Platons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? *

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Platons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? *"

Transkript

1 Platons Timaeus 31b4 32c4: Hvorfor behøver vi to bånd mellem ild og jord? * Af Vassilis Karasmanis Afsnit 31b4 32c4 fortæller os at verden, fordi den kan ses og berøres, må bestå af ild og jord, og der fremsættes et argument for hvorfor der nødvendigvis må være to andre elementer (luft og vand) mellem ild og jord. Argumentet kan formuleres som følger: 1) 31b4: Verden må være legemlig, og derfor være til at se og berøre. 2) 31b5: Intet er synligt uden ild. 3) 31b6: Alt det man kan røre ved, må være massivt, og uden jord er intet massivt. 4) 31b6-8: Derfor skabte Gud i begyndelsen verdens masse af ild og jord. 5) 31b8-c2: To ting alene kan ikke forbindes ordentligt uden en tredje et bånd er nødvendigt. 6) 31c2-4: Af alle bånd er det bedste det som mest fuldkomment danner en enhed af selve båndet og de sammenbundne; og det er en sammenhængende proportions egenskab at bevirke dette effektivt. 7) 32b2-3: To legemer er altid forbundet, ikke med ét, men med to bånd. 8) 32b1-2: Verden er massiv. 9) 32b3.4: Derfor satte Gud vand og luft (to bånd) mellem ild og jord. Den vigtigste præmis i argumentet er den syvende. Hvorfor behøves der to mellemled og ikke ét? Det enkle svar er at Platon allerede havde bestemt sig for Empedokles' fire velkendte elementer, jord, vand, luft og ild. Vand og luft er de elementer der repræsenterer materiens flydende og gasformige tilstande. Men, skønt Platon faktisk accepterer disse fire elementer, er dette svar ikke det rigtige; og det skyldes at i dette argument tager Platon ikke de fire elementers eksistens for givet, men prøver at argumentere for (*) Oversat til dansk af Christian Marinus Taisbak. Artiklen var oprindeligt tiltænkt Festskriftet til samme, men nåede for sent frem og trykkes derfor her. AIGIS 14,1 1

2 deres eksistens. Eftersom eksistensen af ild og jord følger af verdens legemlige, synlige og følelige karakter, så må luft og vand følge som nødvendige bånd mellem ild og jord. Derfor står spørgsmålet ubesvaret, hvorfor behøver vi to bånd (nemlig luft og vand), og ikke ét? Afsnittet ovenfor har matematisk indhold, som Platon selv antyder. Han siger at proportionen frembringer det bedste bånd; for i proportionen danner mellemleddet og de to forbundne ting en ægte enhed (31c2-4). Umiddelbart efter (31c4-32a5) forklarer Platon hvilken proportion det specielt er, han har i tankerne. Jeg vil begynde min undersøgelse med den proportion som, ifølge Platon, danner det bedste bånd, og senere vil jeg forsøge at forklare hvorfor Platon tror at vi behøver to bånd (elementer) mellem ild og jord. I Jeg citerer den passage det drejer sig om (31c2-32a7): (31c2) Δεσμῶν δὲ κάλλιστος ὃς ἂν αὑτὸν καὶ τὰ συνδούμενα ὄτι μάλλιστα ἓν ποιῇ, τοῦτο δὲ πέφυκεν ἀναλογί κάλλιστα ἀποτελεῖν. ὁπόταν γὰρ ἀριθμῶν τριῶν εἴτε ὄγκων (32a1) εἴτε δυνάμεων ὡντινωνοῦν ᾖ τὸ μέσον, ὃτιπερ τὸ πρῶτον πρὸς αὐτὸ, τοῦτο αὐτὸ πρὸς τὸ ἔσχατον, καὶ πάλιν αὖθις, ὃτι τὸ ἔσχατον πρὸς τὸ μέσον, τὸ μέσον πρὸς τὸ πρῶτον, τότε τὸ μέσον μὲν πρῶτον καὶ ἔσχατον γιγνόμενον, τὸ δ ἔσχατον καὶ τὸ πρῶτον αὖ μέσα ἀμφότερα, πάνθ οὕτως εξ ἀνάγκης τὰ αὐτὰ εἶναι συμβήσεται, τὰ αὐτὰ δὲ γενόμενα ἀλλήλοις ἓν πάντα ἔσται. Lad os først se hvilken slags proportion der er tale om. Det bedste bånd, ifølge Platon, udtrykkes ved en proportion som har tre led (31c4). I det tilfælde har vi a : x = x : b (32a1-2) og b : x = x : a (32a3). Så kan, siger Platon (32a4-5), det midterste led x indtage første og sidste leds plads, og de yderste led kan indtage midterpladsen, x : a = b : y. På denne måde bliver alle led tilsammen en enhed. Vi kan altså se at Platon tænker på den sammenhængende proportion hvor der er en mellemproportional mellem to led, a og b. Mellemleddet x forbinder de to yderled, og hvis vi vender proportionen om, bliver yderleddene mellemled og mellemleddet bliver yderled. Af den grund er de tre led forbundet til en enhed på den bedste måde. Kun den sammenhængende proportion kan omformes på en sådan måde at de tre led er i stand til at indtage alle fire pladser i proportionen. Alle led kan indtage alle pladser i proportionens mønster (32a5-7). AIGIS 14,1 2

3 Denne sammenhængende proportion er den samme som vi så i problemet med at fordoble kvadratet, som Platon diskuterede i dialogen Menon (82a ff). Der bliver diagonalen i det oprindelige kvadrat til siden i det dobbelte kvadrat. Siden a i det oprindelige kvadrat, den dobbelte side 2a, og diagonalen d danner en sammenhængende proportion (a : d = d : 2a, og 2a ² = d ²). 1 Jeg tror at Platon selv hentyder til denne proportion senere i Timaeus (32a7), når han siger at hvis verden var en plan flade uden nogen dybde, ville en enkelt mellemproportional have været nok til at forbinde de to elementer (ild og jord). Det næste problem, som har med proportionen at gøre, er at forstå arten af de genstande som proportionens led repræsenterer. Svaret afhænger af den foretrukne tolkning og oversættelse af afsnittet 31c4-32a1. Der er tre mulige læsninger af dette afsnit. 1. For når, af tre tal, mellemleddet mellem hvilke som helst to tal som er enten legemer (ὄγκων) eller kvadrater (δυνάμεων), er sådan at... (Heath, Cornford 2 ). 2. For når, af tre tal som er enten legemer (ὄγκων) eller kvadrater (δυνάμεων), mellemleddet mellem hvilke som helst to af dem er sådan at... (Archer-Hind, Jowett, Zeyl 3 ). 3. For når der foreligger tre tal eller rum eller δυνάμεις, og det af dem der er det midterste, er sådan at (Taylor, Prichard 4 ). Ifølge de første to læsemåder af dette afsnit repræsenterer proportionens tre led tal på geometriske størrelser i to eller tre dimensioner. Ifølge den tredje læsemåde kunne proportionens led være enten tal eller geometriske størrelser i to eller tre dimensioner (planer eller legemer). Jeg foretrækker den tredje læsning, fordi jeg finder det mere naturligt og enklere at de tre genitiver ἀριθμῶν, ὄγκων og δυνάμεων henviser til τριῶν, snarere end at de to sidste henviser til det første (ἀριθμῶν). 5 Jeg anser fra et grammatisk synspunkt denne læsning som den bedste. Desuden er det klart at de to første 1. Et andet simpelt geometrisk problem hvor en sammenhængende proportion dukker op, er det at kvadrere et rektangel, altså at omdanne et rektangel til et kvadrat (Euklid, Elementerne ii, 14). 2. Heath, 1921, vol. I, 297; Heath, 1926, vol. II, 294; Cornford, 1937, Archer-Hind, 1888, 97; Jowett, 1892; Zeyl, Taylor, 1928, 99; Prichard, 1990, Taylor (1928, 99) mener at εἴτε er underforstået foran det første af alternativerne. Virkningen af denne udeladelse er at lægge specielt tryk på det første af alternativerne. AIGIS 14,1 3

4 læsemåder må forkastes fordi proportionen ifølge dem kun omfatter tal, eller mere specifikt, kun tal og størrelser der kan repræsenteres ved tal. Opdagelsen af inkommensurabilitet i slutningen af det femte århundrede f. Kr. viste at der findes størrelser som ikke kan repræsenteres ved tal (for eksempel diagonalen i et kvadrat, i det matematiske eksempel i Menon). Denne opdagelse var anledning til at aritmetik og geometri blev adskilt som to forskellige videnskaber med forskellige genstande aritmetik med det diskrete eller tal, geometri med det kontinuerte eller størrelser. Platon kendte udmærket inkommensurabilitets-fænomenet og henviser til det adskillige gange (for eksempel i Theaetetus (147d-148d). I syvende bog af Staten er aritmetik og geometri to klart adskilte discipliner, og i Philebus (23c-27c) har det endelige (peras) og det uendelige (apeiron) det diskrete og det kontinerte som deres væsentligste karakterer. 6 Hvis vi derfor antager at Platon ønsker at finde mellemproportionaler mellem legemer, som er kontinerte størrelser der kun i specielle tilfælde kan repræsenteres ved tal, finder jeg det meget usandsynligt at han begrænser sine proportioner til tal alene. I geometri er der altid en mellemproportional mellem to størrelser, hvadenten de er kommensurable eller inkommensurable. 7 Den anden læsemåde har yderligere to svagheder. For det første er ordet ὡντινωνοῦν ikke forbundet med μέσον, som det naturligste, men med ἀριθμῶν τριῶν. Den anden svaghed er at denne læsemåde synes at implicere at hvilke som helst tre tal som er produkt af to tal (δυνάμεις) eller tre (ὄγκoι), altid kan danne en sammenhængende proportion, men det er simpelthen forkert. Heath (og Cornford, som følger ham, se note 2) mener, for at undgå denne fejlslutning, at δυνάμεις er kvadrattal (x²) og ὄγκoι er kubiktal (x³). Han mener også at det tredje tal (mellemleddet) ikke er et kvadrattal eller kubiktal, men et tal som er et produkt af to eller tre forskellige tal. De mener altså at Platons matematik i dette afsnit i det væsentligste er pythagoræisk. Men i vort afsnit taler Platon om kun én (og ikke to) mellemled mellem to legemer. Det er først senere (32b) at han siger at mellem to legemer behøver vi to mellemled der fungerer som bånd. Desuden gør Heath s og Cornford s oversættelse vold på teksten for at følge 6. Karasmanis, Ifølge denne fortolkning ser det ud til at Platon taler om en proportion der gælder lige godt for tal og størrelser. Er det nu et bevis på at Platon kendte den nye teori om forhold som Eudoxos havde fremsat? Selvfølgelig er dette afsnit meget kort og kompakt, og uden yderligere belæg er det forhastet at nå til denne konklusion. Ikke desto mindre er det ikke usandsynligt. Nogle år senere henviser Aristoteles tydeligt til denne forenede forholdslære (An. Post.74a18). AIGIS 14,1 4

