MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATRICER LINEÆRE LIGNINGER"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple x x x x 4 udgave 04

2

3 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer, der er nødvendige for at løse lineære ligningssystemer, herunder også overbestemte ligningsystemer (regression) Regnemidler: I dette notat er der i eksemplerne vist hvorledes beregningerne skal foretages med programmet TI-Nspire-CAS og Maple Disse regnemidler kan foretage de sædvanlige matrixoperationer, hvilket betyder, at der ikke lægges vægt på at øve, hvorledes man beregner eksempelvis en invers matrix Ønskes bevis for en række af sætningerne i notatet kan henvises til lærebogssystemet B Hellesen, M Oddershede Larsen : Matematik for Ingeniører Bind 3 kapitlerne 6, 7 og 8, hvor man også i kapitel 9 kan finde en gennemgang af egenværdier mm Bøgerne kan i pdf-format findes på adressen wwwlarsen-netdk På denne adresse findes også en række bøger, der behandler forskellige emner indenfor såvel grundlæggende som videregående matematik og statistik juli 04 Mogens Oddershede Larsen i

4 INDHOLD Indledning Matricer 3 Regneregler for matricer 3 4 Ligningssystem, hvor koefficientmatrix er invertibel 5 5 Lineære ligningssystemer 7 6 Determinant 3 7 Lineære ligningssystemer med parameter 4 8 Cramers sætning 6 9 Overbestemt ligningssystem 7 0 Grundlæggende operationer udført med anvendelse af Ti-Nspire, Maple og TI89 3 Opgaver 5 Facitliste 33 Stikord 35 ii

5 Indledning Indledning Ved problemer, hvis løsning kræver, at man opererer med et større antal sammenhørende lineære ligninger (førstegradsligninger), kan man med fordel anvende matrixregning Da det matematiske problem i sådanne tilfælde alene er bestemt af de konstanter, der forekommer i ligningssystemet, og ikke af de betegnelser vi giver de variable, er det praktisk ved behandlingen af ligningssystemerne blot at se på skemaer (såkaldte matricer ) indeholdende konstanterne Eksempelvis vil man ved behandlingen af ligningssystemet 3x 4x3 x4 3x x 4x3 x4 x x3 x4 0 x 3x 3x4 med fordel kunne se på matricerne A 3 4 (ligningssystemets koefficientmatrix ) B (ligningssystemets højre side ) T (ligningssystemets totalmatrix ) Større systemer af ligninger forekommer feks ved mange procestekniske beregninger, hvor man opstiller et system af balanceligninger (stofbalancer, energibalancer, økonomiske balancer, osv), eller ved beregning af modstande og spændinger i elektriske kredsløb Et meget enkel eksempel herpå er følgende elektriske kredsløb:

6 Matricer og lineære ligninger Ved benyttelse af Kirchoffs strømlov fås I punktet P: i i i 3 0 I punktet Q: i i i 3 0 Højre kreds: 0i 5i 90 3 Venstre kreds: 0i 0i 80 Ligningssystemet der består af 4 ligninger med 3 ubekendte er så simpelt, at man umiddelbart kan løse det Lidt større kredsløb vil føre til flere ligninger med mange ubekendte, og her vil den følgende matrixteori være nødvendig Matricer Ved en matrix forstås et regulært skema bestående af tal eller bogstavsymboler De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i denne bog være reelle tal Matricen A 3 4 har 4 rækker og 4 søjler Man siger kort, at den er en 4 gange 4 matrix (4 x 4) matrix Matricer, der som A har lige mange rækker og søjler kaldes kvadratiske Matricen B har 4 rækker og søjle (er en (4 x ) matrix) 0 Matricer, der som B kun har søjle, kaldes også for søjlematricer eller søjlevektorer Ombyttes rækker og søjler i en matrix C, ( række bliver til søjle, række bliver til søjle osv) fremkommer C s transponerede matrix C T Eksempelvis har matricen C den transponerede matrix C T T Af definitionen følger: ( A ) T A

7 3 Regneregler for matricer TI-Nspire+Maple: Opret matrix C (se evt appendix side 3) Transponeret matrix C T : TI-Nspire: Skriv c Vælg i menu Matricer og Vektorer Transponerer Maple: Skriv C + T Er A A kaldes A symmetrisk En symmetrisk matrix må nødvendigvis være kvadratisk a a a a a a Mere generelt skrives en matrix A a a a n n m m mn De enkelte symboler kaldes matricens elementer, og vil i dette notat være reelle tal I skemaets m (vandrette) rækker og n (lodrette) søjler indgår mn tal, nummererede med dobbelte indekser, således at første indeks angiver rækkenummer, og andet indeks angiver søjlenummer Elementet a rs står således i den r`te række og den s`te søjle Man siger kort, at A er en m gange n matrix (skrives m x n) Elementerne a, a, a33, osv (dvs elementerne hvor rækkenummeret = søjlenummeret) siges at udgøre matricens diagonal 3 0 I C er c og diagonalen er, 6, D 5 6 er symmetrisk, da matricen er symmetrisk om diagonalen Regneregler for matricer Lighed To m x n matricer A og B kaldes ens (skrives A = B ), hvis tilsvarende elementer i de to matricer er ens Eksempelvis er A 3 og ens B

8 Matricer og lineære ligninger Multiplikation af matrix med tal (skalar) For et vilkårligt reelt tal k og en vilkårlig matrix A defineres k A som en ny matrix, fremkommet ved at alle A`s elementer er multipliceret med k 6 3 Eksempelvis gælder Addition af matricer Ved summen af to m x n matricer A og B forstås den m x n matrix, der fremkommer ved at tilsvarende elementer i A og B adderes Eksempelvis Det ses umiddelbart, at A + B = B + A (den kommutative lov gælder) og A + (B + C) = (A + B) + C (den associative lov gælder) Bemærk: Både A og B skal være m x n matricer Multiplikation af matricer Lad der være givet to matricer A og B, hvor antallet af søjler i A er lig antallet af rækker i B Elementerne i matricen C A B beregnes ved en række-søjle multiplikation, dvs hvis rækkerne i A opfattes som vektorer, og søjlerne i B ligeledes som vektorer, så fremkommer et element i C ved at rækkerne i A multipliceres skalært med søjlerne i B Følgende eksempel illustrerer dette Eksempel 3 Multiplikation af matricer 0 5 Lad A og B Beregn AB og BA, hvis det er muligt Løsning: 5( ) ( ) 50( ) 5( ) ( ) ( ) 53( ) ( ) AB 3( ) ( ) 7( ) 3 3 ( 7) ( ) B A er ikke defineret da antal søjler i B er forskellig fra antal rækker i A TI-Nspire: Skriv Maple: Skriv AB (bemærk, man skriver og ikke gangetegn) Det ses ved udregning, at der gælder A (B+C) = A B+A C (den distributive lov) De fleste af disse regneregler er ganske som regnereglerne for de reelle tal Bemærk dog, at der ikke gælder nogen kommutativ lov for multiplikation, dvs vi må normalt forvente, at AB BA 4

