Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2

Transkript

1 Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret 12. februr Introduktion I disse noter gennemgår vi meget kort definition og nogle egenskber ved Riemnn integrlet. Denne gennemgng ersttter kpitel 7 i Apostols bog og gør det muligt t læse beviserne i kpitel 9 uden t kende kpitel 7. 2 Definitioner Vi strter med en række definitioner. Ld [, b] være et lukket intervl. En inddeling P f [, b] er en endelig delmængde f intervllet P = {x 0, x 1,..., x n } som opfylder x 0 =, x n = b, og x j 1 < x j for j = 1, 2,..., n. En inddeling P 1 siges t være finere end P, hvis P 1 P (mængdeinklusion). Mængden f lle inddelinger f et givet intervl betegnes I[, b]. Normen f en inddeling P I[, b] er længden f det største delintervl bestemt f P og betegnes P. I symboler: P = {x 0, x 1,..., x n }, P = mx{x j x j 1 j = 1, 2,..., n}. Vi bemærker, t P 1 P medfører P 1 P. 1

2 Givet en inddeling P = {x 0, x 1,..., x n } og t = (t 1, t 2,..., t n ), så siges t t være underordnet P, hvis t j [x j 1, x j ] for j = 1, 2,..., n. Ld f være en begrænset reel funktion defineret på [, b]. Givet P I[, b] og t underordnet P, så definerer vi middelsummen ved S(P, t, f) = f(t j )(x j x j 1 ). (1) (Vi bruger næsten smme betegnelser som i Apostol). For j = 1, 2,..., n definerer vi m j (f) = inf{f(x) x [x j 1, x j ]} (2) M j (f) = sup{f(x) x [x j 1, x j ]} (3) og ved hjælp f disse tl definerer vi undersummen (L kommer fr det engelske lower) ved L(P, f) = m j (f)(x j x j 1 ) (4) og oversummen (U kommer fr det engelske upper) ved U(P, f) = M j (f)(x j x j 1 ). (5) Det følger umiddelbrt f definitionerne, t vi hr ulighederne L(P, f) S(P, t, f) U(P, f) (6) for ethvert vlg f t underordnet P. Se Figur 1 for et eksempel. Med disse forberedelser kn vi nu definere Riemnn integrbilitet. Definition 2.1. En begrænset funktion f på [, b] siges t være Riemnn integrbel på [, b], hvis der findes et tl A med følgende egenskb: Givet ε > 0, så findes en inddeling P I[, b], således t for lle P 1 I[, b] med P 1 P og lle t underordnet P 1 gælder S(P 1, t, f) A < ε. Vi skriver A = f(x)dx. Mængden f Riemnn integrble funktioner på [, b] betegnes R[, b]. Det er klrt fr definitionen, t der højst eksisterer ét tl A med denne egenskb, så nottionen A = f(x)dx giver mening. 2

3 M j (f) f(t j ) m j (f) x j 1 t j x j Figure 1: Tegningen illustrerer undersum, middelsum og oversum 3 Krkteristion f Riemnn integrbilitet Definition 2.1 skl suppleres med krkteristion f Riemnn integrbilitet for t kunne bruges i prksis. Vi giver to resultter. Det første resultt viser, t Riemnn integrbilitet også kn krkteriseres ved hjælp f oversummer og undersummer. Sætning 3.1. Ld f være en begrænset funktion på [, b]. Så er f R([, b]) hvis og kun hvis følgende betingelse er opfyldt: Givet ε > 0, så findes der en inddeling P I[, b], således f for lle inddelinger P 1 I[, b] med P 1 P gælder U(P 1, f) L(P 1, f) < ε. Bevis: Antg først f R([, b]). Sæt A = f(x)dx. Ld ε > 0 være givet. Så findes ifølge definitionen på Riemnn integrbilitet en inddeling P 0 I[, b], således t for lle P I[, b] med P P 0 og lle t underordnet P gælder f(t j )(x j x j 1 ) A < 1 ε. (7) 3 Ld nu P være vlgt vilkårligt, P P 0, men fstholdt i resten f denne del f beviset. 3

