På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
|
|
- Nicklas Henningsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved at afsløre flere og flere detaljer, efterhånden som man zoomer ind på den. Til sammenligning kan man tænke på en kystlinje, der på et kort gengives i større og større målestok eller man kan sammenligne det med, at man i Google Earth zoomer ind på mindre og mindre detaljer. Til grund for en fraktal ligger en ligning. Figuren afbilder grafisk ligningens løsninger i et koordinatsystem på samme måde som eksempelvis en parabel beskriver løsningerne på ligningen y = ax 2. Når vi taler om fraktaler, handler det imidlertid om såkaldte rekursive ligninger, dvs. ligninger der kan gennemregnes mange gange, idet løsningen hver gang indgår som led i den næste gennemregning af ligningen. Særlig berømt er Mandelbrot-fraktalen, der er opdaget og opkaldt efter den polskfødte matematiker Benoit Mandelbrot, og det skyldes ikke mindst, at dens detaljer udmærker sig ved en nærmest overvældende mangfoldighed og skønhed. I sin enkleste form ser ligningen for Mandelbrot-fraktalen sådan ud: z n+1 = z n 2 + c Her er c en konstant, mens z er den variable, der stadig ændrer værdi, idet det, der her kaldes z n, i næste gennemregning ombyttes med z n+1. Lad os prøve at regne et simpelt eksempel igennem, idet vi giver z begyndelsesværdien 0 og sætte c lig med 1. De første fem gennemregninger eller iterationer, som det hedder med et fint ord (af latin itera, gentage), ser da sådan ud: = = = = = 677 Her vokser rækken hurtigt mod uendeligt. Det særlige ved Mandelbrot-fraktalen er imidlertid, at c er et komplekst tal, dvs. et tal, der består af en reel og en imaginær del, og dermed sker der noget helt andet. Jeg vil ikke her gå nærmere ind på de komplekse og de imaginære tals matematik, og jeg vil heller ikke gå mere i detaljer med selve Mandelbrot-ligningen. Det kan man læse om mange andre steder på internettet, men man skal dog være forberedt på, at det ikke er for nybegyndere i matematikken. Her skal blot nævnes, at fordi c er et komplekst tal, vil z aldrig overskride en bestemt værdi, og man gør nu det, at man afbilder løsningerne i et almindeligt 2-dimensionalt koordinatsystem, idet den reelle del svarer til x-dimensionen, mens den imaginære del svarer til y-dimensionen. Dermed fremkommer en lukket kurve, hvor punkterne inden for kurven er løsninger, mens punkterne uden for kurven ikke er det. Ved første gennemregning eller iteration er kurven en ganske almindelig cirkel, ved anden iteration fremkommer en ellipse, ved tredje iteration får kurven form som en pære, og i de følgende iterationer bliver pæren mere og mere rynket, men også mere og mere detaljeret. De følgende billeder viser de første 8 iterationer. Alle billeder er holdt i samme målestok, og derfor er det kun et udsnit af den indledende cirkel, der er med på billedet. Desuden er alt uden for kurven farvet sort, mens alt inden for kurven er hvidt. Alle billeder er kopier fra mit eget Mandelbrot-program:
2 Figur 1 Det næste billede viser i større format, hvordan Mandelbrot-fraktalen ser ud efter 40 iterationer: Figur 2 Nu zoomer vi ind på den detalje, der er markeret med en rød firkant og en pil, dvs. vi forstørrer dette udsnit, så det fylder hele billedfeltet ud. Dermed kommer en mængde detaljer frem, som ikke var synlige i det oprindelige billede (se figur 3 på næste side)..
3 Figur 3 Sådan kan man blive ved med at zoome ind så mange gange det skal være. I praksis kommer man dog til en grænse, hvor programmet ikke længere kan følge med, fordi beregningerne efterhånden foregår langt ude i decimalerne, og programmet kan kun håndtere 16 decimaler. En anden karakteristisk ting ved Mandelbrot-fraktalen er, at den oprindelige figur gentager sig i det små. Den knop i figur 2, der er forstørret i figur 3, er tydeligvis en varieret miniudgave af hele fraktalen, og som man kan se på det nye billede, skyder knoppen selv endnu mindre knopper. Det kaldes selvsimilaritet. Her har vi foreløbig kun brugt farverne sort og hvid. Men i programmet kan man også vælge en farvepalet eller gråtonepalet, så hver iteration tegnes med en ny farve eller gråtone. Det ser vi et par eksempler på her sammenlign de forskellige nuancer med serien i figur 1: Figur 4
4 Sådan bruger du programmet: I figur 5 Ser du programmets brugerflade. Tegneprocessen styres og aktiveres fra kolonnen til venstre, figuren tegnes i det store felt i midten, og i kolonnen til højre kan du aflæse billedets koordinater samt koordinaterne for zoom-feltet, altså det udsnit af billedet du vælger at zoome ind på. Figur 5 Det er egentlig ikke nødvendigt at sige ret meget om programmet, for til venstre og højre for billedfeltet kan du læse, hvordan programmet fungerer, og yderligere vejledning finder du, når du klikker på de grønne knapper til venstre. Derfor følger her blot nogle supplerende bemærkninger. Læg mærke til, at tegneprocessen kan aktiveres på tre forskellige måder: 1. Den røde knap bruges, når man vil gentegne en figur, der allerede står i billedfeltet, event. med en anden farvepalet eller iteration og bemærk aten iteration i programmet kaldes et gennemløb!. Knappen bruges også, når man lige har åbnet programmet og skal tegne selve grundfiguren. 2. Den pink knap bruges, når man vil zoome ind på en detalje, dvs. når man vil tegne det udsnit af figuren, der ligger inden for zoom-feltet 3. Den blå knap bruges, når man vil se en detalje, man har valgt ved at klikke på et punkt på oversigtskortet nederst til højre. Hvis du vælger den sidste mulighed, er zoom-faktoren (forstørrelsen) fastlåst til 15 X; men du kan så zoome videre ved at flytte zoom-feltet hen over den del af figuren, du vil forstørre yderligere (se anvisningen i højre kolonne), hvorefter du klikker på den pinkfarvede knap. Du skal være opmærksom på, at skærmens opløsning sætter en grænse for, hvor mange gennemløb (altså iterationer) du kan bruge for en given forstørrelse; det betyder i praksis, at du ikke får flere detaljer med, selvom du vælger flere gennemløb. Men i takt med at du zoomer ind på mindre og mindre detaljer, kan du hæve antallet af gennemløb, ja så er det faktisk nødvendigt for at se detaljerne.
5 Her følger nu en anvisning på en rejse ind i den del af Mandelbrot-fraktalen, der er kendt som søhestedalen fordi der på et tidspunkt fremkommer nogle detaljer, der minder om søhestens snoede hale. Hvis du allerede har åbnet programmet og har flyttet zoom-feltet eller ændret på dets størrelse, er det nemmest at genstarte programmet, så du har de rigtige indstillinger ved rejsens begyndelse. 1. Begynd med at klikke på den grønne knap, hvor der står Brugen af farvepaletten. Her vælger du knappen alle gennemløb hvide, baggrund sort. Det er den samme indstilling, der er valgt til fig.1-3. Du behøver ikke at lukke farvepaletten igen, for den lukkes automatisk, når du tegneprocessen begynder. 2. Nu sætter du antallet af gennemløb til 40, hvorefter du klikker på den røde knap. Derved får du tegnet selve grundfiguren. Resultat kan du se på det første af de efterfølgende billeder. Koordinaterne samt billedets sidelængde (de data, der fremkommer i tekstboksene for oven i højre kolonne) står angivet neden under. 3. Nu sætter du antallet af gennemløb til 140 for at få flere detaljer med, og derefter klikker du på den pinkfarvede knap, hvorved du får tegnet det udsnit, der ligger inden for zoom-feltet. Zoomfeltet er i det første billede vist som et gult kvadrat. Du skulle nu gerne se figuren i næste billede, fig.6b. Bemærk at alle de små knopper er kopier af den oprindelige figur det er det, der kaldes selvsimilaritet. x = -2; y =1,5; side = 3; zoom = 1, x = -0, ; y = 0, gennemløb side = 0,2; zoom = 15; 140 gennemløb Figur 6a Figur 6b 4. På næste trin handler det om at zoome ind på udsnittet i det røde kvadrat. Nu bliver det nødvendigt at flytte zoom-feltet. Dertil skal du bruge piletasterne, event. sammen med CTRL (så flytter feltet sig hurtigere). Herunder skal du holde øje med tallene i rammen Zoomfeltet i højre kolonne. Brug først højre piletaste indtil x = -0, og dernæst NED-pilen indtil y = 0, Måske kan du ikke ramme de koordinater, jeg her har angivet, helt præcist (det kan være afhængigt af din skærms opløsning), men så må du prøve at komme så tæt som muligt. Størrelsen lader vi foreløbig blive, hvor den er, og det samme gælder antal gennemløb. Klik så på den pinkfarvede knap. Nu ser du figuren i næste billede, fig.6c. Bemærk søhestene med de snoede haler. Matematisk set handler det om logaritmiske spiraler (se min artikel om dette fascinerende emne og det tilhørende program LOGSPIR).
6 x = 0, ; y = 0, x = -0, ; y = 0, side = 0, ; 140 gennemløb zoom = 225,00 zoom = 2093,52 Figur 6c side = 0, , 140 gennemløb Figur 6d 5. På næste trin flytter du zoomfeltet ned til den søhestehale, der er indrammet af det røde kvadrat. x- og y-koordinaterne skal nu svarer til de tal der står under fig.6d. Her bliver det også nødvendigt at ændre zoomfeltets størrelse, dvs. sidelængden. Dertil bruges + og tasterne. I dette tilfælde skal der i tekstboksen side stå 0, (eller så tæt derpå som muligt). Når du nu klikker på den pinkfarvede knap, får du dannet figur 6d.. 6. Nu skal du zoome ind på den detalje, der er indrammet for oven til venstre. Brug de koordinater og den sidelængde, der er angivet i næste figur: - x = -0, ; y = 0, side = 0, ; 140 gennemløb zoom = 28275,31 Figur 6e som foregående, men nu 300 gennemløb Figur 6f 7. Indtil nu har antallet af gennemløb været 140; men der vil komme mange flere detaler med, hvis du nu sætter dette tal op til 300. Denne gang skal du altså ikke bruge zoom-funktionen, men du skal blot gentegne figuren, dvs. du skal klikke på den røde knap. Nu ser udsnittet ud som i fig.6f.
