Trekants- beregning for hf

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Trekants- beregning for hf"

Transkript

1 Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul

2 Indhold 1. Vinkler Regler for vinkler Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel for trekants areal Eksempel hvor areal og grundlinje er kendt Eksempel hvor areal og højde er kendt Eksempel hvor areal og grundlinje er kendt Højde der ikke er tegnet Pythagoras sætning Katete og hypotenuse Pythagoras' sætning a Bestem katete med Pythagoras' sætning - brug af multiplikationstabel b Bestem katete med Pythagoras' sætning - brug af multiplikationstabel Bestem katete med Pythagoras' sætning a Bestem hypotenuse med Pythagoras' sætning - brug af multiplikationstabel b Bestem hypotenuse med Pythagoras' sætning - brug af multiplikationstabel Bestem hypotenuse med Pythagoras' sætning a Sammensat opgave med Pythagoras' sætning b Sammensat opgave med Pythagoras' sætning Sprogbrug Modstående vinkel eller side Betegnelse for modstående vinkel eller side Ord for siderne i en retvinklet trekant Ensvinklede trekanter Ord og metoder i opgaver om ensvinklede trekanter Simpel opgave om ensvinklede trekanter a Ensvinklede trekanter - brug af multiplikationstabel b Ensvinklede trekanter - brug af multiplikationstabel Sammensat opgave om ensvinklede trekanter Sammensat opgave om ensvinklede trekanter Cosinus, sinus, tangens og Nspire Cosinus, sinus og tangens i retvinklet trekant De tre regler for cosinus, sinus og tangens i retvinklet trekant Eksempel på udregning i retvinklet trekant Eksempel på udregning i retvinklet trekant Eksempel på udregning i retvinklet trekant Eksempel på udregning i retvinklet trekant Eksempel på udregning i retvinklet trekant Eksempel på udregning i retvinklet trekant... 3

3 8. Sinusformlen for areal af trekant Sinusformlen for areal af trekant Bevis for sinusformlen for areal af trekant Eksempler på brug af sinusformlen for areal af trekant Sinusrelationen Sinusrelationen Bevis for sinusrelationen Bestem vinkel med sinusrelationen Bestem side med sinusrelationen Opgave med to løsninger Cosinusrelationen Cosinusrelationen Bevis for cosinusrelationen Bemærkninger til beviset for cosinusrelationen Bestem vinkel med cosinusrelationen Bestem side med cosinusrelationen Sammensatte opgaver om vilkårlig trekant Sammensat opgave om vilkårlig trekant Svar på opgaven i Eksempel hvor vi bruger cosinusrelationen og sinusrelationen til at udregne en afstand Løsning af opgaven i Nogle begreber Højde Median Vinkelhalveringslinje Nogle betegnelser Sammensat opgave De 11 opgavetyper med sider og vinkler i retvinklet trekant De 4 formler til udregning af sider og vinkler i retvinklet trekant De 4 opgavetyper vi løser ved hjælp af cosinusrelationen eller sinusrelationen De 3 opgavetyper med sinusformlen for trekants areal De 3 formler for vilkårlig trekant Retvinklet hvilken regel? REFORM 017 Pensum i trekantsberegning er det samme for C-niveau og B-niveau i hf. Dette pensum dækkes af nærværende hæfte der har adressen sammen med hæftet der har adressen Trekantsberegning for hf 018 Karsten Juul. Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som oplyser at dette hæfte benyttes, og oplyser hold, niveau, lærer og skole. 14/4-019

4 1. Vinkler. 1.1 Regler for vinkler. 1.1 a 1.1 b c u v 180 v 180 u 1.1 d r v u u v I en trekant er de tre vinkler altid 180 tilsammen: u v r 180 r 180 u v 1.1 e 1.1 f l m p q u v u I ligebenet trekant er vinkler ved grundlinje lige store, dvs. når p =q er u = v. v Hvis l og m er parallelle, er u = v. 1.1 g u = v 1.1 h w = u+v u = w v Topvinkler er lige store 1.1 i En vinkel i en trekant er spids hvis den er under 90 ret hvis den er 90 stump hvis den er over 90. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

5 . Omkreds, areal, højde..1 Omkreds. Udregn omkreds sådan: Dvs. Læg siderne sammen. Omkreds = a+b+c+d+e BEMÆRK: f er ikke med i omkredsen. Et linjestykke inden i figuren er ikke en side og hører ikke med til omkredsen.. Rektangel. Udregn rektangels omkreds sådan: Dvs. Læg siderne sammen. Omkreds = l+b+l+b = l+b Udregn rektangels areal sådan: Længde gange bredde. Dvs. Areal = l b.3 Kvadrat. Udregn kvadrats omkreds sådan: Læg siderne sammen. Dvs. Omkreds = s+s+s+s = 4s Udregn kvadrats areal sådan: Side gange side. Dvs. Areal = s s = s.4 Højde. Højden fra A er det linjestykke der går fra A og vinkelret ind på den modstående side. B Højden fra B går vinkelret ind på den modstående sides forlængelse. B Siden AC er højden fra A. C C A C A A B Trekantsberegning for hf Side 018 Karsten Juul

6 .5 Højde-grundlinje-formel for trekants areal. For trekanter gælder: areal = 1 højde grundlinje c Trekants areal = 1 d a En af højderne i trekanten. Grundlinje, dvs. den af siderne der er vinkelret på den valgte højde. a d b Formlen bruges ikke kun til at bestemme areal: Hvis vi kender to af tallene areal, højde og grundlinje, så kan vi bestemme det sidste af tallene. Se de næste rammer..6 Eksempel hvor areal og grundlinje er kendt - brug af multiplikationstabel. Opgave: En trekant med areal 98 har grunlinjen 8. Bestem højden. Svar: En trekant med areal 98 har grundlinjen 8. Der gælder T = 1 h g 98 = 1 h 8 Løsning af ligningen uden hjælpemidler: 98 = 1 h 8 98 = h h = h hvor T = areal, h = højde, g = grundlinje Løsning af ligningen med formelsamlingens multiplikationstabel (for elever der er begyndt i hf august 017 eller senere): 98 = 1 h 8 98 = h 14 I multiplikationstabellen finder vi 14 i venstre søjle. I denne række går vi ind til vi finder 98. Så går vi lodret op til øverste række. Her står 7. 7 = h Løsning af ligningen med Nspire: Konklusion Højden er.7.. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

7 .7 Eksempel hvor areal og højde er kendt - brug af multiplikationstabel. Opgave: En trekant med areal 136 har grunlinjen 16. Bestem højden. Svar: En trekant med areal 136 har grundlinjen 16. Der gælder T = 1 h g 136 = 1 16 g hvor T = areal, h = højde, g = grundlinje Løsning af ligningen uden hjælpemidler: 136 = 1 16 g 136 = 8 g g = g Løsning af ligningen med formelsamlingens multiplikationstabel (for elever der er begyndt i hf august 017 eller senere): 136 = 1 16 g 136 = 8 g I multiplikationstabellen finder vi 8 i venstre søjle. I denne række går vi ind til vi finder 136. Så går vi lodret op til øverste række. Her står = g Løsning af ligningen med Nspire: Konklusion Grundlinjen er.17.. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

8 .8 Eksempel hvor areal og grundlinje er kendt. Areal = 1 højde grundlinje 105 = 1 h 8 8 h areal 105 Løsning af ligningen uden hjælpemidler: h 105 h h ,5 h h 7,5 8 Løsning af ligningen med hjælpemidler:.9 Højde der ikke er tegnet. Opgave: Figuren viser en gavl. Bestem højden af gavlen. 17m 19 m 6 m Svar: Vi tegner den viste højde h. Vi ser på den retvinklede trekant ABC. Af reglen for sinus i retvinklet trekant får vi Dvs. h = 6 sin(59 ) h =,863 Gavlens højde er m. Se 7.1 b B h C 6 m 59 A Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

9 3. Pythagoras' sætning. 3.1 Katete og hypotenuse. Siderne p og q er trekantens kateter. Det kan vi se fordi vinklen imellem p og q er ret. Siden r er hypotenusen. Det kan vi se fordi r ikke er en af kateterne. Advarsel: Hvis en trekant ikke er retvinklet, så har den hverken hypotenuse eller kateter. p r q 3. Pythagoras' sætning. Pythagoras sætning som formel For en retvinklet trekant gælder: når p q p og q er kateter, og r er hypotenuse. Pythagoras sætning i ord r Gælder kun i retvinklet trekant. Den ene katete i anden plus den anden katete i anden er hypotenusen i anden. p r q 3.3a Bestem katete med Pythagoras' sætning - brug af multiplikationstabel. Opgave: Figuren viser en retvinklet trekant ABC. Nogle af målene fremgår af figuren. a) Bestem længden af siden AC. Se svar i næste ramme. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

10 3.3b Bestem katete med Pythagoras' sætning - brug af multiplikationstabel. Svar I en retvinklet trekant ABC er a = 9 og c = 15. Vi skal bestemme længden b af siden AC. Af Pythagoras sætning får vi c = a + b Heri indsætter vi de kendte tal: 15 = 9 + b I formelsamlingens multiplikationstabel ser vi at 15 = 5 og 9 =81, så 5 = 81 + b Vi trækker 81 fra begge sider og får 144 = b Vi ser i de røde tal i multiplikationstabellen og finder 144. Vi ser at 1 = 144, dvs. b = 1. Længden af siden AC er Bestem katete med Pythagoras' sætning. Vi ser: kateterne er a og 6 hypotenusen er 10 Derfor er a a 10 Løsning af ligningen uden hjælpemidler: a 10 6 a 10 6 da 0 < a a 64 a 8 Løsning af ligningen med hjælpemidler: Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

11 3.5a Bestem hypotenuse med Pythagoras' sætning - brug af multiplikationstabel. Opgave: Figuren viser en retvinklet trekant ABC. Nogle af målene fremgår af figuren. a) Bestem længden af siden AB. Se svar i næste ramme. 3.5b Bestem hypotenuse med Pythagoras' sætning - brug af multiplikationstabel. Svar I en retvinklet trekant ABC er a = 9 og b = 15. Vi skal bestemme længden c af siden AB. Af Pythagoras sætning får vi c = a + b Heri indsætter vi de kendte tal: c = I formelsamlingens multiplikationstabel ser vi at 9 =81 og 1 = 144, så dvs. c = c = 5 Vi ser i de røde tal i multiplikationstabellen og finder 5. Vi ser at 15 = 5, dvs. c = 15. Længden af siden AB er 15. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

12 3.6 Bestem hypotenuse med Pythagoras' sætning. Vi ser: kateterne er 5 og 1 hypotenusen er t Derfor er 5 1 t 5 1 t Løsning af ligningen uden hjælpemidler: 5 1 t 5 1 t da 0 < t 169 t t 13 Løsning af ligningen med hjælpemidler: 3.7a Sammensat opgave med Pythagoras' sætning. Opgave: Bestem omkredsen af firkant ABCD. Se svar i næste ramme. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

13 3.7b Sammensat opgave med Pythagoras' sætning. Svar: Figuren er en skitse. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

14 4. Sprogbrug Modstående vinkel eller side. v er modstående vinkel til siden l, og l er modstående side til vinklen v, fordi l ikke støder op til v. Vi ser at m og n støder op til v, så m og n er ikke modstående til v. u er modstående til m. w er modstående til n. u l n w v m 4. Betegnelse for modstående vinkel eller side. Hvis der står i trekant DEF er f 14 gælder det er siden over for vinkelspidsen F der er 14. f Sprogbrugen er nemlig sådan at når et stort bogstav er en vinkelspids i en trekant, gælder det tilsvarende lille bogstav er siden over for vinkelspidsen, D E e d F hvis der ikke fremgår andet. Eksempel på udnyttelse af denne sprogbrug: I en trekant ABC hvor vinkel C er ret, er a b c. Advarsel: Se figur til højre. B Det dur ikke hvis du skriver m =,6. Læseren kan ikke vide om det er AB eller BC der er,6. Skriv m på den side du mener. Du skal altid tegne en skitse i en geometriopgave. A M C Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

15 4.3 Ord for siderne i en retvinklet trekant. Siden p er en katete fordi den støder op til den rette vinkel. Siden r er hypotenusen fordi den ikke støder op til den rette vinkel. Siden p er den hosliggende katete til vinkel v fordi p er den af kateterne der støder op til vinkel v. Siden q er den modstående katete til vinkel v fordi q er den af kateterne der ikke støder op til vinkel v. v r p q Advarsel: Ordene katete og hypotenuse kan kun bruges i en retvinklet trekant. Eksempler t er hosliggende katete til u r er modtående katete til u r er hosliggende katete til v t er modtående katete til v p er hypotenuse p v r u t n er hosliggende katete til w d er modtående katete til w g er hypotenuse d n g w k er hosliggende katete til vinklen på 63 h er modstående katete til vinklen på 63 h er hosliggende katete til vinklen på 7 k er modstående katete til vinklen på 7 Hypotenusen er h 63 k Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

16 5. Ensvinklede trekanter. 5.1 Ord og metoder i opgaver om ensvinklede trekanter. På figuren har jeg brugt buer til at vise hvilke vinkler der er lige store: De to vinkler med dobbeltbuer er lige store. De to vinkler med enkeltbuer er lige store. De to sidste vinkler må så være lige store da vinklerne i en trekant tilsammen er 180. At de to trekanter har samme vinkler, udtrykker vi ved at sige at trekanterne er ensvinklede. Regel: Når to trekanter har samme vinkler, er der en skalafaktor. Når vi ganger siderne i den ene trekant med skalafaktoren, så får vi siderne i den anden trekant. På figuren har jeg vist at jeg har valgt at kalde skalafaktoren k, og at jeg har valgt at det er siderne i venstre trekant der skal ganges med skalafaktoren. (1) 0 k = 8 da siderne der er 0 og 8 har lige store modstående vinkler (dobbeltbuer). () 47 k = q da siderne der er 47 og q har lige store modstående vinkler (ingen buer). (3) n k = 46, da siderne der er n og 46, har lige store modstående vinkler (enkeltbuer). Af (1) får vi k = 8 = 1,4 Vi har nu udregnet k og kan bruge k til at udregne q og n. 0 Af () får vi q = 47 1,4 = 65,8 Af (3) får vi n = = 33 46, 1,4 Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

17 5. Simpel opgave om ensvinklede trekanter. Opgave F C d A c B D 1 E Trekanterne ABC og DEF på figuren er ensvinklede. Bestem d og c. Svar Trekanterne er ensvinklede, så der er der en skalafaktor q som vi ganger sider i ABC med for at få sider i DEF. Når der i opgaven står ordet ensvinklede, skal vi normalt udregne en skalafaktor. 6 q = 9 da siderne der er 6 og 9, har ens modstående vinkler. q = 1,5 Vi har divideret begge sider med 6. Vi har nu udregnet q og kan bruge q til at udregne d og c. 4 q = d da siderne der er 4 og d, har ens modstående vinkler. 4 1,5 = d d =.6. c q = 1 da siderne der er c og 1, har ens modstående vinkler. c 1,5 = 1 c =.8. Vi har divideret begge sider med 1,5. 5.3a Ensvinklede trekanter brug af multiplikationstabel. Størrelsesforholdene er ikke korrekte Opgave Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1 B1 C1. a) Bestem længden af linjestykket B1 C1. b) Bestem længden af linjestykket A B. Se svar i næste ramme! Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

18 5.3b Ensvinklede trekanter brug af multiplikationstabel. Svar Størrelsesforholdene er ikke korrekte Skitsen viser to ensvinklede trekanter. Trekanterne er ensviunklede, så der findes en skalafaktor k som ganget med siderne i trekant ABC giver siderne i trekant A1 B1 C1. Udregning af k : 1 k = 168 da siderne der er 1 og 168 ligger over for ens vinkler. I multiplikationstabellen finder vi 1 i venstre søjle. I denne række går vi ind til vi finder 168. Så går vi lodret op til øverste række. Her står 14. k = 14 Vi har nu fundet skalafaktoren. Vi bruger den til at udregne de søgte sider. Udregning af B1 C1 : 1 k = B1 C = B1 C1 I multiplikationstabellen ser vi at 1 14 = 168 : B1 C1 = 168 Udregning af AB : AB k = 11 da AB og siden der er 11 ligger over for ens vinkler. AB 14 = 11 I multiplikationstabellen finder vi 14 i venstre søjle. I denne række går vi ind til vi finder 11. Så går vi lodret op til øverste række. Her står 8. AB = 8 Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

19 5.4 Sammensat opgave om ensvinklede trekanter. Fejl! Bogmærke er ikke defineret. Opgave E C På figuren er BC parallel med DE. Bestem CE. A B D Svar Da BC er parallel med DE, er trekanterne ABC og ADE ensvinklede, så der er en skalafaktor k. Ved hjælp af reglerne for ensvinklede trekanter kan vi udregne længder af sider i trekanterne, men CE er ikke side i en af trekanterne. Vi udregner derfor først AC. Så kan vi derefter udregne CE ved at trække AC fra 1. Udregning af k : 5 k 15 da siderne der er 5 og 15, har samme modtående vinkel. 5 k k 3 Vi har nu udregnet k og kan bruge k til at udregne AC. Udregning af AC : AC 3 1 da AC og siden der er 1, har ens modstående vinkler. AC AC 7 Udregning af CE : CE CE Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

20 5.5 Sammensat opgave om ensvinklede trekanter. Opgave Trekanterne ABE og CDE er ensvinklede. Bestem BD. Svar På skitsen er trekanterne ABE og CDE ensvinklede, så der findes en skalafaktor k som ganget med siderne i ABE giver siderne i CDE. k 6 = 9 k k = 1,5 da siderne med længde 6 og 9 ligger over for ens vinkler. Vi bruger nu skalafaktoren til at udregne DE : DE = 1,5 7 da siderne med længder 7 og DE ligger over for ens vinkler. DE = 10,5 Herefter kan vi udregne BD : BD = ,5 BD = 17,5 Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

21 6. Cosinus, sinus, tangens og Nspire. I mange opgaver med trekanter har vi brug for at regne med noget der hedder cosinus, sinus og tangens. I et matematikfelt i et notevindue i Nspire taster vi cos(6 ) og ctrl-enter (cmd-enter på Mac) : Når vi læser denne ligning, siger vi: cosinus til 6 er 0, Flere udregninger: Læses sinus til 138 er 0, Læses tangens til 15, er 0,71694 Hvis v er en vinkel i en trekant og 7 cos(v) = 4, så skal vi løse denne ligning. Ligningen har mange positive og negative løsninger, men da v er en vinkel i en trekant, skal vi kun finde løsninger mellem 0 og 180. HUSK: Over solve-linjen skriver vi med sædvanligt matematiksprog hvad der foregår i solvelinjen. Nspire løser ligningen 7 cos(v) = 4 mht. v for 0 < v <180 og får v = 55,1501. HUSK altid: Højreklik, Attributter, Grader for at være helt sikker. Hvis v er en vinkel i en retvinklet trekant, skal vi kun finde løsninger mellem 0 og 90. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

22 7. Cosinus, sinus og tangens i retvinklet trekant. 7.1 De tre regler for cosinus, sinus og tangens i retvinklet trekant. Når så gælder: v er en spids vinkel i en retvinklet trekant r er hypotenusen p er v ' s hosliggende katete q er v ' s modstående katete 7.1 a r cos( v) p dvs. hypotenuse gange cos(v) er v's hosliggende katete 7.1 b r sin( v) q dvs. hypotenuse gange sin(v) er v's modstående katete 7.1 c p tan( v) q dvs. v's hosliggende katete gange tan(v) er v's modtående katete I mange tilfælde hedder vinklen og siderne noget andet end v, p, q, r. Derfor er det ofte en fordel at udtrykke reglerne i ord som vi har gjort til venstre for formlerne. Se TYPE 1-9 side v r p q Her er fire billeder af samme trekant: Af de tre regler 7.1 a-c får vi at følgende seks formler gælder for trekanten uanset hvordan den vender: r cos( u) q r sin( u) p q tan( u) p r cos( v) p r sin( v) q p tan( v) q Når du skal regne en opgave med kendte tal: Indsæt de kendte tal i en af formlerne. Hvis bogstavet vi skal finde, står alene på den ene side af lighedstegnet: Udregn den anden side af lighedstegnet. Ellers: Brug solve. I ramme 7. er vist hvordan sådanne besvarelser ser ud. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

23 7. Eksempel på udregning i retvinklet trekant. Opgave B A D C Bestem vinkel A. Svar Af den retvinklede trekant ABD får vi 6 sin( A ) 5. Nspire løser ligningen 6 sin( A ) 5 mht. A for 0 A 90 og får A 56, , Eksempel på udregning i retvinklet trekant. Opgave B A D C Bestem BC. Svar Af den retvinklede trekant BCD får vi BC cos( 50 ) 5. Nspire løser ligningen BC cos( 50 ) 5 mht. BC for BC 0 og får BC 7, ,78. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

24 7.4 Eksempel på udregning i retvinklet trekant. Opgave h 5 5 Enhed: meter meter fra et træ sigter vi op mod toppen. Vinklen mellem sigtelinje og vandret er 5. Trekanten til højre er en model af denne situation. Bestem træets højde. Svar Af denne retvinklede trekant får vi 30 tan(5 ) h. Træets højde er 38 m. 7.5 Eksempel på udregning i retvinklet trekant. Opgave Et punkt D ligger på siden BC i den retvinklede trekant ABC. Bestem CD. Svar Vinkel D i trekant ABD er da vinkelsum i trekant er 180. Vinkel D i trekant ACD er da de to vinkler tilsammen er en halv omgang CD = 1,5 ifølge reglen for cos i retvinklet trekant Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

25 7.6 Eksempel på udregning i retvinklet trekant. Opgave Rektanglets areal er 6. Bestem rektanglets omkreds. Svar b h 6 da rektangels areal udregnes som bredde gange højde. b tan( 33,69 ) h ifølge reglen for tangens i retvinklet trekant. Nspire løser ligningssystemet b h 6 og b tan( 33,69 ) h mht. b og h for b > 0 og h > 0 og får b = 3,00000 og h =,00000 (matematikfeltet er indstillet til 6 cifre). Rektanglets omkreds er b+h = 10,00. Trekantsberegning for hf Side 018 Karsten Juul

26 7.7 Eksempel på udregning i retvinklet trekant. Opgave Der er givet den viste figur. a) Bestem siden p. b) Bestem vinklen v. Svar Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

27 8. Sinusformlen for areal af trekant. 8.1 Sinusformlen for areal af trekant. Sinusformlen for areal af trekant er T 1 p q sin( v hvor T er arealet, p og q er to sider i trekanten, og v er vinklen mellem disse sider. ) Sinusformlen for areal af trekant udtrykt i ord: Areal af trekant = 1 den ene side den anden side sinus til vinklen imellem de to sider. v q p T Formlen bruges ikke kun til at bestemme areal. Hvis vi kender tre af tallene T, p, q og v, så kan vi bestemme det sidste af tallene. 8. Bevis for sinusformlen for areal af trekant. På figuren tegner vi en højde h der deler trekanten op i to deltrekanter. v q p h 1 areal = grundlinje højde Dette er højde-grundlinje-formelen for trekants areal. T = 1 p h På figuren ser vi at p og h er grundlinje og højde. T = 1 p q sin(v) da q sin(v) = h ifølge regel for sin i retvinklet trekant (brugt på venstre deltrekant). Dette er sinusformlen for trekants areal, så vi har bevist at den gælder. 8.3 Eksempler på brug af sinusformlen for areal af trekant. Opgave Arealet af trekant ABD er 31,6. Bestem længden af BD. Bestem arealet af trekant BCD. Svar Da areal af trekant ABD er 31,6, får vi af sinusformlen for areal af trekant: 31,6 = 0,5 5 BD sin(110 ). Nspire løser ligningen 31,6 = 0,5 5 BD sin(110 ) mht. BD og får BD = 13,451 13,5 A 5 D 110 C 9 3 B Af trekant BCD og sinusformlen for areal af trekant får vi: Areal af trekant BCD er Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

28 9. Sinusrelationen. 9.1 Sinusrelationen. Sinusrelationen gælder i alle trekanter og siger at p q sin( u) sin( v) q p hvor siden p er modstående til vinklen u siden q er modstående til vinklen v u v Vi bruger IKKE sinusrelationen i retvinklet trekant, da vi har simplere formler til retvinklet trekant. 9. Bevis for sinusrelationen. q h p u v På figuren har vi tilføjet en højde h, der deler trekanten i to trekanter. Da disse er retvinklede, er q sin( u) h og p sin( v) h. q sin( u) p sin( v) da begge sider er lig h. q sin( u) p sin( v) sin( u) sin( v) sin( u) sin( v) Vi har divideret begge ligningens sider med sin( u) sin( v). q p Vi har forkortet de to brøker. sin( v) sin( u) Dette er sinusrelationen, så vi har bevist at den gælder. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

29 9.3 Bestem vinkel med sinusrelationen. Opgave u Bestem vinklen u på figuren. Svar Af sinusrelationen får vi sin( u) sin(110 ) 34 5 Nspire løser ligningen sin( u) mht. u for 0 u 180 sin(110 ) og får u 37,9094 eller u 14,091 dvs. u = 37,9 for u må være mindre end 90 da en af de andre vinkler er over Bestem side med sinusrelationen. Opgave B 6 A C Bestem siden b på figuren. Svar Vi får brug for siden b 's modstående vinkel: B= står uden for matematikfeltet. Attributter skal være = og grader. Tilføj efter facit. b 6 Af sinusrelationen får vi: sin(48 ) sin(105 ) b 6 Nspire løser mht. b for 0 b og får b 4, Dvs.: b = 4,6 sin(48 ) sin(105 ) Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

30 9.5 Opgave med to løsninger. Opgaven Skitsen I trekant ABC er (* ) A 34, a 5 og c 8. Vi vil udregne vinkel C. Vi tegner en skitse: Udregningen Vi sætter ind i sinusrelationen: 5 8 sin(34 ) sin( C) Nspire løser denne ligning mht. C for 0 C 180 og får: C 63,5 eller C 116,5 De to trekanter Der er altså to trekanter der opfylder (*) ovenfor. I den ene af disse trekanter er C 63,5, og i den anden er C 116,5. Vi vil tegne de to trekanter. Først tegner vi AB og vinkel A. Se venstre figur nedenfor. Punktet C ligger på l, og afstanden fra B til C er 5. Derfor tegner vi en cirkel med centrum B og radius 5: Nu har vi de to trekanter ABC. Se højre figur nedenfor. C C 5 l l 5 A B A 8 B Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

31 10. Cosinusrelationen Cosinusrelationen. Cosinusrelationen gælder i alle trekanter og siger at r p q p q cos( u ) hvor p, q og r er trekantens sider siden r er modstående til vinklen u Vi bruger IKKE cosinusrelationen i retvinklet trekant da vi har simplere formler til retvinklet trekant. 10. Bevis for cosinusrelationen. På figuren har vi tilføjet en højde. Vi bruger pythagoras på den højre af de to retvinklede trekanter og får: r = h + n I denne ligning erstatter vi h med q m og vi erstatter n med p m. (da m og n tilsammen er p ). Så får vi r = q m + (p m) (Pythagoras brugt på den venstre af de to retvinklede trekanter, se (1) i ramme 10.3). Heri erstatter vi m med q cos(u) (Venstre trekant: hypotenuse gange cos er og får vinkels hosliggende katete, se () i ramme 10.3). r = q (q cos(u)) + (p q cos(u)) Nspire reducerer højre side (Se (3) i ramme 10.3). og får r = p + q pqcos(u) Dette er cosinusrelationen som hermed er bevist. u q m h p n r Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

32 10.3 Bemærkninger til beviset for cosinusrelationen. (1) m +h = q er pythagoras brugt på den venstre af de to retvinklede trekanter. h = q m vi har trukket m fra begge sider. () I den venstre af de to retvinklede trekanter ser vi at q er hypotenuse m er hosliggende katete til vinklen u så q cos(u) = m da hypotenuse gange cosinus til vinkel er lig vinkels hosliggende katete. (3) Når Nspire reducerer, ser det sådan ud: Vi ser at Nspire får samme tre led som vi har skrevet, men Nspire skriver de tre led i en anden rækkefølge. De tre led er, og Bestem vinkel med cosinusrelationen. Opgave B 3, 5,4 Bestem vinklen C på figuren. A 6,0 C Svar Af cosinusrelationen får vi: 3, 5,4 6,0 5,4 6,0 cos( C) Nspire løser ligningen 3, 5,4 6,0 5,4 6,0 cos( C) mht. C for 0 C 180 og får C 3,0559. Dvs.: C = 3,1. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

33 10.5 Bestem side med cosinusrelationen. Opgave 45 p Bestem siden p på figuren Svar Af cosinusrelationen får vi: p = cos(59 ) Nspire løser ligning p = cos(59 ) mht. p for 0 p og får p 51,9663. Dvs.: p = 5, Sammensatte opgave om vilkårlig trekant Sammensat opgave om vilkårlig trekant. Opgave Se svar i næste ramme! Punktet C ligger på siden BE, og punktet E ligger på siden AD. B = 5, og vinkel E i trekant CDE er 17. AE = 69, DE = 39 og CE = 57. a) Bestem arealet af trekant CDE. b) Bestem siden CD. c) Bestem siden AB. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

34 11. Svar på opgave i ramme Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

35 11.3 Eksempel hvor vi bruger cosinusrelationen og sinusrelatiuonen til at udregne en afstand. Vi får brug for følgende: Summen af vinklerne i en trekant Når vi kender to vinkler i en trekant, så kan vi udregne den tredje. Det er fordi man altid får 180 når man lægger alle tre vinkler sammen. Finde side i trekant med sinusrelationen Hvis vi i en trekant kender vinklerne og en af siderne så kan vi udregne enhver af de andre sider. Dette kan vi gøre med sinusrelationen. Finde side i en trekant med cosinusrelationen Hvis vi i en trekant kender to sider og vinklen mellem dem så kan vi udregne den tredje side. Dette kan vi gøre med cosinusrelationen. Opgaven: Figuren viser et landområde set ovenfra. Vi vil finde afstanden mellem og A og B, men vi kan ikke måle denne afstand (på grund af forhold i landskabet). A D s u Vores målinger C v t B Vi finder to steder C og D hvor der gælder: Fra C kan vi se både A, B og D. Fra D kan vi se både A, B og C. Vi kan måle afstanden mellem C og D. Vi måler vinkler mellem sigtelinjer. Afstande er i meter. Vi får CD 183, u 81, 7, v 75, 0, s 54, 9, t 108, 8. I næste ramme udregner vi afstanden mellem A og B. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

36 11.4 Løsning af opgaven i ramme 11.3 Plan for udregninger Siden AC Hvis vi i trekant ABC kender siderne AC og BC og vinklen imellem dem, så kan vi udregne længden af AB med cosinusrelationen. Vinklen kan vi nemt udregne da vi kender t og v. AC er en side i trekant ACD. I denne kender vi vinklerne u og v, så vi kan nemt udregne vinklen A. Da vi kender vinklerne og en side kan vi udregne længden af de andre sider med sinusrelationen. Vi nøjes med at udregne længden af AC. På tilsvarende måde udregner vi siden BC i trekant BCD. Vinkelsummen i en trekant er 180, så i trekant ACD er A 180 u v 3, 3 Sinusrelationen siger at for alle sider i en trekant får vi det samme tal når vi dividerer siden med sinus til sidens modstående vinkel. Derfor gælder at CD AC 183 d dvs. 1 sin( A) sin( U ) sin(3,3 ) sin(81,7 ) Nspire løser denne ligning mht. d 1 og får d 1 457, 806 hvor d 1 AC Siden BC Siden AB I trekant BCD bruger vi laver vi udregninger af samme type som i trekant ACD: B 180 s t 16, d sin(16,3 ) sin(54,9 ) d I trekant ABC er 533,449 C t v 33, 8 hvor Da C er vinklen mellemsiderne d 1 og d, og cosinusrelationen at c d1 d d1 d Vi løser denne ligning mht. c og får c 97,110 d cos( C) BC c AB er siden over for vinklen, følger af Konklusion Afstanden mellem A og B er 97 meter. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

37 1. Nogle begreber. 1.1 Højde. En højde i en trekant er et linjestykke der går fra en vinkelspids til et punkt på den modstående side og er vinkelret på denne side. I enhver trekant er der tre højder. B D På figuren er vist højden h a fra A på siden a. h a F.eks.: Hvis det i en opgave er oplyst at AD er højden på BC (se figur), så har du fået oplyst at vinkel D er ret. Så kan du bruge reglerne for retvinklet trekant. A C 1. Median. En median i en trekant er et linjestykke der går fra en vinkelspids til midtpunktet af den modstående side. I enhver trekant er der tre medianer. På figuren er vist medianen m b fra B på siden b. Hvis det i en opgave er oplyst at BD er median på AC (se figur), så har du fået oplyst at AD og DC er lige lange: F.eks.: Hvis du kender AD eller kan udregne AD, så kan du udregne AC ved at gange AD med. F.eks.: Hvis du kender AC eller kan udregne AC, så kan du udregne AD ved at dividere AC med. A p q q D p C m b B 1.3 Vinkelhalveringslinje. En vinkelhalveringslinje i en trekant er en linje der går gennem en af vinkelspidserne og halverer vinklen. I enhver trekant er der tre vinkelhalveringslinjer. På figuren er vist vinkelhalveringslinjen v C for vinkel C. A u w u v C w C Hvis det i en opgave er oplyst at CD er vinkelhalverings linje for vinkel C (se figur), så har du fået oplyst at vinklerne u og v er lige store: F.eks.: Hvis du kender u eller kan udregne u, så kan du udregne vinkel C i trekant ABC ved at gange u med. F.eks.: Hvis du kender vinkel C i trekant ABC eller kan udregne den, så kan du udregne vinkel u ved at dividere vinkel C med. D B Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

38 1.4 Nogle betegnelser. ABC er vinkel B i trekant ABC. Eksempel: På figuren er RSQ v. S u v R AB er linjestykket med endepunkter A og B. AB er længden af linjestykket AB. Eksempel: På figuren er PQ og PS ikke samme linjestykke, men PQ PS. 5 I en trekant ABC betegner A, B og C både punkter og vinkler. Eksempel: Man kan skrive P 90 eller P 90. P 5 Q 13. Sammensat opgave. En grundopgave i trekantsberegning kan du løse ved at finde opgaven i oversigten side En sammensat opgave kan du ikke løse ved at finde opgaven i en lærebog da der er alt for mange muligheder. Meningen med en sammensat opgave er at du skal se hvordan du kan løse den ved hjælp af grundopgaver. I mange sammensatte opgaver er der tegnet et linjestykke som deler en trekant op i to deltrekanter. For at finde ud af hvad du skal gøre, kan du tegne de tre trekanter hver for sig og skrive tal og bogstaver på dem. Når du har tegnet de tre trekanter, ser du om der er en af dem hvor du kan regne noget ud. Hvis det du har regnet ud, også er en side eller vinkel i en af de andre trekanter, så skriver du også resultatet her. Det er især vigtigt at tegne den store trekant da det viser sig at linjen inden i den er distraherende når man regner på den store trekant. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

39 De 11 opgavetyper med sider og vinkler i retvinklet trekant I trekanten til højre er siderne med længde 3 og 4 kateter, fordi vinklen mellem dem er ret. Siden med længde 5 er hypotenuse, fordi den ikke er en af kateterne. Forestil dig at du sidder i den spidse vinkel u og holder i de to vinkelben. Den katete du holder i, er vinklens hosliggende katete. Den anden katete er vinklens modstående katete. u Type 1 Kendt: Udregn: Type Kendt: Udregn: Type 3 Kendt: Udregn: Hypotenusen og en spids vinkel. Vinklens hosliggende katete. 5 cos(37 ) t Nspire udregner venstre side vinklens hosliggende katete spids vinkel hypotenusen En spids vinkel og dens hosliggende katete. Hypotenusen. t cos( 37 ) 4 Nspire løser mht. t vinklens hosliggende katete spids vinkel hypotenusen Hypotenusen og en katete. Vinklen mellem disse. 5 cos( u) 4 Nspire løser mht. u for 0 u t t vinklens spids vinkel hypotenusen hosliggende katete u 4 Type 4 Kendt: Udregn: Type 5 Kendt: Udregn: Type 6 Kendt: Udregn: Hypotenusen og en spids vinkel. Vinklens modstående katete. 5 sin(37 ) Nspire udregner venstre side En spids vinkel og dens modstående katete. Hypotenusen. t sin ( 37 ) 3 Nspire løser mht. t Hypotenusen og en katete. Katetens modstående vinkel. 5 sin ( u) t vinklens spids vinkel hypotenusen vinklens spids vinkel hypotenusen 3 modstående katete modstående katete Nspire løser mht. u for vinklens modstående katete spids vinkel hypotenusen 0 u t 37 5 u t 3 3 Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

40 Type 7 Kendt: Udregn: Type 8 Kendt: Udregn: Type 9 Kendt: Udregn: En spids vinkel og dens hosliggende katete. Vinklens modstående katete. 4 tan(37 ) Nspire udregner venstre side En spids vinkel og dens modstående katete. Vinklens hosliggende katete. t tan( 37 ) 3 Nspire løser mht. t De to kateter. En spids vinkel. 4 tan( u) 3 t vinklens modstående katete spids vinkel vinklens hosliggende katete vinklens modstående katete spids vinkel vinklens hosliggende katete Nspire løser mht. u for vinklens modstående katete spids vinkel vinklens hosliggende katete 0 u u 4 t 4 t 3 3 Type 10 Kendt: Udregn: Type 11 Kendt: Udregn: De to kateter. Hypotenusen. 3 4 t hypotenuse kateter Nspire løser mht. t for Hypotenusen og en katete. Den anden katete. t 4 5 Nspire løser mht. t for hypotenuse kateter 0 t 0 t t t De 4 formler til udregning af sider og vinkler i retvinklet trekant Hver af de 11 metoder ovenfor bruger en af følgende fire formler: I en retvinklet trekant gælder (1) den_ene_katete + den_anden_katete = hypotenusen For en spids vinkel i en retvinklet trekant gælder: () hypotenusen cos( vinkel ) = vinklens_hosliggende_katete (3) hypotenusen sin( vinkel ) = vinklens_modstående_katete (4) vinklens_hosliggende_katete tan( vinkel ) = vinklens_modstående_katete Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

41 De 4 opgavetyper vi løser ved hjælp af cosinusrelationen eller sinusrelationen Type 1: Kendt: Udregn: p Udregn side med cosinusrelationen Trekanten er ikke retvinklet. En vinkel mellem to sider og disse to sider. Siden over for vinklen. altid cos(41,4 ) vinklensben siden over for vinklen Nspire løser ligningen mht. p for p 0 p ,4 Type 13: Udregn vinkel med cosinusrelationen Trekanten er ikke retvinklet. Kendt: De tre sider. Udregn: Vinklen. altid cos( v) vinklensben siden over for vinklen Nspire løser ligningen mht. v for 0 v v Type 14: Kendt: Udregn: Udregn side med sinusrelationen Trekanten er ikke retvinklet. En side og to vinkler. En af de andre sider. p sin( 41.4 ) sin( ) siden der er 6 enheder, ligger over for vinklen der er 8,8 siden der er p enheder, ligger over for vinklen der er 41,4 Nspire løser ligningen mht. p for p 0 41,4 Hvis det var siden over for den ukendte vinkel vi skulle finde, så måtte vi først udregne denne vinkel ved at udnytte at summen af de tre vinkler er 180. p 8,8 6 Type 15: Kendt: Udregn: Udregn vinkel med sinusrelation Trekanten er ikke retvinklet. To sider og vinklen over for en af dem. Vinklen over for den anden af de to sider. 4 8,8 sin( 4 v) sin( 8,8 6 ) siden der er 6 enheder, ligger over for vinklen der er 8,8 siden der er 4 enheder, ligger over for vinklen af størrelse v Nspire løser ligningen mht. v for 0 v v Nspire giver både en løsning under 90 og en løsning over 90. Husk at begrunde hvilken af løsningerne der skal bruges. I dette tilfælde kan begrundelsen være: "Vinklen er under 90 da siden over for vinklen ikke er den største i trekanten." I nogle opgaver er det oplyst om vinklen er stump (dvs. over 90 ) eller spids (dvs. under 90 ). Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

42 De 3 opgavetyper med sinusformlen for trekants areal Type 16 Kendt: Udregn: Arealet er altid 1 To sider og vinklen mellem dem. Arealet. T sin(41,4 ) vinklen skal være mellem disse sider Nspire udregner ligningens højre side. T ,4 Type 17 Kendt: Udregn: altid 9,9 1 Arealet, vinklen mellem to sider og en af de to sider. Den anden af de to sider. 1 5 p sin(41,4 ) vinklen skal være mellem disse sider Nspire løser ligningen mht. p. 9,9 p 5 41,4 Type 18 Kendt: Udregn: altid 9,9 1 Arealet og to sider. Vinklen mellem de to sider sin( v ) vinklen skal være mellem disse sider Nspire løser ligningen mht. v for 0 v 180. Ligningen har både en løsning under 90 og en løsning over 90. Hvis opgaven er i en prøve, så vil der være flere oplysninger så det fremgår hvilken af de to trekanter opgaven drejer sig om. 9,9 6 5 v De 3 formler for vilkårlig trekant Hver af metoderne 1-18 bruger en af følgende tre formler: I alle trekanter gælder (5) T 1 pqsin( ) v når T er trekantens areal og v er vinklen mellem siderne p og q. (6) p sin( u) q når p er siden over for vinklen u og q er siden over for vinklen v. sin( v) u (7) r p q p q cos( ) når p, q og r er siderne og u er vinklen mellem p og q. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

43 Retvinklet Hvilken regel? Svar på spørgsmålene. Så ved du hvilken regel for retvinklet trekant du skal bruge. Når der står at en side eller vinkel indgår, betyder det at den enten er oplyst eller er det man skal regne ud. En ret vinkel 90 medregnes ikke i Indgår tre sider? indgår! JA NEJ Brug pythagoras Indgår hypotenusen? JA NEJ Indgår vinklens hosliggende katete Brug tangens JA NEJ Brug cosinus Brug sinus Pythagoras sætning gælder kun i retvinklede trekanter. Pythagoras sætning som formel p q r når p og q er kateter, og r er hypotenuse. r Pythagoras sætning i ord Den ene katete i anden plus den anden katete i anden er hypotenusen i anden. p q Når v er en spids vinkel i en retvinklet trekant Kateterne er de sider der støder r er hypotenusen r q op til den rette vinkel. p er v ' s hosliggende katete En vinkels hosliggende katete er q er v ' s modstående katete v den af kateterne der støder op til p vinklen. så gælder: 11 r cos( v) p dvs. hypotenuse gange cos(v) er v's hosliggende katete 1 r sin( v) q dvs. hypotenuse gange sin(v) er v's modstående katete 13 p tan( v) q dvs. v's hosliggende katete gange tan(v) er v's modtående katete I mange tilfælde hedder vinklen og siderne noget andet end v, p, q, r. Derfor er det ofte en fordel at udtrykke reglerne i ord som vi har gjort til venstre for formlerne. Trekantsberegning for hf Side Karsten Juul

44 Stikordsregister areal 3, 4, 5, 4, 39 areal og sinus 4 areal, sinusformlen 31 bevis for cosinusrelationen 8, 9 bevis for sinusrelationen 5 cosinus 19 cosinus og Nspire 18 cosinus i retvinklet trekant 19, 0, 1, 36, 37 cosinusrelationen 8, 9, 30, 31, 3, 33, 38 ensvinklede trekanter 13, 14, 15, 16, 17 hosliggende katete 1, 19, 36, 37 hypotenuse 6, 1, 19, 36, 37 højde, 5, 34 højde-grundlinje-formel for trekants areal 3 katete 6, 7, 19, 36, 37 kvadrat median 34 modstående katete 1, 19, 36, 37 modstående side 11 modstående vinkel 11 multiplikationstabel 6, 7, 8, 14, 15 omkreds Pythagoras' sætning 6, 7, 8, 9, 10, 3, 37 rektangel ret vinkel 1 retvinklet trekant 6, 1, 19, 0, 1,, 3, 36, 37, 40 sammensat opgave 35 sinus 19 sinus i retvinklet trekant 19, 0, 3, 36, 37 sinus og Nspire 18 sinusformlen for areal 4, 31, 39 sinusrelationen 5, 6, 7, 31, 3, 33, 38 skalafaktor 13, 14, 15, 16, 17 spids vinkel 1 stump vinkel 1 tangens 19, 1, tangens i retvinklet trekant 19, 1,, 37 tangens og Nspire 18 to løsninger 7 vilkårlig trekant 39 vinkel 1, 1, 3, 33, 35 vinkelhalveringslinje 34

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b. Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Cosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Trigonometri - Facitliste

Trigonometri - Facitliste Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Procent og rente Karsten Juul

Procent og rente Karsten Juul Procent og rente 2018 Karsten Juul 1. Procent 1.1 Oplæg til procent... 1 1.2 Udregn procent... 2 1.3. Udregn procent-ændring... 2 1.4 Udregn procent-fald... 3 1.5 Udregn procent-stigning... 3 1.6. Udregn

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf

Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Da der er tale om ét indskud og renten er fast, benytter vi kapitalfremskrivningsformlerne til beregningen, hvor

Da der er tale om ét indskud og renten er fast, benytter vi kapitalfremskrivningsformlerne til beregningen, hvor Opgave 1 Da trekant ABC er retvinklet, kan sætningen mk = hyp*sin(v) benyttes. De kendte tal indsættes: BC = 6,4 sin(37) = 3,85 BC = 3,9 Tilsvarende gælder for den hosliggende katete: hk = hyp*os(v) og

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A

Projekt Beholderkonstruktion. Matematik - A Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en

Læs mere

A U E R B A C H. c h A H

A U E R B A C H. c h A H M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses.

Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: +kat 2. De oplyste tal indsættes; ligningen løses. 18-02-2009 16:13:02 Opg. 1-1 B Da trekant ABC er retvinklet, kan vi anvende Pythagoras: hyp 2 = kat 1 2 +kat 2 2 12 De oplyste tal indsættes; ligningen løses. hyp 2 = 5 2 +12 2 hyp 2 = 25 + 144 = 169 hyp

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere