Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
|
|
|
- Pernille Dalgaard
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark
2 Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion P(X x) = F(x) Fraktiler F(x p ) = p - specielt median F(x m ) = 0.5 Fordeling for maksimum og minimum F max (x) = n i=1 F i(x) og F min (x) = 1 n i=1 (1 F i(x)) Fordelinger af ordnede variable f (k) (x) = nf(x) n 1 (F(x)) k 1 (1 F(x)) n k k 1 Betafordelingen f(x) = 1 B(r,s) xr 1 (1 x) s 1 med B(r,s) = 1 0 xr 1 (1 x) s 1 dx = ( ) Γ(r)Γ(s) = (r 1)!(s 1)!, for (r, s) heltallige Γ(r+s) (r+s 1)
3 Fordelingsfunktionen (c.d.f.) F(x) For levetidsfordelinger indførte vi overlevelsesfunktionen G(t) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 3
4 Fordelingsfunktionen (c.d.f.) F(x) For levetidsfordelinger indførte vi overlevelsesfunktionen G(t) = P(T > t) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 3
5 Fordelingsfunktionen (c.d.f.) F(x) For levetidsfordelinger indførte vi overlevelsesfunktionen G(t) = P(T > t) = t f(s) ds Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 3
6 Fordelingsfunktionen (c.d.f.) F(x) For levetidsfordelinger indførte vi overlevelsesfunktionen G(t) = P(T > t) = t f(s) ds For alle stokastiske variable X indfører vi nu fordelingsfunktionen F(x) = P(X x) f(x) f(x) G(0.6) F(0.6) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 3
7 F for kontinuerte og diskrete variable For kontinuerte variable er F( ) kontinuert (!) og F(x) = x f(ξ) dξ For diskrete fordelinger på Z har vi f(x) F(0.6) F(x) = x n= P(X = n) f(n) F( 6) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 4
8 Vi betragter en eksponential(λ) fordelt variabel X. Spørgsmål 1 Fordelingsfunktionen for X er 1 F(x) = λe λx 2 F(x) = 1 λe λx 3 F(x) = 1 e λx 4 F(x) = e λx 5 F(x) = x 0 e λx dx 6 Ved ikke Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 5
9 Eksempler på fordelingsfunktioner N=20, p=0.25 Binomialf. x t=0 n t p t (1 p) n t λ = 5 Poissonf. x n=0 λ n n! e λ
10 ... flere fordelingsfunktioner Geometrisk f. på N 1 (1 p) x p= λ = 0.2 Exponentialf. 1 exp( λx)
11 ... og endnu flere µ = 0, σ = 1 Normalf. x 1 σ 2( t µ 2π e 1 σ ) 2 dt r = 3, λ = 1 Gammaf. 1 r 1 n=0 (λx) n n! e λx
12 Fraktiler (percentiles) Median m: P(X m) = 0.5
13 Fraktiler (percentiles) Median m: P(X m) = 0.5 Nedre/øvre kvartil P(X nk) = 0.25
14 Fraktiler (percentiles) Median m: P(X m) = 0.5 Nedre/øvre kvartil P(X nk) = 0.25 P(X øk) = 0.75
15 Fraktiler (percentiles) Median m: P(X m) = 0.5 Nedre/øvre kvartil P(X nk) = 0.25 P(X øk) = 0.75 Generelt: p-fraktilen f p er givet ved P(X f p ) = p (Lidt besværligt for diskrete fordelinger) p=0.5 p=0.25 p=0.9 p=0.75 nk m øk f 0.9
16 Simulering af stokastiske variable Givet en kontinuert voksende fordelingsfunktion F. Spm: Hvordan kan vi sample en stokastisk variable X med fordelingsfunktion F? Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 10
17 Simulering af stokastiske variable Givet en kontinuert voksende fordelingsfunktion F. Spm: Hvordan kan vi sample en stokastisk variable X med fordelingsfunktion F? Svar: Simulér først U fra en uniform fordeling på [0,1]. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 10
18 Simulering af stokastiske variable Givet en kontinuert voksende fordelingsfunktion F. Spm: Hvordan kan vi sample en stokastisk variable X med fordelingsfunktion F? Svar: Simulér først U fra en uniform fordeling på [0,1]. Bestem dernæst d.v.s. x er u-fraktilen i F. X = F 1 (U) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 10
19 Simulering af stokastiske variable Givet en kontinuert voksende fordelingsfunktion F. Spm: Hvordan kan vi sample en stokastisk variable X med fordelingsfunktion F? Svar: Simulér først U fra en uniform fordeling på [0,1]. Bestem dernæst X = F 1 (U) d.v.s. x er u-fraktilen i F. Hvorfor virker det? Fordi: P(X x) = P(F(X) F(x)) = P(U F(x)) = F(x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 10
20 Brug af dette Matlab genererer tilfældige tal mellem 0 og 1 med rand Transformation med 1 λ ln(u) Lav histogram over disse Tilsvarende histogram over variable genereret med exprnd Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 11
21 Fordeling af maximum og minimum Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 12
22 Fordeling af maximum og minimum Hvor høj er den højeste i en gruppe? Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 12
23 Fordeling af maximum og minimum Hvor høj er den højeste i en gruppe? Hvornår punkterer det første dæk? Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 12
24 Fordeling af maximum og minimum Hvor høj er den højeste i en gruppe? Hvornår punkterer det første dæk? Hvad er den største bølgehøjde en bro vil blive udsat for? Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 12
25 Fordeling af maximum og minimum Hvor høj er den højeste i en gruppe? Hvornår punkterer det første dæk? Hvad er den største bølgehøjde en bro vil blive udsat for? Største fil på hjemmeside Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 12
26 Fordeling af maximum og minimum Hvor høj er den højeste i en gruppe? Hvornår punkterer det første dæk? Hvad er den største bølgehøjde en bro vil blive udsat for? Største fil på hjemmeside Hvornår kommer den sidste, der skal med på skituren? Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 12
27 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
28 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
29 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Lad X max være maksimum: X max = max i X i Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
30 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Lad X max være maksimum: X max = max i X i X max er da en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F max (x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
31 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Lad X max være maksimum: X max = max i X i X max er da en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F max (x) = P(X max x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
32 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Lad X max være maksimum: X max = max i X i X max er da en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F max (x) = P(X max x) = P( i : X i x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
33 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Lad X max være maksimum: X max = max i X i X max er da en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F max (x) = P(X max x) = P( i : X i x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi F max (x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
34 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Lad X max være maksimum: X max = max i X i X max er da en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F max (x) = P(X max x) = P( i : X i x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi n F max (x) = F i (x) i=1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
35 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Lad X max være maksimum: X max = max i X i X max er da en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F max (x) = P(X max x) = P( i : X i x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi n F max (x) = F i (x) ( for F i (x) = F(x): i=1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
36 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i = 1,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Lad X max være maksimum: X max = max i X i X max er da en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F max (x) = P(X max x) = P( i : X i x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi n F max (x) = F i (x) ( for F i (x) = F(x): F max (x) = F(x) n ) i=1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 13
37 Maksimum af to terningekast Lad X og Y være antal øjne på to uafhængige terningekast. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 14
38 Maksimum af to terningekast Lad X og Y være antal øjne på to uafhængige terningekast. Lad Z = max{x,y}. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 14
39 Maksimum af to terningekast Lad X og Y være antal øjne på to uafhængige terningekast. Lad Z = max{x,y}. z P(Z = z) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 14
40 Maksimum af to terningekast Lad X og Y være antal øjne på to uafhængige terningekast. Lad Z = max{x,y}. z P(Z = z) Dermed får vi z P(Z z) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 14
41 Maksimum af to terningekast Lad X og Y være antal øjne på to uafhængige terningekast. Lad Z = max{x,y}. z P(Z = z) Dermed får vi z P(Z z) Bemærk! Dette er lige netop (F X (z)) 2 med F X (x) = x/6 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning
42 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
43 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min = min i X i Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
44 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen F min (x) X min = min i X i Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
45 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen F min (x) = P(X min x) X min = min i X i Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
46 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen X min = min i X i F min (x) = P(X min x) = 1 P(X min > x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
47 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen X min = min i X i F min (x) = P(X min x) = 1 P(X min > x) = 1 P( i : X i > x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
48 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen X min = min i X i F min (x) = P(X min x) = 1 P(X min > x) = 1 P( i : X i > x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi nu 1 F min (x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
49 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen X min = min i X i F min (x) = P(X min x) = 1 P(X min > x) = 1 P( i : X i > x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi nu 1 F min (x) = n (1 F i (x)) i=1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
50 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen X min = min i X i F min (x) = P(X min x) = 1 P(X min > x) = 1 P( i : X i > x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi nu 1 F min (x) = n (1 F i (x)) F min (x) i=1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
51 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen X min = min i X i F min (x) = P(X min x) = 1 P(X min > x) = 1 P( i : X i > x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi nu 1 F min (x) = n (1 F i (x)) F min (x) = 1 i=1 n (1 F i (x)) i=1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
52 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen X min = min i X i F min (x) = P(X min x) = 1 P(X min > x) = 1 P( i : X i > x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi nu 1 F min (x) = n (1 F i (x)) F min (x) = 1 i=1 n (1 F i (x)) i=1 For F i (x) = F(x): F min (x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
53 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen X min = min i X i F min (x) = P(X min x) = 1 P(X min > x) = 1 P( i : X i > x) Hvis {X i, i = 1,...,n} er uafhængige får vi nu 1 F min (x) = n (1 F i (x)) F min (x) = 1 i=1 n (1 F i (x)) i=1 For F i (x) = F(x): F min (x) = 1 (1 F(x)) n Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 15
54 Minimum af to uniformt fordelte variable Lad X,Y være uafhængige og uniformt fordelt på [0,1]. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 16
55 Minimum af to uniformt fordelte variable Lad X,Y være uafhængige og uniformt fordelt på [0,1]. Lad Z = min{x,y}. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 16
56 Minimum af to uniformt fordelte variable Lad X,Y være uafhængige og uniformt fordelt på [0,1]. Lad Z = min{x,y}. Da har vi P(Z z) = 1 (1 z) 2. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 16
57 Minimum af to uniformt fordelte variable Lad X,Y være uafhængige og uniformt fordelt på [0,1]. Lad Z = min{x,y}. Da har vi P(Z z) = 1 (1 z) 2. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 16
58 Minimum af to uniformt fordelte variable Lad X,Y være uafhængige og uniformt fordelt på [0,1]. Lad Z = min{x,y}. Da har vi P(Z z) = 1 (1 z) 2. Mere generelt, for X i, i = 1,...,n, er uafhængige og U([0,1]), får vi: P(min(X,Y)>0.4) P(minX i x) = 1 (1 x) n i Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 16
59 Eksempel/opgave En kæde består af n led. Trækstyrken for hvert led har fordelingsfunktionen F(x) = 1 25 x2 0 < x < 5 Vi antager nu, at trækstyrken for hele kæden skal være mindst 1 10 kg med en sandsynlighed på mindst Hvor mange led må den da højst bestå af? Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 17
60 En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i
61 En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i til at være trækstyrken af det i te led.
62 En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i til at være trækstyrken af det i te led. Trækstyrken af kæden er da X min
63 En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i til at være trækstyrken af det i te led. Trækstyrken af kæden er da X min = min i X i
64 En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i til at være trækstyrken af det i te led. Trækstyrken af kæden er da X min = min i X i med fordelingsfunktion: P(X min x)
65 En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i til at være trækstyrken af det i te led. Trækstyrken af kæden er da X min = min i X i med fordelingsfunktion: P(X min x) = 1 (1 F(x)) n
66 En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i til at være trækstyrken af det i te led. Trækstyrken af kæden er da X min = min i X i med fordelingsfunktion: Vi forlanger P(X min x) = 1 (1 F(x)) n P(X min 0.1) = 1 (1 F(0.1)) n
67 En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i til at være trækstyrken af det i te led. Trækstyrken af kæden er da X min = min i X i med fordelingsfunktion: Vi forlanger P(X min x) = 1 (1 F(x)) n P(X min 0.1) = 1 (1 F(0.1)) n 0,05
68 En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i til at være trækstyrken af det i te led. Trækstyrken af kæden er da X min = min i X i med fordelingsfunktion: Vi forlanger P(X min x) = 1 (1 F(x)) n P(X min 0.1) = 1 (1 F(0.1)) n 0,05 Løs m.h.t. n: n log0,95 log(1 F(0.1)) n 128 hvor F(0.1) =
69 En approksimation for fordelingen af minimum Fordelingsfunktionen for X min = min i X i i kædeeksemplet var P(X min x) = 1 (1 F(x)) n Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 19
70 En approksimation for fordelingen af minimum Fordelingsfunktionen for X min = min i X i i kædeeksemplet var P(X min x) = 1 (1 F(x)) n Hvis n er stor og F(x) er lille kan vi approksimere (1 F(x)) n = exp(nlog(1 F(x))) exp( nx 2 /25) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 19
71 En approksimation for fordelingen af minimum Fordelingsfunktionen for X min = min i X i i kædeeksemplet var P(X min x) = 1 (1 F(x)) n Hvis n er stor og F(x) er lille kan vi approksimere (1 F(x)) n = exp(nlog(1 F(x))) exp( nx 2 /25) Der er X min ca. Weibull-fordelt, opg Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 19
72 En approksimation for fordelingen af minimum Fordelingsfunktionen for X min = min i X i i kædeeksemplet var P(X min x) = 1 (1 F(x)) n Hvis n er stor og F(x) er lille kan vi approksimere (1 F(x)) n = exp(nlog(1 F(x))) exp( nx 2 /25) Der er X min ca. Weibull-fordelt, opg For en generel F kan vi approksimere F(x) med det dominerende led i dens Taylor-række, og dermed stadig få en Weibull-fordeling. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 19
73 Fordeling af k te mindste side 326 Lad X i, være i.i.d. (i = 1,...,n) med fordelingsfunktion F(x). Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 20
74 Fordeling af k te mindste side 326 Lad X i, være i.i.d. (i = 1,...,n) med fordelingsfunktion F(x). Lad X (k) benævne den k te mindste. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 20
75 Fordeling af k te mindste side 326 Lad X i, være i.i.d. (i = 1,...,n) med fordelingsfunktion F(x). Lad X (k) benævne den k te mindste. (X max = X (n) X min = X (1) ) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 20
76 Fordeling af k te mindste side 326 Lad X i, være i.i.d. (i = 1,...,n) med fordelingsfunktion F(x). Lad X (k) benævne den k te mindste. (X max = X (n) X min = X (1) ) Spm: Bestem P(x < X (k) x+dx) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 20
77 Fordeling af k te mindste side 326 Lad X i, være i.i.d. (i = 1,...,n) med fordelingsfunktion F(x). Lad X (k) benævne den k te mindste. (X max = X (n) X min = X (1) ) Spm: Bestem P(x < X (k) x+dx) = f k (x) dx! Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 20
78 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
79 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
80 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k 1 af dem er mindre end eller lig x Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
81 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k 1 af dem er mindre end eller lig x og resten (n k) er større eller lig x. f k (x)dx = Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
82 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k 1 af dem er mindre end eller lig x og resten (n k) er større eller lig x. f k (x)dx = n Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
83 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k 1 af dem er mindre end eller lig x og resten (n k) er større eller lig x. f k (x)dx = nf(x)dx Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
84 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k 1 af dem er mindre end eller lig x og resten (n k) er større eller lig x. f k (x)dx = nf(x)dx n 1 k 1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
85 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k 1 af dem er mindre end eller lig x og resten (n k) er større eller lig x. f k (x)dx = nf(x)dx n 1 F(x) k 1 k 1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
86 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k 1 af dem er mindre end eller lig x og resten (n k) er større eller lig x. f k (x)dx = nf(x)dx n 1 F(x) k 1 (1 (F(x)) n k k 1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
87 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k 1 af dem er mindre end eller lig x og resten (n k) er større eller lig x. f k (x)dx = nf(x)dx n 1 F(x) k 1 (1 (F(x)) n k k 1 således at f k (x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
88 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k 1 af dem er mindre end eller lig x og resten (n k) er større eller lig x. f k (x)dx = nf(x)dx n 1 F(x) k 1 (1 (F(x)) n k k 1 således at f k (x) = n n 1 k 1 f(x)f(x) k 1 (1 F(x)) n k Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 21
89 Fire studerende har aftalt, at mødes på Cafe Mig og Annie kl Antag at hver persons ankomsttidspunkt kan beskrives med en normalfordeling med middelværdi kl og med en standardafvigelse på 5 minutter, uafhængigt af de andres ankomsttidspunkt. Spørgsmål 2 Sandsynligheden for, at den anden person kommer indenfor de første 10 sekunder efter kl. 0.00, er (approksimativt): π π ( 1 ) 6 3 Φ ( 1 ) 6 4 (Φ ( π 6 2) 1 2 )2 ( 1 2) 2 6 Ved ikke hvor Φ betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel.
90 Ordning af uniforme variable Hvis X i er U(0,1) (d.v.s. uniformt fordelt på [0,1]) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 23
91 Ordning af uniforme variable Hvis X i er U(0,1) (d.v.s. uniformt fordelt på [0,1]) er F(x) = x. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 23
92 Ordning af uniforme variable Hvis X i er U(0,1) (d.v.s. uniformt fordelt på [0,1]) er F(x) = x. Vi fandt det generelle resultat: f k (x) = n n 1 f(x)f(x) k 1 (1 F(x)) n k k 1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 23
93 Ordning af uniforme variable Hvis X i er U(0,1) (d.v.s. uniformt fordelt på [0,1]) er F(x) = x. Vi fandt det generelle resultat: f k (x) = n n 1 f(x)f(x) k 1 (1 F(x)) n k k 1 Dermed bliver tæthedsfunktionen for X (k) : Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 23
94 Ordning af uniforme variable Hvis X i er U(0,1) (d.v.s. uniformt fordelt på [0,1]) er F(x) = x. Vi fandt det generelle resultat: f k (x) = n n 1 f(x)f(x) k 1 (1 F(x)) n k k 1 Dermed bliver tæthedsfunktionen for X (k) : f k (x) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 23
95 Ordning af uniforme variable Hvis X i er U(0,1) (d.v.s. uniformt fordelt på [0,1]) er F(x) = x. Vi fandt det generelle resultat: f k (x) = n n 1 f(x)f(x) k 1 (1 F(x)) n k k 1 Dermed bliver tæthedsfunktionen for X (k) : f k (x) = n Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 23
96 Ordning af uniforme variable Hvis X i er U(0,1) (d.v.s. uniformt fordelt på [0,1]) er F(x) = x. Vi fandt det generelle resultat: f k (x) = n n 1 f(x)f(x) k 1 (1 F(x)) n k k 1 Dermed bliver tæthedsfunktionen for X (k) : f k (x) = n n 1 k 1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 23
97 Ordning af uniforme variable Hvis X i er U(0,1) (d.v.s. uniformt fordelt på [0,1]) er F(x) = x. Vi fandt det generelle resultat: f k (x) = n n 1 f(x)f(x) k 1 (1 F(x)) n k k 1 Dermed bliver tæthedsfunktionen for X (k) : f k (x) = n n 1 x k 1 k 1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 23
98 Ordning af uniforme variable Hvis X i er U(0,1) (d.v.s. uniformt fordelt på [0,1]) er F(x) = x. Vi fandt det generelle resultat: f k (x) = n n 1 f(x)f(x) k 1 (1 F(x)) n k k 1 Dermed bliver tæthedsfunktionen for X (k) : f k (x) = n n 1 x k 1 (1 x) n k k 1 (Tætheder side 328) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 23
99 Et hjælperesultat Fordi f k er en tæthedsfunktion har vi Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 24
100 Et hjælperesultat Fordi f k er en tæthedsfunktion har vi 1 0 f k (x) dx = 1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 24
101 Et hjælperesultat Fordi f k er en tæthedsfunktion har vi og dermed 1 0 f k (x) dx = x k 1 (1 x) n k dx Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 24
102 Et hjælperesultat Fordi f k er en tæthedsfunktion har vi og dermed 1 0 f k (x) dx = x k 1 (1 x) n k dx = n 1 n 1 k 1 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 24
103 Et hjælperesultat Fordi f k er en tæthedsfunktion har vi og dermed 1 0 f k (x) dx = x k 1 (1 x) n k dx = n 1 n 1 k 1 = Γ(k)Γ(n k +1) Γ(n+1) (idet Γ(n) = (n 1)! for n heltallig) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 24
104 Betafordelingen Lidt mere generelt siges en stokastisk variabel med tæthed f(x) = 1 B(r,s) xr 1 (1 x) s 1, 0 < x < 1 for vilkårlige r > 0,s > 0 at være beta(r,s) fordelt. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 25
105 Betafordelingen Lidt mere generelt siges en stokastisk variabel med tæthed f(x) = 1 B(r,s) xr 1 (1 x) s 1, 0 < x < 1 for vilkårlige r > 0,s > 0 at være beta(r,s) fordelt. Her er B(r,s) = 1 0 x r 1 (1 x) s 1 dx = Γ(r) Γ(s) Γ(r +s) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 25
106 Betafordelingen Lidt mere generelt siges en stokastisk variabel med tæthed f(x) = 1 B(r,s) xr 1 (1 x) s 1, 0 < x < 1 for vilkårlige r > 0,s > 0 at være beta(r,s) fordelt. Her er B(r,s) = 1 0 x r 1 (1 x) s 1 dx = Γ(r) Γ(s) Γ(r +s) Dermed er X (k) fra før beta(k,n k +1) -fordelt. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 25
107 Opgave Lad X være beta(r, s)-fordelt. Spm: Find E(X m ) for m 1. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 26
108 Opgave Lad X være beta(r, s)-fordelt. Spm: Find E(X m ) for m 1. Svar: E(X m ) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 26
109 Opgave Lad X være beta(r, s)-fordelt. Spm: Find E(X m ) for m 1. Svar: E(X m ) = 1 0 x m f(x)dx Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 26
110 Opgave Lad X være beta(r, s)-fordelt. Spm: Find E(X m ) for m 1. Svar: E(X m ) = 1 0 x m f(x)dx = 1 B(r, s) 1 0 x m x r 1 (1 x) s 1 dx Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 26
111 Opgave Lad X være beta(r, s)-fordelt. Spm: Find E(X m ) for m 1. Svar: E(X m ) = 1 0 x m f(x)dx = 1 B(r, s) 1 0 x m x r 1 (1 x) s 1 dx og dermed E(X m ) = B(r+m,s) B(r, s) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 26
112 Opgave Lad X være beta(r, s)-fordelt. Spm: Find E(X m ) for m 1. Svar: E(X m ) = 1 0 x m f(x)dx = 1 B(r, s) 1 0 x m x r 1 (1 x) s 1 dx og dermed E(X m ) = B(r+m,s) B(r, s) = Γ(r+m) Γ(r +s) Γ(r+m+s) Γ(r) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 26
113 Opg (f): Første momenter i en beta-fordeling E(X) = Γ(r +1) Γ(r+s) Γ(r +s+1) Γ(r) = r r +s Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 27
114 Opg (f): Første momenter i en beta-fordeling E(X) = Γ(r +1) Γ(r+s) Γ(r +s+1) Γ(r) = r r +s E(X 2 ) = Γ(r +2) Γ(r +s) Γ(r +s+2) Γ(r) = r(r+1) (r+s)(r +s+1) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 27
115 Opg (f): Første momenter i en beta-fordeling E(X) = Γ(r +1) Γ(r+s) Γ(r +s+1) Γ(r) = r r +s E(X 2 ) = Γ(r +2) Γ(r +s) Γ(r +s+2) Γ(r) = r(r+1) (r+s)(r +s+1) Var(X) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 27
116 Opg (f): Første momenter i en beta-fordeling E(X) = Γ(r +1) Γ(r+s) Γ(r +s+1) Γ(r) = r r +s E(X 2 ) = Γ(r +2) Γ(r +s) Γ(r +s+2) Γ(r) = r(r+1) (r+s)(r +s+1) Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 27
117 Opg (f): Første momenter i en beta-fordeling E(X) = Γ(r +1) Γ(r+s) Γ(r +s+1) Γ(r) = r r +s E(X 2 ) = Γ(r +2) Γ(r +s) Γ(r +s+2) Γ(r) = r(r+1) (r+s)(r +s+1) Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = rs (r+s) 2 (r +s+1) Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 27
118 Vi har to æsker, en ulige æske med 1 sort og 3 hvide marmorkugler, og en lige æske med 2 sorte og 2 hvide marmorkugler. Man vælger en æske tilfældigt og dernæst vælges en marmorkugle tilfældigt fra denne æske. Spørgsmål 3 Givet vi trækker en hvid marmorkugle, hvad er da sandsynligheden for at den kommer fra den lige æske Ingen af de ovenstående 6 Ved ikke
119 Nye begreber i dag Fordelingfunktionen F(x) = P(X x) Fraktiler: f p er givet ved P(X f p ) = p... specielt median, øvre og nedre kvartil (p=0.5, 0.75, 0.25) Simulation udfra fraktilerne Ekstremværdier Ordnede stokastiske variable Betafordelingen. Bo Friis Nielsen 26/ forelæsning 7 29
120 Afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion P(X x) = F(x) Fraktiler F(x p ) = p - (specielt median F(x m ) = 0.5) Fordeling for maksimum og minimum F max (x) = n i=1 F i(x) og F min (x) = 1 n i=1 (1 F i(x)) Fordelinger af ordnede variable f (k) (x) = nf(x) n 1 (F(x)) k 1 (1 F(x)) n k k 1 Betafordelingen f(x) = 1 B(r,s) xr 1 (1 x) s 1 med B(r,s) = 1 0 xr 1 (1 x) s 1 dx = ( ) Γ(r)Γ(s) = (r 1)!(s 1)!, for (r, s) heltallige Γ(r+s) r+s 1)
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 5.3 og 5.4 Simultane kontinuerte
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der
Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Elementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2019 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 7. maj 019 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Statistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Sandsynlighedsregning 12. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.5 Den bivariate
Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
MM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 18. august 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 8. august 06 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Oversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2017 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 07 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 27. maj 20 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord
Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Løsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Løsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Opgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2013 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Note om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Reeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Sandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Sandsynlighedsteori
Fordelingskatalog til Sandsynlighedsteori 1.1 + 1.2 Svend Erik Graversen August 2005 1 Dette katalog indeholder de vigtigste egenskaber ved de 6 mest almindelige diskrete fordelinger samt de 11 mest almindelige
CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 4. juni 2013 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 8 sider Skriftlig prøve, den: 4. juni 20 Kursus nr : 0240 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: