Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul"

Transkript

1 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul

2 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse = vandret akse y-akse = lodret akse Figur 1 Pil pä hver akse: tallene bliver stårre i pilens retning Det er altsä en fejl at sçtte pil i den anden ende 1 Koordinater for punkt Det råde punkt pä Figur 1 har koordinatsçttet ( 4, 7) 4 er -koordinaten fordi 4 er tallet får kommaet 7 er y-koordinaten fordi 7 er tallet efter kommaet At punktets -koordinat er 4, betyder: NÄr vi fra punktet gär lodret ned (eller op) til -aksen, sä kommer vi til tallet 4 pä -aksen At punktets y-koordinat er 7, betyder: NÄr vi fra punktet gär vandret ind pä y-aksen, sä kommer vi til tallet 7 pä y-aksen 13 Funktion Graf pä Figur viser areal som funktion af lçngde Graf pä Figur 3 viser lçngde som funktion af areal Det er tallet pä y-aksen der er funktion af tallet pä -aksen Figur Figur 3 14 AflÄse punkt på graf Figur 4 viser areal som funktion af lçngde Figur 4 Opgave: Bestem areal när lçngden er 8 Dvs: Bestem y när er 8 Nspire: Vi afsçtter punkt pä graf, vi retter punktets -koordinat til 8, vi ser at punkts y-koordinat bliver 6 Dvs: Areal er 6 när lçngde er 8 Figur 5 viser håjde i cm som funktion af vçgt i gram Figur 5 Opgave: Bestem vçgt när håjden er 4 cm Dvs: Bestem när y er 4 Nspire: Vi afsçtter punkt pä graf, vi retter punktets y-koordinat til 4, vi ser at punktets -koordinat bliver 8,65 Dvs: VÇgten er 8,65 gram när håjden er 4 cm Dette er IKKE en brugsanvisning til Nspire Jeg forudsçtter at du pä anden mäde har fäet at vide hvordan man bruger Nspire Jeg har skrevet råde tal pä akserne for at huske dig pä at det er her tallene stär I dine besvarelser er det nok at koordinatsçttet stär ved punktet Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

3 15 Ikke alle grafer er graf for en funktion Figur 6 Figur 7 Figur 8 Figur 6 og Figur 8 viser samme oplysninger om temperatur og antal minutter, MEN: Grafen pä Figur 6 er IKKE graf for en funktion Se hvorfor i 16 Grafen pä Figur 8 er graf for en funktion 16 Hvordan ser vi om en graf er graf for en funktion? PÄ Figur 6 er antal minutter y ikke en funktion af temperaturen da der er en -vçrdi som har to y-vçrdier Feks (se Figur 7): när er 5, kan y bäde vçre 1,9 og 10,4 PÄ Figur 8 er temperaturen en funktion af antal minutter, da ingen -vçrdi har to y-vçrdier Der mä gerne vçre flere -vçrdier der har samme y 17 Forskrift for funktion For en bestemt type figurer gçlder: håjden y kan udregnes ved at dividere 7 med bredden 7 Denne regel kan vi skrive sädan: y Ligningens håjre side er forskriften for håjden y som funktion af bredden 18 FunktionsvÄrdi I forskriften fra 17 indsçtter vi 5 for og fär: NÄr er 5, er y lig 14,4 Vi siger: FunktionsvÇrdien af 5 er 14,4 Vigtig sprogbrug! Det hedder IKKE funktionen af 19 Andre betegnelser end og y Vi behåver ikke bruge og y som betegnelser for -vçrdi og y-vçrdi I eksemplet fra 17 kan vi feks kalde -vçrdien for b og y-vçrdien for h SÄ gçlder h 7 b Vi kan ogsä skrive häjde 7 bredde Figur Udregne punkt på graf (a) Som eksempel vil vi bruge forskriften fra afsnit 17 Denne linje er en kopi fra Nspire-skÇrmen SÄdan kan det se ud hvis du skriver din besvarelse i Nspire sä (6, 1) er et punkt pä grafen for håjden y som funktion af bredden (b) Nspire: Vi afsçtter punkt i koordinatsystem Vi fremkalder punktets koordinater Vi retter punktets koordinater til 6 og 1 (c) PÄ Figur 9 har vi afsat endnu et punkt som ligger pä grafen PÄ Figur 10 har vi afsat flere punkter som ligger pä grafen Derefter taster vi forskriften og fär Nspire til at tegne graf ud fra denne Vi ser at grafen gär gennem de punkter vi har udregnet Tegne graf uden hjçlpemidler: Vi afsçtter punkterne pä papir og tegner blåd kurve gennem dem Figur 10 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf 014 Karsten Juul

4 111 DefinitionsmÄngde DefinitionsmÇngden for en funktion er de tal vi mä indsçtte for Figur 11 viser grafen for funktionen y =,71,15, 7 < 4 DefinitionsmÇngden er intervallet 7 < 4 Dvs definitionsmçngden bestär af tallene mellem 7 og 4 samt tallet 4 Symbolet 7 < 4 lçses: minus syv mindre end mindre end eller lig 4 Figur 1 viser grafen for funktionen y =,71,15, DefinitionsmÇngden er intervallet Dvs definitionsmçngden bestär af tallet og tallene stårre end Intervallet kan ogsä skrives < Symbolet lçses: uendelig Figur 11 Figur 1 Intervallet < < bestär af alle tal Bestemme y eller i tekstopgave 1 Bestem y i tekstopgave For nogle dyr gçlder y = 0,31,, hvor y er vçgten, mält i gram, og er alderen, mält i uger Hvad er vçgten af et dyr hvis alder er 13 uger? Da = alder og y = vägt kan spårgsmälet Bestem vägt när alder er 13 oversçttes til Bestem y när er 13 Da y = 0,31, gçlder: Et dyr hvis alder er 13 uger, har vçgten 3, gram Det er ikke korrekt matematiksprog at skrive eller eller Skriv Denne linje viser hvordan det kan det se ud hvis du skriver din besvarelse i Nspire VIGTIGT: UndgÄ de fejl der er vist i rammen ovenfor Kontrol ved elektronisk afläsning på graf: Bestem y i tekstopgave Vi taster forskrift 0,31, og fär Nspire til at tegne graf ud fra denne Vi afsçtter et punkt pä graf Vi retter -koordinat til 13 Vi ser at y-koordinat bliver 3,098 Vi ser at vores elektroniske aflçsning pä graf giver samme resultat som vores udregning 3 Kontrol ved tabel: Bestem y i tekstopgave Vi taster forskriften 0,31, og fär Nspire til at lave tabel ud fra denne Vi ser at när er 13, er y lig 3,098 Vi ser at tabel giver samme resultat som vores udregning Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

5 4 Bestem i tekstopgave For nogle dyr gçlder y = 0,31, hvor y er vçgten, mält i gram, og er alderen, mält i uger Hvilken alder har et dyr hvis vçgt er 7,5 gram? Da = alder og y = vägt kan spårgsmälet Bestem alder när vägt er 7,5 oversçttes til Bestem när y er 7,5 Da y = 0,31, gçlder: NÄr y = 7,5 er 7,5 = 0,31, Nspire låser ligningen 7,5 = 0,31, mht og fär = 17,6549 Nspire: Et dyr hvis vçgt er 6,7 gram, har alderen 17,7 uger 5 Kontrol ved elektronisk afläsning på graf: Bestem i tekstopgave Vi taster forskriften 0,31, og fär Nspire til at tegne grafen ud fra denne Vi afsçtter et punkt pä grafen Vi retter y-koordinaten til 7,5 Vi ser at -koordinaten bliver 17,6549 Vi ser at vores elektroniske aflçsning pä graf giver samme resultat som vores udregning Figuren viser ikke om der er låsninger uden for grafvinduet 6 Kontrol ved tabel: Bestem i tekstopgave Vi taster forskriften 0,31, og fär Nspire til at lave tabel ud fra denne Vi sçtter -trin til 0,1 Vi ser at när er 17,7, er y tçttest pä 7,5 Vi ser at tabel giver samme resultat som vores udregning En tabel kan ikke vise at der ikke er flere låsninger 7 Bestemme y eller i opgave med svär tekst Det er ikke godt nok hvis du pråver at indsçtte tal for indtil resultatet er 7,5 Du skal regne dig frem til resultatet Det kan du gåre ved at låse ligningen med solve Hvis det er en simpel ligning, kan du låse den ved at omskrive den ved hjçlp af ligningsregler Med almindeligt matematiksprog skal vi skrive hvad Nspire går i solve-linjen, fordi solvelinjen ikke er almindeligt matematiksprog I 1 skal vi ikke skrive noget ekstra fordi der her ikke er forskel pä Nspire-sprog og almindeligt matematiksprog For nogle pakker med brikker gçlder y = 1,1 + 4,5 0,6 hvor y er den mindste diameter (mält i cm) af en brik i pakken, og er den gennemsnitlige vçgt (mält i g) af brikkerne i pakken Bestem den gennemsnitlige vçgt af brikkerne i en pakke hvor den mindste diameter af en brik er 8cm Bestem den mindste diameter af en brik i en pakke hvor den gennemsnitlige vçgt af brikkerne er 1,4g Da = gennemsnitlige vägt og y = mindste diameter fär vi: SpÅrgsmÄlet: Bestem gennemsnitlig vägt när mindste diameter er 8 oversçtter vi til: Bestem när y er 8 SpÅrgsmÄlet: Bestem mindste diameter när gennemsnitlig vägt er 1,4 oversçtter vi til: Bestem y när er 1,4 NÄr vi har oversat, bruger vi metoden fra 1-3 eller metoden fra 4-6 Hvis beskrivelsen af eller y er lang, feks gennemsnitlig vägt af brikkerne i pakken, sä tror nogle elever at det er en svçr opgave og springer den over Du kan låse sädan en opgave hvis du bruger tilstrçkkelig tid pä at gåre dig klart at den lange formulering er det tal der skal indsçttes for eller y Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

6 8 Bestemme når ikke alle punkter på grafen svarer til noget i virkeligheden Antal fugle beskrives ved modellen y = 161, hvor y er antal fugle, og er antal Är efter 014 HvornÄr er der 35 fugle? 161, = 35 har låsningen = 4,3 Forkert svar: I 018 (efter 4 Är) Är er antal ikke helt 35, sä det mä vçre lidt inde i 019 at antal er 35 Dette er forkert, da antal fugle falder i begyndelsen af Äret Model beskriver: hvordan antallet Çndres fra Är til Är Model beskriver IKKE: hvordan antallet Çndres i låbet af Äret M3: NÄr en model er en graf, er det ofte kun nogle af grafpunkterne der svarer til noget i virkeligheden For hvert Ärstal har man Çt tal der angiver resultatet af en optçlling Det er kun de store prikker pä den stiplede graf der svarer til noget i virkeligheden Vi gär ud fra at spårgsmälet betyder SÄ er det korrekte svar: HvornÄr er der 35 fugle? HvornÄr er der ca 35 fugle? I 018 er der ca 35 fugle Hvis spårgsmälet er HvornÄr overstiger antal fugle 35? sä er det korrekte svar: I 019 overstiger antal fugle OplÄg 3 StÉrstevÄrdi og mindstevärdi En funktion har forskriften y = ) NÄr =1 er y=18 ) NÄr =3 er y stårre end när = ) NÄr =8 er y mindre end när =3 4) StÅrst mulige y er 50 3 Bestemme så y er stérst Et dyr behandles med et stof som det indtager gennem fåden Koncentrationen af stoffet i blodet kan beskrives ved y = 8(0,98 0,15 ), 0 hvor y er koncentration af stoffet i blodet (mält i nanogram pr liter) pä tidspunktet timer efter indtagelse LÇg mçrke til at der ikke stär at du skal Bestem tidspunktet hvor koncentrationen er stårst mulig finde den stårste vçrdi Der stär at du skal finde det tal som er när y er stårst mulig Afsnit 3 fortsçtter pä nçste side! Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

7 Vi fär Nspire til at bestemme i intervallet 0 sä 8(0,98 0,15 ) er stårst mulig og fär =,4007 Nspire: Koncentration er stårst pä tidspunktet,4 timer efter indtagelse 33 Bestemme den stérste värdi af y fortsçttelse af 3 Bestem hvor stor koncentrationen er när den er stårst NÄr koncentrationen er stårst, er den 6 nanogram pr liter 34 Kontrol ved elektronisk underségelse af graf: Bestem stérstevärdi Med almindeligt matematiksprog skal vi skrive hvad Nspire går i fma-linjen, fordi fmalinjen ikke er almindeligt matematiksprog I 33 skal vi ikke skrive noget ekstra fordi der her ikke er forskel pä Nspire-sprog og almindeligt matematiksprog Husk at fma ikke finder den stårste vçrdi fma finder det tal som er när y er stårst mulig SÄdan kan det se ud hvis du skriver din besvarelse i Nspire Denne linje er korrekt matematiksprog UndgÄ fejlene i rammen i 1 Hvis du skriver i händen, skal du ikke skrive de parenteser som Nspire har sat om 0,98 og 0,15 Vi taster forskriften 8(0,98 0,15 ), og ud fra denne fär vi Nspire til at tegne grafen i intervallet 0 PÄ grafen ser vi at det er for en -vçrdi mellem 0 og 10 at y er stårst Vi fär Nspire til at undersåge grafen med hensyn til maksimum for -vçrdier mellem 0 og 10 Vi ser at y er stårst mulig när =,4007 og at stårstevçrdien er y = 6,38 Vi ser at vores elektroniske undersågelse af graf giver samme resultater som vores udregninger Vi skal skrive hvilke oplysninger vi giver Nspire, og hvilke handlinger vi fär Nspire til at udfåre Vi skal IKKE skrive hvordan vi taster og klikker for at fä Nspire til at udfåre disse handlinger PÄ grafen kan vi ikke se om der er en stårre y-vçrdi uden for graf-vinduet Dette er kun et matematisk problem, da vi ved at koncentrationen ikke begynder at stige igen 35 Kontrol ved tabel: Bestem stérstevärdi Vi taster forskriften 8(0,98 0,15 ) og fär Nspire til at lave en tabel med -trin=5 Se Tabel 1 I y-såjlen stiger tallene indtil =5 og falder derefter Vi laver ny tabel med -trin=1 Se Tabel I y-såjlen stiger tallene indtil = og falder derefter Vi laver ny tabel med -trin=0,1 Se Tabel 3 I y-såjlen stiger tallene indtil =,4 og falder derefter Vi laver ny tabel med -trin=0,01 Se Tabel 4 Vi ser at i y-såjlen stiger tallene indtil =,4 og falder derefer Det ser ud til at y er stårst när =,4 og at det stårst mulige y er 6,38 Tabel 1 Tabel Tabel 3 Tabel 4 Det er samme resultat som vi fik ved udregningen En tabel kan ikke vise at funktionen ikke har en endnu stårre y-vçrdi 36 MindstevÄrdi Opgaver med mindstevçrdi låser vi som opgaver med stårstevçrdi, bortset fra at vi bruger fmin i stedet for fma, og bortset fra at vi fär Nspire til at undersåge grafen med hensyn til minimum i stedet for maksimum Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

