Elektriske netværk. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Transkript

1 Elektriske netværk Køreplan Matematik 1 - FORÅR Indledning. Formålet med projektet er at anvende lineær algebra til at etablere det matematiske grundlag for elektriske netværk betstående af batterier og modstande. Dette grundlag blev skabt omkring 1842 af G.R.Kirchhoff. Lineær algebra er velegnet til udregning af strømme og spændinger, men også til forståelse af de mere kvalitative aspekter. Således passer de abstrakte begreber lineær afhængighed, underrum, og dimension perfekt ind i teorien for elektriske netværk og får her en helt konkret betydning: Strømmene udgør et underrum, spændingerne udgør et underrum, og disse underrum står vinkelrette på hinanden. Dette fænomen, der er udtrykt i Tellegen s sætning baner vej for matematisk indførelse af effekt. En fysiker vil tænke på effekten som den varme der frigives i netværket. I dette matematiske projekt, vil vi anvende effekten til at give et stringent matematisk bevis for det velkendte fænomen, at kortslutninger giver anledledning til større strømforbrug, et faktum J.C.Maxwell (Maxwell s ligninger fra elektromagnetismen) kaldte selvindlysende. I skolen lærte vi, hvad der sker, når vi serieforbinder eller parallelforbinder modstande. Metoden kan itereres, men finder kun anvendelse på en begrænset klasse af modstandsnetværk. I projektet skal vi udvide metoden til alle netværk. Når vi definerer spændinger tager vi udgangspunkt i kantspændingerne, som vi kalder spændingsfald. Vi benytter så disse til at indføre punktspændinger (eller knudespændinger som de også kaldes). Disse punktspændinger er eksempler på det man i matematikken kalder diskrete harmoniske funktioner, og de spiller en stor rolle uden for elektricitetslæren. Det giver vi et glimt af ved at anvende elektriske netværk til tilfældige vandringer. Betragt f.eks. en bille der vandrer tilfældigt på kanterne af en terning. Antag den starter i hjørnet a, og lad b,c være to andre hjørner. Hvad er sandsynligheden for, at billen kommer til b før den kommer til c? Der vil ikke blive forudsat kendskab til sandsynlighedsteori, og iøvrigt vil standard sandsynlighedsteori ikke være til megen hjælp her. Den rigtige metode er at omformulere problemet til elektriske netværk. Vi skal benytte elementære grafteoretiske begreber og observationer. En mere udførlig gennemgang af disse aspekter gives i kurset Grafteori, som ikke er en forudsætning for nærværende projekt. 2 Lineære ligningssystemer. Når vi betragter et ligningssystem Ax=0 eller en lineær afbildning og den tilsvarende koefficientmatrix, er det ofte søjlerne vi fokuserer på Vi skriver x som søjlevektor, vi tænker på venstresiden som en linearkombination af søjler, og når vi taler om billedrum og udfører koordinattransformationer, så er det også søjlerne der optræder. Mat1 04/05 side 1

2 Men rækkerne er naturligvis også vigtige. Rækkerne svarer jo til ligningerne. I nærværende projekt tænker vi primært på rækkerne. Opgaverne i denne sektion er repetition fra lineær algebra, og har blot til formål at henlede opmærksomheden på nogle af de abstrakte begreber, som i projektet vil få konkret betydning. 1. Betragt det homogene ligningssystem Ax = 0, hvor A er en matrix af rang ρ. Gør rede for, at man kan udvælge ρ af ligningerne, således at de øvrige ligninger er overflødige i den forstand, at de er en konsekvens af de ρ udvalgte ligninger. To vektorer i R n siges at være ortogonale eller at stå vinkelret på hinanden hvis deres sædvanlige skalarprodukt er Gør rede for, at en vektor x er løsning til Ax = 0 hvis og kun hvis x står vinkelret på alle rækker i A. To underrum U og W af R n siges at være ortogonale eller at stå vinkelret på hinanden, hvis enhver vektor i U står vinkelret på enhver vektor i W. 3. Vis at hvis B 1 er en mængde af lineært uafhængige vektorer i U,og B 2 er en mængde af lineært uafhængige vektorer i W, så er foreningsmængden af B 1 og B 2 lineært uafhængige i R n. 3 Grafer og netværk. Der findes mange typer netærk: vejnet, kommunikationsnetværk, etc. Den matematiske abstraktion af disse netværk kaldes en graf. En graf består en en mængde af punkter (vertices) og en mængde af kanter (edges). Enhver kant forbinder to punkter. Formelt er en kant et punktpar, og det er også sådan Maple opfatter en kant. Her er et eksempel: > >! "# $% &(' )* +-,./, ,*8759;:84* +-<=>@?;*%,AB+*%, C;4* D56E5 5%,F+5 A5-G./,5-A )* +-,./, <+= 25:H25-AI,*8759J,=%+@7K*%,AB2 +*:@5L4* D56E5 5%,F+5 A5-G./,5-AL*%,A M, <+= 25:H25-A )* +-,./, %5I,*/759N4* D56E5-5%,;+5-A5 G./,5-AOPA=-A5:%*%45-A +=%,#1Q.-:%=9@*%45-A-+=%,#1 =:H2*@45-A-+=@,#1P25%2 +*%45 A-+=%, > R S TVUW" '&6XY[Z]\^Z(_&Za`b^Zc cdyez\fzc!y[za` f&z cv\^z_fzcv\za` f&zcv_z(`ff > R - R S e Mat1 04/05 side 2

3 Denne graf kaldes somme tider diamanten. Kanterne er nummereret i den rækkefølge vi angiver dem. MAPLE kalder dem e 1, e 2,... Lad os checke at [3,4] virkelig er den femte kant og at [1,4] er den anden kant. > ghi gjeklnmo(pqoahsrt uẗ vw$xey]ghig jzksld{eoap q&oahr t-usẗ v wxzy {e5} {e2} Når vi som ovenfor anvender kantede parenteser omkring kanterne, så har kanterne en orientering. Grafen kan beskrives ved hjælp af incidensmatricen, hvor rækkerne svarer til punkterne, og søjlerne svarer til kanterne. Enhver kant har en hale (tail), der beskrives med et -1 og et hoved (head) der beskrives med et +1. For diamanten fås: > ~}nsr v r h gv gkhr t-usẗ v wxzy A := Bemærk at søjlerne kommer i den rækkefølge, som vi har angivet dem i. Når der er mere end 9 rækker sker der dog noget pudsigt. Hvis der f.eks er 12 søjler, så kommer de ikke i rækkefølgen 1,2,...,12 men i den leksikografiske rækkefølge 1,10,11,12,2,3,4,5,6,7,8,9. Husk også at MAPLE muligvis ikke bryder sig om store matricer. Hvis man vil kunne se en 15 gange 15 matrix kan man bruge kommandoen > r vwg t g#k( wẗ ƒ gj r g${ xzy Mat1 04/05 side 3

4 En anden ting: Når man multiplicerer to matricer i MAPLE skal muligvis benytte kommandoen Multiply, muligvis multiply (altå med lille m). Nogle grafer har specielle navne, f.eks. komplet graf (hvor hver mulig kant er tilstede), komplet todelt graf, kreds (cycle), og vej (path). (I kredse og veje må der ikke være gentagelse af punkter.) Her er nogle eksempler. > ˆ -Š 8Œ Ž! e > ˆ -Š % ˆ& s dše œ ( ž e /Œ Ž # ] & aÿ e Mat1 04/05 side 4

5 > - 8! ªªz« > - # d e d [±] ²^±/ % # d sªªe±/ % # d sªªª > «Mat1 04/05 side 5

6 Den mest berømte graf er Petersens graf opkaldt efter den danske matematiker Julius Petersen ( ), som var professor her på DTU (eller den Polytekniske Læreanstalt, som det hed dengang). > ³µń ¹ ºs» ¼&½H¾ ºÀ-Á½³¾e Når vi betragter en generel graf, så vil vi lade n betegne antallet af punkter og m antallet af kanter. En graf er sammenhængende hvis og kun hvis ethvert par af punkter i grafen er endepunkter for en vej i grafen. Et træ er en sammenhængende graf uden kredse. Hvis et træ T er en delgraf af en graf G, så Mat1 04/05 side 6

7 siges T at være et udspændende træ i G hvis T har samme punktmængde som G. 4. Vis at enhver sammenhængende graf har et udspændende træ. 5. Vis, at hvis et træ har n punkter,så har det n 1 kanter. En graf er plan hvis den kan tegnes i planen uden overkrydsninger. F.eks. er alle kredse og træer plane grafer. Et andet eksempel på en plan graf er terninggrafen: > Ã Ä ÅÆÇ%Æ ÈÊÉnË ÈÅ Ì ÍÎ&ÏdÐÑ[ÒÓÒ(Ô&ÒaÕ&Ò]Ö^Ò] ^Ò(Ø&Ò(Ù > ÚÒÛÛ!Ñ[Ò]ÓÜ&Ò ÛVÓÒ(ÔÜÒÛVÔÒaÕ Ü&Ò ÛÕ&ÒHÑ@ÜÒÛdÑeÒÖÜ&ÒÛaÓ^Ò] Ü&Ò ÛnÔ&Ò(ØÜÒÛnÕ&Ò(ÙÜ&Ò ÛVÖ^Ò] ÜÒÛV Ò(ØÜ&ÒÛVØÒÙÜ&Ò > ÛVÙÒÖÜÜÝÉ > ÞÅÌ-ßÏ]à á ÆâÄ Æ ÃÅÇ â[ïûdñ[ò]ó^òôòaõ ÜÝzÒVÃÄÅÆÇ%Æ ÈÝeã Man danner den duale graf for en plan graf således: I hvert områdes tilføjes et nyt punkt. Man forbinder to nye punkter hvis de tilsvarende områder har en fælles kant på randen. 6. Den duale graf til terningrafen kaldes oktaedergrafen.tegn den. (Af hensyn til senere brug er det en fordel at benytte samme kantnummerering i oktaedret som i terningen. Vælg også orienteringen for en kant i oktaedret. så den er en slags tværvektor til den tilsvarende kant i terningen. Så vil der senere vise sig forbavsende sammenhænge mellem de to grafer.) 4 Strømme og spændinger Betragt en sammenhængende graf f.eks. diamanten. Både kanterne og punkterne er nummererede. Alle kanter har en orientering. Mat1 04/05 side 7

8 Til enhver kant k knytter vi nu et tal i k, som vi vil kalde strømmen gennem kanten k. For ethvert punkt skal Kirchhoff s strømlov være opfyldt. F.eks gælder for punkt 2 i diamanten: i 1 = i 3 +i 4 eller i 1 i 3 i 4 = 0. Sagt med andre ord: Vektoren i = (i 1, i 2, i 3, i 4, i 5 ) står vinkelret på anden række i incidensmatricen A. Når i står vinkelret på alle rækker i A, så siges i at være en strømvektor. Mængden af alle strømvektorer kaldes strømrummet. Det findes således for diamanten: > ä å%æsçèäéêëìíaéêî ïèðësñvòíòí(ò&í(òóôôzõ [ _t 2, _t 2, _t 1, _t 2 _t 1, _t 1 ] 7. Find strømrummet for terninggrafen (cube på engelsk og i MAPLE) og oktaedergrafen (octahedron). Disse grafer har hver 12 kanter. De er som nævnt duale plane grafer. Benyt den samme kantnummerering i begge grafer samt "tværvektororienteringen"i oktaedergrafen. Betragt nu en kreds i diamanten, f.eks. den der har punkterne 2,3,4, 2. Vi beskriver den ved hjælp af de kanter den indeholder, nemlig [2,3], [3,4] og [2,4]. Disse kanter har numrene 3, 5, 4. Sidstnævnte går imod den retning af kredsen som vi har valgt. Vi kan derfor beskrive kredsen ved hjælp af dens kredsvektor (0,0,1,-1,1). Diamanten har de tre kredsvektorer (1,-1,0,1,0), (0,0,1,-1,1) og (1,-1,1,0,1). Disse vektorer er rækkerne i kredsmatricen C for diamanten. > öê nø ùú ï ðå%û&ë]ü&íý^í ñdþeí/ÿ þeí(ò&í8þ[íòíòí(ò&í8þeí/ÿ þeí8þeí8þ[í8ÿ þeí8þ[íòíhþ@óôzõ C := Bemærk at den sidste række i C er summen af de to første. En vektor v = (v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) er en spændingsvektor, hvis den er vinkelret på enhver kredsvektor. Man kalder v k for spændingsfaldet i kanten k, og man kræver, at spændingsfaldet (dvs summen af spændingsfald) langs enhver kreds er 0. Dette kaldes Kirchhoff s spændingslov. Mængden af spændingsvektorer kaldes spændingsrummet. Det findes for diamanten således > ä å%æsçèäéêë ö íaéêî ïèðësñvòíòí(òóô ôeõ [_t 1 _t 2, _t 1, _t 2 _t 3, _t 2, _t 3 ] Det ses let, at enhver stømvektor i diamanten er en linearkombination af rækker i C, samt at enhver spændingsvektor i diamanten er en linearkombination af rækker i A. Dette er ikke noget tilfælde, som vi skal se senere. Bemærk at en graf kan have mange kredse. Hvis man skal opskrive samtlige ligninger i Kirchhoff s spændingslov, så kommer man på noget af et arbejde. Tænk f.eks på den komplette graf med 10 punkter.heldigvis er de fleste ligninger overflødige, som vi skal vise nedenfor. Vi betragter nu en generel graf G. Vi kalder incidensmatricen for A. 8. Vis, at rækkerne i A er lineært afhængige. Antag nu at G er sammenhængende. Vis, at den eneste måde hvorpå man kan få en linearkombination af rækkerne til at give nulvektoren er ved at lade Mat1 04/05 side 8

9 alle koefficienter i linearkombinationen være ens. Vink: Vis først at koefficienterne til hoved og hale af hver kant skal være ens. Benyt dette til at vise, at der findes n 1 rækker i A, som er lineært uafhængige. Så A har rang n Vis, at enhver kredsvektor står vinkelret på enhver rækkevektor i A. Lad T være et udspændende træ i G. Lad k være en kant i G men uden for T. 10. Vis, at der findes netop en kreds som indeholder k og som har alle andre kanter i T. Denne kreds kaldes fundamentalkredsen for e m.h.t. T. Lad C være den delmatrix af kredsmatricen C, hvis rækker er alle fundamentalkredse. 11. Vis, at C har rang m n + 1, d.v.s. alle rækker i C er lineært uafhængige. Vink: Hver fundamentalkreds S har en kant, der ikke er i nogen af de andre fundamentalkredse. 12. Vis, at alle rækkerne i C sammen med n 1 rækker i A er en basis for R m. (Vink: Der er tilsammen m vektorer, så det er tilstrækkeligt at vise at de er lineært uafhængige. Betragt derfor en linearkombination som giver 0-vektoren. Flyt C-vektorerne over på den anden side af lighedstegnet. Benyt opgave 9 til at vise at de to vektorer på hver side af lighedstegnet både er ortogonale og ens og dermed 0-vektoren. Benyt derefter opgave 8 og opgave Gør rede for, at en vektor i er en strømvektor hvis og kun hvis den er en linearkombination af rækker i C. Gør rede for, at en vektor v er en spændingsvektor hvis og kun hvis den er en linearkombination af rækker i A. Vink: Af opgave 12 fremgår at enhver vektor i R m kan skrives som linearkombination af rækker i A og C. Betragt en sådan opskrivning for både i og v, og benyt så definitionen af strøm- og spændingsvektor. Opgave 13 har ikke kun teoretisk interesse. Opgaven siger, at enhver strøm kan fås ved at sende strøm gennem fundamentalkredse. Koefficienterne i linearkombinationen angiver hvor meget strøm der sendes gennem de respektive kredse. Og dette kan bruges til hurtigt at finde strømfordelingen i visse netværk. Antag f.eks at vi i netværket har et udspændende træ T, således at alle kanter uden for T er strømgeneratorer. Så svarer hver strømgenerator til en fundamentalkreds for T. Vi sender nu al generatorens strøm gennem denne fundamentalkreds. Det gør vi for alle strømgeneratorer. Dermed har vi fundet strømfordelingen næsten uden at regne. Og vi bemærker, at strømfordelingen er helt uafhængig af hvilke modstande og spændingsgeneratorer vi har inde i T. Ligeledes siger opgave 13, at enhver spændingsvektor v kan skrives som en linearkombination af rækker i A. Denne linearkombination er ikke entydig, men det bliver den hvis vi udvælger en række (f.eks. den sidste) og siger at koefficienten til den række er 0. På den måde får vi et tal knyttet til enhver række og dermed til ethvert punkt. Dette tal kaldes punktspændingen (eller knudepunktsspændingen) for det pågældende punkt. Vi vil i afsnit 6 indføre punktspændinger på en mere direkte måde. Nu kommer den lovede simplifikation i Kirchhoff s spændingslov: 14. Gør rede for, at at en vektor v er en spændingsvektor hvis og kun hvis den står vinkelret på alle rækker i fundamentalkredsmatricen C. Vi får også følgende vigtige resultat om elektriske kredsløb, nemlig Tellegen s sætning. (opkaldt efter D.H.Tellegen ( )). Mat1 04/05 side 9

10 15. Hvis i er en strømvektor og v er en spændingsvektor, så står i og v vinkelret på hinanden. 16. Find spændingsrummet for terninggrafen og oktaedergrafen. Vis at spændingsrummet i den ene er strømrummet i den anden. Dette er ikke et tilælde. Det skyldes at de to grafer er duale plane grafer. Opgaverne 15 og 16 antyder, at strømme og spændinger er begreber, som dels modsvarer hinanden, men som også kan bytte rolle. Man taler on duale begreber. Uheldigvis er det kun plane grafer, der har duale grafer. Der findes dog en fælles udvidelse af matrix- og grafteori, den såkaldte matroideteori, hvor denne dualitet spiller en afgørende rolle. 5 Modstandsnetværk. Indtil nu har vi behandlet strømme og spændinger som separate begreber. I en vis forstand er de meget forskellige i den forstand at de står vinkelret på hinanden. Vi skal nu sammenkoble strømme og spændinger, og stadigvæk på et rent matematisk grundlag. Vi betragter igen en graf G. Vi ønsker at finde en strømvektor og en spændingsvektor, men nu er der yderligere betingelser, der skal være opfyldt. Kanterne er delt op i op i tre slags: spændingsgeneratorer strømgeneratorer samt modstande. Til enhver kant er nu knyttet et fast tal som beskrevet nedenfor. Hvis kanten k er en spændingsgenerator så kalder vi tallet knyttet til k for V k. Når vi finder i og v, så inststerer vi på at v k er lig V k. Hvis kanten k er en strømgenerator så kalder vi tallet knyttet til k for I k. Når vi finder de ubekendte vektorer i og v, så insisterer vi på at i k er lig I k. Hvis kanten k er en modstand (resistans) så kalder vi tallet knyttet til k for R k, og vi forlanger at R k er positiv. Når vi finder i og v, så insisterer vi på at v k er lig i k multipliceret med modstanden R k. Dette er den velkendte Ohm s lov. Dermed får vi en ny ligning for hver kant, altså m ligninger i alt. I forvejen har vi Kirchhoff s strømlov (n-1 ligninger), og Kirchhoff s spændingslov (m n + 1 ligninger). Vi har altså i alt 2m ligninger med 2m ubekendte. (Man kunne indvende at strømmene i strømgeneratorerne ikke er ubekendte, idet vi kender dem. Vi vil dog betragte dem som ubekendte, så antallet af ligninger bliver 2m.) Tallene, der angiver strømme, spændinger og modstande måles som sædvanligt i henholdsvis ampere, volt og ohm. 17. I diamanten lader vi kanten [1,2] være en spændingsgenerator på V volt, vi lader [1,4] være en strømgenerator på J ampere, og vi lader de øvrige kanter være modstande på henholdsvis 3,4 og 5 ohm. Find samtlige strømme og spændinger. Hvad sker der med strømmene, hvis man ændrer spændingen i spændingsgeneratoren? Fra teorien for ligningssystemer ved vi at 2m ligninger med 2m ubekendte enten har uendelig mange løsninger eller ingen løsninger, eller præcist en løsning. Mat1 04/05 side 10

11 18. Vis, at hvis ligningssystemet har en løsning, og der findes en kreds bestående af spændingsgeneratorer, så er der uendelig mange løsninger. Vink: Man kan sende mere strøm gennem kredsen bestående af spændingsgeneratorer. Hvis punktmængden for grafen deles op i to mængder S og T, så kaldes de kanter, der forbinder S med T for et snit. 19. Vis, at hvis ligningssystemet har en løsning, og der findes et snit bestående af strømgeneratorer, så er der uendelig mange løsninger. Vink: Man kan sende mere spænding gennem snittet bestående af stømgeneratorer. Giv en intuitiv forklaring på opgaverne 18 og 19. Med andre ord, hvad ville der ske i praksis, hvis man byggede et netværk som beskrevet i en af de to opgaver? Man kan bevise (matematisk) at hvis situationerne i opgaverne 18 og 19 ikke optræder, så har ligningssystemet netop en løsning. Et sådant netværk kaldes regulært. Dette må antages uden bevis. Benyt det til at bevise følgende: 20. Et sammenhængende modstandsnetværk er regulært, hvis og kun hvis det har et udspændende træ T, således at alle spændingsgeneratorer er inde i T og alle strømgeneratorer er uden for T. 6 Punktspændinger og tilfældige vandringer. Lad G være en sammenhængende graf, og lad v= (v 1,v 2,...,v n ) være en spændingsvektor. Lad t være et fast punkt. Vi indfører nu et tal V (p) til ethvert punkt p. Vi vil kalde dette tal for punktets spænding. Først sætter vi V(t) = 0. For ethvert punkt p betragter vi en vej fra p til t. Vi adderer alle spændingsfald (målt med fortegn) i denne vej. Denne sum kaldes nu V (p). 21. Vis, at V(p) er uafhængig af vejen fra p til t. 22. Vis, at hvis k er en kant fra punkt i til punkt j, så er v k = V (i) V( j). Opgave 22 retfærdiggør glosen spændingsfald. Opgaven viser nemlig, at spændingsfaldet v k angiver faldet i punktspænding, når vi går fra punkt i til punkt j. Det er ikke svært at se at denne definition af punktspænding er den samme som den vi gav i afsnit 4. Dvs vi har to metoder til at finde punktspændingerne. Vi betragter nu et modstandsnetværk hvor alle kanter er modstande pånær én, nemlig [s, t]. Kanten [s,t] er en spændingsgenerator på V volt. Igen giver vi t spænding Vis, at V(s) = V, og at alle andre punkter har en spænding mellem 0 og V. Med andre ord, funktionen V(p) har minimum i t og maksimum i s. Vink: Antag p er et punkt forskellig fra s hvori V har maksimum. Gør rede for, at alle strømme går ud fra p. Bevis så at alle disse strømme må være 0. Dvs V har også maksimum i alle naboer til p. Fortsæt dette ræsonnement. Vi vi nu lade generatorspændingen være V(s) = 1, og vi vil lade alle kantmodstande være 1. Opgave 23 siger at alle punktspændinger er tal mellem 0 og 1. Man kan bevise (og det er ikke svært) at V(p) er sandsynligheden for at en tilfældig vandring, der starter i p kommer til s før den kommer til t. Tilfældige vandringer (random walks, Markov chains) er af stor betydning i både fysik og matematik. En tilfældig vandring fra et punkt p på en overflade eller i et legeme antyder, hvordan en varmeenhed anbragt i p fordeler sig i legemet som funktion af tiden. Og i matematik indgår tilfældige vandringer f.eks. i algoritmer, som ikke altid virker, men som virker med stor sandsynlighed. Mat1 04/05 side 11

12 24. For vilkårlige tre punkter a, b og c i terninggrafen skal man finde sandsynligheden for at en tilfældig vandring der starter i c kommer til a før den kommer til b. Vink: På grund af symmetrien kan de to punkter a og b vælges på tre måder. For hver af disse tre valg, skal man først indsætte en spændingsgenerator mellem a og b og dernæst udregne alle strømme og dernæst alle punktspændinger. 25. Samme opgave som 24 men nu for oktaedergrafen i stedet. 26. Samme opgave som 24 men nu for Petersens graf i stedet. 7 Effektiv modstand Lad G være en graf hvor alle kanter er modstande. Lad s, t være to punkter i G. Tilføj en spændingsgenerator med V volt mellem s og t. Lad J være den strøm der går i generatoren. Vi definerer indgangsresistansen (den effektive modstand, driving point resistance) R(s,t) mellem s og t som den numeriske værdi af V/J. Vi definerer effekten i en kant k som R k multipliceret med kvadratet af strømmen altså i k 2. Summen af kanteffekterne er effekten i grafen. 27. Vis, at V og J har forskellige fortegn, og at det positive tal JV er den samlede effekt i netværket. Vink: Dette er en simpel konsekvens af Ohm s lov kombineret med Tellegen s sætning. Vis, at RJ 2 = W, hvor W er den samlede effekt i netværket. Vi vil nu antage at alle modstande er 1 Ohm. Lad τ(g) betegne antallet af udspændende træer i G. Lad G st betegne grafen, der fås fra G ved at identificere (d.v.s. sammensmelte) punkterne s og t. Bemærk, at det kan skabe dobbeltkanter. Man kan vise, at R(s, t) = τ(g st) τ(g) (1) Antallet af udspændende træer findes således: Vi definerer konduktansmatricen K som incidensmatricen A multipliceret med sin transponerede. For diamanten fås: >!"#%$&$(' K := Bemærk, at K er en symmetrisk n gange n matrix. I diagonalen er der positive tal og uden for er der 0 og Hvad fortæller de positive tal i hoveddiagonalen, og hvornår er der -1 uden for diagonalen? Hvad er konduktansmatricen for den komplette graf? Der gælder nu følgende sætning (som må antages uden bevis): Antallet af udspændende træer i G fås ved at slette sidste række og søjle i K og tage determinanten af den resulterende (n 1) gange (n 1) matrix. Mat1 04/05 side 12

13 For diamanten fås: > K1 := Med andre ord, diamanten har 8 udspændende træer Benyt determinantmetoden til at bestemme antallet af udspændende træer samt alle indgangsresistanser i terninggrafen. 30. Benyt determinantmetoden til at bestemme antallet af udspændende træer samt alle indgangsresistanser i oktaedergrafengrafen. 31. Benyt determinantmetoden til at bestemme antallet af udspændende træer samt alle indgangsresistanser i Petersens graf. I MAPLE findes en mere direkte metode til at bestemme antallet af udspændende træer. Kommandoen rankpoly(g,0,0) vil give antallet af udspændende træer i grafen G. Nedenfor anvender vi den først i Petersens graf og dernæst i den graf der fås ved at identificere to nabopunkter 1 og 2. Men denne metode har sine begrænsninger. For det første skal alle grafer være ikke orienterede, når vi bruger rankpoly(g,0,0), mens vores grafer er orienterede. For det andet skal vi respektere dobbeltkanter, når vi bruger formelen for indgangsresistans. Det gør Maple ikke, men vi kan gøre det i incidensmatricen ved at dublikere en søjle. For det tredie går kommandoen rankpoly via det såkaldte Tutte polynomium, som er meget vanskeligere at udregne end determinanter. Dette viser sig ved tidsforbrug samt risiko for at MAPLE går ned. Så determinantmetoden er bedre. Vi ser dog nedenfor, at Petersens graf har 2000 udspændende træer, samt at når vi identificerer to ikke-naboer i Petersens graf, så vil den nye graf have 1200 udspændende træer. Der er muligvis en simpel forklaring på, at disse tal er så pæne, men opgavestilleren kender den ikke. (Der er dog en simpel forklaring på at forholdet mellem dem er 5/3. > I,.HJF 5F 6/HF K9LB", > 64 KM&J N&O P:9 I <#Q:<QB(C > /R671KM9TS*(<#U&VW< I <X%B",Y64 K&MJ N&O P9 I <#Q:<#QB(C Kirchhoff s spændingslov og kortslutninger. Kirchhoff s love sammen med Ohm s lov er det aksiomatiske grundlag for modstandsnetværk. Det er let at argumentere for Kirchhoff s strømlov: Man kan tænke på elektrisk strøm som transport af elektroner. De, der går ind til et punkt, må også gå ud. Kirchhoff s spændingslov forekommer mindre indlysende. Som vi har set ovenfor er den et nyttigt redskab, men hvorfor har naturen valgt denne lov? Det skal vi prøve at forklare her. Vi betragter en sammenhængende graf G og lader s,t være to punkter i G. Lad J være et positivt tal. Mat1 04/05 side 13

14 Vi definerer nu en transportstrøm af værdi J fra s til t således: Det er en vektor, der opfylder Kirchhoff s strømslov, bortset fra at den summen af kantstrømme der går ud fra s er lig J, og summen af kantsummerne, der går ind til t, er lig J. Antag nu, at der til enhver kant k er knyttet en positiv modstand R k. Vi definerer effekten i en kant k som R k multipliceret med kvadratet af strømmen altså i k 2. Summen af kanteffekterne er effekten i grafen. Vi betragter nu en transportstrøm af værdi J, således at den samlede effekt er mindst mulig. 32. Vis, at der findes en strøm der minimerer effekten. Vink: Anvend en af hovedsætningerne for kontinuerte funktioner. 33. Vis, at den ovenfor definerede strøm er den elektriske strøm i det netværk der fremkommer fra G ved at tilføje en strømgenerator med J ampere fra t til s. Vink: Man skal verificere Kirchhoff s spændingslov. Betragt derfor en kreds i G. Send ekstra strøm på x ampere gennem denne kreds. Opskriv den samlede effekt som en funktion f (x). Af definitionen på vores oprindelige strøm har f minimum for x = 0. Dvs den afledede for f i 0 er 0. Dette viser sig at give Kirchhoff s spændingslov. 34. Kald spændingsfaldet i ovenstående strømgenerator for V. Vis, at V og J har forskellige fortegn, og at det positive tal JV er den samlede effekt i netværket. Vink: Dette er en simpel konsekvens af Ohm s lov kombineret med Tellegen s sætning. Opgaverne 33 og 34 forklarer Kirchhoff s spændingslov samt sammenhængen mellem effekt og strøm og spænding. Men den er også nyttig til at forstå andre aspekter for eksempel kortslutninger. 35. Betragt ovenstående G med tilføjet strømgenerator. Vis, at hvis vi foretager en kortslutning (dvs. vi identificerer to punkter i G), så falder effekten. Vis, at hvis vi erstatter strømgeneratoren med en spændingsgenerator og foretager en kortslutning, så stiger strømmen i generatoren. Bemærk at det ikke ville være let at løse opgave 35 ved hjælp af Kirchhoff s love alene. Sidste del af opgave 35 er velkendt i praksis: Der springer en sikring! Mat1 04/05 side 14