5 denne fortolkning. Ordet ὡντινωνοῦν giver ikke mening i sætningen, og de tre tal falder i to grupper: to af dem er δυνάμεις eller ὄγκoι (i betydningen kvadrattal og kubiktal), og det tredje er ikke. Men teksten tillader ikke en sådan skelnen. Derfor skønner jeg at den tredje læsemåde er den bedste både fra det grammatiske synspunkt og fra det betydningsmæssige. Også Proklos foretrækker denne læsemåde, selvom han identificerer proportionerne mellem tal, dunameis og legemer med henholdsvis den aritmetiske, geometriske og harmoniske proportion og de tilsvarende discipliner aritmetik, geometri og harmonilære. 8 Det næste problem er betydningen af ordet δύναμις. Ifølge Heath (1926, 294 note 1) er den tekniske betydning af ordet kvadrat, og sommetider kvadratrod. Der er to passager hvor Platon bruger dette ord som en teknisk matematisk term. 9 I Theaetetus, 147d-148b, har ordet matematisk betydning og betegner det inkommensurable linjestykke hvis kvadrat i areal er lig med et rektangel. I aritmetiske termer betegner det kvadratroden af et tal som er et produkt af to forskellige tal. 10 I en anden matematisk passage i Timaeus (54b4-5) finder vi igen ordet δύναμις med en teknisk matematisk betydning. Her taler Platon om to elementære trekanter, den ligebenede retvinklede og dén retvinklede som er halvdelen af den ligesidede trekant. I det sidstnævnte tilfælde siger han at den største katete er κατά δύναμιν (i kvadrat) tre gange så stor som den mindste. Faktisk er den mindste katete (C) i denne trekant halvdelen af hypotenusen (A). Ifølge Pythagoras sætning (I.47) er 8. Proclus, In TimaeumCommentaria II (ed. Diehl) 145d.e (Pseudo) Timaeus Locrus taler i sin parafrase af den platoniske dialog i almindelighed om tre led, hvilket er nærmere ved den tredje læsemåde (ed. Marg, in Thesleff, 1965, ). Taylor (1928,99) synes at følge Proklos i at identificere de tre proportioner med de tre mellemproportionaler. Der er imidlertid intet i teksten der anbefaler dette synspunkt. 9. Euklid bruger ikke termen δύναμις, men han bruger dog ordene δυνάμει og δυναμένη. To linjestykker er δυνάμει kommensurable eller inkommensurable, når deres kvadrater er kommensurable eller inkommensurable (Elementerne, X, def. 2). Den δυναμένη side i en retlinet plan figur K er siden i det kvadrat som har samme areal som K (X, def. 4). For Heron (Geometrica, ed. Heiberg, 3.20) er δύναμις arealet af en plan figur som har længde og bredde. Diophant bruger ordet δύναμις om kvadratet på den ubekendte ikke på ethvert tal (se Heath, 1910, 38). Termen findes ikke hos Archimedes, Apollonios eller i Pappos' matematiske bøger. 10. At δύναμις i Theaetetus har betydningen 'kvadratrod', fremgår af Heath 1921, I. 304; McDowel, 1973, 116; Burnyeat, 1978, AIGIS 14,1 5

6 A² = B² + C², og fordi A = 2C, er A² = 4C². Derfor er 4C² = B²+ C², og B² = 3C². Det ser ud til at δύναμις i denne passage betyder kvadrat. Mere generelt kunne vi sige at termen kan bruges om enhver retlinet plan figur, fordi enhver sådan figur kan omdannes til et kvadrat. 11 Endelig tror jeg at ordet δύναμις i den passage vi undersøger, sandsynligvis har betydningen kvadrat ligesom i passagen 54b4-5, og ikke kvadratrod som i Theaetetus. Det er mere plausibelt at det samme ord i to nærtstående passager i den samme dialog har samme betydning og ikke en forskellig. Desuden er det mere plausibelt at antage at Platon, i 31c4-32a2, henviser til en proportion som (foruden om tal) drejer sig om planer flader (kvadrater) og legemer, når han umiddelbart efter (32a7-b3) klart henviser til proportioner som drejer sig om plane flader og legemer. 12 II Lad os vende tilbage til vores første spørgsmål. Hvis Platon har ret i at vi kan have en mellemproportional mellem to planer eller legemer, 13 hvorfor erklærer han så straks at mens én mellemproportional er tilstrækkelig ved plane flader, så behøver vi to når det drejer sig om legemer? En grund kunne være at Platon allerede havde besluttet at universet består af Empedokles fire elementer, og at han prøver at retfærdiggøre dette. En anden grund kunne være det han siger i 32a7-b3. Eftersom vi mellem to planer (to dimensioner) behøver én mellemproportional til at tjene som forbindelse, må vi ved genstande i tre dimensioner behøve yderligere et bånd, altså to mellemproportionaler. Men er det muligt at der også er en anden grund der leder Platon til denne påstand? 11. Dette er en meget elementær sætning, som beror på at finde én mellemproportional mellem to linjestykker. Se Aristoteles, Metaph. 996B Prichard, 1990, , mener at ordet δύναμις ikke har teknisk matematisk betydning. Han oversætter det til 'potens'. 13. Eftersom vi har vedtaget at proportionerne med δυνάμεις og ὄγκoι ikke henviser til kvadrat- eller kubiktal (som Heath vil have det), men til continuerte størrelser i to eller tre dimensioner, så vil der mellem to legemer X³ og Y³ altid eksistere en mellemproportional ( (Χ³Y³). AIGIS 14,1 6

7 Jeg tror at svaret på dette spørgsmål kan komme fra matematiken, og mere specifikt fra problemet med at fordoble terningen. 14 Den antikke tradition knytter dette problem til Platons navn. Theon af Smyrna 15 nævner at Eratosthenes in sin bog Platonicus siger at da guden gennem oraklet forkyndte for folkene på Delos at hvis de ville slippe af men en pest, skulle de konstruere et alter dobbelt så stort som det eksisterende, blev deres håndværkere ramt af stor forvirring. De gik derfor til Platon med problemet, og han svarede at oraklet mente, ikke at guden ønskede et dobbelt så stort alter, men at han ønskede at skamme grækerne ud for deres ligegyldighed over for matematiken og deres foragt for geometri. Plutarch fortæller den samme historie to gange 16 og tilføjer (i sin første beretning) at Platon fortalte delierne at Eudoxos fra Knidos og Elikon fra Kyzikos kunne løse dette problem. Vi kan ikke vide hvor megen lid vi tør sætte til den historie. Men det er sandt at efter at problemet var reduceret til at finde to mellemproportionaler mellem et linjestykke og et dobbelt så stort stykke et resultat som Hippokrates fra Chios stod for, finder vi en stor interesse for dette problem blandt matematikere knyttet til Platon og Akademiet. Eutokios citerer de løsninger som Archytos, Eudoxos og Menaechmos har fundet. 17 I hvert fald viser denne historie at Akademiet på Platons tid var et centrum for matematisk forskning. Jeg finder det plausibelt at Platon selv anså dette problem som meget vigtigt og tilskyndede Akademiets matematikere til at løse det. I dialogen Menon (82b-85c) hjælper Sokrates med sine spørgsmål en ung slave til løse problemet at fordoble 14. Heath (1921, I, 297), som tror at leddene i en proportion er tal og ikke størrelser, mener at der ikke er nogen hentydning til problemet med terningens fordobling i vores pasage. Men Prichard (1990, 189) finder det derimod sandsynligt. 15. Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium, ed. Hiller, Lipsiae 1878, De genio Socratis, 579 b-d; De E apud Delphos, 386e. En fjerde version af denne historie finder vi i Eutokios' kommentar til Archimedes' Om kuglen og cylinderen (Archimedes, ed. Heiberg, III, 88-90), i et brev som Eratothenes skal have sendt til kong Ptolemaeus. Brevet indeholder fortællingen om terningfordoblingens problem, som formodes at begynde i kong Minos' tid. Ifølge forfatteren var Hippokrates fra Chios den første for hvem det lykkedes at reducere dette problem til det at finde to mellemproportionaler mellem et linjestykke og et dobbelt så stort stykke. Senere sendte folkene på Delos, på grund af oraklet, udsendinge til Platons Akademi og bad geometrene løse problemet. Det lykkedes Archytas, Eudoxos og Menaechmos at løse problemet på forskellige måder. 17. Eutocius, (ed Heiberg) iii, 84-86, 56, 78-80; se også Heath, 1921, I, Eutokios henviser også til en løsning af Platons (56-58). Men at tilskrive Platon denne løsning må afvises, ikke blot fordi den ikke er bekræftet af andre kilder, men også fordi den modsiger beretningen om delierne, ifølge hvilken Platon ikke løste problemet, men henviste delierne til matematikerne. AIGIS 14,1 7

8 kvadratet : Siden i det dobbelte kvadrat er diagonalen i det oprindelige, og denne diagonal er mellemproportional mellem siden i det oprindelige kvadrat (A) og den dobbelte (A : X = X : 2A, og X = A 2 ). Problemet med terningens fordobling er udvidelsen af problemet med at fordoble kvadratet, nemlig i tredje dimension, dvs i legemer. Vi har set at det var Hippokrates fra Chios som det lykkedes at reducere problemet med terningens fordobling til det: at finde to mellemproportionaler mellem et linjestykke og et der er dobbelt så langt (A:X = X:Y = Y:2A, hvor X er kanten i den dobbelte terning). 18 Vi ved at Hippokrates boede i Athen, sandsynligvis i de sidste tiår af det femte århundrede f. Kr., 19 og jeg tror at Platon kendte Hippokrates og hans arbejde fordi, som jeg har vist andetsteds 20, geometrenes hypotetiske metode, som han henviser til i Menon (86e4-5), er apagogē (reduktion), en indirekte bevismetode som Hippocrates plejede at anvende. Det er derfor muligt at Platon, som kendte Hippocrates reduktion af det deliske problem, henledte Akademiets matematikeres opmærksomhed på dette problem. Efter Platons mening er verden et legeme, og legemer er altid forbundne, ikke med én, men med to mellemled (32b2-3). Platon siger ikke blot at vi mellem ild og jord behøver to mellemproportionaler, men at forbindelsen af hvilke som helst legemer kræver to mellemproportionaler. Derfor behøver ild og jord to mellemproportionaler, ikke fordi de er ild og jord, men fordi ild og jord (sammen med de to andre elementer) skal bruges til at skabe verden (som er en rumlig ting i tre dimensioner). På den måde skal proportionen være sammenhængende med to mellemproportionaler, altså A:X = X:Y = Y:B. Dette er netop den proportion som Hippocrates reducerede det deliske problem i det tilfælde at B = 2A. Når vi derfor, som i problemet med at fordoble terningen, må finde to mellemproportionaler mellem to størrelser, så mener Platon at vi behøver to mellemproportionaler til at tjene som bånd når legemer skal forbindes. 18. Hvis A:X = X:Y = Y:B, så er X² = AY, Y² = BX og AB = XY. Heraf følger bl.a. at A³:A²X = X³ :X²Y, og derfor overkors A³: X³ = A²X: X²Y = A²: XY = A²:AB = A:B. Hvis B = 2A, er terningen X³ dobbelt så stor som A³. 19. Aristoteles, Eud. Eth. 1247A17-20, og Philoponus i kommentaren til Aristoteles' Physic (ed. Vitellig, ). Van der Waerden mener (1954, 131) at han muligvis ankom til Athen ca. 430 f.kr. 20. Vassilis Karasmanis Απαγωγή: Hippocrates of Chios and Plato s Hypothetical Method in the Meno, in A. Longo (ed) Argument from Hypothesis in Ancient Philosophy, Bibliopolis, Italy AIGIS 14,1 8

9 Altså, siger han, satte Gud vand (W) og luft (A) mellem ild (F) og jord (E) i overenstemmelse med proportionen ovenfor, det vil sige F : A = A : W = W : E (32b5-8). Man kunne indvende at i Hippocrates tilfælde repræsenterer leddene A, X, Y, B linjestykker (én dimension), men i Platons er leddene F, A,W, E legemer (tre dimensioner). Jeg anser ikke denne indvending som noget alvorligt problem, fordi proportionen A:X = X:Y = Y:B medfører proportionen A³:X³ = X³:Y³ = Y³:B³, hvis led er terningerne med kanterne A, X, Y, B. Desuden kan X og Y reduceres til A og B i kraft af proportionen A³: A²B = A²B : AB² = AB²: B³. På denne måde har vi en sammenhængende proportion med to mellemproportionaler ligeså godt mellem legemer som mellem deres sider. Bibliografi Archer-Hind, R. D The Timaeus of Plato, London. Burnyeat, M. F The Philosophical Sense of Theaetetus Mathematics, Isis 69, Cornford, F. M Plato s Cosmology, London, Kegan Paul. Heath, T Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Cambridge U. P. Heath, T A History of Greek Mathematics, Oxford 1921, vol. I. Heath, T Euclid: The Thirteen Books of the Elements, Cambridge U.P., vol. ΙΙ. Jowett, B The Dialogues of Plato, 3rd ed, Oxford. Karasmanis, V Απαγωγή: Hippocrates of Chios and Plato s Hypothetical Method in the Meno, i A. Longo (ed.) Argument from Hypothesis in Ancient Philosophy, Bibliopolis, Italy. Karasmanis, V Continuity and Incommensurability in Ancient Greek Philosophy and Mathematics, in Georgios Anagnostopoulos (ed), Socratic, Platonic and Aristotelian Studies: Essays in Honor of Gerasimos Santas, Springer, Dordrecht. McDowell, John 1973 Plato: Theaetetus, Oxford U. P. Pritchard, P The meaning of Xύναμις at Timaeus 31c Phronesis XXXV. AIGIS 14,1 9