8 41 OplÄg 4 HvornÅr er de lige store? y = 7 0,4 när y er grånt areal, og y = 4 0,1 när y er rådt areal 1) NÄr = er grånt areal stårre end rådt areal ) NÄr = 6 er grånt areal stadig stårst 3) NÄr = 13 er rådt areal stårst 4) NÄr = 10 er grånt areal lig rådt areal 4 HvornÅr er de lige store? For to planter A og B gçlder: A: y = ,98 B: y = hvor y er håjde i cm, og er antal dågn efter flytning HvornÄr er de to planter lige håje? håjde af A = håjde af B ,98 = Nspire låser ligningen ,98 = mht for 0 og fär = 39, De to planter er lige håje 40 dågn efter flytning 43 Kontrol ved tabel: HvornÅr er de lige store? Vi taster forskrifterne for A og B og fär Nspire til at lave tabeller ud fra disse I tabellen ser vi at for lig 40 er A og B ca lige store Dette er lig resultatet af udregningen i 4 En tabel kan ikke vise at der ikke er flere låsninger Her stär hvad Nspire går i solve-linjen Det er ikke nok at skrive solve-linjen da denne ikke er almindeligt matematiksprog 44 Kontrol ved elektronisk underségelse af figur: HvornÅr er de lige store? For hvert tal pä -aksen er der to y-koordinater (plantehåjder), Ñn pä hver graf Vi skal finde tallet pä -aksen hvor de to y-koordinater (plantehåjder) er lige store Det er de i grafernes skçringspunkt Vi taster forskrifterne y = ,98 og og ud fra disse fär vi Nspire til at tegne de to grafer Vi fär Nspire til at finde skçringspunktet mellem de to grafer, og ser at skçrinspunktets -koordinat er 39, Vi ser at vores elektroniske undersågelse af figur giver samme resultat som vores udregning Figuren viser ikke at der ikke er flere skçringspunkter Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

9 51 OplÄg Figurerne viser grafen for funktionen med forskriften 4 y 13 5 Udregne Ändring af y eller NÄr vi Çndrer fra 3 til 4, sä Çndres y fra 5 til 7, dvs y bliver enheder stårre NÄr vi Çndrer fra 6 til 8, sä Çndres y fra 9 til 10, dvs, y bliver 1 enhed stårre 5 Udregne Ändring af y Nspire skriver input med blät og output VÇskehÅjden i en karaffel stiger sädan at y = 9 0,6 med grånt Hvis du skriver i händen, + 15 kan du skrive det hele med samme hvor y er håjden i mm, og er minutter efter kl 800 farve, feks med almindelig blyant Hvor meget stårre bliver håjden i låbet af de fårste minutter efter kl 800? Vi udregner håjden 0 minutter efter 800: Vi udregner håjden minutter efter 800: Vi udregner hvor meget stårre håjden er blevet: De fårste minutter efter 800 bliver håjden 14 mm stårre Vi aflçser elektronisk y-koordinaterne til de punkter pä grafen som har -koordinater 0 og Vi fär de samme håjder som vi fik ved udregning 53 Udregne Ändring af VÇskehÅjden i en karaffel stiger sädan at y = 9 0, hvor y er håjden i mm, og er minutter efter kl 800 Hvor lang tid tager det at Çndre håjden fra 5 mm til 35 mm? Vi bestemmer tidspunktet hvor håjden y er 5: 5 = 9 0, Nspire låser ligningen 5 = 9 0, mht og fär = 1,19196 Nspire: Vi bestemmer tidspunktet hvor håjden y er 35: 35 = 9 0, Nspire låser ligningen 35 = 9 0, mht og fär = 3,7844 Nspire: Vi udregner hvor lang tid der er gäet: Jeg har skrevet råde tal pä akserne for at huske dig pä at det er her tallene stär I dine besvarelser er det nok at koordinatsçttene stär ved punkterne Vi taster forskriften for håjden og fär Nspire til at lave en tabel ud fra denne Vi ser at när Çndres fra 0 til, sä Çndres y fra 15 til 8,6414 Det er samme håjder som vi fik ved udregningen Det tager,6minutter at Çndre håjden fra 5 mm til 35 mm Vi aflçser elektronisk -koordinaterne til de punkter pä grafen som har y-koordinater 5 og 35 Vi fär de samme tidspunkter som vi fik ved udregning Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

10 61 RÄkkefÉlge af udregninger 6 Udregn gange fér plus eller minus 6 Find forskrift Rektanglets areal y er en funktion af cirklens diameter Det er oplyst at vi kan udregne areal sädan: 1) TrÇk diameter fra 0 ) Gang resultat med 4 Skriv forskrift for funktionen Rigtigt svar: (0 )4 Det i parentesen skal udregnes fårst (när vi har indsat et tal for ) Forkert svar: 0 4 Her stär at vi skal gange får vi trçkker fra NÄr et tal stär mellem gange og minus (eller plus), sä er det gange der skal udregnes fårst (när vi har indsat et tal for ) 63 Kontrol af forskrift: NÄr diameter er 5, udregner vi areal pä to mäder Udregning ved hjçlp af sprogligt formuleret regel: 1) TrÇk 5 fra 0: resultat er 15 ) Gang resultat med 4: resultat er 60 Udregning ved hjçlp af forskrift: udregnet af Nspire Begge mäder giver resultat 60 Da de giver samme resultat, er det sandsynligt at forskriften er rigtig Vi kan evt pråve efter med andre tal end 5 for at blive endnu mere sikre 64 Eksempler Överste rektangel: HÅjden er og bredden er +3 areal = (+3) 3 Nederste rektangel: Venstre del har areal og håjre del har areal 3 areal = Udregn potens fér gange En funktion har fålgende forskrift: y = 0,5 3 NÄr = er y = 0,5 3 = 0,58 = 4 Vi mä IKKE starte med at gange 0,5 med NÄr der stär gange foran potens, gçlder: Vi skal oplåfte til potens får vi ganger Hvis meningen er at vi skal gange fårst, sä skal vi skrive y = (0,5) 3 66 Eksempler Venstre figur: Hvert af kvadraterne har areal og der er tre af dem areal = 3 HÅjre figur: Kvadratets side er 3 og arealet er siden i anden areal = (3) Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

11 67 ReducÇr 68 Regler om at gange 4 Arealet y som funktion af mä vçre bredden 4 gange håjden 3 Vi vil reducere forskriften 3 y = ( 4)3 Vi ganger tal ind i parentes ved at gange hvert led Leddene er og 4 Det er kun + og der adskiller led, sä og er ikke led = 3 43 NÄr vi ganger flere tal, er resultatet det samme uanset hvilken rçkkefålge vi ganger tallene i I 3 starter vi med at gange og 3 = Regler om fortegn og regler om at samle led 610 Eksempel Bredden y pä figuren er en funktion af bredden Vi ser at vi fär y när vi fra 7 trçkker tallet 5 Vi vil reducere forskriften 7 y = 7 (5 ) y 5 = 7 (+5 ) Da der ikke stär minus foran 5, er fortegnet plus = 7 5+ Vi fjerner parentesen og minusset foran parentesen Samtidigt skal vi Çndre fortegnene i parentesen Dette er reglen for at hçve en minusparentes = + 7 og 5 er led af samme type (de er begge tal uden ) Vi kan derfor regne dem sammen til Üt led 611 Eksempel Bredden y pä figuren er en funktion af bredden Vi ser at vi fär y ved til at lçgge det vi fär ved fra 6 at trçkke Vi vil reducere forskriften y 6 y = + (6 ) = + (+6 ) Da der ikke stär minus foran 6, er fortegnet plus = +6 Vi fjerner parentesen og plusset foran parentesen uden at Çndre fortegnene i parentesen Dette er reglen for at hçve en plusparentes = + 6 og er led af samme type (de er begge et antal 'er) Vi kan derfor regne dem sammen til Üt led 61 Eksempel T = 1 4( + a) T = 1 ( 8 + 4a) FÅrst ganger vi ind i parentesen uden at hçve parentesen T = a Derefter hçver vi parentesen T = 9 4a 613 Angiv som funktion af Opgave: Svar: Vi laver rektangler hvor bredden er 8 Bestem en forskrift for arealet som funktion af håjden håjden er -vçrdien da der stär som funktion af håjden arealet er y-vçrdien da der stär arealet som funktion af Arealet y kan vi finde ved at gange bredden 8 med håjden, sä y 8 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

12 614 Bestem rumfang som funktion af Opgave: Vi laver en kasse uden läg af tre kvadratiske plader med siden Kassens fire sider fär vi ved at skçre to af pladerne midt over Bestem kassens rumfang R som funktion af Svar: R = grundflade håjde R = 1 R = Bestem areal som funktion af Opgave: Pladen pä figuren bestär af to kvadrater Bestem pladens areal som funktion af skulderbredden Svar: Lille kvadrats side er 5 Lille kvadrats areal er ( 5 ) Store kvadrats areal er 5 5 Hele figurens areal A er A A Bestem omkreds eller areal som funktion af Opgave: Bestem klodsens overflade A som funktion af Svar: FÅrst udregner vi areal af hver sideflade: Den skrä forside er et rektangel hvis håjde h er hypotenuse i en retvinklet trekant hvor begge kateter er IfÅlge Pythagoras er h h SkrÄ forside: Bund: ( ) Bagside: Tag: Side: 1 trekant plus kvadrat Side: 1 Vi fär Nspire til at lçgge de seks siders arealer sammen: trekant plus kvadrat A ( 11) Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

13 617 Udtryk h ved, og udtryk derefter y ved 618 Opgave: Svar: Den viste figur bestär af et rektangel (med bredde og håjde h) og en trekant (med håjde y) Rektangels areal skal vçre 100 Trekants håjde fär vi ved at lçgge rektangels håjde til en fjerdedel af rektangels bredde Bestem y som funktion af Da rektangels areal er 100, er h = 100 sä (1) h 100 Trekants håjde y er rektangels håjde h plus 4 1 af rektangels bredde, sä () y h 4 I () indsçtter vi (1) og fär: y Her er y bestemt som funktion af h HUSK fålgende: Vi isolerer h i den ene ligning Det udtryk vi finder for h, skriver vi i stedet for h i den anden ligning Dette er en almindelig metode y 619 Opgave: Der er et hegn om et bed Hegnets lçngde L og bedets areal A er givet ved 1 L h og A h hvor h og er bedets lçngde og bredde Hegnets lçngde er 30 Udtryk h ved, og går rede for at A som funktion af kan beskrives ved A 15 ( 1 ) Svar: L h Dette er oplyst 30 h Vi har indsat 30 for L 30 h 30 h 15 h Her er h udtrykt ved HUSK fålgende: Bedet set ovenfra Vi isolerer h i den ene ligning Det udtryk vi finder for h, skriver vi i stedet for h i den anden ligning Dette er en almindelig metode A A A A h 1 1 Dette er oplyst ( 15 ) Vi har indsat 15 for h ( 1 ) Dette er formlen vi skulle gåre rede for Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

14 71 f () forklaret ved eksempel 7 SkrivemÅden f () For nogle figurer er areal a som funktion af lçngde givet ved: a = + Ofte skriver man sädan: a() = + a(4) = = 4 a(8+t) = (8+t) + (8+t) a() = 3 låser vi ved at låse + = 3 a(4) = 4 fortçller: areal er 4 när lçngde er 4 a(4) = 4 fortçller: y-koordinat er 4 for grafpunkt med -koordinat 4 Se figur I oplysningen a(5) = 35 gälder: 5 er 35 er y a(5) er y a(5) er IKKE 5 Hvis du lçrer dette udenad sä du bliver helt sikker i det, sä er der meget der bliver meget, meget nemmere 7 Bestem g()-forskrift ud fra f ()-forskrift Opgave: f ( ) og Bestem forskrift for g () f ( ) g( ) Svar: g( ) f ( ) Nspire: Opgave: Svar: a( ) og b( ) 3 og c( ) b( ) a( ) Bestem forskrift for c () c( ) b( ) a( ) (3 ) ( ) 3 Nspire: 73 Bestem f ( ) Opgave: En funktion f har forskriften f ( ) Bestem f () Svar: f ( ) sä f ( ) ( ) ( ) f ( ) 4 f ( ) 6 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

15 74 LÉs ligningen f () = Opgave: En funktion f har forskriften f ( ) 8 3 LÅs ligningen f ( ) 13 Svar: f ( ) da f ( ) er låsningen til ligningen f ( ) Bestem f ( ) og forklar hvad dette tal fortäller Opgave: VÇgten af et dyr er givet ved hvor f () f ( ) 4 0, 94 Bestem f (0) er vçgten i gram og er alderen i uger, og forklar hvad dette tal fortçller Svar: f ( ) 4 0, 94 f ( 0) 4 0,94 f ( 0) 17,6177 f ( 0) 17,6 0 sä udregnet af Nspire 17,6 er y-vçrdien som er vçgten, og 0 er -vçrdien som er alderen, sä tallet 17,6 fortçller at dyrets vçgt er 17,6 gram när alderen er 0 uger 76 Bestem f () når er Opgave: Svar: En funktion f har forskriften f ( ) Bestem f () när er 3,1 Dvs bestem f (3,1 ) NÄr er 3,1, er f () lig f ( ) f ( 3,1) 3,1 Nspire udregner dette: f ( 3,1) 11, 674 dvs f ( 3,1) 11, 7 3,1 PÄ Nspire fär vi denne ligning sädan: Vi tager en kopi af den foregäende ligning, håjreklikker pä den og vçlger Attributter, Skjul input, OK og trykker pä Enter (NÄr markår stär i feltet, kan vi se input) PÄ Nspire: Skriv 31 i stedet for 3,1 77 Bestem når f () er Opgave: En funktion f har forskriften Bestem när f () er 4 f ( ) Svar: Vi skal finde sä: f ( ) 4 Nspire låser ligningen 4 mht og fär 1, sä 1, 39 när f () er 4 Nspire: Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

16 78 Opgave hvor tekst oversättes til: Bestem f () når er (, 5 Opgave: For nogle planter er f ) 0,45 1, 5 hvor f () er vçgten i gram og er diameteren i cm Bestem vçgten af en plante hvis diameter er,0 cm Svar: Da = diameter og f () = vägt kan spårgsmälet Bestem vägten när diameteren er,0 oversçttes til Bestem f () när er,0 Se 75 f ( ) 0,45, 5 NÄr er,0, er f () lig f,0) 0,45,0 1, 5 1,5 (, 5 Nspire udregner dette: f (,0) 4, dvs vçgten er 4,0 gram när diameteren er,0 cm 79 Opgave hvor tekst oversättes til: Bestem når f () er (, 5 Opgave: For nogle planter er f ) 0,45 1, 5 hvor f () er vçgten i gram og er diameteren i cm Bestem diameteren for en plante hvis vçgt er er 5,0 gram Svar: Da = diameter og f () = vägt kan spårgsmälet Bestem diameteren när vägten er 5,0 oversçttes til Bestem när f () er 5,0 Se 76 f ( ) 0,45, 5 5, 5 1,5 Vi skal altsä finde sä 0,45 1, 5 5, 5 Nspire låser ligningen 0,45 1, 5 mht og fär, 7165 sä diameter er,3 cm när vçgt er 5,0 cm Nspire: 710 Opgaver hvor svär tekst oversättes 0,8 Opgave: For en vare gçlder at f ( ) hvor f () er det gennemsnitlige overskud pr salgssted, og er antal salgssteder pr kvadratkilometer Bestem gennemsnitligt overskud pr salgssted när antal salgssteder pr km er 4,6 Bestem antal salgssteder pr km när gennemsnitligt overskud pr salgssted er 7500 kr Svar: Da = antal salgssteder pr km og f () = gennemsnitligt overskud pr salgssted fär vi: Tekst: Bestem gennemsnitlig overskud pr salgssted när antal salgssteder pr km er 4,6 Oversat: Bestem f () när er 4,6 Tekst: Bestem antal salgssteder pr km när gennemsnitligt overskud pr salgssted er 7500 kr Oversat: Bestem när f () er 7500 NÄr vi har oversat, bruger vi metoden fra 75 eller metoden fra 76 Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

17 711 Bestem så g() er stérst Opgave: For en bestemt type figurer er arealet bestemt ved hvor g() g( ) 8,5, 4, 1 9 er arealet og er håjden Bestem sä arealet er stårst muligt Svar: Nspire bestemmer i intervallet 1 9 sä 8,5, 4 er stårst, og fär 3, Arealet er stårst muligt när 3, 14 Nspire: Bestemme q sä 7,q 1,4q er stårst: 71 Bestem den stérste värdi af g() Opgave: For en bestemt type figurer er arealet bestemt ved hvor g() g( ) 8,5, 4, 1 9 er arealet og er håjden Bestem det stårst mulige areal Svar: Nspire bestemmer i intervallet 1 9 sä 8,5, 4 er stårst, og fär 3, NÄr har denne vçrdi, er arealet g( 3,13585) 8,5 3,13585,4 3,13585 g( 3,13585) 7,5604 Det stårst mulige areal er 7,53 Nspire: 713 Bestem t så h(t) er mindst Opgave: I en model er prisen for en vare fastlagt ved 1,6 t h( t), 0 t t 15 hvor h(t) er prisen i kr og t er tiden i timer Bestem det tidspunkt hvor prisen er mindst Svar: Nspire bestemmer t i intervallet 0 t sä Prisen er mindst pä tidspunktet 13,7 timer 1,6 t er mindst, og fär t 13, 7477 t 15 Nspire: 714 Bestem den mindste värdi af h(t) Opgave: I en model er prisen for en vare fastlagt ved 1,6 t h( t), 0 t t 15 hvor h(t) er prisen i kr og t er tiden i timer Bestem den mindst mulige pris Svar: Nspire bestemmer t i intervallet 0 t sä NÄr t har denne vçrdi, er prisen 1,6 13,7477 h( 13,7477) 13, h( 13,7477) 1,83303 Den mindst mulige pris er 1,83 kr 1,6 t er mindst, og fär t 13, 7477 t 15 Nspire: Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

18 715 Opgave hvor tekst oversättes til: Bestem så f () = g(): Opgave: Svar: VÇgten af to orme M og N er givet ved m( t) 1,7 0, 11t og n( t) 9,4 6,5 0, 98 hvor m(t) og n(t) er vçgt i gram af M og N, og t er antal dågn efter hudskifte Hvilket antal dågn efter hudskifte er vçgten af M og N den samme? At vçgten af M og N er den samme pä tidspunktet t kan skrives sädan: m( t) n( t) 1,7 0,11t 9,4 6,5 0, 98 Nspire låser ligning t t t 1,7 0,11t 9,4 6,5 0, 98 mht t for t 0 og fär t = 47,58 VÇgten af M og N er den samme 47 dågn efter hudskifte Nspire: 716 Udregne Ändring i f () Opgave: MÇngden af vand i en beholder kan beskrives ved f ( ) 0,1 0,4 9,6 hvor f () er vandmçngde mält i liter, og er antal minutter efter start Bestem Çndringen i vandmçngde fra til 5 minutter efter start Svar: minutter efter start er vandmçngde f ( ) 0,1 0,4 9,6 8, 4 5 minutter efter start er vandmçngde f ( 5) 0,15 0,45 9,6 5, 1 ándring i vandmçngde: f ( 5) f () 5,1 8,4 3, 3 VandmÇngde aftager 3,3 liter fra til 5 minutter efter start 717 Udregne Ändring i Opgave: MÇngden af vand i en beholder kan beskrives ved f ( ) 0,1 0,4 9,6 hvor f () er vandmçngde mält i liter, og er antal minutter efter start Hvor lang tid er vandmçngde om at falde fra 3 til 0 liter Svar: Vi bestemmer tidspunkt hvor vandmçngde f () er 3: f ( ) 3 0,1 0,4 9,6 3 Nspire låser 0,1 0,4 9,6 3 mht for 0 og fär = 6,3666 Vi bestemmer tidspunkt hvor vandmçngde f () er 0: f ( ) 0 0,1 0,4 9,6 0 Nspire låser 0,1 0,4 9,6 0 mht for 0 og fär = 8 Vi udregner forskel pä de to tidspunkter: 8 6,3666 1,6334 VandmÇngde er 1,6 minutter om at falde fra 3 til 0 liter Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

19 81 Tegn graf uden hjälpemidler 8 LÉse opgaver om grafer Vi vil tegne grafen for funktionen f ( ) 1 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat NÄr er 1, er ) 4 f ( lig f ( 1 ) sä punktet ( 1, 11) ligger pä grafen for f Se figur til håjre 4 PÄ samme mäde udregner vi flere ståttepunkter for grafen: f () Vi tegner disse punkter i koordinatsystemet og tegner en afrundet kurve gennem dem Ligger punktet P på grafen? Ligger punktet P(4, 15) pä grafen for funktionen f ( ) 80 3? NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat Grafpunktet med -koordinat 4 har y-koordinat f ( 4) som ikke er 15, sä P ligger ikke pä grafen 83 AflÄs graf uden hjälpemidler 84 Vi vil aflçse tallet f ( ) Vi går fålgende: Vi finder det punkt pä grafen hvor er Vi ser at for dette punkt er y lig,8 AltsÄ er f ( ),8 f f ( ),8 85 Vi vil aflçse låsningerne til ligningen g() =,1 Vi går fålgende: Vi finder de punkter pä grafen hvor y er,1 Vi ser at for disse punkter er lig 1,5 og 4, AltsÄ er låsningerne 1,5 eller 4, g Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

20 86 Udregne -koordinat eller y-koordinat når den anden er kendt Figuren viser grafen for f som har forskriften f () = 0,4 + 1,4 1,8 87 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat 88 Udregn n (se figur) 89 Udregn m (se figur) PÄ figuren stär at = 3 PÄ figuren stär at y = f (3) = n f (m) = f Q 0,43 + 1,4 3 1,8 = n 0,4m + 1,4 m 1,8 =,1440 = n Udregnet pä Nspire Nspire låser denne ligning mht og fär n =,14 m = 1,84417 m = 1,84 P 810 SkÄringspunkter mellem graf og -akse 3 Figuren viser grafen for f som har forskriften f ( ) 1 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat, sä när vi indsçtter P's eller Q's -koordinat, fär vi 0: f ( ) Nspire låser denne ligning mht og fär 1 eller 1 Grafen skçrer -aksen i punkterne (, 0) og (, 0) Nspire: P Q f 811 SkÄringspunkt mellem graf og y-akse 3 Figuren viser grafen for f som har forskriften f ( ) 1 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat, sä när vi indsçtter 0, fär vi R's y-koordinat: R ' s ykoordinat f (0) 3 R ' s ykoordinat R ' s ykoordinat 1 Grafen skçrer y-aksen i punktet ( 0, 1) R f 81 SkÄringspunkt mellem to grafer Figuren viser graferne for f og g som har forskrifterne f ( ) 0,551, 43 og g( ) 1,50 1, 15 NÄr vi tager -koordinaten for et punkt pä grafen og indsçtter i forskriften, sä fär vi punktets y-koordinat NÄr vi indsçtter -koordinaten til skçringspunktet, giver de to forskrifter samme y : f ( ) g( ) f ( ) g( ) f g 0,551,43 1,501,15 Nspire låser denne ligning mht og fär = 4,60415 Grafpunktet med denne -koordinat har y-koordinaten 4,60415 f ( 4,60415) 0,551,43 f ( 4,60415),85465 SkÇringspunktet er ( 4,60,,85) Udregnet pä Nspire Nspire: Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

21 813 Graf og längde af linjestykke 814 LÄngde af AB AB er parallel med -aksen, sä vi skal bruge -koordinaterne Da B ligger lçngere til håjre end A, skal 14 stä får minustegnet: AB 14 ( 6) 0 A (6, 11) B(14,11) 815 LÄngde af BC BC er parallel med y-aksen, sä vi skal bruge y-koordinaterne Da B ligger lçngere oppe end C, skal 11 stä foran minustegnet: C(14, 3) D(, 3) BC LÄngde af CD CD 14 Grafen for f ( ) er pä figuren 817 LÄngde af PQ Q's y-koordinat er 3 Med metoden 89 udregner vi Q's -koordinat : f ( ) da > 0 PQ Se P(1, 3) Q S R f 818 LÄngde af RS Med metoden 87 ser vi at R's y-koordinat er 1 1, sä 8 RS 9 ( 1 8 1) Se Opgave g( ) 30 Figuren viser lidt af grafen for g og et grånt linjestykke hvis håjde er 4 Rammer grafen det grånne linjestykke? Svar Vi ser pä det punkt pä g-grafen hvor er 7 Se nederste figur Vi udregner dette punkts y-koordinat: Se g(7) y 30 y 7 7 4,11 y g g 4 y-koordinaten er stårre end 4, sä grafen rammer ikke det grånne linjestykke Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

22 Övelse 11 (a) LÇs afsnit 11 PÄ figur skal du skrive ved -akse og y ved y-akse (b) LÇs fårste halvdel af afsnit 1 Et punkt A har koordinatsçttet (15, 9) A har -koordinaten og y-koordinaten (c) LÇs anden halvdel af afsnit 1 Udfyld fålgende ved at se pä figur: B har -koordinaten og y-koordinaten D B har koordinatsçttet (, ) C har koordinatsçttet (, ) D har koordinatsçttet (, ) (d) Tegn fålgende punkter pä figuren: E( 5, 3), F(, 0), G(0, 3), H(5, 4) C B Övelse 1 (a) PÄ figuren skal du skrive ved -aksen og y ved y-aksen (b) Udfyld fålgende ved at se pä figur: A(, ), B(, ), C(, ), D(, ), E(, ), F(, ) (c) Tegn fålgende punkter pä figuren: G( 4, 3), H(, 3), I(, 0), J(4, 0) F E D C B A Övelse 13 (a) PÄ figuren i Åvelse 1 skal du tegne punktet P(6,,3) Nu er der tegnet fire punkter som har egenskaben er 6 Der er uendelig mange punkter der har denne egenskab Disse uendelig mange punkter udgår en linje Tegn denne linje (b) Tegn et punkt der har egenskaben y er 1 stärre end Der er uendelig mange punkter der har denne egenskab Disse punkter udgår noget du kan tegne GÅr det Övelse 14 (a) LÇs afsnit 13 Graf A viser som funktion af Graf B viser som funktion af Graf C viser som funktion af A B C (b) LÇs afsnit 14 PÄ figur med A-graf: Tegn punkt pä -akse hvor =15 Tegn punkt pä graf hvor =15 I dette punkt er y= NÄr temperaturen er 15 grader, er antallet (c) PÄ figur med A-graf: Tegn punkt pä y-akse hvor y=5 Tegn punkt pä graf hvor y=5 I dette punkt er = NÄr antal er 5, er temperaturen grader (d) Hvor stort er antallet när temperaturen er 35 grader? Svar: (e) Hvad er temperaturen pä et tidspunkt hvor antallet er 5? Svar: grader (f ) PÄ figur med B-graf: Tegn det punkt pä grafen hvor er 9 for dette punkt er y lig Hvad fortçller dette om lçngde og bredde? Svar: (g) PÄ figur med B-graf: Tegn det punkt pä grafen hvor y er 7 For dette punkt er lig Hvad fortçller dette om lçngde og bredde? Svar: (h) PÄ figur med C-graf: Tegn de punkter pä grafen hvor y er 6 For disse punkter er = eller = Hvad fortçller dette om pris og diameter? Svar: Övelse 15 (a) PÄ graf C i Åvelse 14 kan vi se prisen pä en vare af type C när vi kender diameteren For en vare af type D gçlder at for enhver diameter er prisen 1 kr håjere end for type C For en vare af type D med diameter mm er prisen kr Tegn denne oplysning som et punkt pä figuren til håjre Tegn grafen der for type D viser pris som funktion af diameter (b) For varer af type E gçlder: For hver diameter er prisen halvdelen af prisen for C Tegn grafen der for type E viser pris som funktion af diameter Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

23 Övelse 16 Se afsnit 11-1 (a) PÄ figur skal du skrive ved -akse og y ved y-akse (b) P(, ), Q(, ), R(, ) (c) Tegn A(0, 4), B(4,5, ), C(, 1), D(, 3,7) (d) Tegn et punkt E hvor er lig y Tegn et nyt punkt F til hvor er lig y (f) Der er uendelig mange punkter hvor er lig y Disse udgår noget du kan tegne Tegn dette P Q R Övelse 17 Se afsnit (a) For en bestemt type kasser viser b-grafen bredden som funktion af lçngden Tegn det punkt pä grafen hvor er 40 For dette punkt er y lig Hvad fortçller dette om lçngde og bredde? Svar: (b) Hvad er bredden när lçngden er 80? Svar: (c) For enhver lçngde er kassens håjde halvanden gange bredden For en kasse med lçngde 10, er håjden (d) Tegn en h-graf der viser håjden som funktion af lçngden b Övelse 18 (a) LÇs afsnit AfgÅr for hver graf om den er graf for en funktion Svar: A B C Övelse 19 (a) LÇs afsnit For figurer af type A fär vi arealet ved at gange grundlinje med og lçgge 8 til resultatet NÄr y er areal og er grundlinje, sä vil forskriften for areal som funktion af grundlinje vçre y = FunktionsvÇrdien af 4 er 7 er FunktionsvÇrdien af,5 er FunktionsvÇrdien af 0,5 er (b) For figurer af type B fär vi arealet ved at lçgge 8 til grundlinjen og gange resultatet med NÄr y er areal og er grundlinje, sä vil forskriften for areal som funktion af grundlinje vçre y = FunktionsvÇrdien af 4 er 7 er 30 FunktionsvÇrdien af 1 er FunktionsvÇrdien af 3 er Övelse 110 (a) LÇs afsnit 110 (a) En funktion har forskriften: y = ( 3) NÄr = 1 er y = = sä (, ) er et punkt pä grafen Tegn dette punkt pä figuren (b) Bestem flere punkter ved at udfylde fålgende tabel, og tegn punkterne : 1,5 3 3,5 4 y: (c) LÇs afsnit 110 (c) og 111 Tegn grafen for funktionen givet ved y = ( 3), 1 4 Övelse 111 (a) Her er nogle funktionsvçrdier for y som funktion af : GÇt en forskrift: y = (b) Her er nogle funktionsvçrdier for y som funktion af : GÇt en forskrift: y = (c) Her er nogle funktionsvçrdier for y som funktion af : GÇt en forskrift: y = (d) Her er nogle funktionsvçrdier for y som funktion af : GÇt en forskrift: y = : y: : y: : y: : y: Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf 014 Karsten Juul

24 Övelse 11 Se afsnit Udfyld tabel og tegn graf for funktionen : y: y 5 4, 1 8 Övelse 1 (a) LÇs afsnit 1 og 4 For nogle figurer gçlder y = 3 36, 1 <, hvor er omkredsen og y er arealet Hvis vi bliver spurgt om hvad omkredsen er for en bestemt af figurerne, er det sä eller y vi skal finde? Svar: Hvis vi fär at vide at arealet er 51, er det sä eller y der er 51? Svar: (b) Bestem arealet for en figur hvor omkredsen er 0 (c) Bestem omkredsen for en figur hvor arealet er 10 Övelse (a) LÇs afsnit 7 Ved fabrikation af en vare gçlder at y = 5 0,31, hvor y er vçskehåjde i mm, og er den procentdel af arbejdet der er udfårt Udregn den procentdel af arbejdet der er udfårt pä det tidspunkt hvor vçskehåjden er 100 mm Övelse 3 Se afsnit 7 Det er fastsat at y = 40,55 hvor y er den mçngde (mält i gram) af et stof som man mä indtage pr uge, og er det som stoffets densitet (mält i gram pr kubikcentimeter) overstiger 1,1 Hvor stor en mçngde af stoffet mä man indtage pr uge hvis dets densitet er 0, over 1,1? Övelse 4 (a) LÇs afsnit 8 Vi har en forskrift for overskuddet (i mio kr) i Ärsregnskabet som funktion af antal Är efter 005 Vi sçtter forskriften lig 40 og låser med hensyn til Är og fär 6,3 Hvis spårgsmälet er HvornÄr er overskuddet 40 mio?, er facit: Hvis spårgsmälet er HvornÄr overstiger overskuddet 40 mio?, er facit: (b) Vi har en forskrift for ovnens temperatur (i C) som funktion af tiden (i timer) Vi sçtter forskriften lig 600 og låser med hensyn til tiden og fär 1,5 Hvis spårgsmälet er HvornÄr er ovnens temperatur 600 grader, er facit: Övelse 5 Se afsnit 8 Vi har en forskrift for antal der bestär en bestemt eksamen som funktion af antal Är efter 00 Vi sçtter forskriften lig 100 og låser mht Är og fär 9,3 Hvis spårgsmälet er Hvilket Är vil antal der bestär eksamen, overstige 100?, er facit: Övelse 6 Det skçrmbillede du laver i denne opgave, skal du skitsere til håjre, og du skal skrive de relevante oplysninger pä skçrmbilledet Lav kontrol af (b) og (c) i Åvelse 1 ved elektronisk aflçsning pä graf pä den mäde som er vist i afsnit og 5 Övelse 7 Svarene i denne Åvelse kan du finde ved at du pråver dig frem (a) I afsnit 1-6 undersåger vi forskriften y =0,31, Hvis = 1 er y = Ligger punktet (1, 3) pä grafen? Svar: Hvis vi erstatter 0,3 i forskriften med, vil grafen gä gennem punktet (1, 3) (b) Hvis vi i forskriften y =0,31, erstatter 1, med, vil grafen gä gennem punktet (1, 3) (c) Vi ser nu pä funktionen med forskriften y = 0,5 I grafpunktet med den positive -koordinat er y-koordinaten 1 stårre end -koordinaten Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

25 Övelse 8 Se afsnit 7 I en speciel uddannelse er y = 1 0,5 hvor y er elevens karaktergennemsnit, og er gennemsnittet af antal fejl i 10 pråver Bestem gennemsnittet af antal fejl i de 10 pråver for en elev hvis karaktergennemsnit er 3,7 Övelse 31 (a) Figuren viser grafen for en funktion Vi forestiller os at vi har forskriften NÄr vi indsçtter for i forskriften og regner udtrykket ud, er resultatet (b) NÄr vi indsçtter for, er resultatet stårst mulig Det stårst mulige resultat er (c) LÇs anden del af afsnit 3 I Nspire taster vi fma(- - -,) 06 med forskriften i stedet for Resultatet er NÄr vi indsçtter dette resultat for i forskriften, er resultatet (d) FunktionsvÇrdien af er NÄr =, er funktionsvçrdien stårst mulig Den stårst mulige funktionsvçrdi er Övelse 3 Se afsnit 3-33 For en bestemt type figur er y = 3 1,1 0,1, 0 3 hvor y er rumfanget og er lçngden Bestem det stårst mulige rumfang Facit: Övelse 33 (a) LÇs afsnit (b) For en bestemt type figur er y =, 0 < hvor y er håjden og er bredden 10 Bestem bredden sä håjden er mindst mulig Facit: Övelse 34 Se afsnit 36, 3-33 (a) Figuren viser grafen for en funktion Vi forestiller os at vi har forskriften NÄr vi indsçtter 1 for i forskriften og regner udtrykket ud, er resultatet (b) NÄr vi indsçtter for, er resultatet mindst mulig Det mindst mulige resultat er (c) I Nspire taster vi fmin(- - -,) 16 med forskriften i stedet for Resultatet er NÄr vi indsçtter dette resultat for i forskriften, er resultatet (d) FunktionsvÇrdien af 1 er NÄr =, er funktionsvçrdien mindst mulig Den mindst mulige funktionsvçrdi er Övelse 41 Figuren viser grafer for to funktioner A og B Vi forestiller os at vi har forskrifter for de to funktioner A Hvis vi indsçtter for, B sä vil A-forskrift give resultat, og B-forskrift vil give resultat Hvis vi indsçtter 8 for, sä vil A-forskrift give resultat, og B-forskrift vil give resultat Hvis vi indsçtter 6 for, sä vil A-forskrift give resultat, og B-forskrift vil give resultat Hvis vi indsçtter for, sä vil A-forskrift og B-forskrift give samme resultat Vi laver en ligning ved at sçtte de to forskrifter lig hinanden NÄr vi låser ligningen, fär vi = Övelse 4 NÄr vçgt mäles i gram gçlder efter uger: A's vçgt er y = 31, og B 's vçgt er y = 71,1 PÄ et tidspunkt gçlder A's vçgt er 10 dvs 31, = 10 dvs = PÄ et tidspunkt gçlder B's vçgt er 10 dvs dvs = PÄ et tidspunkt gçlder A's vçgt er lig B's vçgt dvs dvs = Tegn i et Nspire-vindue grafer for A s og B s vçgt og en lodret linje l (grafindtastning/ligning/linje/=c) Bestem skçringspunkter mellem l og de to grafer (Geometri/Punkter og linjer/skçringspunkt) TrÇk l frem og tilbage og se hvad der sker med skçringspunkternes y-koordinater PrÅv at erstatte et eller flere af tallene 3, 1,, 7, 1,1 med andre positive tal, og se om du kan opnä at pä hvert tidspunkt er B s vçgt gange A s vçgt Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

26 Övelse 43 (a) Figuren viser grafer for to funktioner A og B I Nspire taster vi fma(- - -,) 06 med forskriften for A i stedet for Resultatet er (b) Forskrifterne for de to funktioner sçtter vi lig hinanden Denne ligning har låsningen (c) NÄr svar fra (a) indsçttes i A-forskriften er resultat (d) NÄr svar fra (b) indsçttes i A-forskriften er resultat (e) NÄr svar fra (b) indsçttes i B-forskriften er resultat Övelse 51 (a) LÇs afsnit 51 Figuren viser grafen for en funktion NÄr er, er y lig NÄr er 6, er y lig NÄr vi Çndrer fra til 6, sä Çndres y fra til NÄr vi Çndrer fra til 6, sä vil y blive enheder stårre (b) NÄr vi Çndrer fra 8 til 1, sä Çndres y fra til NÄr vi Çndrer fra 8 til 1, sä vil y blive enheder stårre (c) NÄr y Çndres fra 4 til 6, sä er blevet enheder stårre Övelse 5 (a) LÇs afsnit 5 Det planlçgges at antallet af beboere skal Çndres sädan at y = 951,4 hvor y er antal beboere og er antal Är efter 015 Hvor meget (mält i antal), er antal beboere stårre i 00 end i 017? (b) LÇs afsnit 53 Hvor mange Är er antallet om at stige fra 500 til 1000? Övelse 53 Det skçrmbillede du laver i denne opgave, skal du skitsere til håjre, og du skal skrive de relevante oplysninger pä skçrmbilledet I denne opgave skal du finde facit ved at aflçse elektronisk pä graf En funktion har forskriften y = 0, ,015 0,175+7,15 NÄr stiger fra 1 til 3, sä aftager y fra til NÄr y stiger fra til 3, sä aftager fra til Övelse 54 (a) Om en funktion gçlder: NÄr =0 er y= NÄr stiger fra 0 til 4, sä vil y blive 1 enhed stårre NÄr stiger fra 4 til 8, sä vil y blive 3 enhed stårre NÄr stiger fra 8 til 1, sä vil y blive 5 enhed stårre Skitser grafen i koordinatsystemet til håjre (b) De fire ståttepunkter skal du ogsä afsçtte i et koordinatsystem i Nspire I samme koordinatsystem skal du fä Nspire til at tegne grafen for funktionen med forskriften y = 4 + 0,1 PrÅv dig frem med at Çndre tallene 4 og 0,1 indtil grafen gär gennem punkterne Skriv forskriften her: y = Övelse 55 (a) Lav det viste skçrmbillede i Nspire (b) PrÅv dig frem med at Çndre tallene 3 og 4 i forskriften indtil grafen gär gennem punkterne Skriv forskriften her: y = Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

27 Övelse 61 (a) LÇs afsnit 6 I nogle spil kan vi udregne antal point när vi kender antal krydser = antal krydser I et spil kan vi udregne antal point sädan: LÇg antal krydser til 10 Gang resultatet med 4 Er det (1) eller () der angiver disse udregninger? (1) 10 4 () ( 10 ) 4 Svar: (b) I et spil kan vi udregne antallet y af point sädan: Gang 3 med antal krydser LÇg resultatet til 5 Angiv disse udregninger ved at skrive forskrift med : y = Hvis 6 er y = (c) I et spil kan vi udregne antal point sädan: LÇg 4 til antal krydser Gang med resultatet Angiv disse udregninger ved at skrive forskrift med : y = Hvis 5 er y = Övelse 6 Se afsnit 6 Udregn uden regnehjçlpemiddel: (a) 5+3 = = (d) 0 53 = = (g) 3 5 = = (b) 35 = = (e) 35+ = = (h) (5 )3 = = (c) 3(5 ) = = (f) 3(5+) = = (i) 0+53 = = Övelse 63 Figuren viser en retvinklet trekant Skriv forskrift for trekantens areal y som funktion af y = Övelse 64 Figuren viser et rektangel Skriv forskrift for rektanglets areal y som funktion af y = Övelse 65 Skriv forskrift for arealet y af rådt rektangel som funktion af y = 3 Övelse 66 Arealet af trekanten er 6 Skriv forskrift for arealet y af råd figur som funktion af y = Övelse 67 LÇs afsnit 65 Udregn uden regnehjçlpemiddel: (a) 5 3 = = (b) (5) 3 = = (c) = = Övelse 68 Se afsnit 65 (a) I en terning har enhver af kanterne lçngden 3 Terningens rumfang er y = (b) I nogle terningeformede klodser har alle kanter lçngden En figur bestär af 6 af disse klodser Figurens rumfang er y = Övelse 69 LÇs afsnit 68 (a) 54 = (b) 6 = (c) 83 = (d) = (e) 3( )+5 = = (f) 4(+1)+1 = = (g) (+5) 8 = = (h) (4 3) 5+3 = = Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

28 Övelse 610 FÅrst kåber vi 4 båger, og derefter kåber vi 7 båger til For hver bog betaler vi månter (a) For de fårste 4 båger betaler vi månter, og for de nçste 7 båger betaler vi månter, sä vi betaler i alt + månter for bågerne (b) Vi har i alt kåbt + båger, og for hver af dem betaler vi månter, sä vi betaler i alt ( + ) månter for bågerne (c) I (a) og (b) skrev vi to udtryk der begge var det vi betaler i alt De to udtryk mä altsä give samme tal uanset hvilket tal vi indsçtter for Brug et lighedstegn til at skrive at de to udtryk er lig hinanden: (d) I (c) skrev du en ligning Gyldigheden af denne ligning kan vi ogsä begrunde ved hjçlp af en af reglerne fra afsnit Övelse 611 stär for et bestemt tal I enhver klasse er der 0 elever, og af disse er piger P1: piger i Ün klasse D1: drenge i Ün klasse E1: elever i Ün klasse P4: piger i fire klasser D4: drenge i fire klasser E4: elever i fire klasser (a) 0 er antal, og 4 (0 ) er antal (b) 4 0 er antal, og 4 er antal, og er antal (c) NÄr 8 er 4 (0 ) og (d) Hvilke tal kan vçre hvis 4 (0 ) og skal vçre samme tal? Svar: Övelse 61 Vi kåber båger som hver koster 19 månter Vi leverer 7 af bågerne tilbage og fär pengene igen (a) For de båger betalte vi månter, og for de 7 båger fär vi månter tilbage, sä for de båger vi beholder, har vi betalt månter (b) Antallet af båger vi beholder er, og vi betalte månter for hver bog, sä for de båger vi beholder, har vi betalt ( ) månter (c) I (a) og (b) har du skrevet to udtryk som begge er lig det vi har betalt for de båger vi beholder, sä de to udtryk er lig hinanden Skriv udtrykkene med lighedstegn imellem: (d) Vi behåver ikke tçnke pä båger for at begrunde ligningen Vi kan begrunde den med regel fra afsnit Övelse 613 (a) LÇs afsnit (3 ) = = = (b) LÇs afsnit ( 5) = = = (c) LÇs afsnit 61 9 (3 ) = = = Övelse 614 Se afsnit 67 (a) + ( + 8) = = = (b) 6 (5 4) = = = (c) 9 5(3 + 4) = = = (d) 1 (3 5) = = = Övelse 615 (a) LÇs afsnit 613 (b) Vi ser pä alle rektangler hvor håjden er lig gange bredden Arealet som funktion af bredden er en funktion hvor er og y er (c) Forskriften er y = =, og definitionsmçngden er intervallet (d) Omkredsen som funktion af bredden er en funktion hvor er og y er (e) Forskrift er y = =, og definitionsmçngde er intervallet (f) NÄr bredde=4, er areal = og omkreds = (h) NÄr areal=50, er bredde = Övelse 616 Figuren fäs ved at fjerne et lille rektangel fra et stårre (a) Bestem arealet y som funktion af y = = (b) NÄr = 5 er y = (c) NÄr y = 113, er = Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf Karsten Juul

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i hf. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf f f ( ),8 013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i hf 1 Funktion, forskrift, definitionsmångde 1 Find forskrift 3 StÇrste og mindste

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

d Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres.

d Kopier formlen fra celle A3 ned i kolonne A. Kopier formlen fra celle C3 ned i kolonne C. Undersøg, hvad der sker med formlen, når den kopieres. KOPIARK 17 # ligninger og formler i excel 2007, 1 1 Du skal lave et regneark, som kan bruges til at løse ligningen 5 x 11 = 7 + 3 x. a Lav et regneark som vist. HUSK: Gør en kolonne bredere Man kan gøre

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Opgaver om koordinater

Opgaver om koordinater Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger.

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger. Matematik for malere praktikopgaver 3 Tilhører: Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger 2 Indhold: Tegneopgave... side 4 Ligninger... side 8 Areal...

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså

Lineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Matematiske færdigheder opgavesæt

Matematiske færdigheder opgavesæt Matematiske færdigheder opgavesæt SÆT + 0 :, 0 000 9 0 cm m 0 liter dl ton kg Hvilket år var der flest privatbiler i Danmark? Cirka hvor mange privatbiler var der i 99? 00 0 000 Priser i Tivoli, 00: Turpas

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 03 Karsten Juul TEST StikprÅver.... Hvad er populationen?.... Hvad er stikpråven?....3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.....4 TilfÇldige fejl ved valg af stikpråven...

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematik 3. klasse Årsplan

Matematik 3. klasse Årsplan Matematik 3. klasse Årsplan Årets overordnede mål inddelt i faglige kategorier: Tal og algebra Kende positionssystemet. Kunne veksle mellem titusinder og hundredetusinder. Kunne gange med 10. Kunne gange

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen st10-mat/b-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Lille Georgs julekalender 06. 1. december

Lille Georgs julekalender 06. 1. december 1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc

Formler og diagrammer i OpenOffice Calc Formler i Calc Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Lektion 8 Geometri Når du bruger denne facitliste skal du være opmærksom på, at: - der kan være enkelte fejl. - nogle af facitterne er udeladt - bl.a. der hvor facitterne er tegninger. - decimaltal kan

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx121-MATn/A-25052012 Fredag den 25. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger G ISBN: 978-87-92488-07-7 10. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

FP10. 1 Kan Charlotte få råd til at bo i. 2 Patienter med forbrændinger 3 Antal personer indlagt på. 4 Figurfølger 5 Diofantiske trekanter. lejlighed?

FP10. 1 Kan Charlotte få råd til at bo i. 2 Patienter med forbrændinger 3 Antal personer indlagt på. 4 Figurfølger 5 Diofantiske trekanter. lejlighed? FP10 10.-klasseprøven Matematik Maj 2015 1 Kan Charlotte få råd til at bo i lejlighed? 2 Patienter med forbrændinger 3 Antal personer indlagt på hospitaler i Danmark 4 Figurfølger 5 Diofantiske trekanter

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere