Udkast version Fejl! Ukendt argument for parameter. Morten Hjorslev Hansen, Kim Haugbølle & Erik Brandt

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Udkast version Fejl! Ukendt argument for parameter. Morten Hjorslev Hansen, Kim Haugbølle & Erik Brandt"

Transkript

1 Udkast version Fejl! Ukendt argument for parameter. Morten Hjorslev Hansen, Kim Haugbølle & Erik Brandt By og Byg Statens Byggeforskningsinstitut 2003

2 !" #$ %&' (& ) *& +, %, % - '. -. / &, 0 & ' ' ' &! / 0 ' 1 2!*" +23 #, %+) & & %&!&&

3

4 Indhold... 4 Levetid... 5 Deterministiske metoder... 6 Levetidstabeller... 6 Forsikring og Pension... 6 BUR Planlægning af driftsvenligt byggeri... 7 Årskostnadsanalyse... ABF-Håndbogen... Nedbrydningsmodeller... ISO faktormetoden Neurale netværk Probabilistiske metoder Elementmetoden Markovkæder MEDIC Betingede sandsynligheder Bestemmelse af den sandsynlige restlevetid Diskussion... 1 Litteratur... 20

5 Denne rapport beskriver modellering af levetid for bygningsdele. Dele af rapporten er baseret på (Brandt, 2003). Levetid defineres som den tid et materiale eller en konstruktions essentielle egenskaber opfylder de ydeevnekrav, der er stillet. Ydeevnekravet til et tag kan fx være at det er tæt overfor nedbør.

6 Deterministiske metoder giver et fast tal for levetiden, fx 55 år. Deterministiske metoder suppleres af de probabilistiske metoder, der beskrives i næste kapitel. Brugen af levetidstabeller er nok den mest anvendte metode til forudsigelse af bygningsdeles levetid. I det efterfølgende beskrives en række ofte anvendte levetidstabeller I Danmark benyttes bl.a. Forsikring og Pensions levetidstabeller (Forsikring og Pension, 2001). Tabellerne angiver skønnede restlevetider i procent i forhold til nyt, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Optegnes de skønnede restlevetider som funktion af alderen fås et indtryk at de anvendte levetidskurver, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. &#) ; < % = @ = > & # =) ; > # =) ; > # =) ; > 23 2 : 2 A2 A A A3 A 32 3 : : : :: A A 2 2 :, ) < &&! ) &<

7 ) &, < & &&! ) ) & B & & ) ;, =&) ) ; < &; + > ) #&! &< &,! & ) ) ) < (, =) ; > A : : A?= # B, & ') = & /!>! " # $ % En anden ofte citeret dansk levetidstabel findes i BUR rapporten om planlægning af driftsvenligt byggeri (Byggeriets udviklingsråd, 15). Rapporten er baseret på et projektet støttet af BUR. Initiativtagerne til projektet var P&T s bygningstjeneste og Undervisningsministeriets Byggedirektorat. I Fejl! Ukendt argument for parameter. er der gengivet et uddrag af levetidstabellen i rapporten. I bemærkningerne til tabellen understreges det, at De anførte levetider kan anvendes ved totaløkonomiske sammenligninger mellem alternativer, men ikke ved beregning af de faktiske levetidsomkostninger. =%' &! 2A> B B -. * %(?(C!) <, B,,, '" B -. * %(?/? (#, B -. * %(?%? (#, D (% E%0 " (-. EB -. * %( & < < = #># ) %? - " E%0 " (-. EB -. * %( *B %. *-E '=> 3

8 & < < ) & = #+ >#, %? - " E%0 " (-. EB -. * %(-. *B %. *-E & % Den norske stats ejendomsselskabs Statsbygg har i samarbejde med Teknologisk institutt i Norge udviklet IT-værktøjet Årskostnadsanalyse til beregning af huslejen for de ejendomme, som Statsbygg udlejer til offentlige lejere. Værktøjet indeholder tabeller, der beskriver vedligeholdsinterval og levetid, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Værktøjet er oversat til dansk og udgivet af Byggeriets Udviklingsråd (Byggeriet Udviklingsråd, 2000)., &# =' &!> ' ( )! % * +,! % F *%(B C EE% < : A -!.+ $ ABF-håndbogen (ABFnyt, 11) indeholder afskrivningsprofiler for bygningsdele, der anvendes i forbindelse med overdragelse af andele til fastsættelse af de afskrivninger, der foretages ved vurdering af værdien af individuelle forbedringer, se Fejl! Ukendt argument for parameter..?&) ) &!, & =?'+!22> A

9 Afskrivningskurverne anvendes sammen med en tabel, der angiver over hvor mange år afskrivningen skal foretages, se Fejl! Ukendt argument for parameter..?& %=?'+!22> B -. * %( 0 ), < &< ) 0 )!&+ B & <?&. Der findes en lang række teorier og matematiske modeller der beskriver, hvorledes materialer og konstruktioner nedbrydes under givne påvirkninger. Disse modeller er vid udstrækning af empirisk natur og beskriver i almindelighed kun et enkelt nedbrydningsmekanisme ad gangen. I eksemplet herunder beskrives en model for armeringskorrosion i beton forårsaget af indtrængende chlorid. Eksempel %&) ) &, ) ) ;, + < %&& & ), +? & &!1! & & ), # ) +<! ) # ;, 1 #) ) + & ) <! &&; < && %) & & ;,, # ) & ;, < < &+!&; &! &)!& 2 C C = D 2 t x, C;, & ; >!t =>!D ;, + & ; x => <! ;, & ; =& >C o & =+, < > & ;, & ; C i & = ># &!, + < & ;, & ; D&!, < ;, & ; ) + < &!&;, & ; C krit # & &# 6 x t = D 2 erf 1 1 C krit Co Ci Co 2 2

10 , + & * # & &! 1 < ; ) < B &, & ) & & &, ;, & ; ' +,! < ;, &) <! &&&1 G0 =& 1 > G=0 >=; ;, 1 > ) #) < & *0 + ) < &!, # ) +< ) & &. 0 + G0 GG0 =; ; & > 0 + +& ;! )!*) ; & &? ) ; & 1 &+&& - 0 & ISO faktormetoden er baseret på anvendelse af en referencelevetid og en række faktorer, som benyttes til at modificere den, (International Organization for Standardization, 2000; 2001; 2002) Man kan betragte faktormetoden som en måde at koble indflydelsen af hver af de indgående faktorer. Den kan derfor også bruges, hvis der er (mindre) afvigelser mellem de forudsete brugsområder og det aktuelle brugsområde. Den levetid der fremkommer som resultat af brugen, er ikke en endegyldig sandhed, men et empirisk estimat baseret på de tilgængelige oplysninger. Med det nuværende videnniveau er det måske mere korrekt at sige, at metoden giver mulighed for en mere objektiv sammenligning og analyse, end at den giver et retvisende billede af levetiden. Under alle omstændigheder vil et bedre og mere sikkert grundlag resultere i et mere korrekt resultat. Antallet af faktorer kan diskuteres, idet der med flere faktorer må forventes en bedre nøjagtighed, men samtidig vil brugen kompliceres. En mere tilbundsgående diskussion af faktormetoden er givet i (Hovde, 1) og Hovde (2000). Faktormetoden kan anvendes både til materialer, komponenter og sammensatte bygningsdele. Man skal være opmærksom på, at ved sammensatte bygningsdele vil der indgå samlinger/fuger, og der kan optræde forskellige brugspåvirkninger på de forskellige dele. I ISO regi benyttes i Fejl! Ukendt argument for parameter. angivne modifikationsfaktorer. & & - 0 :A: & & &? )! )!)!!, ' * -!& && G " # " ) )! &&, # & & &) + & &) + & # * -#,?!+!& % #, #!& &! +,! =&> ') & &&) &!&! & E B, " &,! <,

11 Alle de nævnte faktorer kan påvirke levetiden af et materiale eller en komponent. Levetiden kan derfor udtrykkes som: L est = L ref A B C D E F G (1) Hvor L est er den estimerede levetid og L ref er referencelevetiden (i ISO 1566 benyttes henholdsvis betegnelserne ESLC og RSLC). Faktorerne kan fastsættes på forskellig vis. Hvis der fx er erfaring for at samme type produkt anvendt et sted med hård belastning giver en reduktion i levetiden på 30% bør denne viden afspejle sig i valget af faktor F, som derfor kan vælges til 0,7. Tilsvarende vil det være naturligt at benytte den viden/erfaring der findes ved fastsættelse af de øvrige faktorer. En simpel måde er at sætte faktoren til 1 for neutrale forhold, 0, for faktorer der forventes at forkorte levetiden og 1,2 for faktorer der forventes at forlænge levetiden. Herunder gengives et lettere modificeret eksempel fra udkastet til ISO %&) 6< %&), < *< & < + &!, =, >! (;?B ; ) <!&*B " &! '?; ) & &&&!A G? # &! *-< ) &&! % #) &&, &! ') & &! EB, #, =>&! H I!I!AI!I!I!I!I!H! Under hensyntagen til den store usikkerhed der er forbundet med at estimere levetiden er det ikke rimeligt at angive levetiden nøjagtigt, så det foreslås, at der i det mindste rundes af til nærmeste hele tal. I stedet kunne ovenstående vurdering suppleres med en statistisk vurdering af resultatet. I (Aarseth og Hovde, 1) er der foreslået en simpel metode til at fastlægge estimatet som et interval i stedet for som en enkelt værdi.. < & Neurale netværker har været forsøgt anvendt til bl.a. forudsigelse af betonkonstruktioners egenskabsudvikling over tid (Hansen, Enevoldsen & Munch- Petersen, 13). I dette pilotprojekt blev et neuralt netværk trænet til at forudsige revneskadeomfanget i betonkonstruktionsdele i motorvejsbroer. Overensstemmelsen mellem revneskadeomfanget forudsagt af det neurale netværk og det observerede revneskadeomfang var ikke god. Betons modstandsevne overfor frostnedbrydning er blevet forsøgt modelleret vha. et neuralt netværk (Hasholdt, 2002). Erfaringerne fra projektet viste, at det neurale netværk havde problemer at forudsige ekstreme værdier. Overensstemmelsen mellem frostbestandigheden forudsagt af det neurale netværk og det i laboratoriet målte frostbestandighed var ikke god.

12 $ $ Probabilistiske giver i stedet for en fast værdi for levetiden af en bygningsdel (fx 55 år) en værdi, der ikke kan fastlægges eksakt men kan karakteriseres vha. af statiske begreber som middelværdi, spredning og sandsynlighed. % Beregningsmetoden successiv kalkulation er på elegant vis foreslået benyttet til beregning af levetid af bygningsdele (Aarseth og Hovde, 1). Successiv kalkulation (Lichtenberg, 10, 2000) er en beregningsmetode der ved projektplanlægning anvendes til estimering af projektomkostninger (fx kan metoden benyttes ved afgivelse af tilbud i forbindelse med licitationer). Metoden adskiller sig fra ISO faktormetoden ved at levetiden nedbrydes i elementer. Betegnelsen elementer benyttes da de skal adderes og ikke multipliceres således som faktorerne skal. Der benyttes en elementopdeling svarende til opdelingen i faktorer i ISO faktormetoden, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. En vigtig bestanddel af elementmetoden består i et tredobbelt skøn over de indgående elementers størrelse, i form af en mindste værdi af elementet, en største værdi af elementet og den mest sandsynlige værdi af elementer, se Fejl! Ukendt argument for parameter..? & ) ; + &#=?,!222> Ud fra det tredobbelte skøn kan middelværdien kan beregnes som l + 2,5m + h f = 4,5 og spredningen kan beregnes som h l s = 4,6 hvor l = den mindste værdi af elementet h = den største værdi af elementet m = den mest sandsynlige værdi af elementet Metoden har følgende fremgangsmåde 1 Fastlæg bygningsdelens referencelevetid, RSLC (år). 2 For hvert af de indgående elementer foretages et tredobbelt skøn (l, h og m) på hvor mange år elementet ændrer (forkorter og/eller forlænger) referencelevetiden. Der skønnes i følgende rækkefølge.

13 2.1. Skøn den mindste værdi, l, af elementet Skøn den største værdi, h, af elementet Skøn den mest sandsynlige værdi, m, af elementet. 3 Beregn f og s for hvert element 4 Summér f 5 Beregn levetiden ESLC som ESCL = RSLC + sum f 6 Beregn spredningen på levetiden som s 2 Tabel Fejl! Ukendt argument for parameter. viser et eksempel på en beregning af levetiden for et vindue med elementmetoden. ' < + =?, $!222> & &< Den efterfølgende beskrivelse af Markovkæder stammer fra (Abraham & Wirahadikusumah, 1). Stokastiske processer er processer der udvikler sig over tid på en måde der beskrives vha. af sandsynlighedsbegrebet. I en nedbrydningsmodel, kan de stokastiske processer X 1, X 2, X 3,... repræsentere samlingen af tilstandskarakterer af en bygningsdel fremkommet ved tilstandsvurdering ved jævne mellemrum, fx 5 år. Til ethvert tidspunkt t kan bygningsdelens tilstand beskrives ved én og kun en af et endeligt antal indbyrdes forskellige og udtømmende kategorier eller tilstande. Der kan, som i det efterfølgende, fx benyttes 5 tilstande svarende til tilstandsvurderinger med karakteren 1-5, hvor karakteren 1 er den optimale tilstand af bygningsdelen og 5 svarer til en kritisk tilstand. En stokastisk proces kaldes en Markovkæde, hvis den besidder Markovegenskaben, dvs. den betingede sandsynlighed af enhver fremtidig hændelse, givet enhver tidligere hændelse og den aktuelle tilstand X t = i, er uafhængig af den tidligere hændelse og kun afhænger af den nuværende tilstand. Markovegenskaben kan matematisk udtrykkes som P ( X P(X t+ 1 t+ 1 = i = i t+ 1 t+ 1 X X t t = i, X = i ) t t t-1 = i t-1,..., X 1 = i, X 1 0 = i 0 ) = (2) For at reducere kompleksiteten af analysen antages den fremtidige tilstand af bygningsdelen kun at afhænge af den nuværende til tilstand og at være uafhængig af den hidtidige tilstand. Det antages endvidere at for alle tilstande i og j og alle t er P(X t+1 = i t+1 X t = i t ) uafhængig af t. Sandsynligheden p ij, for at bygningsdelens tilstand er i tilstand i til tiden t og at den til være i til-

14 standen j til tiden t+1 ændrer sig ikke over tid (dvs. forbliver stationær, med mindre genopretning foretages eller andre eksterne faktorer ændrer sig. Denne stationære antagelse udtrykkes matematisk ved ligning (3) P (X = j X = i) = p t+1 t ij (3) Begrebet overgang benyttes, når systemet flytter sig fra tilstand i i én perioden til tilstand j gennem den næste periode. Tilsvarende betegnes sandsynlighederne p ij, for overgangssandsynlighederne. Overgangssandsynligherne vises sædvanligvis som en m x n matrix kaldet overgangssandsynlighedsmatricen P. For at forenkle beregningerne antages det af bygningsdelen nedbrydes med en tilstand i en overgangsperiode. Derfor er overgangssandsynlighedsmatricen givet ved p11 p p 22 p P = 0 0 p 0 33 p34 (4) p44 p Den førnævnte overgangssandsynlighedesmatrix er for ét-trinsovergang (en periode) overgang. n-trinsovergangssandsynlighedsmatricen P (n) for en proces der er i tilstand i og kommer i tilstand j efter n perioder (i modsætning til i næste periode) beregnes ved anvendelse af Chapman- Kolmogorovligningen: P (n) = P n. n-trinsovergangssandsynlighedsmatricen findes ved at tage den n te rod af éttrinsovergangsmatricen. Markovmetoder har bl.a. været anvendt til beskrivelse af udviklingen af tilstandskarakter for afløbsrør i plast, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. &&& ## ) &!, # ) &< &=?, $ J, &,!222> %*-G I EU-projektet EPIQR (Energy Performance and Indoor Environmental Quality Retrofit) benyttes levetidsmodellen MEDIC (Flourentzou, Brandt, & Wetzel,1). EPIQR er en metode der er udviklet til at hjælpe arkitekter, ingeniører og andre der arbejder med renovering og genopretning af boligbyggeri.

15 MEDIC metoden stammer fra Frankrig (MER-metoden) og er ifølge (Flourentzou, Brandt, & Wetzel,1) videreudviklet i Schweiz under navnet ME- BI (Genre, 15; Mayer et al., 15). I MEDIC-metoden skelnes mellem tre nedbrydningskurver for bygningsdele: L max under gunstige forhold (god elementkvalitet, beskytte beliggenhed, godt vedligehold, etc.) L Ø under normale forhold L min for ugunstige forhold (lav elementkvalitet, udsat beliggenhed, dårligt vedligehold, etc.) Fire tilstandsklasser benævnt henholdsvis a, b, c og d benyttes ved tilstandsvurdering til beskrivelse af elementets tilstand: a: god tilstand b: mindre nedbrydning c: mere alvorlig nedbrydning d: udskiftning nødvendig. I EPIQR er der udviklet et edb-hjælpeværktøj der benyttes ved udførelse af tilstandsvurderinger, hvor tilstandsklassen for bygningsdelene i en bygning fastlægges. Værktøjet indeholder skærmbilleder, der kan benyttes til beslutningsstøtte ved tilstandsvurderingen, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Skærmbillederne viser typiske eksempler på tilstandsklasserne a-d for den aktuelle bygningsdel. Billedeksemplerne er ledsaget af beskrivende hjælpetekster, der letter fastlæggelsen af tilstandsklassen. Endelig giver skærmbilledet mulighed for at inddatere den aktuelle tilstandsklasse, der gemmes i computeren og benyttes ved rapporteringen og vurdering af restlevetiden. &< %/ -K ( &< ) &&) ) &+!&< & '&) &, < ) &%&<, &+ & Figur Fejl! Ukendt argument for parameter. viser den i MEDIC anvendte sammenhæng mellem tilstandsklasser og nedbrydningskurver for facadebeklædninger.

16 . &%*-G+ ; + &< = L!'!$ J L!222> Videnbasen i metoden er implementeret i form af 4 sandsynlighedskurver for hver bygningsdelstype, som metoden kan behandle, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. Kurverne viser til et givent tidspunkt i en bygningsdels liv sandsynligheden for at tilstandskarakteren er henholdsvis a, b, c eller d. ", && ; &< %&) -# ; &<, + &&!3 ; &<, M,, && M,, &&% ; + &<,, M!M M,,, &&! ; %2 ; &< 22M,, #& : Rummet Q{0, 1} beskriver universet af alle bygningsdele i en given bygning. Ethvert specifikt element, q, befinder sig et eller andet sted imellem o eller 1 på y-aksen alt afhængigt af dets kvalitet. Når det forudsættes at nedbrydningen af en bygningsdel følger en kurve affin til L min, L max eller L Ø i Fejl! Ukendt argument for parameter., og hvis tilstanden (placeringen på y- aksen) af bygningsdelen er kendt kan tidspunktet for overgang fra en tilstand til en anden aflæses Hvis q er en specifik bygningsdel, q Q, svarer værdien q = 0 til en bygningsdel med en lang levetid, idet alle overgange fra én tilstand til en anden finder sted efter meget lang tid. Dette svarer til L max i Fejl! Ukendt argument for parameter.. En bygningsdel med værdien q = 1 svarer i modsætning hertil til worst case. Det svarer til L min i Fejl! Ukendt argument for parameter.. Værdien q = 0,5 svarer til L Ø. Rummet Q = {0, 1} betegnes kvalitetsrummet. I praksis er det umuligt at bestemme den præcise beliggenhed af en specifik bygningsdel i Q-rummet, men det er muligt at definere eller vurdere et område i hvilket det sandsynligvis befinder sig. En

17 bygningsdel med lav kvalitet vil fx høre til området q {0,5, 1} medens en bygningsdel med god kvalitet hører til området q {0, 0,5}.! % Hvis det vides, at q {0, B}, bliver den betingede sandsynlighed P( tilstand i q {0, B}) = P(tilstand i )/ (5) Hvis q {B, 1} bliver (5) P(tilstand i) B P( tilstand i q { B,1}) = (6) 1 B i {a, b, c, d}. - &&& ) && & Af Fejl! Ukendt argument for parameter. ses det at det intervallet for den sandsynlige overgang fra tilstand a til tilstand b er fra det 12. til det 26. år, dvs. et interval på 14 år. Når det vides, at q {0, B} indsnævres det sandsynlige overgangstidspunkt til intervallet 1-26 år, dvs. et interval på år. Det nye sandsynlige interval for overgang fra tilstand b til c er fra det 34. til det 50. år, og det nye sandsynlige interval for overgang fra c til d er fra det 50. til det 5. år. Det ses, at kendskab til q {0, B} formindsker spredningen på den sandsynlige restlevetid betragteligt.! % Det forudsættes i det efterfølgende, at bygningsdelenes tilstandsklasse er kendt fra en tilstandsvurdering. Endvidere forudsættes det, at bygningsdelenes alder er kendte fra det generelle kendskab til bygningen, hvori de indgår. Ved at kombinere viden om tilstandsklassen og alderen er det muligt at fastlægge det underrum q, som bygningsdelene tilhører, se Fejl! Ukendt argument for parameter.. For at gøre dette er tegnes en linie (pilen mærket 1) fra bygningsdelens alder til skæringen med kurven mellem arealet for elementets tilstandsklasse og naboarealet/naboarealerne. Derefter tegnes en linie (pilen mærket 2) fra skæringspunktet til y-aksen for at bestemme punktet B. For eksempel som vist i figuren for tilstandsklasse c skærer linien kurven mellem arealerne for tilstandsklasserne b og c. Kvalitetsunderrummet (quality subspace) bliver q ={B, 1}, se Fejl! Ukendt argument for parameter., idet tilstandsklassen er ændret fra b to c. (I tilfælde af at der er to skæringspunkter tegnes to lodrette linier og underrummet bestemmes som afstanden mellem den mindste og den højeste værdi af y). Eftersom der er valgt en probabilistisk tilgang, er den sandsynlige restlevetid ikke et enkelt tal men et interval. For at finde den sandsynlige restlevetid bestemmes punktet hvor sandsynligheden for at have tilstandsklassen d er 50 %, dvs. hvor y = (1+B)/2 skærer den næste overgangskurve (kurven der adskiller P(c) og P(d)). En linie (pilen mærket 3) tegnes lodret fra dette punkt til skæring med x-aksen. Forskellen mellem dette punkt og alderen af bygningsdelen giver den sandsynlige restlevetid L mean. På kurven bestemmes den øvre og den nedre grænse for det sandsynlige interval for L som henholdsvis skæringen med kurven med y = B og Y = 1. 3

18 ( ; &< + &; %&) ; &< ) &; " + q = {B, 1}! *!&< &/ &<!) &H! bliver P(mindst tilstandsklasse c, t = 30 år) = 0.4* &!B = 0.76B =:> 6P(tilstandsklasse c, t=35 år tilstandsklasse a, t=30 år) = (P(mindst tilstandsklasse c, t=30 år)-b) / (1-B) = ( ) / (1-0.76) = 0.75 *) & ; &< M &!2M &!M &; :M &. < & ) #;, &; 3M M &=& &&+ > A

19 I Fejl! Ukendt argument for parameter. er fordele og ulemper ved de præsenterede metoder sammenlignet. ) ) < + ) %& ' " & %) &. E& < + & &=& - 0 & %& 0 ) ; ) < &. < & " ) < & " & ) & ) $ $ % & & < > " ) & %) & %) & " < %&) ) ; ; %& *&&, & &. ; & +?&&) & &&, %) & & &< &&, " < + %*-G?) & &&, %) & " ) & " < + %) & " ) & 2

20 Aarseth, L. I., & Hovde, P. J. (1). A stochastic approach to the factor method for estimating service life. I Lacasse, M. A., & Vanier, D. J. (Eds.), Procs. th Int. Conf. Durability of Building Materials and Components, Vancouver May 30 - June 3, 1. Vol. 2, pp Ottawa: NRC Research Press. ABFnyt (11). ABF-Håndbogen. København. Abraham, D. M. & Wirahadikusumah, R. (1). Development of prediction models for sewer deterioration. I Lacasse, M. A., & Vanier, D. J. (Eds.), Procs. th Int. Conf. Durability of Building Materials and Components, Vancouver May 30 - June 3, 1. Vol. 2, pp Ottawa: NRC Research Press. Brandt, E. (2003). Levetid af materialer og komponenter. By og Byg Resultater. Under udgivelse. Byggeriets udviklingsråd (15). Planlægning af driftsvenligt byggeri en anvisning. København. Byggeriets udviklingsråd. (2000). Årsomkostningsanalyse Beskrivelse og brugervejledning for beregningsmodellen. Hørsholm: Byggecentrum. Ditlevsen, O. & Madsen, H. O. (10). Bærende konstruktioners sikkerhed (SBI-rapport 211). Hørsholm: Statens Byggeforskningsinstitut. Flourentzou, F., Brandt, E., & Wetzel, C. (1). MEDIC a method for predicting residual service life and refurbishment investments budgets. I Lacasse, M. A., & Vanier, D. J. (Eds.), Procs. th Int. Conf. Durability of Building Materials and Components, Vancouver May 30 - June 3, 1. Vol. 2, pp Ottawa: NRC Research Press. Forsikring og Pension. (2001). Levetidstabeller Bygningsforsikring for 1- og 2-familiehuse samt fritidshuse. København: Forsikring og Pension. Oktober Genre J.-L. (15). MEBI - Méthode d'evaluation de Budgets d'investissements. Lausanne: LESO-PB, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne. Hansen, M. H., Enevoldsen, K., & Munch-Petersen, C. (13). Pilotprojekt til belysning af mulighederne for anvendelse af et neuralt netværk til beskrivelse af betonkonstruktioners egenskabsudvikling. Hørsholm: DTI Byggeteknisk Institut, Dansk Betoninstitut a/s og Vejdirektoratet. 2 pp. Hasholt, M. T. (2002). Modelling concrete frost resistance by using an artificial neural network. Tåstrup: Dansk Teknologisk Institut. Hovde P.J. (1), Evaluation of the factor method to estimate the service life of building components, Proc. CIB World Building Congress, Gävle 1. Hovde P.J. (2000). Factor methods for service life prediction. A state-of-theart, Draft report NTNU, Trondheim.

21 International Organization for Standardization. (2000). ISO :2000. Building and constructed assets Service life planning. Part 1: General Principles. Geneve. International Organization for Standardization. (2001). ISO :2001. Building and constructed assets Service life planning. Part 2: Service life prediction procedures. Geneve. International Organization for Standardization. (2001). ISO :2002. Building and constructed assets Service life planning. Part 3: Performance audits and reviews. Geneve. Lichtenberg, S. (10). Projektplanlægning i en foranderlig verden. 2. udg. Lyngby: Polyteknisk forlag. Lichtenberg, S. (2000). Proactive management of uncertainty using the successive principle a practical way to manage opportunities and risks. Lyngby: Polyteknisk forlag. Mayer P. et al. (15). Vieillissement des éléments de construction et coûts d entretien. Program PI BAT. Zurich: Swiss Federal Office for Economic Policy.

Byggeøkonomuddannelsen

Byggeøkonomuddannelsen Byggeøkonomuddannelsen Risikoanalyse Successiv kalkulation Ken L. Bechmann 18. november 2013 1 Dagens emner Risikoanalyse og introduktion hertil Kalkulation / successiv kalkulation Øvelser og småopgaver

Læs mere

Totaløkonomi principper og perspektiver

Totaløkonomi principper og perspektiver Totaløkonomi principper og perspektiver Seniorforsker, ph.d. Kim Haugbølle Statens Byggeforskningsinstitut/Aalborg Universitet Byggeøkonomisk Netværk Arkitekternes Hus, 13. december 2011 khh@sbi.dk Disposition

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

OPP Kalvebod Brygge. Bilag 5 // Overdragelse af aktivet

OPP Kalvebod Brygge. Bilag 5 // Overdragelse af aktivet Bilag 5 // Overdragelse af aktivet Indholdsfortegnelse Side 1 Indledning 2 2 Aktivets tilstand ved ophør 2 3 Løbende tilstandsvurdering 2 4 Gennemgang af Aktivet 3 5 Levetid 4 1 Indledning Nærværende dokument

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder

Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel. - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Spar Nord Banks ansøgningsscoremodel - et ekspertbaseret ratingsystem for nye udlånskunder Mål for ansøgningsscoremodel Rating af nye udlånskunder som beskrives vha. en række variable: alder, boligform,

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark

ISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Teknisk rapport 11-11 Ekstremværdianalyse af nedbør i Danmark 1874-2010. Sisse Camilla Lundholm. www.dmi.dk/dmi/tr11-11 side 1 af 14

Teknisk rapport 11-11 Ekstremværdianalyse af nedbør i Danmark 1874-2010. Sisse Camilla Lundholm. www.dmi.dk/dmi/tr11-11 side 1 af 14 Ekstremværdianalyse af nedbør i Danmark 1874-2010 Sisse Camilla Lundholm www.dmi.dk/dmi/tr11-11 side 1 af 14 København 2011 www.dmi.dk/dmi/tr11-11 side 2 af 14 Kolofon Serietitel: Teknisk rapport 11-11

Læs mere

Efficient Position Updating

Efficient Position Updating Efficient Position Updating Pervasive Positioning, Q3 2010 Lasse H. Rasmussen, 20097778 Christian Jensen, 20097781 12-03-2010 1 Introduktion Denne rapport har til formål at beskrive implementeringen og

Læs mere

JYRO arkitekter j-y-r-o.dk +45 5361 1290 Sag 09-14. Afprøvningsprojekt og vurdering af energiberegning fra BIM-model. Deltagere

JYRO arkitekter j-y-r-o.dk +45 5361 1290 Sag 09-14. Afprøvningsprojekt og vurdering af energiberegning fra BIM-model. Deltagere Afprøvningsprojekt og vurdering af energiberegning fra BIM-model JYRO arkitekter Deltagere Tom Hansen arkitekt MAA Tegnestuen Hornbæk th@tegnestuenhornbeak.dk Per Jyllnor arkitekt MAA JYRO arkitekter pj@

Læs mere

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Driftsvenligt byggeri

Driftsvenligt byggeri rgerz Driftsvenligt byggeri Et byggeris driftsudgifter overstiger ofte i det lange løb anskaffelsesudgifterne, og er derfor mindst lige så betydningsfulde, når byggeriets totale økonomi skal vurderes ved

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

TAGHAVERS TEKTONIK. BYG ERFA Byggetekniske Erfaringer. AgroTech Tirsdag den 7. juni 2011, Taastrup

TAGHAVERS TEKTONIK. BYG ERFA Byggetekniske Erfaringer. AgroTech Tirsdag den 7. juni 2011, Taastrup Fonden BYG-ERFA Hillerødvejen 120 3250 Gilleleje Telefon 82 30 30 22 redaktion@byg-erfa.dk byg-erfa.dk TEKTONIK Udformning og sammenføjning af elementer til en helhed TAGHAVERS TEKTONIK AgroTech Tirsdag

Læs mere

SBi 2012:05. Levetider for bygningsdele omfattet af ejerskifteforsikring og huseftersynsordningen

SBi 2012:05. Levetider for bygningsdele omfattet af ejerskifteforsikring og huseftersynsordningen SBi 2012:05 Levetider for bygningsdele omfattet af ejerskifteforsikring og huseftersynsordningen Levetider for bygningsdele omfattet af ejerskifteforsikring og huseftersynsordningen Niels-Jørgen Aagaard

Læs mere

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt

brikkerne til regning & matematik statistik preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik statistik 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-33-6 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Original Brother-farveblækpatron Testmetode til fastlæggelse af antallet af udskrevne sider baseret på standarden ISO/IEC24711

Original Brother-farveblækpatron Testmetode til fastlæggelse af antallet af udskrevne sider baseret på standarden ISO/IEC24711 Original Brother-farveblækpatron Testmetode til fastlæggelse af antallet af udskrevne sider baseret på standarden ISO/IEC24711 Indhold 1. Indledning 2. ISO/IEC-standarden, generelt 3. ISO/IEC24711-standarden,

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

TILSTANDS OG VEDLIGEHOLDELSESRAPPORT

TILSTANDS OG VEDLIGEHOLDELSESRAPPORT TILSTANDS OG VEDLIGEHOLDELSESRAPPORT Maj 2004 Eremitageparken 2800 Kgs. Lyngby Tilstandsrapport Del 1 Side 2 af 7 Indledning. Orientering. Ejendommen er opført i 1969 1970. Rapporten indeholder forslag

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Ledelsessystemer. Kvalitet Miljø Arbejdsmiljø

Ledelsessystemer. Kvalitet Miljø Arbejdsmiljø Ledelsessystemer Kvalitet Miljø Arbejdsmiljø Politik Procedurer Strategisk Taktisk Arbejdsbeskrivelser, tegninger Operationelt Work process Product Work process policy Procedures Working procedures or

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Aktstykke nr. 140 Folketinget 2014-15. Afgjort den 28. maj 2015. Klima-, Energi- og Bygningsministeriet. København, den 19. maj 2015.

Aktstykke nr. 140 Folketinget 2014-15. Afgjort den 28. maj 2015. Klima-, Energi- og Bygningsministeriet. København, den 19. maj 2015. Aktstykke nr. 140 Folketinget 2014-15 Afgjort den 28. maj 2015 140 Klima-, Energi- og Bygningsministeriet. København, den 19. maj 2015. a. Klima-, Energi og Bygningsministeriet anmoder hermed om Finansudvalgets

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

COSIMA-VEJ SOFTWARE TIL PROJEKTVURDEIRNG I DEN DANSKE VEJSEKTOR

COSIMA-VEJ SOFTWARE TIL PROJEKTVURDEIRNG I DEN DANSKE VEJSEKTOR COSIMA-VEJ SOFTWARE TIL PROJEKTVURDEIRNG I DEN DANSKE VEJSEKTOR Af Kim Bang Salling, Anders Vestergaard Jensen & Steen Leleur Center for Trafik & Transport (CTT) Danmarks Tekniske Universitet (DTU) kbs@ctt.dtu.dk,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

TAGINTEGREDE SOLCELLE-ANLÆG. Hvordan projekteres det billigst muligt?

TAGINTEGREDE SOLCELLE-ANLÆG. Hvordan projekteres det billigst muligt? TAGINTEGREDE SOLCELLE-ANLÆG Hvordan projekteres det billigst muligt? Erfaringer har vist, at der i forbindelse med etablering af tagintegrerede solcelle-anlæg eksisterer en række planlægningsmæssige, byggetekniske,

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.

Læs mere

Facadeelement 11 Kompakt element med klinklagt facadebeklædning

Facadeelement 11 Kompakt element med klinklagt facadebeklædning Notat Fugt i træfacader II Facadeelement 11 Kompakt element med klinklagt facadebeklædning Tabel 1. Beskrivelse af element 11 udefra og ind. Facadebeklædning Type Klink (bræddetykkelse) 22 mm Vanddampdiffusionsmodstand

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Fornyet udkast til nye internationale bestemmelser om nedskrivning på udlån

Fornyet udkast til nye internationale bestemmelser om nedskrivning på udlån Fornyet udkast til nye internationale bestemmelser om nedskrivning på udlån Kontakt Jan Fedders Telefon: 3945 9101 Mobil: 2370 6574 E-mail: jfe@pwc.dk Erik Stener Jørgensen Telefon: 3945 3088 Mobil: 4089

Læs mere

Bilag 1 Tidsplan Version 0.9 05-05-2014 0

Bilag 1 Tidsplan Version 0.9 05-05-2014 0 Bilag 1 Tidsplan Version 0.9 05-05-2014 0 Indhold 1 VEJLEDNING TIL TILBUDSGIVER... 2 2 INDLEDNING... 3 2.1 ETAPER I UDVIKLINGSPROJEKTET... 3 2.1.1 ETAPE I - AFKLARING... 3 2.1.2 ETAPE II ANALYSE, DESIGN,

Læs mere

TOTALØKONOMISKE VURDERINGER Dokumentation for

TOTALØKONOMISKE VURDERINGER Dokumentation for TOTALØKONOMISKE VURDERINGER for web-applikation Wep-applikation Side 1 af 9 Indhold Generelt... 3 1 Baggrund... 3 1.1 Nuværende lovgrundlag... 3 1.2 Formål... 3 2 Beregningsmetoder... 3 2.1 Hovedprincip...

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2015 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau HHX Matematik niveau B Lærer(e)

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

TOTALØKONOMI. Marts 2015 Totaløkonomi - Arkitekternes Efteruddannelse

TOTALØKONOMI. Marts 2015 Totaløkonomi - Arkitekternes Efteruddannelse 1 TOTALØKONOMI INDHOLD 2 Den totaløkonomiske tankegang Nogle kæpheste Scenarier og nøgletal Definitioner og beregninger Totaløkonomisk forankring Totaløkonomiske udfordringer Totaløkonomiske værktøjer

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kommissorium for Revisions- og Risikokomiteen i DONG Energy A/S

Kommissorium for Revisions- og Risikokomiteen i DONG Energy A/S Kommissorium for Revisions- og Risikokomiteen i DONG Energy A/S Generelt Revisions- og Risikokomiteen er et udvalg under Bestyrelsen, der er nedsat i overensstemmelse med forretningsordenen for Bestyrelsen.

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Totaløkonomi. Februar 2013 Totaløkonomi - DFM medlemsmøde

Totaløkonomi. Februar 2013 Totaløkonomi - DFM medlemsmøde 1 Totaløkonomi INDHOLD 2 Introduktion til totaløkonomi Nogle kæpheste Scenarier og nøgletal Eksempel på beregning Totaløkonomisk forankring Totaløkonomiske udfordringer Strategisk fokus Totaløkonomiske

Læs mere

Lean Production: Virker det og kan virkningen måles

Lean Production: Virker det og kan virkningen måles Lean Production: Virker det og kan virkningen måles Lean er det seneste skud på stammen af ledelsesteknikker. En række private og offentlige virksomheder er begejstrede gået i krig med at indføre Lean.

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014

Matematik og spil. Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 Enhedens navn Matematik og spil Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014 På disse slides skal spil læses som væddemål. Hvorfor

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

KUNDETILFREDSHEDSMÅLING 2013

KUNDETILFREDSHEDSMÅLING 2013 KUNDETILFREDSHEDSMÅLING 2013 KALUNDBORG FORSYNING Totalrapport December 2013 INDHOLD 3 HOVEDRESULTATER OPSUMMERET 4 OM DENNE RAPPORT 4 EFFEKTANALYSE 5 OPBYGNING AF RAPPORTEN 6 DEL 1: OVERORDNEDE RESULTATER

Læs mere

Måleteknisk direktiv (Vejledning) FJERNVARMEMÅLERE. Kontrolsystem for målere i drift. MDIR 07.01-01, udg. 3

Måleteknisk direktiv (Vejledning) FJERNVARMEMÅLERE. Kontrolsystem for målere i drift. MDIR 07.01-01, udg. 3 Den fulde tekst Måleteknisk direktiv (Vejledning) FJERNVARMEMÅLERE. Kontrolsystem for målere i drift. MDIR 07.01-01, udg. 3 Minimumskrav/Vejledning I henhold til Erhvervsfremme Styrelsens bekendtgørelse

Læs mere

Valg af datamodel. Prototypen på DIS

Valg af datamodel. Prototypen på DIS Integreret bygningsprojektering med edb Af Karl Grau, Statens Byggeforskningsinstitut Statens Byggeforskningsinstitut har udviklet prototypen på et integreret edb-system til energi- og indeklimaberegninger.

Læs mere

Agenda. Hvorledes sikres det beslutningsmæssige grundlag for CO-2 neutrale byggerier & renoveringer?

Agenda. Hvorledes sikres det beslutningsmæssige grundlag for CO-2 neutrale byggerier & renoveringer? Agenda Totaløkonomi i energineutralt byggeri Hvorledes sikres det beslutningsmæssige grundlag for CO-2 neutrale byggerier & renoveringer? Totaløkonomi i energineutralt byggeri Energiberegner Brugervenlig

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

High performance maksimér potentialet. En måling er bedre end 100 mavefornemmelser. Per Hartlev ph@whitebox.dk 30/9-2015

High performance maksimér potentialet. En måling er bedre end 100 mavefornemmelser. Per Hartlev ph@whitebox.dk 30/9-2015 High performance maksimér potentialet En måling er bedre end 100 mavefornemmelser Per Hartlev ph@whitebox.dk 30/9-2015 Release-styring Hjælpe værktøjer Kvalitets sikring Leverandør kontrakter Kurser Opgave

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Undersøgelse og vurdering. skimmelsvampe i bygninger

Undersøgelse og vurdering. skimmelsvampe i bygninger Undersøgelse og vurdering af fugt og skimmelsvampe i bygninger By og Byg Anvisning 204 Undersøgelse og vurdering af fugt og skimmelsvampe i bygninger 1. udgave, 2003 Effektiv afhjælpning og vurdering af

Læs mere

Ikke-bærende vægge. MK Prøvnings- og godkendelsesbetingelser. MK 6.00/010 8. udgave Januar 2014. Telefon 45 76 20 20. Telefax 45 76 33 20

Ikke-bærende vægge. MK Prøvnings- og godkendelsesbetingelser. MK 6.00/010 8. udgave Januar 2014. Telefon 45 76 20 20. Telefax 45 76 33 20 MK 6.00/010 8. udgave Januar 2014 Ikke-bærende vægge MK Prøvnings- og godkendelsesbetingelser ETA-Danmark A/S Kollegievej 6 DK-2920 Charlottenlund Telefon 45 76 20 20 Telefax 45 76 33 20 Forudsætninger...

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

En mere sikker og træfsikker risikostyring af projekter Neutrale intelligente slutvurderinger er hemmeligheden Aktuelle resultater bekræfter dette

En mere sikker og træfsikker risikostyring af projekter Neutrale intelligente slutvurderinger er hemmeligheden Aktuelle resultater bekræfter dette En mere sikker og træfsikker risikostyring af projekter Neutrale intelligente slutvurderinger er hemmeligheden Aktuelle resultater bekræfter dette Steen Lichtenberg steen@lichtenberg.org 1 Oversigt Det

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Vandinstallationer dimensionering. Erik Brandt Leon Buhl Carsten Monrad

Vandinstallationer dimensionering. Erik Brandt Leon Buhl Carsten Monrad Vandinstallationer dimensionering Erik Brandt Leon Buhl Carsten Monrad SBi-anvisning 235 Statens Byggeforskningsinstitut, Aalborg Universitet 2011 Titel Vandinstallationer dimensionering Serietitel SBi-anvisning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

1. KATEGORIER AF BYGNINGSDELE OG KORTLÆGNING AF OMFANG

1. KATEGORIER AF BYGNINGSDELE OG KORTLÆGNING AF OMFANG Titel Undertitel Udgave - Vejledning i Ramme- og Miniudbud: Bygherrekrav til opnåelse af bedre, hurtigere og billigere 1. udgave Udgivelsesår 2012 Redigering Forfattere Illustrationer og Layout Forside

Læs mere

DE BEAR TECHNOLOGY. o Processer, metoder & værktøjer. e-mail: info@dbtechnology.dk WWW.DBTECHNOLOGY.DK

DE BEAR TECHNOLOGY. o Processer, metoder & værktøjer. e-mail: info@dbtechnology.dk WWW.DBTECHNOLOGY.DK Mission Critical o Projekt Information management o Processer, metoder & værktøjer. Side 1 of 11 Projekt information Projekt information management inkluderer alle de processer, som er nødvendige for at

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Garuda Research Institute

Garuda Research Institute R Garuda Research Institute Human Resource Management & Development Om arbejdsløshed Af Finn Havaleschka A concept from GARUDA Research Institute. Finn Havaleschka, Garuda Europe. This booklet and the

Læs mere

Erhvervsastrologi fjernundervisning/overbygning

Erhvervsastrologi fjernundervisning/overbygning Kurset er baseret på undervisning i erhvervsastrologi som selvstuderende og indeholder 6 moduler: Modul 1: Modul 2: Modul 3: Modul 4: Modul 5: Modul 6: Strukturanalyse Strategiplanlægning Entrepreneurship

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Orienteringsmøder 2007

Orienteringsmøder 2007 Orienteringsmøder 2007 Byggeskadeforsikring digitale afleveringer vejledninger om fugt og skimmelsvampe v/ole Bønnelycke To skadesager om fugt og skimmelsvampe v/jens Dons og Jørgen Wegener Pause Byggetekniske

Læs mere

Jeg vil gerne indledningsvist nævne, at jeg grundlæggende finder, at liberaliseringen af bilsynsmarkedet har været en succes.

Jeg vil gerne indledningsvist nævne, at jeg grundlæggende finder, at liberaliseringen af bilsynsmarkedet har været en succes. Udkast MINISTEREN Statsrevisoratet Christiansborg 1240 København K Dato 28. august 2009 Dok.id 841265 J. nr. 413-8 Deres ref. 09-000410-5 Frederiksholms Kanal 27 F 1220 København K Telefon 33 92 33 55

Læs mere

Læringskontrakten. Gruppenummer, retning, dato Projektets titel (evt arbejdstitel) Problembeskrivelse

Læringskontrakten. Gruppenummer, retning, dato Projektets titel (evt arbejdstitel) Problembeskrivelse Læringskontrakten Gruppenummer, retning, dato Projektets titel (evt arbejdstitel) Problembeskrivelse En beskrivelse af, hvad der forventes lært gennem projektet. Indlæringsniveauet beskrives ved brug af

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal

Læs mere