets størrelse. Momentets retning højrehåndsregel. Moment regnes i Nm

9/25/2003. Arkitektonik og husbygning. Kraftbegrebet. Momentbegrebet. Momentets størrelse. Momentets retning højrehåndsregel. Moment regnes i Nm Arkitektonik og husbygning Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. af statikkens grundbegreber 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Rep. af gitterkonstruktioner 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007

GPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden,

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Arkitektonik og husbygning

Arkitektonik og husbygning Arkitektonik og husbygning Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. af statikkens grundbegreber 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Rep. af gitterkonstruktioner 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder

Læs mere

Vejledning til LKvaegW.exe 1. Vejledning til programmet LKvaegW.exe Kristian Hertz

Vejledning til LKvaegW.exe 1. Vejledning til programmet LKvaegW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKvaegW.exe 1 Vejledning til programmet LKvaegW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKvaegW.exe 2 Ansvar Programmet anvendes helt på eget ansvar, og hverken programmør eller distributør kan

Læs mere

Elementmetodeformulering af tyndvæggede bjælker

Elementmetodeformulering af tyndvæggede bjælker Elementmetodeformulering af tyndvæggede bjælker Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby April 1999 Resumé Rapporten omhandler en systematisk

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2015 Institution Skive Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Niveau A Emil Hartvig emh@skivets.dk 1bhtx13 Oversigt over gennemførte

Læs mere

1 Praktisk Statik. Kraften på et legeme er lig med dets masse ganget med dets acceleration Isaac Newton

1 Praktisk Statik. Kraften på et legeme er lig med dets masse ganget med dets acceleration Isaac Newton 1 Praktisk Statik Kraften på et legeme er lig med dets masse ganget med dets acceleration Isaac Newton 1 Generel Information Historien bag Statikken Statik er læren om kræfter i ligevægt. Går man ud fra

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Bjælker på elastisk underlag

Bjælker på elastisk underlag Bjælker på elastisk underlag Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby Februar 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning af bjælker på

Læs mere

Fri søjlelængder for rammekonstruktioner.

Fri søjlelængder for rammekonstruktioner. Fri søjlelænger for rammekonstruktioner. maj 013, LC I litteratur som eksempelvist Teknisk Ståbi kan man fine e frie søjlelænger for en række stanarstilfæle. For søjler gæler Eulers søjleformel, som kan

Læs mere

Sammenligning af normer for betonkonstruktioner 1949 og 2006

Sammenligning af normer for betonkonstruktioner 1949 og 2006 Notat Sammenligning af normer for betonkonstruktioner 1949 og 006 Jørgen Munch-Andersen og Jørgen Nielsen, SBi, 007-01-1 Formål Dette notat beskriver og sammenligner normkravene til betonkonstruktioner

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Etablering af ny fabrikationshal for Maskinfabrikken A/S

Etablering af ny fabrikationshal for Maskinfabrikken A/S Etablering af ny fabrikationshal for Dokumentationsrapport for stålkonstruktioner Byggeri- & anlægskonstruktion 4. Semester Gruppe: B4-1-F12 Dato: 29/05-2012 Hovedvejleder: Jens Hagelskjær Faglig vejleder:

Læs mere

Forsøg med udkraget bjælke og ramme. - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner

Forsøg med udkraget bjælke og ramme. - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner Forsøg med udkraget bjælke og ramme - Analyse af dynamisk påvirkede konstruktioner Titel: Emne: Forsøg med udkraget bjælke og ramme Dynamisk analyse af simple konstruktioner Udført af: Vejleder: Projektperiode:

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Kom godt i gang Bestem styrkeparametrene for murværket. Faneblad: Murværk Gem, Beregn Gem

Kom godt i gang Bestem styrkeparametrene for murværket. Faneblad: Murværk Gem, Beregn Gem Kom godt i gang Bestem styrkeparametrene for murværket. Faneblad: Murværk Deklarerede styrkeparametre: Enkelte producenter har deklareret styrkeparametre for bestemte kombinationer af sten og mørtel. Disse

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan

Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,

Læs mere

Den svingende streng

Den svingende streng Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1 I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Matematisering af redoxprocessers afstemning 1

Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Matematisering af redoxprocessers afstemning 1 Eksempel 1 Br + Cl 2 Cl + Br 2 Problem, målsætning En afstemning går ud på at bestemme (naturlige) tal a, b, c, d så: a Br + b Cl 2 c Cl + d Br 2 Metode Tallene

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Implementering af Eurocode 2 i Danmark

Implementering af Eurocode 2 i Danmark Implementering af Eurocode 2 i Danmark Bjarne Chr. Jensen ingeniørdocent, lic. techn. Syddansk Universitet Eurocode 2: Betonkonstruktioner Del 1-1: 1 1: Generelle regler samt regler for bygningskonstruktioner

Læs mere

Stål. Brandpåvirkning og bæreevnebestemmelse. Eksempler september 2015/LC

Stål. Brandpåvirkning og bæreevnebestemmelse. Eksempler september 2015/LC Stål. Brandpåvirkning og bæreevnebestemmelse. Eksempler september 2015/LC Stål og Brand. 1) Optegn standardbrandkurven. 2) Fastlæg ståltemperaturer for 3 uisolerede profiler efter 30 min. standardbrand:

Læs mere

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010

RKS Yanis E. Bouras 21. december 2010 Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

COLUMNA. Registrering

COLUMNA. Registrering COLUMNA Grebet Lys blikfang visdom Intelligence is like a light. The more intelligent someone is, the brighter the light Der ønskes en bro over Anker Engelundsvej I den østlige ende, som kan lukke det

Læs mere

Fysisk aktivitet i den boglige undervisning

Fysisk aktivitet i den boglige undervisning Fysisk aktivitet i den boglige undervisning 1 Battle Øve begreber, teorier og beregninger i de naturvidenskabelige fag Besvare redegørende eller analyserende spørgsmål af tekster i fx historie, samfundsfag

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net

MATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Koblede differentialligninger.

Koblede differentialligninger. 2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Appendix Danmarks Tekniske Universitet Projektnummer S 11-010

Appendix Danmarks Tekniske Universitet Projektnummer S 11-010 Bachelor projekt Appendix Danmarks Tekniske Universitet Projektnummer S 11-010 Analyse af gitterkuppel Appendix A Jeanette Brender Jesper Sørensen Appendix A - Kuplens geometri Geometrien af den i opgaven

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere