Mathcad 2000 Professional

Transkript

1 MathSoft Mathcad 000 Professional Vejledning og opgaver ENGBERG a/s Nordre Jernbanevej 3C Hillerød. Telefon Copyright ENGBERG a/s

2 INDHOLDSFORTEGNELSE Lidt om Mathcad... Hjælp Lighedstegn Indledende regninger Formatering... 6 Variable Funktioner Graftegning... 9 Mere om grafer Løsning af ligninger Uligheder Ligningssystemer Symbolske regninger Differentialregning Integralregning Sandsynlighedsregning Vektorer Matricer Komplekse tal Regression Differentialligninger Skrivning af tekst Flytning af data Udskrivning Opgaver... 8 Stikordsregister Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver

3 FORORD Vejledningen dækker i det store og hele pensum på gymnasiets matematiske linje. Af hensyn til den høje opgave og det valgfrie forløb i 3.g er medtaget kapitlerne Matricer og Komplekse tal. Mathcad kan endnu ikke løse differential-ligninger symbolsk, men da man i version 000 kan indskrive ligningen i normal notation, findes der også et afsnit om numerisk løsning. Opgavesamlingen rummer mange opgaver, der rækker ud over pensum. En del af disse er lagt eksperimentelt an, og kan forhåbentlig give eleverne idéer til den høje opgave og til det valgfrie forløb. Mathcads største værdi i undervisningen er nok netop dette: at gøre erfaringer ved matematiske eksperimenter. Vejledningen er ikke til lænestolen, men skal læses foran computeren med Mathcad åbnet. Samtlige eksempler, både i vejledningen og i opgavesamlingen bør indtastes; ellers kommer metoderne ikke til at sidde i fingrene. Engberg a/s december 999 Nordre Jernbanevej 3C Postboks Hillerød telefon: telefa: info@engberg.dk internet: Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver

4 LIDT OM MATHCAD Skærmbilledet i Mathcad minder meget om en tekstbehandler som f.eks. Word. Det består af skrivefeltet samt fem linjer titellinjen med dokumentets navn menulinjen standardlinjen (værktøjslinje) formateringslinjen (værktøjslinje) matematiklinjen (værktøjslinje) statuslinjen (nederst) Matematiklinjen Math, der er en såkaldt flydende værktøjslinje, ses her trukket over i venstre kant af vinduet. Du kan vise/skjule værktøjslinjerne ved at vælge menupunktet View/Toolbars. Statuslinjen vises/skjules via menupunktet View/Status Bar. På figuren ovenfor ses også paletterne Graph og Calculator med en række knapper til forskellige formål. Når du klikker et sted i skrivefeltet, ses et rødt kryds. Dette er indskrivnings-punktet, hvor din indtastning starter. Denne korte skrivemåde for en menu og en undermenu bruges overalt i det følgende. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver

5 Du kalder et nyt dokument frem ved at klikke på knappen New på standardlinjen Du kan klippe og klistre ligninger og tekst v.h.a. knapperne Cut (klip) Copy (kopiér) Paste (sæt ind) Iøvrigt kan du genkende knapperne Open (åbn) Save (gem) Print (udskriv) INDSTILLINGER Ved normal brug af Mathcad bør Math/Automatic Calculation være slået til. Når man arbejder med meget beregningskrævende opgaver, kan det være en fordel midlertidigt at slå den automatiske beregning fra. Det vises på statuslinjen, om den automatiske beregning (AUTO) er valgt (se figuren på forrige side). SYSTEMKRAV Ifølge filen Relnotes kræves der Pentium 90-based IBM or compatible computer. CD-ROM drive. Windows 95 or higher or Windows NT 4.0 or higher. At least 3 megabytes of memory. 48 or higher is recommended. VGA or higher graphics card and monitor required. Super VGA recommended. 56 color display required. Higher than 56 color display recommended. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver

6 Web Library, Web browsing, and Collaboratory features require a direct Internet connection or Internet access through a service provider. Standard Web browsing in Mathcad and the on-line help require components from Microsoft Internet Eplorer 4.0 or higher (the option to install these components is included in the Mathcad installation). The Ecel, MATLAB, S-PLUS, Aum, and SmartSketch components in Mathcad and MathConne require specific versions of the associated product. See the "Components" section for more information. Mærkeligt nok står der ikke noget om harddisken, men til Mathcad 8 lød det At least 80 megabytes of disk space for the typical (default) installation. At least 30 megabytes of disk space is required for a minimal installation. I Mathcad 000 er kravet til diskplads med sikkerhed ikke mindre. INDHOLD AF CD en The installation program for Mathcad which includes MathConne, sample files, and associated on-line Help and Resource Center files. The installation program for Aum LE for Mathcad. Aum LE is a light version of Aum 6.0 which you can use to create detailed publication quality D plots. The installation program for SmartSketch LE for Mathcad. SmartSketch LE is an application for creating D CAD drawings. The installation program for on-line documentation which consists of the Adobe Acrobat Reader 4.0 installation program and on-line versions of the Mathcad User's Guide, Mathcad Reference Manual, and MathConne User s Guide (requires Adobe Acrobat Reader 3.0 or higher). Also includes an on-line file titled Creating a User DLL which describes how to create Mathcad functions using C or C++. If you do not want to install the on-line documentation pieces, you can view them from the CD. They are located in the DOC folder on the CD. The installation program for Autodesk Volo View Epress which assists you in inserting AutoCAD files into a Mathcad worksheet even if you do not have AutoCAD installed. Internet Eplorer 5.0. IE 4.0 or higher is recommended for optimal appearance and functionality of the on-line Help. To install IE 5.0, run Ie5Setup.EXE in the IE folder on the CD. In order to have improved on-line Help, the IE icon does not need to appear on your desktop, nor does IE need to be your default browser. Det kan ikke anbefales at installere en engelsksproget version af Eplorer sammen med en dansk Windows! Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 3

7 HJÆLP Mathcads fortræffelige online-hjælp hentes via to knapper på standardlinjen Resourse Center Help Browseren Microsoft Eplorer (version 3.0 eller senere) være installeret. Overview and Tutorials En introduktion til Mathcads muligheder. Quicksheets and Reference Tables Her kan den rutinerede bruger af Mathcad finde mange glimrende eksempler. Etending Mathcad En oversigt over programmer, der kan samarbejde med Mathcad. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 4

8 Collaboratory Her kan du kontakte brugergrupper, der beskæftiger sig med Mathcad. Web Library Et bibliotek over relevant litteratur o.l. om Mathcad. Mathsoft.com Dette er et link til producenten MathSofts hjemmeside. Her kan du f.eks. hente tilføjelser og rettelser til Mathcad 000 Professional (servicepacks og patches). Fanebladet Indhold En systematisk samling af emner med korte forklaringer. Fanebladet Indeks En komplet liste over begreber og nøgleord i Mathcad. Fanebladet Søg Her kan du lave tekstsøgning. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 5

9 3 LIGHEDSTEGN Mathcad anvender seks forskellige lighedstegn. Deres betydning vil blive forklaret på rette sted, men lad os alligevel give en samlet oversigt her. Klik på matematiklinjen Math på knapperne Evaluation Toolbar og Boolean Toolbar Paletten Evaluation indeholder fem knapper med lighedstegn, mens paletten Boolean indeholder én knap med lighedstegn. sædvanligt lighedstegn på tastaturet dynamisk lighedstegn; skriv kolon på tastaturet globalt lighedstegn (tilde ) symbolsk lighedstegn (Ctrl og punktum) udvidet symbolsk lighedstegn (Ctrl og Shift og punktum) fedt lighedstegn (Ctrl og +) Når du med markøren peger på en knap, dukker der en lille gul kasse op. Dette er et såkaldt Tooltip, som dels fortæller hvad knappen hedder og dels angiver en genvejstast. Men da amerikanske tastaturer ikke helt ligner de danske, kan du ikke altid stole på genvejen. F.eks. viser Tooltips, at det fede lighedstegn har genvejen Ctrl og =. På dansk skal man faktisk vælge Ctrl og +. Denne genvej virker på en ret specielt måde, idet symbolet ikke indsættes med det samme. Lad os f.eks. skrive ORIGIN. Start med at skrive ORIGIN, tast så (tasten Alt Gr plus tasten med ) og skriv til slut. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 6

10 4 INDLEDENDE REGNINGER Operatorer Mathcad anvender de sædvanlige regneoperatorer på tastaturet + - / ^ altså: addition, subtraktion, multiplikation, division og potensopløftning. Regnetegn I et udtryk som f.eks. a + 3b bør gangetegnet altid skrives: a + 3 b. Resultatet vises som a + 3 b. Vær forsigtig med at benytte tasten Space (mellemrum) ved indskrivningen af matematiske udtryk; ellers kan Mathcad opfatte det indtastede som en tekst. Som i alle engelsksprogede programmer benytter Mathcad punktum som decimalseparator; et komma giver koks! Som nævnt i kapitel 3 anvender Mathcad seks forskellige slags lighedstegn; ved almindelige beregninger benyttes det sædvanlige = fra tastaturet. eks. Vi starter med at udregne tallet Når du skriver + omgives det indtastede af en rektangulær matematikboks Det lille sorte rektangel er den såkaldte pladsholder, som dukker op hver gang du har indtastet en operator. De to blå linjer er redigeringslinjerne 3. Skriv 3 Skriv * Skriv 4 Skriv = Pladsholderen yderst til højre er reserveret til eventuelle enheder. Den forsvinder sammen med matematikboksen, når du taster Retur eller klikker et sted udenfor 3 På engelsk benyttes betegnelserne math region, placeholder og editing lines. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 7

11 eks. Lad os dernæst beregne tallet ( + 3) 4 Skriv + Skriv 3 og placér redigeringslinjerne om + 3, f.eks. ved at taste Space (mellem-rum) Skriv * Skriv 4 Skriv = Afslut ved at taste Retur eller ved at klikke med musen udenfor matematikboksen eks. Lad os til slut beregne tallene 3 + (venstre søjle) og (højre søjle) Læg nøje mærke til placeringen af redigeringslinjerne Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 8

12 Konstanter Grundtallet for den naturlige logaritme skrives v.h.a. bogstavet e på tastaturet. Det gode tal π benyttes så ofte, at du bør lære genvejen: Ctrl og Skift og p. Sletning 4 Du kan slette en enkelt ligning ved med musen at trække en stiplet ramme om ligningen, og klikke på knappen Cut (klip). Du kan slette to eller flere ligninger ved at trække en stiplet ramme omkring ligningerne, og trykke på tasten Delete (slet). Du kan alternativt holde tasten Ctrl (control) nede, mens du klikker på lignin-gerne én ad gangen; tast så Delete. 4 Man kan desværre ikke som i en sædvanlig tekstbehandler fortryde en sletning ved at klikke på knappen Undo eller ved at vælge Edit/Undo. I det hele taget er der mange situationer, hvor Undo er afkoblet. Det er lidt ærgerligt, men måske kommer det med i den næste version af Mathcad? Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 9

13 Redigering Man har ofte brug for at rette i det indskrevne. Nedenfor ses nogle få eksempler. Iøvrigt henvises der til on-line hjælpen; klik på knappen Help og vælg på fane-bladet Indhold punktet Equations/Equation editing. eks. I udtrykket nedenfor vil vi erstatte + med Placér redigeringslinjerne som vist, enten v.h.a. musen eller v.h.a. piletasterne Tast Backspace (tilbage) for at fjerne + Tast Tast Retur eks. Vi har glemt parenteser omkring Placér redigeringslinjerne således Tast ( Flyt redigeringslinjerne Tast ) Tast Retur Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 0

14 eks. Vi fjerner parenteserne Placér redigeringslinjerne Fjern begge parenteser ved at taste Backspace. Bemærk, at Mathcad ikke matematisk tager hensyn til, at der faktisk hæves en minusparentes! Tast Retur Fejl Hvis du begår en matematisk ulovlighed, giver Mathcad en fejlmeddelelse Ret fejlen og tast Retur. Det er som bekendt strengt forbudt at uddrage kvadratroden af et negativt tal. Forsøger du på en lommeregner, kommer der en fejlmelding. Men Mathcad giver 5 Der er tale om et såkaldt komplekst tal og altså ikke noget reelt tal. Hvis du kun kender de reelle tal, er det stadig er grim fejl at uddrage kvadratroden af et nega-tivt tal. 5 Kvadratrodsfunktionen er omtalt i kapitel 7. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver

15 5 FORMATERING Antal decimaler Mathcad regner internt med 6 cifre, men viser som standard resultatet med 3 decimaler Ønsker du f.eks. resultatet med 6 decimaler, skal du dobbeltklikke på ligningen. På fanebladet Number Format skriver du 6 i feltet Number of decimal places Hvis du klikker på knappen Set as Default (vælg som standard), bliver samtlige beregninger på arket vist med 6 decimaler. Eksponentiel notation Hvis et beregnet tal enten er tilpas stort eller tilpas lille (dvs. tæt på 0), skrives det i eksponentiel notation Du kan vælge normal notation ved at dobbeltklikke på ligningen og på fanebladet Number Format (se ovenfor) vælge en større værdi af Eponential threshold. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver

16 Hvis et beregnet tal er mindre end 5 0, bliver det som standard vist som 0 Dette lidt dumme problem klares ved at klikke et neutralt sted i skrivefeltet og vælge menuen Format/Result. På fanebladet Tolerance ændres standardværdien 5 i feltet Zero threshold til et større tal (dog højest 307). Flytning Du kan flytte en ligning ved at klikke på den. Når du så peger på matematikbok-sens ramme, forvandles markøren til en sort hånd Nu kan du trække ligningen til det ønskede sted. Du kan på samme måde flytte en markeret gruppe af ligninger. Den lodrette afstand mellem ligninger kan også ændres uden den sorte hånd Placér som vist ovenfor det røde kryds mellem de to ligninger og tast Retur én eller flere gange. Du kan på samme måde gøre afstanden mindre ved at placere krydset og taste Delete. Justering Du kan justere to eller flere udtryk enten vandret eller lodret v.h.a. knapperne Align Across (vandret) Align Down (lodret) Du justerer følgende to ligninger vandret ved at markere ligningerne med stiplede linjer Markeringen sker enten ved at trække med musen hen over ligningerne eller ved at holde tasten Ctrl nede og derpå klikke på ligningerne én ad gangen. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 3

17 Klik så på knappen Align Across Du kan på samme måde justerere lodret v.h.a. knappen Align Down Tabulator og lineal Når du klikker på et matematisk udtryk og derpå taster Retur, flyttes indskrivningspunktet (det røde kryds) én standardafstand nedad Du kan flytte indskrivningspunktet mod højre ved at taste Tab (tabulator); det kan f.eks. se således ud Det er ikke pænt med forskellige afstande. Det skyldes, at du ikke kan se, hvor tabulatormærkerne er placeret. Vælg derfor menuen View/Ruler. På linealen kan du nu se, at tabulatormærkerne er anbragt for hver,5 cm (standardværdien). På figuren nedenfor er de tre udtryk i nederste linje skrevet ved at placere indskrivningspunktet til venstre for første tabulatormærke, taste Tab og derpå skrive a:= osv. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 4

18 Du kan lave dine egne tabulatormærker ved at klikke på linealen. Nedenfor er de tre udtryk er placeret ved, 4 og 6 cm Ved 8 cm ses et privat tabulatormærke med tilhørende hjælpelinje. Klik på tabulatormærket med højre museknap og vælg Show Guideline. Valg af skriftstil 6 Skriv følgende udtryk og klik på variablen Du kan på formateringslinjen se, at der er tale om en variabel (Variables), skrevet med standardskriften Times New Roman i størrelse 0 Vælg nu skriften Arial i størrelse 6 og skrevet med kursiv I (Italic) Klik dernæst på et tal. På formateringslinjen ses, at der er tale om en konstant (Constants), igen skrevet med standardskriften Times New Roman i størrelse 0. Vælg Times New Roman i størrelse 0 og skrevet med fed B (Bold) Samtlige tal og variable på arket bliver skrevet med de nye formateringer. Faktisk er det noget pjank med disse smarte valg af skriftstil. Det kan dog være praktisk at ændre skriftstørrelsen, alt afhængig af øjnenes alder og af skærmopløsningen. 6 Mathcad anvender betegnelsen skriftstil (Math styles) for det samlede valg af skrifttype, skriftstørrelse, udseende (fed, kursiv, understreget) og farve i ligninger. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 5

19 6 VARIABLE Sædvanlig variabel Betragt et udtryk med to variable a og b ( ) a + b a b a b + b + Vi vil beregne værdien af udtrykket for a = 7 og b = 4. En variabel skrives v.h.a. det dynamiske lighedstegn := (kolon plus lighedstegn), men du kan nøjes med kolon. Skriv a:7 og b:4 og afslut hver gang med at taste Retur. Skriv så udtrykket ( ) og afslut med et sædvanligt lighedstegn samt Retur Prøv at ændre på værdierne af a og b ; resultatet opdateres øjeblikkeligt. Områdevariabel Den såkaldte områdevariabel bruges, når en variabel skal gennemløbe en række værdier med lige stor afstand. Lad som eksempel beregne tallet for = 0,, 0,, 0,3,...,,9,. Mathcad skal kun kende de to første og det sidste tal, idet de to første tal fastlægger skridt-længden = 0, 0,. Skriv :0.,0.; og tast Retur Nu skal vi beregne tabeller over tallene og. Skriv først =, klik et andet sted i skrivefeltet og skriv her ^=. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 6

20 Bemærk, at ikke alle tabelværdier kan ses. Det klares ved at klikke på tabellen og derpå trække nedad i det nederste, midterste håndtag. Du kan alternativt rulle ned gennem tabellen. Skridtlængden kan udelades, hvis den har standardværdien ; skriv f.eks. :3;0 Indiceret variabel Man har ofte brug for at forsyne en variabel med et indeks 5 eller a 9 hvor indekset er tallet ved foden af variablen. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 7

21 Lad os f.eks. skrive den indicerede variabel a 0 = 5; start med Klik dernæst på knappen Calculator Toolbar på matematiklinjen og på knappen Subscript (indeks) på paletten Calculator Nu ses et symbol med en pladsholder til indekset 7 Skriv 0 i pladsholderen, skriv : 5 og tast Retur Lad os som eksempel gentage beregningen af kvadrattabellen fra forrige side v.h.a. en indiceret variabel n 7 Selv om udenadslæring er meget umoderne (ja næsten ulovligt) i vore dage, kan det alligevel anbefales at lære genvejen [ for indeks. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 8

22 7 FUNKTIONER Egne funktioner Vi vil bestemme funktionsværdien f ( 5 ) for tredjegradspolynomiet 3 f ( ) = 5 Funktionsforskriften skrives v.h.a. det dynamiske lighedstegn := mens beregningen sker v.h.a. det sædvanlige lighedstegn =. Skriv f():^3 * 5 og f(5)= Bemærk, at beregningsudtrykket f(5)= skal placeres til højre for eller under funktionsforskriften. Og så et eksempel, hvor en kompliceret funktion tabellægges Funktionsværdierne formateres med 5 decimaler ved at dobbeltklikke på tabellen og på fanebladet Number Format skrive 5 i feltet Number of decimal places. Indbyggede funktioner Lad os se på nogle af de grundlæggende funktioner. Husk altid at skrive paren-teser omkring variablen som i f.eks. sin( ) og log( ) De trigonometriske funktioner anvender som standard radianmål. Skriv sin()= Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 9

23 Hvis du ønsker at regne i gradmål, skal du skrive vinklen som deg Mathcad kan naturligvis også finde når det f.eks. vides, at sin = 0,7. Men hvad hedder den omvendte funktion til sinus på engelsk? Du kan undersøge sagen ved klikke på knappen Insert Function (indsæt funktion) på standardlinjen Vælg Function Category: Trigonometric og rul ned gennem listen Function Name. Navnet asin ser lovende ud, og den korte forklaring i feltet nederst viser, at det er den ønskede funktion. Klik på knappen Insert Skriv så 0.7 i pladsholderen og tast lighedstegn Du kan naturligvis også selv skrive asin(0.7)=. Resultatet angives i grader, hvis du skriver deg i den tomme pladsholder Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 0

24 I en trekant med kendte sidelængder kan vinklerne beregnes v.h.a. af cosinusrelationerne Du kan også vælge en række standardfunktioner ved at klikke på knappen Calcu-lator Toolbar på den matematiske værktøjslinje På paletten Calculator findes knappen Square Root (kvadratrod) Alternativ kan du beregne tallet som en potens Paletten rummer også tegnet for den n te rod Roduddragning og potensopløftning af negative tal giver ikke det samme Forklaringen på dette sære resultat kræver kendskab til komplekse tal. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver

25 8 GRAFTEGNING Vi vil tegne grafen for en funktion af én variabel i et sædvanligt koordinatsystem. Og vi vælger igen tredjegradspolynomiet 3 f ( ) = 5 Vi ønsker at finde antallet af rødder (der er, eller 3 rødder) og deres omtrent-lige værdi. Skriv forskriften v.h.a. det dynamiske lighedstegn og klik så et sted til højre for eller under forskriften (det røde kryds). På den matematiske værktøjslinje klikker du på knappen Graph Toolbar Når du på paletten Graph klikker på knappen X-Y Plot, tegnes der ved indskrivningspunktet en figur med to pladsholdere ved det indre rektangel (og tre håndtag på det ydre rektangel) Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver

26 Skriv i pladsholderen ved -aksen og f() i pladsholderen ved y-aksen Grafen tegnes, når du taster Retur eller klikker udenfor figuren Grafen er som standard omgivet af et rektangel med aksetal, men det er bedre med et par sædvanlige koordinatakser. Dobbeltklik i diagrammet og vælg på fanebladet X-Y Aes indstillingen Aes Style: Crossed Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 3

27 Nu skal diagrammet gøres større. Klik på diagrammet og placér markøren på højre håndtag på det yderste rektangel. Markøren forvandles til en dobbeltpil, som du trækker mod højre. Placér eventuelt markøren (den sorte hånd) på det ydre rektangel og træk diagram-met til et passende sted på arket. Mathcad tegner som standard på intervallet 0 0. For at finde antallet af rødder i polynomiet, skal tegneintervallet indskrænkes til f.eks. 3. Ved et klik på diagrammet vises fire pladsholdere, to ved hver akse. Klik på de to pladsholdere ved -aksen og erstat standardværdierne 0 og 0 med og 3. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 4

28 Nu ses det tydeligt, at polynomiet har netop én rod (hvorfor?), og at værdien er cirka,. Aflæsning af koordinater Det er muligt at aflæse koordinaterne til udvalgte punkter i et diagram. Klik med højre museknap på diagrammet, vælg Trace og afkryds i dialogboksen ved Track Data Points Når du klikker i diagrammet, viser der sig to stiplede linjer, som skærer hinanden i et punkt på grafen. Hvis du trækker i én af linjerne med musen, flytter skærings-punktet sig langs grafen; og du kan aflæse punktets koordinater i dialogboksen. Du kan med fordel flytte skæringspunktet v.h.a. piletasterne. Hvad sker der, hvis afkrydsningen ved Track Data Points fjernes? Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 5

29 Zoom Det er muligt at zoome ind på særligt interessante dele af grafen. Klik med højre museknap på diagrammet og vælg Zoom Træk nu med musen en stiplet kasse omkring det ønskede område og klik på knap-pen Zoom. Gentag eventuelt proceduren. Polynomiets rod er åbenbart en smule mindre end,. Du kan gendanne diagrammets oprindelige størrelse ved at klikke på knappen Full View. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 6

30 9 MERE OM GRAFER Flere grafer Vi vil i samme koordinatsystem tegne graferne for funktionerne f og g givet ved f ( ) = sin, 6 6 g( ) = cos, 6 6 Da de to funktioner har samme definitionsmængde, kunne vi blot skrive 6 og 6 i de to pladsholdere ved -aksen, men lad os se på en anden metode. Et grafprogram kan kun tegne linjestykker. Men er linjestykkerne tilpas korte, bliver grafen smukt jævn. Vi skal blot oplyse Mathcad om hvilke støttepunkter, der fastlægger linjestykkerne; vi vælger skridtlængden 0,0 6,00, 5,99, 5,98,..., 5,98, 5,99, 6,00 Af disse mange tal skal Mathcad blot kende de to første og det sidste. Definér der-for områdevariablen ved på arket at skrive : 6, 5.99;6. På paletten Graph klikker du på knappen X-Y Plot. Skriv så i den nederste pladsholder og sin(),cos() i pladsholderen til venstre og tast Retur. Gør diagrammet større og tegn normale akser, helt som beskrevet i forrige kapitel. Det er pænt med lidt plads omkring de to grafer. Skriv derfor 6,5 og 6,5 i de to pladsholdere ved -aksen, samt, og, i de to pladsholdere ved y-aksen. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 7

31 Diagrammet mangler nu blot en smule formatering. Dobbeltklik på diagrammet og vælg fanebladet Traces, hvor udseendet af de to grafer kan ændres. Grafen for f kaldes trace, mens trace er grafen for g. Vælg de viste indstillinger for trace. Prøv at eksperimentere med de forskellige indstillinger, f.eks. Afkryds ved Hide Arguments. Fjern afkrydsningen ved Hide Legend. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 8

32 Gaffelfunktion Vi vil tegne grafen for funktionen f givet ved forskriften 3 +, 3 f ( ) = + 0, < 4 Vælg to forskellige navne for den uafhængige variable og skriv 8 f.eks. Klik så på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv, og f(),f() i de to pladsholdere Vi kan også tegne en åben cirkel i punktet (,9). Skriv på arket 3: og tilføj,3 og,f(3) i de to pladsholdere ved akserne. Til slut skal punktet (trace 3) formateres mht. farve og symbol. 8 Det er her nødvendigt at vælge to forskellige funktionsnavne f og f ; men bemærk, at der faktisk kun er tale om én funktion f. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 9

33 Parameterfremstilling Når en cirkel ruller langs en ret linje, vil et fast punkt på cirklen gennemløbe en kurve, en såkaldt cykloide. Kurven beskrives v.h.a. en parameterfremstilling = a( t sin t) y = a( cos t), t R Kurven er periodisk med perioden π, og vi vil tegne fem af disse perioder. Vælg a = og skriv Klik dernæst på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skriv (t) og y(t) i de to pladsholdere ved akserne Dobbeltklik på diagrammet og vælg på fanebladet X-Y Aes indstillingen Aes Style: Crossed. Vælg fanebladet Labels, skriv teksten CYKLOIDEN i feltet Title og afkryds i feltet Show Title. Nu kan vi beundre den elegante kurve, der fascinerede 600-tallets matematikere så meget Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 30

34 Punktdiagram På et amerikansk gymnasium udvalgte man på tilfældig måde 0 elever fra en stor gruppe, der var til eksamen i både algebra og fysik. Tabellen viser det antal point, som eleverne fik i de to fag algebra 75 fysik Er der er en sammenhæng mellem præstationen i de to fag? Er det sådan, at jo bedre man er til algebra, jo bedre er man også til fysik? For at kunne overskue sagen, vil vi tegne datamaterialet som 0 punkter i et koordinatsystem med algebrapointene på -aksen og fysikpointene på y-aksen. Vælg menuen Insert/Component/Input Table. Nu indsættes en tabel, der minder om et regneark Giv tabellen et navn som f.eks. data. Skriv data i den tomme pladsholder, klik på tabellen og udvid ved at trække nedad i det midterste, nederste håndtag. Indskriv så algebrapointene i venstre søjle og fysikpointene i højre søjle. Når du taster Retur, flyttes markeringen til næste celle, helt som i et regneark. Du kan slette en hel række ved at klikke (med venstre museknap) på en celle i rækken klikke med højre museknap på cellen vælge menuen Delete Cells vælge Delete: Entire Row Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 3

35 Mathcad nummererer som standard søjlerne 0,,,... regnet fra venstre. Vi kalder de to søjler for algebra og fysik og skriver Den trekantede symbol i eksponenten skrives ved at klikke på knappen Matri Column (søjlematri) på paletten Matri Tegn nu diagrammet ved at klikke på knappen X-Y Plot på paletten Graph og skrive algebra hhv. fysik i de to pladsholdere ved akserne. Det ligner jo et moderne maleri! Sagen er den, at de ti punkter er forbundet med linjestykker på kryds og tværs; vi skal blot fjerne linjestykkerne. Gør diagrammet større. Dobbeltklik på diagrammet og vælg normale akser på fanebladet X-Y Aes. Vælg på fanebladet Traces disse indstillinger for den røde graf Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 3

36 Der er en tydelig, voksende sammenhæng mellem resultaterne i algebra og fysik. Vi vender tilbage til dette eksempel i kapitel 0 om regression. Funktion af to variable Betragt en funktion f af to variable som f.eks. f (, y) = y Grafen for en sådan funktion er en flade i rummet, her en såkaldt saddel. Placér indskrivningspunktet et passende sted og klik på knappen Surface Plot på paletten Graph Der tegnes nu et rumligt koordinatsystem med en pladsholder nederst; her skriver du f Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 33

37 Nu kommer det snedige: du kan dreje kurven ved med musen at trække forskellige steder indenfor rammen; prøv at eksperimentere! Klik på diagrammet, hold Shift nede mens du trækker i grafen med musen og slip så musen igen. Figuren vil nu rotere indtil du igen klikker på diagrammet. Rotationshastigheden og rotationsaksen afhænger af hastigheden og retningen af dit træk. Du kan zoome på en 3D-graf ved at klikke på diagrammet og holde Ctrl nede, mens du enten trækker opad eller nedad med musen. Hvis du har en mus med centerhjul, kan du blot klikke på diagrammet og derpå dreje hjulet. Du kan formatere grafen ved at dobbeltklikke i diagrammet. Prøv at vælge disse indstillinger på fanebladet Appearance (udseende) Indstillingen Line Options: No Lines er også interessant. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 34

38 Du kan fjerne koordinatsystemet ved på fanebladet General at vælge Aes Style: None. Du kan fjerne diagramrammen ved på fanebladet General at fjerne afkrydsningen ved Frames: Show Border. Vælg også fanebladet QuickPlot Data Felterne start og end i Range og Range fastlægger -intervallet og y- intervallet, her standardværdierne 5 5 og 5 y 5. Tallene Number (#) of Grids n bestemmer skridtlængderne og y end start = y = n Prøv f.eks. at skrive 4 i de to felter. Iøvrigt er der så mange muligheder for formatering, at det er håbløst at gennemgå dem her; prøv dig frem! Du kan få vejledning ved at klikke på knappen Hjælp på fanebladet. Du kan også finde et udvalg af flotte og komplicerede eksempler ved at klikke på knappen Resource Center på standardlinjen. Vælg her Overview and Tutorials: Creating 3D Graphs Quicksheets and Reference Tables: Graphing and Visualization og Gallery of Curves and Surfaces. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 35

39 0 LØSNING AF LIGNINGER Vi så i kapitel 8, at tredjegradspolynomiet 3 f ( ) = 5 har netop ét nulpunkt, og værdien blev aflæst til cirka,. Vi vil her beregne dette nulpunkt v.h.a. forskellige snedige metoder.. metode Når du på en lommeregner vil finde nulpunkter, skal du ofte selv levere et start-gæt; Mathcad virker på samme måde. Definér funktionen og skriv så : og løsning:root(f(),) og løsning= Dette stemmer nydeligt med det grafiske resultat. Og resultatet ser imponerende præcist ud, men kan vi stole på samtlige cifre? Vi kan undersøge sagen ved at beregne funktionsværdien af den fundne løsning. Skriv f(løsning)= Funktionsværdien er næsten nul, men altså ikke helt. Det er muligt at komme tættere på nul, men det kræver lidt forklaring. Når Mathcad (og visse lommeregnere) finder nulpunkter, beregnes der en række værdier,,k som nærmer sig mere og mere til den korrekte værdi. Men regneprocessen skal jo stoppe på et tidspunkt, og i Mathcad sker det som standard første gang to -værdier adskiller sig mindre end 0,00. Er dette f.eks. opfyldt for 8 7 < 0, 00 leverer Mathcad altså tallet 8 som resultat 9. 9 Funktionen root anvender som standard den såkaldte sekantmetode. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 36

40 Tallet 0,00 er den såkaldte tolerance, som du selv kan ændre. Ønskes tolerancen f.eks. nedsat til 0 0 skriver du blot TOL:0^ 0 på selve arket Sammenlign med resultatet ovenfor! 5 Da funktionsværdien er mindre end 0, er den formateret som vist i kapitel 5. Prøv at eksperimentere med forskellige værdier af tolerancen TOL.. metode Den ovenfor beskrevne metode kan benyttes med alle typer funktioner. Mathcad har imidlertid en meget snedig nulpunktsmetode, specielt beregnet på polynomier (med grad på højest 99). Det generelle polynomium af n te grad har formen n n f ( ) = a + a + K+ a + a n n 0 Det givne tredjegradspolynomium har koefficienterne a =, a = og a = idet vi kun medtager de koefficienter, der er forskellige fra nul. Skriv de tre koefficienter (indeks har genvejen [ ) samt polyroots(a)= Polynomiet har altså den reelle rod,095 (samt to komplekse rødder, som du ikke skal bekymre dig om). Vi formaterer rødderne med det maksimale antal decimaler Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 37

41 Bemærk, at den reelle rod ikke har helt samme værdi som ved den første metode. Lad os kontrollere ved at beregne funktionsværdien. Træk markøren hen over tallet, så det bliver sort og klik på knappen Copy på standardlinjen. Skriv f( ) og kopiér tallet over i den tomme pladsholder ved at klikke på knappen Paste Resultatet er altså ikke helt så godt som ved den første metode! Og desværre har tolerancen TOL ingen virkning ved en beregning med funktionen polyroots. 3. metode Denne metode er ganske imponerende, idet rødderne beregnes eksakt. Metoden virker dog ikke ved alle ligninger! Du får her brug for et par knapper på paletterne Boolean og Evaluation Skriv ligningen f ( ) = 0 med det fede lighedstegn, vælg det udvidede symbolske lighedstegn, skriv solve, i pladsholderen 0 og tast Retur f( ) := 3 5 f( ) 0 solve, ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) i 3 ( ) ( ) ( ) i 3 ( ) ( ) ( ) 0 solve er et såkaldt symbolsk nøgleord. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 38

42 Ligningens reelle rod ses øverst på eksakt form; det er da flot! Du kan beregne tilnærmede værdier ved at klikke på resultatet og taste lighedstegn altså helt samme resultat som ved metode. Mathcad kan også løse den generelle andengradsligning rent symbolsk Du genkender sikkert udtrykket? 4. metode Vi vil til slut se på den såkaldte løsningsblok Given/Find, en meget stærk metode, som ofte kan løse ligninger eksakt. Start med at skrive Given og skriv så ligningen med det fede lighedstegn. Skriv endelig Find()fi med det symbolske lighedstegn fra paletten Evaluation og tast Retur Resultatet bliver ganske som ved metode 3, nu blot skrevet vandret (ovenfor ses kun en del af skærmbilledet). Også den generelle andengradsligning kan løses v.h.a. Given/Find Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 39

43 ULIGHEDER Uligheder kan (somme tider) løses v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med solve, i pladsholderen. eks. Først en helt enkel ulighed af første grad altså < 3 3 > Ulighedstegnene < og > findes på tastaturet, mens og må hentes på paletten Boolean. eks. Mathcad kan løse mere komplicerede uligheder som f.eks. Gangetegnet i den første ulighed skal læses som et logisk og < 0 5 < < 5 < < Søjlenotationen i den anden ulighed skal læses som et logisk eller > 0 < 5 > eks. Mathcad kan også klare uligheden altså > 0 < < 4 > 6 Læseren opfordres til som kontrol at tegne grafen for funktionen f givet ved 3 f ( ) = Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 40

44 eks. Endelig en temmelig kringlet ulighed Her skal vi passe på, da kvadratroden jo kun er defineret for 0. For kontrollens skyld bør løsningen ledsages af en grafisk illustration Den viste markeringslinje tegnes ved at dobbeltklikke på diagrammet og på fanebladet X-Y Aes afkrydse ved X-Aes: Show Markers. Der dukker nu to nye pladsholdere op nederst i diagrammet; her skrives tallet Nu kan vi med god samvittighed angive løsningen til uligheden som Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 4

45 LIGNINGSSYSTEMER eks. Mathcad kan også løse n ligninger med n ubekendte; et eksempel + y z = 0 y + 3z 9 = 0 5 3y + z = 0 Vi anvender løsningsblokken Given/Find Ligningssystemet har altså løsningen (, y, z ) = (,, 3 ). eks. Vi beregner koordinaterne til skæringspunkterne mellem parablen med ligningen y = og linjen med ligningen y = + 3 Idet koordinaterne aflæses lodret, er skæringspunkterne altså A(, ) og B( 3, 9). eks. Følgende opgave går ud på at bestemme løsningsmængden til ligningssystemet a + y = 8 + ay = 4 for enhver værdi af parametren a R. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 4

46 Skriv Denne løsning kræver tilsyneladende kun, at a 4. Men en håndregning viser, at vi må kræve, at a 4 a 4. Og Mathcad oplyser intet om, hvad der sker, hvis betingelsen ikke er opfyldt. Læseren opfordres til at vise, at a = 4: L = { } a = 4: L = (, y) y = + Mathcads løsning kan derfor ikke bruges for a = 4. Igen ser vi det interessante: et matematikprogram kan kun bruges med fornuft, hvis man i forvejen kan noget matematik. Nu vi er blevet så meget klogere, kan vi jo passende se, hvad Mathcad stiller op i tilfældet a = 4 Det passer jo fint, da der faktisk ikke er nogen løsning. Men hvad med a = 4? Mathcad giver løsningen på formen (, + ), altså det korrekte svar! Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 43

47 3 SYMBOLSKE REGNINGER Mathcad tilbyder en række muligheder for at arbejde med bogstavsudtryk; vi ser på nogle af de vigtigste. Udregning Skriv Vælg det udvidede symbolske lighedstegn på paletten Evaluation, skriv epand i pladsholderen og tast Retur Vi kan også eftervise de såkaldte additionsformler fra trigonometrien Reduktion Mathcad kan (somme tider) reducere v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med simplify i pladsholderen Mathcad har det med at sætte overflødige parenteser. Faktorisering Mathcad kan (somme tider) faktorisere v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med factor i pladsholderen Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 44

48 Den omvendt opgave, at gange udtrykket ud, klares v.h.a. det udvidede symbolske lighedstegn med collect, i pladsholderen Grænseværdi Paletten Calculus rummer tre grænseværdisymboler Vælg det sædvanlige grænseværdisymbol Udfyld de tre pladsholdere som vist, idet symbolet også hentes på paletten. Vælg så det symbolske lighedstegn og tast Retur Bemærk, at Mathcad på en uheldig måde blander de to skrivemåder + 7 lim = + 7 og for På paletten Calculus findes også symboler for ensidige grænseværdier Man kan undersøge hvilke funktioner, der vinder kapløbet mod uendelig Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 45

49 Summer Du kender sumsymbolet sigma (det store græske S) fra et regneark som f.eks. Ecel. Symbolet anvendes til at skrive en sum på en kort måde 000 n = + + K n= Vælg sumsymbolet på paletten Calculus Udfyld de fire pladsholdere og tast lighedstegn Prøv også med det symbolske lighedstegn Pionererne bag udviklingen af integralregningen anvendte bl.a. formlen + + K + k = k( k + )( k + ) Denne flotte formel kan vi let finde ved symbolske regninger 6 Bemærk dog, at vi ikke har bevist formlen! Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 46

50 4 DIFFERENTIALREGNING eks. Differentialkvotient Lad os eftervise differentialkvotienten 3 f ( ) = f ( ) = 3 Start med at skrive det tal, hvor differentialkvotienten skal beregnes Mathcad anvender Leibniz differentiationssymboler df ( ) d d f ( ) = f ( ), = f ( ) osv. d Symbolerne findes ved at klikke på knappen Derivative (den afledede) på paletten Calculus (differential- og integralregning) Udfyld de tomme pladsholdere og tast lighedstegn Det samlede resultat tager sig således ud Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 47

51 eks. Lad os også beregne tallet f ( ). Klik på knappen Nth Derivative (den n te afledede) på paletten Calculus og udfyld pladsholderne Den øverste pladsholder udfyldes automatisk, når -tallet skrives i nævneren. Tast til slut lighedstegn eks. Og så et par slemme differentialkvotienter eks. Afledet funktion Mathcad kan også bestemme en forskrift for den afledede funktion. Her skal du anvende det symbolske lighedstegn fi fra paletten Evaluation og afslutte med at taste Retur Nu har vi længe nok døjet med dette pilesymbol, der kan forlede svage sjæle til at tro, at der er tale om en grænseværdi. Lad os se, hvordan man kan skrive integralet på en mere korrekt form. Markér venstre side af udtrykket Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 48

52 Klik på knappen Copy, klik med musen et eller andet sted i skrivefeltet (det røde kryds) og klik på knappen Paste Flyt så redigeringslinjerne Skriv dernæst det fede lighedstegn fra paletten Evaluation Markér højre side af det oprindelige udtryk og klik på knappen Copy Klik på den tomme pladsholder og på knappen Paste Resultatet er ikke nogen skønhedsåbenbaring, men skrivemåden er i orden. eks. Og så et eksempel, som man næsten ikke orker at udregne i hånden Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 49

53 Disse to udtryk trænger i høj grad til en reduktion. Tilføj derfor det udvidede symbolske lighedstegn med factor i pladsholderen De fleste ville nok i en håndregning gange faktoren ind i tælleren og samtidig fjerne de overflødige parenteser, men Mathcad sætter altså samtlige faktorer uden-for parentes. Lad os skrive resultatet med lighedstegn Det overlades til læseren at vise, at eks. Ikke alle funktioner er differentiable; f.eks. har numeriskfunktionen som bekendt et problem i = 0 Grafen bekræfter problemet Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 50

54 5 INTEGRALREGNING På paletten Calculus findes der knapper for både det bestemte integral og det ubestemte integral eks. Det bestemte integral Klik på knappen Definite Integral (bestemt integral), udfyld de fire pladsholdere og tast lighedstegn eks. Og så et eksempel, der viser forskellen mellem det sædvanlige lighedstegn og det symbolske lighedstegn eks. Den symbolske integration giver ikke altid noget forståeligt (vi vender tilbage til dette eksempel) Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 5

55 eks. Det bestemte integral eksisterer med sikkerhed, hvis integranden er kontinuert på et lukket og begrænset integrationsinterval. I modsat fald kan der opstå problemer. Lad os se på et eksempel, hvor integranden ikke er defineret på hele integrationsintervallet En symbolsk regning bekræfter, at integralet er divergent eks. Stamfunktion Klik på knappen Indefinite Integral (ubestemt integral), skriv integranden og integrationsvariablen i de to pladsholdere, vælg det symbolske lighedstegn og tast Retur Vi skriver for en ordens skyld den korrekte udgave uden pil Bemærk, at Mathcad ikke skriver den additive konstant i stamfunktionen; den må man selv huske! eks. Det er lidt tarveligt, at Mathcad oftest udelader vigtige numerisktegn Mathcads resultater skal altså (heldigvis!) fortolkes af en god matematiker. Bemærk trykfejlen! Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 5

56 eks. Og så en mere snedig stamfunktionsopgave Udtrykket er for kompliceret, så vi prøver det udvidede symbolske lighedstegn med simplify i pladsholderen; det bliver kun en smule pænere Med factor i pladsholderen bliver udtrykket rimeligt Tilføjes endnu et udvidet symbolsk lighedstegn med factor fås en god reduktion (kun sidste del af den meget lange linje ses her) Det er svært at angive bestemte regler for regninger af den viste type; det er i høj grad et spørgsmål om at prøve sig frem. Lad os til slut skrive resultatet på en rimelig form eks. Som bekendt har enhver kontinuert funktion en stamfunktion. Men det er blot ikke altid muligt at finde en forskrift for stamfunktionen; nogle eksempler sin( ) d, sin d e og d I disse besværlige tilfælde må man gribe til numeriske metoder og beregne en tabel over stamfunktionens værdier. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 53

57 Lad os se, hvordan Mathcad klarer stamfunktionsopgaven Det er jo ikke ret oplysende. Men prøv at finde noget om funktionen Si ved at klikke på knappen Help og skrive si i søgefeltet på fanebladet Indeks. Vælg opslaget Si function, rul ned gennem listen til højre og klik på den blå tekst Si(). Det fremgår, at der er tale om det såkaldte sinusintegral Idet t = sin Si( ) dt t 0 sin Si ' ( ) = og Si(0) = 0 ses, at Si er den stamfunktion til sin /, hvis graf går gennem O(0,0). Vi kan nu let tabellægge stamfunktionen Si Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 54

58 6 SANDSYNLIGHEDSREGNING Mathcad kender et væld af sandsynlighedsfordelinger; vi vælger de to vigtigste: binomialfordelingen og normalfordelingen. Binomialfordelingen En stokastiske variabel X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p. Frekvensfunktionen for X kan beregnes v.h.a. funktionen dbinom P( X = k) = dbinom( k, n, p) mens fordelingspunktionen beregnes v.h.a. funktionen pbinom P( X k) = pbinom( k, n, p) Med antalsparameter 0 og sandsynlighedsparameter 0,3 fås altså P( X = 6) = 3, 68% og P( X 6) = 98, 64% Vi tegner et stolpediagram for fordelingen (se formatering nedenfor) Det ses, at den mest sandsynlige værdi er X = 3. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 55

59 Ved formateringen er valgt følgende indstillinger på fanebladet Traces samt tallene og i pladsholderne ved førsteaksen. Fjern på fanebladet X-Y Ais afkrydsningen ved X-Ais: Auto Grid og skriv i feltet Number of Grids, idet jo ma min = ( ) =. Normalfordelingen En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi µ og spredning σ. Værdierne af frekvensfunktionen beregnes v.h.a. funktionen dnorm f ( t) = dnorm ( t, µ, σ) Fordelingsfunktionen for X beregnes v.h.a. funktionen pnorm P( X t) = pnorm ( t, µ, σ) mens den omvendte funktion hedder qnorm P( X t) = k t = qnorm ( k, µ, σ) Med middelværdien 5 og spredningen fås altså P( X 6) = 97, 7% og P( X t) = 56, 34% t = 5, 080 Et eksempel: Levetiden for en bestemt type glødelampe antages at være normal-fordelt med middelværdi 750 timer og spredning 5 timer. Vi kan da beregne det forventede antal glødelamper med en levetid på mellem 700 timer og 775 timer i en tilfældigt udvalgt stikprøve på 300 glødelamper Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 56

60 Vi tegner også grafen for frekvensfunktionen De to markeringslinjer tegnes ved at dobbeltklikke på diagrammet og på fanebladet X-Y Aes afkrydse ved X-Aes: Show Markers. Der dukker nu to nye pladsholdere op nederst i diagrammet; her skrives tallene 700 og 775. Tilfældige tal Du kan frembringe et tilfældigt tal i intervallet [ 0;a [ v.h.a. tilfældighedsfunktionen rnd ; med a = 6 fås Et terningkast simuleres ved at nedrunde tallet v.h.a. funktionen floor og addere Ved gentagne kast med en terning kan man skrive Du kan kaste en ny serie ved at vælge Math/Calculate Worksheet. rnd står for random, tilfældig. Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 57

61 7 VEKTORER En vektor skrives traditionelt enten a med fed kursiv eller med en pil r a. I Mathcad må vi give afkald på pilesymbolet, mens skrivemåden a er omtalt i én af opga-verne til kapitel 5. Her vil vi anvende symbolet a for en vektor; skriv Klik så på knappen Matri or Vector på paletten Matri Der dukker nu en dialogboks op Vælg som vist 3 rækker (rows) og søjle (columns) og klik på Insert Skriv så vektorens koordinater, idet markøren flyttes mellem pladsholderne v.h.a. enten tasten Tab (tabulator) eller piletasterne Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 58

62 De grundlæggende vektoroperatorer er sum (sædvanligt +) differens (sædvanligt ) multiplikation af tal og vektor (sædvanligt ) prikprodukt, skalarprodukt (sædvanligt ) krydsprodukt, vektorprodukt (Ctrl og 8) længde (sædvanligt ) Krydsproduktet og længden kan også findes på paletten Matri. Nedenfor ses de almindeligste vektorberegninger Vinklen v mellem vektorerne a og b kan findes således Mathcad kan også regne rent symbolsk med vektorer Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 59

63 8 MATRICER En matri indskrives på samme måde som en vektor (se forrige kapitel); det er ikke så overraskende, da en vektor jo kan opfattes som en søjlematri. Skriv Her kunne vi også have anvendt skrivemåden A med fed kursiv (omtalt i én af opgaverne til kapitel 5). Man kan addere og subtrahere to matricer Man kan gange to matricer med hinanden og man kan gange en matri med et tal Man kan opløfte en matri til hel eksponent; specielt vigtig er den inverse matri A - Man kan transponere en matri v.h.a. knappen Matri Transpose på paletten Matri Man kan beregne matricens determinant det(a) Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 60

64 Man kan også regne eksakt Man kan opbygge en enhedsmatri E Man kan udlæse de enkelte elementer og de enkelte søjler i en matri I danske fremstillinger kaldes matricens elementer traditionelt a ij hvor rækkenum-meret i og søjlenummeret j antager værdierne,,.... Mathcad anvender derimod som standard værdierne 0,,.... For at undgå denne forvirring vælger vi start-indeks ved at skrive ORIGIN med det globale lighedstegn. Man kan finde antal rækker, antal søjler, det største element og det mindste element i en matri Man kan naturligvis formatere matricens tal med et dobbeltklik Man behøver ikke at indskrive en matri via paletten Matri. Vælg alternativt Insert/Component/Input Table og indskriv tallene i tabellen Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 6

65 Hvis du beregner tabellen ved at skrive A=, vises den som standard på matriform En beregnet matri kan omdannes til en tabel ved at dobbeltklikke på matricen og på fanebladet Display Options vælge Matri display style: Table (se ovenfor til højre). Det er også muligt at arbejde rent symbolsk med matricer Skulle man have glemt, hvordan man multiplicerer to matricer, er der også råd for det Mathcad 000 Professional, Vejledning og opgaver 6