4 Bruger vi (7) for to forskellige vlg t og s, så finder vi (f(t j ) f(s j ))(x j x j 1 ) (8) = f(t j )(x j x j 1 ) A + A f(t j )(x j x j 1 ) A + A f(s j )(x j x j 1 ) (9) f(s j )(x j x j 1 ) (10) < 2 ε. (11) 3 Sæt nu µ = ε/(3(b )). Bruger vi definitionen f M j (f) og m j (f) som henholdsvis supremum og infimum, så kn vi finde t j [x j 1, x j ], således t og s j [x j 1, x j ], således t Herf følger og dernæst U(P, f) L(P, f) = M j (f) < f(t j ) + µ/2 m j (f) > f(s j ) µ/2. M j (f) m j (f) < f(t j ) f(s j ) + µ < (M j (f) m j (f))(x j x j 1 ) (12) (f(t j ) f(s j ))(x j x j 1 ) + µ (x j x j 1 ) (13) < 2 ε + µ(b ) = ε. (14) 3 Det beviser den ene del f sætningen. For t bevise den nden del strter vi med lidt nottion. Vi definerer det øvre integrl som og det nedre integrl som I(f) = inf{u(p, f) P I[, b]} I(f) = sup{l(p, f) P I[, b]}. Det følger f (6), t I(f) I(f). Ld nu betingelsen i nden del f sætningen være opfyldt. Så gælder I(f) = I(f). Det ses på følgende måde: Givet ε > 0. Så findes efter ntgelsen en inddeling P I[, b] med U(P, f) L(P, f) < ε. Men så hr vi I(f) U(P, f) < L(P, f) + ε I(f) + ε 4

5 eller 0 I(f) I(f) < ε. D ε er vilkårlig, følger I(f) = I(f). Ideen i beviset er t vise, t f er Riemnn integrbel med integrl A = (fx)dx = I(f) = I(f). Ld ε > være givet. Bestem nu P således, t U(P, f) < I(f) + ε. Så gælder ifølge Lemm 3.2 nedenfor U(P, f) < I(f) + ε. for lle P P. Tilsvrende bestemmes P således, t L(P, f) > I(f) ε for lle P P, hvor vi igen hr brugt Lemm 3.2. Sæt P 0 = P P og ntg, t P P 0 er vilkårlig. Så gælder for et vilkårligt t underordnet P eller A ε = I(f) ε < L(P, f) S(P, t, f) U(P, f) < I(f) + ε = A + ε S(P, t, f) A < ε. Det beviser, t f er Riemnn integrbel. Vi hr i beviset overfor brugt følgende Lemm: Lemm 3.2. Antg, t f er en begrænset funktion på [, b]. Antg, t P 1, P 2 I[, b] og P 2 P 1. Så gælder U(P 2, f) U(P 1, f) og L(P 1, f) L(P 2, f). Bevis: Det er nok t se på det tilfælde, hvor P 2 hr et punkt mere end P 1. Kld dette punkt er c, og ntg c (x j 1, x j ). Sæt M 1 = sup{f(x) x [x j 1, c]}, M 2 = sup{f(x) x [c, x j ]}. Så er (se (2)) M 1 M j (f) og M 2 M j (f), og vi hr U(P 2, f) = = M k (f)(x k x k 1 ) + M 1 (c x j 1 ) + M 2 (x j c) (15) k=1 k j M k (f)(x k x k 1 ) + M j (f)(c x j 1 ) + M j (f)(x j c) (16) k=1 k j M k (f)(x k x k 1 ) = U(P 1, f). (17) k=1 Det viser det første resultt. Det ndet resultt vises på smme måde. Ved hjælp f ovenstående sætning kn vi nu bevise hovedresulttet. 5

6 Sætning 3.3. Antg, t f er kontinuert på [, b]. Så gælder f R([, b]), dvs. f er Riemnn integrbel på [, b]. Bevis: Beviset bygger på, t kontinuitet på det lukkede intervl [, b] medfører uniform kontinuitet (se Apostol Theorem 4.47). Vi bruger Sætning 3.1 i beviset. Ld ε > 0 være givet. Bestem δ > 0, således t x y < δ medfører f(x) f(y) < ε/(2(b )) for lle x, y [, b]. Det er muligt, d f er uniformt kontinuert. Ld P være en inddeling med P < δ og ld P 1 P være vilkårlig. D længden f ethvert delintervl bestemt f P 1 er mindre end δ, følger M j (f) m j (f) ε/(2(b )) og dermed U(P 1, f) L(P 1, f) = (M j (f) m j (f))(x j x j 1 ) (18) ε/(2(b )) (x j x j 1 ) = ε < ε. (19) 2 Det viser, t betingelsen i Sætning 3.1 er opfyldt, og dermed, t f R([, b]). 4 Egenskber ved Riemnn integrlet Vi giver en række egenskber ved Riemnn integrlet med korte beviser. Sætning 4.1. R([, b]) er et reelt vektorrum. For f, g R([, b]) og c 1, c 2 R gælder (c 1 f(x) + c 2 g(x))dx = c 1 f(x)dx + c 2 g(x)dx. Bevis: Sæt h = c 1 f + c 2 g. Så gælder for middelsummerne S(P, t, h) = c 1 S(P, t, f) + c 2 S(P, t, g). Givet ε > 0, så kn vi bestemme en inddeling P, således t for lle P P gælder S(P, t, f) f(x)dx < ε og en inddeling P, således t for lle P P gælder S(P, t, g) Sæt nu P 0 = P P. Så gælder for lle P P 0 Herf følger resulttet. g(x)dx < ε. S(P, t, h) c 1 f(x)dx c 2 g(x)dx < c 1 ε + c 2 ε. 6

7 Sætning 4.2. Antg c (, b) og t f er Riemnn integrbel over to f de tre intervller [, b], [, c] og [c, b]. Så er f også Riemnn integrbel over det tredje, og der gælder f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. (20) Bevis: Vi ntger, t f er integrbel over [, c] og [c, b]. Antg P er en inddeling f [, b] med c P. Sæt P = P [, c], P = P [c, b]. (21) Så er P en inddeling f [, c] og P en inddeling f [c, b], og der gælder S(P, t, f) = S(P, t, f) + S(P, t, f), hvor vi også deler t op på en indlysende måde. Givet ε > 0, så findes der en inddeling P 0 f [, c], således t for lle P P 0 gælder S(P, t, f) c f(x)dx < ε 2 og en inddeling P 0 f [c, b], således t for lle P P 0 gælder S(P, t, f) c f(x)dx < ε 2. Vi sætter P 0 = P 0 P 0. Ld nu P P 0 og definer P og P ved (21). Vi hr d S(P, t, f) c f(x)dx c f(x)dx < ε for lle P P 0 og lle t underordnet P. Resulttet følger herf. De ndre tilfælde behndles på smme måde. Vi indfører de sædvnlige konventioner, hvorefter vi sætter f(x)dx = f(x)dx b og f(x)dx = 0. Derefter gælder formlen (20) for vilkårlig beliggenhed f, b og c, hvis funktionen er Riemnn integrbel over de relevnte intervller. Sætning 4.3. Antg f R([, b]) og g R([, b]), og t f(x) g(x) for lle x [, b]. Så gælder f(x)dx g(x)dx. Bevis: Det følger f definitionen på middelsum, t der gælder S(P, t, f) S(P, t, g) for enhver inddeling P og ethvert t underordnet P. Men herf følger sætningen umiddelbrt. For en funktion f betegner f funktionen givet ved f (x) = f(x), og f 2 funktionen givet ved f 2 (x) = (f(x)) 2. Vi hr følgende resultter. 7

8 Sætning 4.4. Antg f R([, b]). Så er f R([, b]) og der gælder f(x)dx Bevis: Vi bruger Sætning 3.1 i beviset. Vi hr f (x)dx. M j (f) m j (f) = sup{f(x) f(y) x, y [x j 1, x j ]} og d f(x) f(y) f(x) f(y), hr vi M j ( f ) m j ( f ) M j (f) m j (f) (idet vi udnytter M j (f) m j (f) 0) og dermed U(P, f ) L(P, f ) U(P, f) L(P, f) D det gælder for lle inddelinger, giver Sætning 3.1, t f R([, b]). Vi hr f f og f f, så uligheden følger fr Sætning Advrsel. Der gælder ikke, t f R([, b]) medfører f R([, b]). Det er en f de største svgheder ved Riemnn integrlet. Vi illustrerer dette med et eksempel. Definer en funktion på [0, 1] ved { 1 f orxirrtionl, f(x) = 1 f orxrtionl. Så gælder U(P, f) = 1 og L(P, f) = 1 for lle inddelinger P f [0, 1]. Men så er f ikke Riemnn integrble ifølge Sætning 3.1. På den nden side er f lig den konstnte funktion 1, som er Riemnn integrbel. Sætning 4.5. Antg f R([, b]). Så er f 2 R([, b]). Bevis: Vi bruger igen Sætning 3.1. Der gælder M j (f 2 ) = (M j ( f )) 2 og m j (f 2 ) = (m j ( f )) 2. Dermed hr vi M j (f 2 ) m j (f 2 ) = (M j ( f ) + m j ( f ))(M j ( f ) m j ( f )) (22) 2K(b )(M j ( f ) m j ( f )), (23) hvor K er en konstnt, så t f(x) K for lle x [, b]. Men så følger resulttet f Sætning 4.4 og Sætning 3.1. Sætning 4.6. Antg f R([, b]) og g R([, b]). Så er fg R([, b]). Bevis: Resulttet følger f og Sætning f(x)g(x) = (f(x) + g(x)) 2 (f(x)) 2 (g(x)) 2 8

9 Sætning 4.7. Antg, t f er kontinuert på [, b] og definér for x [, b] F (x) = x f(t)dt. Så er F kontinuert differentibel på [, b], og der gælder Bevis: Vi hr F (x) = f(x). 1 h (F (x + h) F (x)) f(x) = 1 h x+h x (f(t) f(x))dt. Givet ε > 0, så kn vi på grund f kontinuiteten f f bestemme et δ > 0, således t for h < δ gælder f(t) f(x) < ε for lle t i intervllet mellem x og x + h. Herf følger resulttet. Sætning 4.8. Antg, t f R([, b]), og t der findes en funktion F, som er kontinuert på [, b] og differentibel på (, b) med F (x) = f(x) for lle x (, b). Så gælder f(x)dx = F (b) F (). Bevis: Ld P være en vilkårlig inddeling f [, b]. Så gælder F (b) F () = = = (F (x j ) F (x j 1 )) (24) F (t j )(x j x j 1 ) (25) f(t j )(x j x j 1 ), (26) hvor t j (x j 1, x j ) er bestemt ved t nvende middelværdisætningen (Apostol Theorem 5.11). For et givet ε > 0 kn vi nu bestemme en inddeling, som er så fin, t vi hr F (b) F () D ε er vilkårlig, følger resulttet. f(x)dx = f(t j )(x j x j 1 ) f(x)dx < ε. 9

10 Vi får i næste fsnit brug for følgende resultt: Sætning 4.9. Ld f R([, b]), så t m f(x) M, for lle x [, b]. Ld ϕ : [m, M] R være en kontinuert funktion. Sæt h(x) = ϕ(f(x)) for x [, b]. Så er h R([, b]). Bevis: Ld ε > 0 være givet. D ϕ er uniformt kontinuert på [m, M], kn vi bestemme et δ > 0, så t ϕ(s) ϕ(t) < ε for lle s, t [m, M] med s t < δ. Vi kn ntge, t δ < ε. Sæt nu K = sup{ ϕ(t) t [m, M]}. Fr Sætning 3.1 får vi, t vi kn finde en inddeling P = {x 0, x 1,..., x n }, så t U(P, f) L(P, f) < δ 2. Vi deler nu indices for punkterne i P op i to mængder: Vi hr d M = {j {1, 2,..., n} M j (f) m j (f) < δ}, (27) N = {j {1, 2,..., n} M j (f) m j (f) δ}. (28) δ (x j x j 1 ) j (f) m j (f))(x j x j 1 ) (29) j N j N(M = U(P, f) L(P, f) < δ 2. (30) Herf ser vi Vi hr d (x j x j 1 ) < δ. j N U(P, h) L(P, h) = (M j (h) m j (h))(x j x j 1 ) (31) = j N(M j (h) m j (h))(x j x j 1 ) (32) + j N(M j (h) m j (h))(x j x j 1 ) (33) ε(b ) + 2Kδ (34) < ε(b + 2K), (35) hvor sidste ulighed følger f, t vi hr ntget δ < ε. D ε er vilkårlig, får vi fr sætning 3.1, t h R([, b]). Vi ser, t vi kunne hve vist Sætning 4.4 ved hjælp f Sætning 4.9, idet vi kn tge ϕ(t) = t. 10

11 5 Riemnn integrlet f funktioner med komplekse værdier Vi skl nu udvide Riemnn integrlet til funktioner, der fbilder et intervl [, b] over i de komplekse tl. Vi minder om, t en funktion f : [, b] C kn skrives som f = Ref+iImf. Definition 5.1. En begrænset funktion f : [, b] C er Riemnn integrbel på [, b], hvis Ref R([, b]) og Imf R([, b]). Vi sætter f(x)dx = Ref(x)dx + i Imf(x)dx. Mængden f komplekse Riemnn integrble funktioner betegnes R([, b]; C) Bemærk, t med denne definition er Re f(x)dx = Ref(x)dx og Im f(x)dx = Imf(x)dx. Følgende sætning er en umiddelbr konsekvens f definitionen og Sætning 4.2 Sætning 5.2. R([, b]; C) er et komplekst vektorrum. Afbildningen f er en lineær fbildning fr R([, b]; C) til C. f(x)dx Sætning 5.3. Ld f R([, b]; C). Så er f R([, b]), og der gælder Bevis: Vi hr, t f(x)dx f(x) dx. f(x) 2 = (Ref(x)) 2 + (Imf(x)) 2. Sætningerne 4.2 og 4.5 viser nu, t f 2 R([, b]). Sæt ϕ(t) = t for t 0. Så følger det f Sætning 4.9, t f(x) = ϕ( f(x) 2 ) er Riemnn integrbel på [, b]. Bestem nu et θ R, så t f(x)dx = eiθ f(x)dx = e iθ f(x)dx. 11

12 Vi hr d, idet vi bruger Sætningerne 4.4 og 4.3, f(x)dx = Re e iθ f(x)dx (36) = Herf følger sidste del f sætningen. Re(e iθ f(x))dx (37) Re(e iθ f(x)) dx (38) f(x) dx. (39) 12