9 4 Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel 4 Ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel Vi vil i dette afsnit betragte lineære ligningssystemer, hvor der er lige mange ligninger og ubekendte, og som har netop én løsning Et eksempel på et sådant ligningssystem er 3x 4x3 x4 3x x 4x3 x4 x x3 x4 0 x 3x 3x4 Dette ligningssystem kan nu skrives x 3 4 x 0 x x4 eller kort K X = H, hvor K 3 4 er ligningssystemets koefficientmatrix x x X og H er ligningssystemets højreside x3 0 x4 K er kvadratisk, da den har lige mange rækker og søjler For at kunne løse en sådan ligning, ville det være godt, hvis der eksisterede en invers matrix A så A X B X A B Ligesom 0 ikke har noget inverst element i de reelle tal, findes der matricer, der ikke har en invers matrix Ved en invertibel matrix forstås en matrix, der har en invers matrix Ved en singulær matrix, forstås en matrix, der ikke har en invers matrix Vi vil i dette kapitel kun betragte ligningssystemer, hvor den kvadratiske koefficientmatrix er invertibel Sammenlignes med en sædvanlig førstegradsligning ax x a, a 0 ses, at man må indføre en matrix, som svarer til tallet 5

10 Matricer og lineære ligninger DEFINITION af enhedsmatrix Ved en enhedsmatrix (skrives E eller ) forstås en kvadratisk n x n matrix, hvor alle elementer i diagonalen er og alle elementer udenfor diagonalen er Eksempelvis er E 4 en 4 4enhedsmatrix Ved direkte udregning ses, at for en vilkårlig n x n matrix A gælder AE E A A, E n dvs enhedsmatricen spiller samme rolle i mængden af kvadratiske n x n matricer, som gør i de reelle tal DEFINITION af invers (reciprok) matrix Matricen matricen A, hvis A A A A E A A E n kaldes invers matrix til Man ser, at spiller samme rolle i forhold til A som f eks tallet gør i forhold til tallet ( ) Man kunne forestille sig, at en matrix kunne have flere forskellige inverse matricer Dette er imidlertid ikke tilfældet: Bevis: Antag, at B og C begge er inverse matricer til A Vi ville da få B BE B( AC) ( B A) C E C C dvs B = C Ved håndregning at beregne en invers matrix er så tidskrævende, at man altid vil bruge et regneprogram (Håndregningsmetoden kan ses i Matematik for Ingeniører bind 3,kapitel 7 side 8 eksempel 73, hvis man vil vide hvordan) A Eksempel 4 Invers matrix Find den inverse matrix til A Løsning Maple + TI-Nspire Matricen A indtastes A -, ENTER Resultat: n n 6

11 A 5 Lineære ligningssystemer Har man først fundet er det hurtigt at finde løsningen til ligningssystemet A X = B, da AX B A AX A B EX A B X A B Eksempel 4 Løsning af ligningssystem 3x 4x3 x4 3x x 4x3 x4 Løs ligningssystemet x x3 x4 0 x 3x 3x4 Løsning: Vi har A X = B, hvor x A 3 4 x X og B 0 x x4 Matricerne A og B indtastes som angivet i eksempel 4 TI-Nspire: X findes ved indtastning af A B Maple A - B Vi får X dvs x, x, x3 0, x4 0 5 Lineære ligningssystemer At et ligningssystem er lineært betyder, at de ubekendte alle er af første grad Et ligningssystem hvori der forekommer x er således ikke lineært I kapitel 5 har vi løst ligningssystemer hvor koefficientmatrix var invertibel Vi vil nu benytte en mere generel metode, som ved såkaldt Gauss-elimination kan løse alle typer af lineære ligningssystemer uanset antallet af ligninger og ubekendte Et eksempel på et sådant ligningssystem er x 3x x3 0 x 6x 5x3 x4 3x5 5x3 0x4 5x5 5 x 6x 8x4 8x5 6 som har n = 4 ligninger med m = 5 ubekendte Man starter nu med at opskrive ligningssystemets totalmatrix T 7

12 Matricer og lineære ligninger T Løsningsmetoden er, at man ved passende såkaldte rækkeækvivalente operationer simplificerer ligningssystemet til et system, hvoraf man let kan finde de ubekendte Rækkeækvivalente operationer Et lineært ligningssystems løsningsmængde ændrer sig ikke, hvis a) to ligninger ombyttes - svarende til rækkeombytning i totalmatricen T, b) en ligning multipliceres med en konstant k 0 - svarende til at en række i T multipliceres med k 0 c) en ligning L p erstattes af ligningen L p + k L q - svarende til at den q`te række i T multipliceres med k og adderes til den p`te række ( p q ) Dette kaldes en rækkeoperation i T og skrives kort r p + k r q To matricer A og B er rækkeækvivalente (skrives A B ), hvis de overføres i hinanden ved èn eller flere af de i punkterne a), b) og c) nævnte ændringer Echelon - matrix Ideen i den såkaldte Gauss elimination er, at man ved rækkeækvivalente operationer omdanner ligningssystemets totalmatrix til en såkaldt echelon-matrix, hvorefter ligningssystemets løsning er nem at finde En matrix af typen kaldes en echelon-matrix (echelon = trinvis opstilling med skrå front) En sådan matrix er karakteriseret ved ) at rækker, som består af lutter 0`er placeret nederst i matricen og for de øvrige rækker gælder ) at i en række er det første fra 0 forskellige tal i rækken et -tal Tallet kaldes for rækkens pivot-element, eller ledende -tal 3) at for to på hinanden følgende rækker vil pivotelementet i den nederste af de to rækker stå længere til højre end pivotelementet i den øverste af de to rækker Andre eksempler på echelon-matricer er ,, Bemærk: Ethvert pivotelement har lutter 0`er under sig 8

13 5 Lineære ligningssystemer Gauss elimination Det følgende eksempel viser Gauss eliminationsmetode på et mindre ligningssystem: Eksempel 5 Gauss elimination Løs ligningssystemet x 6x 4x3 0 3x x 3x3 7x 0x 5x3 Da der er lige mange ligninger og ubekendte kunne man umiddelbart fristes til at finde den inverse matrix Forsøges dette fås udskriften ERR: SINGULAR MAT (Dette skyldes, at L3 L L, så reelt er der kun ligninger med 3 ubekendte) Vi reducerer nu totalmatrix til echelon-form r 3r r r3 7r r3 r r x 6x 4x3 0 x 3x x3 5 Vi har: 3x x 3x3 9 4 x x 3 7x 0x 5x3 Der er følgelig uendelig mange løsninger, idet en af de variable kan vælges frit Vælges som fri variabel fås x x, x 53 x x eller x 3 x x, x x3, x3 fri For større ligningssystemer er det meget tidsbesparende at benytte et program der kan omdanne en matrix til en echelon matrix Imidlertid er det her arbejdsbesparende at reducere matricen yderligere ved at skaffe 0'er også over pivotelementerne Metoden forkortes til rref ( reduced row echelon matrix) Vi viser dette på samme ligningssystemet som i eksempel 5 9

14 Matricer og lineære ligninger Eksempel 5 Gauss elimination ved TI-Nspire og Maple Løs ligningssystemet x 6x 4x3 0 3x x 3x3 7x 0x 5x3 Løsning: Totalmatricen indtastes Lad matricens navn være T TI-Nspire: Skriv rref(t) (eller benyt Matrix og Vektorer Reduceret række echelon form t ) 0 5/ 3/ Der fremkommer følgende matrix: 0 9/ 4/ heraf fås x x3, x x3, x fri altså samme facit som i eksempel 5 3 Maple: Marker matricen T (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row-Echalon Form Reduced Facit som ovenfor Et lineært ligningssystem kan have netop løsning, uendelig mange løsninger, eller ingen løsninger Hvis koefficientmatrix K er invertibel (dvs K, der har en invers matrix ) så er der netop én løsning (jævnfør eksempel 4) Hvis K er singulær, så har ligningssystemet uendelig mange løsninger, eller ingen løsninger Hvis koefficienterne er konkrete tal som i eksempel 5 er det simpleste at omdanne totalmatrix til en rref-echelonmatrix, og på det grundlag løse ligningssystemet Det vil så umiddelbart fremgå hvad løsningsmængden er Indgår der i ligningssystemet en parameter kan man imidlertid komme til at overse et specialtilfælde Et eksempel herpå vises i eksempel 7 Eksempel 53 Ligningssystemers løsninger Lad der være fundet følgende echelonmatricer A= 03, B =, C =, D Angiv om det tilsvarende ligningssystem har løsning, ingen løsning eller uendelig mange løsninger Hvis der er uendelig mange løsninger skal angives antallet af frie variable (variable der kan angives frit) 0

15 5 Lineære ligningssystemer Løsning: A: Netop én løsning, da der er et pivotelement i alle tre rækker i koefficientmatricen B: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = 3 er større end antallet af ligninger n = Antal parametre er m - n = (jævnfør eksempel 6) C: Ingen løsning, da en række har lutter 0 -er i koefficientmatricen, men et tal forskelligt fra nul på højre side ( 0 x = ) D: Uendelig mange løsninger, da antallet af ubekendte m = 4 er større end antallet af ligninger n = Antal frie variable er m - n = Rang af matrix Rangen af en matrix er lig med antallet af uafhængige rækker i matricen Rangen er derfor lig med antallet af ikke-nul rækker i en tilsvarende echelon-matrix Rangen af A skrives kort ( A) eller rang(a) Eksempel 53 (fortsat) ( A) =3 rang( koefficientmatrix) = 3, antal ubekendte=3 så netop løsning ( B) rang(koefficientmatrix)=, antal ubekendte =3 3 - = fri variabel ( C) 3 rang( koefficientmatrix) = : antal ubekendte =3 Da < 3 så L=Ø ( D) rang( koefficientmatrix) =: antal ubekendte = 4 4- = fri variable Vi vil illustrere de forskellige løsningsmuligheder ved yderligere tre eksempler Eksempel 54 Netop en løsning (= eksempel 4) 3x 4x3 x4 3x x 4x3 x4 Løs ligningssystemet x x3 x4 0 x 3x 3x4 Løsning: Totalmatrix T indtastes A rref(t) = Maple: Marker matricen T (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row-Echalon Form Reduced Heraf ses, at x, x, x 0, x 3 4

16 Matricer og lineære ligninger Eksempel 55 Uendelig mange løsninger Løs ligningssystemet x 3x x3 0 x 6x 5x3 x4 3x5 5x3 0x4 5x5 5 x 6x 8x4 8x5 6 Løsning: Totalmatricen er T Totalmatricen indtastes rref(t) = / Da rang(k) = rang(t) = 3 og antal ubekendte er 5, er der 5-3 = fri variable Vi får: x 5, x x x x, x 3x 4x4 0 x 3x 4x4 ( x, x, x, x, x ) ( 3x 4x, x, x, x, ) Eksempel 56 Ingen løsning Løs ligningssystemet x x x3 x 3x 3x3 4 x x3 x x x3 Løsning: Totalmatricen er T rref(t) = Da rang(k) = 3 < rang(t) = 4 har ligningssystemet ingen løsning (nederste ligning giver 0x ) 3

17 6 Determinant Til enhver kvadratisk n n matrix A hører et tal kaldet determinanten for A Determinanter skrives kort det(a) eller A Vi kender allerede for en matrix determinanter, idet a a a a a a a a Vi kender også dens geometriske betydning, idet determinanter numeriske værdi er arealet af a det parallelogram der udspændes af de to rækkevektorer a og a a a a Hvis determinanten er 0, vil de to vektorer være parallelle, dvs a ka Det er overkommeligt på tilsvarende måde at udregne determinanten for en 3 3 determinant, hvis numeriske værdi er rumfanget af det parallelepipedum, der udspændes af de tre rækkevektorer Er determinanten 0 vil rumfanget være 0, dvs vektorerne ligger i samme plan, hvilket igen vil sige, at den ene vektor kan udtrykkes ved de to andre a k a k a 3 Man siger, at de 3 vektorer er lineært afhængige Generelt gælder, at hvis determinanten 0 er søjlevektorerne (og rækkevektorerne) lineært afhængige Beregningen af en determinant for en vilkårlig kvadratisk matrix kan principielt udføres på nedenfor beskrevne måde,(se eventuelt Matematik for Ingeniører bind 3, kapitel 8 for nærmere begrundelser), men er antal rækker stort, bliver regningerne så tidskrævende, at man må bruge et program Værdien af en determinant Værdien beregnes efter følgende forskrift: ) Man udvælger en bestemt række r eller en bestemt søjle s ) For hvert element i den valgte række eller søjle dannes et produkt af følgende 3 faktorer a rs a) Elementet a rs selv b) Elementets underdeterminant D rs, dvs den determinant der fremkommer ved at slette både den række og søjle, hvori elementet indgår c) Tallet ( ) r r r 3) det(a) ( ) ardr( ) ar Dr ( ) arn Drn 4) De fremkomne underdeterminanter opløses på tilsvarende måde, og sådan fortsættes til man når ned på determinanter,som kan udregnes direkte Eksempel 6 Beregning af determinant ved håndregning Beregn ved håndregning determinanten D = Løsning: Man finder en række eller søjle med mange 0-er Her vælges 3 række Vi har D = ( ) ( ) ( ) De underdeterminanter efter henholdsvis 3 række og række (fordi der er et 0 i disse rækker) 3

18 3 D = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vi kan nu udregne de 4 determinanter 3( 8 4) 3( 8) ( 3) ( 9 ) ( 9 ) 60 ( 33 7) 0 D = Eksempel 6 Beregning af determinant med Maple og TI-Nspire Beregn determinanten T = Løsning: Matricen indtastes TI-Nspire: Skriv det(t) Maple: Maple: Marker matricen T (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Standard operations Determinant ENTER Resultat: 0 Det kan vises Sætning 6 Invertibel matrix A er invertibel det( A) 0 Denne sætning er nyttig til at afgøre om en kvadratisk matrix er invertibel ( benyttes i næste afsnit) 7 Lineære ligningssystemer med parameter Benytter man eksempelvis Laplacetransformation til løsning af et differentialligningssystem, fremkommer et lineært ligningssystem, hvor koefficienterne sædvanligvis vil indeholde parameteren s, altså ikke alle være reelle tal Ligningssystemer som indeholder én eller flere parametre vil ofte give anledning til, at der for visse værdier af parametrene vil være specielle løsninger, feks at der ingen løsninger er, eller der er uendelig mange Regner men i hånden skal man derfor i forbindelse med reduktion til en echelon-matrix være opmærksom på, om man for visse værdier af parameteren dividerer med 0, da det så giver anledning til en undtagelse Benyttes et program, og er der lige mange ligninger og ubekendte, vil det sikreste være først at finde de værdier af parametrene, hvor determinanten af koefficientmatrix K er nul, da det viser, hvor ligningssystemet er singulært (ikke regulært) Hvis man kun anvender rref-echelon-metoden, kan man risikere at overse en værdi af parameteren a, der gør K singulær Eksempelvis vil echelon-metoden reducere ( a) x4 5( a) x4 5 og derved vil man overse, at a = gør K singulær Dette illustreres i eksempel 7 4

19 7 Lineære ligningssystemer med parameter Eksempel 7 Ligningssystem med parameter Find for enhver værdi af parameteren a løsningen til ligningssystemet x x ax3 x ax3 x 6x 4x3 3 Løsning: Da koefficientmatrix er kvadratisk, beregnes først determinanten for koefficientmatrix, for at finde de værdier af parameteren a for hvilke ligningssystemet er singulært a Koefficientmatrix K = 0 a indtastes på sædvanlig måde 6 4 Determinanten af K beregnes (som i eksempel 6): Resultat: K 8( a) Heraf ses, at K 0a Vi må derfor dele op i tilfælde a og a = Højre side B af ligningssystemet indtastes på sædvanlig måde TI-Nspire Skriv rref(augment(k,b)) : Totalmatricen dannes ved ordren augment (K,B) Maple Totalmatrix T dannes : T:=<K B> Marker matricen T (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row-Echalon Form Reduced Resultat: x 0 0 3/ ( a ) 0 0 ( a ) 0 0 ( a ) 3 x x ( a ), ( a ), ( a) 3 for a Sættes a = ind i totalmatricen, fås analogt echelon-matricen Af nederste ligning 0x ses, at ligningssystemet ingen løsning har 3 5

20 At det virkeligt er nødvendigt først at se på determinanten ses af følgende eksempel Eksempel 7 Ligningssystem med parameter Til beregning af 4 størrelser x, x, x3og x 4 er opstillet følgende ligningssystem: x x ( a3) x3 ( a) x4 3 x x ( a) x3 a ( a) x ax ( a3) x4 a 3x x ( a) x3 x4 a Løs ligningssystemet for alle værdier af a Løsning: Først beregnes determinanten til koefficientmatrix K = a3 a a 0 a a 0 a3 3 a Koefficientmatrix K og højre side B indtastes på sædvanlig måde Man får det(k) = a( a) ( a ) Heraf ses, at K er singulær for a = 0, a= og a = - Maple+TI-Nspire: Dannes totalmatricen T og anvendes rref(t) fås Vi får for a 0a a 3a 6 0 a a x a4 x ( ) ( ), ( a4) 8, x x aa ( ) aa ( ) aa ( ), 3 4 Som det ses ville vi her ikke opdage, at der er en singularitet for a = Vi indsætter nu a= 0 analogt som i eksempel 7 og finder :Ingen løsninger Derefter indsættes a = - og man finder igen Ingen løsninger 7 Endelig indsættes a= og man finder uendelig mange løsninger x, x t, x 5t, x t 4 a 3 8 Cramers sætning (determinantmetoden) I kapitel 4 løste vi et ligningssystem med lige mange ligninger og ubekendte hvor koefficientmatrix var invertibel Dette er den hurtigste metode, hvis man ønsker at finde alle de ubekendte Hvis man kun ønsker at finde en enkelt variabels værdi feks x 5 kan denne determinantmetode (Cramers metode) dog være velegnet Endvidere har den stor teoretisk interesse Cramers sætning Lad der være givet et ligningssystem A X = B, hvis det( A) 0 Den ubekendte findes som forholdet mellem determinanter Nævneren er determinanten x k af A og tælleren er determinanten af den matrix, som er A bortset fra, at den k te søjle er erstattet af ligningssystemets højre side 6

21 Det følgende eksempel illustrerer metoden Eksempel 8 Determinantmetoden eller Cramers metode Find x af ligningssystemet x x x3 x4 x 3x 3x3 4 x x3 x4 x x 3x4 Løsning: x De to matricer svarende til tæller og nævner indtastes benævnes A og B Man beregner nu det(a)/det(b) Resultat x 9 Overbestemt ligningssystem 9 Overbestemt ligningssystem I de foregående afsnit har vi antaget, at ligningssystemets konstanter er eksakte tal I tekniske anvendelser er tallene ofte behæftet med måleusikkerhed og lignende, og så vil løsningen naturligvis heller ikke blive eksakt For at mindske fejlen, benytter man ofte ekstra ligninger, som vist i følgende eksempel (og løser dem ved mindste kvadraters metode ) Eksempel 9 Overbestemt ligningssystem På et laboratorium analyseres en blanding af tre organiske stoffer kvantitativt ved måling af et ultraviolet spektrum Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c, c og c 3 c0 c 4 c c3 c c c c 0 c3 45 Ligningssystemet har netop én løsning, men da konstanterne er behæftet med uundgåelige småfejl (målefejl mm), ønsker man at forbedre nøjagtigheden af løsningen ved at foretage nogle ekstra målinger Lad os for simpelheds skyld antage, at der kun forekommer yderligere én ligning: c 35 c 39 c3 04 Den sidste ligning burde være en linearkombination af de tre første, men på grund af målefejlene er dette sjældent tilfældet, så det samlede ligningssystem har normalt ingen eksakt løsning 7

22 9 Overbestemt ligningssystem Opgaven er nu at finde et talsæt ( c, c, c3), som tilfredsstiller ligningssystemet bedst muligt, dvs således at residualerne (resterne) r, r, r3 og r 4 givet ved r c0 c 4 c363 r 3 c3 c c384 r3 09 c c 0 c345 r4 c35 c 39 c304 () bliver mindst mulige Ved mindste kvadraters metode skal talsættet vælges således, at RMS-fejlen r r r r bliver mindst mulig (RMS = root mean square error ) Bemærk, at RMS vedrører fejl på ligningerne og ikke fejl på løsningen ( c, c, c3) ADVARSEL: Det oprindelige ligningssystem må ikke ændres ved at man feks multiplicerer en ligning med 0, da det jo ganger residualet med 0 (ligningen indgår med en anden vægt ) SÆTNING 9 (løsning til overbestemt ligningssystem ) For et overbestemt ligningssystem A X B vil den løsning, som giver mindst mulig RMS-fejl på ligningssystemet, være en T T eksakt løsning til det såkaldte normalligningssystem A AX A B, dvs X A T T ( A) ( A B) Sætningen anføres uden bevis (se eventuelt Matematik for ingeniører bind 3 side 85-87) T I sætningen indgår A A Er A eksempelvis 4 3 fås A T Det ses, hvad gælder generelt, at matricen len) A A T A er kvadratisk og symmetrisk (om diagona- Endvidere gælder, at matricen altid har en invers matrix, så det er muligt at beregne Formlerne, der skal anvendes ved benyttelse af regnemidler er: T T Koefficienter C A A ( A B ) Residualer: D = A* C - B RMS: D, der er en søjlematrix opfattes nu som en vektor d d d Idet n er antal rækker i B bliver formlen 4 T A A 8

23 Eksempel 9 Overbestemt ligningssystem (fortsættelse af eksempel 9) ) Find den løsning til ligningssystemet c 0 c 4 c c 3 c c c c 0 c3 45 c 35 c 39 c3 04 som giver mindst mulig RMS-fejl ) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen Løsning: T T ) X A A ( A B) Koefficientmatrix A og højre side B indtastes T TI-Nspire: Maple: C: A A ( A B) 6 Resultat: 5 som er blevet gemt i matricen C 044 (her valgt at facit afleveres med 3 decimaler) Heraf fås c 60, c 58, c T 9 Overbestemt ligningssystem ) Håndkraft Residualerne beregnes residualerne ved indsætning i de oprindelige ligninger: r = 053 r = = 0344 r 3 = = r = RMS 4 TI-Nspire Residualer: D = A* C - B RMS: vælg matricer og vektorer vektor prikprodukt /4 n =4 er antal rækker i B 9

24 9 Overbestemt ligningssystem Maple Bemærk: D påstås at have en anden betydning, så local Eksempel 93 Regressionsmodel Ved et fysisk forsøg har man målt følgende sammenhørende værdier af x og y x y Punkterne tegnes ind i et koordinatsystem TI-Nspire: Indsæt lister og regneark, tal indtastes i to kolonner Marker begge lister ved at trykke på listebogstav (A), holde shift nede og brug pil mod højre Vælg data, hurtiggraf Der viser sig så nedenstående punktplot Maple Punkterne ligger næppe på en ret linie, men snarere på en hyperbel b Man vælger derfor modellen y a () x Bestem ved mindste kvadraters metode konstanterne a og b 0

25 9 Overbestemt ligningssystem Løsning: Indsættes punkterne i ligning () fås følgende 9 ligninger b a 5 b a 34 b a 9 3 b a 7 4 b a 6 5 b a 5 6 b a 4 7 b a 3 8 b a 9 Koefficientmatrix A og højre side B indtastes, og man bestemmer a og b af det overbe- T T X A A ( A B) stemte ligningssystem: Vi får: dvs kurven bliver y 9 35 x Grafen tegnes sammen med punkterne TI-Nspire Vælg Undersøg data, Plotfunktion, skriv funktionen Man ser, at punkterne ligger tilfældigt og tæt omkring kurven At punkterne ligger tæt og tilfældigt omkring kurven kan også indses ved at beregne residualerne, og eventuelt RMS-fejlen

26 9 Overbestemt ligningssystem Maple

27 Grundlæggende operationer 0 Grundlæggende operationer med Maple, TI-Nspire og TI89 ) Maple Oprette en matrix A: Lad matricen have rækker og 3 søjler Skriv A:= Vælg i menu til venstre :Matrix antal rækker=, antal kolonner = 3 Type (eksempelvis Zero) Insert Matrix Udfyld det fremkomne matrix med tallene i A ENTER Regneoperationer Transponeret matrix: A + Produkt af matricer A og B: Skriv AB (bemærk, man skriver og ikke gangetegn) Determinant:Marker matricen T (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Standard operations Determinant ENTER Danne en totalmatrix T ud fra koefficientmatrix K og højre side H Matricerne K og H indtastes T:=<K H> Gauss elimination Marker matricen T (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Solver and form Row-Ecnalon Form Reduced Resultater som eksakte tal eller decimaltal: Er tallene i udtrykket eksakte bliver facit eksakt Er der et tal i udtrykket med decimaler, bliver facit automatisk et decimaltal Facit ændres til decimaltal ved: Marker tallet (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg approximate 5 Ønskes et andet antal decimaler :Marker resultatet (med blåt) Højre musetast I den fremkomne menu vælg Numeric formatting Fixed Decimal places Gemme fil som pdf-fil Vælg File export as File of type PDF ) TI-Nspire Oprette en matrix A: Lad matricen have rækker og 3 søjler Vælg: Beregninger Skriv a:= Menu:Vælg Matricer og Vektorer Opret Matrix antal rækker=, antal kolonner = 3 OK Udfyld skemaet med matricen A, ENTER Regneoperationer Transponeret matrix: A T : Skriv a Vælg i menu Matricer og Vektorer Transponerer Produkt af matricer A og B: Skriv Determinant : Skriv det(a) Danne en totalmatrix T ud fra koefficientmatrix K og højre side H Matricerne K og H indtastes T:=augment(K,H) Gauss elimination Skriv rref(t) (eller benyt Matrix og Vektorer Reduceret række echelon form t ) Resultater som eksakte tal eller decimaltal: Er tallene i udtrykket eksakte bliver facit eksakt Facit ændres til decimaltal ved at markere tallet og vælg: CTRL+ Enter Er der et tal i udtrykket med decimaler, bliver facit automatisk et decimaltal Ønskes facit med et bestemt antal cifre : Lommeregner :Menu, Indstillinger og status, Dokumentindstillinger, vis cifre PC: File, Indstillinger,Indstillinger og status, Dokumentindstillinger, vis cifre 3

28 Ønskes facit med decimaler: Vælges : Fast : 5/3 =67 Ønskes facit med cifre, vælg Flydende " 5/3 = 7 Ønskes facit på samme linie:tryk på højre musetast i dokumentet og vælg noter Tryk igen på højre musetast og vælg Matematikfelt Gemme udskrifter som PDF-fil Skrive tekst i et teksbehandlingssystem som eksempelvis Word Regne i TiNspire Overføre relevant udskrift ved at anvende klippeværktøj/snipping tools Hentes :Vælg Start, Alle programmer, Tilbehør, klippeværktøj, Engelsk all programs, seach all programms skriv shipping tools Lav PDF-fil 3) TI-89 Oprette en matrix A: Lad matricen have rækker og 3 søjler APPS, Data/Matrix Enter New Udfyld Type = Matrix, Variable = A, antal rækker= og søjler = 3, ENTER, ENTER Udfyld skemaet med matricen A, Home Bemærk: a) Ofte er matricerne så store, at man i Historik feltet ikke kan se alle resultater Så må man flytte feltet nedad ved at holde tasten pil opad (se øverste tastrække) nede samtidig med at man bruger piletasten nedad b) Hvis man i næste opgave ønsker igen at kalde en Matrix A, så må man i VAR-Link først slette den tidligere definerede matrix A Regneoperationer Transponeret matrix A T : A MATH nr 4: MATRIX, ENTER nr : T ENTER Produkt af matricer A og B: Skriv a*b Invers matrix A - Skriv A ^- Determinant : MATH nr 4: MATRIX, ENTER nr det(a) Danne en totalmatrix T ud fra koefficientmatrix K og højre side H MATH nr 4: MATRIX, ENTER nr 7 augment(k,h) Gauss elimination MATH nr 4: MATRIX, ENTER nr 4 rref(t) Resultater som eksakte tal eller decimaltal: Er tallene i udtrykket eksakte bliver facit eksakt Facit ændres til decimaltal ved trykke på gul tast + Enter Er der et tal i udtrykket med decimaler, bliver facit automatisk et decimaltal Ønskes facit med et bestemt antal cifre : Vælg Mode Display Digits Fix 6 (hvis 6 cifre) 4

29 Opgaver OPGAVER Opgave Idet A og, skal man undersøge om følgende relationer gælder: 0 B 0 ) ( A B) A AB B ) A B ( A B)( A B) Foretag beregningerne uden brug af lommeregner Opgave Lad A og 0 B 0 Beregn A 3B 5A B, A B T og A B uden brug af lommeregner Opgave 3 3 Lad A 3 Udregn A A 9A og A A 9E, hvor E er en 3 x 3 enhedsmatrix Opgave Lad A B og 3, C Vis, at A B A C ( trods det at B C ) Opgave 5 Lad A og Find og B 3 4 T T 3 A, B, ( AB ) ( BA T ) Opgave 6 0 Lad A 0 0 og B Find T T T AB, BA, AB, BA, A B, A, B, A og AB 5

30 Matricer og lineære ligninger Opgave 7 Find den inverse matrix til hver af de følgende matricer: 0 0 ) ) 3) Opgave Lad A Find og A A T Opgave Lad der være givet en invertibel matrix A Idet B, skal man løse matrixligningen AX B Opgave 0 På et laboratorium analyseres en blanding af 4 organiske stoffer kvantitativt ved måling af et ultraviolet-spektogram Heraf fås følgende ligningssystem for koncentrationerne c, c, c3 og c 4 ( millimol / liter ) : 500 c 00 c 00 c c 00 c3 00 c c 00 c 500 c c 00 c 500 c4 700 Find c, c, c3 og c 4 6

31 Opgave Løs ligningssystemet x x 5x3 x4 3 x x 4x3 x4 6 x 3x 3x3 x4 4 3x 3x 3x3 Opgave Mellem variablene x og y gælder den teoretiske sammenhæng y ABxCx 3 D x Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata: x 0 3 y Opstil 4 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C, D og find derpå A, B, C og D Opgave 3 Løs ligningssystemet med håndkraft (uden brug af regnemidler) x x x3 0 x 3x 8x3 5 x 4x 3x3 5 Opgave 4 Løs ligningssystemet med håndkraft (uden brug af regnemidler) x 3x 7 x3 4 x x x3 3x x 7x3 4 Opgave 5 x x x4 4 x x x3 3x4 Løs ligningssystemet x 3x 3x4 3 x x x3 x4 3 Opgaver Opgave 6 Løs ligningssystemet x 4 x x3 5 5x x 3x3 x x x3 x 5x 7 7

32 Matricer og lineære ligninger Opgave 7 Man ønsker at fremstille 0 ton af en næringsblanding bestående af 5 komponenter: komponent ønsket skummetmælk kartofler æbler sojamel blanding mængde (ton): x x x 3 x 4 0 kulhydrat pr 00 g protein pr 00 g C-vitamin pr 00 g For at kunne bestemme x, x, x3og x 4, således at den færdige blanding får det ønskede indhold af kulhydrater, protein og C-vitamin, opstilles ligningssystemet: mængde: x x x3 x4 0 kulhydrat: 5x 0x 0x3 5x4 50 protein: 3x 3x 36x4 60 C vitamin: x 0x 7x3 60 Løs ligningssystemet Opgave 8 Løs ligningssystemet x4 x 3x3x4 3 x x x3 x4 3xx x33x4 4 7x x x33x4 4 Opgave 9 Indledningen (med petit) kan overspringes, da den ikke er nødvendig for opgavens løsning Indledning En fabrik får til opgave at fremstille et produkt, der bla skal indeholde 3 kg af stoffet I, 36 kg af stoffet II og 33 kg af stoffet III Råstoffernes A, B, C og D s procentiske indhold af I, II og III fremgår af nedenstående tabel A B C D I 0% 50% 30% 0 % II 0% 40% 30% 0% III 30% 0% 0% 50% Forudsat at alle råstofferne kan udnyttes, ønsker man at finde de antal kg x, x, x3og x 4 af henholdsvis A, B C og D, der skal benyttes ved fremstillingen Specielt ønskes angivet den af de mulige løsninger, der giver det mindste forbrug af det dyre råstof A x 5x 3x3 3 Givet ligningssystemet x 4x 3x3 x4 36 3x x3 5x4 33 ) Find den fuldstændige løsning til ligningssystemet ) Idet det antages, at x 0, x 0, x3 0, og x 4 0, skal man angive den løsning til ligningssystemet, der har den mindste værdi af x 8

33 Opgaver Opgave 0 En virksomhed fremstiller 4 typer produkter,, 3 og 4 Under tilblivelsesprocessen skal hvert produkt passere igennem alle virksomhedens 3 afdelinger, men beslaglægger her kapaciteten i forskellig grad: enhed af type enhed af type enhed af type 3 enhed af type afdeling afdeling afdeling 3 5 % 0 % 0 % 0 % 5 % 0 % 0 % 0 % 5 % 4 5 % 5 % 0 % Lad x j betegne antal producerede enheder af type j i en uge Såfremt hver afdelings kapacitet skal udnyttes fuldt ud i denne uge, må der gælde: afdeling : 5x 0x 0x3 5x4 00 afdeling : 0x 5x 0x3 5x4 00 afdeling 3: 0x 0x 5x3 0x4 00 ) Vis, at ligningssystemet har en uendelighed af løsninger og angiv herunder den fuldstændige løsning ved hjælp af en parameter t Hvilke værdier af t kan forekomme i virkeligheden (husk, at x 0, x 0, x3 0, x 4 0 )? ) Hvad er det største antal emner af produkttype 3, som virksomheden kan fremstille pr uge, når der ikke må være ledig kapacitet i nogen af de 3 afdelinger? ( Bemærk: I det matematiske fag lineær programmering behandles sådanne problemtyper - gerne med mange flere variable, idet der benyttes specielle teknikker i forbindelse med edb ) Opgave Find værdien af determinanten Opgave a) Beregn determinanten a a 3 a 0 4a a6 6 3a b) Løs ligningssystemet for alle værdier af parameteren a xx ax3 x4 ( a 3) xx ax3 ( 4a 7) xx ( a 6) x6x 3ax3 x4 6 9

34 Matricer og lineære ligninger Opgave 3 a) Beregn determinanten a a 0 a 0 D = a b) Løs nedenstående ligningssystem for de værdier af a, for hvilke determinanten D er 0 ax x x3 ( a) x4 0 x ( a) x3 x x3 x4 x ax4 Opgave 4 Der er givet ligningssystemet ax x ( a 3) x3 7 ax 4x ( 3a 4) x3 3ax 5x ( a 4) x3 3 Løs ligningssystemet for de værdier af a, for hvilke ligningssystemet har netop én løsning Opgave 5 Benyt Cramers metode til at finde x af nedenstående ligningssystem xx x3 x4 xx x3 4 3xx 4x 6x 3x3 x4 Opgave 6 Benyt Cramers metode til at finde x 4 af nedenstående ligningssystem x x x3 x4 0 x 3x3 x x3 x4 x x4 Opgave 7 De tre vinkler i en trekant ABC er målt til 053, 34, og 3(radianer) A 053 Find den løsning til det overbestemte ligningssystem B 34 AB 3 som giver mindst mulig RMS-fejl Find endvidere residualerne og RMS-fejlen 30

35 Opgave 8 Mellem de variable x, y, z, w gælder den teoretiske sammenhæng w AxByCz Fra laboratoriet er der kommet følgende måledata: x y z w ) Opstil 5 ligninger til bestemmelse af konstanterne A, B, C ) Find derpå konstanterne A, B, C, idet RMS-fejlen på de 5 ligninger skal være mindst mulig 3) Find endvidere residualerne og RMS-fejlen Opgave 9 To tryk p og p samt differencen p p er målt med samme nøjagtighed: p 0 p 5 p p 6 Find p og p bedst muligt Opgave 30 Der skal fremstilles ton af et produkt ved at blande 3 råvarer (alle tal er i vægt % ): råvare nr råvare nr råvare nr 3 ønsket produkt protein fedt kulhydrat 0 % 30 % 0 % 0 % 0 % 30 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % 0 % Af råvarer bruges x ton af nr, x ton af nr og x x ton af nr 3 ) Opstil 3 ligninger til bestemmelse af x og x ) Find derpå x og x, idet RMS-fejlen på de 3 ligninger skal være mindst mulig 3) Find til sidst residualerne og RMS-fejlen Opgaver Opgave 3 x x y Der foreligger følgende ligningssystem: x yz 3 yz ) Vis, at ligningssystemet ikke har nogen eksakt løsning ) Løs ligningssystemet bedst muligt, (dvs således at RMS-fejlen bliver mindst mulig ) 3

36 Matricer og lineære ligninger Opgave 3 For en bestemt proces, har man målt, at der gælder følgende overbestemte ligningssystem x y 00 yz 400 x z 500 x y 000 x z 00 a) Løs ligningssystemet bedst muligt, (dvs således at RMS-fejlen bliver mindst mulig ) b) Find RMS-fejlen for den i spørgsmål a) fundne løsning 3

37 Stikord Facitliste a) nej b) nej , 0 3, 0 0, 0,, 0 0, 0, ) ) 3) , (3, 5, 5, 0),,, (-6, 0,, ) 3 (3, -9, -6) 4 eksempelvis (4-x 3, - x 3, x 3 fri) 5 4,,, 6 Ø 7 (3, 5,, ) 8 eksempelvis x, x, x, x ) eksempelvis x x 7 3x x4 fri () ,,,, 0,, ) eksempelvis x, x, 0 4x, x fri, x [ 4 ; 5] ) a) a( a) b) a a (0,, 0,0) a = 0: (0,, x 3, 0) , : a : x4, x, x, x

38 Matricer og lineære ligninger 3 a) a a 3 b) eksempelvis a = : 3 x x x x x fri a= : 0, x, x, x 4 3,,, a, a 0 a a a 4, 4, 4, 4, A=054, B = 34, r = r =r 3 = -006, RMS = (A, B, C ) = (0,, 0) r 0, r 0, r 0, r 0, r 0 RMS = , ) - ) (0549, 0) 3) r 0 086, r 0 07, r , RMS = ,, 30, 0 (,, ) 3 3 a) 3,, b) RMS = =

39 STIKORD A addition af matricer 4 B C Cramers sætning 6 D determinant 3 E echelon matrix 8 enhedsmatrix 6 F facitliste 33 G Gaus elimination 9 H I invers matrix 6 invertibel matrix 5, 4 K koefficientmatrix, 5 kvadratisk matrix, 5 L ligningssystem hvor koefficientmatrix er invertibel 5 ligningssystem, netop en løsning uendelig antal løsninger ingen løsninger lineært ligningssystem 7 ligningssystem med parameter 4 M Maple AB og A T 4 A - 6 determinant 4 Gaus elimination 0 grundlæggende oprationer 3 ligningsystem med parameter 5 overbestemt ligningssystem 9 regression 0 matrix transponeret echelon 8 enhedsmatrix 6 invers 6 kvadratisk, 5 rang regneregler 3 multiplikation 4 addition 4 N normalligningssystem 8 O overbestemt ligning 7 Opgaver 5 P pivotelement 8 R rang af matrix reciprok matrix 6 regression 0 residual 8 RHF- fejl 8 række rref, reduced row echalon form 0 rækkeækvivalente operationer 8 S singulær matrix 5 symmetrisk matrix 3 søjle T TI-Nspire AB og A T 4 A - 6 determinant 4 Gaus elimination 0 grundlæggende oprationer 3 ligningsystem med parameter 5 overbestemt ligningssystem 9 Stikord 35

40 Matricer og lineære ligninger regression 0 totalmatrix transponeret matrix 36

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER LINEÆRE LIGNINGER Usikkerhedsberegning med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 = x x x x. udgave 0 FORORD Dette

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode (håndregning),

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Regneark II Calc Open Office

Regneark II Calc Open Office Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

DesignMat Uge 11 Vektorrum

DesignMat Uge 11 Vektorrum DesignMat Uge Vektorrum Preben Alsholm Forår 200 Vektorrum. Definition af vektorrum Definition af vektorrum Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Vejledning til brug af ligningseditoren i Word og tilføjelsesprogrammet WordMat som er et CAS-værktøj.

Vejledning til brug af ligningseditoren i Word og tilføjelsesprogrammet WordMat som er et CAS-værktøj. Vejledning til brug af ligningseditoren i Word og tilføjelsesprogrammet WordMat som er et CAS-værktøj. Installationer og licenser. Word er en del af den gratis officepakke, som du som elev på en skole

Læs mere

MatematikVærktøjet - Niveau 1

MatematikVærktøjet - Niveau 1 Mikro Værkstedet MatematikVærktøjet - Niveau 1 Brugervejledning MatematikVærktøjet - Niveau 1 1 1. FORORD MatematikVærktøjet niveau 1 er et værktøj for både elev og lærer. Et værktøj til eleverne til at

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Koblede differentialligninger.

Koblede differentialligninger. 2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Vejledning til WordMat på Mac

Vejledning til WordMat på Mac Installation: WordMat på MAC Vejledning til WordMat på Mac Hent WordMat for MAC på www.eduap.com Installationen er først slut når du har gjort følgende 1. Åben Word 2. I menuen vælges: Word > Indstillinger

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat

Introduktion til TI-Nspire 1. Dokumentformat 1 Dokumentformat Åbn TI-Nspire. Første gang man åbner programmet vises som regel et skærmbillede fra en håndholdt lommeregner. Denne visning skiftes til Computer i menuen eller ved ALT-Shift-C. Denne indstilling

Læs mere

Matlab-kommandoer. Robert Jacobsen. 9. august 2010

Matlab-kommandoer. Robert Jacobsen. 9. august 2010 Matlab-kommandoer Robert Jacobsen 9. august 2010 1 Kommandoer til Matlabs funktionaliteter Ønsker man at køre Matlab fra terminalen, ses de mulige options med matlab -help. For at starte Matlab uden det

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere