for gymnasiet og hf 2015 Karsten Juul
|
|
- Nicklas Holm
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 for gymnasiet og hf Karsten Juul
2 I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige niveauer at inddrage andre emner i et eksamensspérgsmål om statistik. Tidligere udgaver af dette häfte har skiftet adresser til Statistik for gymnasiet og hf Ñ 015 Karsten Juul 18/5-015 Nyeste version af dette häfte kan downloades fra HÄftet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til kj@mat1.dk som oplyser at dette häfte benyttes (angiv fulde titel og Årstal), og oplyser hold, niveau, lärer og skole.
3 DESKRIPTIV STATISTIK Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik? Hvad er grupperede og ugrupperede data? Eksempel på ugrupperede data Eksempel på grupperede data... 1 Ugrupperede data.1 Hvordan udregner vi middeltal (middelvärdi) for ugrupperede data? Hvordan udregner vi middeltallet når der er få data? Hvordan udregner vi middeltallet når der er mange data? Hvordan finder vi medianen for ugrupperede data?....1 Hvordan finder vi medianen når der er få data?.... Hvordan finder vi medianen når der er mange data?....3 Hvordan finder vi kvartilsättet for ugrupperede data? Hvis der er et midterste tal Hvis der ikke er et midterste tal Hvordan tegner vi boksplot? Hvordan sammenligner vi boksplot? opgave opgave opgave... 4 Grupperede data 3.1 Hvordan tegner vi et histogram? Et grupperet datasät er en model af virkeligheden der er meget forenklet Hvordan tegner vi en sumkurve? Kumuleret frekvens og sumkurve Hvis der er oplyst procent for hvert interval Hvis der er oplyst antal for hvert interval Hvis start-tal og/eller slut-tal mangler Hvordan afläser vi på en sumkurve? Hvor mange procent af rérene er UNDER 3,7 meter? Hvor mange procent af rérene er OVER 5,5 meter? Hvor mange procent af rérene er MELLEM 3,7 og 5,5 meter? Hvor mange procent af rérene er LIG 3,7 meter ELLER DERUNDER? Hvordan finder vi medianen for grupperede data? Hvordan finder vi kvartilsättet for grupperede data? Nedre kvartil Övre kvartil KvartilsÄt Middeltal for grupperede data når antal (hyppighed) er oplyst Middeltal for grupperede data når procent (frekvens) er oplyst Hvordan grupperer vi data? Hvor brede skal vi gére intervallerne når vi grupperer data? Sumkurve og lineär sammenhäng
4 TEST 6 StikprÉver Hvad er populationen? Hvad er stikpréven? Systematiske fejl ved valg af stikpréven TilfÄldige fejl ved valg af stikpréven Er der skjulte variable? Hvad er sandsynlighed? Eksempel Eksempel Test af hypotese Signifikansniveau HvornÅr har vi vist noget med en test? Tankegangen bag det at forkaste eller ikke forkaste en hypotese Test for uafhängighed i tabel SÅdan udregner vi FORVENTEDE TAL SÅdan udregner vi SÅdan udregner vi p SÅdan skriver vi konklusionen MisforstÅ ikke procenterne Hvordan udregner vi antal FRIHEDSGRADER i test for uafhängighed? Frihedsgrader for gange tabel Frihedsgrader for gange 3 tabel Frihedsgrader for m gange n tabel Eksempel med to frihedsgrader i test for uafhängighed Nulhypotese Test for fordeling når stikpréven er angivet som antal SÅdan udregner vi forventede tal SÅdan udregner vi SÅdan udregner vi antal frihedsgrader SÅdan udregner vi p SÅdan skriver vi konklusionen MisforstÅ ikke procenttallene Test for fordeling når stikpréven er angivet med procenter Kritisk värdi FORDELINGER Normalfordeling 16 Tal der er normalfordelt Graf for tal der er normalfordelt MiddelvÄrdi for tal der er normalfordelt Spredning for tal der er normalfordelt Forskrift for funktion der viser fordelingen af tal der er normalfordelt En anvendelse af normalfordeling fordeling -fordeling Forskrift for g fordeling når antal frihedsgrader ikke er fordeling og test... 3
5 DESKRIPTIV STATISTIK Hvad er deskriptiv tatistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik? Deskriptiv statistik er metoder til at få overblik over tal vi har indsamlet. De tal vi har indsamlet, kalder vi data. 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data? Hvis der er mange forskellige data, så grupperer vi dem i intervaller. 1.1 Eksempel pä ugrupperede data. Vi har talt antallet af bär i 15 pakker. Antal bär i en pakke: Eksempel pä grupperede data. Vi har vejet 00 frugter: Mellem 100 og 110 gram: 16 frugter Mellem 110 og 10 gram: 68 frugter Mellem 10 og 130 gram: 90 frugter Mellem 130 og 140 gram: 6 frugter Ugrupperede data.1 Hvordan udregner vi middeltal (middelvårdi) for ugrupperede data? For grupperede data skal vi gére noget andet. Se afsnit på side 9. Middeltallet for nogle tal er det vi plejer at kalde gennemsnittet. Vi kan udregne middeltallet (middelvärdien) ved at lägge tallene sammen og dividere resultatet med antallet af tal..11 Hvordan udregner vi middeltallet när der er fä data? I 7 préver opnåede en elev félgende pointtal: SÅdan udregner vi middeltallet: , Middeltallet for elevens pointtal er 7, 9.1 Hvordan udregner vi middeltallet när der er mange data? De nye elever på en skole har väret til en préve: Point Antal elever I tabellen ser vi at 5 elever har fået 1 point, elever har fået point, osv. Antallet af pointtal er altså Vi behéver ikke lägge de 58 tretaller sammen. Vi får det samme ved at udregne Middeltallet kan vi altså udregne sådan: Middeltallet for elevernes pointtal er altså 3, 9 3,9111 Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
6 . Hvordan finder vi medianen for ugrupperede data? For grupperede data skal vi gére noget helt andet. Se afsnit 3.5 på side 8..1 Hvordan finder vi medianen när der er fä data? En klasse har haft en préve. De 17 elever fik félgende point: Vi ordner disse tal efter stérrelse så tallet til venstre er mindst: Vi ser at det midterste af tallene er 48. Man siger at tallenes median er 48. Antag at der i stedet havde väret et lige antal tal: Da der er et lige antal tal, er der ikke et tal der står i midten. I stedet udregner vi gennemsnittet af de to midterste tal: 5 6 5,5. Man siger at tallenes median er 5,5.. Hvordan finder vi medianen när der er mange data? De nye elever på en skole har väret til en préve: Point Antal elever I tabellen ser vi at 5 elever har fået 1 point, elever har fået point, osv. Antallet af pointtal er altså Da 14 : 107, ser det sådan ud: ?? 6 6 Tal nr. 6 i denne räkke er férste total da der ifélge tabellen er 5 ettaller. Tal nr. 8 er férste tretal da 5 7. Tal nr. 86 er férste firtal da Tal nr. 135 er férste femtal da De to midterste tal, dvs. nr. 107 og 108, er altså begge firtaller. Da der ikke er noget midterste tal, er medianen gennemsnittet af de to midterste tal. Medianen for elevernes pointtal er altså 4, 0 I tabellen ovenfor Ändrer vi antallet til 3. SÅ ser det sådan ud ??? 6 6 Vi kan se at nu er det tal nr. 108 der er medianen, dvs. medianen er 4. Statistik for gymnasiet og hf Side 015 Karsten Juul
7 .3 Hvordan finder vi kvartilsåttet for ugrupperede data? (For grupperede data skal vi gére noget helt andet. Se afsnit 3.6 på side 8)..31 Hvis der er et midterste tal: Medianen for tallene til venstre for det midterste tal kalder vi nedre kvartil. Dvs. nedre kvartil er 7. Medianen for tallene til héjre for det midterste tal kalder vi Évre kvartil. Dvs. Évre kvartil er 57. NÅr vi taler om kvartilsättet for nogle tal, så mener vi de tre tal nedre kvartil, median og Évre kvartil, dvs. kvartilsättet for tallene ovenfor er de tre tal 7, 48, Hvis der ikke er et midterste tal: Medianen for den venstre halvdel af tallene kalder vi nedre kvartil. Dvs. nedre kvartil er 3,5. Medianen for héjre halvdel af tallene kalder vi Évre kvartil. Dvs. Évre kvartil er 7. KvartilsÄttet er de tre tal 3,5, 5,5, 7, 0..4 Hvordan tegner vi boksplot? Ved at undersége datasättet kan vi se at mindste tal = 15 nedre kvartil = 7 median = 48 Évre kvartil = 57 stérste tal = 71 Disse oplysninger har vi vist på figuren. SÅdan en figur kaldes et boksplot point De to små lodrette streger i enderne viser at mindste og stérste tal er 15 og 71. De to lodrette streger i hver ende af rektanglet viser at nedre og Évre kvartil er 7 og 57. Den lodrette streg i midten af rektanglet viser at medianen er 48. Rektanglet anskueliggér at den midterste halvdel af tallene ligger i intervallet fra 7 til 57. Den vandrette streg til venstre anskueliggér at den fjerdedel af tallene der er mindst, ligger i intervallet fra 15 til 7. Den vandrette streg til héjre anskueliggér at den fjerdedel af tallene der er stérst, ligger i intervallet fra 57 til 71. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
8 .5 Hvordan sammenligner vi boksplot?.51 Opgave Diagrammet viser héjdefordelingen for en plante på to marker A og B. Sammenlign héjderne på A og B. Svar Sammenlign stérrelser Alle dele af diagrammet bortset fra héjre endepunkt ligger längere mod héjre på B, så héjderne er altså overvejende stérre på B selv om den stérste héjde er på A. Sammenlign spredning BÅde hele diagrammet og kassen er bredere på A's diagram end på B's, så héjderne fra A er mere spredt end héjderne fra B. A B begrundelse resultat begrundelse resultat cm.5 Opgave Diagrammet viser fordelingen af tider for to lébere A og B. Sammenlign tiderne for A og B. Svar Sammenlign stérrelser Venstre endepunkt for B-diagrammet ligger til héjre for héjre endepunkt for A-diagrammet, så B s mindste tid er stérre end A s stérste tid. Sammenlign spredning A-kassen er meget längere end B-kassen, så midterste halvdel af tiderne er meget mere spredt for A end for B. Hele diagrammet har ca. samme längde for A og B, så forskellen på stérste og mindste tid er ca. den samme for A og B. A B begrundelse resultat begrundelse resultat begrundelse resultat minutter.53 Opgave 01 Diagrammet viser hvordan priserne på en vare er fordelt i 01 og i (a) Sammenlign priserne i 01 og 013. (b) I 01 betalte en person 53,50 kr. for varen. Hvordan ligger denne pris i forhold til alle 01-priserne for varen? (c) En person betalte et beléb i den laveste halvdel af den héjeste halvdel af 01-priserne. Hvad fortäller dette om stérrelsen af belébet. Svar pä (a) Sammenlign stérrelser Hele 013-diagrammet ligger til héjre for venstre halvdel af 01-diagrammet, så alle 013-priserne er over laveste halvdel af 01-priserne. Hele 01-diagrammet ligger til venstre for kassen i 013-diagrammet, så alle 01-priserne er lavere end de 75 % héjeste 013-priser. Sammenlign spredning Hverken for kassen eller hele diagrammet er längden Ändret väsentligt fra 01 til 013, så der er ikke meget forskel på hvor spredt priserne er i 01 og 013. Svar pä (b) 53,50 ligger på diagrammets venstre linjestykke, dvs. 53,50 kr. er i den nederste fjerdedel af 01-priserne. begrundelse resultat begrundelse resultat Svar pä (c) NÅr et beléb er i den laveste halvdel af den héjeste halvdel, er det i héjre del af kassen, dvs. mellem 56,00 kr. og 57,00 kr. begrundelse resultat begrundelse resultat begrundelse resultat kr. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
9 Grupperede data 3.1 Hvordan tegner vi et histogram? Tabellen viser fordelingen af nogle frugters vägt. VÄgt i gram Procent Histogrammet til héjre viser oplysningerne i tabellen. Rektanglet over intervallet har héjden héjden 8 %. Dette viser at 8 % af frugterne vejer mellem 100 og 110 gram. BemÄrk: Denne måde at tegne et histogram på kan kun bruges fordi intervallerne , osv. er lige lange. Du skal kun kende denne måde. Advarsel: Den vandrette akse skal tegnes som en sädvanlig tallinje. % gram RIGTIGT: FORKERT: FORKERT: 3. Et grupperet datasåt er en model af virkeligheden der er meget forenklet. Ovenfor har vi set på félgende grupperede datasät: VÄgt i gram Procent Da dette datasät er grupperet, skal vi regne som om de 8 % i férste interval er helt jävnt fordelt i dette interval de 34 % er helt jävnt fordelt i andet interval osv. Dette betyder bl.a. et vi f.eks. skal regne som om 0 % af dataene er präcis lig 110. Dette er ikke i modstrid med virkeligheden, for när vi siger at noget vejer 110 g, mener vi ca. 110 g. Hvis vi hermed mener mellem 109 g og 111 g, sä er der ifçlge tabellen 4, % der vejer ca. 110 g. Til eksamen plejer man ikke at spçrge om sädan noget. Der gälder altså: Den procentdel af dataene der er 110 eller mindre, er lig den procentdel der er mindre end 110. Det giver ingen mening at spérge om 110 er talt med i intervallet eller i intervallet Dette spérgsmål giver mening i en opgave hvor du selv skal gruppere nogle data. Se afsnit 4.1 side 9. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
10 3.3 Hvordan tegner vi en sumkurve? 3.31 Kumuleret frekvens og sumkurve Den kumulerede frekvens af et tal t er den procentdel af dataene der er af stérrelse t eller derunder. Sumkurven er grafen for den kumulerede frekvens. 3.3 Hvis der er oplyst procent for hvert interval. VÄgt i gram Frekvens 8 % 34 % 45 % 13 % For at tegne en sumkurve, udregner vi kumulerede frekvenser. Vi har skrevet dem i tabellen, og vi har udregnet dem sådan: 8% 34% 4%, 4% 45% 87%, osv. Et intervals frekvens, er den procentdel af dataene som intervallet indeholder. Ordet kumuleret betyder ophobet. VÄgt i gram Kumuleret frekvens 0 % 8 % 4 % 87 % 100 % For at tegne sumkurven gér vi sådan: 0 % er mindre end 100, så ved x 100 afsätter vi et punkt ud for 0 % på y-aksen. 8 % er mindre end 110, så ved x 110 afsätter vi et punkt ud for 8 % på y-aksen. 4 % er mindre end 10, så ved x 10 afsätter vi et punkt ud for 4 % på y-aksen. Osv. Da dataene er jävnt fordelt i hvert interval, skal vi forbinde punkterne med rette linjestykker. (Se evt. begrundelse for dette i afsnit 5 på side 10) Hvis der er oplyst antal for hvert interval. I tabellen står antal i stedet for procent. SÅ må vi omregne til procent for at kunne tegne sumkurven. LÄngde (m) 0, Antal rér Nedenfor lägger vi sammen fér vi omregner til procent. Det er for at undgå mellemfacitter med mange cifre. Antal data er Kumuleret hyppighed udregner vi sådan: , , osv. Kumuleret frekvens udregner vi sådan: 34 0,10567, 9 0, 3641, osv. 8 8 % I tabellen kan vi skrive hyppighed i stedet for antal rér. Det har vi gjort i tabellen nederst. gram LÄngde i meter 0, Kumuleret hyppighed Kumuleret frekvens 0 % 1,1 % 3,6 % 64,9 % 90,4 % 100,0 % 3.34 Hvis start-tal og/eller slut-tal mangler. LÄngde (m) Hyppighed I denne tabel mangler start-tal og slut-tal. SÅ skal vi kun tegne kurven i de andre intervaller. Kurven består altså af tre linjestykker. SpÉrgsmÅlene i opgaven vil kunne besvares ved hjälp af den del af kurven vi har tegnet. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
11 3.4 Hvordan aflåser vi pä en sumkurve? Figuren viser sumkurven for rérene fra tabellen på foregående side. % 9% 55% 3,7 m 5,5 m m 3.41 Hvor mange procent af rçrene er UNDER 3,7 meter? Svar: Som vist på figuren afläser vi at 55% af rérene er under 3,7 meter. 3.4 Hvor mange procent af rçrene er OVER 5,5 meter? Svar: Som vist på figuren afläser vi at 9 % af rérene er under 5,5 meter. Da 100% 9% 8%, er 8% af rérene over 5,5 meter Hvor mange procent af rçrene er MELLEM 3,7 og 5,5 meter? Svar: Fra de 9 % der er under 5,5 meter, skal fraregnes de 55 % der er under 3,7 meter. Da 9% 55% 37%, er 37% af rérene mellem 3,7 og 5,5 meter Hvor mange procent af rçrene er LIG 3,7 meter ELLER DERUNDER? Svar: Det er samme spérgsmål som spérgsmålet 3.41 ovenfor da 0 % af rérene er präcis lig 3,70000 meter. Det at der på sumkurven er 0 % der er lig 3,7 meter, er ikke i modstrid med at nogle af rérene er målt til 3,7 meter. (LÄs evt. forklaringen på dette i afsnit 3. på side 5 ). Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
12 3.5 Hvordan finder vi medianen for grupperede data? For ugrupperede data skal vi gére noget helt andet. Se afsnit. på side. For at finde medianen skal vi bruge sumkurven når det er grupperede data. Vi starter i 50 % på y-aksen, går vandret hen til sumkurven, går lodret ned på x-aksen, og afläser x-värdien. Denne x-värdi er medianen. At et tal er median, betyder altså at 50 % af dataene er mindre end dette tal og 50 % af dataene er stérre end dette tal. PÅ figuren er medianen Hvordan finder vi kvartilsåttet for grupperede data? For ugrupperede data skal vi gére noget helt andet. Se afsnit.3 på side 3. For at finde kvartilsättet skal vi bruge sumkurven når det er grupperede data Nedre kvartil. Vi starter i 5 % på y-aksen, går vandret hen til sumkurven, går lodret ned på x-aksen, og afläser x-värdien. Denne x-värdi er nedre kvartil. At et tal er nedre kvartil, betyder altså at 5 % af dataene er mindre end dette tal og 75 % af dataene er stérre end dette tal. PÅ figuren er nedre kvartil 33, Évre kvartil. Vi starter i 75 % på y-aksen, går vandret hen til sumkurven, går lodret ned på x-aksen, og afläser x-värdien. Denne x-värdi er Évre kvartil. At et tal er Çvre kvartil, betyder altså at 75 % af dataene er mindre end dette tal og 5 % af dataene er stérre end dette tal. PÅ figuren er Évre kvartil KvartilsÅt. 50% 10% Dette har du brug for at vide när du har fundet medianen og skal svare pä hvad dette tal fortéller. I dit svar skal du i stedet for data skrive det ord der stär i opgaven, f.eks. léngde, og i stedet for dette tal skal du skrive det tal du har fundet, f.eks % 50% 5% 10% NÅr vi taler om kvartilsättet for nogle tal, så mener vi de tre tal nedre kvartil, median, Évre kvartil, dvs. kvartilsättet er de tre tal 33,5, 43, , Dette har du brug for at vide när du har fundet nedre kvartil og skal svare pä hvad dette tal fortéller. I dit svar skal du i stedet for data skrive det ord der stär i opgaven, f.eks. léngde, og i stedet for dette tal skal du skrive det tal du har fundet, f.eks. 33,5. Dette har du brug for at vide när du har fundet Çvre kvartil og skal svare pä hvad dette tal fortéller. I dit svar skal du i stedet for data skrive det ord der stär i opgaven, f.eks. léngde, og i stedet for dette tal skal du skrive det tal du har fundet, f.eks Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
13 3.7 Middeltal for grupperede data när antal (hyppighed) er oplyst Vi vil udregne middeltallet for félgende grupperede datasät: LÄngde i meter 0, Antal rér For at udregne middeltallet forestiller vi os at de 34 tal i férste interval alle er lig tallet i midten af dette interval, de 58 tal i andet interval alle er lig tallet i midten af dette interval, osv. Dette Ändrer ikke middeltallet da tallene er jävnt fordelt i hvert interval. 0,5 3 Tallet i midten af intervallet udregner vi sådan: 1, 5,, 5, osv. Tal i midten af intervallet 1,5,5 3,5 4,5 6,5 Hyppighed Antal data er Middeltallet udregnes sådan: 1,5 34,5 58 3,5 91 4,5 7 6,5 7 3,56560 Middeltal for rérs längde er 3,57cm. 8 Det er nemmere at gange med 7 end 7 gange at skrive 6, Middeltal for grupperede data när procent (frekvens) er oplyst Vi vil udregne middeltallet for félgende grupperede datasät: LÄngde i meter 0, Frekvens 1 % 18 % 35 % 5 % 10 % For at udregne middeltallet forestiller vi os at de 1 % i férste interval alle er lig tallet i midten af dette interval, de 18 % i andet interval alle er lig tallet i midten af dette interval, osv. Dette Ändrer ikke middeltallet da tallene er jävnt fordelt i hvert interval. 0,5 3 Tallet i midten af intervallet udregner vi sådan: 1, 5,, 5, osv. Tal i midten af intervallet 1,5,5 3,5 4,5 6,5 Frekvens 1 % 18 % 35 % 5 % 10 % Middeltallet udregnes sådan: 1,51,5 18 3,5 35 4,5 5 6, Hvordan grupperer vi data? Vi har modtaget et datasät på 60 tal (enhed er mm): ,6 Middeltal for rérs längde er 3,6cm. For at få overblik over disse tal vil vi gruppere dem i félgende intervaller: I rammen har vi skrevet disse intervaller under hinanden. FÉrste tal i datasättet er 63. Derfor sätter vi en streg ud for Andet tal i datasättet er 71. Derfor sätter vi en streg ud for Osv. Et tal i datasättet der er lig et af intervalendepunkterne, täller vi med i intervallet til venstre for tallet. Dette er ikke eneste mäde at gçre det pä, men der er tradition for at bruge denne mäde i det danske gymnasium og hf. Efter at vi har foretaget denne optälling, kan vi opskrive det grupperede datasät: LÄngde i mm Antal Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
14 4. Hvor brede skal vi gçre intervallerne när vi grupperer data? PÅ computer kan vi nemt Ändre intervallernes bredde og se hvordan histogrammet Ändres. Histogrammerne viser tre forskellige grupperinger af samme data. PÅ y-aksen står antal. Venstre figur: For lille intervalbredde. FÅ data i hvert interval får héjde til at svinge tilfäldigt. Midterste figur: Intervallernes bredde er passende. Nederste figur: For stor intervalbredde. UnÉdig forenklet beskrivelse af hvordan data er fordelt. 5 Sumkurve og lineår sammenhång. Histogrammet viser et grupperet datasät: Intervallet 0-30 deler vi op i 10 lige store dele (se figur). Hver af disse små intervaller må indeholde en tiendedel af hele intervallets observationer, dvs. de indeholder 0% 40% 30% hver 3 % af samtlige observationer. ( x, y) er et punkt på sumkurven, dvs. y er den procentdel af observationerne der har stérrelse x eller derunder. Af histogrammet ovenfor ser vi: NÅr x 0 er y 0,0 0,40 0, 60 NÅr x 1 er y 0,60 0,03 0, 63 NÅr x er y 0,63 0,03 0, 66 Hver gang x bliver 1 stérre, vil y blive 0,03 enheder stérre, så y vokser lineärt i intervallet fra x 0 til x 30. Derfor er grafen en ret linje i dette interval, og ligningen er y 0, 03x b. Vi udregner b : NÅr x 0 er y 0, 60 så 0,60 0,03 0 b. Heraf ser vi at b 0, så ligningen er y 0, 03x. For de fire intervaller er ligningerne: 0-10: y 0, 0x 10-0: y 0,04x 0, 0-30: y 0, 03x 30-40: y 0,01x 0, 6 Hvor mange procent af observationerne har stçrrelse 7 eller derunder? Vi ser at vi skal bruge ligningen fra tredje interval: y 0,03 7 0,81 dvs. 81 % af observationerne er 7 eller derunder. 10 % Hvor stor er nedre kvartil? Vi skal gå ud fra 5 % på y-aksen. Vi ser at vi skal bruge ligningen fra andet interval: 0,5 0,04x 0,. Vi léser denne ligning mht. x og får 11,5, dvs. nedre kvartil er 11,5. % Sumkurve Histogram Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
15 6 StikprÇver. TEST Nogen på et gymnasium mener at der er forskel på hvad piger og drenge mener om et bestemt spérgsmål. For at undesége denne hypotese, spérger vi nogle piger og drenge. 6.1 Hvad er populationen? De ting eller personer som vi vil påstå noget om, kaldes populationen. Er det alle personer i europa som nu er mellem 10 og 0 År? Er det alle elever på vores gymnasium? Eller? NÅr vi laver en statistisk underségelse, skal vi skrive en präcisering af hvad det er for en population vi vil pästä noget om. 6. Hvad er stikprçven? Vi underséger kun en lille del af hele populationen. De personer vi får et svar fra (eller de ting vi underséger), kaldes stikpréven. NÅr vi laver en statistisk underségelse, skal vi skrive en präcisering af hvordan vi har valgt stikprçven. Det er IKKE nok at skrive: Vi har spurgt 47 elever på vores gymnasium. Det er nok at skrive Den 0. februar mellem kl. 8:50 og 9:10 spurgte vi de 47 elever der sad på gangen, og vi fik svar fra dem alle. 10 af drengene og 8 af pigerne var fra 3g FY, 13 af drengene og 16 af pigerne var fra 3g Fy. eller Den 0. februar kl. 8:50 sendte vi en besked til alle elever på skolen. StikprÉven er de 47 elever der svarede inden kl. 10:00 den. februar. Disse to beskrivelser af en indsamling af stikpréve er så grundige at läseren kan se om der er grund til tro at der kan väre systematiske fejl. 6.3 Systematiske fejl ved valg af stikpréven. Eksempel 1 Population: Eleverne på vores gymnasium. StikprÉve: Eleverne i en sproglig klase. Her kan vi have lavet en systematisk fejl ved valg af stikpréven, for det kan väre at en bestemt holdning oftere er blandt sproglige end blandt andre. Eksempel Hvis vi spérger elever pr. , og mange ikke svarer, så kan vi have lavet en systematisk fejl, for det er måske isär elever med en bestemt holdning der svarer. 6.4 TilfÅldige fejl ved valg af stikpréven. Selv om vi välger stikpréven tilfäldigt blandt hele populationen, er det ikke helt sikkert at den ligner populationen. Det kan f.eks. väre at vi tilfäldigt har fået for mange ja-sigere med i stikpréven. Det er muligheden for tilfäldige fejl vi beskäftiger os med når vi udregner tallet p. (se afsnit 9.3 og 13.4). Afsnit 6 fortsätter på näste side. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
16 6.5 Er der skjulte variable? En skjult variabel er noget der kan ÉdelÄgge resultatet selv om stikpréven er udvalgt tilfäldigt blandt hele populationen. Eksempel: Der er flere der overlever på hospital A end på hospital B. Man slutter at behandlingen er bedre på A end på B. Men forskellen skyldes at B har flere Äldre patienter. Patienternes alder er en skjult variabel der påvirker resultatet. 7 Hvad er sandsynlighed? 7.1 Eksempel. At sandsynligheden for at vinde = 5% betyder at vi vinder 5% af gangene. 7. Eksempel. At sandsynligheden for at en pose har 3 eller flere defekte = 4 % betyder at 4 % af poserne har 3 eller flere defekte. 8 Test af hypotese. 8.1 Signifikansniveau. Hypotese: Halvdelen af brikkerne er gule. Vi tager en stikpréve for at teste hypotesen. Vi får en stikpréve der ligger langt fra hypotesen. Vi udregner at hvis hypotesen er rigtig, så er sandsynligheden kun 3 % for at få en stikpréve der ligger så langt eller längere fra hypotesen, Hvis 3 % er mindre end det valgte signifikansniveau, så forkaster vi hypotesen. Hvis vi har valgt signifikansniveau = 5 %, så forkaster vi da 3 % < 5 %. Hvis vi har valgt signifikansniveau = 1 %, så forkaster vi ikke da 3 % 1%. 8. HvornÄr har vi vist noget med en test? Kun når vi forkaster en hypotese, har vi vist noget. NÅr vi ikke forkaster hypotesen, har vi IKKE vist at hypotesen sandsynligvis er rigtig. Mange (også lärere og lärebéger) tror at når vi ikke kan forkaste hypotesen, så er det sandsynligt at hypotesen er rigtig. Dette er en katastrofal misforståelse. Det har ingen forbindelse med virkeligheden. I nogle eksamensopgaver og vejledende opgaver spérges om der er beläg for uafhängighed. At spérge sådan er en grov fejl da testen aldrig kan give beläg for uafhängighed. 8.3 Tankegangen bag det at forkaste eller ikke forkaste en hypotese. Antag at vi har fundet ud af félgende: Hvis det hypotese A siger, er rigtigt, så er det usandsynligt at få en stikpréve der ser ud som den vi har fået. SÅ tror vi ikke at det hypotese A siger, er rigtigt. Vi forkaster hypotese A. Antag at vi har fundet ud af félgende: Hvis det hypotese A siger, er rigtigt, så er det IKKE usandsynligt at få en stikpréve der ser ud som den vi har fået. SÅ forkaster vi ikke A. Hvis vi ikke forkaster A, er det så sandsynligt at A er rigtig? NEJ, for der er altid flere hypoteser B, C, D... hvorom der gälder: Hvis det hypotesen siger, er rigtigt, så er det IKKE usandsynligt at få en stikpréve der ser ud som den vi har fået. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
17 9. Test for uafhångighed i tabel. Vi vil teste om piger og drenge har samme holdning til et spérgsmål. Populationen er alle danskere hvis alder er 16 til 18 År. Hypotese: Andelen der siger ja, er ens for piger og drenge. Hypotesen er altså at svaret er uafhängigt af om det er en pige eller en dreng. I den slags test vi laver her, gälder altid: Hypotesen er at noget er ens. Vi välger: signifikansniveau = 5% Nogle tilfäldigt udvalgte piger og drenge får stillet samme spérgsmål. StikprÉven er de piger og drenge som svarede. De svarede sådan: 9.1 SÄdan udregner vi FORVENTEDE TAL. For at teste hypotesen, udregner vi férst noget vi kalder de forventede tal, dvs. hvordan svarene skulle väre fordelt mellem de fire felter hvis ja-andelen i tabellen skulle väre ens for piger og drenge. For at kunne udregne de forventede tal udregner vi férst félgende tal: Antal piger: Antal drenge: Antal ja-sigere: Antal nej-sigere: Antal piger og drenge: Disse tal skriver vi i et skema: ja nej i alt piger 133 drenge 9 i alt I tabellen med forventede tal skal andelen af ja-sigere väre den samme for piger og drenge, så da 158 af de 5 elever svarede ja, skal vi i denne tabel skrive at af de 133 piger svarede ja: forventet antal ja-svar fra piger: 93, 40 forventet antal nej-svar fra piger: ,40 39, 60 forventet antal ja-svar fra drenge: ,40 64, 60 forventet antal nej-svar fra drenge: 9 64,60 7, 40 Her er de fire forventede tal skrevet ind i skemaet: Forventet ja nej i alt piger 93,40 39, drenge 64,60 7,40 9 i alt Faktiske tal ja nej piger drenge 71 1 Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
18 9. SÄdan udregner vi. Symbolet läses sådan: ki i anden For hvert af de fire felter udregner vi ( faktisk forventet) forventet Ved at lägge disse fire tal sammen får vi tallet som er afstanden mellem de faktiske tal og de forventede tal: χ χ (87 93,40) 93,40 3,60 (46 39,60) 39,60 (71 64,60) 64,60 (1 7,40) 7, SÄdan udregner vi p. Ovenfor udregnede vi at afstanden mellem faktiske og forventede tal er χ 3, 60. I beregningsmenuen välger vi Statistik / Fordelinger / Cdf... og udfylder sådan: Vi kan skrive: Nspire: Dvs. p = 5,8 % hvor p er sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig, for at afstanden er 3,60 eller stérre når antal frihedsgrader er SÄdan skriver vi konklusionen. Da sigifikansniveauet er 5 %, og p ikke er mindre end 5 %, kan vi ikke forkaste hypotesen. StikprÉven giver ikke beläg for at hävde at andelen der siger ja, er forskellig for piger og drenge. Tallet 1 er antal frihedsgrader. Se afsnit MisforstÄ ikke procenterne. 5,8 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er rigtig. 5,8 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er forkert. 94, % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er rigtig. 94, % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er forkert. De 5,8 % er udregnet under den forudsätning at hypotesen er rigtig og er sandsynligheden for at få en stikpréve hvis afvigelse fra hypotesen er så stor som eller stérre end afvigelsen i den stikpréve vi fik. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
19 10 Hvordan udregner vi antal FRIHEDSGRADER i test for uafhångighed? 10.1 Frihedsgrader for gange tabel. Tabellen stammer fra en underségelse af om der er forskel på drenges og pigers holdning til det stillede spérgsmål. I tabellen er der räkker (piger og drenge) og séjler (ja og nej). i alt Hvis vi skriver et tal i ät af de fire felter, så er det fastlagt hvad der skal stå i de tre andre felter. Det er fordi både antal piger, antal drenge, antal ja og antal nej er kendt. Fordi man kun kan välge 1 tal, er antallet af frihedsgrader 1. ja nej i alt piger drenge Frihedsgrader for gange 3 tabel. Tabellen stammer fra en underségelse ja nej? i alt af om der er forskel på drenges og pigers holdning til det stillede piger spérgsmål. I tabellen er der räkker (piger og drenge) og 3 séjler (ja, nej og?). drenge i alt Hvis vi skriver tal i to af de seks felter, så er det fastlagt hvad der skal stå i de fire andre felter. Det er fordi både antal piger, antal drenge, antal?, antal ja og antal nej er kendt. Fordi man kun kan välge tal, er antallet af frihedsgrader Frihedsgrader for m gange n tabel. Hvis der i test for uafhängighed er så er m räkker og n séjler, antal frihedsgrader = ( m 1) ( n 1) Nogle gange skal vi udregne antal frihedsgrader på en anden måde. Se afsnit Hvis m og n, så får vi af denne formel at antal frihedsgrader = ( 1) ( 1) 11 1 ADVARSEL: Nogle gange skal vi udregne antal frihedsgrader på en anden måde. Se afsnit Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
20 11 Eksempel med to frihedsgrader i test for uafhångighed. Populationen er alle danske elever i 1.g som har matematik på A- eller B-niveau. Vi vil teste félgende hypotese på 5 %-signifikansniveau: Hypotese: Eleverne på A-niveau og B-niveau er lige gode til brçkregning. StikprÉven er nogle elever som fik en préve i brékregning. Hver elev fik under middel, middel eller over middel. Resultatet står i tabellen. under middel over i alt Faktiske tal: Vi udregner de forventede värdier: mat A mat B i alt af de 356 elever fik under middel, så hvis hypotesen er rigtig, må vi forvente at også af mat A-eleverne fik under middel Det forventede antal er altså , Det forventede antal mat A-elever med karakteren middel er , 66. Vi kan fortsätte sådan for at udregne resten af de forventede tal, men vi kan også udregne resten af de forventede värdier ved at bruge at vi kender summen af hver räkke og séjle. Det forventede antal mat B-elever med karakteren under middel kan vi altså udregne sådan: 95 51,77 43, 3. Forventede tal: under middel over i alt mat A 51,77 74,66 67, mat B 43,3 6,34 56,43 16 i alt Vi udregner som er afstanden mellem de faktiske tal og de forventede tal: (5151,77) (6574,66) (7867,57) (4443,3) (76,34) (4656,43) 51,77 74,66 67,57 43,3 6,34 56,43 Vi får 6, 31. Antal frihedsgrader = (antal räkker 1) (antal séjler 1) = ( 1) (3 1) = Nogle gange skal vi udregne antal frihedsgrader på en anden måde. Se afsnit Vi udregner p som er sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig for at er i hvert fald 6,31: Nspire: Dvs. p = 4,3 % hvor p er sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig, for at afstanden er 6,31 eller stérre når antal frihedsgrader er. Da p er mindre end 5 %, forkaster vi hypotesen, så på 5 %-signifikansniveau har vi vist: Eleverne på A-niveau og B-niveau er ikke lige dygtige til brékregning. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
21 1 Nulhypotese. NÅr vi udférer en test, så underséger vi om en bestemt hypotese kan forkastes. Denne hypotese kaldes nulhypotesen. Nulhypotesen skal påstå at noget er ens. Dette kan udtrykkes på flere måder. FÉlgende fire sätninger er samme hypotese: Der er ikke forskel på pigers og drenges holdning til spérgsmålet. Pigers og drenges holdning til spérgsmålet er ens. Elevers holdning til spérgsmålet er uafhängig af kén. Elevers kén har ikke betydning for deres holdning til spérgsmålet. Der er ikke sammenhäng mellem kén og holdning til spérgsmålet. Den alternative hypotese er den hypotese som vi har beläg for at hävde hvis testen forkaster nulhypotesen. Hvis vi vil undersége om der er forskel på pigers og drenges holdning til et spérgsmål, så skal vi skrive félgende nulhypotese: Nulhypotese: Pigers og drenges holdning er ens. Alternativ hypotese: Pigers og drenges holdning er forskellig. 13 Test for fordeling när stikprçven er angivet som antal. I et land er det muligt at stemme på på fire partier A, B, C og D. Hypotese: Tilslutningen til partierne er som vist i tabellen. Hypotese: A B C D 33 % 8% 39 % 0 % Vi spérger folk der er tilfäldigt valgt blandt dem der må stemme, og får félgende 150 svar: Faktiske tal: A B C D Populationen er dem der må stemme. StikprÉven er dem der svarede. Vi vil teste hypotesen på signifikansniveu 5 % SÄdan udregner vi forventede tal. Hvis hypotesen er rigtig, må vi forvente félgende tal: A: 150 0,33 49, 5 B: 150 0,08 1 C: 150 0,39 58, 5 D: 1500,0 30 Forventede tal: A B C D 49,5 1 58, SÄdan udregner vi. Symbolet läses ki i anden For hvert af de fire felter udregner vi ( faktisk forventet) forventet Ved at lägge disse fire tal sammen får vi tallet som er afstanden mellem de faktiske tal og de forventede tal: (46 49,5) 49,5 9,09 ( 1) 1 (55 58,5) 58,5 (7 30) 30 Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
22 13.3 SÄdan udregner vi antal frihedsgrader. Ovenfor skrev vi tal i félgende skema: A B C D I alt NÅr vi har skrevet tal i tre af felterne, så er det fastlagt hvad der skal stå i det sidste felt da summen skal väre 150. Antal frihedsgrader er 3 da vi kan välge tre af tallene. I test for fordeling gälder: antal frihedsgrader = antal felter Nogle gange skal vi udregne antal frihedsgrader på en anden måde. Se afsnit SÄdan udregner vi p. Ovenfor udregnede vi at afstanden mellem faktiske og forventede tal er χ 9, 09. I beregningsmenuen välger vi Statistik / Fordelinger / Cdf... og udfylder sådan: Vi kan skrive: Nspire: Dvs. p =,8 % hvor p er sandsynligheden hvis hypotesen er rigtig, for at afstanden er 9,09 eller stérre når antal frihedsgrader er SÄdan skriver vi konklusionen. Da p er mindre end 5 %, forkaster vi hypotesen. PÅ 5 %-signifikansniveau har vi beläg for at hävde at: Fordelingen er ikke som vist i férste tabel MisforstÄ ikke procenttallene.,5 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er rigtig.,5 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er forkert. 97,5 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er rigtig. 97,5 % er IKKE sandsynligheden for at hypotesen er forkert. De,5 % er udregnet under den forudsätning at hypotesen er rigtig og er sandsynligheden for at få en stikpréve hvis afvigelse fra hypotesen er så stor som eller stérre end afvigelsen i den stikpréve vi fik. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
23 14 Test for fordeling när stikprçven er angivet med procenter. I et land er det muligt at stemme på på fire partier A, B, C og D. Hypotese: Tilslutningen til partierne er som vist i tabellen. Hypotese: A B C D 33 % 8% 39 % 0 % Nogen har spurgt folk der er tilfäldigt valgt blandt dem der må stemme, og har fået svar fra 150. De har angivet resultatet i procenter sådan: Vores data: A B C D 30,7 % 14,7 % 36,7 % 18,0 % For at kunne teste hypotesen må vi udregne de faktiske tal som disse procenter er udregnet ud fra. I tabellen med faktiske tal SKAL alle tal väre hele tal. (I tabellen med forventede tal må der gerne stå kommatal). A: 150 0,307 46, 05 B: 150 0,147, 05 C: 150 0,367 55, 05 D: 150 0,18 7 Faktiske tal: A B C D Da vi nu har de faktiske tal, kan vi udfére testen på samme måde som i afsnit Kritisk vårdi. Hver dag underséger vi nogle varer med en -test med frihedsgrader og signifikansniveau 5 %. En dag er = 6,88. SÅ er p = 3,%, dvs. vi forkaster. En dag er = 4,68. SÅ er p = 9,6 %, dvs. vi forkaster ikke. NÅr = 6,88 forkaster vi, og når = 4,68 forkaster vi ikke. Der må väre en -värdi mellem 6,88 og 4,68 som skiller mellem at forkaste og ikke forkaste. Vi vil finde den värdi der skiller, dvs. den -värdi hvor p = 5 % : Nspire léser ligningen χãcdf(,,) = 0,05 mht. og får = 5,99. Tallet 5,99 kaldes den kritiske värdi. De dage hvor er stérre end 5,99, forkaster vi hypotesen. (I andre test vil de kritiske värdier normalt väre andre tal). Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
24 Normalfordeling 16 Tal der er normalfordelt. Vi måler héjden af alle drenge i 3.g. FORDELINGER De målte tal afsätter vi som prikker på en tallinje. Tallene ligger ikke jävnt fordelt. De er fordelt sådan: Der er et sted på tallinjen hvor tallene ligger tät. Jo längere man kommer fra dette sted, jo mindre tät ligger tallene. NÅr vi måler ting af samme slags, vil tallene ofte väre fordelt på en bestemt måde som vi kalder normalfordelt. F.eks. er héjderne af drengene i 3.g normalfordelt. 17 Graf for tal der er normalfordelt. Grafen til venstre viser hvordan nogle målte tal er fordelt. Hvis vi afsätter tallene som prikker på x-aksen, vil prikkerne ligge tättest der hvor y er stérst, dvs. när 13 på x-aksen ligger prikkerne tättest. NÄr 11 på x-aksen er y mindre, så när 11 vil prikkerne ligge mindre tät. NÄr 6 vil prikkerne ligge meget mindre tät da y er tät på 0. Arealet under grafen er 1 = 100 %. I intervallet 13 x 14 er arealet under grafen 0,191, dvs. i dette interval ligger 19,1 % af de målte tal. I intervallet 15 x 16 er arealet under grafen 0,09, dvs. i dette interval ligger 9, % af de målte tal. Grafen for g er bredere end grafen for f. Til gengäld er den lavere da arealet under grafen skal väre 1. NÅr grafen er bredere, ligger tallene mere spredt. 18 MiddelvÅrdi for tal der er normalfordelt. MiddelvÄrdien af de målte tal er 13, da grafen er symmetrisk om x =13. Dette gälder både for f og g. 19 Spredning for tal der er normalfordelt. PÅ f-grafen ser vi at hvis vi fra middelvärdien går ud til begge sider, så får vi 68,3 % af tallene med. Vi siger at tallenes spredning er fordi vi skal gå ud fra middelvärdien for at få 68,3 % af tallene med. PÅ g-grafen ser vi at spredningen er 3. g g f f f f Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
25 0 Forskrift for funktionen der viser fordelingen af tal der er normalfordelt. NÅr tal er normalfordelt med middelvärdi m og spredning s, så vil funktionen f der viser fordelingen, have félgende forskrift: f ( x) s 1 π e 1 ( x s m) Denne forskrift skal du IKKE huske! 1 En anvendelse af normalfordeling. Ved fremstillingen af en vare er der på grund af tilfäldigheder stor forskel på vägtene af varerne. VÄgtene er normalfordelt med spredning 1,5 gram. Varer der vejer under 3 gram skal kasseres. (Jo tungere varen er, jo dyrere er det at fremstille den). Opgave: Hvor stor en del af varerne skal kasseres hvis maskinen indstilles til at fremstille varer med middelvärdi 33 gram? Svar: Lad f väre funktionen der viser fordelingen af tal der er normalfordelt med middelvärdi m = 33 og spredning s = 1,5. Arealet under f-grafen i intervallet < x < 3 er 3 f ( x) dx 0,5 så 5, % af varerne skal kasseres. Udregnet af Nspire. Opgave: Hvor stor en del af varerne skal kasseres hvis maskinen indstilles til at fremstille varer med middelvärdi 34,5 gram? Svar: Lad g väre funktionen der viser fordelingen af tal der er normalfordelt med middelvärdi m = 34,5 og spredning s = 1,5. Arealet under g-grafen i intervallet < x < 3 er 3 g( x) dx 0,048 så 4,8 % af varerne skal kasseres. Udregnet af Nspire. Opgave: En ny maskine laver varer der er normalfordelt med spredning 1 gram. Hvor stor en del af varerne skal kasseres hvis maskinen indstilles til at fremstille varer med middelvärdi 33 gram? Svar: Lad h väre funktionen der viser fordelingen af tal der er normalfordelt med middelvärdi m = 33 og spredning s = 1. Arealet under h-grafen i intervallet < x < 3 er 3 h( x) dx 0,159 så 15,9 % af varerne skal kasseres. Udregnet af Nspire. Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
26 -fordeling -fordeling. Nogle tal er normalfordelt med middelvärdi 0 og spredning 1. PÅ figur 9 har vi tegnet nogle få af disse tal som prikker. Disse få af tallene har vi valgt sådan at de giver et indtryk af hvordan alle tallene er fordelt. Hvert af tallene opléfter vi til anden: ( 0,6) 0,36,5 6,5 osv. De tal vi får på denne måde, er fordelt som antydet på figur 10. Vi vil finde forskriften for funktionen g der viser hvordan disse tal er fordelt. (Kun få af tallene er vist som prikker). Figur 9 f g Figur 10 g-grafen viser hvordan tallene fra 9.3 er fordelt, dvs. hvis vi mange gange tager en stikprçve og hver gang udregner, sä vil vi fä nogle tal der er fordelt som g-grafen viser. Da vi i afsnit 9 tog en stikpréve hvor χ 3, 60 p g( x) dx 0,058. 3,60, kunne vi altså have udregnet p sådan: Her har vi brugt forskriften for g som står i linje (8) nederst i afsnit 3. 3 Forskrift for g. f og g er funktionerne fra afsnit. Arealfunktionerne for f og g kalder vi F og G, dvs. F (x) = gråt areal på figur 11 og G (x) = gråt areal på figur 1. 1,0 0,5 0,5 Figur 11 Figur 1 F( x ) f G(x) g x x Tallene i intervallet 0 t x stammer fra tallene i intervallet x t x, så gråt areal på figur 1 = gråt areal på figur 13 dvs. (1) G( x) C Af figur 11 og 13 ser vi at C F( x ) A. x A x 0,5 C x B f Figur 13 Statistik for gymnasiet og hf Side 015 Karsten Juul
27 Vi indsätter dette i (1): () G( x) F( x ) A Da f-grafen er symmetrisk, er (3) G( x) F( x ) B A B, så i () kan vi erstatte A med B: Hele arealet under f-grafen er 1, så af figur 13 og 11 ser vi at B 1 F( x ). Dette indsätter vi i (3): (4) G( x) F( x ) ( 1 F( x )) Vi reducerer (4) og får: (5) G( x) F( x ) 1 Da G er arealfunktion for g, er (6) g( x) G( x) Af (5) og (6) får vi (7) g( x) ( F( x ) 1) Nspire udregner héjresiden og får (8) x e g( x) x I rammen ses hvordan vi taster for at få (8). Du skal IKKE kunne denne indtastning. Denne formel skal du IKKE huske! 4 -fordeling när antal frihedsgrader ikke er 1. Forskriften (8) omskriver vi til ( 9) 1 g( x) x e, x 0. π funktion viser fordelingen af tal der er -fordelt med 1 frihedsgrad. I (9) har x eksponenten Hver gang vi lägger 1 til eksponenten, bliver antallet af frihedsgrader 1 stérre. Samtidig må vi erstatte konstanten 1 med π en anden konstant så arealet under grafen stadig er 1. Hvis antallet af frihedsgrader er 4, så er täthedsfunktionen altså af typen g( x) kxe Nspire léser ligningen e x k x dx 0 mht. k og får 1 k 4 1 x, så 1 e x 1 x (10) g( x) x, x 0 4 er funktionen der viser fordelingen af tal der er -fordelt med 4 frihedsgrader fordeling og test. Figuren viser grafen for funktionen (10) fra afsnit 4. Hvis vi i en -test med 4 frihedsgrader får at er 6,8, så er p lig det grå areal: p 1 xe dx 0, ,8 4 Normalt regner vi dette tal ud sådan: x p = χãcdf(6.8,, 4) = 0,14684 g Statistik for gymnasiet og hf Side Karsten Juul
28 Stikordsregister # -fordeling..., 3 -test...19, 3 -test for fordeling, antal angivet test for fordeling, procenter angivet test for uafhängighed...13, 16 A alternativ hypotese...17 arealfunktion... B boksplot, sammenligne...4 boksplot, tegne...3 D data...1 deskriptiv statistik...1 F faktiske tal i test for fordeling...17, 19 faktiske tal i test for uafhängighed...13, 16 forkaste hypotese...1, 14, 16, 18, 19 forventede tal i test for fordeling...17 forventede tal i test for uafhängighed...13, 16 frekvens...6 frihedsgrader...19, 3 frihedsgrader i test for fordeling...18 frihedsgrader i test for uafhängighed...15, 16 G grupperede data...1, 5 gruppering af data...9, 10 H histogram...5, 10 hypotese...1, 13, 16, 17, 19 I intervallers bredde...10 intervallers endepunkter...9 intervals frekvens...6 K kritisk värdi...19 kumuleret frekvens...6 kumuleret hyppighed...6 kvartilsät for grupperede data...8 kvartilsät for ugrupperede data...3 M median for grupperede data...8 median for ugrupperede data... middeltal for grupperede data...9 middeltal for ugrupperede data...1 middelvärdi for normalfordeling...0 N nedre kvartil for grupperede data...8 nedre kvartil for ugrupperede data...3 normalfordeling...0 normalfordeling, forskrift...1 nulhypotese...17 P p...11, 14, 16, 18, 19, 3 population...11, 13, 16, 17 S sandsynlighed...1 signifikansniveau...1, 16, 18, 19 skjult variabel...1 spredning...0 stikpréve...11, 13, 16, 17 sumkurve og lineär sammenhäng...10 sumkurve, afläs...8 sumkurve, afläse...7 sumkurve, tegn når antal oplyst...6 sumkurve, tegn når procent oplyst...6 systematisk fejl...11 T test af hypotese...1, 17, 19 test for fordeling, antal angivet...17 test for fordeling, procenter angivet...19 test for uafhängighed...13, 16 tilfäldig fejl...11 U uafhängig...17 ugrupperede data...1 Ä Évre kvartil for grupperede data...8 Évre kvartil for ugrupperede data...3
for gymnasiet og hf 2013 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 013 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs merefor gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige
Læs merefor gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen
Læs mereDeskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul
Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede
Læs mereDeskriptiv statistik for hf-matc
Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...
Læs merefor C-niveau i stx 2017 Karsten Juul
for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereDeskriptiv statistik for matc i stx og hf
Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede
Læs mereNogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul
Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...
Læs meresammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 03 Karsten Juul TEST StikprÅver.... Hvad er populationen?.... Hvad er stikpråven?....3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.....4 TilfÇldige fejl ved valg af stikpråven...
Læs meresammenhänge 2008 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...
Læs mereStatistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mereStatistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereStatistik. Kvartiler og middeltal defineres forskelligt ved grupperede observationer og ved ikke grupperede observationer.
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mereStatistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul
Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereStatistisk beskrivelse og test
Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereGrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul
GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer
Læs mereIntegralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereIntegralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l
Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereStatistik. Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal.
Statistik Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige at man bearbejder et datamateriale som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over talmaterialet, og man kan konkludere
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereStatistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.
Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært
Læs mereDeskriptiv statistik (grupperede observationer)
Deskriptiv statistik (grupperede observationer) Tallene er hentet fra Arbejdsbog B1 (2.udg.) eller Arbejdsbog B2, øvelse 408: Der åbnes et Lister og Regneark værksted og observationerne indtastes og navngives:
Læs mereLars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.
Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt
Læs mereIntegralregning. for B-niveau i stx Karsten Juul
Integralregning or B-niveau i st 0 Karsten Juul Stikordsregister A areal5, 7, 9 areal mellem to graer 8, 9 arealunktion, 6 B bestemt integral5 bestemt integral med Nspire 5 bestemt integral uden hjälpemidler
Læs mereGrundlÄggende funktioner
GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereStatistik - supplerende eksempler
- supplerende eksempler Grupperede observationer: Middelværdi og summeret frekv... 82b Indekstal... 82c Median, kvartil, boksplot... 82e Sumkurver... 82h Side 82a Grupperede observationer: Middelværdi
Læs mereNoter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave
Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1
Læs mere5. Statistik. Hayati Balo,AAMS. 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime
5. Statistik Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Carstensen, Frandsen og Studsgaard, stx mat B2, systime 1. Ugrupperede Observationer Hvis der foreligger et antal målinger eller observationer
Læs mere1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014
1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser
Læs merebrikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne
Læs mereTrekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul
Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg
Læs merec) For, er, hvorefter. Forklar.
1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:
Læs mere(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)
(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler inden for deskriptiv statistik... 12 Normalfordelingskurver...
Læs mereHvad siger statistikken?
Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereGL. MATEMATIK B-NIVEAU
GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereBilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen
Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk
Læs mereVed et folketingsvalg eller en folkeafstemning spørger man alle stemmeberettigede, og kun en del af dem stemmer.
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Statistik Statistik er bearbejdning af talmaterialer, der ofte indeholderstore mængder af tal. De indsamles og registreres i mange forskellige sammenhænge
Læs mereIndhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4
BH Test for normalfordeling i WordMat Indhold Grupperede observationer... 1 Ugrupperede observationer... 3 Analyse af normalfordelt observationssæt... 4 Grupperede observationer Vi tager udgangspunkt i
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs merec. Radius for hver sekter er målt i cm og angivet i følgende tabel. Desuden er arealet af hvert område beregnet.
Kapitel 2 Øvelse 2.2 Cirklen er inddelt i 12 sektorer, én for hver måned. Antallet af dødsfald vokser kraftigt i juli og august og er højt flere måneder, men stiger yderligere hen over vintermånederne.
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereDifferential- regning for gymnasiet og hf
Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde
Læs mereUnder 63 år : 92% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år :
1 501 Sumkurven viser aldersfordelingen for lærerne på et gymnasium. a) Hvor mange procent af lærerne er mellem 55 og 63 år? (Benyt gerne bilaget til at dokumentere svaret.) Løsning: Under 63 år : 92%
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereLøsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014
Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereForklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.
1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,
Læs mereI. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner
Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,
Læs mereStatistik (deskriptiv)
Statistik (deskriptiv) Ikke-grupperede data For at behandle ikke-grupperede data i TI, skal data tastes ind i en liste. Dette kan gøres ved brug af List, hvis ikon er nr. 5 fra venstre på værktøjsbjælken
Læs mere2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:
Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mere2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.
2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske
Læs mereUnder 63 år : 88% Under 55 år : 55% Ved at trække den nederste fra den øverste af de to grupper fås: Melllem 55 og 63 år :
1 501 Sumkurven viser aldersfordelingen for lærerne på et gymnasium. a) Hvor mange procent af lærerne er mellem 55 og 63 år? (Benyt gerne bilaget til at dokumentere svaret.) Løsning: Under 63 år : 88%
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereDig og din puls Lærervejleding
Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet
Læs mereMatematik C. Højere forberedelseseksamen
Matematik C Højere forberedelseseksamen 2hf102-MAT/C-31082010 Tirsdag den 31. august 2010 kl. 9.00-12.00 Opgavesættet består af 9 opgaver med i alt 15 spørgsmål. De 15 spørgsmål indgår med lige vægt ved
Læs mereGrupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres)
Grupperede observationer et eksempel. (begreber fra MatC genopfriskes og varians og spredning indføres) Til Gribskovløbet 006 gennemførte 118 kvinder 1,4 km distancen. Fordelingen af kvindernes løbstider
Læs mereVelkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode
Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hhx122-mat/b-17082012 Fredag den 17. august 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereFagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF
Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Vi ønskede at planlægge og afprøve et undervisningsforløb, hvor anvendelse af
Læs mereSkriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.
Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med
Læs mereIntegralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul
Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab
Læs mereProjekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?
Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereDifferentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul
Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...
Læs mereMedian, kvartiler, boksplot og sumkurver
Median, kvartiler, boksplot og sumkurver Median, kvartil, boksplot og sumkurver... 2 Opgaver... 7 Side 1 Median, kvartil, boksplot og sumkurver Medianen er det midterste af en række tal, der er skrevet
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereAntal timer 19 5 7 10 0 6 6 3 7 6 4 14 6 5 12 10 Køn k m k m m k m k m k k k m k k k
Statistik 5 Statistik er en meget omfattende matematisk disciplin, og den anvendes i meget stor udstrækning i vores moderne samfund. Den handler om at analysere et (ofte meget stort) talmateriale. Det
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereQR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra
QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra Nspire: Vi har et datasæt. Der er overordnet to metoder til at tegne sumkurver i programmet, og vi beskriver
Læs mereSandsynlighed. for matc i stx og hf Karsten Juul
Sandsynlighed for matc i stx og hf 209 Karsten Juul . Udfald Vi drejer den gule skive om dens centrum og ser hvilket af de fem felter der standser ud for den røde pil. Da skiven sidst blev drejet, var
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2016 Institution Vestegnen hf og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik C Nicolai
Læs mereVejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A)
Vejledende eksamensopgaver vedr. hypotesetest (stx B og stx A) Opgave 1 I nedenstående tabel ses resultaterne af samtlige hjerteklapoperationer i 007-08 ved Odense Universitetshospital (OUH) sammenlignet
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereTERMINSPRØVE APRIL u Ma MATEMATIK. onsdag den 11. april Kl
TERMINSPRØVE APRIL 2018 2u Ma MATEMATIK onsdag den 11. april 2018 Kl. 09.00 13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale
Læs mereVærktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:
Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereT A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C
T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mere