7 8. I centrum af sidste figur er der en ny kopi af den oprindelige figur. Den skal du nu zoome ind på, idet du bruger de koordinater og den sidelængde, der en angivet under fig.6g. Brug igen 300 gennemløb. Husk denne gang at klikke på den pinkfarvede knap. x = -0, ; y = 0, siden = 0, ; 300 gennemløb zoom = ,21 Figur 6g som foregående, men nu 500 gennemløb Figur 6h 9. Ved 300 gennemløb får vi dog kun en relativ grov tegning af Mandelbrot-kopien. Men prøv så at hæve antallet af gennemløb til 500 og gentegn figuren (rød knap). Resultatet ser du i fig.6h.. Nu kan du eventuelt selv zoome videre ind på nye detaljer. I det sidste billede nåede vi op på en forstørrelse på ,21 gange, men programmet kan sagtens klare en forstørrelse på adskillige milliarder. På min skærm er figuren ca. 22 cm. på hvert led. Det vil sige, at den oprindelige figur ved 1 milliard ganges forstørrelse er km. på hvert led altså ca. 2/3 af afstanden til Månen! Men som allerede nævnt tager tegneprocessen længere og længere tid i takt med at man zoomer ind på mindre og mindre detaljer og hæver antallet af gennemløb. En supplerende bemærkning om farvepaletten Når farvepaletten eksempelvis er sammensat af 10 forskellige farver, betyder det, at disse 10 farver gentages i et kredsløb. Hvis den første farve er rød og den sidste farve er blå, så vil gennemløb nr.1 blive vist som rød og gennemløb nr.10 vil blive vist som blå. Derefter starter den samme rækkefølge igen: Nr.11 er rød og nr.20 er blå nr.21 er rød og nr.30 er blå nr.31 er rød og nr.40 er blå osv.osv. Det er langt fra sikkert, at billedet bliver bedre, fordi man vælger mange farver. I det næste billede, der er identisk med figur 6c, er der blot valgt to blå nuancer og baggrundsfarven er sort. Dermed træder nogle detaljer frem, som slet ikke var synlige før. Det er som om billedet har fået dybde, og fokus flyttes nu fra søhestehalerne til de snoede søjler, der spalter sig ud i flere og flere ligeledes snoede søjler, altimens de forsvinder ned i dybet. (se fig.7 på næste side)
8 Figur 7 En supplerende bemærkning om gemme / indsæt-funktionen Når du bruger gemme-funktionen (knappen nederst til højre på skærmen), gemmes koordinaterne, sidelængden og antallet af gennemløb (men ikke farvepaletten) på din harddisk. De får automatisk extension.man, der naturligvis står for Mandelbrot. Kalder du f.eks. billedet figur 5, gemmes billedet som en fil med navnet figur 5.man. Læg nøje mærke til, hvilken mappe, filen gemmes i, så du kan finde den igen. Bedst vil det være, hvis du selv opretter en ny mappe, der f.eks. kan hedde Mine Mandelbrotfigurer. Du vil så senere kunne finde denne fil igen ved hjælp af indsæt-funktionen (knappen ved siden af). Når du har fundet filen og klikker på OK, vil koordinaterne, sidelængden og antallet af gennemløb blive overført til programmet, og når du klikker på den røde knap, går tegneprocessen i gang. Vær opmærksom på, at figuren nu tegnes med den aktuelle farvepalet men den kan du jo altid ændre, lige som du også kan ændre antallet af gennemløb. En supplerende bemærkning om skærmopløsningen Programmet er skrevet, så det passer til skærmopløsningen 1024 x 768. Du bør skifte til denne indstilling for at få det optimale udbytte af programmet. Det gøres sådan: Klik på start og derefter på kontrolpanel. Her finder du ikonen skærm ; dobbeltklik på den og vælg menuen Indstillinger. Her sætter du skærmopløsningen 1024 x 768. Husk at flytte indstillingen tilbage til din egen standard, når du er færdig med at bruge programmet. Det tager kun ½ minut..
Opgaver om koordinater
Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater
Læs mereBilledbehandling med GIMP
Den sidste ting der er plads til her er: Skaler. For at få de 2 lag til at passe sammen er det nødvendigt at skalere dem. Vælg enten billede->skaler billede eller lag->skaler lag. Og indstil antallet af
Læs mereBrug Photo Story 3 en let introduktion
Brug Photo Story 3 en let introduktion Denne vejledning forudsætter at programmet Photo Story 3 er installeret på din computer. Se andetsteds for vejledning i at installere programmet, der kan findes gratis
Læs mereVELKOMMEN TIL PHOTO STORY FOR WINDOWS
VELKOMMEN TIL PHOTO STORY FOR WINDOWS Jens Honoré 2005 Photo Story er et program, du kan bruge til at lave en billedfortælling med. Du kan: Indsætte billeder Ændre billedernes farver Tilføje effekter til
Læs mereFormler og diagrammer i OpenOffice Calc
Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereManual til overføring af fotografier fra kamera til harddisk.
Manual til overføring af fotografier fra kamera til harddisk. Det første man skal gøre sig klart er, hvor man som udgangspunkt vil lægge sine fotografier. Især når man er mange, der bruger den samme computer,
Læs mereRegneark II Calc Open Office
Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage
Læs mereSøren Christiansen 22.12.09
1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft
Læs mereI NV4000 Som broderimaskine.
Hvis du kun ønsker at sætte et broderi på. Sådan påbegynder du et broderi: 1. Løft nålen ved at aktivere knappen på maskinen (billede nr. 1). 2. Tryk på knappen for at skifte til anden trykfod (billede
Læs mereFormler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP
Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereMicrosoft Word 2003 - fremgangsmåde til Firma skovtur
side 1 af 7 Åbn Word 2003 Skriv derefter teksten - ud i en køre - Kære kolleger Så er det atter tid for madpakker, drikkedunke og lommelærker. Den årlige Firma skovtur går i år til Lunden ved Vejle Lørdag
Læs mereRedigering af Billeder i Picasa. Enkle forbedringer og justeringer.
Redigering af Billeder i Picasa. Enkle forbedringer og justeringer. Der er ikke mange billeder, der er perfekte fra starten. Du kan gøre billeder bedre ved hjælp af de værktøjer som vises, når du åbner
Læs mereManual og Hjælp Skoletasken 2
Manual og Hjælp Skoletasken 2 I Skoletasken 2 - Hjælp Indhold I Introduktion 1 Velkomst 2... 2 2 Systemkrav... 2 3 Installation... 3 4 Skoletasken... 8 II Opsætning 10 1 Systemopsætning... 10 2 Bogopsætning...
Læs mereIndstillinger af skærm, skrivebord og papirkurv
Skærmens format og opløsning Skærmens opløsning angives i pixels (små kvadrater). Den valgte opløsningen skal helst passe med skærmens format, dvs. forholdet mellem længde og bredde, ellers bliver billederne
Læs mereIndholdsfortegnelse. Indholdsfortegnelse.. side 2. Adgang til webgraf 3. Opslag adresse... 4. Styring af layout.. 5. Zoom funktioner..
Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse.. side 2 Adgang til webgraf 3 Opslag adresse... 4 Styring af layout.. 5 Zoom funktioner.. 6 Panorere på skærmen. 7 Information om grafikken.... 8-10 Print et udsnit.....
Læs mereTastevejledning Windows XP
Tastevejledning Windows XP Tastevejledningen dækker den danske udgave af Windows XP. Der er taget udgangspunkt i en standard installation, hvor der ikke er foretaget tilpasninger i skærmopsætning, valg
Læs mereVejledning til at lave almindelige bordkort i Draw Side 1
Side 1 Når du åbner skabelonen til alm. bordkort ser du en side med 10 bordkort. For at få de stiplede linjer frem skal du evt. lige klikke i linealen foroven eller i siden. De stiplede linjer er for at
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereVejledning til Photofiltre nr. 118 Side 1
Side 1 I stedet for blot at sende en mail med kun hvid baggrund, kan man pynte mail'en lidt op - f.eks. ved at indsætte en personlig billedcollage med tekst i toppen af mail'en inden man begynder at skrive.
Læs mereAdobe Elements Lektion 2
Adobe Elements Lektion 2 Så er det igen tid til at lege lidt med billeder. Jeg går ud fra, at du nu har fået opsat Elements efter de anvisninger du fik i sidste lektion. Start Elements op Gå ind i Edit
Læs mereGoogle Chrome side 1 af13
Google Chrome side 1 af13 Indholdsfortegnelse: Download Google Chrome... Side 2 Overblik... Side 3 Angiv startside... Side 7 Søg direkte i adresselinjen... Side 8 Bogmærker sider... Side 8 Bogmærkeadministratoren...
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereModelbanestyring med PC Indholdsfortegnelse
Modelbanestyring med PC Indholdsfortegnelse Modelbanestyring med PC... 1 Anvend Paint til tegning af skinnesymboler... 1 Start af Paint... 1 Ny tegning i Paint... 1 Tegn et sporskifte... 2 Valg af farve...
Læs mereSmuk matematik eller hvorfor vejrudsigten aldrig passer?
Smuk matematik eller hvorfor vejrudsigten aldrig passer? Indhold 1. Vejrudsigter 2. Solsystemet 3. Lemminger 4. Fraktaler Overordnet handler det hele om kaos. Vejrudsigter Matematikken der beskriver vejret
Læs mereSMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale
SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller
Læs mereVejledning til brug af MiljøGIS ved ansøgning om privat skovtilskud.
NOTAT Tilskud J.nr. NST-3379-00005 Ref. JOSEI/TRDIP Den 14. april 2016 Vejledning til brug af MiljøGIS ved ansøgning om privat skovtilskud. Denne vejledning beskriver, hvordan der kan tegnes kort til brug
Læs mereDet sprogpædagogiske kørekort 2012/2013. Modul 9: Rettelse af kursistopgaver (Del 1)
Det sprogpædagogiske kørekort 2012/2013 Modul 9: Rettelse af kursistopgaver (Del 1) Christoph Schepers Indhold I Ret opgaver i Word Markér fejl i farver (nemt og hurtigt).. Brug Words egne retteværktøjer:
Læs mereKom godt i gang med OneDrive
Kom godt i gang med OneDrive Office365 er en mulighed for lærere og elever at bruge en office-pakke på egne enheder - man kan downloade det til brug på pc - mac - tablets og smartphones, i alt op til 5
Læs mereBrug af de danske koordinatsystemer
Brug af de danske koordinatsystemer i Microstation V8i Indhold Indledning... 1 VIGTIGT OMKRING LÆNGDE/BREDDEGRAD... 2 EKSPORTERE DGN FIL TIL GOOGLE EARTH... 2 AFLÆSE KOORDINATER I GOOGLE EARTH... 2 GOOGLE
Læs merePeriodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum
Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet
Læs mereIntroduktion. Som eksempel er her vist det sted, hvor Seniorhus Odense vil få sit fremtidige værested. Som kort. Via satellitbillede.
Indhold Indhold...1 Introduktion...2 Start Google maps...3 Find et sted...4 Brug af kortet...4 Korttyper...4 Forskydning af kortene...5 Knappen Mere...5 Brug af oversigtskortet...6 Angiv fast stedsangivelse...6
Læs mereRedigering i Windows Movie Maker
Redigering i Windows Movie Maker Fotografen har oprettet en mappe på skrivebordet som hedder ledelses udvikling. I den nyoprettede mappe har han placeret den videofil som du skal arbejde med. Nu skal du
Læs mereTastevejledning Entré MalerKalk
I det følgende kan du se hvordan du anvender kalkulationsprogrammet Entré MalerKalk fra Danske Malermestre. Indholdsfortegnelse: 1. Genvejstaster: 2. Prislisteforståelse og diverse tillæg: 3. Kom i gang
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereQUICKGUIDE TIL XMEDIA
QUICKGUIDE TIL XMEDIA 1 UPLOAD DINE EGNE BILLEDER TIL "MINE MAPPER" 2 ARBEJD MED EN SKABELON 3 OPRETTELSE AF PDF 4 ÅBN OG ARBEJD VIDERE MED EN SKABELON 1 OPLOAD DINE EGNE BILLEDER TIL MINE MAPPER Opret
Læs mereVelkommen til dag 9 i IT for let øvede
Velkommen til dag 9 i IT for let øvede Spørgsmål til dag 10 send venligst ønsker på mail inden torsdag til Peter og Per Gennemgående opgave og Excel v/peter Lidt Internet tips Filer og mapper Øvelse med
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mereWindows XP. Tilpasning af computeren
Side 1 af 12 Windows XP Tilpasning af computeren Indhold Indhold...1 Indledning...2 Mus...2 Venstrehåndet...2 Dobbeltklikke...2 Musemarkøren...3 Musens følsomhed...3 Scrollehjul...4 Indstilling af Skærm...4
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereBilledbeskæring & Irfan View
Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...1 Hvordan redigerer jeg billeder?...2 Installation af Irfan View...2 Opsætning af Irfan View...5 Gem med en fornuftig billedtype...5 Irfanview på dansk...6 Brug
Læs mereVelkommen til IT for let øvede
Velkommen til IT for let øvede Kursus er hjælp til selvhjælp og I får mest ud af det, hvis I også derhjemme afsætter nogle timer til øvelser på jeres computer. Vi sørger for hjemmeopgaver!! Der er masser
Læs mereBrugervejledning til diverse i OS X
Brugervejledning til diverse i OS X Gert Søndergaard 19. august 2003 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Introduktion til Mac OS X...3 Flere brugere på samme maskine...3 Dock - den gamle kvikstart...4
Læs mereSkrivebordet Windows 10
Få adgang til Stifinder, Indstillinger og andre apps, du bruger ofte, i venstre side af menuen Start. Hvis du vil se alle dine apps og programmer, skal du vælge Alle apps. Vises der en pil til højre for
Læs mereBetjeningsvejledning. for. UniRace
Betjeningsvejledning for UniRace 2007 Et konkurrence indtastningsprogram. Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 Figur fortegnelse... 3 Indledning... 4 Race info... 4 Indtastning af deltagere...
Læs mereIntoWords. Nyt dokument. Ordforslag. Hjælpeværktøj.
IntoWords Læse- og skriveværktøj med oplæsning og ordforslag. En app med mange af de samme muligheder som CD-ord på en computer. Denne app er udviklet af Mikroværkstedet/MV-Nordic. Da Thisted kommune har
Læs mereIntroduktion til billedbehandling med IrfanView
Introduktion til billedbehandling med IrfanView I takt med at digitalkameraer bliver billigere og efterhånden snart er hvermands eje, stiger behovet også for at kunne behandle sine billeder på en nem,
Læs mereFå navn på analysenr. i excel-fil og ind i pivottabel med data fra qlikview
Få navn på analysenr. i excel-fil og ind i pivottabel med data fra qlikview Opret en excel-fil med analysenr. og navn. Gemt som dataliste_til_pivottabeller Analysenr. skal stå i nr. orden, og cellen skal
Læs mereLæsehuset hjælp. Læsehuset 1.0. Mikro Værkstedet A/S
Læsehuset hjælp Læsehuset 1.0 Mikro Værkstedet A/S Læsehuset hjælp: Læsehuset 1.0 Mikro Værkstedet A/S Revision 1.46, 24. februar 2009 Indholdsfortegnelse Forord... vii 1. Kom godt i gang... 1 1.1. Læsehusets
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereDel filer i hjemmet. Hvis dit hjem har to eller. 5-10 min. NY SERIE
DEL DET HELE I denne artikelserie lærer du de bedste og letteste metoder til at dele filer, printere og internetforbindelse med andre både på dit netværk i hjemmet og via internettet. Del filer i hjemmet
Læs mereLINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL
LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere
Læs mereBevægelses analyse med SkillSpector. Version 1.0 Sidste opdatering: 14/05-2008
Bevægelses analyse med SkillSpector Version 1.0 Sidste opdatering: 14/05-2008 Hvad er SkillSpector SkillSpector er software program til video baseret bevægelses analyse. Der er følgende muligheder med
Læs mereVejledning til Photofiltre nr. 117 Side 1
Side 1 I denne vejledning skal vi bruge 7 billeder som skal sættes ned i størrelse. Bagefter sættes de sammen 3 i den ene rækker og 4 i den anden. Til sidst sættes de 2 rækker sammen så det er som en collage.
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereTegn med GPS 1 - Vejledning
Tegn med GPS 1 - Vejledning Lærerforberedelse: Det er altid en god ide at afprøve opgaven selv, inden eleverne sættes i gang. Inden forløbet skal læreren have materialerne til posten klar og klargøre GPS
Læs mereBrugervejledning. People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24
Brugervejledning People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24 1 Start programmet Isæt USB-nøglen i et ledigt USB-stik på computeren. Klik på: Klik på ikonet, når mappen på USB-nøglen er åbnet. Skulle
Læs mereHMN Naturgas - WebGIS
HMN Naturgas - WebGIS November 5, 2012 WebGIS er en webside, der viser HMN Naturgas gasledninger. Private kan se hvor gas stikledningen ligger på deres egen grund. Visse samarbejdspartnere har fået lidt
Læs mered Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres.
KOPIARK 17 # ligninger og formler i excel 2007, 1 1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse ligningen 5 x 11 = 7 + 3 x. a Lav et regneark som vist. HUSK: Gør en kolonne bredere Man kan gøre
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereFørste møde med skærmbilledet i After Effects 6,5 PRO Lidt om animering
Bent Sehested Side - 1 Første møde med skærmbilledet i After Effects 6,5 PRO Lidt om animering Hvert lag i Compositionen har et afmærket ankerpunkt. Det er koordinaterne for diagonalernes skæring. Der
Læs mereStednavne og Googlemaps
Stednavne og Googlemaps Google modulet vedligeholdes kun via admin-modulet. Stednavne redigeres under det enkelte individ og herefter til lægges koordinaterne via google-modulet. Check allerførst om modulet
Læs mereVejledning til Photofiltre nr. 119 Side 1
Side 1 Hvis man kan li' at sidde og sammensætte grafik kan man bl. Lave sit eget lille logo med eget foto og tekst. Det kan bruges på f.eks. brevpapir når man skriver i Word. Find billedet frem du vil
Læs mereBilleder og tegninger i Writer Indhold
Billeder og tegninger i Writer Indhold Indhold...1 Introduktion...2 Indsætte billeder...2 Formater billedet...3 Layout...3 Beskære billedet...4 Størrelse...5 Streger/ramme...6 Skygge...7 Justering af billedet...8
Læs mereHer kan man oprette et nyt slideshow ved at trykke på kassen med "Opret nyt slideshow". Dette fører en til "Rediger slideshow".
Hjælp til Praksisskærm Redigering i Praksisskærm Redigeringsdelen består af 2 sider. Den ene side - "Oversigt over slideshows" indeholder oversigten over ens slideshows. Den anden - "Rediger slideshow"
Læs mereSådan får du Salmebogen på CD-ROM til at fungere i Internet Explorer 7 både under Windows XP og Windows Vista
Sådan får du Salmebogen på CD-ROM til at fungere i Internet Explorer 7 både under Windows XP og Windows Vista Beskrivelse af fejlen Salmebogen på CD-ROM har visse problemer med at fungere i Internet Explorer
Læs mereBeskæring (2) Picasa 3.1.9.
(2) Marts 2015 JC - Data Indhold Åben programmet, Skrivebordsfladen... 2 Kopier - Indsæt billeder, Valgmuligheder... 3... 4 Zoom, Diasshow, Søg, Roter... 5 2 Google Picasa, er den enkleste måde at organisere
Læs mereElements Lektion 3. Tosafoto Adobe Photoshop kursus
Elements Lektion 3 Elements åbnes og derefter Organizer enten direkte fra velkomst billedet, eller hvis du har vlagt at åbne Elements direkte op i Edit så vælg menuknappen Organizer. Side 1 af 22 Når Organizer
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereMinikursus i Outlook 2010. Lidt om Navigation i outlook E-mails (Skriv, send, læs, organisér mail m.m.) Kontaktpersoner og grupper Kalender
Minikursus i Outlook 2010 Lidt om Navigation i outlook E-mails (Skriv, send, læs, organisér mail m.m.) Kontaktpersoner og grupper Kalender Outlook 2010 Søren E. Larsen, EUC Sjælland. Rev. februar 2013
Læs mereDette hæfte er opdateret, så det svarer til PowerPoint i Windows XPudgaven.
VELKOMMEN TIL MICROSOFT POWERPOINT I dette program kan du lave en præsentation af et emne ved at vise det som billeder og tekst på skærmen. Du kan skifte imellem at lade præsentationen køre automatisk,
Læs mereIn stal l ati on sv ejl edn i n g er ti l di gi tal e n o- tesbøger
Dato 15. marts 2016 Sagsbehandler Kim N. Eriksen Mail kine @vd.dk Telefon +45 2544 7014 Dokument 16/03534-1 Side 1 / 29 In stal l ati on sv ejl edn i n g er ti l di gi tal e n o- tesbøger 1. Introduktion
Læs mereBrugermanual til Assignment Hand In
Brugermanual til Assignment Hand In Indhold: Undervisere:... 2 Hvor finder jeg Assignment hand in?... 2 Opret en opgave... 3 Slet en opgave... 4 Rediger en opgave... 4 Hvor finder jeg de afleverede filer?...
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereHvis du altid vil starte med fuldskærm, klik på start.htm i stedet for index.htm
BETJENINGSVEJLEDNING Når du er på start siden (index.htm), vælg altid fuld skærm. Herved får du bedre plads til at se på tegningerne. Du kan også klikke på F11 på tastaturet. Hvis du altid vil starte med
Læs mereDu skal så lige først hente en fil en såkaldt maske der hedder PF-Snowflake
Side 1 Man kan selv lave f.eks. julekort med sne på, samt andet pynt. Har du et flot vinterbillede med sne på kan du lave det endnu flottere. Billedet jeg bruger er reduceret til 900 x 600 pixels Du skal
Læs mereIndholdsfortegnelse. 1. Installation af LØN... 1. 2. Introduktion til LØN... 2. 3. Indtastning af lønseddel... 7. 4. Udskrifter...
Løn til Windows Indholdsfortegnelse 1. Installation af LØN... 1 2. Introduktion til LØN... 2 2.1. Første start af LØN...2 2.1.1. Ét eller flere distrikter...2 2.1.2. Lønperioder...3 2.1.3. Kartoteker...4
Læs mereNspire 4.2 kom godt i gang
Nspire 4.2 kom godt i gang Disse 3 knapper åbner nyt dokument, henter eksisterende dokument og gemmer det åbne dokument Her kan dokumentet lukkes Indstillinger Indstillinger 1. Først skal vi have den rigtige
Læs mereVigtige funktioner i Word 2003
Vigtige funktioner i Word 2003 Indhold Husk... 2 Skrifttype... 2 Skriftstørrelse... 3 Overskrifter... 4 Andre vigtige funktioner... 5 Margen... 6 Linjeafstand... 7 Ordoptælling... 8 Sidetal... 10 Sidehoved
Læs mereKom nemt i gang med ViTre pakken fra ScanDis A/S
Kom nemt i gang med ViTre pakken fra ScanDis A/S ViTal ViseOrd ViTex Denne korte manual gør det muligt, hurtigt og nemt, at komme i gang med at bruge programmerne i ViTre pakken. ScanDis A/S Kom nemt i
Læs mereGUIDE TIL OPRETTELSE AF ARTIKLER I JOOMLA - FRONTEND
GUIDE TIL OPRETTELSE AF ARTIKLER I JOOMLA - FRONTEND INDHOLDSFORTEGNELSE Login og ændring af adgangskode 2 Oprettelse/redigering af artikler 3 Indsæt billede i en artikel 7 Sæt et link i en artikel 13
Læs mereINDLEDNING 2. Design og layout 3
INDLEDNING 2 Design og layout 3 Skyd genvej... 3 Omdøb skabelonsamling 4 Omdøb brevskabelon 5 Layout 6 Indsæt/Redigér logo 6 Indsæt/Redigér tekst 8 Redigér kolonner 11 Ved vejs ende... 14 Tips & Tricks...
Læs mereOversigtkort til ansøgninger og forespørgsler
Oversigtkort til ansøgninger og forespørgsler En vejledning til borgere og virksomheder i brug af kortinfo Hvis du har en forespørgsel eller vil ansøge om noget, så kan du selv lave et oversigtskort forholdsvist
Læs mereDiagrammer visualiser dine tal
Diagrammer visualiser dine tal Indledning På de efterfølgende sider vil du blive præsenteret for effektive måder til at indtaste data på i Excel. Vejledningen herunder er vist i Excel 2007 versionen, og
Læs mereIndholdsfortegnelse. Vokal Command v.1 manual
Indholdsfortegnelse Installation... 2 Første gang programmet startes...7 Konfiguration... 7 Hvad er en kommando... 8 Fonetisk forskel... 8 Gemme dine indstillinger...9 Træning af kommando... 9 Avanceret
Læs mereGeogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012
Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5
Læs mereMoltrup-sogn.dk - Vejledning i redigering af undersider, og oprettelse af nye sider.
Indholdsfortegnelse Moltrup-sogn.dk - Vejledning i redigering af undersider, og oprettelse af nye sider.... 2 Brugernavn og kodeord.... 2 Selve tekstbehandleren... 3 Indsættelse af billeder... 4 Metadata...
Læs mereFRA KAMERA TIL COMPUTER
FRA KAMERA TIL COMPUTER FRA CANON FS200 TIL LIQUID 6.0 (INDSKOLING) Anders Møller-Nielsen Center for Journalistik Syddansk Universitet Version: 22.04.10 AMN F10 Side 1 Før optagelserne kan redigeres, skal
Læs mereOpret og godkend betalinger i mapper
Kort beskrivelse Opret betaling i mappe Formålet med dette dokument er at beskrive, hvordan du opretter og godkender betalinger i mapper - inklusive: Opret mappe Gem én eller flere betalinger i mapper
Læs mereMan kan bruge sin GE på forskellige måder, og afhængig heraf har man brug for nogle extra programmer og eller kort.
John Markenvard Man kan bruge sin GE på forskellige måder, og afhængig heraf har man brug for nogle extra programmer og eller kort. 1. Man vil bruge GE til at finde vej 2. Man vil bruge GE til at registre
Læs mere3.0 Velkommen til manualen for kanalen Shift 1. 3.1 Introduktion til kanalen 1. 3.2.1 Hvad er et spot? 2. 3.2.2 Opret et nyt spot 2
3.0 Velkommen til manualen for kanalen Shift 1 3.1 Introduktion til kanalen 1 3.2 Shift kanalside 1 3.2.1 Hvad er et spot? 2 3.2.2 Opret et nyt spot 2 3.2.3 Aktivt og inaktivt spot 3 3.2.4 Rediger et spot
Læs mereStuderendes video- optagelser til prøver
Studerendes video- optagelser til prøver Resume Video til brug ved prøver kan optages i flere forskellige formater og lagres på forskellige medier. Hvis video optages på dvd (f.eks. 80 mm skive, der sættes
Læs mereVejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger
Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger April 2015 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 1 Indledning... 3 1.1 Metode til anvendelse af kuber med
Læs mereSådan bruger du Spor. Schultz
Sådan bruger du Spor Schultz Hvad kan jeg bruge Spor til? Spor hjælper dig, når du skal vælge uddannelse og job. Først skal du svare på, hvad du vil, og hvad du kan. Resultatet er en liste med job, der
Læs mereBrugerguide til Wuxus - For dig som er Chauffør.
Brugerguide til Wuxus - For dig som er Chauffør. Log ind Trin 1 - Log ind Trin 2 - Start dagen Opgaver Accepter / Afvis opgave Scanner Lasteoversigt Slut dag Denne guide hjælper dig i gang med grundlæggende
Læs mereFraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................
Læs mereOpgavestyring i Elevplan Vejledning. Pædagogisk IT kørekort Mentorforløb
Opgavestyring i Elevplan Vejledning Pædagogisk IT kørekort Mentorforløb 1 Flow Pædagogisk IT kørekort Mentorforløb 2 Opgaver oprettes på et læringselement, eller et udbudt læringselement Opgaver oprettes
Læs mereInstallation af ETF s cloudløsning for Privatpraktiserende ergoterapeuter
Installation af ETF s cloudløsning for Privatpraktiserende ergoterapeuter For at starte opsætningen af produktet, downloades programmet ved at gå til nedstående link, og vælge under Privat praktiserende
Læs mereVelkommen til denne Windows XP Moviemaker Guide.
Denne guide er lavet af Rasmus Andersen Side 1 Velkommen til denne Windows XP Moviemaker Guide. Du skal starte med at klik på Start, derefter klik på Programmer, til sidst skal du tryk på Windows Movie
Læs mereOpstartsvejledning til ipad. Tinderhøj Skole
Opstartsvejledning til ipad Tinderhøj Skole Den første skærm når du starter din ipad Sæt fingeren på pilen og træk den til højre. Vælg sprog En ipad kommer med mulighed for at vælge mange forskellige sprog.
Læs mere