Udkast version Fejl! Ukendt argument for parameter. Morten Hjorslev Hansen, Kim Haugbølle & Erik Brandt

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Udkast version Fejl! Ukendt argument for parameter. Morten Hjorslev Hansen, Kim Haugbølle & Erik Brandt"

Transkript

1 Udkast version Fejl! Ukendt argument for parameter. Morten Hjorslev Hansen, Kim Haugbølle & Erik Brandt By og Byg Statens Byggeforskningsinstitut 2003

2 !" #$ %&' (& ) *& +, %, % - '. -. / &, 0 & ' ' ' &! / 0 ' 1 2!*" +23 #, %+) & & %&!&&

3

4 Indhold... 4 Levetid... 5 Deterministiske metoder... 6 Levetidstabeller... 6 Forsikring og Pension... 6 BUR Planlægning af driftsvenligt byggeri... 7 Årskostnadsanalyse... ABF-Håndbogen... Nedbrydningsmodeller... ISO faktormetoden Neurale netværk Probabilistiske metoder Elementmetoden Markovkæder MEDIC Betingede sandsynligheder Bestemmelse af den sandsynlige restlevetid Diskussion... 1 Litteratur... 20

5 Denne rapport beskriver modellering af levetid for bygningsdele. Dele af rapporten er baseret på (Brandt, 2003). Levetid defineres som den tid et materiale eller en konstruktions essentielle egenskaber opfylder de ydeevnekrav, der er stillet. Ydeevnekravet til et tag kan fx være at det er tæt overfor nedbør.

6 Deterministiske metoder giver et fast tal for levetiden, fx 55 år. Deterministiske metoder suppleres af de probabilistiske metoder, der beskrives i næste kapitel. Brugen af levetidstabeller er nok den mest anvendte metode til forudsigelse af bygningsdeles levetid. I det efterfølgende beskrives en række ofte anvendte levetidstabeller I Danmark benyttes bl.a. Forsikring og Pensions levetidstabeller (Forsikring og Pension, 2001). Tabellerne angiver skønnede restlevetider i procent i forhold til nyt, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Optegnes de skønnede restlevetider som funktion af alderen fås et indtryk at de anvendte levetidskurver, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. &#) ; < % = @ = > & # =) ; > # =) ; > # =) ; > 23 2 : 2 A2 A A A3 A 32 3 : : : :: A A 2 2 :, ) < &&! ) &<

7 ) &, < & &&! ) ) & B & & ) ;, =&) ) ; < &; + > ) #&! &< &,! & ) ) ) < (, =) ; > A : : A?= # B, & ') = & /!>! " # $ % En anden ofte citeret dansk levetidstabel findes i BUR rapporten om planlægning af driftsvenligt byggeri (Byggeriets udviklingsråd, 15). Rapporten er baseret på et projektet støttet af BUR. Initiativtagerne til projektet var P&T s bygningstjeneste og Undervisningsministeriets Byggedirektorat. I Fejl! Ukendt argument for parameter. er der gengivet et uddrag af levetidstabellen i rapporten. I bemærkningerne til tabellen understreges det, at De anførte levetider kan anvendes ved totaløkonomiske sammenligninger mellem alternativer, men ikke ved beregning af de faktiske levetidsomkostninger. =%' &! 2A> B B -. * %(?(C!) <, B,,, '" B -. * %(?/? (#, B -. * %(?%? (#, D (% E%0 " (-. EB -. * %( & < < = #># ) %? - " E%0 " (-. EB -. * %( *B %. *-E '=> 3

8 & < < ) & = #+ >#, %? - " E%0 " (-. EB -. * %(-. *B %. *-E & % Den norske stats ejendomsselskabs Statsbygg har i samarbejde med Teknologisk institutt i Norge udviklet IT-værktøjet Årskostnadsanalyse til beregning af huslejen for de ejendomme, som Statsbygg udlejer til offentlige lejere. Værktøjet indeholder tabeller, der beskriver vedligeholdsinterval og levetid, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Værktøjet er oversat til dansk og udgivet af Byggeriets Udviklingsråd (Byggeriet Udviklingsråd, 2000)., &# =' &!> ' ( )! % * +,! % F *%(B C EE% < : A -!.+ $ ABF-håndbogen (ABFnyt, 11) indeholder afskrivningsprofiler for bygningsdele, der anvendes i forbindelse med overdragelse af andele til fastsættelse af de afskrivninger, der foretages ved vurdering af værdien af individuelle forbedringer, se Fejl! Ukendt argument for parameter..?&) ) &!, & =?'+!22> A

9 Afskrivningskurverne anvendes sammen med en tabel, der angiver over hvor mange år afskrivningen skal foretages, se Fejl! Ukendt argument for parameter..?& %=?'+!22> B -. * %( 0 ), < &< ) 0 )!&+ B & <?&. Der findes en lang række teorier og matematiske modeller der beskriver, hvorledes materialer og konstruktioner nedbrydes under givne påvirkninger. Disse modeller er vid udstrækning af empirisk natur og beskriver i almindelighed kun et enkelt nedbrydningsmekanisme ad gangen. I eksemplet herunder beskrives en model for armeringskorrosion i beton forårsaget af indtrængende chlorid. Eksempel %&) ) &, ) ) ;, + < %&& & ), +? & &!1! & & ), # ) +<! ) # ;, 1 #) ) + & ) <! &&; < && %) & & ;,, # ) & ;, < < &+!&; &! &)!& 2 C C = D 2 t x, C;, & ; >!t =>!D ;, + & ; x => <! ;, & ; =& >C o & =+, < > & ;, & ; C i & = ># &!, + < & ;, & ; D&!, < ;, & ; ) + < &!&;, & ; C krit # & &# 6 x t = D 2 erf 1 1 C krit Co Ci Co 2 2

10 , + & * # & &! 1 < ; ) < B &, & ) & & &, ;, & ; ' +,! < ;, &) <! &&&1 G0 =& 1 > G=0 >=; ;, 1 > ) #) < & *0 + ) < &!, # ) +< ) & &. 0 + G0 GG0 =; ; & > 0 + +& ;! )!*) ; & &? ) ; & 1 &+&& - 0 & ISO faktormetoden er baseret på anvendelse af en referencelevetid og en række faktorer, som benyttes til at modificere den, (International Organization for Standardization, 2000; 2001; 2002) Man kan betragte faktormetoden som en måde at koble indflydelsen af hver af de indgående faktorer. Den kan derfor også bruges, hvis der er (mindre) afvigelser mellem de forudsete brugsområder og det aktuelle brugsområde. Den levetid der fremkommer som resultat af brugen, er ikke en endegyldig sandhed, men et empirisk estimat baseret på de tilgængelige oplysninger. Med det nuværende videnniveau er det måske mere korrekt at sige, at metoden giver mulighed for en mere objektiv sammenligning og analyse, end at den giver et retvisende billede af levetiden. Under alle omstændigheder vil et bedre og mere sikkert grundlag resultere i et mere korrekt resultat. Antallet af faktorer kan diskuteres, idet der med flere faktorer må forventes en bedre nøjagtighed, men samtidig vil brugen kompliceres. En mere tilbundsgående diskussion af faktormetoden er givet i (Hovde, 1) og Hovde (2000). Faktormetoden kan anvendes både til materialer, komponenter og sammensatte bygningsdele. Man skal være opmærksom på, at ved sammensatte bygningsdele vil der indgå samlinger/fuger, og der kan optræde forskellige brugspåvirkninger på de forskellige dele. I ISO regi benyttes i Fejl! Ukendt argument for parameter. angivne modifikationsfaktorer. & & - 0 :A: & & &? )! )!)!!, ' * -!& && G " # " ) )! &&, # & & &) + & &) + & # * -#,?!+!& % #, #!& &! +,! =&> ') & &&) &!&! & E B, " &,! <,

11 Alle de nævnte faktorer kan påvirke levetiden af et materiale eller en komponent. Levetiden kan derfor udtrykkes som: L est = L ref A B C D E F G (1) Hvor L est er den estimerede levetid og L ref er referencelevetiden (i ISO 1566 benyttes henholdsvis betegnelserne ESLC og RSLC). Faktorerne kan fastsættes på forskellig vis. Hvis der fx er erfaring for at samme type produkt anvendt et sted med hård belastning giver en reduktion i levetiden på 30% bør denne viden afspejle sig i valget af faktor F, som derfor kan vælges til 0,7. Tilsvarende vil det være naturligt at benytte den viden/erfaring der findes ved fastsættelse af de øvrige faktorer. En simpel måde er at sætte faktoren til 1 for neutrale forhold, 0, for faktorer der forventes at forkorte levetiden og 1,2 for faktorer der forventes at forlænge levetiden. Herunder gengives et lettere modificeret eksempel fra udkastet til ISO %&) 6< %&), < *< & < + &!, =, >! (;?B ; ) <!&*B " &! '?; ) & &&&!A G? # &! *-< ) &&! % #) &&, &! ') & &! EB, #, =>&! H I!I!AI!I!I!I!I!H! Under hensyntagen til den store usikkerhed der er forbundet med at estimere levetiden er det ikke rimeligt at angive levetiden nøjagtigt, så det foreslås, at der i det mindste rundes af til nærmeste hele tal. I stedet kunne ovenstående vurdering suppleres med en statistisk vurdering af resultatet. I (Aarseth og Hovde, 1) er der foreslået en simpel metode til at fastlægge estimatet som et interval i stedet for som en enkelt værdi.. < & Neurale netværker har været forsøgt anvendt til bl.a. forudsigelse af betonkonstruktioners egenskabsudvikling over tid (Hansen, Enevoldsen & Munch- Petersen, 13). I dette pilotprojekt blev et neuralt netværk trænet til at forudsige revneskadeomfanget i betonkonstruktionsdele i motorvejsbroer. Overensstemmelsen mellem revneskadeomfanget forudsagt af det neurale netværk og det observerede revneskadeomfang var ikke god. Betons modstandsevne overfor frostnedbrydning er blevet forsøgt modelleret vha. et neuralt netværk (Hasholdt, 2002). Erfaringerne fra projektet viste, at det neurale netværk havde problemer at forudsige ekstreme værdier. Overensstemmelsen mellem frostbestandigheden forudsagt af det neurale netværk og det i laboratoriet målte frostbestandighed var ikke god.

12 $ $ Probabilistiske giver i stedet for en fast værdi for levetiden af en bygningsdel (fx 55 år) en værdi, der ikke kan fastlægges eksakt men kan karakteriseres vha. af statiske begreber som middelværdi, spredning og sandsynlighed. % Beregningsmetoden successiv kalkulation er på elegant vis foreslået benyttet til beregning af levetid af bygningsdele (Aarseth og Hovde, 1). Successiv kalkulation (Lichtenberg, 10, 2000) er en beregningsmetode der ved projektplanlægning anvendes til estimering af projektomkostninger (fx kan metoden benyttes ved afgivelse af tilbud i forbindelse med licitationer). Metoden adskiller sig fra ISO faktormetoden ved at levetiden nedbrydes i elementer. Betegnelsen elementer benyttes da de skal adderes og ikke multipliceres således som faktorerne skal. Der benyttes en elementopdeling svarende til opdelingen i faktorer i ISO faktormetoden, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. En vigtig bestanddel af elementmetoden består i et tredobbelt skøn over de indgående elementers størrelse, i form af en mindste værdi af elementet, en største værdi af elementet og den mest sandsynlige værdi af elementer, se Fejl! Ukendt argument for parameter..? & ) ; + &#=?,!222> Ud fra det tredobbelte skøn kan middelværdien kan beregnes som l + 2,5m + h f = 4,5 og spredningen kan beregnes som h l s = 4,6 hvor l = den mindste værdi af elementet h = den største værdi af elementet m = den mest sandsynlige værdi af elementet Metoden har følgende fremgangsmåde 1 Fastlæg bygningsdelens referencelevetid, RSLC (år). 2 For hvert af de indgående elementer foretages et tredobbelt skøn (l, h og m) på hvor mange år elementet ændrer (forkorter og/eller forlænger) referencelevetiden. Der skønnes i følgende rækkefølge.

13 2.1. Skøn den mindste værdi, l, af elementet Skøn den største værdi, h, af elementet Skøn den mest sandsynlige værdi, m, af elementet. 3 Beregn f og s for hvert element 4 Summér f 5 Beregn levetiden ESLC som ESCL = RSLC + sum f 6 Beregn spredningen på levetiden som s 2 Tabel Fejl! Ukendt argument for parameter. viser et eksempel på en beregning af levetiden for et vindue med elementmetoden. ' < + =?, $!222> & &< Den efterfølgende beskrivelse af Markovkæder stammer fra (Abraham & Wirahadikusumah, 1). Stokastiske processer er processer der udvikler sig over tid på en måde der beskrives vha. af sandsynlighedsbegrebet. I en nedbrydningsmodel, kan de stokastiske processer X 1, X 2, X 3,... repræsentere samlingen af tilstandskarakterer af en bygningsdel fremkommet ved tilstandsvurdering ved jævne mellemrum, fx 5 år. Til ethvert tidspunkt t kan bygningsdelens tilstand beskrives ved én og kun en af et endeligt antal indbyrdes forskellige og udtømmende kategorier eller tilstande. Der kan, som i det efterfølgende, fx benyttes 5 tilstande svarende til tilstandsvurderinger med karakteren 1-5, hvor karakteren 1 er den optimale tilstand af bygningsdelen og 5 svarer til en kritisk tilstand. En stokastisk proces kaldes en Markovkæde, hvis den besidder Markovegenskaben, dvs. den betingede sandsynlighed af enhver fremtidig hændelse, givet enhver tidligere hændelse og den aktuelle tilstand X t = i, er uafhængig af den tidligere hændelse og kun afhænger af den nuværende tilstand. Markovegenskaben kan matematisk udtrykkes som P ( X P(X t+ 1 t+ 1 = i = i t+ 1 t+ 1 X X t t = i, X = i ) t t t-1 = i t-1,..., X 1 = i, X 1 0 = i 0 ) = (2) For at reducere kompleksiteten af analysen antages den fremtidige tilstand af bygningsdelen kun at afhænge af den nuværende til tilstand og at være uafhængig af den hidtidige tilstand. Det antages endvidere at for alle tilstande i og j og alle t er P(X t+1 = i t+1 X t = i t ) uafhængig af t. Sandsynligheden p ij, for at bygningsdelens tilstand er i tilstand i til tiden t og at den til være i til-

14 standen j til tiden t+1 ændrer sig ikke over tid (dvs. forbliver stationær, med mindre genopretning foretages eller andre eksterne faktorer ændrer sig. Denne stationære antagelse udtrykkes matematisk ved ligning (3) P (X = j X = i) = p t+1 t ij (3) Begrebet overgang benyttes, når systemet flytter sig fra tilstand i i én perioden til tilstand j gennem den næste periode. Tilsvarende betegnes sandsynlighederne p ij, for overgangssandsynlighederne. Overgangssandsynligherne vises sædvanligvis som en m x n matrix kaldet overgangssandsynlighedsmatricen P. For at forenkle beregningerne antages det af bygningsdelen nedbrydes med en tilstand i en overgangsperiode. Derfor er overgangssandsynlighedsmatricen givet ved p11 p p 22 p P = 0 0 p 0 33 p34 (4) p44 p Den førnævnte overgangssandsynlighedesmatrix er for ét-trinsovergang (en periode) overgang. n-trinsovergangssandsynlighedsmatricen P (n) for en proces der er i tilstand i og kommer i tilstand j efter n perioder (i modsætning til i næste periode) beregnes ved anvendelse af Chapman- Kolmogorovligningen: P (n) = P n. n-trinsovergangssandsynlighedsmatricen findes ved at tage den n te rod af éttrinsovergangsmatricen. Markovmetoder har bl.a. været anvendt til beskrivelse af udviklingen af tilstandskarakter for afløbsrør i plast, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. &&& ## ) &!, # ) &< &=?, $ J, &,!222> %*-G I EU-projektet EPIQR (Energy Performance and Indoor Environmental Quality Retrofit) benyttes levetidsmodellen MEDIC (Flourentzou, Brandt, & Wetzel,1). EPIQR er en metode der er udviklet til at hjælpe arkitekter, ingeniører og andre der arbejder med renovering og genopretning af boligbyggeri.

15 MEDIC metoden stammer fra Frankrig (MER-metoden) og er ifølge (Flourentzou, Brandt, & Wetzel,1) videreudviklet i Schweiz under navnet ME- BI (Genre, 15; Mayer et al., 15). I MEDIC-metoden skelnes mellem tre nedbrydningskurver for bygningsdele: L max under gunstige forhold (god elementkvalitet, beskytte beliggenhed, godt vedligehold, etc.) L Ø under normale forhold L min for ugunstige forhold (lav elementkvalitet, udsat beliggenhed, dårligt vedligehold, etc.) Fire tilstandsklasser benævnt henholdsvis a, b, c og d benyttes ved tilstandsvurdering til beskrivelse af elementets tilstand: a: god tilstand b: mindre nedbrydning c: mere alvorlig nedbrydning d: udskiftning nødvendig. I EPIQR er der udviklet et edb-hjælpeværktøj der benyttes ved udførelse af tilstandsvurderinger, hvor tilstandsklassen for bygningsdelene i en bygning fastlægges. Værktøjet indeholder skærmbilleder, der kan benyttes til beslutningsstøtte ved tilstandsvurderingen, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Skærmbillederne viser typiske eksempler på tilstandsklasserne a-d for den aktuelle bygningsdel. Billedeksemplerne er ledsaget af beskrivende hjælpetekster, der letter fastlæggelsen af tilstandsklassen. Endelig giver skærmbilledet mulighed for at inddatere den aktuelle tilstandsklasse, der gemmes i computeren og benyttes ved rapporteringen og vurdering af restlevetiden. &< %/ -K ( &< ) &&) ) &+!&< & '&) &, < ) &%&<, &+ & Figur Fejl! Ukendt argument for parameter. viser den i MEDIC anvendte sammenhæng mellem tilstandsklasser og nedbrydningskurver for facadebeklædninger.

16 . &%*-G+ ; + &< = L!'!$ J L!222> Videnbasen i metoden er implementeret i form af 4 sandsynlighedskurver for hver bygningsdelstype, som metoden kan behandle, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Kurverne viser til et givent tidspunkt i en bygningsdels liv sandsynligheden for at tilstandskarakteren er henholdsvis a, b, c eller d. ", && ; &< %&) -# ; &<, + &&!3 ; &<, M,, && M,, &&% ; + &<,, M!M M,,, &&! ; %2 ; &< 22M,, #& : Rummet Q{0, 1} beskriver universet af alle bygningsdele i en given bygning. Ethvert specifikt element, q, befinder sig et eller andet sted imellem o eller 1 på y-aksen alt afhængigt af dets kvalitet. Når det forudsættes at nedbrydningen af en bygningsdel følger en kurve affin til L min, L max eller L Ø i Fejl! Ukendt argument for parameter., og hvis tilstanden (placeringen på y- aksen) af bygningsdelen er kendt kan tidspunktet for overgang fra en tilstand til en anden aflæses Hvis q er en specifik bygningsdel, q Q, svarer værdien q = 0 til en bygningsdel med en lang levetid, idet alle overgange fra én tilstand til en anden finder sted efter meget lang tid. Dette svarer til L max i Fejl! Ukendt argument for parameter.. En bygningsdel med værdien q = 1 svarer i modsætning hertil til worst case. Det svarer til L min i Fejl! Ukendt argument for parameter.. Værdien q = 0,5 svarer til L Ø. Rummet Q = {0, 1} betegnes kvalitetsrummet. I praksis er det umuligt at bestemme den præcise beliggenhed af en specifik bygningsdel i Q-rummet, men det er muligt at definere eller vurdere et område i hvilket det sandsynligvis befinder sig. En

17 bygningsdel med lav kvalitet vil fx høre til området q {0,5, 1} medens en bygningsdel med god kvalitet hører til området q {0, 0,5}.! % Hvis det vides, at q {0, B}, bliver den betingede sandsynlighed P( tilstand i q {0, B}) = P(tilstand i )/ (5) Hvis q {B, 1} bliver (5) P(tilstand i) B P( tilstand i q { B,1}) = (6) 1 B i {a, b, c, d}. - &&& ) && & Af Fejl! Ukendt argument for parameter. ses det at det intervallet for den sandsynlige overgang fra tilstand a til tilstand b er fra det 12. til det 26. år, dvs. et interval på 14 år. Når det vides, at q {0, B} indsnævres det sandsynlige overgangstidspunkt til intervallet 1-26 år, dvs. et interval på år. Det nye sandsynlige interval for overgang fra tilstand b til c er fra det 34. til det 50. år, og det nye sandsynlige interval for overgang fra c til d er fra det 50. til det 5. år. Det ses, at kendskab til q {0, B} formindsker spredningen på den sandsynlige restlevetid betragteligt.! % Det forudsættes i det efterfølgende, at bygningsdelenes tilstandsklasse er kendt fra en tilstandsvurdering. Endvidere forudsættes det, at bygningsdelenes alder er kendte fra det generelle kendskab til bygningen, hvori de indgår. Ved at kombinere viden om tilstandsklassen og alderen er det muligt at fastlægge det underrum q, som bygningsdelene tilhører, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. For at gøre dette er tegnes en linie (pilen mærket 1) fra bygningsdelens alder til skæringen med kurven mellem arealet for elementets tilstandsklasse og naboarealet/naboarealerne. Derefter tegnes en linie (pilen mærket 2) fra skæringspunktet til y-aksen for at bestemme punktet B. For eksempel som vist i figuren for tilstandsklasse c skærer linien kurven mellem arealerne for tilstandsklasserne b og c. Kvalitetsunderrummet (quality subspace) bliver q ={B, 1}, se Fejl! Ukendt argument for parameter., idet tilstandsklassen er ændret fra b to c. (I tilfælde af at der er to skæringspunkter tegnes to lodrette linier og underrummet bestemmes som afstanden mellem den mindste og den højeste værdi af y). Eftersom der er valgt en probabilistisk tilgang, er den sandsynlige restlevetid ikke et enkelt tal men et interval. For at finde den sandsynlige restlevetid bestemmes punktet hvor sandsynligheden for at have tilstandsklassen d er 50 %, dvs. hvor y = (1+B)/2 skærer den næste overgangskurve (kurven der adskiller P(c) og P(d)). En linie (pilen mærket 3) tegnes lodret fra dette punkt til skæring med x-aksen. Forskellen mellem dette punkt og alderen af bygningsdelen giver den sandsynlige restlevetid L mean. På kurven bestemmes den øvre og den nedre grænse for det sandsynlige interval for L som henholdsvis skæringen med kurven med y = B og Y = 1. 3

18 ( ; &< + &; %&) ; &< ) &; " + q = {B, 1}! *!&< &/ &<!) &H! bliver P(mindst tilstandsklasse c, t = 30 år) = 0.4* &!B = 0.76B =:> 6P(tilstandsklasse c, t=35 år tilstandsklasse a, t=30 år) = (P(mindst tilstandsklasse c, t=30 år)-b) / (1-B) = ( ) / (1-0.76) = 0.75 *) & ; &< M &!2M &!M &; :M &. < & ) #;, &; 3M M &=& &&+ > A

19 I Fejl! Ukendt argument for parameter. er fordele og ulemper ved de præsenterede metoder sammenlignet. ) ) < + ) %& ' " & %) &. E& < + & &=& - 0 & %& 0 ) ; ) < &. < & " ) < & " & ) & ) $ $ % & & < > " ) & %) & %) & " < %&) ) ; ; %& *&&, & &. ; & +?&&) & &&, %) & & &< &&, " < + %*-G?) & &&, %) & " ) & " < + %) & " ) & 2

20 Aarseth, L. I., & Hovde, P. J. (1). A stochastic approach to the factor method for estimating service life. I Lacasse, M. A., & Vanier, D. J. (Eds.), Procs. th Int. Conf. Durability of Building Materials and Components, Vancouver May 30 - June 3, 1. Vol. 2, pp Ottawa: NRC Research Press. ABFnyt (11). ABF-Håndbogen. København. Abraham, D. M. & Wirahadikusumah, R. (1). Development of prediction models for sewer deterioration. I Lacasse, M. A., & Vanier, D. J. (Eds.), Procs. th Int. Conf. Durability of Building Materials and Components, Vancouver May 30 - June 3, 1. Vol. 2, pp Ottawa: NRC Research Press. Brandt, E. (2003). Levetid af materialer og komponenter. By og Byg Resultater. Under udgivelse. Byggeriets udviklingsråd (15). Planlægning af driftsvenligt byggeri en anvisning. København. Byggeriets udviklingsråd. (2000). Årsomkostningsanalyse Beskrivelse og brugervejledning for beregningsmodellen. Hørsholm: Byggecentrum. Ditlevsen, O. & Madsen, H. O. (10). Bærende konstruktioners sikkerhed (SBI-rapport 211). Hørsholm: Statens Byggeforskningsinstitut. Flourentzou, F., Brandt, E., & Wetzel, C. (1). MEDIC a method for predicting residual service life and refurbishment investments budgets. I Lacasse, M. A., & Vanier, D. J. (Eds.), Procs. th Int. Conf. Durability of Building Materials and Components, Vancouver May 30 - June 3, 1. Vol. 2, pp Ottawa: NRC Research Press. Forsikring og Pension. (2001). Levetidstabeller Bygningsforsikring for 1- og 2-familiehuse samt fritidshuse. København: Forsikring og Pension. Oktober Genre J.-L. (15). MEBI - Méthode d'evaluation de Budgets d'investissements. Lausanne: LESO-PB, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne. Hansen, M. H., Enevoldsen, K., & Munch-Petersen, C. (13). Pilotprojekt til belysning af mulighederne for anvendelse af et neuralt netværk til beskrivelse af betonkonstruktioners egenskabsudvikling. Hørsholm: DTI Byggeteknisk Institut, Dansk Betoninstitut a/s og Vejdirektoratet. 2 pp. Hasholt, M. T. (2002). Modelling concrete frost resistance by using an artificial neural network. Tåstrup: Dansk Teknologisk Institut. Hovde P.J. (1), Evaluation of the factor method to estimate the service life of building components, Proc. CIB World Building Congress, Gävle 1. Hovde P.J. (2000). Factor methods for service life prediction. A state-of-theart, Draft report NTNU, Trondheim.

21 International Organization for Standardization. (2000). ISO :2000. Building and constructed assets Service life planning. Part 1: General Principles. Geneve. International Organization for Standardization. (2001). ISO :2001. Building and constructed assets Service life planning. Part 2: Service life prediction procedures. Geneve. International Organization for Standardization. (2001). ISO :2002. Building and constructed assets Service life planning. Part 3: Performance audits and reviews. Geneve. Lichtenberg, S. (10). Projektplanlægning i en foranderlig verden. 2. udg. Lyngby: Polyteknisk forlag. Lichtenberg, S. (2000). Proactive management of uncertainty using the successive principle a practical way to manage opportunities and risks. Lyngby: Polyteknisk forlag. Mayer P. et al. (15). Vieillissement des éléments de construction et coûts d entretien. Program PI BAT. Zurich: Swiss Federal Office for Economic Policy.

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111

Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111 Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111 Miljø og Teknik Svendborg Kommune April 2011 Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111 1. Fremtidens permanente havstigning Den globale

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

Byggeøkonomuddannelsen

Byggeøkonomuddannelsen Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver

Læs mere

Slide 1. Slide 2. Slide 3. Byggeøkonomuddannelsen. Dagens emner. Usikkerheds- og risikoanalyse. Risikoanalyse Successiv kalkulation

Slide 1. Slide 2. Slide 3. Byggeøkonomuddannelsen. Dagens emner. Usikkerheds- og risikoanalyse. Risikoanalyse Successiv kalkulation Slide 1 Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Slide 2 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser

Læs mere

Praktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter

Praktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter Praktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter Estimering af IT projekter har gennem tiderne altid været en særdeles vanskelig disciplin, og der findes næppe den eller de metoder der

Læs mere

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden d. 6.10.2016 De Økonomiske Råds Sekretariat Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden Dette notat redegør for de stabilitetstest af forskellige tidsserier vedrørende investeringsadfærden i

Læs mere

Notat vedr. Levetider - status på vurderingsmetode og procedure for vurderingspanelet samt status for faktormodellen for tegltage: nye og gamle

Notat vedr. Levetider - status på vurderingsmetode og procedure for vurderingspanelet samt status for faktormodellen for tegltage: nye og gamle 1. udkast Notat vedr. Levetider - status på vurderingsmetode og procedure for vurderingspanelet samt status for faktormodellen for tegltage: nye og gamle GENERELT Panelet Formål og afgrænsning Mål Formålet

Læs mere

Totaløkonomi principper og perspektiver

Totaløkonomi principper og perspektiver Totaløkonomi principper og perspektiver Seniorforsker, ph.d. Kim Haugbølle Statens Byggeforskningsinstitut/Aalborg Universitet Byggeøkonomisk Netværk Arkitekternes Hus, 13. december 2011 khh@sbi.dk Disposition

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Kræver generelt at diverse ventetider er eksponentialfordelte. Faste rammer for serverdiscipliner mv. Svært at modellere ikke-standard køsystemer.

Kræver generelt at diverse ventetider er eksponentialfordelte. Faste rammer for serverdiscipliner mv. Svært at modellere ikke-standard køsystemer. Opsamling eksakte modeller Fordele Praktiske til initierende analyser/dimensionering Ofte nemme at regne på. Kan bruges til at løse optimeringsopgaver, som ellers ville kræve snedige simulationsdesigns.

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Rapport nr.: 77 Titel Hvordan skal forekomsten af outliers på lugtmålinger vurderes? Undertitel - Forfatter(e) Arne Oxbøl Arbejdet udført, år 2015

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

OPP Kalvebod Brygge. Bilag 5 // Overdragelse af aktivet

OPP Kalvebod Brygge. Bilag 5 // Overdragelse af aktivet Bilag 5 // Overdragelse af aktivet Indholdsfortegnelse Side 1 Indledning 2 2 Aktivets tilstand ved ophør 2 3 Løbende tilstandsvurdering 2 4 Gennemgang af Aktivet 3 5 Levetid 4 1 Indledning Nærværende dokument

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14

5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14 Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5

Læs mere

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.

Plan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm. Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

UNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7

UNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7 UNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7 Baggrund: Risk Management (RM) er i dag et væsentligt fundament for at kunne håndtere store og komplekse projekter - herunder at kunne

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Totaløkonomi tendenser, grundlag og eksempler

Totaløkonomi tendenser, grundlag og eksempler Totaløkonomi tendenser, grundlag og eksempler Seniorforsker, ph.d. Kim Haugbølle Statens Byggeforskningsinstitut/Aalborg Universitet Byggeøkonomisk Netværk Arkitektskolen i Aarhus, 16. februar 2012 khh@sbi.dk

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Rapport. Sammendrag. Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet. Chris Claudi-Magnussen

Rapport. Sammendrag. Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet. Chris Claudi-Magnussen Rapport Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet Afprøvning af mørhedsmåling med LabSpec Portable Spectrometer og VideometerLab 2. august 2010 Proj.nr. 1378902 Version 1 Chris

Læs mere

TOTALØKONOMISKE VURDERINGER Dokumentation for

TOTALØKONOMISKE VURDERINGER Dokumentation for TOTALØKONOMISKE VURDERINGER for web-applikation Wep-applikation Side 1 af 9 Indhold Generelt... 3 1 Baggrund... 3 1.1 Nuværende lovgrundlag... 3 1.2 Formål... 3 2 Beregningsmetoder... 3 2.1 Hovedprincip...

Læs mere

Præcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden

Præcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden Præcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden 2005-2012 Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 7. april 2014 30. april 2014 Søren

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra

Læs mere

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1

Mikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

BEREAL BEREGNET VS. FAKTISK ENERGIFORBRUG

BEREAL BEREGNET VS. FAKTISK ENERGIFORBRUG BEREAL BEREGNET VS. FAKTISK ENERGIFORBRUG NYT VÆRKTØJ TIL UNDERSØGELSE AF BYGNINGSPERFORMANCE - FORECAST OG ANALYSE STEFFEN PETERSEN ASSOCIATE PROFESSOR STP@ENG.AU.DK DANVAK DAGEN 5. april 2017 UNI VERSITET

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske

Læs mere

Beregning af energibesparelser

Beregning af energibesparelser Beregning af energibesparelser Understøtter energibesparelser den grønne omstilling? Christian Holmstedt Hansen, Kasper Jessen og Nina Detlefsen Side 1 Dato: 23.11.2015 Udarbejdet af: Christian Holmstedt

Læs mere

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen.

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 SDEA...

Læs mere

Hvad siger statistikken?

Hvad siger statistikken? Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;

Læs mere

12 TOLERANCER 1 12 TOLERANCER

12 TOLERANCER 1 12 TOLERANCER 12 TOLERANCER 12 TOLERANCER 1 12.1 Tolerancer 2 12.1.1 Betonelementers mål 2 12.1.2 Byggepladsmål 2 12.1.3 Grundlæggende tolerancebegreber 3 12.1.4 Vejledende beregning til valg af toleranceangivelser

Læs mere

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable

Center for Statistik. Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Center for Statistik Handelshøjskolen i København MPAS Tue Tjur November 2006 Multipel regression med laggede responser som forklarende variable Ved en tidsrække forstås i almindelighed et datasæt, der

Læs mere

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.

Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test. Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt

Læs mere

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2

Økonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2 Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation

Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Designguide for bestemmelse af russervinduers lydisolation Rapport udarbejdet af Lars S. Søndergaard Henrik S. Olesen DELTA DELTA Venlighedsvej 4 2970 Hørsholm Danmark Tlf. +45 72 19 40 00 Fax +45 72 19

Læs mere

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER Undervisningseffekten udregnes som forskellen mellem den forventede og den faktiske karakter i 9. klasses afgangsprøve. Undervisningseffekten udregnes

Læs mere

Kapitel 13 Reliabilitet og enighed

Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 Version 11. april 2011 1 / 23 Indledning En observation er sammensat af en sand værdi og en målefejl

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Regneark til bestemmelse af CDS- regn

Regneark til bestemmelse af CDS- regn Regneark til bestemmelse af CDS- regn Teknisk dokumentation og brugervejledning Version 2.0 Henrik Madsen August 2002 Miljø & Ressourcer DTU Danmark Tekniske Universitet Dette er en netpublikation, der

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

En intro til radiologisk statistik. Erik Morre Pedersen

En intro til radiologisk statistik. Erik Morre Pedersen En intro til radiologisk statistik Erik Morre Pedersen Hypoteser og testning Statistisk signifikans 2 x 2 tabellen og lidt om ROC Inter- og intraobserver statistik Styrkeberegning Konklusion Litteratur

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion

Læs mere

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen

Læs mere

ÅRSAG OG VIRKNING I ØKONOMIEN

ÅRSAG OG VIRKNING I ØKONOMIEN ÅRSAG OG VIRKNING I ØKONOMIEN OM NOBELPRISMODTAGERNE I ØKONOMI 2011 Thomas J. Sargent og Christopher A. Sims Præsentation på Statens Naturhistoriske Museum Nobelkavalkade 2012 d. 25/1 2012 ved Professor

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47

BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 Morten Källberg (kallberg@imada.sdu.dk) 22/11-2005 1 Probabilistiske modeller Vi vil i det følgende betragte to forskellige måder at evaluerer en given model

Læs mere

Modul 12: Regression og korrelation

Modul 12: Regression og korrelation Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................

Læs mere

HVORFOR BRUGER EU S HORIZON 2020PROGRAM 37 MIO KRONER PÅ FORSKNING OM INDVENDIG EFTERISOLERING? ERNST JAN DE PLACE HANSEN SENIORFORSKER, SBI

HVORFOR BRUGER EU S HORIZON 2020PROGRAM 37 MIO KRONER PÅ FORSKNING OM INDVENDIG EFTERISOLERING? ERNST JAN DE PLACE HANSEN SENIORFORSKER, SBI HVORFOR BRUGER EU S HORIZON 2020PROGRAM 37 MIO KRONER PÅ FORSKNING OM INDVENDIG EFTERISOLERING? ERNST JAN DE PLACE HANSEN SENIORFORSKER, SBI Baggrund 40 % af energiforbruget i Europa sker i bygninger (opvarmning,

Læs mere

Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1. Armeringsstål Klasse A eller klasse B?

Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1. Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1 Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen 13. august 2007 Bjarne Chr. Jensen Side 2 Introduktion Nærværende lille notat er blevet til på initiativ af direktør

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS

Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 1 Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 2 Ansvar Programmet anvendes helt på eget ansvar, og hverken programmør eller distributør kan

Læs mere

Modellering 'State of the future'

Modellering 'State of the future' Modellering 'State of the future' Henrik Madsen DTU Informatics 26. maj, 2011 Baggrund Stigende fokus på sikker drift af afløbssystemer dvs maximal sikkerhed for overløb, slamflugt mv. Målingerne (eksempelvis

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Århus 8. april 2011 Morten Frydenberg Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Opgave 1 ( gruppe 1: sp 1-4, gruppe 5: sp 5-9 og gruppe 6: 10-14) I denne opgaveser vi på et

Læs mere

Modellering med Målskytten

Modellering med Målskytten Modellering med Målskytten - Et undervisningsforløb i WeDo med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Målskytten - et modelleringsprojekt i matematik ved hjælp

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Fejl, mangler og sikkerhed i byggeriet

Fejl, mangler og sikkerhed i byggeriet Byggeskadefondens orienteringsmøder Efteråret 2005 Fejl, mangler og sikkerhed i byggeriet Jørgen Nielsen Jens Dons Program Begreber og perspektivering Siemens Arena og andre kollapser Fokus på sikkerheden

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne

Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne Bestemmelse af hydraulisk ledningsevne Med henblik på at bestemme den hydrauliske ledningsevne for de benyttede sandtyper er der udført en række forsøg til bestemmelse af disse. Formål Den hydrauliske

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere