Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL"

Transkript

1 Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio, sesitivitetsaalyse, parameterusikkerhed ABSTRACT: Kalibrerig er e af de mest tidskrævede faser i modeludviklige. Samtidig er det et af de mest kritiske tri i udviklige af e pålidelig model. Det er derfor af afgørede betydig, at kalibrerigsprocesse struktureres hesigtsmæssigt, hvis e optimal model skal opås. I dette kapitel skitseres det, hvorda kalibrerigsprocesse ka orgaiseres og kvatificeres. De første tre faser i kalibrerigsprocesse består i valg af kalibrerigsdata, kalibrerigskriterier og kalibrerigsparametre. Deræst agives retigsliier for selve estimatioe af parametre, hvor der er taget udgagspukt i avedelse af mauel kalibrerig, me hvor også automatisk kalibrerig itroduceres. Edelig skitseres det, hvorda usikkerhede på kalibrerigsparametree ka vurderes, og det beskrives, hvorda resultatere af kalibrerigsprocesse ka præseteres. 0. INDLEDNING Avedelse af e umerisk model forudsætter, at parametree, som idgår i de diskretiserede ligiger, f.eks. strømigsligige (.9), kvatificeres. I tilfældet med tredimesioal ikkestatioær grudvadsstrømig, lig. (.9), skal der for hvert umerisk elemet fastsættes værdier for de hydrauliske egeskaber udtrykt ved parametree K x, K y, K z, og S s. Desude skal såvel ydre som idre radbetigelser (se kapitel 6) fastlægges. Atallet af umeriske elemeter vil stort set altid overstige atallet af måliger af de hydrauliske parametre, der er til rådighed i et givet område, og det er derfor ødvedigt at estimere parametrees værdi. Dette ka gøres ud fra () de tilgægelige måliger af de hydrauliske parametre (f.eks. hydraulisk ledigseve) eller (2) observerede værdier af systemets tilstadsvariable (f.eks. hydraulisk trykiveau). De første metode ka geemføres selv om der ikke er tilstrækkeligt med måliger af de hydrauliske egeskaber til at dække hele det umeriske et. Ved iterpolatio ud fra måligere ka der etableres værdier over hele området. Dee metode vil pga. primært to effekter ofte resultere i for store afvigelser mellem observeret og simuleret tilstadsvariable (residualer). For det første varierer geologie sjældet jævt mellem målepuktere, og der er derfor stor sadsylighed for, at heterogeiteter overses med dee metode. For det adet resulterer skalaeffekter i, at det er vaskeligt at importere feltmåliger af hydrauliske egeskaber direkte til de umeriske model. Det bedste resultat opås ormalt, hvis modelles parametre estimeres vha. de ade metode, dvs. ud fra observatioer af eksempelvis hydraulisk trykiveau. I dette tilfælde justeres parameterværdiere med det formål at opå e god overesstemmelse mellem målte og simulerede tilstadsvariable. Dee proces, hvor der estimeres parametre og radbetigelser, som gør strømigsmodelle i stad til at reproducere f.eks. trykiveau- og vadførigsmåliger med e på forhåd give præcisio, beæves modelkalibrerig eller blot kalibrerig. I kalibrerigsprocesse tilpasses parametree med det formål at miimere residualere (afvigelse mellem observeret værdi og modelresultat). Herved opås parameterestimater, som gør modelle i stad til at reproducere systemets opførsel i kalibrerigsperiode (tidsperiode hvorfra data, der avedes til kalibrerig, stammer fra), med forhåbetlig acceptabel præcisio. I de efterfølgede validerigsfase (kapitel ) vurderes det, om modelle også er i stad til at forudsige det fysiske systems opførsel i validerigsperiode. 0-

2 . Observatios data 2. Kalibrerigskriterier 3. Valg af kalibrerigsparametre (sesitivitetsaalyse) 4. Modelsimulerig 4.4 Nye parameterværdier Ige forbedrig 4.2 Kalibrerigskriterier opfyldt? Nej 4.3 Aalyse af residualer Ja 5. Parameterusikkerhed 6. Præsetatio af parametre og residualer Figur 0. Kalibrerigsprotokol, hvor de ekelte tri i kalibrerigsprocesse er opført. Kalibrerige er et af de sværeste skridt i opstillig af e operatioel grudvadsmodel, og vil ofte være de fase i modeludviklige, som kræver det største tidsforbrug. Kalibrerigsprocesse ka være vaskelig og frustrerede at geemføre, specielt hvis der ikke følges e striget fremgagsmetode. Figur 0. viser, hvorledes kalibrerige af e grudvadsmodel med fordel ka geemføres. De såkaldte kalibrerigsprotokol agiver de skridt, der tages i kalibrerige af modelle. Observatiosdata er e basal forudsætig for at kue geemføre e kalibrerig. Det er vigtigt dels at iddrage de relevate data (typisk pejledata og afstrømigsdata), dels at vurdere usikkerhede på de avedte observatioer. Det æste skridt i kalibrerigsprocesse består i at opstille både kvatitative og kvalitative kriterier for, hvor præcist modelle skal reproducere de observerede værdier. Derefter skal det aalyseres, hvilke modelparametre, der skal udvælges som kalibrerigsparametre. Til dette formål vil både e aalyse af det fysiske system samt e sesitivitetsaalyse af potetielle kalibrerigsparametre med fordel kue udføres. Efter de tre idledede faser er geemført, ka selve estimatioe foretages ( i figur 0.). Dee iterative proces forløber ved successivt at ædre 0-2

3 værdiere af kalibrerigsparametree. Ædrigere foretages på basis af e aalyse af residualere, ete ud fra e fysisk idsigt i det modellerede system eller ved geemførelse af e detaljeret sesitivitetsaalyse. Estimatiosprocesse ka afsluttes med e aalyse af usikkerhede på de estimerede kalibrerigsparametre. Edelig skal resultatet af kalibrerige rapporteres, hvilket ikluderer præsetatio og vurderig af optimerede parametre og simulerigsresultater. I de følgede afsit vil hvert elemet i kalibrerigsprotokolle blive geemgået. 0.2 OBSERVATIONSDATA I dette afsit beskrives udvælgelse og kvalitetsvurderig af måliger fra det betragtede hydrologiske system, som modelle kalibreres efter. Data, der avedes som iput til modelle (edbør, temperatur, fordampig, etc.), vil ikke blive behadlet her, idet der hevises til kapitel Udvælgelse af observatiosdata I arbejdet med strømigsmodeller vil det primært være måliger af hydraulisk trykiveau og vadløbsvadførig, der ka ikluderes i kalibrerigsprocesse. Hvis de umættede zoe idgår i modelle, vil måliger af vadidhold måske være til stede. I sjælde tilfælde vil der også være mulighed for at iddrage måliger af grudvadets alder samt grudvadets strømigsretig og - hastighed. Da de sidstævte data ku udtagelsesvis er til rådighed, vil der her blive fokuseret primært på observatioer af hydraulisk trykiveau og vadførig. I det følgede behadles udvælgelse af kalibrerigsdata, dvs. hvilke observatioer af trykiveau og vadførig, der skal ikluderes i estimatioe. Både de tidslige og rumlige fordelig af de tilgægelige observatiosdata vil blive behadlet. I første omgag er det hesigtsmæssigt at aalysere det foreliggede datasæt for systematiske fejl. Trykiveaumåliger ka være påvirket af effekter, som ikke er ikluderet i de opstillede model. Eksempelvis ka visse observatioer være iflueret af prøvepumpigsforsøg, af ividigsboriger som er edlagt, m.m. Det abefales derfor, at de tilgægelige data evalueres, f.eks. vha. koturplot eller ade visuel tekik til at illustrere det geerelle trykiveaubillede i området. Når der avedes e statioær grudvadsmodel, er udvælgelse af repræsetative data lagt fra triviel. Hvis tidsserier af det hydrauliske trykiveau er til rådighed, skal der foretages e midlig af trykiveauet, der afspejler, hvilke slags statioær model der er opstillet. Statioære tilstade vil ku i meget sjælde tilfælde optræde i virkelige grudvadsmagasier, og det skal derfor vælges, hvilke situatio, der øskes e model for. Hvis der fokuseres på vadudvekslige mellem grudvad og vadløb med det formål at aalysere miimumsvadførige i vadløb, vil det muligvis være mest hesigtsmæssigt at basere kalibrerigsværdie på e aalyse af årlige miimumsværdier af det hydrauliske trykiveau. Hvis der derimod øskes e aalyse af de geemsitlige forhold i reservoiret, vil middelværdie af det målte trykiveau sadsyligvis være e mere repræsetativ kalibrerigsværdi. Hvilke typer data, der skal iddrages, og hvilke slags midlig, der skal foretages, afhæger med adre ord af formålet med modellerigsarbejdet. Vadførigsdata for grudvadszoe er ikke direkte tilgægelig, me der ka opås et idirekte mål for grudvadets udvekslig med vadløb, her beævt grudvadstilstrømig, ved at iddrage værdier af vadløbees sommervadføriger, hvor de midste vadførig i vadløbet optræder. Hvis det ikke har reget i lægere tid forud for målige, ka det for visse grudvadssystemer forsvares at fortolke dee vadførig udelukkede som et resultat af vadstrømig geem de mættede zoe til vadløbet (samt evt. spildevadsbidrag eller adre tillediger). Dvs. bidrag fra overfladeafstrømig, iterflow, drævadsafstrømig samt udstrømig fra søer og vådområder forudsættes at være egligible i forhold til grudvadstilstrømige. Grudvadstilstrømige varierer over året, og det er derfor vigtigt at gøre sig klart, at de målte miimumsvadførig repræseterer de lave ede af grudvadstilstrømiges variatiosområde. Hvis der arbejdes med e statioær model, der skal simulere sommerperiode med lille ettoedbør, vil det være hesigtsmæssigt at avede mediamiimum som er et udtryk for det 0-3

4 sadsylige miimumsflow. Derimod vil mediamiimum ikke repræsetere de geemsitlige grudvadstilstrømig, og mediamiimumsværdier ka derfor være farlige at avede direkte i e statioær model, hvor reservoirets geemsitlige forhold øskes belyst. Hvis det skal være muligt at estimere rumligt distribuerede parametre, er det vigtigt, at der er observatiosdata til rådighed i hele det modellerede område. Ideelt set er det mest fordelagtigt, hvis kalibrerigsdata fordeler sig jævt idefor området. I realitete vil der altid være flere data til rådighed i ogle områder ed adre. Det ka derfor være hesigtsmæssigt at elimiere ogle observatioer i områder, hvor desitete af data er stor. Herved udgås, at visse områder tillægges meget større vægt ed adre, år kalibrerige geemføres, idet modelløre vil være tilbøjelig til at vurdere kalibrerigsresultatet ud fra ogle umeriske kriterier (se afsit 0.3). Desude vil iformatiosmægde pr. observatio typisk være lille i områder med høj kocetratio af data. Det vil derfor være relativt omkostigsfrit at se bort fra observatioer i pågældede område. Hvad ete der simuleres statioært eller ikke-statioært ka det abefales, at både trykiveau og vadførig iddrages i kalibrerige. Jo flere typer data, der avedes, des større chace er der for at udgå problemer med maglede idetificerbarhed (afsit 0.4.2) og etydighed (afsit 0.5). Desude ka idragelse af flere datatyper resultere i e reduktio af usikkerhede på de estimerede parametre, se f.eks. Christese et al. (998) Usikkerhed på observatiosdata Det abefales, at kvalitete (usikkerhede) af kalibrerigsdata vurderes, ide parameterestimatioe påbegydes. Formålet med at kvatificere usikkerhede på kalibrerigsdata er for det første at opå et mål for, hvor præcist modelle i bedste fald ka forvetes at reproducere data, dels at opå et objektivt kriterium for, hvorledes data af samme type skal vægtes idbyrdes og edu vigtigere, hvorda data af forskellig type skal vægtes i forhold til hiade. Observatiosdata vil altid være behæftet med usikkerhed. I ærværede sammehæg vil faktorer, som resulterer i ikke systematiske afvigelser mellem måliger og modelresultater blive fortolket som usikkerhed på observatiosdata. Målefejl er e af årsagere til e del af dee usikkerhed, mes uoveresstemmelse mellem atures kotiuerte variable og modelles diskrete variable er e ade årsag til afvigelser mellem observatioer og modelprediktioer. Effektere, som beskrives i dette afsit, vil i middel være ul og itroducerer derfor ikke oge systematisk fejl i modelarbejdet. I det følgede vil usikkerhede på trykiveau- og vadførigsobservatioer blive kvatificeret. Der sigtes på at bestemme e størrelsesorde for usikkerhede, idet e meget øjagtig kvatificerig ku udtagelsesvist ka lade sig gøre. Desude er det ikke ødvedigt at fastlægge usikkerhede med speciel høj præcisio for at kue vurdere kvalitete af observatioere. Observatioer af hydraulisk trykiveau Trykiveauobservatioer ka være behæftet med målefejl. Selve pejlige i borige ka være fejlbehæftet, idet både tryktrasducere og vadspejlsmåleudstyr har e edelig præcisio. Dee fejl vil uder ormale omstædigheder være relativ beskede (få cetimeter). Større fejl ka opstå pga. mauelle aflæsigsfejl eller tastefejl. Desude ka det målte vadiveau i borige afvige fra de sade værdi i magasiet pga. delvis tilstopig af eller omkrig filtersætige. Da barometertrykket sjældet idgår eksplicit i grudvadsmodeller, og atmosfæriske lufttryksædriger derfor ikke beskrives af modelle, ka barometereffekter også itroducere e fejl på det måle trykiveau. Samlet vil målefejlee typisk resultere i e stadardafvigelse på observatiosværdie på 5 30 cm. Kote, hvortil dybde til vadspejlet i borige relateres (målepuktskote), ka være behæftet med betydelig usikkerhed. Hvis terrækote er bestemt ud fra et topografisk kort med skalae :25.000, vil itervallere mellem koturliiere være 2.5 m med e præcisio på 0.5 m. Medtages boriges usikre placerig på kortet, ka de samlede stadardafvigelse på målepuktskote være på 2 m. Hvis terrækote er bestemt vha. GPS vil usikkerhede typisk være af størrelsesorde cecimeter. 0-4

5 Skalaeffekter medfører e yderligere usikkerhed på data. Skalaeffekter opstår, fordi der avedes umeriske celler af edelig størrelse til beskrivelse af de kotiuerte fysiske virkelighed. Eksempelvis ka der være uoveresstemmelse mellem boriges filtersatte iterval og de vertikale diskretiserig i modelle. Både hvis filteritervallet er midre ed lagtykkelse me specielt, hvis det er større ed lagtykkelse eller de vertikale cellestørrelse, vil der opstå fejl ved sammeligige af observeret og simuleret trykiveau. Hvis borige eksempelvis er filtersat over to sadmagasier adskilt af et lavpermeabelt lerlag, vil det være vaskeligt at relatere det målte trykiveau til resultater fra e model, der opløser de geologiske lagserie. Normalt vil filterets midtpukt blive avedt til at afgøre, hvilke celles trykiveau der skal repræsetere det observerede. Dette valg itroducerer e fejl, som er svær at kvatificere i det geerelle tilfælde. Fejle vil bl.a. afhæge af faktorer som filterlægde, de vertikale diskretiserig og de geologiske opbygig af reservoiret. Observatiosboriges horisotale placerig ka være behæftet med usikkerhed pga. uøjagtig opmålig. Hvis placerige er vurderet ud fra kort, ka dee fejl være betydelig. Desude vil boriges placerig ku sjældet være sammefaldede med midtpuktet af e umerisk celle. Det ka derfor være ødvedigt at iterpolere mellem ærliggede celler, for at opå det bedst mulige estimat af trykiveauet ved borige. Derved itroduceres e iterpolatiosfejl, som vil afhæge af de avedte horisotale diskretiserig og gradiete på trykiveauet i området. Topografies variatio idefor de umeriske celler ka give aledig til afvigelser mellem observeret og simuleret trykiveau. Trykiveauet i specielt de terræære frie magasier vil være følsomt overfor variatioer i topografie. Stadardafvigelse på det hydrauliske trykiveau vurderes geerelt at afhæge af topografies variatio, de avedte diskretiserig og det frie magasis ledigseve, me det er svært at kvatificere fejle i det geerelle tilfælde. Ved opsætig af DKmodel Fy (Herikse et al., 997), hvor der beyttes cellestørrelser på km, blev der bereget e stadardafvigelse på 4.9 m på celleres middelkote. Der var derfor e betydelig usikkerhed på simuleret trykiveau i de øverste lag af modelle. De sidste skalafejl skyldes de geologiske heterogeitet idefor de umeriske celler, som det i e determiistisk grudvadsmodel er umuligt at beskrive eksplicit, da hver celle skal tilskrives ét sæt hydrauliske parametre. Ifølge Gelhar (986) er usikkerhede på trykiveauet, som skyldes ikke modelleret heterogeitet, e fuktio af gradiete på det hydrauliske trykiveau, variase på logtrasformeret hydraulisk ledigseve samt korrelatioslægde for samme størrelse. Det kræver derfor et detaljeret kedskab til de rumlige variabilitet af de hydrauliske ledigseve, som sjældet er tilgægelig i praksis, at kvatificere dee type fejl. Imidlertid vil det udertide være muligt at give et kvalificeret skø på de hydrauliske ledigseves geostatistiske egeskaber ved at iddrage erfarigsværdier fra sammeligelige områder. Alterativt ka fejle vurderes, hvis trykiveaudata fra tætståede boriger er til rådighed. Tidsskalaeffekter ka være e fejlkilde, hvis der avedes e statioær grudvadsmodel. Avedelse af observatiosdata, som repræseterer ikke-statioære tilstade, vil ved brug af e statioær model resultere i afvigelser mellem observeret og simuleret trykiveau, som ikke ka elimieres. Hvis tidsserier af trykiveaumåliger er til rådighed, ka data aalyseres, som beskrevet i afsit 0.2., og e værdi, der repræseterer de statioære tilstad, som øskes beskrevet, ka bereges. Herved ka de ikke-statioære fejl miimeres til et iveau, som er bestemt af tidsseries lægde og de avedte aalysemetode. I mage tilfælde vil der imidlertid ku være ekelte eller få måliger til rådighed fra de fleste af de istallerede boriger, og i dette tilfælde vil det være svært at filtrere de ikke-statioære effekt fra. Da måligere ka ideholde værdifuld iformatio om trykiveaubilledet i området, vil de ofte blive avedt i kalibrerige alligevel. Hvis trykiveauere i de tilgægelige boriger er fremkommet ved målig på tilfældige tidspukter af året, vil det imidlertid være rimeligt at atage, at måligere i geemsit repræseterer et middeltrykiveau. Pga. sæsovariatioere vil de pågældede data være behæftet med e betydelig usikkerhed, som ka kvatificeres vha. tidsserier af trykiveaumåliger fra det aktuelle område. Herved ka et estimat for årstidsvariatioere og dermed usikkerhede på datapuktere skøes. For Esbjergmodelle, se appediks A, blev trykiveaudata fra Jupiterdatabase, som ideholder mage boriger med ku é eller få måliger, avedt. Ud fra tidsserier fra området blev trykiveauet vurderet at variere med ca. m, svarede til e stadardafvigelse på omkrig e halv meter. 0-5

6 I edeståede tabel ses e oversigt over de ovefor beskreve usikkerheder, hvor stadardafgivelse er avedt til kvatificerige. Yderligere er det forsøgt at berege de ekelte usikkerhedsbidrag for hhv. Esbjergmodelle (Harrar & Herikse, 996, samt Appediks A) og DK-model Fy (Herikse et al., 997), i begge tilfælde for beregigslag 3, som er domieret af sadformatioer. Variase på log K er sat til hhv. og 2 for Esbjerg og Fy, og korrelatioslægde,, er for begge områder sat til 500 m. Hvis fejlkildere atages at være uafhægige, ka de ekelte bidrags varias (kvadratet på de tabulerede stadardafvigelser) summeres, og de samlede stadardafvigelse på observatiosdata ka bereges som kvadratrode af dee sum (vist i koloe lægst til højre i tabel 0.). Tabel 0. Agivelse af stadardafvigelse, s obs (i m), på observatioer af hydraulisk trykiveau. x beteger de horisotale diskretiserig, og J er de hydrauliske gradiet. Pejlefejl Skalafejl Ikkestatioaritefekter Adre ef- Samlet Målefejl Kote Iterpol. Heteroge. 3) usikkerhed Geerelt x J s lk J ) h t /2 2) 0 s 2 Esbjerg Fy ) s lk er stadardafvigelse på log K. er korrelatioslægde for log K (hvis korrelatioslægde er større ed de avedte diskretiserig, x, er = x). 2) h t agiver amplitude på sæsovariatioere i hydraulisk trykiveau. 3) Ikludere effekter som vertikal skalafejl og variatioer i topografi. Christese (997) giver et eksempel på kvatificerig af fejle på hydraulisk trykiveau for et dask (østjysk) grudvadsmagasi. De avedte data opdeles i fire grupper afhægig af observatiosfejl og geologisk heterogeitet på lokalitete, hvor borige er istalleret. Desude ka ma i samme publikatio fide et eksempel på de hydrauliske ledigseves geostatistiske parametre på e skala af størrelsesorde 30 km. I Christese et al. (998) ka fejle på trykiveauet for et magasi på Sjællad fides. Observatioer af vadløbsvadførig Tidsserier af vadførigsdata er behæftet med usikkerhed hidrørede fra kilder såsom registrerig af vadstad, vigemåliger af strømigshastighed og efterfølgede trasformatio til vadførig, fastlæggelse af Q-H relatioe (sammehæge mellem vadførige Q og vadstade H) for det grødefri vadløb samt bestemmelse af variatioer i vadførigseve pga. grødevækst/skrærig og sedimettrasport (ædriger i Q-H relatioe med tide). Vadførigsmåliger, der er udført vha. måliger af strømigshastigheder i veldefierede tværsit, er behæftet med e relativ lille målefejl (5%). Større fejl vil der være på vadførigdata, der er bestemt ved målig af vadstad i vadløbet og efterfølgede koverteret til vadførig vha. Q-H-kurver. Usikkerhede på Q-H relatioe vil blive overført til usikkerhed på bereget vadførigsværdi, typisk af størrelsesorde 0% (Blicher, 99). Usikkerhede på mediamiimum ved faste målestatioer vil afhæge af lægde af tidsserie, der er til rådighed til beregige af værdie, samt af spredige på data. Baseret på aalyse af årsmiima fra 0 daske statioer (tidsserier af 65 års varighed) fider Bjarov (987) frem til følgede sammehæg mellem middelmiimum, q, og stadardafvigelse på årsmiimum, s q, s q = q (0.) hvor både s q og q er i ehede l/s/km 2 (specifik afstrømig). Hvis årsmiimum atages at være ormalfordelt vil stadardafvigelse på mediamiumum, s q, approksimativt kue udtrykkes som 0-6

7 s q = sq q (0.2) hvor er atallet af årsmiima, hvorpå aalyse bygges. Hvis abefaligere fra Jese (993) følges, er = 20. Ved avedelse af oveståede ligig (0.2) fides de relative usikkerhed på mediamiimum ( s q / q) til hhv. 3% og 3% for mediamiimumsværdier på og 0 l/s/km 2, hvilket giver e ide om størrelsesordee af usikkerhede på mediamiimum ved referecestatioer. Sykromåliger, der repræseterer mediamiimum, vil være behæftet med usikkerhed pga. korrektio ud fra e referecestatio, dvs. e fast målestatio med e tidsserie på 20 år eller mere. Aalyse atager, at vadførige, hvor sykromålige er foretaget, varierer på samme måde som vadførige ved referecestatioe. Pålidelighede af dee fremgagsmåde vil aturligvis afhæge af, hvor godt dee atagelse er opfyldt, og usikkerhede på mediamiimumsværdier baseret på sykromåliger vil derfor være betydelig større ed usikkerhede på mediamiimum ved referecestatioer. Skalaeffekter har også idflydelse på vadførigsdata. Detaljerigsgrade, hvormed et vadløb ka repræseteres i e umerisk model, vil afhæge af de avedte diskretiserig. Eksempelvis vil det ikke være muligt at repræsetere vadløb med et oplad, der har midre udstrækig ed cellestørrelse i det umeriske et (Refsgaard, 997). Desude ka de geometriske repræsetatio af vadløbet afhæge af de umeriske cellestørrelse. De hydrauliske parametre, der beskriver vadudvekslige mellem vadløb og hhv. grudvadszoe, overfladekompoete og umættet zoe (eksempelvis vadsløbslækagekoefficiet, overfladeruhed, ifiltratioskapacitet) vil være påvirket af skalaeffekter. Skalaeffekte vurderes at resultere i e usikkerhed på vadførigsdata, der afhæger af forholdet mellem arealet af de umeriske celler og opladsarealet til vadførigsstatioe. Hvis dette forhold går mod, vil usikkerhede gå mod. Christese et al. (998) giver et eksempel på vurderig af usikkerhede på vadførigsdata for et dask oplad. Avedelse af usikkerhedsestimater Summe af oveståede fejlkilder udgør teoretisk set et mål for, hvor stor e afvigelse der ka forvetes mellem observeret og simuleret hydraulisk trykiveau (eller grudvadstilstrømig). Det kræver imidlertid, at procesbeskrivelser, de umeriske formulerig, radbetigelser, m.m. er fejlfrie. Desude kræver det, at de hydrauliske parametre kedes i hvert ekel celle i det umeriske et, hvilket aldrig er tilfældet for grudvadsmagasier. Forude observatiosfejle itroduceres der dermed e modelfejl, som skyldes uøjagtigheder i det avedte ligigssystem, diskretiserigsfejl, de avedte radbetigelser og de avedte hydrauliske parametre. Det er dee modelfejl, der ka miimeres ved passede valg af bl.a. modelparametre. Observatiosfejle agiver e edre græse for, hvor lille afvigelse der i geemsit ka opås mellem observeret og simuleret tilstadsvariabel (her ormalt trykiveau). De såkaldte kalibrerigsmål (på egelsk: target), som er et udtryk for, hvor præcist det ka forvetes, at modelresultatere beskriver observatiosværdiere, er derfor ofte givet ved følgede relatio (eksemplificeret ved trykiveauet): h obs as obs, hvor h obs er det observerede trykiveau, a er e kostat, a [, 2,...], og s obs er stadardafvigelse på trykiveauobservatioe. Hvis simulerigsværdie falder idefor kalibrerigsmålet, må det betragtes som værede tilfredsstillede. Når der iddrages mere ed é observatiostype, ka det være svært at vurdere, hvorledes afvigelser mellem observeret og simuleret værdi for de forskellige datatyper skal vægtes idbyrdes. Avedelse af usikkerhedsestimater på observatiosdata giver imidlertid e mulighed for at gøre dee vægtig midre subjektiv. Hvis residualere ormeres med de estimerede stadardafvigelse på observatiosværdie, vil de vægtede residualer udtrykke, hvor præcist modelle simulerer måligere i forhold til observatiosusikkerhede. Hvis modelle er ude modelfejl vil de vægtede residualer i geemsit være lig.0. Da de vægtede residualer er dimesiosløse og af samme stør 0-7

8 relsesorde uaset datatype, vil forskellige observatiostyper umiddelbart kue sammeliges, hvis dee fremgagsmåde følges. 0.3 KALIBRERINGSKRITERIER 0.3. Typer af kriterier Kvatitative kalibrerigskriterier baseres hyppigt på et mål for de geemsitlige afvigelse mellem observeret og simuleret værdi, også beævt e orm. Nedefor er agivet ogle ormer, som vægter de ekelte residualer på forskellig måde. ME (mea error eller middelfejl) udtrykker de geemsitlige afvigelse mellem observeret obs og simuleret sim tilstadsvariabel ME = ( - ) (0.3) i= obs,i sim, i hvor er atallet af observatioer. ME ka give et idtryk af, om der itroduceres oge overordet fejl i modelresultatere, dvs. om f.eks. trykiveauet simuleres geerelt for lavt eller højt. Hvis ME 0, vil der globalt set ikke optræde systematiske fejl i modelle. MAE (mea absolute error eller geemsitlig absolut fejl) bereger et geemsit af de absolutte residualer MAE = ( obs,i - sim, i ) (0.4) i= I tilfælde hvor observatioere kosekvet simuleres for højt i et område og for lavt i et adet område, ka ME godt være tæt på ul og dermed idikere et godt kalibrerigsresultat. MAE vil afsløre fejl af dee type og ka derfor være et vigtigt supplemet til ME i vurderige af de geemsitlige fejl. RMS (root mea squared error eller middelværdie af kvadratafvigelsessumme) er det kriterium, der oftest avedes til at måle de opåede overesstemmelse mellem data og model RMS = i= - 2 obs,i sim, i (0.5) Dee orm er et mål for spredige på residualere (lig stadardafvigelse, hvis ME = 0), og ka sammeliges med de estimerede stadardafvigelse på observatiosdata. SE (stadard error, goodess of fit eller stadardafvigelse) er et direkte mål for modelles eve til at reproducere de observerede data i= - 2 SE = wi obs,i sim, i (0.6) - P hvor w i [0, ] er vægtige af observatiosdata r. i, og P er atallet af kalibrerigsparametre. I e regressiosmæssig sammehæg agiver P atallet af frihedsgrader. Hvis vægtee w i specificeres til de reciprokke værdi af variase på observatioere (w i = /s obs,i 2 ) fås 0-8

9 SE = - P i= obs,i - s obs, i sim,i 2 (0.7) og orme vil dermed tage hesy til, at der ka være forskellig usikkerhed kyttet til observatiosværdiere. Når samtlige modelfejl er elimieret og ku observatiosfejl resterer, vil SE. SE giver dermed et direkte mål for, hvor godt de observerede værdier simuleres i forhold til usikkerhede på observatioere. De oveståede ormer er primært avedelige til at karakterisere de rumlige fordelig af afvigelse mellem observeret og simuleret trykiveau (idex i hefører til borige). Hvis der i stedet fokuseres på ikke-statioære tilstade, hvor det er iteressat at sammelige tidsserier af observeret og simuleret trykiveau, er de aførte ormer ikke hesigtsmæssige. Følgede aalyse ka avedes til at vurdere de dyamiske fejl: Hvis agiver atallet af boriger og m er atallet af observatioer i tidsserie, vil de samlede fejl kue kvatificeres som MSE = i= m m j j obs, i sim, i j 2 (0.8) hvor idex i og j agiver hhv. stedet og tide. MSE er mea squared error eller middelværdie af de kvadrerede afvigelser. Oveståede sum ka skrives som (pers. kom. Herik Madse, DHI, 200) MSE = m 2 j j obs, i sim, i obs, i obs, i sim i sim, i, i i= m j 2 (0.9) hvor agiver de tidsmidlede variabel. De første sum kvatificerer forskelle mellem tidsmidlet observeret og simuleret trykiveau for de avedte boriger, og svarer dermed til RMS, lig. (0.5). De ade sum kvatificerer forskelle mellem hhv. det observerede og simulerede trykiveaus variatio omkrig deres respektive tidslige middelværdier. De sidste sum giver dermed et mål for, hvor godt dyamikke i det pågældede system simuleres. For e ekelt borig ka de tidslige fejl derfor kvatificeres vha. følgede udtryk RMST = m m j j obs sim obs sim j 2 (0.0) De sidste orm, der gegives her, er R 2 (der også beæves model efficiecy eller explaied variace ) R 2 = obs - 2 obs ( obs obs ( ) 2 obs sim ) 2 (0.) hvor obs er middelværdie af de observerede data. R 2 udtrykker, hvor stor e del af de totale variatio i observatiosdata, som bliver forklaret af modelle. R 2 er med adre ord et mål for tilpasigsgrade af de optimerede model. R 2 ka maksimalt blive.0, hvilket er udtryk for e perfekt overesstemmelse mellem observeret og simuleret tilstadsvariabel, og er ubegræset edadtil. 0-9

10 Hvis R 2 bliver midre ed 0.0, giver middelværdie af de observerede data e bedre beskrivelse af data ed modelle gør, og der er i dette tilfælde grud til at reformulere modelle. R 2 avedes ofte til kvatificerig af overesstemmelse mellem tidsserier af observeret og simuleret tilstadsvariabel, typisk vadløbsafstrømig Valg af øjagtighedskriterier Det er hesigtsmæssigt at opstille kriterier for, hvor præcist modelle skal kue reproducere kalibrerigsdata, før estimatiosprocesse påbegydes. Herved sikres det, at modelle opår e kvalitet, som er i overesstemmelse med formålet med modelarbejdet. Samtidig sikrer klare kalibrerigskriterier, at modelløre ved, hvad målet med estimatiosarbejdet er, og hvorår modelle ka betragtes som være færdigkalibreret. Både kvatitative og kvalitative kriterier ka med fordel specificeres. De kvatitative kriterier ka opdeles i e vurderig af de geemsitlige fejl og spredige på residualere. De geemsitlige fejl skal geerelt være tæt på ul og ka vurderes vha. ME. Det er sværere at opå præcise resultater, hvis trykiveauet ædrer sig meget ide for korte afstade (dvs. i områder med store gradieter). Samtidig vil e model med et givet fejliveau simulere strømigsmøsteret bedre i områder, hvor der optræder store forskelle i trykiveau ed i områder med små forskelle i trykiveau. Det er derfor rimeligt at vurdere de geemsitlige fejl i forhold til det totale trykiveaufald i modelområdet. Spredige på residualere ka med fordel formuleres ud fra usikkerhede på observatiosdata, se afsit Stadardafvigelse på det hydrauliske trykiveau estimeret i tabel 0. ikluderer effekte af både uøjagtige målemetoder og hydrogeologiske karakteristika såsom de hydrauliske gradiet og de geologiske heterogeitet. Det er derfor relevat at relatere forskelle mellem observeret og simuleret trykiveau til de estimerede stadardafvigelse på observatioere. Dette gøres direkte ved brug af lig. (0.7) og ka alterativt gøres ved at skalere RMS med s obs, hvis stadardafvigelse er es for de idgåede observatioer. Hvis der ikke er foretaget e aalyse af observatioeres usikkerhed, ka spredige på residualere relateres til det totale trykiveaufald i området. Hvis der simuleres ikke-statioært vil der ud over kriterier for fordelige af de rumlige fejl være behov for vurderig af, hvor godt dyamikke reproduceres. Til dette formål ka størrelse RMST, lig. (0.0), beyttes, og det vil være rimeligt at relatere de beregede RMST-værdi til amplitude på de sæsomæssige variatioer i observeret trykiveau. I tabel 0.2 er der agivet alterative kriterier for overesstemmelse mellem observeret og simuleret hydraulisk trykiveau. Forude de kvatitative krav opstillet ovefor, ka der agives kvalitative kriterier. Følgede tre kriterier vil være foruftige: () De estimerede parametre skal have realistiske værdier. I det efterfølgede afsit (afsit 0.4.) vil det blive skitseret, hvorledes fysisk plausible itervaller for kalibrerigsparametree ka opstilles. (2) Residualere skal være fordelt foruftigt både i tid og sted. Selv om kriterium r. i tabel 0.2 er opfyldt for området uder ét, ka der sagtes være områder eller tidsrum, hvor modelle kosekvet simulerer for store eller små værdier. De type systematisk fejlmodellerig skal så vidt muligt elimieres fra modelle. (3) Områdets hydrogeologiske karakteristika skal reproduceres af modelle. Det ka eksempelvis kræves, at modelle er i stad til at simulere strømigsretig, retige af gradiete over dybde eller beliggehede af grudvadsskel korrekt. 0-0

11 Tabel 0.2 Kriterier for overesstemmelse mellem observeret og simuleret hydraulisk trykiveau. i (i =,2,3,4) er øjagtighedskriterier. Nr. Kriterium Kommetarer Vurderig af middelfejl. h max er forskelle mellem maksimum og miimum hydraulisk trykiveau i området. Dette kriterium udtrykker, at de ME h globale uder- eller overprediktio i forhold til de globale trykiveauforskel i modelområdet skal være midre ed. max Vurderig af spredige på residualere i forhold til stadardafvigelse på RMS 2 observatiosværdiere. Avedes, hvis usikkerhede på observatiosdata s 2 obs er kvatificeret (her agivet ved stadardafvigelse s obs ), hvis der ku idgår é datatype i kriteriet og alle data er behæftet med samme usikkerhed. Vurderig af spredige på residualere i forhold til stadardafvigelse på 3 SE 2 observatiosværdiere. Hvis der er variabel usikkerhed på de ikluderede observatiosdata ka dette kriterium avedes. Vurderig af spredige på residualere i forhold til trykiveauvariatioe RMS 4 i området. Hvis der ikke er foretaget e kvatificerig af observatiosusikkerhede, vil dette kriterium kue avedes til at vurdere, hvor godt ob- h 3 max servatiosdata i geemsit simuleres. RMST Vurderig af tidslig fejl. Dette dyamiske kriterium beyttes til vurderig 5 h 4 af, hvor godt de ikke-statioære variatioer simuleres. h t er amplitude på t de sæsomæssige variatioer i observeret trykiveau. Afhægigt af om usikkerhede på observatiosdata er bestemt, ka både kriterium r. samt et eller flere af kriteriere 2 5 i tabel 0.2 specificeres. Hvor strigete krav, der skal opstilles til e give model, afhæger af formålet med udersøgelse. I tabel 0.3 er der givet et eksempel på, hvorda øjagtighedskriteriere bliver skærpet i takt med at kravee til modelles pålidelighed øges. Tabel 0.3 Eksempel på øjagtighedskriterier for forskellige modeltyper (jvf. afsit 2.4). Procetsatse i parates agivet for kriterium 2 svarer til kofidesitervallet for det pågældede øjagtighedskriterium. Overslagsberegig Akvifer simulerig Koservativ High fidelity (99%) 2 (95%).65 (90%) Hvis det atages, at observatiosfejle er ormalfordelt, vil eksempelvis kriteriet 2 = 2 betyde, at simulerigsværdiere i geemsit skal falde idefor observatiosværdieres 95%-kofidesiterval. 0.4 KALIBRERINGSPARAMETRE 0.4. A-priori vide om parametre Alle typer af parametre, som idgår i e grudvadsmodel, ka pricipielt set ikluderes i kalibrerigsprocesse. Det er imidlertid primært de hydrauliske parametre, oftest de hydrauliske ledigseve, som tilpasses, me også lækagekoefficieter, magasikoefficieter m.m. kalibreres. Adre parametertyper som radbetigelser (flux geem rad, edsivig) og empiriske parametre 0-

12 (bl.a. tidskostater) ka estimeres. Der er dermed meget brede græser for atallet af kalibrerede parametre, ligesom der ka idgå mage typer af parametre i estimatioe. Det forudsættes her, at der uder opstillige af de hydrogeologiske tolkigsmodel er foretaget e parametriserig, hvor atallet af frie parametre er reduceret betydeligt i forhold til atallet af umeriske celler. F.eks. vil reservoiret ormalt blive iddelt i e række geologiske eheder (f.eks. moræeler, smeltevadssad, osv.), idefor hvilke de hydrauliske egeskabers rumlige struktur atages kedt (f.eks. homoge fordelig, lieær fuktio af stedet eller geostatistisk model). Parametriserige er ødvedig for at kue bestemme parameterværdiere, me samtidig medfører dee itegrerede beskrivelse af store områder, at der ofte vil være uoveresstemmelse mellem parametere målt i det fysiske system og de effektive modelparameter, som er optimal i modelle. Samtidig ka der være stor forskel på parameterværdier målt eksempelvis på borekerer, ved slugtest, ved korttids- og lagtidsprøvepumpig. De fire måliger repræseterer e skala af størrelsesorde 0. m til 000 m, og ka pga. de geologiske heterogeitet afvige markat fra hiade (se f.eks. Schulze-Makuch & Cherkauer, 998). Ma ka derfor sætte spørgsmålsteg ved, om iddragelse af f.eks. målt hydraulisk ledigseve er fordelagtig ved bestemmelse af modelparametree. Skalaeffektere ødvediggør, at der i givet fald skal beyttes iformatio fra e skala, der svarer til de skala, der modelleres på (cellestørrelse). Parametre målt på ade skala skal avedes med varsomhed, og hvis de avedes, tillægges e stor usikkerhed. Passede udvalgte feltmåliger ka avedes til primært tre formål: E vurderig af, hvorda potetielle kalibrerigsparametre defieres; e fastsættelse af realistiske græser for de optimerede parametre; og som iitielle parameterværdier i estimatiosprocesse. Parametriserige udført uder opstillige af de hydrogeologiske tolkigsmodel vil kue avedes til at idetificere kalibrerigsparametre. De rumlige fordelig af defierede geologiske/hydrogeologiske eheder ka umiddelbart avedes til defiitio af kalibrerigsparametre. Imidlertid ka det abefales, at kalibrerigsprocesse påbegydes med e så simpel model som muligt (Hill, 998). Hvis der derfor foreligger data, eksempelvis prøvepumpigsresultater, der idikerer, at to eller flere geologiske eheder har relativt es hydraulisk ledigseve, vil det være hesigtsmæssigt i første omgag at tillægge disse eheder ét sæt hydrauliske parametre. Seere i kalibrerigsprocesses forløb ka modelle forfies, hvis det er påkrævet for at opå e tilstrækkelig god overesstemmelse mellem data og model. De tilgægelige iformatio om reservoirets hydrauliske egeskaber ka beyttes til at idsævre græsere for modelparametree. Selv om de kalibrerede parametre ikke forvetes at svare fuldstædig til de fysiske værdier, vil feltmåliger ormalt kue avedes til at defiere et iterval, som det vurderes rimeligt at modelparametere holder sig idefor. Desude vil feltdata give e ide om de idbydes størrelsesfordelig mellem geologiske eheders parameterværdier. F.eks. vil de hydrauliske ledigseve for moræeler forvetes at være lavere ed for smeltevadssad. Parametermåliger vil også kue fugere som iitielle estimater i estimatiosprocesse. For at opå et tilfredsstillede kalibrerigsresultat med e miimeret arbejdsidsats, er det vigtigt at have præcise iitielle parameterestimater. Passede brug af parametermåliger vil her være e vigtig iformatioskilde Valg af kalibrerigsparametre Følgede forhold skal tages i betragtig, år kalibrerigsparametree udvælges: () De skal være idetificerbare, (2) de skal være relativt dårligt kedt, (3) de simulerede tilstadsvariable skal være tilstrækkeligt sesitive overfor ædriger i parametere, (4) atallet af parametre skal miimeres. Idetificerbarhed vedrører de direkte simulerig af tilstadsvariable. At e parameter ikke er idetificerbar idebærer, at der ikke fides e etydig løsig til det opstillede problem mht. parametree. Ikke idetificerbarhed optræder med adre ord, hvis forskellige parametersæt ka føre til samme løsig mht. tilstadsvariablee. 0-2

13 Et meget simpelt tilfælde på ikke idetificerbarhed optræder i forbidelse med e statioær løsig. Magasikoefficiete vil her være ikke idetificerbar, da parametere ikke idgår i det opstillede ligigssystem. De mere komplekse tilfælde af ikke idetificerbarhed optræder, hvor forskellige parameterkombiatioer ka resultere i samme trykfordelig. I figur 0.2 ses et eksempel på dee type ikke-idetificerbarhed. I e edimesioal situatio med statioær strømig i et homoget medium med fastholdt tryk ved x = 0 og kostat flux Q ved x = er de hydrauliske ledigseve K og fluxe Q ikke idetificerbare samtidigt, da trykiveauet ku er følsomt overfor forholdet mellem K og Q. Koturliiere for objektiv fuktioe (e orm af type (0.5)) ses på figur 0.2b. Uedeligt mage kombiatioer af K og Q ka resultere i samme trykiveafordelig og dermed miimumsværdi af objektiv fuktioe, og parametree er derfor ikke idetificerbare simultat. Figur 0.2a Plot af trykiveau mod x i et edimesioalt eksempel (fra Carrera & Neuma, 986). Figur 0.2b Koturliier af objektiv fuktioe (svarede til e orm af type (0.5)). Fra Carrera & Neuma (986). Det samme ka være tilfældet med hydraulisk ledigseve og grudvadsdaelse (perkolatio) for et homoget reservoir ude itere radbetigelser. E forøgelse af grudvadsdaelse vil i dette tilfælde have samme effekt på det hydrauliske trykiveau som e reduktio af de hydrauliske ledigseve har. De to parametre er derfor ikke idetificerbare samtidigt, og det vil i et sådat tilfælde ku være muligt at estimere e af parametree ud fra trykiveauobservatioer. I e give situatio vil e aalytisk betragtig af det foreliggede problem ofte kue resultere i e idetifikatio af sadsylige problemer med maglede idetificerbarhed (se f.eks. Carrera & Neuma, 986, for e detaljeret geemgag af emet). Kalibrerigsparametree vælges bedst bladt de modelparametre, der dels har størst idflydelse på strømigssimulerigere og dels er dårligst kedt. Nogle modelparametre og variable vil være relativt velkedte. F.eks. vil edbøre (uder daske forhold) ofte være kedt ud fra måliger, ligesom visse radbetigelser (f.eks. trykiveauet i veldefierede vadområder) ka være velkedte. Det vil derfor være mere efficiet at iddrage adre parametre i estimatiosprocesse. Iformatiosiveauet ka for adre parametres vedkommede være meget sparsomt, me af fysiske årsager ka parametere være budet til et sævert iterval. F.eks. vil porøsitete ofte kue skøes idefor e marge på e faktor to alee ud fra e geologisk kvalitativ beskrivelse af bjergarte. I modsætig ka e parameter som de hydrauliske ledigseve variere idefor flere dekader, og det er derfor vigtigere at få fastlagt værdie af e såda parameter. De hydrauliske ledigseve har desude afgørede idflydelse på både beregige af trykiveau, strømigsveje og forureigsudbredelse og er derfor de parameter, som hyppigst avedes som kalibrerigsparameter. Til de edelige udvælgelse af kalibrerigsparametre er e simple sesitivitetsaalyse et stærkt redskab. Ved dee metode eksekveres modelle e eller to gage for hver parameter. Hver gag modelle køres, ædres værdie af e parameter lidt (5 25 %) fra des iitielle værdi, og de resulterede påvirkig af de simulerede tilstadsvariable registreres (ofte udtrykt ved RMS- 0-3

14 værdie). På baggrud af sesitivitetsaalyse vil det være muligt at idetificere de modelparametre, som har størst idflydelse på afvigelse mellem observeret og simuleret tilstadsvariabel. Kalibrerigsparametree ka dermed udvælges på et objektivt kriterium, og er ikke alee afhægigt af modelløres erfarig og subjektive vurderiger. 0.5 ESTIMATIONSTEKNIK Estimatioe af kalibrerigsparametree ka foretages ete ved mauel kalibrerig eller automatisk kalibrerig (ivers modellerig). Mauel kalibrerig baserer sig på modelløres eve til successivt at ædre parameterværdiere, så modelle giver e forbedret beskrivelse af observatiosdata. De automatiske kalibrerig bygger på e matematisk beskrivelse af estimatiosprocesse, hvorved optimale parameterværdier ka estimeres ude modelløres itervetio Etydighed Begge tekikker ka have problemer med at estimere optimale parametre, hvilket i mage tilfælde skyldes problemer med etydighed. Etydighed agår de iverse relatio, dvs. hvis forskellige parametersæt ka fremkomme fra samme observatiosdatasæt, siges problemet at være ikke etydigt. Flere lokale miima i fuktioe, der skal miimeres (f.eks. RMS-værdie, lig. 0.5), ka være årsag til ikke etydighed, se figur 0.3, ligesom maglede idetificerbarhed (se afsit 0.4.2) ka være det. Hvis atallet af parametre overstiger atallet af observatioer, vil problemet ligeledes være ikke-etydigt. Figur 0.3 Koturliier for objektiv fuktioe (e orm af type (0.5)) for et é-dimesioalt strømigsproblem med to hydrauliske ledigsever, K og K 2 (fra Carrera & Neuma,986). Idefor grudvadsmodellerig er det imidlertid ikke muligt ad aalytisk vej at bestemme, om et problem er etydigt. Derfor aalyseres det, om problemet er idetificerbart, og hvis det er tilfældet, er der god chace for, at problemet også er etydigt. Idetificerbarhed er imidlertid ikke e tilstrækkelig betigelse for etydighed. Problemet med maglede etydighed er altså ikke relateret til, hvilke estimatiostekik der avedes, me udelukkede et spørgsmål om, hvorda problemet 0-4

15 er formuleret. Geerelt sikres etydighed bedst, hvis flere af følgede faktorer er opfyldt: () Flere forskellige observatiostyper iddrages i kalibrerige, (2) Observatiosdata er jævt fordelt i sted og tid, (3) Usikkerhede på observatiosdata er miimal, (4) Atallet af kalibrerigsparametre er lavt, (5) De valgte kombiatio af kalibrerigsparametre er idetificerbare, (6) Modelle udviser relativ stor sesitivitet (og relativt es sesitivitet) overfor de udvalgte kalibrerigsparametre, (7) Modelle kalibreres mod flere forskellige hydrologiske påvirkiger (f.eks. våd og tør periode) Mauel kalibrerig ( trial-ad-error estimatio) Mauel kalibrerig kaldes også for trial-ad-error estimatio, hvilket idikerer, at retige og størrelse af ædrige på parametrees værdi er baseret på re tilfældighed. Dette er lagt fra tilfældet, idet de mauelle kalibrerig ka gøres mere eller midre systematisk, alt efter hvilke iformatioer, der ligger til grud for ædrige af kalibrerigsparametree. De første iformatioskilde, som er umiddelbart tilgægelig, år modelle er eksekveret, og simulerigsresultatere er sammeliget med observatiosværdier, er de rumlige og tidslige fordelig af residualere. Ud fra dee fordelig vil e modellør med god idsigt i det modellerede system og e god portio erfarig kue vurdere, i hvilke retig kalibrerigsparametree skal flyttes for at opå e bedre overesstemmelse mellem model og data. Metode er koceptuelt ekel, me hvis der arbejdes med e kompleks grudvadsmodel, ka det være edog meget svært at geemskue dyamikke i systemet. I sådae tilfælde er der relativt store chacer for, at optimerige for e uerfare modellør reduceres til ret trial-ad-error, hvilket ka resultere i mage ikke succesfulde opdateriger af kalibrerigsparametree og rige chacer for at opå e velkalibreret model. Estimatiosprocesse ka gøres betydeligt mere geemskuelig, hvis der geemføres e detaljeret sesitivitetsaalyse, hvor modelle eksekveres 4 til 0 gage for hver kalibrerigsparameter. I hver ekelt kørsel ædres é parameters værdi med e specificeret faktor (f.eks. 0.5, 0.7, 0.9,.,.3,.5), og f.eks. RMS-værdie bereges for hver parameterværdi. Efterfølgede er det muligt at plotte de beregede RMS-værdier mod de testede parameterværdier og herved opå et kriterium for, i hvilke retig og hvor meget parameterværdie skal ædres, for at opå e bedre simulerig af observatioere. I eksemplet illustreret i figur 0.4 ses, at der opås e bedre beskrivelse af observatiosdata, hvis de aktuelle kalibrerigsparameter forøges med ca. 30%..8 Normeret RMS-værdi Parameterædrig (i %) Figur 0.4 Resultat af detaljeret sesitivitetsaalyse udført på e parameter vha. 6 modelsimuleriger. RMS ormeret med RMS-værdie opået for det foregåede iteratiostri er avedt som kriterium for parameterædrige. 0-5

16 Ulempe ved de detaljerede sesitivitetsaalyse er, at der skal foretages mage modelsimuleriger for at kue opdatere parametree. Hver gag e parameter skal ædres, kræves der 4 0 modelkørsler. Med eksempelvis 0 parametre og 0 kalibrerigsiteratioer skal der foretages et sted mellem 400 og 000 modelsimuleriger. Selv om de detaljerede sesitivitetsaalyse ka automatiseres mere eller midre (f.eks. i Groudwater Vistas, ESI, 999), vil dee procedure ikke være attraktiv, hvis der eksempelvis arbejdes med e ikke-statioær model, som det tager af størrelsesorde 0 timer at eksekvere. I tilfælde hvor eksekverige af det ikke-statioære problem kræver lag beregigstid, ka det abefales, at der først opstilles e statioær model for det aktuelle system. Det kræver aturligvis, at problemet ka formuleres statioært, hvilket ikke altid er muligt eller hesigtsmæssigt (f.eks. prøvepumpigsforsøg). E statioær model vil typisk have eksekverigstid af størrelsesorde 0 miutter, og der vil derfor kue geemføres mage modelsimuleriger på relativt kort tid. I første tri kalibreres de statioære model, evetuelt ved avedelse af detaljeret sesitivitetsaalyse. I æste tri kalibreres de ikke-statioære model, idet ku parametre relateret til systemets magasierigseffekter (f.eks. specifik ydelse) justeres. Ved avedelse af dee procedure vil det ofte være muligt at opå et godt kalibrerigsresultat idefor et relativt begræset tidsrum. Uaset om estimatioe baseres på e direkte aalyse af residualere eller e detaljeret sesitivitetsaalyse, vil kalibrerige af parametree forløbe som e iterativ proces, hvor kalibrerigsparametree ædres, modelresultater sammeliges med observatiosdata, og det vurderes, om der er opået e bedre model ed på foregåede iteratiostri. Til sidst vil der ikke kue opås e yderligere reduktio i de ikluderede ormer, og hvis de formulerede model (geologisk model, hydrogeologisk tolkigsmodel, diskretiserig, defiitio og atal af kalibrerigsparametre, m.m.) er for simpel (eller fejlbehæftet), vil kalibrerigskriteriere ikke være opfyldt. Det vil i sådae tilfælde være ødvedigt at gå tilbage til tri 3 i kalibrerigsprotokolle, og revurdere de formulerede model og valget af kalibrerigsparametre. I det ekle tilfælde er det tilstrækkeligt at iddrage flere parametre i estimatioe, f.eks. ved at geemføre e yderligere distribuerig af de hydrauliske egeskaber. I de mere komplekse tilfælde vil det være ødvedigt at reformulere de hydrogeologiske tolkigsmodel, de geologiske model eller procesbeskrivelse. Resultatet af dee aalyse vil være e y kalibrerigsmodel, som ka uderkastes estimatiosprocesse Automatisk kalibrerig (ivers modellerig) I ivers modellerig sker estimatiosprocesse på figur 0. på baggrud af matematisk formulerede kriterier og foregår mere eller midre automatisk. De iverse løsigsmetoder opdeles i direkte og idirekte tekikker. I de direkte metode forudsættes observeret hydraulisk trykiveau at være kedt i samtlige kudepukter i det umeriske et, hvorved de styrede ligiger ka løses direkte mht. modelparametree. I praksis er det imidlertid ødvedigt at iterpolere ud fra relativt få observatioer. De iterpolerede data vil være fejlbehæftede, og samme med måle- og modelfejl er det problematisk for tekikke, da det ofte resulterer i ustabile løsiger, og metode er derfor meget lidt avedt. De idirekte metoder er baseret på at miimere afvigelse mellem observeret og bereget afhægig variabel, f.eks. trykiveau, og mider i pricip meget om mauel kalibrerig. Da parametree er ikke-lieære fuktioer af tilstadsvariablee foregår optimerige iterativt. De idirekte iverse metoders formål at fide de modelparametre, som fører til e optimalt overesstemmelse mellem observeret og bereget afhægig variabel. Dette fører til defiitioe af objektiv fuktioe (f.eks. summe af afvigelseres kvadrater, lig. (0.3)), således at miimerig af objektiv fuktioe fører til miimerig af eksempelvis trykafvigelsere. Miimum i objektiv fuktioe fides typisk vha. gradietbaserede metoder (f.eks. Leveberg-Marquardts metode). De iverse tekikker vil ikke blive geemgået i detaljer her, me yderligere iformatio ka fides i f.eks. reviewartikle af Yeh (986). Daske avedelser af iverse metoder ka fides i f.eks. Keidser & Rosbjerg (99), Soeborg et al. (996) og Christese et al. (998). I Appedix B ka avedelse af ivers modellerig i forbidelse med DK-modelle desude fides. Begrudelse for at idføre ivers modellerig er, at parametree bestemmes ud fra objektive kriterier for afvigelse mellem observeret og simuleret afhægig variabel. På grud af de systematiske 0-6

17 måde hvorpå parametree justeres (baseret på gradieter) vil der være større chace for at fide optimale parameterestimater ed ved mauel kalibrerig. Ivers modellerig ka være arbejdsbesparede, og metode giver mulighed for at opå e kvatificerig af f.eks. parameterkorrelatio og parameterusikkerhed. Iverse metoder idefor grudvadsmodellerig har været kedt i æste lige så lag tid, som de umeriske modeller har været avedt, me beyttes ikke tilærmelsesvis i samme udstrækig. Dette skyldes til dels, at ivers kalibrerig kræver mage modelsimuleriger og derfor ka resultere i lag beregigstid. I takt med udviklige af hurtigere computere er dee begrudelse imidlertid blevet midre tugtvejede. Til gegæld er de iverse metoder beskyldt for at give urealistiske parameterestimater, at være ustabile eller ikke at kovergere. Disse problemer skyldes ofte e uhesigtsmæssig formulerig af estimatiosproblemet, bl.a. problemer med idetificerbarhed og etydighed beskrevet ovefor. Der er derfor grud til at være ekstra omhyggelig med fase -3 i kalibrerigsprocesse, år der avedes e ivers model. Forskelle på mauel og automatisk kalibrerig ligger hovedsageligt i kalibrerigsprotokolles fase De øvrige tri i kalibrerigsprocesse er stort set idetiske for de to metoder, og det vil i tilfælde af velformulerede kalibrerigsproblemer være sadsyligt, at metodere giver relativt es parameterestimater. Det ka abefales at kombiere metodere, så der idledes med grovkalibrerig ved avedelse af mauel kalibrerig, og afsluttes med ivers kalibrerig til fikalibrerig. 0.6 PRÆSENTATION AF KALIBRERINGSRESULTAT 0.6. Beskrivelse af kalibrerigsprocesse (kalibrerigsjoural) Modtagere af modelresultatere vil sjældet være iteresseret i e beskrivelse af udviklige af de ekelte parametres værdi geem de iterative optimerig af modelle, hvor der typisk foretages mellem 50 og flere hudrede simuleriger. Det vil imidlertid være iteressat at blive præseteret for evetuelle ædriger i de opstillede model for kalibrerigsprocesse, dvs. i de tilfælde hvor estimatiosprocesse i figur 0. ikke kovergerer idefor de opstillede kalibrerigskriterier, og det er ødvedigt at gå tilbage til tri 3 og modificere kalibrerigsparametre eller de uderliggede model. Da det ka være ødvedigt at revurdere modelopbygige adskillige gage i kalibrerigsforløbet, vil det være hesigtsmæssigt at præsetere (evetuelt i tabelform) de bedste værdier af de beyttede ormer (0.) (0.5) for hver model. Herved ka modtagere få et idblik i, hvilke ædriger der har været afprøvet, og hvad der har bidraget til at opå e velkalibreret grudvadsmodel Parameterestimater samt deres usikkerhed De optimerede parameterværdier skal præseteres, typisk i tabelform, me også e grafisk illustratio af parameterværdiere ka avedes. Samtidig skal der foretages e evaluerig af de estimerede parametres fysiske relevas. I e grafisk illustratio ka parameteritervallere estimeret uder aalyse af tilgægelige feltmåliger (afsit 0.4.) sammeholdes med de optimerede parametre, hvilket gør det muligt at foretage e hurtig vurderig af, om de estimerede parametre holder sig idefor eller i ærhede af fysisk realistiske græser. I modsat fald skal det kommeteres, hvad årsage til det usædvalige estimat ka være. Hvis der er øske om at få udersøgt usikkerhede på de estimerede parametre, skal der geereres resultater, der ka belyse dette eme. Hvis der er udført mauel kalibrerig ka usikkerhede vurderes vha. e detaljeret sesitivitetsaalyse, som er beskrevet uder afsit Herved opås et udtryk for modelles følsomhed overfor de aalyserede parametre, og usikkerhede på parameterværdie ka derefter vurderes, idet de geerelt ka atages at være omvedt proportioal med modelles sesitivitet. Det er ikke muligt at kvatificere parameterusikkerhede direkte (f.eks. e stadardafvigelse) vha. dee metode, me det ka vurderes, hvorda parametree idbyrdes er rageret mht. modelsesitivitet. Dvs. de mest sesitive parameter vil give det største påvirkig af 0-7

18 f.eks. RMS-værdie i de detaljerede sesitivitetsaalyse, og vil være de parameter, der er forbudet med de midste usikkerhed. Hvis der er avedt e ivers model baseret på e gradietløsig, som f.eks. PEST (Doherty et al., 994) eller UCODE (Poeter ad Hill, 998), vil det være muligt at uddrage iformatioer om parameterusikkerhede i form af kofides- eller prediktiositervaller Overesstemmelse mellem observatioer og simulerig Kalibrerigsresultatet skal altid afrapporteres i hehold til de kriterier, der er opstillet til arbejdet. Hvis der eksempelvis er stillet krav til maksimumværdier af ME og RMS, vil det være passede at præsetere de opåede værdier evetuelt i tabelform, hvor det ka vises, hvor godt modelle simulerer de målte værdier i modelområdet. I tabel 0.4 er vist et eksempel fra Esbjergmodelle (appediks A), hvor overesstemmelse med (a) hele modelle uder ét, (b) måliger af forskellig karakter og (c) måliger i modelles beregigslag præseteres. Tabel 0.4 Eksempel på rapporterig af kalibrerigsresultat i tabelform (Herikse et al., 995). HELE MODELLEN Atal målepukter Middel afvigelse, ME (m) Stadard afvigelse, St.dev. (m) RMS-værdi (m) Lag - atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 2- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 3- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 4- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 5- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 6- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 7- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 8- atal målepukter RMS-værdi (m) Lag 9- atal måleputer RMS-værdi (m) Lag 0- atal målepukter RMS-værdi (m) Sykromålig marts Sykromålig august ZEUS datagrudlag Fordelige af overesstemmelse mellem observeret og simuleret tilstadsvariabel ka også præseteres i e tabel, hvor placerig af borig, tidspukt for målig, observatiosværdi, simuleret værdi og residual opføres. Det ka imidlertid hurtigt blive svært at overskue fordelige af residu

19 alere på dee vis, og præsetatioer af dee type hører bedst hjemme i et appediks til kalibrerigsrapporte (om ed resultatere skal kue fides). De rumlige fordelig af modelresultatere ka bedre vurderes ud fra et eller flere af følgede fire illustratioer. () Koturplot, (2) scatterplot, (3) residualplot eller (4) fejliveauplot. Figurer, der viser koturerede billeder af hhv. simuleret og observeret trykiveau, ka give et umiddelbart idtryk af, hvor godt modelle simulerer data. Imidlertid ka det være svært at vurdere afvigelseres størrelse, ligesom der ka opstå store fejl i iterpolatioe af målte værdier. Det ka derfor være et bedre alterativ at vise modelresultatet som koturerede trykiveauer, og de observerede værdier idirekte som puktværdier, hvor afvigelse mellem observeret og simuleret værdi præseteres, som eksemplificeret i figur Figur 0.5 Plot fra Esbjergmodelle med koturerede simulerede trykiveauer (koturliier) og pukter med afvigelser (residualer) Scatterplot (spredigsgraf) viser observeret mod simuleret tilstadsvariabel, se figur 0.6. E perfekt overesstemmelse mellem model og data svarer til, at puktere falder på e ret liie med e hældig på 45. Afvigelser fra de rette liie skal være tilfældigt fordelt hhv. over og uder liie. I modsat fald ka der være tale om systematiske modelfejl, eksempelvis at høje trykiveau kosekvet simuleres for højt eller lavt. Hvis observatiosdata er behæftet med samme usikkerhed, bør datapukteres spredig omkrig de rette liie være kostat. Residualplot er e illustratio af de beregede afvigelser mellem observatiosværdiere og simulerigsværdiere som fuktio af eksempelvis observatiosummer. Hvis residualere ormeres med de estimerede usikkerhed på observatiosdata fremkommer der såkaldte vægtede residualer, se figur 0.7. De vægtede residualer ka sammeliges idbyrdes, og det vil derfor være muligt at idetificere områder eller variabeltyper, som er behæftet med stor fejl. I eksemplet vist i figur 0.7 ses, at der er e del observatioer mellem observatiosummer 0 og 60, der er dårligt simuleret. 0-9

20 Figur 0.6 Scatterplot af simuleret mod observeret trykiveau (Esbjergmodelle, Appediks A). 0 Vægtet residual Observatios r. Figur 0.7 Residualplot af vægtede residualer (trykiveaudata) mod observatiosummer. Det ka være e hjælp i evaluerige af de rumlige fordelig af modellerigsresultatet, at sammeholde residualere med et af de avedte øjagtighedskriterier. Herved ka iveauet, hvormed de ekelte observatio er simuleret, kvatificeres. Eksempelvis ka stadardafvigelse på observatiosdata avedes til opstillig af e række iveauer. Det ka vælges af karakterisere iveau ved, at modelle rammer ide for observatiosværdie e stadardafvigelse, iveau 2 ved observatiosværdie to stadardafvigelser, osv. De rumlige fordelig af iveauet, hvormed modelle simulerer data, ka herefter illustreres i e figur, der viser det umeriske et, hvor celler med observatiosværdier tillægges e iveauværdi, se figur

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Bestemmelse af vandføring i Østerå

Bestemmelse af vandføring i Østerå Bestemmelse af vadførig i Østerå Geerelt varierer vadstade og vadførige i daske vadløb over året. Normalt er vadførige lille om sommere for derpå at øge om efteråret. Om vitere ses ormalt de højeste vadføriger

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

ANALYSE AF MILJØTILSTANDEN I HORSENS FJORD FRA 1985 TIL 2006

ANALYSE AF MILJØTILSTANDEN I HORSENS FJORD FRA 1985 TIL 2006 ANALYSE AF MILJØTILSTANDEN I HORSENS FJORD FRA TIL Empirisk modellerig Faglig rapport fra DMU r. 733 DANMARKS MILJØUNDERSØGELSER AU AARHUS UNIVERSITET [Tom side] ANALYSE AF MILJØTILSTANDEN I HORSENS FJORD

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Muligheder og visioner for monitering af anlægskonstruktioner

Muligheder og visioner for monitering af anlægskonstruktioner Muligheder og visioer for moiterig af alægskostruktioer Claus Vestergaard Nielse, Betocetret Dask Brodag de 31. marts 2009, Odese Dask Brodag, 31.03.2009 Claus V. Nielse, Betocetret INDHOLD Bæredygtighed

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

BILAG I PRODUKTRESUME

BILAG I PRODUKTRESUME BILAG I PRODUKTRESUME 1 1. LÆGEMIDLETS NAVN Nimerix pulver og solves til ijektiosvæske, opløsig i fyldt ijektiossprøjte Meigokokgruppe A, C, W-135 og Y kojugeret vaccie 2. KVALITATIV OG KVANTITATIV SAMMENSÆTNING

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

DK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring

DK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK / -- MAG SYSTEM Gulvregørig Mag System Kocept 2 www.vermop.com Di fordel Mag System Iovativt og ekeltståede Mag System fra VERMOP står for e helt y måde at fiskere vaskbetræk på fremførere (eller skaftet)

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk

Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk Hydrologisk modellering af landovervågningsoplandet Lillebæk Anne Lausten Hansen Institut for Geografi og Geologi, Københavns Universitet De Nationale Geologiske Undersøgelser for Danmark og Grønland (GEUS)

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016 Ygre Læger, 23. maj 216 Ygre Lægers medlemsudersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 216 - svarfordeliger på ladspla Idholdsfortegelse 1. Idledig... 2 2. Baggrudsvariable... 2 3. Vide om arbejdspladse

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst PET 3 1/3 ECTS Valgfaget afholdes UCN Radiografuddaelse, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst Valgfagets tema Valgfaget præseterer overordede cetrale begreber, teorier samt hadlemåder, der ka avedes

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere