Matematikken navigation Kronometer - Mercator - Hyperbel GPS/Galileo
|
|
- Sidsel Olesen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematikken navigation Kronometer - Mercator - Hyperbel GPS/Galileo Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematik, Aarhus Universitet
2 Disposition 1 Kuglen - koordinater 2 3 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN 4 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Matematikken centralt i spil Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure 5 Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre
3 Katastrofen ved Scilly den 22. oktober 1707 Klokken 8 aften ramte flagskibet HMS Association klipperne ved Scilly Øerne - sank på 4 minutter med hele besætning på 650. To skibe i samme flåde (på 19 skibe) led straks samme skæbne, mens et fjerde sank langsommere. Omkomne reddet blev 26. Nagivationfejl - forkert bestemmelse af længdegrad HMS_Association_(1697).jpg (JPEG Image, pixels)
4 Længde- og breddegrad Længde- og breddegrader opstod som begreb mindst 300 år f. kr. I år 150 producerede kartograferen og astronomen Ptolemy 27 kort i det første verdensatlas
5 Jupiters 4 måner Galileo opdagede i 1610 Jupiters 4 måner. Han observerede og beregnede deres baner. Måneformørkelser forkom, påstod han, 1000 gange årligt - dette fænomen kunne danne grundlag for synkron tidstagning og dermed bestemmelse af længdegrad. Galileos metode fandt anvendelse på landjorden til gentegning af verden. Kong Louis XIV udtalte, at han mistede mere land til astronomerne end til sine fjender, se kort. Rømer - lysets hastighed.
6 Kuglen - koordinater Kort over Frankrig efter Galileos metode
7 Longtide act of 1714 Scilly katastrofen foranlededige, at det engelske parlament (med rådgivning fra Newton og Halley) i 1714 udlovede en dusør på engelske pund (a kings ransom) for løsningen af længdegradsproblemet. Formentlig også kommercielt begrundet - i slutningen af det 17. åhunderede tog næsten 300 engelske skibe årligt turen til Vestindien.
8 John Harrison John Harrison (urmager) helligede sit liv til at konstruere kronometre, der var tilstrækkeligt præsise til at løse længdegradsproblemet. H1 var færdigt i 1735 og H4 i 1759 (kan ses i The Harrison Gallery i Old Royal Observatory i Greenwich). Efter tests, politiske kampe, med indgriben fra kongen og debat i parlementet fik John Harrison i 1977 en kompensation på engelske pund. Dava Sobel og W. J. H. Andrews har skrevet bøger og lavet film om dette dramatiske forløb.
9 Pejling Tag pejling af 2 kendte punkter Bestem skæringspunktet mellem de 2 tilsvarende rette linier på et passende kort
10 Mercator projektion: Verdenskort 1569 Samme kurs svarer til en ret linie på kortet En pejlet vinkel svarer til den samme vinkel på kortet
11 Loxodrom Fast kurs, altså samme vinkel på Mercator kort En spiral på kuglen
12 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN Hyperbler Konstante afstandsforskelle til 2 givne punkter Kendt afstandsforskel bestemmer, hvilken hyperbelgren i nettet man er på Bestemmelse i forhold til mindst 2 hyperbelnet bestemmer positionen I praksis (DECCA) bruges 3 hyperbelnet
13 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN DECCA og LORAN hyperbelnavigation DECCA Landgangen Normandiet 1944 Night Passage to Normandy, Lieutenant-Commander Oliver Dawkins, R.N.V.R, Decca, 1969 The Decca Navigator System on D-Day, 6 June 1944, An Acid Test, Commander Hugh St. A. Malleson, R.N. (Ret.) DECCA-net i drift i Danmark masteren var på Samsø og slaverne ved Møn, Tønder og Hjørring LORAN. USA, Japan, Norge og Rusland har LORAN stationer i drift. Norge har en station på Jan Mayen. De lang-bølgede radiosignaler kan modtages under vand, og er derfor nyttige til ubåde.
14 USA/USSR/EU forskellige motiver Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Som en del af den kolde krigs våbenkapløb besluttede US Department of Defense at udvikle et positionssystem (GPS), der gjorde det muligt for en ubåd hurtigt og præcist at bestemme sin position og affyre sine våben. Raketter var allerede så præsice, at de kunne ramme, hvad som helst blot de kendte affyringspositionen. Det kostede 12 milliarder US dollars og er nu tilgængeligt for alle. USSR har et tilsvarende militært system (GLONASS). GALILEO er et nyt europæisk system under udvikling med et kommercielt sigte. Systemet vil kunne arbejde sammen med og supplere GPS og GLONASS.
15 Galileo - mål Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Galileo er et satelitte navigationssystem som bygges af European Union (EU) og European Space Agency (ESA). Budget på 20 milliader EURO. Brugen vil være gratis for brugeren. Præcisionen bedre end 1 meter - såvel vandret som lodret. Bedre dækning på den nordligste del af den nordlige halvkugle end de øvrige systemer. Et af målene er at få et europæisk system uafhængigt af GLONASS (russisk), GPS (amerikansk) og Compass (kinesisk).
16 Galileo - status Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure 21 oktober 2011 blev de første 2 af 4 satelliter opsendt med henblik på at validere systemet de 2 næste fulgte i oktober Begyndende drift forventes i midten af dette årti. Fuld drift med 30 satelitter (27 aktive og 3 i reserve) forventes i Udsendelser/2012/10/ htm
17 Rumlig triangulering Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure I GPS 1 bestemmer modtageren afstandene til 3 af satelitterne ved at bestemme tiden, det tager for et signal at komme frem. Det giver 3 ligninger til at bestemme de 3 koordinater til positionen (x, y, z). Geometrisk udtrykker ligningerne, at positionen er på fællesmængden af 3 kugleflader - altså forventeligt 2 løsninger, hvoraf den ene kan forkastes udfra en rimelighedsbetragtning. 1 I Galileo regnes der ikke med atstande til satelitter; men med forskelle på afstande
18 Rumlig triangulering - nøjagtige ure! Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Princippet er enkelt, men forudsætter at den personlige modtager har et MEGET nøjagtigt ur, der går fuldstændigt synkront med urene i satellitterne. En fejl på 10 3 sekund resulterer i en positionsfejl på 300 km. at der er en effektiv og nøjagtig metode til afstandsbestemmelse under forudsætning af synkrone ure.
19 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Virkemåde - synkronisering af det lokale ur Det meget præsice ur haves selvsagt ikke på den lokale modtager til en pris af 1000 kr.; men kan laves på en elegant matematisk måde. Betragt fejlen på uret i din lokale modtager som en variabel. Mål ikke til 3 men til 4 satelitter for at opstille 4 ligninger til bestemmelse af de 4 variable x, y, z,. En lokal modtager bestemmer altså ikke blot positionen; men er også et meget nøjagtigt ur, fordi det ved hjælp af matematik synkroniserer til satellit-urene. Nu skal vi se hvordan.
20 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Ligningerne til bestemmelse af position og fejlen på det lokale ur Lad (x, y, z) være koordinaterne til den ukendte position og (x k, y k, z k ), i = 1, 2, 3, 4 de kendte koordinater til 4 satelitter. Fejlen i uret på den lokale modtager, betegner vi, så vi måler med en fejl på d = c, hvor c er lysets hastighed. Den målte afstand er derfor d k = (x x k ) 2 + (y y k ) 2 + (z z k ) 2 + d som medfører, at (x 2 k +y 2 k +z 2 k d 2 k ) 2(x k x +y k y +z k z d k d)+(x 2 +y 2 +z 2 d 2 ) = 0 Disse 4 sammenhørende ligninger kan med fordel løses ved skift til matrix notation. Bemærk, at vi vil bestemme de med rødt angivne variable.
21 Matematisk reformulering af ligningerne I Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Definer et skalarprodukt på R 4 ved a, b := a t Mb, M = x r = y z, r k = d x k y k z k d k
22 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure I denne notation kan ligningerne skrives 1 2 r k, r k r k, r + 1 r, r = 0 2
23 Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Matematisk reformulering af ligningerne II Med notationen x 1 y 1 z 1 d 1 r 1, r 1 1 B := x 2 y 2 z 2 d 2 x 3 y 3 z 3 d 3, α = r 2, r 2 r 3, r 3, e = r1 1, Λ := 1 r, r 2 x 4 y 4 z 4 d 4 r 4, r 4 1 kan ligningerne skrives og løsningen bliver α BMr + Λe = 0 r = MB 1 (Λe + α).
24 Løsning Militær og kommerciel baggrund GALILEO et kommercielt/offentligt europæisk projekt - nu i EU regi Rumlig triangulering Matematisk synkronisering af ure Sætter vi ovenstående udtryk for r ind i Λ := 1 2 r, r får vi, idet vi udnytter at M(a), M(b) = a, b, en andengradsligning til bestemmelse af Λ B 1 e, B 1 e Λ B 1 e, B 1 α Λ + B 1 α, B 1 α = 0
25 Bestemmelse af tidsforskel Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Måler den tid et radiosignal er undervejs fra satelit til modtager. Dertil bruges en generator af tilfældige tal. Satellitten udsender følgende: et tal for hvert klokkeslag GPS-modtageren har samme generator. GPS-modtageren sammenligner egen følge med den modtagne. En forskydning her er udtryk for en tidsforsinkelse.
26 Lineære skifte registre Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Generatoren af tilfældige tal er et Lineært skifte register af bloklængde 10. Faktisk bruges der 2 registre og militæret bruger et af længde 12. Det virker sådan her: Registret har en starttilstand Første tal udlæses, de øvrige flyttes en plads til venstre. Sidste plads gives en værdi svarende til en bestemt lineær sum af de 10 foregående tal, hele tiden beregnet modulo 2. Det kunne for eksempel være summen af 3. og 10. tal hvilket faktisk er den ene af de to, der bruges i GPS. Efter 1023 klokkeslag, står vi med Matematikken det register bag navigation startede med.
27 Registre og maksimal periode Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre De værdier, som registret af bloklængde r udlæser udgør en følge af binære tal a 0, a 1, a 2,... og der er en rekursionsligning: a n = c 1 a n 1 + c 2 a n c r a n r mod 2, hvor c i er konstanter lig med 0 eller 1. Startværdierne benævnes a r,..., a 1. For et register af længde r er der 2 r mulige tilstande, idet der på hver af de r pladser kan stå enten 0 eller 1. Specialtilfældet, hvor alle pladserne er 0, har periode 1. For andre er det maksimale antal tilstande 2 r 1, som dermed er den maksimale periode for et register.
28 Genererende funktion Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Den genererende funktion er G(x) := a nx n. n=0 Vi har r r G(x) = c i a n i x n = c i x i r a n i x n i = c i x i (a i x i + + a 1 x 1 + G(x)) n=0 i=1 i=1 n=0 i=1 Vi får, at ri=1 c i x i (a i x i + + a 1 x 1 ) G(x) = 1 r i=1 c i x i Polynomiet r f (x) = 1 c i x i i=1 i nævneren kaldes det karakteristiske polynomium for registret.
29 Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre De karakteristiske polynomier i GPS De to registre, der bruges i GPS-systemets civile del, har de karakteristiske polynomier : 1 + x 3 + x x 2 + x 3 + x 8 + x 9 + x 10 Ved en kombination af de to registre sender satellitten et periodisk signal med en periode på ca. 1,5 sek., svarende til ca km. (Militærets signal har en periode på ca. en uge).
30 Perioden I Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Sætning. Antag a 1 = a 2 = = a r+1 = 0, a r = 1. Perioden er lig med det mindste hele tal p, så det karakteristiske polynomium f (x) er en divisor i 1 x p. Bevis: Med de givne startværdier og periode p har vi, at G(x) = 1 f (x) = a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 + x p (a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) + x 2p (a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) +... = (a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) 1 1 x p Så f (x)(a 0 + a 1 x +... a p 1 x p 1 ) = 1 x p og f (x) er en divisor i 1 x p.
31 Perioden II Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Antag omvendt, at f (x) er en divisor i 1 x q. Altså, at f (x)(b 0 + a 1 x +... b p 1 x p 1 ) = 1 x q. Så er G(x) = 1 f (x) = b p a 1 x +... b p 1 x 1 x q = (b 0 + a 1 x +... b p 1 x p 1 )(1 + x q + x 2q + x 3q +... ) Da G(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x har vi, at q = p, at a i = b i for alle i og at perioden er lig med p.
32 Perioden Bestemmelse af tidsforskel Lineære skifte registre Hvis registret har maksimal periode, så er det karakteristiske polynomium irreducibelt. Vises ved brug af ovenstående sætning. Det omvendte gælder ikke: 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 er irreducibelt; men registret har kun periode 5. Hvis det karakteristiske polynomium er irreducibelt, så er perioden en divisor i 2 r 1. Hvis 2 r 1 er et primtal, så giver ethvert irreducibelt polynomium anledning til et register af maksimal længde 2 r 1. Primtal på formen 2 r 1 kaldes Mersenne primtal. Det største man kender er og det er ogsaa det største kendte primtal (det vil kræve 3461 sider at skrive dette tal med 75 cifre pr. linie og 50 linier pr. side).
33 Ved at betragte fejlen på dit lokale ur som en variable, er det muligt af bestemme såvel fejlen som positionen på en og samme gang ved at løse 4 ligninger med 4 ubekendte Lineære skifte registre giver et matematisk værktøj til af måle tidsforskelle og dermed afstande.
Matematikken bag satellitnavigation GPS - GLONASS - GALILEO
GPS - GLONASS - GALILEO Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematik, Aarhus Universitet Disposition 1 Retningsbestemt navigation 2 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN 3 Militær og kommerciel baggrund GALILEO
Læs mereMatematiklærerdag 11. marts 2005
Global Position System - Galileo Matematiklærerdag 11. marts 2005 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan
Læs mereMikkel Gundersen Esben Milling
Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereGPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007
GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden,
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereEn studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende:
Geodæsi Lars Stenseng stenseng@space.dtu.dk Læringsål En studerende der har genneført Geodæsi eleentet af kurset vil kunne følgende: Beskrive den grundlæggende virkeåde for GNSS systeer Beskrive de tre
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen stx13-mat/b-1408013 Onsdag den 14. august 013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereBilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012.
Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilagets formålet: Bilaget dokumenterer, at der fra de i lokalplanen
Læs merePraktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan
Praktiske Maple Ting. - Hvis du skal indsætte kvadratroden, et integrale, lambda, osv. Så skriv eks. Sqrt, int, eller lambda, tryk escape og du kan så vælge tegnet. - For at definere noget, eks en x værdi,
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereNyt fra satellitternes fagre verden
KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY Nyt fra satellitternes fagre verden Anna B.O. Jensen, Afdelingen for Geodæsi og Satellitpositionering, KTH Hvem er foredragsholderen? Siden 2014 professor i geodæsi og
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net
NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereSide 1. En rigtig søhelt. historien om peder willemoes.
Side 1 En rigtig søhelt historien om peder willemoes Side 2 Personer: Peder Willemoes Lord Nelson Side 3 En rigtig søhelt historien om peder willemoes 1 Store drømme 4 2 Det hårde liv på søen 6 3 Krig
Læs mereHøjere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A
Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007 07-0-1 Matematik Niveau A Dette opgavesæt består af 8 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige
Læs mereFørst falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.
ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mereIntroduktion til GPS. Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk
Introduktion til GPS Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk Hvad bruges en håndholdt GPS til? Måle tilbagelagt distance og fart Optage spor og markere punkter Navigere til et punkt efter et spor efter en rute
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mereMatematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Læs mereLysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009
Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net
STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereAldrig mere fare vild
Aldrig mere fare vild i EUROPA KOMMISSIONEN Mennesker har altid villet vide hvor de er... ET FAST HOLDEPUNKT I TID OG RUM Der skal mange enkeltoplysninger til for at bestemme hvor man er i tid og rum.
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereDansk Datalogi Dyst 2015 DDD Runde 2
. 19. februar, 2015 linetest DK v1.0 Line Test Sigurd er begyndt i gymnasiet og har lært om linjer på formen f(x) = ax + b. Han har prøvet at tegne nogle linjer på papir for at finde ud af hvilke koordinater
Læs mereMatematik B. Højere forberedelseseksamen
Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe103-mat/b-10122010 Fredag den 10. december 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereLærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):
Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereUNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN. Maten1atik A. Studenterel<sam.en. Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-14.
- UNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN Maten1atik A Studenterel
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereDer anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger.
Faglige Områder Tal og brøker Der anvendes blandet tal. Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Anvender brøker Anvender både blandet tal og brøker. Antal cifre Der skal afrundes til et passende
Læs mereRally Lydighed Oversigt 2014
Det primære i øvelserne er markeret med fed og kursiv. Nr. Skilt 1 2 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9 10 11 Øvelse Begynderklassen Start. Her starter banen! Hunden behøver ikke at sidde inden start, men skal være i
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mereGUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2
GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs mereSecret sharing - om at dele en hemmelighed Matematiklærerdag 2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik, Aarhus universitet 24. marts 2017 Resumé Secret sharing henviser til metoder til fordeling af en hemmelighed blandt en gruppe af deltagere, som hver især
Læs mereMatematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver
Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end
Læs mereLigninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7
Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereOpgaver om koordinater
Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereINSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET
INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade
Læs mereØvelser i Begynderklassen.
Øvelser i Begynderklassen. 1 Her starter banen! Tidtagningen begynder, når dommeren kommanderer "Fremad". 2 Banen er slut - Tidtagningen stoppes 3* Højre sving. 90 skarp drejning til højre. Som ved normal
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereAnalyse af PISA data fra 2006.
Analyse af PISA data fra 2006. Svend Kreiner Indledning PISA undersøgelsernes gennemføres for OECD og de har det primære formål er at undersøge, herunder rangordne, en voksende række af lande med hensyn
Læs mereRally Lydighed Øvelsesvejledning
Det primære i øvelserne er markeret med fed og kursiv. Begynderklassen 1 Her starter banen! Hunden behøver ikke at sidde inden start, men skal være i pladspositionen. Tidtagningen starter på dommerens
Læs mereKursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester
Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester LCG-2 Introduktion til GPS 1. Observationsteknikker og GPS-koncepter 2. Absolut positionering baseret på
Læs mereÅrsplan for 4. klasse matematik på Solhverv Privatskole
Årsplan for 4. klasse matematik på Solhverv Privatskole Klasse / hold: 4. klasse Skoleår / periode: 2015/2016 Team / lærere: Grethe Søgaard Der arbejdes ud fra Fælles mål efter 6. klasse. http://uvm.dk/uddannelserog-dagtilbud/folkeskolen/faelles-maal
Læs mereGeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter
GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereNetopgaver. Kapitel 4 At tilpasse kurver til punkter
1 Netopgaver Nogle af Omegas opgaver og et enkelt bevis er lagt her på nettet. Idéen til dette opstod, da vi kunne se, at sidetallet i Omega skulle holdes nede for at give en bekvem og håndterbar bog.
Læs mereStjerneløb med 40 poster.
Stjerneløb med 40 poster. Kort forklaring: Posterne er mærket fra 1 40 - Alle poster hænger i form af små tynde papirstrimle, rundt i et på forhånd aftalt område. Posterne hænger i vilkårlig rækkefølge.
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Projektopgaven 2007
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing Projektopgaven 2007 Om selve opgaven Formålet med denne opgave er at give kursusdeltagerne
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK A-NIVEAU. Fredag den 12. december 2008. Kl. 09.00 14.00 STX083-MAA
STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK A-NIVEAU Fredag den 12. december 2008 Kl. 09.00 14.00 STX083-MAA Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereBørnefodbold U10.2 OB Træningspas Mandage (4) Tema: Afleveringer / sparketeknik
1700 1715 Indmøde og kamp 1715 1740 Station 1 Afleveringer Der opstilles en startkegle og 5 kegler på række, med ca. 5-7 meters imellem. Der stilles nu en spiller ved hver kegle. Første spiller, spiller
Læs mereNr. Hvornår Hvor mange år siden: 1 Du startede i skole 2 Du blev født 3 1982 4 Statsministerens fødselsår. (1966)
Observationer fra Dyrehaven & Bakken Dyrehaven: Hvis I kommer med tog til Klampenborg station, kan I evt. starte med at tage et smut forbi skovhuggeregetræet. Det står ca. 150 m. fra stationen, på vej
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereLEGO Company LEGO Company blev grundlagt i 1932. Hovedproduktet er i dag byggeklodser i plast.
Almen voksenuddannelse Matematik trin 2 maj 2004 Informationsark LEGO Company LEGO Company blev grundlagt i 1932. Hovedproduktet er i dag byggeklodser i plast. Grundlæggeren Ole Kirk Christiansen fandt
Læs mereEPIRB. 11.1 COSPAS/SARSAT-systemet
117 (Emergency Position Indicating Radio Beacon) er en nødradiobøje, og GMDSS udrustede skibe skal være udstyret med mindst en. Der er defineret 3 forskellige, som arbejder på hver sin måde. Fælles for
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereflyt fødderne og løb let!
Dansk Håndbold Forbund s Håndboldskoler for børn og unge 2002 flyt fødderne og løb let! - koordinations- og bevægelsestræning - DET TEKNISKE SATSNINGSOMRÅDE 2002: Koordinations- og bevægelsestræning Som
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs merePAPEGØJE SAVNES. 3-4. klasse. undervisningsmateriale. Lær om: Regnskoven & den grønne papegøje
PAPEGØJE SAVNES 3-4. klasse. undervisningsmateriale Lær om: Regnskoven & den grønne papegøje 1 Hej venner jeg er den grønne ara 4 3 1 1 5 5 3 5 Farv de rigtige numre 1. Sort 2. Rød 3. Lyserød 4. Grøn 5.
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereLille Georgs julekalender 2010. 1. december
1. december I hver af de øverste bokse skal der skrives et af tallene 1, 2, 3,..., 9. Alle tre tal skal være forskellige. I de næste bokse skrives de tal der fremkommer ved at man lægger sammen som vist.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014
Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereDKK Rally-lydighed, Øvede-klassen. 40. Fristende 8-tal
DKK Rally-lydighed, Øvede-klassen. 40. Fristende 8-tal Øvelsen består af 2 madskåle eller lignende fristelser samt 2 kegler, stolper eller personer og der skal gås et 8-tal rundt om de to yderste kegler.
Læs merehimlen - og hvad så? Anna B.O. Jensen
Nye GNSS satellitter på himlen - og hvad så? Anna B.O. Jensen DdL Fagligt Møde, 31. januar 2014 Hvem er foredragsholderen? Uddannet: Landinspektør i 1994 Ph.d. i geodæsi fra Københavns Universitet Ansat:
Læs mereByen som geotop. 1. Indledning. 2. Sammenhængende beskrivelse af Geotopen
Byen som geotop 1. Indledning I det 20. århundrede er befolkningen i verdens byer vokset fra 220 mio. til 2,8 mia. og 2008 markerer tidspunktet, hvor mere end halvdelen af verdens indbyggere bor i byer.
Læs mere