10 Taylor, A. E A Commentary of Pkato s Timaeus, Oxford. Thesleff, H The Pythagorean texts of the Hellenistic period, Åbo Academi. Waerden, B.L.van der, 1954 Science Awaking, Groningen Zeyl, D. J Timaeus i J. M. Cooped (ed.), Plato: Complete works, Hachett, Indianapolis. AIGIS 14,1 10

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

Italien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008

Italien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008 Italien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008 Før besøget Jeg begyndte mine forberedelser til turen med at deltage i fire fem-timers moduler i engelsk, en del

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen

Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Uddrag af (kilde: http://aigis.igl.ku.dk/2005,1/cgtmen.pdf): Platons Menon, Oversat og kommenteret af Chr. Gorm Tortzen Kapitel 16: SOKRATES: Sig mig så dreng, ved du, at et kvadratisk areal ser sådan

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Noter til EUKLID og PLATON om de regulære polyedre

Noter til EUKLID og PLATON om de regulære polyedre Noter til EUKLID og PLATON om de regulære polyedre HENRIK KRAGH SØRENSEN Institut for Videnskabshistorie (IVH) Aarhus Universitet, hkragh@imf.au.dk. juni 001 Resumé Formålet med denne note er at sammenfatte

Læs mere

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen

Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Indledning Denne lille bog (eller fragment af en bog, kaldet Lille alfa ) er en selvstændig introduktionsforelæsning til fysikken, dvs. det

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet er. Den kan være rund eller kantet eller ensfarvet eller prikket, det er ikke essentielt. Det essentielle er derimod det centrale uforanderlige, det som enten er eller ikke er. Koppen, der går i stykker,

Læs mere

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Projekt 7.5 Inkommensurable størrelser i græsk matematik og filosofi

Projekt 7.5 Inkommensurable størrelser i græsk matematik og filosofi Projekt 7.5 Inkommensurable størrelser i græsk matematik og filosofi I den græske filosof Platons værk Menon beskriver han en dialog mellem Sokrates og adelsmanden Menon, og hvor Sokrates på et tidspunkt

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Aristoteles og de athenske akademier

Aristoteles og de athenske akademier lige geometriske genstande, som var evige og foranderlige størrelser i en abstrakt verden. Erkendelse var således ikke erkendelse af sansernes verden, men af en anden verden, kun tilgængelig for ånden.

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering.

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering. Fag: Matematik Hold: 27 Lærer: Jesper Svejstrup Pedersen Undervisnings-mål 9 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 32-37 i arbejdet med geometri at benytte

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.

Matematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

Mundtlig prøve i Matematik

Mundtlig prøve i Matematik Mundtlig prøve i Matematik Tirsdag d. 9. september 2014 CFU Sjælland Mikael Scheby NTS-Center Øst Dagens indhold Prøvebekendtgørelse highlights Vekselvirkning mellem formalia, oplæg og arbejde med eksempler

Læs mere

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning

Talteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning 1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer

REELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer LÆRERVEJLEDNING REELLE TAL Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Danskerne og ketchup Medieforbrug Decimaltal, brøker og procent og 2 Procentregning

Læs mere

FORBRUGERPANELET JUNI 2010. Forbrugerpanelet om brug af anprisninger på fødevareprodukter

FORBRUGERPANELET JUNI 2010. Forbrugerpanelet om brug af anprisninger på fødevareprodukter Forbrugerpanelet om brug af anprisninger på fødevareprodukter Forbrugerrådet har lavet en undersøgelse af forbrugernes viden om, og holdninger til, fødevareanprisninger, dvs. udsagn, som fremhæver en fødevares

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

GUDSBEGREBET.I.ISLAM

GUDSBEGREBET.I.ISLAM GUDSBEGREBET.I.ISLAM I Allahs Navn, den Nådige, den Barmhjertige. Det er et kendt faktum, at ethvert sprog har et eller flere udtryk, som bruges i forbindelse med Gud og undertiden i forbindelse med mindre

Læs mere

Fra digtning til dialektik. Om poesi og filosofi i Platons Staten 1

Fra digtning til dialektik. Om poesi og filosofi i Platons Staten 1 Fra digtning til dialektik. Om poesi og filosofi i Platons Staten 1 af Rasmus Sevelsted Platon er kendt som en af historiens mest ihærdige kritikere af digtningen i almindelighed og tragedien i særdeleshed.

Læs mere

Påske. Påsketest. Vidste du det om påsken? Hvad ved du om Jesus og påsken? ... ... ... ...

Påske. Påsketest. Vidste du det om påsken? Hvad ved du om Jesus og påsken? ... ... ... ... Påske Hvad ved du om Jesus og påsken? Påsketest Hvad plejer du at gøre til påske, nu eller da du var yngre? At få påskeæg med slik At være på skiferie At lave påskekyllinger med fjer At udsmykke æg At

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Descartes broen mellem geometri og algebra

Descartes broen mellem geometri og algebra Descartes broen mellem geometri og algebra Kristian Danielsen og Emilie Gertz, eksterne lektorer, Center for Videnskabsstudier, Aarhus Universitet Introduktion De fleste, selv elever der begynder i 1.g,

Læs mere

Replique, 5. årgang 2015. Redaktion: Rasmus Pedersen (ansvh.), Anders Orris, Christian E. Skov, Mikael Brorson.

Replique, 5. årgang 2015. Redaktion: Rasmus Pedersen (ansvh.), Anders Orris, Christian E. Skov, Mikael Brorson. Replique, 5. årgang 2015 Redaktion: Rasmus Pedersen (ansvh.), Anders Orris, Christian E. Skov, Mikael Brorson. Tidsskriftet Replique udkommer hver måned med undtagelse af januar og august. Skriftet er

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Videnskabslogik - Semmelweis Noter af Mogens Lilleør, 1998

Videnskabslogik - Semmelweis Noter af Mogens Lilleør, 1998 A Videnskabslogik - Semmelweis Noter af Mogens Lilleør, 1998 Semmelweis er læge. Wiensk hospital i 1840'erne. Unormal forekomst af barselsfeber. Semmelweis foretager en række undersøgelser af mulige årsager

Læs mere

Usædvanlige opgaver Lærervejledning

Usædvanlige opgaver Lærervejledning Mette Hjelmborg Usædvanlige opgaver Lærervejledning Gyldendal Usædvanlige opgaver, lærervejledning af Mette Hjelmborg 008 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Stine Kock,

Læs mere

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Mundtlig prøve i Matematik

Mundtlig prøve i Matematik Mundtlig prøve i Matematik Mandag d. 9. september 2013 CFU Sjælland Mikael Scheby Dagens indhold Velkomst, præsentation, formål med dagen Vekselvirkning mellem formalia, oplæg og arbejde med eksempler

Læs mere

De fire beviser for sjælens udødelighed. i Platons Faidon

De fire beviser for sjælens udødelighed. i Platons Faidon De fire beviser for sjælens udødelighed i Platons Faidon Af: Anders Binggeli-Winter Årskortnr.: 19990311 Afleveringsdato: 2. juni 2003 Eksaminator: Erik Ostenfeld Indholdsfortegnelse: Indledning:...3 Dialogformen:...3

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

- et matematisk symbol

- et matematisk symbol 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang tid til en fødselsdag eller til juleaften. Man kan også synes, at Brian eller Conny er uendeligt dum, eller man kan snakke om, at verdensrummet

Læs mere

INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan?

INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan? Indhold INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan? 14 INDFØRING Filosofi 16 Filosofi spørgsmål og svar

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Hvad er matematik? Indskolingskursus

Hvad er matematik? Indskolingskursus Hvad er matematik? Indskolingskursus Vordingborg 25. 29. april 2016 Matematikbog i 50 erne En bonde sælger en sæk kartofler for 40 kr. Fremstillingsomkostningerne er 4/5 af salgsindtægterne. Hvor stor

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning

Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Indhold Formalia, opsætning og indhold... Faser i opgaveskrivningen... Første fase: Idéfasen... Anden fase: Indsamlingsfasen... Tredje fase: Læse- og bearbejdningsfasen...

Læs mere

Evangeliet er læst fra kortrappen: Luk 10,23-37

Evangeliet er læst fra kortrappen: Luk 10,23-37 1 13. søndag efter trinitatis I. Sct. Pauls kirke 30. august 2015 kl. 10.00. Salmer: 298/434/208/164//365/439/192/613 Åbningshilsen Den sidste søndag i august, sensommerens næstsidste dag, første søndag

Læs mere

JESUS ACADEMY TEMA: GUDS FULDE RUSTNING

JESUS ACADEMY TEMA: GUDS FULDE RUSTNING Tro på Gud Det første punkt i troens grundvold er Omvendelse fra døde gerninger, og dernæst kommer Tro på Gud.! Det kan måske virke lidt underlig at tro på Gud kommer som nr. 2, men det er fordi man i

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Medfølende brevskrivning Noter til terapeuten

Medfølende brevskrivning Noter til terapeuten Medfølende brevskrivning Noter til terapeuten Idéen bag medfølende brevskrivning er at hjælpe depressive mennesker med at engagere sig i deres problemer på en empatisk og omsorgsfuld måde. Vi ønsker at

Læs mere

Kompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019

Kompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019 Kompetencetræning #2 også til prøven 31. Januar 2019 Bordet rundt Har I prøvet noget af? Var der nogle forhindringer i at prøve noget af? Hvis du har prøvet noget af hvor var udfordringerne så for dig

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015

Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Hvem sagde variabelkontrol?

Hvem sagde variabelkontrol? 73 Hvem sagde variabelkontrol? Peter Limkilde, Odsherreds Gymnasium Kommentar til Niels Bonderup Doh n: Naturfagsmaraton: et (interesseskabende?) forløb i natur/ teknik MONA, 2014(2) Indledning Jeg læste

Læs mere

Prædiketeksten er læst fra kortrappen: Luk 10,23-37

Prædiketeksten er læst fra kortrappen: Luk 10,23-37 1 13. søndag efter trinitatis I. Sct. Pauls kirke 25. august 2013 kl. 10.00. Salmer: 674/639/492,v.6/164//365/439/367/298 Uddelingssalme: se ovenfor: 367 Åbningshilsen Denne søndag er medmenneskets dag.

Læs mere

Kommentarer til matematik B-projektet 2015

Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Matematikken i antikken

Matematikken i antikken Matematikken i antikken Pythagoras (ca. 570 to ca. 490 f.kr.) da de i tallene syntes at se mange ligheder til ting, som eksisterer og kommer til at eksistere, mere end i ild og jord og vand; da de igen

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Kan vi fortælle andre om kernen og masken?

Kan vi fortælle andre om kernen og masken? Kan vi fortælle andre om kernen og masken? Det kan vi sagtens. Mange mennesker kan umiddelbart bruge den skelnen og den klarhed, der ligger i Specular-metoden og i Speculars begreber, lyder erfaringen

Læs mere

Øvelse 1. bygges op, modellen

Øvelse 1. bygges op, modellen Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere naturvidenskaberne, og han søgte hele sit liv at finde de fysiske love,

Læs mere

Der er elementer i de nyateistiske aktiviteter, som man kan være taknemmelig for. Det gælder dog ikke retorikken. Må-

Der er elementer i de nyateistiske aktiviteter, som man kan være taknemmelig for. Det gælder dog ikke retorikken. Må- Introduktion Fra 2004 og nogle år frem udkom der flere bøger på engelsk, skrevet af ateister, som omhandlede Gud, religion og kristendom. Tilgangen var usædvanlig kritisk over for gudstro og kristendom.

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Foredrag af Bruno Gröning, München, 29. september 1950

Foredrag af Bruno Gröning, München, 29. september 1950 Henvisning: Dette er en afskrift af det stenografisk optagne foredrag af Bruno Gröning, som han har holdt den 29. september 1950 hos heilpraktiker Eugen Enderlin i München. Foredrag af Bruno Gröning, München,

Læs mere

teentro Oversigt over temaer 1. Lær hinanden at kende 2. En Gud derude 3. Gud hernede 4. Hvorfor kom Jesus? frikirkelig konfirmation

teentro Oversigt over temaer 1. Lær hinanden at kende 2. En Gud derude 3. Gud hernede 4. Hvorfor kom Jesus? frikirkelig konfirmation teentro frikirkelig konfirmation Oversigt over temaer 1. Lær hinanden at kende Målet med denne samling er at have det sjovt og lære hinanden at kende. For at både du og teenagerne skal få mest muligt ud

Læs mere

Matematisk opmærksomhed

Matematisk opmærksomhed 2 Matematisk opmærksomhed Matematik i børnehøjde 2 Kursus Roskilde 2015 Matematisk opmærksomhed er barnets evne til at se, indse og handle hensigtsmæssigt med den matematik der omgiver dem. 1 3 4 Forenklede

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Natur/teknologi i 6 klasse affald og affaldshåndtering, rumfang, målestok og matematik

Natur/teknologi i 6 klasse affald og affaldshåndtering, rumfang, målestok og matematik Natur/teknologi i 6 klasse affald og affaldshåndtering, rumfang, målestok og matematik Dette er en beskrivelse af et samspil mellem fagene Natur/Teknologi og matematik i to 6. klasser på Tingkærskolen

Læs mere

Julesøndag I. Sct. Pauls kirke 30. december 2012 kl. 10.00. Salmer: 123/434/132/127//8/439/112/96 Uddelingssalme: se ovenfor: 112

Julesøndag I. Sct. Pauls kirke 30. december 2012 kl. 10.00. Salmer: 123/434/132/127//8/439/112/96 Uddelingssalme: se ovenfor: 112 1 Julesøndag I. Sct. Pauls kirke 30. december 2012 kl. 10.00. Salmer: 123/434/132/127//8/439/112/96 Uddelingssalme: se ovenfor: 112 Åbningshilsen Vi fejrer jul. Vi er i Julen. Vi fester. Igen. Jul betyder

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

1. søndag efter trinitatis 7. juni 2015

1. søndag efter trinitatis 7. juni 2015 Kl. 9.00 Kl. 10.00 Ravsted Kirke Burkal Kirke (kirkekaffe) Tema: Barmhjertighed Salmer: 745, 696; 692, 372 722, 494, 685; 614, 671 Evangelium: Luk. 16,19-31 Gudsfrygt belønnes, og ugudelighed får sin straf.

Læs mere

Projekt 10.10 Archimedes skrift Sandtælleren

Projekt 10.10 Archimedes skrift Sandtælleren Projekt 00 Archimedes skrift Sandtælleren Der er nogle, Kong Gelon, der tror, at sandet er uendeligt i sin mangfoldighed; og med sandet mener jeg ikke blot det, der findes omkring Syrakus og i resten af

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Alle religioner har beretninger om verdens skabelse og udvikling, der er meget forskellige og udsprunget af spekulation. Her fortælles om nogle få videnskabelige

Læs mere