Elever i matematikvanskeligheder fokus på sproglige barrierer.

Transkript

1 Elever i matematikvanskeligheder fokus på sproglige barrierer. - Matematisk problembehandling og lærerens arbejde med faglig læsning Matematikvanskeligheder Matematikvanskeligheder Differentieret undervisning Stilladserende, kompetent lærer Motivation Strategier Elev Læsekompetence Problembehandlingskompetence Materialer Miljø Faglig læsning Matematikvanskeligheder Matematikvanskeligheder Bachelor i Matematik, april Udarbejdet af Simon Lykkebo Sommer 1

2 Indholdsfortegnelse 0.1 Indledning Afgrænsning Metodevalg Undersøgelsesdesign Matematikvanskeligheder i hvad? Hvad skal man lære i matematik? Problembehandlingskompetence Læsekompetence Formativ evalueringskultur portfolio og åbne spørgsmål Årsager til matematikvanskeligheder Elever med- eller i matematikvanskeligheder? Psykologiske årsager Indre konflikter og motivation Holdning Neurologiske årsager Diagnose eller ej? Dysleksi og dyskalkuli Sociologiske årsager Chanceulighed og negativ social arv Didaktiske årsager Læringsmiljøet Lærer-elev-relationen Relationer mellem eleverne Matematik og sprog Den sproglige dimension i matematikundervisningen Matematik og dialog Indre billeder som intrapersonelt sprog et net af repræsentationer Tosprogethed, læsning og matematisk problembehandling Sproglig kompleksitet i matematikholdige tekster punktuering nødvendig? Matematikfaglig læsning problembehandlingsstrategier med fokus på sprog IKT, audiovisuelle hjælpemidler og konkrete materialer Skolekultur med eksplicit fokus på faglig læsning og tidlig indsats Analyse af udvalgte matematikholdige tekster

3 4.1 Tekster med høj sproglig kompleksitet lange tekster (Se Bilag 2) Et eksempel på en omformulering af opgaven (Se Bilag 3) Tekster med høj sproglig kompleksitet multimodale tekster (Se Bilag 4) Tekster med højt fokus på faglig læsning (Se Bilag 5) Perspektivering Konklusion Litteratur Bilag Bilag 1: eksempel på spilleplade (punkt 1.4) Bilag 2: Faktor i fjerde s. 109, Mogensen m.fl. (1998) Lang tekst Bilag 3: Et eksempel på en omformulering af opgaven Bilag 4: Faktor i fjerde s. 73, Mogensen m.fl. (1998) Multimodal tekst Bilag 5: Matematrix 4, Gregersen m.fl. (2010) og Multi 4, Sperling m.fl. (2010) Indledning Et af de spørgsmål, jeg, som praktikant og lærervikar, er blevet stillet mest i relation til matematikundervisningen er: Hvad skal jeg i denne opgave? Det har været naturligt for mig at reflektere over: Hvad er det mindste, jeg kan gøre eller sige, for at de forstår problemet bedre, så de kan løse problemet? Men er dette blot brandslukning og er denne mur, som mange møder ved matematisk problembehandling et udtryk for mangel på selvhjælp, som tager lang tid at etablere, eller er det et spørgsmål om, at jeg og mine kolleger mangler viden om matematikvanskeligheder og redskaber til matematik-faglig læsning? Måske er det ikke enten eller, men blot tankevækkende om vi som lærere kan og bør gøre mere såvel i forhold til udviklingen af egne kompetencer samt i forhold til internalisering af strategier hos eleverne. Lundberg og Sterner påpeger vigtigheden af at kunne læse og regne. Mangel på disse kompetencer øger risikoen for marginalisering i skole og samfund. 1 Efter at have arbejdet med den sproglige kompleksitet i matematiktekster i linjefagene; Dansk som andetsprog og Specialpædagogik er jeg blevet opmærksom på nogle sproglige forhold i matematikholdige tekster, der kan give problemer med matematisk problembehandling. Lene Østergaard Johansen, der er studielektor for 1 Lundberg og Sterner (2008) s. 6 3

4 forskergruppen i matematik- og naturvidenskabslæring ved Aalborg Universitet, beskriver matematik: som et sprog, der skal læres, som børnenes første nye fremmedsprog. 2 Derfor må det være centralt, at alle elever uanset etnicitet og forudsætninger kan afkode symboler, begreber og illustrationer i det matematiske sprog og forstå formålet med matematiske problemløsningsopgaver for at kunne løse dem. 3 Samtidig er der tilsyneladende problematikker i forbindelse med problembehandling i matematik, der er særlige for tosprogede. Sprogforskere som eksempelvis Anne Golden peger med henvisning til Batia Laufer (1992) på, at man bør kunne forstå 95% af ordene i en tekst for at forstå sammenhængen. 4 Det tyder altså på, at læsekompetencen kan spænde ben for den matematiske problembehandling, men hvilken betydning har dette for matematiklærerens arbejde? Oplæg på læreruddannelsen af bl.a. Pernille Pind 5, Lene Østergaard Johansen, Line Møller Daugaard 6 og Thomas Gitz Johansen 7 samt oplæg i forbindelse med praktikken om faglig læsning på Lystrup Skole af Gurli Bjørn Iversen 8 har inspireret mig til denne undersøgelse af betydningen af den sproglige kompleksitet i matematikholdige tekster for elever i matematikvanskeligheder. Konferencen om Matematikvanskeligheder i Nørre Nissum d. 10 februar 2011 har givet mig inspiration til nye perspektiver. Disse overvejelser leder mig frem til følgende problemformulering: Ud fra en undersøgelse af sprogets betydning for elever i matematikvanskeligheder, vil jeg analysere udvalgte materialer til matematikundervisningen på mellemtrinet. Jeg vil desuden diskutere lærerens muligheder for at arbejde med faglig læsning med henblik på at udvikle disse elevers læsekompetence og problembehandlingskompetence. 2 Johansen (2006) s. 152, ll Andersen (2008) s Golden (2005) s Cant. Scient. med speciale i matematikkens didaktik, forfatter og konsulent vedr. matematikbøger for flere forlag. 6 Leder for Videnscenter for sprog, læsning og læring 7 Lektor på Institut for Psykologi- og Uddannelsesforskning, RUC 8 Nationalt Videnscenter for Læsning og lektor i dansk ved Læreruddannelsen i Århus 4

5 0.2 Afgrænsning Jeg har ikke valgt at samle egen empiri om eksempelvis lærernes egen opfattelse af kompetencer i forbindelse med faglig læsning og behovet for nye materialer, da små empiriske undersøgelser er forbundet med fejlkilder. Lærerne kan vel altid bruge nye materialer. Jeg har heller ikke benyttet telefoninterview ved for eksempel at ringe til skoler i Frederiksberg Kommune i forbindelse med deres kommunetiltag omkring faglig læsning og tidlig indsats i matematik, da samtalen ville bære præg af enkelte personers subjektive opfattelser af projekterne. I stedet har jeg benyttet artikler, bøger og hjemmesider. Materialerne i forbindelse med tidlige tiltag som i Frederiksberg Kommune vil ikke blive belyst, men tidlige tiltag vil blive belyst som proaktive i forhold til om elever kommer i matematikvanskeligheder. Når jeg skriver matematikvanskeligheder, er det i denne undersøgelse med hovedfokus på elever, der oplever, at sproget er en barriere for behandlingen af matematiske problemer indlejret i en sproglig kontekst. Begreber som læsekompetence, problembehandlingskompetence og formativ evaluering er centrale for denne del af undersøgelsen. Jeg vil desuden komme ind på andre mulige årsager til matematikvanskeligheder, som kan være nyttige for matematiklæreren at have kendskab til, så man kan arbejde proaktivt med matematikvanskeligheder det drejer sig om psykologisk-, neurologisk-, sociologisk- og didaktisk forankrede årsager. Jeg har valgt at fremhæve dysleksi, dyskalkuli og problemer med arbejdshukommelse i forbindelse med neurologiske årsager, men ikke andre problematikker, som eksempelvis ADHD. I forbindelse med afsnittet om årsager til matematikvanskeligheder er andre begreber som motivation, chanceulighed, læringsmiljø, relationer og inklusion centrale. Inklusion vil i denne forbindelse blive delt i social- og faglig- samt formel- og reel inklusion. Begrebet internalisering er desuden i fokus, fordi læse- og problembehandlingsstrategier skal kunne overføres til andre sammenhænge end i klasseværelset. Målet er, at eleverne skal være selvhjulpne i forhold til at udvælge strategier i undervisningen, hvilket hjælper dem med at tænke over metoder til problemløsning i hverdagen. Lærerens eksplicitte fokus på læse- og problemløsningsstrategier vil i den forbindelse stå centralt. Jeg har fundet det relevant at analysere udvalgte matematiske tekster og vurdere den sproglige kompleksitet samt diskutere, hvilken betydning, det har for lærerens arbejde. Jeg har valgt yderligere at præcisere min undersøgelse, så det kun er materialer på mellemtrinet, der analyseres. 5

6 Dette fordi eleverne i disse år introduceres for opgaver med væsentlig mere tekst end i indskolingen. Det er også karakteristisk, at de fleste bogsystemer får grundbøger på mellemtrinet i stedet for elevhæfter, der kan skrives direkte i. Dette stiller nye krav til eleverne Metodevalg Jeg har blandt andet valgt at undersøge teori, som kortlægger årsager til matematikvanskeligheder. Undersøgelsen forsøger at inddrage forskellige tiltag i matematikundervisningen, som kan bruges til at stilladsere elevernes læring i en situation, hvor de oplever vanskeligheder. Der er særligt fokus på teori, der kan understøtte lærerens arbejde med komplekse sproglige tekstforhold, strategiarbejde og formativ evaluering, hvilket kan betegnes som betydningsfuldt for matematik-faglig læsning, og være med til at udvikle elevernes læsekompetence og problembehandlingskompetence. Jeg vil inddrage teori, der afdækker, hvilken proaktiv effekt tiltag i forbindelse med matematik-faglig læsning kan have. Lærerens stilladserende rolle og dennes planlægning af differentieret undervisning vil løbende blive belyst. Den udvalgte teori er inspireret af forløb i mine linjefag Dansk som andetsprog og Specialpædagogik, hvor vi har haft særligt fokus på elever i matematikvanskeligheder og den sproglige kompleksitet i tekster fra matematikgenren. Jeg vil løbende diskutere på teori og inddrage eksempler fra praktikken. 0.4 Undersøgelsesdesign Som jeg ser det lægger problemformuleringen op til en diskussion af følgende centrale forhold som udgør rammen for min undersøgelse: Elever i matematikvanskeligheder herunder vanskeligheder knyttet til problembehandling og læsning af matematikholdige tekster samt ideer til evaluering af matematikvanskeligheder. Årsager til matematikvanskeligheder herunder psykologiske, neurologiske, sociologiske og didaktiske forhold. 9 Andersen (2008) s. 80, ll

7 Matematik og sprog herunder teoretiske perspektiv på dialog i undervisningen, sproglig kompleksitet i matematikholdige tekster samt særlige tosprogsproblematikker. Desuden afdækkes forskellige strategier i forbindelse med matematik-faglig læsning. En analyse af matematikholdige tekster med reference til nogle af de teoretiske perspektiver herunder tekster med høj sproglig kompleksitet og tekster med højt fokus på faglig læsning. 1.0 Matematikvanskeligheder i hvad? Afsnit 1.0 behandler begreberne problembehandlingskompetence, læsekompetence og evaluering. 1.1 Hvad skal man lære i matematik? For at sige noget om, hvad matematikvanskeligheder er, må man først kortlægge, hvad matematik er. Weng og Lindenskov mener, man bør fokusere mere på tænkning og processer end på resultater og algoritmetræning knyttet til de fire regningsarter. Gammeldags algoritmetræning kan blive en barriere for mange elever, fordi brugen af algoritmerne ikke bygger på forståelse. En overfokusering på mestring af de fire regningsarter er med til at fastholde elever i matematikvanskeligheder og måske endda skabe dem. 10 Uanset hvordan man som lærer i Danmark opfatter spørgsmålet om hvad matematik grundlæggende er, så må man forholde sig til Fælles Mål for faget: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer 11. Niss og Jessens opdeling af matematiske kompetencer fra 2002 er blevet overført til Fælles Mål for matematik. Med kompetencebegrebet bevægede man sig væk fra ideen om, at det grundlæggende var at etablere kundskabs- og færdighedsområder. Matematik handler om internalisering af otte grundlæggende kompetencer, der skal kunne tages i brug i forskellige matematiske arbejdsmåder med relation til hverdagssituationer, der kan relateres til de 3 matematiske emner; tal og algebra, geometri samt statistik og sandsynlighed. Kompetencerne er knyttet til to overkompetencer: At kunne spørge og svare i, med og om matematik: Tankegangskompetence Problembehandlingskompetence 10 Weng og Lindenskov (2009) s Fælles Mål (2009) stk. 1 7

8 Modelleringskompetence Ræsonnementskompetence At kunne håndtere sprog og redskaber i matematik: Repræsentationskompetence Symbol- og formalismekompetence Kommunikationskompetence Hjælpemiddelkompetence 12 Niss og Jessens Kompetencerapport beskriver ligeledes progressionen i en persons besiddelse af matematisk kompetence ved følgende tre dimensioner: 13 - dækningsgrad (dækning af kompetencens aspekter) - aktionsradius (muligheder for ibrugtagning i forskellige sammenhænge) - teknisk niveau (kompleksiteten af kompetencens aspekter) Jeg vil nu nærmere gå i dybden med problembehandlingskompetencen og forsøge at indkredse problemstillinger, der kan opstå i forbindelse med elevernes møde med problembehandling i matematikundervisningen. 1.2 Problembehandlingskompetence Som beskrevet i problemformuleringen har jeg fokus på denne kompetence. Ved formuleringen problembehandling signaleres der, at processen og tankerne om problemet er centrale. Mødet med problemet er en situation, hvor man ikke umiddelbart har løsningen. Man må altså tænke sig frem til metoder, der kan hjælpe en på vej. Selvom det lyder simpelt, så er det i den forbindelse nødvendigt at have kendskab til forskellige metoder. Kendskabet er dog ikke nok, man skal også udvælge én eller flere metoder, der er hensigtsmæssige. Men hvordan ved man, hvilken én, der er hensigtsmæssig? Pointen er, at det gør man som regel ikke. Det vil sige at problembehandling har at gøre med afprøvning af metoder også kaldet hypoteseafprøvning og logisk sans for hvad der passer til problemet. Ved at forsøge en metode enten bekræftes eller afkræftes det, at den er 12 Niss og Jessen (2002) s Ibid s. 32 8

9 brugbar. Denne proces kræver sammenligning. Er metoden tilstrækkelig eller er flere perspektiver nødvendige? Ifølge Niss og Jessen består kompetencens dækningsgrad i at kunne opstille og løse forskellige matematiske problemer. For eksempel kan nogle elever være gode til at løse problemer, men ikke til selv at opstille. Aktionsradius er knyttet til omfanget af de situationer, hvor eleven kan opstille og løse matematiske problemer. Det tekniske niveau har at gøre med, hvor komplekse problemstillinger eleven kan løse og kompleksiteten af metoder, eleven har til at opstille og løse dem. Det understreges, at problembehandlingskompetence indebærer muligheden for at inddrage andre kompetencer, fordi metoder til behandlingen af problemet kan være mange. Således kan man både bruge kompetencer til at kunne spørge og svare i, med og om matematik samt at kunne håndtere sprog og redskaber i matematik, hvilket var de to overkompetencer 14 En undersøgelse af Lundberg og Sterner fra 2001 påviser en mulig sammenhæng mellem regne- og læsevanskeligheder erfarne speciallærere og specialpædagoger besvarede et spørgeskema og vurderede, at 12% af deres elever oplevede vanskeligheder i både læsning, skrivning og regning. Ved en anden undersøgelse fra 2006 fandt Lundberg og Sterner ud af, at der blandt 60 elever ikke var én eneste elev, der læste godt og samtidig havde svært ved at regne. Dvs. at dem, der havde problemer med at regne, også havde problemer med at læse. 16 På den baggrund må man antage, at matematikopgaver med meget tekst eller høj sproglig kompleksitet kan skabe problemer for elever med læsevanskeligheder. For disse elever kan en ikkealderssvarende læsekompetence derfor hindre dem i at løse matematiske problemstillinger. 1.3 Læsekompetence Læseforståelse kan ses som et produkt af afkodning af ord og forståelse af mening 17. Læsekompetence er: et middel til kommunikation og problemløsning. ( ) Derfor må læsekompetence: bygge på de færdigheder og funktioner, som læseren rummer, og indbefatter 14 Ibid s Lundberg og Sterner (2008) s Ibid s UVM (2001) 9

10 også at kunne benytte forskellige læsestrategier, valgt hensigtsmæssigt efter formålet med den aktuelle læsning. 18 I kompetencebegrebet ligger altså et vurderings- og udvælgelsesaspekt. Gode læsere kan derfor både afkode bogstaver, symboler og ord, knytte lyde dertil, forstå ord og sammenhænge samt kende til læsestrategier og udvælge de, der er hensigtsmæssige for konteksten. Den internationale PIRLSundersøgelse fra 2006 af læsekompetence i 4. klasse viste følgende resultater: Læsekompetencen hos eleverne i Danmark ligger over det internationale gennemsnit, der er dog en stor spredning blandt eleverne i en dansk klasse på ca. 2 år 15 % af eleverne i en 4. klasse opnår ikke de færdigheder, der forventes Danske elever er bedre til at læse skønlitteratur end faglitteratur. Pigerne læser bedre end drengene Eleverne er bedre til at finde information i en tekst, end de er til at tolke en tekst Eleverne mangler læselyst, og de snakker ikke om de bøger, de læser Eleverne læser flere trykte tekster end digitale tekster Eleverne vurderer egne læsefærdigheder højt Eleverne er bedre til at læse skønlitteratur end informerende tekster De elever, der har skriftsproglige forudsætninger før skolestart, bliver bedre læsere i 4. klasse. 19 Undersøgelsen peger blandt andet på læsefærdighederne i 4.klasse generelt er blevet bedre. Man ved imidlertid ikke om dette skyldes et øget fokus på begynderlæsning eller fokus på efteruddannelse af lærere. At eleverne er bedre til at læse skønlitteratur end faglitteratur mener jeg er helt naturligt, da eleverne møder mere hverdagsrelateret sprog. De faglige tekstgenrer og begreber kræver forforståelse, hvilket naturligt sænker læsetempo og forståelse. Dette behandles i punkt 3.4 og 3.5. En tidlig indsats bliver nævnt som betydningsfuld i forhold til elevernes læsekompetence. 15% af eleverne har en ikke-tilstrækkelig læsekompetence, og det er desuden en gennemsnitlig spredning på 2 år i en 4. klasse. 18 UVM (2001) ll Rønbjerg og Mejding (2006) ll resultaterne er fra: 10

11 Disse forhold kan være nyttige for matematiklæreren, idet læsekompetence som tidligere nævnt er betydningsfuld for matematisk problembehandling og elevernes muligheder i forhold til uddannelse. 1.4 Formativ evalueringskultur portfolio og åbne spørgsmål Hvordan sikrer man sig en faglig udvikling hos elever i matematikvanskeligheder? Fælles Mål problematiserer brugen af summative test til afdækning af vanskeligheder: Ofte søges matematikvanskeligheder afdækket med en test, men en test med fokus alene på resultatet viser hverken, hvori vanskelighederne grundlæggende består, eller hvordan de skal afhjælpes. 20 Arne Mogensen, Peter Weng og Lena Lindenskov fremhæver vigtigheden af den løbende, formative evaluering. 21 Det kan være logbog, portfolio eller begrebskort. Eleverne skal desuden have deres eget hæfte og en mappe til kopiark (portfolio). Dette sender et signal om vigtigheden af det skriftlige arbejde og: Skrivning og tegning er et effektivt redskab til at støtte elevens sproglige udvikling samt en støtte til at gennemtænke forløbet i en proces. ( ) Begrebskort lægger op til at begreberne bearbejdes både sprogligt og fagligt, så sproget kan blive det tænkeredskab, der kan være en støtte for læringen. 22 Spørgsmål og opgaver kan karakteriseres som lukkede eller åbne. Lukkede spørgsmål lægger op til ét rigtigt svar og mange forkerte, mens åbne spørgsmål lægger op til aktiv deltagelse og refleksion, hvor eleven i mindre grad skal bekymre sig om at svare forkert, hvilket som regel er en barriere for elever i matematikvanskeligheder. 23 Lad mig komme med et eksempel på en lærerstyret evaluering, der kan være præget af åbne spørgsmål. Jeg har benyttet metoden i praktikken og som vikar for at repetere efter endt forløb. Hvis eleverne spiller én mod én og opgaverne evaluerer på flere forløb, så kan læreren få en fornemmelse af elevens vanskeligheder og resurser. Svararket skal give plads til tegninger og kan sættes i en portfolio. At der gives feedback på elevernes arbejde er vigtigt, men Arne Mogensen pointerer, at: Målet er at øge kvaliteten, ikke at give en karakter. 24 Eks: Lad eleverne have en ugentlig spilledag/hver anden uge og brug den samme laminerede spilleplade og eventuelt centicubes som brikker (se bilag 1). Lav opgaver, der er delt i 3 niveauer. 20 Fælles Mål (2009) Faghæfte 12, s. 49, 1. spalte, ll Mogensen (2005) s. 13, Weng og Lindenskov (2009) s Daugaard og Hedegaard (2005) s Andersen (2008) s Mogensen (2005) s. 13, ll

12 Lav yderligere opdeling af opgaverne indenfor hvert niveau hvis de lander på 1 eller 2 så har det samme sværhedsgrad og hvis de lander på 3 eller fire, så bliver det lidt sværere. De har et ark hver, hvor svarene noteres og afleveres til læreren, der tager højde for, at besvarelserne er fælles. Eleverne skal have mulighed for at tjekke deres svar undervejs. Niveau 1: sværhedsgrad A (felt 1+2) og B (felt 3+4) Niveau 2: sværhedsgrad B (felt 1+2) og C (felt 3+4) Niveau 3: sværhedsgrad C (felt 1+2) og D (felt 3+4) Lad dem sidde fire sammen i teams, der har valgt det samme niveau, hvor de spiller to mod to. Målet er ligeledes udvikling af sociale kompetencer, da de skal lære at vente på tur og samarbejde. Jeg ved, at det er et stort arbejde, men måske vil dette eksempel inspirere til en tilpasset udgave eventuelt kun en gang om måneden som evaluering på månedens forløb, at de laver opgaver til hinanden, eller at de hver anden gang laver sudoku og andre spil, der kan medføre matematisk tankegang. Spillepladen er imidlertid central, da den samme struktur særligt giver elever i matematikvanskeligheder tryghed til at prøve kræfter med matematikken. Det evaluerende element i form af repetition kan også suppleres med anden skriftliggørelse eksempelvis ved at lave begrebskort, føre logbog eller portfolio. Systematisk brug af disse elementer kan bruges i elevplanerne til at følge elevens faglige udvikling, og som dokumentation i forbindelse med forældresamarbejdet. Et mangelfuldt formativt evalueringselement kan nødvendiggøre summative test. Der er imidlertid stor tvivl om test giver et reelt billede af elevernes kompetencer. Eleverne skal dog løbende forberedes til formen ved de obligatoriske nationale test og afgangsprøven. Bamberger og Hansen påpeger i deres speciale fra februar 2011, at forståelse af matematiske opgaver kræver forudforståelse for konteksten, formen/genren og den særlige sproglige kompleksitet. 25 Dette kommer jeg senere ind på. Opsamling 1 25 Bamberger og Hansen (2011) 12

13 - Matematikvanskeligheder kan defineres objektivt ud fra test om, hvad eleven skal nå i forhold til Trin Mål. Det kan desuden gøres ud fra subjektive lærervurderinger om elevens individuelle faglige udvikling set i forhold til potentialer og modenhedsniveau. - Formativ evaluering kan ses som redskab til afdækning af vanskeligheder, men det formative aspekt i forbindelse med etablering af læring i den daglige undervisning kan også have en proaktiv effekt på om elever kommer i matematikvanskeligheder. - Læsekompetence er både knyttet til afkodning af ord og til læseforståelse. Manglende læsekompetence kan medføre, at elever oplever sproglige barrierer i matematikundervisningen. - Problembehandlingskompetence tages i brug, når man møder et problem, man ikke umiddelbart har løsningen til eller når man vil konstruere problemer. Læsekompetence har væsentlig betydning for behandlingen af problemer, der er indlejret i en sproglig kontekst Årsager til matematikvanskeligheder 2.01 Elever med- eller i matematikvanskeligheder? Jeg vil i punkt 2.0 indledningsvis se på, hvorfor det er vigtigt at afdække mulige årsager til matematikvanskeligheder. Derefter ser jeg på forskellige betydningsfulde forhold i forbindelse med afdækningen af mulige årsagsforklaringer. Ifølge Fælles Mål for matematik er der ikke noget entydigt svar på, hvordan man skal betegne elevers vanskeligheder. 26 Lene Østergaard Johansen problematiserer imidlertid, refererende til Jørgensen 1996, en tilgang, der placerer matematikvanskelighederne i eleven. Man kan dog ikke komme udenom, at nogle elever har dårligere forudsætninger end andre, men ved at placere problemet i eleven skubber vi ansvaret fra os, hvilket giver eleven en følelse af mindreværd og skyld. 27 Udtrykket elever i matematikvanskeligheder fokuserer derimod på eleven som aktør i en kontekst med opretholdende faktorer. Denne betegnelse har jeg valgt at benytte, fordi det fokuserer på såvel eleven som miljøet. 26 Fælles Mål (2009) Faghæfte 12, s. 49, 1. spalte 27 Johansen (2006) s

14 Peter Weng og Lena Lindenskov opdeler årsagerne til matematikvanskeligheder i tre skildringer: - Individuelle eller relationelle - Al matematik eller dele af matematikken - Generelle indlæringsvanskeligheder eller specifikke for faget matematik 28 De bruger begrebet regnehuller om matematikvanskeligheder. Begrebet illustrerer, at eleven indenfor et givent matematikområde har vanskeligheder og ikke nødvendigvis på andre. Tanken er resurseminded, idet man tager udgangspunkt i, at alle elever ved, kan og vil noget med hensyn til matematik Vanskeligheder er en tilstand, som man kan komme ud af. Regnehuller kan fyldes op - dvs. etablering af viden stykke for stykke. Der kan bygges bro henover, dvs. etablere kompenserende elementer. At bruge lommeregneren kan i nogle tilfælde være hensigtsmæssigt for at undgå langvarige psykologiske barrierer. I første omgang bør man dog forsøge at gå uden om dvs. benytte andre metoder og tilgange, som kan åbne for nye perspektiver. 29 Weng og Lindenskov skriver desuden, at: ( ) vanskeligheder i matematik kan opstå på baggrund af mangfoldige grunde, der findes både inden for og uden for matematikundervisningen. Denne indsigt er som tidligere nævnt ikke til stede hos mange matematiklærere, og derfor sker henvisning til specialundervisning i matematik ofte, uden at den direkte årsag kan angives. 30 Her peges der blandt andet på, at årsager ikke er lineære, men kontekstuelle. Derfor vil vanskeligheder som regel ikke kunne kureres ved et simpelt indgreb, men kræver årvågenhed, systematik og tålmodighed. Jeg tror ikke, at det der menes i citatet er, at lærerne skal angive direkte årsager, da dette ville være modstridende med det systemiske perspektiv, men at lærerne mangler viden om årsager til matematikvanskeligheder, hvilket gør dem ude af stand til at håndtere situationen. Lundberg og Sterner formulerer det således: Det er først når, man har forstået, hvorfor regning og læsning kan være så svære opgaver for nogle, at man indser, hvilke undervisningsindsatser der bør gøres for disse børn. 31 Med reference til Engström (2000) angiver Weng og Lindenskov fire perspektiver på årsager til matematikvanskeligheder; Psykologiske, neurologiske, sociologiske og didaktiske. 32 Det 28 Weng og Lindenskov (2009) s Weng, Lindenskov (2009) s Ibid s Lundberg og Sterner (2008) s. 141, ll Weng og Lindenskov (2009) s

15 efterfølgende er en uddybning af centrale faktorer ved de fire perspektiver, der kan have opretholdende eller beskyttende karakter i forhold til matematikvanskeligheder. Eksempler på forebyggende didaktiske tiltag vil løbende blive inddraget Psykologiske årsager 2.11 Indre konflikter og motivation Et gammelt ordsprog siger, at man kan være: sin egen værste fjende. Manglende selvstændighed og selvværd kan give sig udslag i forskellige typer af psykiske barrierer. Skaalvik (2008) skriver, med reference til Bandura (1997, 2006), at elevernes mestringforventninger er: afgørende for, hvilke mål de sætter sig, og hvilke strategier de vælger. Mestringsforventningerne er afgørende for, hvordan vanskeligheder og forhindringer opfattes, hvor stor indsats eleverne yder, og hvor udholdende de er, når de møder vanskeligheder og problemer. 33 Problemer kan i det lys ses som naturlige, udviklingsfremmende udfordringer, hvilket læreren kan sætte eksplicit fokus på. Elevernes syn på mødet med problemer i matematikundervisningen kan have indflydelse på vekselvirkningen mellem aktivt at opsøge hjælp og hypoteseafprøvning (forsøge sig frem med forskellige strategier). Jeg har i praktikken oplevet, at en elev havde siddet i 20min. med hånden oppe uden, at jeg havde bemærket hende, eller at hun havde spurgt andre. Hun havde givet sig til at tegne. Andre gange har jeg oplevet, at elever rækker hånden op allerede inden, de har taget deres bøger frem. Ofte kan elever med lavt selvværd have svært ved at komme i gang, fordi de mangler tiltro til egne evner og bliver handlingslammet, fordi de er bange for at begå fejl. Læsestrategier og problemløsningsstrategier kan hjælpe disse elever med at komme i gang og daglig brug af tilpassede strategier kan give eleverne mestringsforventning. Jeg belyser nogle strategier i punkt 3.6. Det kan desuden være hensigtsmæssigt med eksplicitte rutiner som for eksempel, at de 1) spørger sidemanden, 2) skriver deres navn på tavlen i rækkefølge, når de har brug for hjælp og går videre til næste opgave, 3) rækker to hænder i vejret, hvis noget er akut. En tilpasset udgave af tre fælles hjælpe-rutiner kan desuden understøtte et læringsmiljø, hvor man hjælper hinanden og hvor man får hjælp efter tur og ikke efter hvem, der råber højest, hvilket kan give arbejdsro. Læreren skal dog stadig være opmærksom på de stille elever, og det at selv de dygtige også har behov for feedback og 33 Skaalvik (2007) s. 46, ll

16 anerkendelse. Kedsomhed kan også skabe uro, og derfor er der behov for differentiering, så de stærke elever også føler sig optimalt frustrerede. Selv elever med gode strategier og kompetencer kan møde en mur på grund af psykiske barrierer. Hvis ikke de opdages, så er der fare for, at disse elever kan gå i stå rent fagligt Holdning Generel negativ holdning til faget, fagets anvendelighed eller skolen kan være en mulig årsag til matematikvanskeligheder. Dette kan være forankret i sociologi. Forældrenes holdning eller det miljø, som eleven befinder sig i, kan så at sige smitte (se punkt 2.3). Det kan også være didaktisk forankret på grund af mangel på mestringsoplevelser i faget eller mange negative oplevelser samt dårlige lærer-elev-relationer, hvilket jeg kommer ind på i forbindelse med didaktiske årsager i punkt Neurologiske årsager 2.21 Diagnose eller ej? Neurologiske vanskeligheder som for eksempel opmærksomhedsforstyrrelser, hyperaktivitet, udviklingsforstyrrelser mv. kan give generelle indlæringsvanskeligheder. Dette kan komme til udtryk i form af problemer med arbejdshukommelse og sproglige vanskeligheder. 34 Michael Wahl Andersen belyser, med reference til Baddeley og Hitch (1974), arbejdshukommelsens tre elementer: 1) En række overordnede opmærksomhedssystemer, der kan betegnes som; de eksekutive funktioner. 2+3) De to underordnede elementer kaldes; det visuelle tegnebræt og den fonologiske sløjfe. Disse elementer gør det muligt at huske informationer i form af billeder og sprog i den tid, det er nødvendigt for at kunne løse problemløsningsopgaver. Problemer med at fastholde informationer i arbejdshukommelsen giver eleverne problemer med at: planlægge og kontrollere deres arbejde, når de søger at løse og formulere problemløsningsopgaver i matematik. 35 Det kræver strategier og systematik at arbejde med problemløsningsopgaver, der indgår i en sproglig kontekst. Michael Wahl Andersen pointerer, at alle elever i matematikvanskeligheder kan have gavn af et øget fokus 34 Andersen (2008) s Lundberg og Sterner (2008) s Andersen (2008) s. 8, ll

17 strategier ved træningen af arbejdshukommelsen. Men mon ikke, at strategiarbejdet har en beskyttende effekt for elever, der er i risiko for at komme i vanskeligheder? 2.22 Dysleksi og dyskalkuli Som beskrevet i punkt 1.2, så har elever i læsevanskeligheder risiko for at udvikle matematikvanskeligheder. Dyslektikere (ordblinde) har massive læsevanskeligheder og derfor må læreren være særligt opmærksom på elevens forudsætninger i forhold til problembehandlingsopgaver indlejret i en sproglig kontekst. Der er ikke noget, der tyder på, at dysleksi er arveligt. Dog er der større risiko for at udvikle dyslektiske træk, hvis forældrene har diagnosen. Som lærer må man derfor undersøge om forældrene har dysleksi, hvis man oplever, at sproget er en særlig udfordring for en elev. 36 Dyskalkuli (talblindhed) er direkte årsag til matematikvanskeligheder, fordi afkodning af tal er en barriere. Dyskalkuli kan være arveligt og disse elever har specielt problemer med antalsopfattelse. Dog er der ingen direkte relation til dysleksi eller skrive- og læsevanskeligheder, hvorfor elever med dyskalkuli ikke behøver: have problemer med ikkenumeriske opgaver, som kræver sproglige funktioner og arbejdshukommelse Sociologiske årsager 2.31 Chanceulighed og negativ social arv Spørgsmålet er om eleverne har lige muligheder? Ifølge Thomas Gitz Johansen er der: en tendens til, at fordomme over for og negative forventninger til etniske minoriteter i skolen virker som en barriere for disse elevers engagement og mulighed for at klare sig i skolen. Negative forventninger og fordomme har en tendens til at skabe dårligt selvværd og lav tiltro til egne evner, og de elever, der føler sig stigmatiseret på denne måde, kan reagere ved at være mere eller mindre afvisende overfor skolen og dens pædagogiske projekt Lundberg og Sterner (2008) s Ibid s. 68, ll Gitz-Johansen, Thomas (2006) s

18 Minoritetselever, der føler sig marginaliserede på grund af negative mestringsforventninger og fordomme, kan altså få en negativ holdning til skolen. Dette påvirker desuden de etniske minoriteters selvværd, motivation og egne mestringsforventninger. Thomas Gitz Johansen problematiserer endvidere, at både skolefolk og dele af befolkningen ikke uden videre er åbne overfor at gøre skolen mindre dansk og mere multikulturel. Hvis samfundet og skolen fokuserer på at varetage majoritetens behov og forudsætninger, og at minoriteterne skal assimileres (tilpasses), så skaber det en chanceulighed i samfundet. Med Bourdieus begreb om kulturel kapital, så beskyttes egen kapital ved at tillægge det flerkulturelle mindre betydning. Manglende sproglig inklusion kan desuden påvirke udviklingen af selvværd og identitet hos minoritetselever. Minoritetselevers modersmål bør derfor ses, som en resurse i undervisningen. Dette belyses yderligere i punkt 3.4. Chanceulighed kan også sættes i forbindelse med socioøkonomiske forhold som eksempelvis forældrenes tilknytning til uddannelse og arbejdsmarked, misbrug og vold, hvilket ikke behøver at være kulturelt bestemt. Det syn som forældre og andre vigtige personer i barnets liv anlægger på skole og uddannelse er centralt for børnenes tilgang til skolearbejde og mestringsforventninger. Hvis forældrene viser interesse ved at spørge til skolearbejde eller at hjælpe med lektier, er der mindre risiko for, at elever kommer i vanskeligheder. 39 Chanceulighed kan som nævnt i punkt 2.1 medføre psykiske barrierer, hvilket også kan være didaktisk forankret Didaktiske årsager 2.41 Læringsmiljøet Man kan skelne mellem formel og reel inklusion. Den formelle inklusion handler om beslutninger og intentioner (makroniveau), mens den reelle inklusion har at gøre med implementeringen udførelsen i praksis samt effekten (mikroniveau). Disse aspekter behøver ikke nødvendigvis at hænge sammen. 39 Lundberg og Sterner (2008) s

19 Skaalvik pointerer, at der i undersøgelser om mestringsforventning fremhæves følgende forhold som betydningsfulde: - Tilpasning af undervisning til elevernes forudsætninger - Undgå relativ vurdering vurder elevernes læring i forhold til individuelle mål - Undgå konkurrrence - Giv eleverne medbestemmelse tilpasset deres modenhedsniveau - Skab et inkluderende og trygt miljø - Værdsæt en indsats 40 Faktorer i et ikke-inkluderende læringsmiljø kan med andre ord forårsage vanskeligheder. Inklusion kan opdeles i yderligere to dele; social og faglig inklusion. 41 Den faglige inklusion kan relateres til Vygotskys teori om den nærmeste udviklingszone og Csikszentmihalyis teori om flow 42. Skabes der mulighed for motivation og mestring? Med andre ord at man hverken keder sig eller har overbelastet arbejdshukommelse. Man føler sig optimalt frustreret og som en betydningsfuld deltager i faglige sammenhænge. Dette kræver blandt andet refleksioner over, om der skabes arbejdsro, om der er klare forventninger lærer og elev i mellem, samt om der differentieres efter behov og forudsætninger. Den sociale inklusion har at gøre med elevernes følelse af værdifuld deltagelse i fællesskabet. Inkluderende læringsmiljøer bærer præg af en god stemning i klassen og gode relationer, hvilket giver tryghed. Eleverne hjælper og respekterer hinanden, har mod på at deltage mundtligt og at spørge om hjælp. Relationelle barrierer kan imidlertid have ødelæggende konsekvenser for elevernes trivsel, motivation og læring. Jeg vil nu komme ind på betydningen af lærer-elevrelationen samt elevernes indbyrdes relationer og følelsen af social inklusion Lærer-elev-relationen Lærer-elev-relationen er central, fordi lærerens rolle har fået faciliterende/stilladserende karakter i forhold til elevernes læring. Dette beskrives af blandt andet Nora Lindén, refererende til Vygotsky: Den voksnes rolle i barnets læreproces bliver tilrettelæggerens og den støttendes. 43 Jess, Skott 40 Skaalvik (2007) s. 52, ll Skibsted og Jensen (2011) s Gitz-Johansen (2006) 43 Lindén (1999) s. 10, ll

20 og Hansen belyser i den forbindelse, hvordan lærerrollen påvirkes af den nye udvikling, hvor fagets processer vægtes højt. Læreren skal: skabe en åbenhed i undervisningen, der gør det muligt for eleverne selv at undersøge matematiske problemstillinger. ( ) reformens forståelse af fag og læring introducerer et element af planlagt uforudsigelighed i matematiktimerne. 44 Det er med andre ord ikke nok at planlægge og at forelægge matematikken for eleverne. Der stilles krav om tilpasset, differentieret undervisning. Gunn Imsen beskriver lærerens empatiske kompetence som central for at kunne tilpasse undervisningen til elevernes forudsætninger og behov. Læreren skal: kunne forestille sig deres totale situation, både deres ydre livsvilkår og deres indre verden. 45 Lærerens forventninger til eleverne har ligeledes: betydning for elevernes adfærd, tankemønster om motivation Relationer mellem eleverne Relationen mellem eleverne er ligeledes central set i et socialkonstruktivistisk læringsperspektiv. Dette kan forklares ved, at elevernes følelse af social inklusion har betydning for deltagelsen og dermed læringen. Den sociale inklusion kan forstås som oplevelsen af værdifuld deltagelse i sociale fællesskaber eller følelsen af `at have venner`. 47 Lærerens arbejde med klassens sociale liv har stor betydning for elevernes opfattelse af social inklusion. Læreren skal så at sige også stilladsere processer, hvor eleverne i fællesskab får mulighed for at udvikle deres sociale kompetencer. Her kan elevernes opfattelse af indre og ydre konflikter blive en opretholdende faktor, hvis de ikke er opmærksomme på konflikternes udviklende perspektiver. Dette kan læreren sætte eksplicit fokus på som beskrevet i afsnittet om psykologiske faktorer. I inkluderende læringsmiljøer skal læreren desuden være opmærksom på, at eleverne ikke fastholdes i udsatte positioner, hvilket kan føre til mobning og en oplevelse af social eksklusion. Opsamling 2 Dette var en gennemgang af mulige faktorer, der kan virke beskyttende eller opretholdende i forhold til matematikvanskeligheder. Gennemgående er vigtige voksnes betydning for børn og 44 Jess, Skott og Hansen (2008) s. 188, ll Imsen (2006) s. 22, ll Skaalvik (2008) s. 46, ll Skibsted og Jensen (2011) s. 5 20

21 unges læring og udvikling. Elevkendskab er derfor ekstremt vigtigt, for at elevers vanskeligheder kan kortlægges. Perspektiver fra forældre, andre lærere og eleven selv bør inddrages i en vurdering og kan have stor betydning for fremadrettede mål og tiltag. Dette er en kort opsamling af hovedpointerne: - Psykologiske: Elevernes mestringsforventninger har betydning for deres adfærd og præstationer. Følelsen af optimal frustration skal tilstræbes, så eleverne ikke oplever psykiske barrierer på grund af kedsomhed eller overophedet arbejdshukommelse. - Neurologiske: Som lærer skal man ikke diagnosticere elever, men være særligt opmærksom på vanskelighedernes omfang og intensitet. Samarbejdet med specialpædagogiske resursepersoner er i den forbindelse centralt, ligesom forældresamarbejdet har betydning, fordi nogle lidelser kan være arvelige. - Sociologiske: Chanceulighed kan være kulturelt bestemt, hvis skolen ikke er åben overfor en multikulturel pædagogik. Socioøkonomiske forhold og forældres holdninger til uddannelse har stor betydning for om elever kommer i faglige og sociale vanskeligheder. - Didaktiske: Lærerens gode intentioner er ikke nok. Lærerens faglige kompetencer i forhold til relationer, formidling, klasseledelse og arbejdet med at skabe et reelt inkluderende læringsmiljø, såvel fagligt som socialt, kan have betydning for om elever kommer i matematikvanskeligheder. Hvis eleverne ikke er trygge, så kan psykiske barrierer overskygge potentialer og de muligheder, som undervisningen tilbyder. 3.0 Matematik og sprog Dette afsnit har særligt fokus på, hvordan sproget kan inddrages varieret i matematikundervisningen. Hjælpemidler og strategier vil blive belyst i forbindelse med en kortlægning af sproglig kompleksitet i matematikholdige tekster. 3.1 Den sproglige dimension i matematikundervisningen Ofte er det ikke matematikken, der er problemet men mødet med sproget og kommunikationen. 48 Undervisningen skal jf. Fælles Mål for faget inddrage aspekter, der gør det muligt for eleverne at udvikle alle sprogfærdigheder; tale, lytte, skrive og læse. Dette kan blandt andet pointeres gennem 48 Høines (1997) I Daugaard og Hedegaard (2005) s. 3, ll Også citeret i Andersen (2008) s. 89, ll

22 kommunikationskompetencen, der inddrager alle sprogfærdigheder. Det følgende er et par eksempler fra Trin målene efter 6.klasse, som inddrager sprog. Eleverne skal kunne: formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) 49 Formulere refererer til noget produktivt hhv. tale og skrive løse matematiske problemer knyttet til en kontekst, der giver mulighed for intuitiv tænkning, egne repræsentationer og erhvervet matematisk viden og kunnen (problembehandlingskompetence) 50 Knyttet til en kontekst refererer til noget receptivt hhv. læsning eller lytning. Egne repræsentationer er udtryk for noget skriftligt. Inspireret af Helle Pia Laursen (2003) Dansk som andetsprog i fagene fremhæver Daugaard og Hedegaard i Tosprogede elever i matematikundervisningen en liste over idéer til matematikundervisning, som har fokus på den (andet)sproglige dimension 51 : - Lad eleverne være sprogligt aktive og reflekterende, både mundtligt og skriftligt. (I den forbindelse opfordrer de til, at der udformes begrebskort, så den sproglige forforståelse er på plads, og eleverne kan også skrive logbog.) - Konkret arbejde støtter forståelsen, og det er tilfredsstillende for eleverne, at deres arbejde er synligt i klassen. (Konkrete materialer kan ses som en af mange repræsentationsformer. De konkrete materialer er særligt vigtige fordi de forbinder matematikken til virkeligheden.) - Lad eleverne læse opgaverne og teksten i bogen højt for hinanden og støt deres forståelse, inden de går i gang med selve opgaveløsningen. Lad også gerne eleverne formulere opgaver til hinanden. (Dette råd bygger på en socialkonstruktivistisk læringsforståelse. Elevernes tale, læse, lytte, skrive og tankefærdigheder kan alle bringes i spil.) 49 Fælles Mål (2009) Faghæfte 12, s. 8, 1. spalte, ll. 7-9 (mine understregninger) 50 Ibid ll Punkterne er kommenteret undervejs. 22

23 - Hav en række mindre mundtlige kommunikationsøvelser på lager fremmed- og andetsprogsundervisningens kommunikative øvelser kan sagtens anvendes i en matematisk sammenhæng og med et matematikfagligt og -sprogligt indhold. (I linjefaget Dansk som andetsprog har vi eksempelvis arbejdet med struktureret gruppearbejde fra teorien om Cooperative Learning og informationskløftopgaver 52. Arbejdsformer der bevirker, at eleverne er afhængige af hinandens deltagelse og mundtliggørelse har tendens til at fremme aktivitet og dermed udbytte af undervisningen.) - Lav ordlister med relevante ord. Lad eleverne gå på sproglig opdagelsesrejse i tekster, hvor ord fra ordlisten er fjernet, og lad eleverne indsætte de rigtige ord. (Dette hænger sammen med opbygning af elevernes forforståelse og undersøgelse af centrale begreber. Hovedpointen med punkterne er, at den sproglige dimension er central for alle elevernes udbytte af matematikundervisningen.) 3.2 Matematik og dialog Refleksioner kan forstås interpersonelt i dialog (italesættelse) eller intrapersonelt (i dialog med sig selv). Det formelle matematiksprog kan beskrives, som et fremmedsprog af 2.orden. 53 For at sprog af 2.orden kan give mening for eleven, må det knyttes til et sprog af 1.orden, der er velkendt for eleven. Et oversættelsesled er nødvendigt for, at eleven: kan knytte tanker og associationer til de ord og symboler, der er i spil. 54 Alrø og Skosmoses IC-Model 55 er et eksempel på en dialogisk model, der kan muliggøre oversættelsesled ved stilladsering gennem dialog. Undersøgende læreprocesser kan understøttes af otte dialogiske talehandlinger af nonverbal- og verbal karakter og gør op med matematikundervisning præget af kun ét rigtigt svar og gæt hvad læreren tænker 56 : Kontakte kan præciseres med begreberne: tune ind, være opmærksom, være til stede, støtte, bekræfte, bruge humor, stille undersøgende spørgsmål og påhængsspørgsmål. 52 Opgaver, hvor eleverne har information som de andre ikke kender til, men som er nødvendig for behandlingen af problemet. 53 Hansen, H.C. (2006) s. 92, med reference til Høines beskrivelse (1998) af Vygotskys teori om sprog af 1. orden og 2. orden. 54 Ibid s. 92, ll Inquiry Cooperation Model s Alrø og Skovsmose (2006) s

24 Opdage omfatter muligheden for at stille undersøgende, undrende, uvidende, opklarende spørgsmål, stille check-spørgsmål, udforske og afprøve muligheder samt stille hypotetiske spørgsmål: hvad-nu-hvis. Identificere indebærer at stille hvorfor-spørgsmål, forklare og udklystallisere matematiske ideer. Advokere betyder at fremsætte synspunkter, ideer og forslag til undersøgelse, at suspendere forståelser og at reflektere kollektivt. Tænke højt vil sige at stille hypotetiske spørgsmål, at italesætte, at gøre offentligt. Reformulere kan også forstås som det at gentage, parafrasere, fuldende hinandens ytringer samt opretholde kontakt. Udfordre indebærer at kunne stille hypotetiske spørgsmål, udforske alternative muligheder og at introducere et vendepunkt i en undersøgelse. Evaluere kan optræde som konstruktiv feedback, bekræftelse, ros, ubetinget opbakning, kritik. 57 De understreger dog, at den undersøgende dialog er sårbar, fordi den let kan blive afbrudt. Der er desuden en risiko for at ende i en blindgyde eller fare vild. Den skal derfor kun ses, som et supplement til undervisningen: hvor man ønsker at tilsidesætte rutinerne og ser en fordel i at facilitere undersøgende læreprocesser Indre billeder som intrapersonelt sprog et net af repræsentationer Indre billeder eller ting, man forbinder med et begreb, kan formuleres skriftligt ved begrebskort. Dette eksempel er med en brøk 59 : 57 Ibid s. 124, ll (mine markeringer med fed skrift) 58 Ibid s. 125, ll Daugaard og Hedegaard (2005) s

25 Matematisk visuelle objekter, konkrete materialer fra hverdagssituationer, skriftlig- og mundtlig kommunikation supplerer hinanden og styrker forståelsen. Ord fra tosprogedes modersmål også være en del af de mange repræsentationer. 60 Dannelsen af indre billeder kan støtte lagringen af informationer i arbejdshukommelsen, og skriftliggørelse af indre billeder kan hjælpe elever i matematikvanskeligheder med at holde flere bolde i luften samtidig samt strukturere og kategorisere information Tosprogethed, læsning og matematisk problembehandling Med henvisning til Høgmo (1997) påpeger Daugaard og Hedegaard, at tosprogede elever klarer sig på niveau med etsprogede i matematikopgaver, der ikke er knyttet til tekst. Dog klarer tosprogede sig markant dårligere i problemløsningsopgaver end etsprogede elever på grund af sproglige barrierer. 62 Golden peger på, at et øget ordforråd øger forståelsen. Således bør man kunne forstå 95% af ordene i en tekst for at forstå sammenhængen. 63 Moskvil mener dog, at et øget fokus på ordforråd kan 60 Andersen (2008) s Ibid s Daugaard og Hedegaard (2005) s Golden (2005) s

26 forstyrre læsningen. 64 Det er imidlertid veldokumenteret, at tosprogede elever med fordel kan udnytte deres modersmål og veksle mellem brugen af modersmål og andetsprog (kodeskift). 65 Dette er i overensstemmelse med Vygotskys teori om sprog af første og anden orden som tidligere beskrevet. Bamberger og Hansen lægger op til, at man som lærer skal forberede eleverne på det emne, som opgaven tager udgangspunkt i, således at en dårlig forforståelse af emnet ikke hindrer dem i at forstå og løse matematikken. Genrekendskab og forforståelse for den sproglige kontekst som matematikken er indlejret i har betydning for mestringsforventninger og præstationer hos elever, der oplever sproglige barrierer. Dette har vi desuden drøftet i linjefagene specialpædagogik og dansk som andetsprog. Det er en fordel for specielt de tosprogede elever og elever i matematikvanskeligheder, hvis man dvæler ved en kontekst og forsøger at hive så meget matematik ud af emnet som muligt. På den måde forsøges det undgået, at eleverne falder fra på grund af manglende forforståelse ved konstant at skulle forholde sig til en ny kontekst. Daugaard og Hedegaard belyser nogle uhensigtsmæssige strategier, som er kendetegnende for elever, der oplever sproglige barrierer i forbindelse med problemløsningsopgaver, og som læreren må være særligt opmærksom på: Eleverne anvender overfladeregning. De ser på tallene i en opgave uden at reflektere over indholdet. Overvejelser af følgende type inddrages Hvis det største tal står først skal jeg nok trække fra. Hvis det mindste tal står først lægger jeg til. Eleverne kopierer andre elevers arbejder. Eleverne svarer ja til forståelsesspørgsmål fra læreren fordi det er frustrerende altid at skulle sige det forstår jeg ikke. Eleverne gemmer sig i undervisningen. Eleverne udvikler procedurestrategier i matematik, hvor de ikke opbygger forståelse for det faglige indhold. Når eleverne arbejder med tekststykker i matematik hvor afkodningen af teksten skaber problemer, søger de efter de tal, der findes i opgaven og gør et eller andet uden reelt at have forstået problemstillingen i opgaven Moskvil (2009) s Andersen (2008) s. 24, refererende til Cummins 66 Daugaard og Hedegaard (2005) s. 12, ll