Udkast version Fejl! Ukendt argument for parameter. Morten Hjorslev Hansen, Kim Haugbølle & Erik Brandt
|
|
- Eva Mikkelsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Udkast version Fejl! Ukendt argument for parameter. Morten Hjorslev Hansen, Kim Haugbølle & Erik Brandt By og Byg Statens Byggeforskningsinstitut 2003
2 !" #$ %&' (& ) *& +, %, % - '. -. / &, 0 & ' ' ' &! / 0 ' 1 2!*" +23 #, %+) & & %&!&&
3
4 Indhold... 4 Levetid... 5 Deterministiske metoder... 6 Levetidstabeller... 6 Forsikring og Pension... 6 BUR Planlægning af driftsvenligt byggeri... 7 Årskostnadsanalyse... ABF-Håndbogen... Nedbrydningsmodeller... ISO faktormetoden Neurale netværk Probabilistiske metoder Elementmetoden Markovkæder MEDIC Betingede sandsynligheder Bestemmelse af den sandsynlige restlevetid Diskussion... 1 Litteratur... 20
5 Denne rapport beskriver modellering af levetid for bygningsdele. Dele af rapporten er baseret på (Brandt, 2003). Levetid defineres som den tid et materiale eller en konstruktions essentielle egenskaber opfylder de ydeevnekrav, der er stillet. Ydeevnekravet til et tag kan fx være at det er tæt overfor nedbør.
6 Deterministiske metoder giver et fast tal for levetiden, fx 55 år. Deterministiske metoder suppleres af de probabilistiske metoder, der beskrives i næste kapitel. Brugen af levetidstabeller er nok den mest anvendte metode til forudsigelse af bygningsdeles levetid. I det efterfølgende beskrives en række ofte anvendte levetidstabeller I Danmark benyttes bl.a. Forsikring og Pensions levetidstabeller (Forsikring og Pension, 2001). Tabellerne angiver skønnede restlevetider i procent i forhold til nyt, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Optegnes de skønnede restlevetider som funktion af alderen fås et indtryk at de anvendte levetidskurver, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. &#) ; < % = @ = > & # =) ; > # =) ; > # =) ; > 23 2 : 2 A2 A A A3 A 32 3 : : : :: A A 2 2 :, ) < &&! ) &<
7 ) &, < & &&! ) ) & B & & ) ;, =&) ) ; < &; + > ) #&! &< &,! & ) ) ) < (, =) ; > A : : A?= # B, & ') = & /!>! " # $ % En anden ofte citeret dansk levetidstabel findes i BUR rapporten om planlægning af driftsvenligt byggeri (Byggeriets udviklingsråd, 15). Rapporten er baseret på et projektet støttet af BUR. Initiativtagerne til projektet var P&T s bygningstjeneste og Undervisningsministeriets Byggedirektorat. I Fejl! Ukendt argument for parameter. er der gengivet et uddrag af levetidstabellen i rapporten. I bemærkningerne til tabellen understreges det, at De anførte levetider kan anvendes ved totaløkonomiske sammenligninger mellem alternativer, men ikke ved beregning af de faktiske levetidsomkostninger. =%' &! 2A> B B -. * %(?(C!) <, B,,, '" B -. * %(?/? (#, B -. * %(?%? (#, D (% E%0 " (-. EB -. * %( & < < = #># ) %? - " E%0 " (-. EB -. * %( *B %. *-E '=> 3
8 & < < ) & = #+ >#, %? - " E%0 " (-. EB -. * %(-. *B %. *-E & % Den norske stats ejendomsselskabs Statsbygg har i samarbejde med Teknologisk institutt i Norge udviklet IT-værktøjet Årskostnadsanalyse til beregning af huslejen for de ejendomme, som Statsbygg udlejer til offentlige lejere. Værktøjet indeholder tabeller, der beskriver vedligeholdsinterval og levetid, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Værktøjet er oversat til dansk og udgivet af Byggeriets Udviklingsråd (Byggeriet Udviklingsråd, 2000)., &# =' &!> ' ( )! % * +,! % F *%(B C EE% < : A -!.+ $ ABF-håndbogen (ABFnyt, 11) indeholder afskrivningsprofiler for bygningsdele, der anvendes i forbindelse med overdragelse af andele til fastsættelse af de afskrivninger, der foretages ved vurdering af værdien af individuelle forbedringer, se Fejl! Ukendt argument for parameter..?&) ) &!, & =?'+!22> A
9 Afskrivningskurverne anvendes sammen med en tabel, der angiver over hvor mange år afskrivningen skal foretages, se Fejl! Ukendt argument for parameter..?& %=?'+!22> B -. * %( 0 ), < &< ) 0 )!&+ B & <?&. Der findes en lang række teorier og matematiske modeller der beskriver, hvorledes materialer og konstruktioner nedbrydes under givne påvirkninger. Disse modeller er vid udstrækning af empirisk natur og beskriver i almindelighed kun et enkelt nedbrydningsmekanisme ad gangen. I eksemplet herunder beskrives en model for armeringskorrosion i beton forårsaget af indtrængende chlorid. Eksempel %&) ) &, ) ) ;, + < %&& & ), +? & &!1! & & ), # ) +<! ) # ;, 1 #) ) + & ) <! &&; < && %) & & ;,, # ) & ;, < < &+!&; &! &)!& 2 C C = D 2 t x, C;, & ; >!t =>!D ;, + & ; x => <! ;, & ; =& >C o & =+, < > & ;, & ; C i & = ># &!, + < & ;, & ; D&!, < ;, & ; ) + < &!&;, & ; C krit # & &# 6 x t = D 2 erf 1 1 C krit Co Ci Co 2 2
10 , + & * # & &! 1 < ; ) < B &, & ) & & &, ;, & ; ' +,! < ;, &) <! &&&1 G0 =& 1 > G=0 >=; ;, 1 > ) #) < & *0 + ) < &!, # ) +< ) & &. 0 + G0 GG0 =; ; & > 0 + +& ;! )!*) ; & &? ) ; & 1 &+&& - 0 & ISO faktormetoden er baseret på anvendelse af en referencelevetid og en række faktorer, som benyttes til at modificere den, (International Organization for Standardization, 2000; 2001; 2002) Man kan betragte faktormetoden som en måde at koble indflydelsen af hver af de indgående faktorer. Den kan derfor også bruges, hvis der er (mindre) afvigelser mellem de forudsete brugsområder og det aktuelle brugsområde. Den levetid der fremkommer som resultat af brugen, er ikke en endegyldig sandhed, men et empirisk estimat baseret på de tilgængelige oplysninger. Med det nuværende videnniveau er det måske mere korrekt at sige, at metoden giver mulighed for en mere objektiv sammenligning og analyse, end at den giver et retvisende billede af levetiden. Under alle omstændigheder vil et bedre og mere sikkert grundlag resultere i et mere korrekt resultat. Antallet af faktorer kan diskuteres, idet der med flere faktorer må forventes en bedre nøjagtighed, men samtidig vil brugen kompliceres. En mere tilbundsgående diskussion af faktormetoden er givet i (Hovde, 1) og Hovde (2000). Faktormetoden kan anvendes både til materialer, komponenter og sammensatte bygningsdele. Man skal være opmærksom på, at ved sammensatte bygningsdele vil der indgå samlinger/fuger, og der kan optræde forskellige brugspåvirkninger på de forskellige dele. I ISO regi benyttes i Fejl! Ukendt argument for parameter. angivne modifikationsfaktorer. & & - 0 :A: & & &? )! )!)!!, ' * -!& && G " # " ) )! &&, # & & &) + & &) + & # * -#,?!+!& % #, #!& &! +,! =&> ') & &&) &!&! & E B, " &,! <,
11 Alle de nævnte faktorer kan påvirke levetiden af et materiale eller en komponent. Levetiden kan derfor udtrykkes som: L est = L ref A B C D E F G (1) Hvor L est er den estimerede levetid og L ref er referencelevetiden (i ISO 1566 benyttes henholdsvis betegnelserne ESLC og RSLC). Faktorerne kan fastsættes på forskellig vis. Hvis der fx er erfaring for at samme type produkt anvendt et sted med hård belastning giver en reduktion i levetiden på 30% bør denne viden afspejle sig i valget af faktor F, som derfor kan vælges til 0,7. Tilsvarende vil det være naturligt at benytte den viden/erfaring der findes ved fastsættelse af de øvrige faktorer. En simpel måde er at sætte faktoren til 1 for neutrale forhold, 0, for faktorer der forventes at forkorte levetiden og 1,2 for faktorer der forventes at forlænge levetiden. Herunder gengives et lettere modificeret eksempel fra udkastet til ISO %&) 6< %&), < *< & < + &!, =, >! (;?B ; ) <!&*B " &! '?; ) & &&&!A G? # &! *-< ) &&! % #) &&, &! ') & &! EB, #, =>&! H I!I!AI!I!I!I!I!H! Under hensyntagen til den store usikkerhed der er forbundet med at estimere levetiden er det ikke rimeligt at angive levetiden nøjagtigt, så det foreslås, at der i det mindste rundes af til nærmeste hele tal. I stedet kunne ovenstående vurdering suppleres med en statistisk vurdering af resultatet. I (Aarseth og Hovde, 1) er der foreslået en simpel metode til at fastlægge estimatet som et interval i stedet for som en enkelt værdi.. < & Neurale netværker har været forsøgt anvendt til bl.a. forudsigelse af betonkonstruktioners egenskabsudvikling over tid (Hansen, Enevoldsen & Munch- Petersen, 13). I dette pilotprojekt blev et neuralt netværk trænet til at forudsige revneskadeomfanget i betonkonstruktionsdele i motorvejsbroer. Overensstemmelsen mellem revneskadeomfanget forudsagt af det neurale netværk og det observerede revneskadeomfang var ikke god. Betons modstandsevne overfor frostnedbrydning er blevet forsøgt modelleret vha. et neuralt netværk (Hasholdt, 2002). Erfaringerne fra projektet viste, at det neurale netværk havde problemer at forudsige ekstreme værdier. Overensstemmelsen mellem frostbestandigheden forudsagt af det neurale netværk og det i laboratoriet målte frostbestandighed var ikke god.
12 $ $ Probabilistiske giver i stedet for en fast værdi for levetiden af en bygningsdel (fx 55 år) en værdi, der ikke kan fastlægges eksakt men kan karakteriseres vha. af statiske begreber som middelværdi, spredning og sandsynlighed. % Beregningsmetoden successiv kalkulation er på elegant vis foreslået benyttet til beregning af levetid af bygningsdele (Aarseth og Hovde, 1). Successiv kalkulation (Lichtenberg, 10, 2000) er en beregningsmetode der ved projektplanlægning anvendes til estimering af projektomkostninger (fx kan metoden benyttes ved afgivelse af tilbud i forbindelse med licitationer). Metoden adskiller sig fra ISO faktormetoden ved at levetiden nedbrydes i elementer. Betegnelsen elementer benyttes da de skal adderes og ikke multipliceres således som faktorerne skal. Der benyttes en elementopdeling svarende til opdelingen i faktorer i ISO faktormetoden, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. En vigtig bestanddel af elementmetoden består i et tredobbelt skøn over de indgående elementers størrelse, i form af en mindste værdi af elementet, en største værdi af elementet og den mest sandsynlige værdi af elementer, se Fejl! Ukendt argument for parameter..? & ) ; + &#=?,!222> Ud fra det tredobbelte skøn kan middelværdien kan beregnes som l + 2,5m + h f = 4,5 og spredningen kan beregnes som h l s = 4,6 hvor l = den mindste værdi af elementet h = den største værdi af elementet m = den mest sandsynlige værdi af elementet Metoden har følgende fremgangsmåde 1 Fastlæg bygningsdelens referencelevetid, RSLC (år). 2 For hvert af de indgående elementer foretages et tredobbelt skøn (l, h og m) på hvor mange år elementet ændrer (forkorter og/eller forlænger) referencelevetiden. Der skønnes i følgende rækkefølge.
13 2.1. Skøn den mindste værdi, l, af elementet Skøn den største værdi, h, af elementet Skøn den mest sandsynlige værdi, m, af elementet. 3 Beregn f og s for hvert element 4 Summér f 5 Beregn levetiden ESLC som ESCL = RSLC + sum f 6 Beregn spredningen på levetiden som s 2 Tabel Fejl! Ukendt argument for parameter. viser et eksempel på en beregning af levetiden for et vindue med elementmetoden. ' < + =?, $!222> & &< Den efterfølgende beskrivelse af Markovkæder stammer fra (Abraham & Wirahadikusumah, 1). Stokastiske processer er processer der udvikler sig over tid på en måde der beskrives vha. af sandsynlighedsbegrebet. I en nedbrydningsmodel, kan de stokastiske processer X 1, X 2, X 3,... repræsentere samlingen af tilstandskarakterer af en bygningsdel fremkommet ved tilstandsvurdering ved jævne mellemrum, fx 5 år. Til ethvert tidspunkt t kan bygningsdelens tilstand beskrives ved én og kun en af et endeligt antal indbyrdes forskellige og udtømmende kategorier eller tilstande. Der kan, som i det efterfølgende, fx benyttes 5 tilstande svarende til tilstandsvurderinger med karakteren 1-5, hvor karakteren 1 er den optimale tilstand af bygningsdelen og 5 svarer til en kritisk tilstand. En stokastisk proces kaldes en Markovkæde, hvis den besidder Markovegenskaben, dvs. den betingede sandsynlighed af enhver fremtidig hændelse, givet enhver tidligere hændelse og den aktuelle tilstand X t = i, er uafhængig af den tidligere hændelse og kun afhænger af den nuværende tilstand. Markovegenskaben kan matematisk udtrykkes som P ( X P(X t+ 1 t+ 1 = i = i t+ 1 t+ 1 X X t t = i, X = i ) t t t-1 = i t-1,..., X 1 = i, X 1 0 = i 0 ) = (2) For at reducere kompleksiteten af analysen antages den fremtidige tilstand af bygningsdelen kun at afhænge af den nuværende til tilstand og at være uafhængig af den hidtidige tilstand. Det antages endvidere at for alle tilstande i og j og alle t er P(X t+1 = i t+1 X t = i t ) uafhængig af t. Sandsynligheden p ij, for at bygningsdelens tilstand er i tilstand i til tiden t og at den til være i til-
14 standen j til tiden t+1 ændrer sig ikke over tid (dvs. forbliver stationær, med mindre genopretning foretages eller andre eksterne faktorer ændrer sig. Denne stationære antagelse udtrykkes matematisk ved ligning (3) P (X = j X = i) = p t+1 t ij (3) Begrebet overgang benyttes, når systemet flytter sig fra tilstand i i én perioden til tilstand j gennem den næste periode. Tilsvarende betegnes sandsynlighederne p ij, for overgangssandsynlighederne. Overgangssandsynligherne vises sædvanligvis som en m x n matrix kaldet overgangssandsynlighedsmatricen P. For at forenkle beregningerne antages det af bygningsdelen nedbrydes med en tilstand i en overgangsperiode. Derfor er overgangssandsynlighedsmatricen givet ved p11 p p 22 p P = 0 0 p 0 33 p34 (4) p44 p Den førnævnte overgangssandsynlighedesmatrix er for ét-trinsovergang (en periode) overgang. n-trinsovergangssandsynlighedsmatricen P (n) for en proces der er i tilstand i og kommer i tilstand j efter n perioder (i modsætning til i næste periode) beregnes ved anvendelse af Chapman- Kolmogorovligningen: P (n) = P n. n-trinsovergangssandsynlighedsmatricen findes ved at tage den n te rod af éttrinsovergangsmatricen. Markovmetoder har bl.a. været anvendt til beskrivelse af udviklingen af tilstandskarakter for afløbsrør i plast, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. &&& ## ) &!, # ) &< &=?, $ J, &,!222> %*-G I EU-projektet EPIQR (Energy Performance and Indoor Environmental Quality Retrofit) benyttes levetidsmodellen MEDIC (Flourentzou, Brandt, & Wetzel,1). EPIQR er en metode der er udviklet til at hjælpe arkitekter, ingeniører og andre der arbejder med renovering og genopretning af boligbyggeri.
15 MEDIC metoden stammer fra Frankrig (MER-metoden) og er ifølge (Flourentzou, Brandt, & Wetzel,1) videreudviklet i Schweiz under navnet ME- BI (Genre, 15; Mayer et al., 15). I MEDIC-metoden skelnes mellem tre nedbrydningskurver for bygningsdele: L max under gunstige forhold (god elementkvalitet, beskytte beliggenhed, godt vedligehold, etc.) L Ø under normale forhold L min for ugunstige forhold (lav elementkvalitet, udsat beliggenhed, dårligt vedligehold, etc.) Fire tilstandsklasser benævnt henholdsvis a, b, c og d benyttes ved tilstandsvurdering til beskrivelse af elementets tilstand: a: god tilstand b: mindre nedbrydning c: mere alvorlig nedbrydning d: udskiftning nødvendig. I EPIQR er der udviklet et edb-hjælpeværktøj der benyttes ved udførelse af tilstandsvurderinger, hvor tilstandsklassen for bygningsdelene i en bygning fastlægges. Værktøjet indeholder skærmbilleder, der kan benyttes til beslutningsstøtte ved tilstandsvurderingen, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Skærmbillederne viser typiske eksempler på tilstandsklasserne a-d for den aktuelle bygningsdel. Billedeksemplerne er ledsaget af beskrivende hjælpetekster, der letter fastlæggelsen af tilstandsklassen. Endelig giver skærmbilledet mulighed for at inddatere den aktuelle tilstandsklasse, der gemmes i computeren og benyttes ved rapporteringen og vurdering af restlevetiden. &< %/ -K ( &< ) &&) ) &+!&< & '&) &, < ) &%&<, &+ & Figur Fejl! Ukendt argument for parameter. viser den i MEDIC anvendte sammenhæng mellem tilstandsklasser og nedbrydningskurver for facadebeklædninger.
16 . &%*-G+ ; + &< = L!'!$ J L!222> Videnbasen i metoden er implementeret i form af 4 sandsynlighedskurver for hver bygningsdelstype, som metoden kan behandle, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Kurverne viser til et givent tidspunkt i en bygningsdels liv sandsynligheden for at tilstandskarakteren er henholdsvis a, b, c eller d. ", && ; &< %&) -# ; &<, + &&!3 ; &<, M,, && M,, &&% ; + &<,, M!M M,,, &&! ; %2 ; &< 22M,, #& : Rummet Q{0, 1} beskriver universet af alle bygningsdele i en given bygning. Ethvert specifikt element, q, befinder sig et eller andet sted imellem o eller 1 på y-aksen alt afhængigt af dets kvalitet. Når det forudsættes at nedbrydningen af en bygningsdel følger en kurve affin til L min, L max eller L Ø i Fejl! Ukendt argument for parameter., og hvis tilstanden (placeringen på y- aksen) af bygningsdelen er kendt kan tidspunktet for overgang fra en tilstand til en anden aflæses Hvis q er en specifik bygningsdel, q Q, svarer værdien q = 0 til en bygningsdel med en lang levetid, idet alle overgange fra én tilstand til en anden finder sted efter meget lang tid. Dette svarer til L max i Fejl! Ukendt argument for parameter.. En bygningsdel med værdien q = 1 svarer i modsætning hertil til worst case. Det svarer til L min i Fejl! Ukendt argument for parameter.. Værdien q = 0,5 svarer til L Ø. Rummet Q = {0, 1} betegnes kvalitetsrummet. I praksis er det umuligt at bestemme den præcise beliggenhed af en specifik bygningsdel i Q-rummet, men det er muligt at definere eller vurdere et område i hvilket det sandsynligvis befinder sig. En
17 bygningsdel med lav kvalitet vil fx høre til området q {0,5, 1} medens en bygningsdel med god kvalitet hører til området q {0, 0,5}.! % Hvis det vides, at q {0, B}, bliver den betingede sandsynlighed P( tilstand i q {0, B}) = P(tilstand i )/ (5) Hvis q {B, 1} bliver (5) P(tilstand i) B P( tilstand i q { B,1}) = (6) 1 B i {a, b, c, d}. - &&& ) && & Af Fejl! Ukendt argument for parameter. ses det at det intervallet for den sandsynlige overgang fra tilstand a til tilstand b er fra det 12. til det 26. år, dvs. et interval på 14 år. Når det vides, at q {0, B} indsnævres det sandsynlige overgangstidspunkt til intervallet 1-26 år, dvs. et interval på år. Det nye sandsynlige interval for overgang fra tilstand b til c er fra det 34. til det 50. år, og det nye sandsynlige interval for overgang fra c til d er fra det 50. til det 5. år. Det ses, at kendskab til q {0, B} formindsker spredningen på den sandsynlige restlevetid betragteligt.! % Det forudsættes i det efterfølgende, at bygningsdelenes tilstandsklasse er kendt fra en tilstandsvurdering. Endvidere forudsættes det, at bygningsdelenes alder er kendte fra det generelle kendskab til bygningen, hvori de indgår. Ved at kombinere viden om tilstandsklassen og alderen er det muligt at fastlægge det underrum q, som bygningsdelene tilhører, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. For at gøre dette er tegnes en linie (pilen mærket 1) fra bygningsdelens alder til skæringen med kurven mellem arealet for elementets tilstandsklasse og naboarealet/naboarealerne. Derefter tegnes en linie (pilen mærket 2) fra skæringspunktet til y-aksen for at bestemme punktet B. For eksempel som vist i figuren for tilstandsklasse c skærer linien kurven mellem arealerne for tilstandsklasserne b og c. Kvalitetsunderrummet (quality subspace) bliver q ={B, 1}, se Fejl! Ukendt argument for parameter., idet tilstandsklassen er ændret fra b to c. (I tilfælde af at der er to skæringspunkter tegnes to lodrette linier og underrummet bestemmes som afstanden mellem den mindste og den højeste værdi af y). Eftersom der er valgt en probabilistisk tilgang, er den sandsynlige restlevetid ikke et enkelt tal men et interval. For at finde den sandsynlige restlevetid bestemmes punktet hvor sandsynligheden for at have tilstandsklassen d er 50 %, dvs. hvor y = (1+B)/2 skærer den næste overgangskurve (kurven der adskiller P(c) og P(d)). En linie (pilen mærket 3) tegnes lodret fra dette punkt til skæring med x-aksen. Forskellen mellem dette punkt og alderen af bygningsdelen giver den sandsynlige restlevetid L mean. På kurven bestemmes den øvre og den nedre grænse for det sandsynlige interval for L som henholdsvis skæringen med kurven med y = B og Y = 1. 3
18 ( ; &< + &; %&) ; &< ) &; " + q = {B, 1}! *!&< &/ &<!) &H! bliver P(mindst tilstandsklasse c, t = 30 år) = 0.4* &!B = 0.76B =:> 6P(tilstandsklasse c, t=35 år tilstandsklasse a, t=30 år) = (P(mindst tilstandsklasse c, t=30 år)-b) / (1-B) = ( ) / (1-0.76) = 0.75 *) & ; &< M &!2M &!M &; :M &. < & ) #;, &; 3M M &=& &&+ > A
19 I Fejl! Ukendt argument for parameter. er fordele og ulemper ved de præsenterede metoder sammenlignet. ) ) < + ) %& ' " & &@ %) &. E& < + & &=& - 0 & %& 0 ) ; ) < &. < & " ) < & " & ) & ) $ $ % & & < > " ) & %) & %) & " < %&) ) ; ; %& *&&, & &. ; & +?&&) & &&, %) & & &< &&, " < + %*-G?) & &&, %) & " ) & " < + %) & " ) & 2
20 Aarseth, L. I., & Hovde, P. J. (1). A stochastic approach to the factor method for estimating service life. I Lacasse, M. A., & Vanier, D. J. (Eds.), Procs. th Int. Conf. Durability of Building Materials and Components, Vancouver May 30 - June 3, 1. Vol. 2, pp Ottawa: NRC Research Press. ABFnyt (11). ABF-Håndbogen. København. Abraham, D. M. & Wirahadikusumah, R. (1). Development of prediction models for sewer deterioration. I Lacasse, M. A., & Vanier, D. J. (Eds.), Procs. th Int. Conf. Durability of Building Materials and Components, Vancouver May 30 - June 3, 1. Vol. 2, pp Ottawa: NRC Research Press. Brandt, E. (2003). Levetid af materialer og komponenter. By og Byg Resultater. Under udgivelse. Byggeriets udviklingsråd (15). Planlægning af driftsvenligt byggeri en anvisning. København. Byggeriets udviklingsråd. (2000). Årsomkostningsanalyse Beskrivelse og brugervejledning for beregningsmodellen. Hørsholm: Byggecentrum. Ditlevsen, O. & Madsen, H. O. (10). Bærende konstruktioners sikkerhed (SBI-rapport 211). Hørsholm: Statens Byggeforskningsinstitut. Flourentzou, F., Brandt, E., & Wetzel, C. (1). MEDIC a method for predicting residual service life and refurbishment investments budgets. I Lacasse, M. A., & Vanier, D. J. (Eds.), Procs. th Int. Conf. Durability of Building Materials and Components, Vancouver May 30 - June 3, 1. Vol. 2, pp Ottawa: NRC Research Press. Forsikring og Pension. (2001). Levetidstabeller Bygningsforsikring for 1- og 2-familiehuse samt fritidshuse. København: Forsikring og Pension. Oktober Genre J.-L. (15). MEBI - Méthode d'evaluation de Budgets d'investissements. Lausanne: LESO-PB, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne. Hansen, M. H., Enevoldsen, K., & Munch-Petersen, C. (13). Pilotprojekt til belysning af mulighederne for anvendelse af et neuralt netværk til beskrivelse af betonkonstruktioners egenskabsudvikling. Hørsholm: DTI Byggeteknisk Institut, Dansk Betoninstitut a/s og Vejdirektoratet. 2 pp. Hasholt, M. T. (2002). Modelling concrete frost resistance by using an artificial neural network. Tåstrup: Dansk Teknologisk Institut. Hovde P.J. (1), Evaluation of the factor method to estimate the service life of building components, Proc. CIB World Building Congress, Gävle 1. Hovde P.J. (2000). Factor methods for service life prediction. A state-of-theart, Draft report NTNU, Trondheim.
21 International Organization for Standardization. (2000). ISO :2000. Building and constructed assets Service life planning. Part 1: General Principles. Geneve. International Organization for Standardization. (2001). ISO :2001. Building and constructed assets Service life planning. Part 2: Service life prediction procedures. Geneve. International Organization for Standardization. (2001). ISO :2002. Building and constructed assets Service life planning. Part 3: Performance audits and reviews. Geneve. Lichtenberg, S. (10). Projektplanlægning i en foranderlig verden. 2. udg. Lyngby: Polyteknisk forlag. Lichtenberg, S. (2000). Proactive management of uncertainty using the successive principle a practical way to manage opportunities and risks. Lyngby: Polyteknisk forlag. Mayer P. et al. (15). Vieillissement des éléments de construction et coûts d entretien. Program PI BAT. Zurich: Swiss Federal Office for Economic Policy.
Værktøjer til beregning af chloridindtrængning i beton
Værktøjer til beregning af chloridindtrængning i beton Søren L. Poulsen, konsulent, Teknologisk Institut, Beton IDA temaaften på Navitas: Tunneller, alternativ armering og chloridindtrængning i beton,
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereBilag 7. SFA-modellen
Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2
Læs mereLodret belastet muret væg efter EC6
Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mere1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ
Indhold 1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) 2 1.1 Variation indenfor og mellem grupper.......................... 2 1.2 F-test for ingen
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs meregrupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
1 Ensidet variansanalyse(kvantitativt outcome) - sammenligning af flere grupper(kvalitativ exposure) Variation indenfor og mellem grupper F-test for ingen effekt AnovaTabel Beregning af p-værdi i F-fordelingen
Læs mereTest for strukturelle ændringer i investeringsadfærden
d. 6.10.2016 De Økonomiske Råds Sekretariat Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden Dette notat redegør for de stabilitetstest af forskellige tidsserier vedrørende investeringsadfærden i
Læs mereTotaløkonomi principper og perspektiver
Totaløkonomi principper og perspektiver Seniorforsker, ph.d. Kim Haugbølle Statens Byggeforskningsinstitut/Aalborg Universitet Byggeøkonomisk Netværk Arkitekternes Hus, 13. december 2011 khh@sbi.dk Disposition
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereStormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111
Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111 Miljø og Teknik Svendborg Kommune April 2011 Stormvandstande ved Svendborg Kommunes Kyster 2011-2111 1. Fremtidens permanente havstigning Den globale
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereTUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.
pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering
Læs mereByggeøkonomuddannelsen
Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver
Læs mereSlide 1. Slide 2. Slide 3. Byggeøkonomuddannelsen. Dagens emner. Usikkerheds- og risikoanalyse. Risikoanalyse Successiv kalkulation
Slide 1 Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Slide 2 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser
Læs mereKræver generelt at diverse ventetider er eksponentialfordelte. Faste rammer for serverdiscipliner mv. Svært at modellere ikke-standard køsystemer.
Opsamling eksakte modeller Fordele Praktiske til initierende analyser/dimensionering Ofte nemme at regne på. Kan bruges til at løse optimeringsopgaver, som ellers ville kræve snedige simulationsdesigns.
Læs merePraktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter
Praktiske erfaringer fra estimering med usikkerhed i IT projekter Estimering af IT projekter har gennem tiderne altid været en særdeles vanskelig disciplin, og der findes næppe den eller de metoder der
Læs mereISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark
IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.
Læs mereReferencelaboratoriet for måling af emissioner til luften
Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Rapport nr.: 77 Titel Hvordan skal forekomsten af outliers på lugtmålinger vurderes? Undertitel - Forfatter(e) Arne Oxbøl Arbejdet udført, år 2015
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereOpgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,
Læs mereMikro-kursus i statistik 1. del. 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1
Mikro-kursus i statistik 1. del 24-11-2002 Mikrokursus i biostatistik 1 Hvad er statistik? Det systematiske studium af tilfældighedernes spil!dyrkes af biostatistikere Anvendes som redskab til vurdering
Læs mereProjekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?
Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereOPP Kalvebod Brygge. Bilag 5 // Overdragelse af aktivet
Bilag 5 // Overdragelse af aktivet Indholdsfortegnelse Side 1 Indledning 2 2 Aktivets tilstand ved ophør 2 3 Løbende tilstandsvurdering 2 4 Gennemgang af Aktivet 3 5 Levetid 4 1 Indledning Nærværende dokument
Læs mereBeregning af SCOP for varmepumper efter En14825
Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion
Læs mereNotat vedr. Levetider - status på vurderingsmetode og procedure for vurderingspanelet samt status for faktormodellen for tegltage: nye og gamle
1. udkast Notat vedr. Levetider - status på vurderingsmetode og procedure for vurderingspanelet samt status for faktormodellen for tegltage: nye og gamle GENERELT Panelet Formål og afgrænsning Mål Formålet
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereTotaløkonomi tendenser, grundlag og eksempler
Totaløkonomi tendenser, grundlag og eksempler Seniorforsker, ph.d. Kim Haugbølle Statens Byggeforskningsinstitut/Aalborg Universitet Byggeøkonomisk Netværk Arkitektskolen i Aarhus, 16. februar 2012 khh@sbi.dk
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs mereØkonometri 1. Den simple regressionsmodel 11. september Økonometri 1: F2
Økonometri 1 Den simple regressionsmodel 11. september 2006 Dagens program Den simple regressionsmodel SLR : Én forklarende variabel (Wooldridge kap. 2.1-2.4) Motivation for gennemgangen af SLR Definition
Læs mereBilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen.
Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 SDEA...
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereUNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER
UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER Undervisningseffekten udregnes som forskellen mellem den forventede og den faktiske karakter i 9. klasses afgangsprøve. Undervisningseffekten udregnes
Læs mereKapitel 13 Reliabilitet og enighed
Kapitel 13 Reliabilitet og enighed Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 Version 11. april 2011 1 / 23 Indledning En observation er sammensat af en sand værdi og en målefejl
Læs mereLars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.
Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereRegneark til bestemmelse af CDS- regn
Regneark til bestemmelse af CDS- regn Teknisk dokumentation og brugervejledning Version 2.0 Henrik Madsen August 2002 Miljø & Ressourcer DTU Danmark Tekniske Universitet Dette er en netpublikation, der
Læs mereArmeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1. Armeringsstål Klasse A eller klasse B?
Bjarne Chr. Jensen Side 1 Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen 13. august 2007 Bjarne Chr. Jensen Side 2 Introduktion Nærværende lille notat er blevet til på initiativ af direktør
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereRapport. Sammendrag. Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet. Chris Claudi-Magnussen
Rapport Afprøvning af NIR online udstyr til måling af oksekøds spisekvalitet Afprøvning af mørhedsmåling med LabSpec Portable Spectrometer og VideometerLab 2. august 2010 Proj.nr. 1378902 Version 1 Chris
Læs mereOpgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 352 og 6ed: 11.2, side 345)
Kursus 4: Besvarelser til øvelses- og hjemmeopgaver i uge 11 Opgave 11.4 side 316 (7ed: 11.4, side 35 og 6ed: 11., side 345) Opgaven består i at foretage en regressionsanalse. Først afbildes data som i
Læs mereUNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7
UNDERSØGELSE af RISK MANAGEMENT blandt danske virksomheder 2006/7 Baggrund: Risk Management (RM) er i dag et væsentligt fundament for at kunne håndtere store og komplekse projekter - herunder at kunne
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereBayesiansk statistik. Tom Engsted. DSS Aarhus, 28 november 2017
Bayesiansk statistik Tom Engsted DSS Aarhus, 28 november 2017 1 Figure 1: Nicolajs gur 2 Klassisk frekvensbaseret statistik Statistisk beslutningsteori Bayesiansk statistik Et kompromis mellem den klassiske
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;
Læs mereKvægavlens teoretiske grundlag
Kvægavlens teoretiske grundlag Lige siden de første husdyrarter blev tæmmet for flere tusinde år siden, har mange interesseret sig for nedarvningens mysterier. Indtil begyndelsen af forrige århundrede
Læs mereTOTALVÆRDI INDEKLIMA DOKUMENTATION
& TOTALVÆRDI INDEKLIMA DOKUMENTATION Til understøtning af beregningsværktøjet INDHOLDSFORTEGNELSE Introduktion 01 Beregningsværktøj - temperatur 02 Effect of Temperature on Task Performance in Office
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mere5. December 2013. Finansministeriet og Ministeriet for By, Bolig og Landdistrikter Notat om potentialeberegninger
5. December 2013 Finansministeriet og Ministeriet for By, Bolig og Landdistrikter Indholdsfortegnelse Introduktion 3 1. Metode for potentialeberegninger 5 1.1. Delanalyse 1 5 1.2. Beregning af potentialer
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereDeformation af stålbjælker
Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker
Læs mereBeregning af energibesparelser
Beregning af energibesparelser Understøtter energibesparelser den grønne omstilling? Christian Holmstedt Hansen, Kasper Jessen og Nina Detlefsen Side 1 Dato: 23.11.2015 Udarbejdet af: Christian Holmstedt
Læs mereMURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1
DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb
Læs mereKapitel 12 Variansanalyse
Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereEn intro til radiologisk statistik. Erik Morre Pedersen
En intro til radiologisk statistik Erik Morre Pedersen Hypoteser og testning Statistisk signifikans 2 x 2 tabellen og lidt om ROC Inter- og intraobserver statistik Styrkeberegning Konklusion Litteratur
Læs mere5.11 Middelværdi og varians Kugler Ydelse for byg [Obligatorisk opgave 2, 2005]... 14
Module 5: Exercises 5.1 ph i blod.......................... 1 5.2 Medikamenters effektivitet............... 2 5.3 Reaktionstid........................ 3 5.4 Alkohol i blodet...................... 3 5.5
Læs mereTOTALØKONOMISKE VURDERINGER Dokumentation for
TOTALØKONOMISKE VURDERINGER for web-applikation Wep-applikation Side 1 af 9 Indhold Generelt... 3 1 Baggrund... 3 1.1 Nuværende lovgrundlag... 3 1.2 Formål... 3 2 Beregningsmetoder... 3 2.1 Hovedprincip...
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereVejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz
Vejledning til LKdaekW.exe 1 Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 2 Ansvar Programmet anvendes helt på eget ansvar, og hverken programmør eller distributør kan
Læs mereEpidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve
Fornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve May 9, 2003 For at få kredit for kurset Fornyelsesteori med anvendelser kræves at afleveringsopgave 1 og 2 samt nedenstående punktprøve besvares tilfredsstillende.
Læs mereNaturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske og Mikrobiologiske Miljømålinger NOTAT
Naturstyrelsens Referencelaboratorium for Kemiske og Mikrobiologiske Miljømålinger NOTAT Til: Følgegruppen for Naturstyrelsens Referencelaboratorium cc: Fra: Anders Svaneborg Dato: 6. oktober 2014 QA:
Læs mereUndersøgelse af 26 gaskedlers levetid
Undersøgelse af 26 gaskedlers levetid Notat Januar 2019 Dansk Gasteknisk Center a/s Dr. Neergaards Vej 5B 2970 Hørsholm Tlf. 2016 9600 www.dgc.dk dgc@dgc.dk DGC-notat Jan 2019 1/12 Undersøgelse af 26 gaskedlers
Læs merePræcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden
Præcisering af trendanalyser af den normaliserede totale og diffuse kvælstoftransport i perioden 2005-2012 Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 7. april 2014 30. april 2014 Søren
Læs mereTUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER
pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast
Læs merePlan. Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser. Materiale mm.
Institut for Matematiske Fag Plan Markovkæder Matematisk modelling af kølængde, yatzy, smittespredning og partikelbevægelser Helle Sørensen Eftermiddagen vil være bygget om 3 4 eksempler: A. B. Random
Læs mereEvaluering af Soltimer
DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-16 Evaluering af Soltimer Maja Kjørup Nielsen Juni 2001 København 2001 ISSN 0906-897X (Online 1399-1388) Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Beregning
Læs mereModul 12: Regression og korrelation
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................
Læs mereBEREAL BEREGNET VS. FAKTISK ENERGIFORBRUG
BEREAL BEREGNET VS. FAKTISK ENERGIFORBRUG NYT VÆRKTØJ TIL UNDERSØGELSE AF BYGNINGSPERFORMANCE - FORECAST OG ANALYSE STEFFEN PETERSEN ASSOCIATE PROFESSOR STP@ENG.AU.DK DANVAK DAGEN 5. april 2017 UNI VERSITET
Læs mereBM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47
BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 Morten Källberg (kallberg@imada.sdu.dk) 22/11-2005 1 Probabilistiske modeller Vi vil i det følgende betragte to forskellige måder at evaluerer en given model
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereKapitel 11 Lineær regression
Kapitel 11 Lineær regression Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 1 Indledning Vi modellerer en afhængig variabel (responset) på baggrund af en uafhængig variabel (stimulus),
Læs mereMULTI 6 Forenklede Fælles Mål
MULTI 6 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklende Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning og skrivning Eleverne kan anvende forskellige strategier til matematisk
Læs mereModellering af stoftransport med GMS MT3DMS
Modellering af stoftransport med GMS MT3DMS Formål Formålet med modellering af stoftransport i GMS MT3DMS er, at undersøge modellens evne til at beskrive den målte stoftransport gennem sandkassen ved anvendelse
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereHVORFOR BRUGER EU S HORIZON 2020PROGRAM 37 MIO KRONER PÅ FORSKNING OM INDVENDIG EFTERISOLERING? ERNST JAN DE PLACE HANSEN SENIORFORSKER, SBI
HVORFOR BRUGER EU S HORIZON 2020PROGRAM 37 MIO KRONER PÅ FORSKNING OM INDVENDIG EFTERISOLERING? ERNST JAN DE PLACE HANSEN SENIORFORSKER, SBI Baggrund 40 % af energiforbruget i Europa sker i bygninger (opvarmning,
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mere