PITCHSTYRING TIL BACKUP AF KRØJEFUNKTION I VINDMØLLER

Transkript

1 PITCHSTYRING TIL BACKUP AF KRØJEFUNKTION I VINDMØLLER 4. SEMESTER PROJEKT GRUPPE ET4-403 INSTITUT FOR ENERGITEKNIK AALBORG UNIVERSITET FORÅR 2009

2

3 Titel: Pitchstyring til backup af krøjefunktion i vindmøller Tema: Regulering af energiomsættende systemer Projektperiode: P4, forårssemesteret 2009 Projektgruppe: ET4-403 Deltagere: Synopsis: Studienævnet for Energiteknik Pontoppidanstræde 101 Telefon Fax Morten Egestrand Kristine Husballe Munk Thomas Helmer Pedersen Jonas Lundsted Poulsen Thomas Schmidt Cemre Yigen Vejleder: Henrik Sørensen Krøjefunktionen i vindmøller er afgørende for effektiviteten af vindmøllerne. Af denne grund er det vigtigt at have et backup system til krøjefunktionen. Til dette formål kan pitchstyring af vingerne anvendes. Med udgangspunkt i en forsøgsopstilling, hvor rotorsystemet fra en modelhelikopter er monteret på et stativ som blæser, undersøges det, hvordan pitchstyringen af vingerne skal reguleres, så en ønsket krøjning opnåes. Til dette formål er en matematisk model for systemet opstillet på baggrund af forsøg udført på forsøgssoptillingen og med udgangspunkt i denne, designes en regulator til at kontrollere blæserens krøjning. Det vurderes, at en P-regulator vil være tilstrækkelig til at regulere det pågældende system, og en sådan regulator designes ud fra krav om at have en fasemargin på 45. På baggrund af test af regulatoren på det fysiske system kan det dog konkluderes, at den designede regulator ikke forbedrer systemets ydeevne. Andre P-regulatorer blev derfor testet på det fysiske system, og heraf kan det konkluderes, at systemet ved hjælp af tilbagekobling kan kontrolleres tilstrækkeligt uden regulator. Oplagstal: 8 Sidetal: 124 Afsluttet: 27. maj 2009

4

5 Forord Denne rapport er udarbejdet i P4-perioden på uddannelsen til Bachelor i Energiteknik ved studienævnet for Energiteknik på Aalborg Universitet. Projektet indeholder elementer fra projektenhedskurserne, der er blevet afholdt på semesteret. Læsevejledning Der vil igennem rapporten fremtræde kildehenvisninger, og disse vil være samlet i en kildeliste bagerst i rapporten. Der er anvendt kildehenvisning efter Harvardmetoden, så i teksten refereres en kilde med [Efternavn, År]. Figurer, tabeller og formler er nummereret i henhold til kapitel, dvs. den første figur i kapitel 2 har nummer 2.1, den anden har nummer 2.2 osv. Forklarende tekst til figurer og tabeller findes under de givne figurer og tabeller. Struktur Selve rapporten tager udgangspunkt i indledningen, der beskriver grundlaget for den valgte problemformulering. I kapitel 3 beskrives forsøgsopstillingen, der danner grundlag for projektet, hvorefter den mere detaljerede modellering af systemet er beskrevet i kapitel 4. Modellen verificeres ud fra forsøgsdata, hvor kun de væsentligste resultater er medbragt i selve rapporten, men fyldstgørende forsøgsbeskrivelser findes i bilagene. I kapitel 5 udledes en empirisk model, der danner grundlag for selve reguleringen beskrevet i kapitel 6. Den endelige konklusion på projektet ses i kapitel 7. Tilhørende rapporten er i alt seks appendiks. De tre første indeholder forsøgsjournaler, og de dertil anvendte LabVIEW programmer. Disse er derfor direkte knyttet til selve projektet, idet forsøgene og konklusionerne herfra er en integreret del af projektet. Appendiks D, E og F indeholder grundlæggende beskrivelser af teorien, der ligger til grund for beregninger i selve rapporten. Cd Vedlagt rapporten er desuden en Cd. Herpå findes selve rapporten, såvel som anvendte MATLAB scripts, Simulink modeller, LabVIEW programmer og datablade på elektronisk form. iii

6

7 Indhold 1 Indledning 1 2 Problemformulering 3 3 Introduktion til forsøgsopstilling Forsøgsopstilling Vingeprofil Teoretisk model Servomotor Mekanisk pitchsystem Rotor karakteristik Nacelle karakteristik Model af Rotor karakteristik i MATLAB Simulink Resultater og verificering af model Verifikation af model ved bestemmelse af krøjehastighed Delkonklusion på verifikation af model Empirisk model Udledning af empirisk model Linearisering empirisk af model Regulering Design af regulator Stabilitet i flere arbejdspunkter Ulineær model Afprøvning af regulator Delkonklusion på regulering Konklusion 54 Litteratur 55 8 Appendiks A: Forsøgsjournaler Måling af vindhastigheder forårsaget af vingens bevægelse Måling af moment Test af potentiometer Måling af friktion i kuglelejet v

8 INDHOLD 8.5 Bestemmelse af krøjehastighed Blæserens respons med og uden regulator Appendiks B: Blæserens inertimoment Appendiks C: LabVIEW programmer Appendiks D: Vindmøller Appendiks E: Flow af fluider Appendiks F: Reguleringsteori Nomenklaturliste 114 vi INDHOLD

9 1 Indledning Indenfor dansk klima- og energipolitik er visionen for den nuværende regering, at Danmarks energiforsyning på sigt skal være 100 % uafhængig af fossile brændsler. For at denne vision kan opfyldes, er der opsat en række delmål, hvoraf det ene lyder, at andelen af den danske energiproduktion i 2025, der stammer fra vedvarende energi, skal være fordoblet i forhold til niveauet i 2007 [Energiministeriet, 2009]. Hvis målene skal opfyldes, vil vindmøller formentlig komme til at spille en endnu større rolle i det danske energisystem. Vindmøller udnytter vindens energi bedst, når de er krøjet op imod vinden. Uanset under hvilke forhold en vindmølle er placeret, vil den udsættes for skiftende vindretninger. Derfor er der i vindmøller indbygget en krøjefunktion således, at møllen kan drejes op imod vinden, så vindmøllernes effektivitet er størst mulig hele tiden. Mekanismen består af en stor krøjekrans, der styres af elmotorer, hvorved nacellen drejes til den ønskede position. Hvis ikke vindmøllen anvender krøjefunktionen, vil den blive udsat for en større udmattelseslast, da rotoren med vingerne vil have tendens til selv at rette sig op mod vinden. Dette medfører, at vingerne bliver bøjet frem og tilbage, hver gang rotoren har taget en omdrejning, hvilket medfører en større last på vindmøllen. [Vindmølleindustrien, 2009]. Et eksempel på en krøjekrans ses på figur 1.1. Figur 1.1: Eksempel på en krøjekrans [Vindmølleindustrien, 2009]. De fleste vindmøller er konstruerede således, de opnår maksimal outputeffekt ved en vindhastighed på ca. 15 m/s. Når vindhastigheden bliver større end 15 m/s, drejes (pitches) vingerne en smule, således vinden ikke længere udnyttes optimalt. Ved pitchning ændres kræfterne, der påvirker vingen. Rotorens hastighed vil derved sænkes således hastighedsforholdet omkring rotoren svarer til en vindhastighed på 15 m/s, hvorved den maksimale outputeffekt igen opnåes. Ved høje vindhastigheder vil møllen blive udsat for skadelige belastninger, hvorfor pitchningen desuden bruges til at bremse møllen. Derved kan omkostningerne ved service og reparation samt slitage mindskes [Vindmølleindustrien, 2009]. På figur 1.2 på den følgende side er begreberne pitchning og krøjning illustreret. Pitchningen kan enten være af hele vingen eller blot den yderste del af vingen. 1

10 Pitching Krøjning Figur 1.2: Viser pitchning og krøjning af en vindmølle. En anden måde at ændre hastighedsforholdet omkring møllen på er, at krøje rotoren ind eller ud af vindens retning. Krøjefunktionen er altså essentiel for vindmøllen, og det er derfor vigtigt med et backup system til dette. Dette backup system kan foregå ved, at vindmøllens vinger pitches individuelt, hvorved nacellen kan rotere. På den måde kan det undgås, at vindmøllen lukker ned eller overbelastes unødvendigt grundet fejl i krøjemekanismen. Hvis vindmøllen ikke er i drift, vil det betyde et økonomisk tab for ejeren i denne periode, og netop vindmøller er karakteriseret ved høje startsomkostninger og lave driftsomkostninger i form af vedligeholdelse og eftersyn. Når en vindmølle først er sat i drift, ønskes der derfor en stabil drift i flere år frem, således investeringen kan forrentes som planlagt. Benyttes et backup-system til krøjefunktionen, vil tab, grundet fejl heri, altså kunne undgås. For at et sådan system skal kunne implementeres, er det nødvendigt at have et system, der kan styre krøjefunktionen udfra parametre som vindens retning og hastighed. Opbygges styringen af nacellens krøjning som et reguleringssystem, vil krøjningen af nacellen derved hele tiden kunne reguleres ind i forhold til skiftende vindretninger og -hastigheder. Reguleringssystemet, for krøjefunktionen, vil således hele tiden søge, at rotoren er rettet op mod vinden, medmindre vindens hastighed er for høj. Er dette tilfældet, vil reguleringen sørge for, at rotoren krøjes ud af vinden, så vindmøllen ikke lider unødig overlast. På denne måde kan et reguleringssystem altså medvirke til, at vindmøllen den største del af tiden producerer energi ved sin maksimale outputeffekt Indledning

11 2 Problemformulering I dette projekt vil mulighederne for, at bruge pitchstyringen som backup til den mekaniske krøjefunktion blive undersøgt. Det er derfor nødvendigt, at undersøge hvordan reguleringen af pitchstyringen kan designes til at styre krøjningen. Figur 2.1: Forsøgsopstilling hvor en fjernstyret helikopter agerer som blæser. Under dette projekt er en forsøgsopstilling med en vindmølle stillet til rådighed. Forsøgsopstillingen er lavet af rotorsystemet fra en fjernstyret modelhelikopter, som er vendt således, at den agerer som vindmølle. Opstillingen er monteret på et jernstativ, hvor nacellen sidder øverst i et kugleleje, se figur 2.1. I dette projekt vil opstillingen blive brugt som en blæser, hvis rotation styres af en elmotor. Projektets gyldighed er bevaret ved dette, da de aerodynamiske principper for en vindmølle og en blæser, i denne sammenhæng, er tilnærmelsesvis ens. Problemformuleringen, og efterfølgende modellering af blæseren, vil i dette projekt derfor bygge på denne forsøgsopstilling. Ud fra begrundelserne i indledningen kan følgende problemformulering opstilles: Hvordan reguleres pitchstyringen på blæseren, så en ønsket krøjning opnås? 3

12 3 Introduktion til forsøgsopstilling Til udarbejdelsen af projektet er en forsøgsopstilling med et rotorsystem fra en fjernstyret helikopter stillet til rådighed. I dette kapitel introduceres derfor opstillingen, og de væsentligste funktioner herpå præsenteres. Desuden identificeres vingeprofilet for vingerne på forsøgsopstillingen ved brug af NACA standarden. 3.1 Forsøgsopstilling I dette afsnit introduceres forsøgsopstillingen. Denne udgøres af et stativ af metal, hvorpå en nacelle med rotorsystemet fra helikoptermodellen er monteret i et kugleleje. Kuglelejet gør det muligt for nacellen at rotere stort set friktionsløst 360 horisontalt. På figur 3.1 ses en skitse af forsøgsopstillingen set forfra og fra oven, hvorpå fortegn for omløbsretningen er angivet. Vinge Nacelle Kugleleje (a) Stativ (b) Figur 3.1: Forsøgsopstillingen set forfra og fra oven. På figuren er de retninger, der regnes som positive desuden markeret. Rotorsystemet fra RC helikopteren består af to vinger monteret på en swashplate-anordning. Denne anordning består af to swashplates; en roterende swashplate, der følger akslens rotation, og en fastmonteret swashplate. Den roterende swashplate gør, at vingerne kan pitches alt afhængig af, hvilken position de roterende vinger har. Denne vinkel betegnes den cykliske pitchvinkel, og giver helikopteren mulighed for at bevæge sig frem og tilbage og desuden sidelæns. Den cykliske pitchvinkel giver dermed mulighed for at bestemme liftet i en bestemt retning. Den fastmonterede swashplate har den egenskab, at den pitcher de to vinger samtidigt og uafhængigt af rotorens position. Derved kan størrelsen af liftet på vingerne kontrolleres, hvilket udelukkende bruges til at 4

13 3.1 Forsøgsopstilling bevæge helikopteren op og ned [Marshall Brain, 2009]. Denne vinkel kaldes den kollektive pitchvinkel. Begge vinkler styres gennem et mekanisk system af hver sin servomotor, som er monteret på nacellen. Den kollektive pitchvinkel er på forsøgsopstillingen sat til fast at være 10. Det mekaniske system, der bruges til pitching af vingerne er yderligere beskrevet i afsnit 4.2 på side Aksel DC motor Hall sensor Figur 3.2: Nacellen og rotoren set fra siden. Vingerne er monterede på navet, der som beskrevet styres gennem de to swashplates vha. servomotorerne. Vingerne er i stand til at pitche ±15 i forhold til nulpunktet, se figur 3.2. Servomotorerne styres gennem et PWM signal (Pulse Width Modulation), hvorved størrelsen af pitchvinklen kan kontrolleres. På forsøgsopstillingen er desuden monteret en Hall-sensor, således rotorens omdrejningshastighed kan måles. Omdrejningshastigheden styres af DC-motoren, der ligeledes er monteret på nacellen. På toppen af nacellen er monteret et potentiometer, der ændrer sin modstand når nacellen krøjer, hvorved dens position kan måles. Når rotoren roterer, vil forholdet mellem vinklerne på vingerne være som illustreret på figur 3.3. På denne figur angiver den blå linje rotorplanet og den røde angiver vingens kordelinje. Størrelsen af den cykliske pitchvinkel β pitch på hver vinge vil være ens, men have modsat fortegn når vingerne roterer rundt i rotorplanet. φ angiver flowvinklen af den relative hastighed i forhold til rotorplanet. Angrebsvinklen α er forskellen imellem φ og den samlede pitchvinkel. Desuden vil vingerne variere positionen omkring den kollektive pitchvinkel. Da den kollektive pitchvinkel er 10, og vingerne kan pitches ±15, kan vingerne samlet pitches til en position mellem 5 og +25 i forhold til rotorplanet. V rel α β cyklisk V rel rotorplan 2 1 φ β kollektiv α rotorplan φ -β cyklisk β kollektiv Figur 3.3: Illustration af sammenhængen mellem vinklerne på de to vinger. 3. Introduktion til forsøgsopstilling 5

14 3.2 Vingeprofil Fysiske begrænsninger Der er nogle fysiske begrænsninger på forsøgsopstillignen, og disse er listet herunder: Blæseren kan maksimalt krøje omkring 90 til hver side, tilsammen udgører det 180. Her er de fysiske begrænsninger bl.a. det laboratorie, hvor blæseren er opstillet, og de ledninger der er forbundet til DCmotorer og sensorer. Hvis duty cyclen kommer udenfor intervallet [5%:11%], er der risiko for at swash platene og servoarme låser sig fast eller går i stykker. Ved store pitchvinkler og et omdrejningstal over 350 RPM går swash platene fra hinanden. 3.2 Vingeprofil Når en vinge har en relativ hastighed i forhold til vinden, udsættes den for nogle aerodynamiske kræfter. Disse kræfter er afhængige af, hvordan vingen er udformet. Derfor beskrives vingeprofilet i dette afsnit for de vinger, der er monteret på forsøgsopstillingen, for senere at kunne bestemme de aerodynamiske kræfter. Vingeprofiler udviklet af National Advisory Committee for Aeronautics (NACA) kategoriseres ofte ved en kode bestående af fire cifre, der beskriver vingeprofilets udseende [Abbott and Doenhoff, 1959]: 1. ciffer: Angiver den maksimale værdi for middellinjen som procent af kordelinjen c. Middellinjen er den linje, der ligger midt mellem den øvre og nedre overflade på vingeprofilet, se figur 3.4. Denne værdi omtales også som den maksimale camber-højde [NACA airfoil, 2009]. I dette tilfælde er den 1,1 46,6 100% = 2,4%. 2. ciffer: Angiver positionen i tiende-dele på kordelinjen for den maksimale camber-højde som procent af kordelinjen c. I dette tilfælde er den 16,1 46,6 0,1 100% = 3,5%. 3. og 4. ciffer: Angiver vingeprofilets maksimale tykkelse i procent af kordelinjen c. I dette tilfælde er den 100% = 16,1%. 7,5 46,6 Da der findes databaser for lift- og drag koefficienter for forskellige NACA vingeprofiler, ønskes det at karakterisere vingerne på forsøgsopstillingen ud fra denne standard. Vingerne er ikke, som vingerne på vindmøller typisk er, twistet. Dette betyder, at vingen har samme profil i hele vingens længde. På figur 3.4 er vingeprofilet med relevante mål skitseret. 7,5 16,1 4,0 1,1 2,4 Max camber 46,6 Figur 3.4: Vingeprofil med relevante mål til bestemmelse af NACA-standard. Den røde linje er middellinjen. Ud fra målene vurderes vingeprofilet til at kunne karakteriseres ved et NACA 3312 vingeprofil. Herefter kan 6 3. Introduktion til forsøgsopstilling

15 3.2 Vingeprofil liftkoefficienten C L (α) og dragkoefficienten C D (α) findes som funktion af angrebsvinklen α ved hjælp af programmet DesignFOIL, der indeholder en database for NACA vingeprofiler [DreeseCODE Software, LLC, 2009]. Den brugte vingeprofil for NACA 3312, der bruges i programmet, kan ses på figur 3.5. At der ikke fx er brugt NACA 2416 vingeprofil, som ovenstående udregninger ellers lægger op til, skyldes at DesignFOIL havde begrænsninger i forhold til, hvilke værdi der kunne vælges. Vingeprofilen er svær at få til at passe fuldstændig med de virkelige mål, men det vurderes, at vingeprofilen med en NACA 3312 vingeprofil umiddelbart passer med de virkelige mål. Figur 3.5: NACA 3312 vingeprofil [DreeseCODE Software, LLC, 2009]. Forsøgsopstillingen, der er stillet til rådighed under dette projekt, er i dette afsnit blevet præsenteret og opstillingens fysiske begrænsninger er blevet fastlagt. Vingerne på forsøgsopstillingen er desuden blevet identificeret ud fra NACA standarden som NACA 3312 vingeprofil. I kapitel 4 opstilles en matematisk model for forsøgsopstillingen, hvorfor dele af opstillingen her beskrives mere indgående. 3. Introduktion til forsøgsopstilling 7

16 4 Teoretisk model I dette kapitel udvikles en matematisk model af blæseren, der som input får duty cyclen, som servomotoren til styring af pitchningen bliver påtrykt. Den samlede model skal herudfra angive det antal grader, nacellen vil krøje. Til dette formål opdeles systemet først i flere undersystemer. Disse beskrives og modelleres individuelt ved hjælp af testresultater og MATLAB Simulink. Slutteligt verificeres den teoretiske model ved sammenligning med måledata fra forsøgene. For at systematisere modelleringen af systemet opdeles dette i flere undersystemer, som vist på figur 4.1. Det første undersystem består af den servomotor, der giver en vinkel ψ servo som output. Denne vinkel indgår i det næste undersystem, som er en model af det mekaniske system, der ud fra ψ servo pitcher vingerne med vinklen β pitch. Det næste undersystem er en karakteristik af rotoren, der ud fra pitchvinklen beregner størrelsen af det moment M res, som vingerne påvirkes af. Dette moment vil give en ændring i nacellens position γ k, givet ved nacelle karakteristikken. Dservo Servomotor ψ β servo Mekanisk pitch Rotor M Nacelle k system karakteristik karakteristik γ Figur 4.1: De forskellige delsystemer af blæser modellen. I de følgende afsnit modelleres hver af blokkene på figur 4.1, således blokkene til sidst kan kædes sammen. Figur 4.2 illustrerer, hvorledes den samlede model af hele systemet vil indgå i den overordnede reguleringssløjfe. Figuren viser, at selve systemet (blæseren) påvirkes af et indgangssignal på servomotoren i form af en duty cycle, hvilket giver en bestemt krøjning og derved position af nacellen (γ k ), når systemet desuden udsættes for en vinkelhastighed i rotorplanet. Regulatoren skal sørge for at tilpasse duty cyclen således nacellens position matcher den ønskede γ set. Dette beskrives yderligere i afsnit 6 på side 42. γ set γ Dservo + Regulator System - k Figur 4.2: Det overordnede reguleringssystem. 8

17 4.1 Servomotor 4.1 Servomotor I følgende afsnit redegøres for, hvordan servomotoren styres. Desuden findes der en forskrift for servovinklen som funktion af inputsignal i form af duty cycle. Servomotorerne bruges til at pitchstyre vingerne på blæseren. Typen af servomotorer, der bruges på opstillingen, er en HS-625mg fra Hitec, og i følgende tabel er de vigtigste oplysninger angivet [Hitec, 2009]. Neutral position Pulsbredde på 1500 µs Operationsvinkel 45 ved pulsændring på 400 µs Omløbsretning Med uret ved forøgelse af pulsbredde Ved test spænding 4.8 V 6.0 V Motorhastighed uden last 0,18sekunder/60 0,15sekunder/60 Strømforbrug 400 ma 500 ma Tomgangsstrøm forbrug 8,8 ma 9,1 ma Tabel 4.1: Tabellen angiver de vigtigste data fra databladet for servomotoren HS-625mg. Servomotoren styres ved at ændre på dutycyclen af det pulse width modulation (herefter PWM) -signal, der sendes til motorens kontrolport. Defacto standarden for servomotorer foreslår en periodetid på t = 20ms, hvilket svarer til en frekvens på f = 50Hz. I opstillingen er der monteret en arm på servomotorens rotationsaksel, der låser rotationsvinklen til ±90 omkring neutral. At styre servomotoren kræver et PWM-signal med en frekvens på 50 Hz, hvor en pulsbredde på 1500µs holder motoren i en neutral position ved en vinkel på 0. Ved at ændre pulsbredden med ±400µs vil servomoteren rotere ±45. Dette princip er illustreret på figur o 1500us - 45o 1100us -90 o 700us Servoarm 45 o 1900us 2300us 90 o Figur 4.3: Sammenhængen mellem pulsbredden og servovinklen for en servomotor af typen Hitec HS-625mg. Servovinklen ψ Servo er afhængig af, hvilken duty cycle der styrer servomotoren. Denne sammenhæng ( er skitseret på figur 4.4 på den følgende side. En pulsbredde 1500µs svarer til en duty cycle på 7,5 % 0,0015s ) 0,02s = 0, Teoretisk model 9

18 4.2 Mekanisk pitchsystem Figur 4.4: Servovinklen som funktion af den duty cycle, der styrer servomotoren. De røde prikker er kendte punkter fra figur 4.3, mens den blå linie er funktionen for denne gældende sammenhæng imellem punkterne. Sammenhængen mellem servovinklen ψ Servo og duty cyclen D beregnes ud fra figur 4.4. Denne funktion er givet ved: ψ Servo = 39,27 D 2,95 [rad] (4.1) Da der nu er fundet en forskrift for den vinkel, servomotoren roterer med som funktion af duty cyclen, kan pitchvinklen for vingen, som funktion af duty cyclen, findes. Dette vil blive gjort i et senere afsnit omkring det mekaniske system. 4.2 Mekanisk pitchsystem I dette afsnit vil det mekaniske pitchsystem på forsøgsopstillingen blive beskrevet. Ud fra dette udledes en matematisk model, der benyttes til at beskrive sammenhængen mellem pitchvinklen som funktion af den duty cycle, som servomotoren påtrykkes, og den position som rotoren har. Det mekaniske pitchsystem får inputs fra ψ servo og θ rotor og laver et output β pitch, se figur 4.5: ψ θ Servo Rotor Mekanisk syst em β Pitch Figur 4.5: Modellen for det mekaniske system har to inputs i form af rotorens position (θ rotor ), og hvor meget servomotoren er drejet (ψ servo ). Dette omsættes til et output, der beskriver, hvor meget vingen er pitchet i forhold til rotorplanet (β pitch ). Modellen for systemet opstilles ud fra geometriske betragtninger af opstillingen. På figur 4.6 på modstående side ses opbygningen af det mekaniske system på forsøgsopstillingen Teoretisk model

19 4.2 Mekanisk pitchsystem θ rotor navstang β pitch servostang C swash D ψ servo l fast A B C C pitch ψ swash C servo Figur 4.6: Overordnet skitse af det mekaniske system, med indlagt koordinatsystem. Servomotoren (se punkt A) forskyder servostangen i x-aksens retning, hvorved den yderste swash plate påvirkes (B). Den inderste swash plate (C) påvirker derved navstangen, som giver en pitch vinkel (D). I tabel 4.2 på den følgende side er de anvendte betegnelser defineret. [Høgh et al., 2006]. Alt efter rotorens vinkel (θ rotor ) påvirkes navstangen af de to swash plates, og navstangen bestemmer, hvilken cyklisk pitchvinkel (β Cyklisk pitch ) systemet får. Modellen opstilles kun for den ene vinge, da det samme gælder for den anden vinge. I forbindelse med gennemgangen defineres en række variabler, se tabel 4.2 på næste side. Grundet det oprindelige helikoptersystem består pitchvinklen β pitch af to bidrag; β Kollektiv pitch der skyldes den fastmonterede swash plate og β Cyklisk pitch, der skyldes den roterende swash plate, se afsnit 3.1 på side 4. Lægges disse to bidrag sammen kan følgende formel sættes op for β Pitch : β pitch = β Kollektiv pitch + β Cyklisk pitch [rad] (4.2) I dette projekt sættes β Kollektiv pitch til konstant at være 0,174 rad (10 ), da der ikke reguleres på den servomotor, som styrer den kollektive pitchvinkel. Betragtes figur 4.7 på næste side kan følgende udtryk opstilles for β Cyklisk pitch, når længderne på l pitch nav og r pitch kendes. Det antages, at størrelserne udgør en retvinklet trekant, da krumningen på cirkelbuen negligeres. ( ) β Cyklisk pitch = sin 1 lpitch nav r pitch [rad] (4.3) Den forskydelse som l pitch nav får, kommer fra den forskydelse, som swash platen laver ( l swash x ), og disse to forskydelser er identiske. Da forskydelsen i x-aksens retning vil være større end forskydelserne i y- og z-aksens retning, ses der i det følgende bort fra disse. Det antages, at origo, for koordinatsystemet, starter i centrum af swash platen. Ved trigonometriske betragtninger af figur 4.8, ses det, at følgende formel må gælde: sin(ψ Swash ) = l swash x r swash [rad] (4.4) Dermed kan l pitch nav opskrives på følgende måde, hvor der desuden også tages hensyn til rotorens position: 4. Teoretisk model 11

20 4.2 Mekanisk pitchsystem Variabel Beskrivelse Enhed l pitch nav Længde som navstangen forskydes. [m] l pitch servo Længde som servostangen forskydes. [m] l fast Længde fra centrum af swash plates og ud til det sted, hvor servostangen sidder [m] på den fastmonterede swash plate. C pitch Cirkel der angiver omløbsbanen for punktet D, hvor navstangen er monteret på [-] navet (xz-planen). C servo Cirkel der angiver omløbsbanen for punktet C, hvor navstangen er monteret på [-] den fastmonterede swash plate (yz-planen). C swash Cirkel med centrum A der angiver omløbsbane for punktet, hvor servostangen [-] er monteret på servomotoren (xy-planen) r pitch Radius for den cirkel, der udgøres af det led, hvor navstangen sidder i navet. [m] r swash Radius for den cirkel, der udgøres af det led, hvor navstangen sidder på den [m] roterende swash plate. r servo Radius for den cirkel, der udgøres af det led, hvor servostangen sidder på servomotoren. [m] β pitch Vinkel som vingerne er pitchet i forhold til rotorplanen. [rad] ψ Swash Vinkel der angiver hvor meget swash plates er drejet (xy-planen). [rad] θ Rotor Vinkel som angiver positionen for vingen i rotorplanen (yz-planen). 0 grader [rad] defineres ved den positive z-akse. Positiv omløbsretning defineres mod uret, hvis opstillingen ses forfra. ψ Servo Vinkel der angiver hvor meget servomotoren drejes (i xy-planen). [rad] β Kollektiv pitch Vinkel der angiver størrelsen på den kollektive pitchvinkel (sættes til 0,174 [rad] rad) (xz-planen). β Cyklisk pitch Vinkel der angiver størrelsen på den cykliske pitchvinkel (xz-planen). [rad] Tabel 4.2: Tabel over de variabler, der bruges i modelleringen af det mekaniske pitchsystem. D Δlpitch nav rpitch β cyklisk pitch Figur 4.7: Set fra siden, hvor vingen er orienteret normal til papiret. Da forskydelsen på cirkelbuen er lille, anses det som en ret linje, der indgår i en retvinklet trekant. Dette foregår ved punkt D på figur 4.6 på foregående side. l pitch nav = l swash x = sin(ψ Swash ) r swash sin(θ Rotor ) [m] (4.5) I formel 4.5 tages sin(θ Rotor ) med for at tage højde for, at l pitch nav forskydes frem og tilbage i x-aksens retning, når rotoren roterer. Ved at gøre dette, bliver der ganget værdier på mellem -1 og 1 alt efter, hvor mange radianer Teoretisk model

21 4.2 Mekanisk pitchsystem ψ swash r swash C Δl swash x Figur 4.8: Set oppefra, hvor l swash x forskydes fremad vha. swash platen. Dette foregår ved punkt C på figur 4.6. rotoren har drejet fra den position, som angiver nulpunktet (startpositionen). Ud fra formel 4.5 og formel 4.3 kan følgende udtryk for den cykliske pitchvinkel opstilles: ( ) β Cyklisk pitch = sin 1 sin(ψswash ) r swash sin(θ Rotor ) r pitch [rad] (4.6) Dette kan igen omskrives, da det ud fra figur 4.9 ses, at ψ Swash er givet ved følgende: ( ) ψ Swash = sin 1 lpitch servo l fast [rad] (4.7) ψ swash L fast B Δl pitch servo Figur 4.9: Set oppefra hvor servostangen sidder på den fastmonterede swash plate. Servomotoren skubber servostangen ud til en vinkel ψ swash, hvorved trekanten kan opstilles. Dette foregår ved punkt B på figur 4.6. Denne trekant kan opstilles ud fra en geometrisk betragtning af forsøgsopstillingen. Servomotoren skubber servostangen, der sidder på den fastmonterede swash plate ud til en vinkel ψ swash, hvilket gør, at føromtalte trekant kan opstilles. Indsættes formel 4.7 i formel 4.6, fås følgende udtryk for den cykliske pitchvinkel β Cyklisk pitch : 4. Teoretisk model 13

22 4.2 Mekanisk pitchsystem ( β Cyklisk pitch = sin 1 sin(sin 1 l pitch servo l fast )) r swash sin(θ Rotor ) [rad] (4.8) Hvilket kan reduceres til følgende: r pitch ( β Cyklisk pitch = sin 1 rswash sin(θ Rotor ) l ) pitch servo r pitch l fast [rad] (4.9) Følgende udtryk for l pitch servo opstilles, idet forskydelsen af navstangen er ens i begge ender. Se figur 4.10: sin(ψ Servo ) = l pitch servo r servo l pitch servo = r servo sin(ψ Servo ) [m] (4.10) Δlpitch servo A ψ servo rservo Figur 4.10: Set oppefra, hvor servostangen er monteret på servomotoren (punkt A på figur 4.6). l pitch servo angiver stykket som enden af servostangen forskydes ud af x-aksen. Dermed kan formel 4.9 omskrives til følgende udtryk: ( ) β Cyklisk pitch = sin 1 rswash sin(θ Rotor ) rservo sin(ψ Servo ) r pitch l fast [rad] (4.11) Dette kan sættes ind i formel 4.2 og dermed give et udtryk for den samlede pitchvinkel (β Pitch ), der som ønsket er en funktion af θ rotor og ψ servo : ( ) β Pitch = β Kollektiv pitch + β Cyklisk pitch = 0,174 + sin 1 rswash sin(θ Rotor ) rservo sin(ψ Servo ) [rad] (4.12) r pitch l fast På forsøgsopstillingen er radierne af cirklerne, der udgøres af de mekaniske led målt. Værdierne kan ses i tabel 4.3 på næste side. Da den servomotor, der styrer den kollektive pitchvinkel (β Kollektiv pitch ), ikke er tilsluttet, sættes β Kollektiv pitch konstant til at være lig 0,174 rad. Hvis værdierne indsættes bliver udtrykket for β Pitch følgende: Teoretisk model

23 4.2 Mekanisk pitchsystem Navn Værdi Enhed l fast 24, [m] r pitch 19, [m] r swash 14, [m] r servo 10, [m] β Kollektiv pitch 0,174 [rad] Tabel 4.3: Tabel over målte længder der bruges i modelleringen. ( ) β Pitch = 0,174 + sin 1 rswash sin(θ Rotor ) rservo sin(ψ Servo ) r pitch l fast β Pitch = 0,174 + sin 1 (0,300 sin(θ Rotor ) sin(ψ Servo )) [rad] (4.13) Servovinklen ψ Servo er afhængig af hvilken duty cycle, der styrer servomotoren. I afsnit 4.1 på side 9 er følgende sammehæng imellem ψ Servo og duty cyclen (D) udledt: ψ Servo = 39,27 D 2,95 [rad] (4.14) Dermed kan følgende udtryk stilles op for pitchvinklen, hvor den er funktion af θ Rotor og duty cyclen: β Pitch = 0,174 + sin 1 (0,300 sin(θ Rotor ) sin(39,27 D 2.95)) [rad] (4.15) Figur 4.11 på næste side viser fire grafer med varierende pitchvinkel som funktion af rotorvinklen θ Rotor ved forskellige faste duty cycles beregnet ud fra formel Ud fra figuren ses det, at pitchvinklen har en sinusformet kurve, som svinger rundt om værdien for den kollektive pitchvinkel (β Kollektiv pitch 10 ). Efter en rotorvinklen på 360, ender den i udgangspunkt. Ved at ændre på duty cyclen D, påvirkes amplituden af pitchvinklen for denne sinussvingning. D = 7,5%: Jvf. figur 4.4 vil en duty cycle på 7,5 % give en pitchvinkel på 10. D < 7,5%: Ved duty cycles under 7,5 % kan en større amplitude opnås ved at reducere duty cyclen. Ved en duty cycle på 5 % svinger den samlede pitchvinkel mellem -4,5 og 24,5. D > 7,5%: For duty cycles større end 7,5 % vil amplituden tilsvarende blive større, jo større duty cycle der anvendes. For D = 11 % svinger den samlede pitchvinkel mellem -7,1 og 27,1. Det ses, at top og bund for sinuskurverne vender sig om, når duty cyclen kommer over 7,5 %. Dette giver den effekt, at blæseren vil krøje enten den ene eller den anden vej alt efter, om den bliver styret af en duty cycle på under eller over 7,5 %. 4. Teoretisk model 15

24 4.3 Rotor karakteristik Figur 4.11: Pitchvinklen (β Pitch ) som funktion af rotorvinklen (θ Rotor ) ved følgende duty cycles: 5 %, 7 %, 7,5 % og 11 %. Delkonklusion En model for det mekaniske pitchsystem er opstillet ud fra geometribetragtninger på forsøgsopstillingen og data for den anvendte servomotor. Vingerne pitches med en vinkel β pitch, der afhænger af dutycyclen på servomotoren samt vingens position i rotorplanet θrotor. Denne sammenhæng er givet ved β Pitch = 0,174 + sin 1 (0,300 sin(θ Rotor ) sin(39,27 D 2,95)) [rad] (4.16) 4.3 Rotor karakteristik I dette afsnit beskrives hvordan kræfterne, der påvirker vingerne, vil resultere i et moment, der kan benyttes til at krøje blæseren. Som tidligere nævnt, virker nogle aerodymaniske kræfter på vingerne, når disse og den omsluttende luft har en relativ hastighed i forhold til hinanden. De aerodynamiske kræfter skyldes to årsager: Trykfordelingen henover vingen Vægspændingen på vingen forårsaget af fluidens viskositet I kapitel 12 på side 95 er det beskrevet, hvordan flowet omkring en vinge karakteriseres, hvordan trykfordelingen henover vingen og vægspændingerne forårsager et lift og et drag på vingen, samt hvordan disse kræfter kan beregnes ved at integrere op over vingen. Da dette er en relativt kompliceret beregning, beskrives det derfor i følgende afsnit, hvordan beregninger af lift og drag kræfterne kan gøres nemmere ud fra henholdsvis en lift- og Teoretisk model

25 4.3 Rotor karakteristik en dragkoefficient. Det beskrives herefter, hvordan kræfter, der virker normalt og tangentielt på rotorplanet, kaldet henholdsvis lift- og dragkræfter, beregnes ud fra den resulterende kraft på vingerne. Da det kun er de kræfter, der virker der virker henholdsvis normalt og tangentielt på rotorplanet, der vil bidrage til et moment omkring krøjeaksen, beskrives herefter, hvordan disse komposanter til den resulterende kraft af lift og drag beregnes. Slutteligt beskrives, hvordan momentet på vingen beregnes ved at benytte bladelement teori (Blade Elementum Method), hvor vingen opdeles i N stykker, idet det antages, at disse vingestykker vil være uafhængige af hinanden Beregning af lift og drag Som forklaret benyttes en liftkoefficient C l og en drag koefficient C d for at lette beregningen af lift F L og drag F D. Disse koefficienter er dimensionsløse og angiver lift- og drag egenskaberne for det pågældende legeme, og afhænger bl.a. legemets geometri, Reynoldstal Re og angrebsvinkel α. Lift F L og drag F D kræfterne påvirker vingen på kordelinjen ved en afstand på 1 4 af kordelinjen fra forkanten. Figur 4.12 illustrerer placeringen af liftog dragkræfter, samt trykfordelingen P og vægspændingerne τ på vingen. Ved liftkoefficienten C l kan F L på vingen beregnes ud fra formel Tilsvarende er vindmodstanden F D givet ved formel 4.18 [Hansen, 2008]. F L = 1 2 C l ρ V 2 c l [N] (4.17) F D = 1 2 C d ρ V 2 c l [N] (4.18) F L Lift [N] F D Drag [N] ρ Densitet af fluid [ kg ] m 3 V Den relative hastighed mellem vingen og fluiden [ m s ] c Længde af kordelinjen [m] l længde af vinge [m] P F L c_ 4 τ V rel F D Figur 4.12: Lift F L og drag F D på vingeprofil. De små pile viser, hvordan vægspændingerne τ og trykket P virker på vingen. 4. Teoretisk model 17

26 4.3 Rotor karakteristik På figur 4.15 er vinklen α mellem vingens kordelinje og vindens retning vist. Denne kaldes angrebsvinklen, og har betydning for størrelsen af koefficienterne C l og C d. Op til en vis værdi for α er der en lineær sammenhæng mellem α og C l, mens C d er konstant for små værdier af α [Bertin and Cummings, 2009]. Ved at ændre på α er det således muligt at ændre størrelsen af lift og drag på vingen. På figur 4.13 er C d og C l vist som funktion af angrebsvinklen for det anvendte vingeprofil NACA Disse grafer er fundet ved hjælp af programmet DesignFOIL [DreeseCODE Software, LLC, 2009] Dragkoefficient c [ 22 C5] D Liftkoefficient c L Angrebsvinkel α [ ] (a) Angrebsvinkel α [ ] (b) Figur 4.13: Figur (a) viser liftkoefficienten c L som funktion af angrebsvinklen α, mens figur (b) viser dragkoefficienten c D som funktion af angrebsvinklen α. Begge er for NACA Til brug i modellen laves derfor kurvefits for de to grafer, således C l og C d kan bestemmes for alle angrebsvinkler α i radianer indenfor de angivne grænser. De angivne grænser er, som det ses i figur 4.13, en angrebsvinkel α fra 20 til 20. c L = 7.4 α 4 23 α α α (4.19) c D = 8.4 α α α α (4.20) Hastighedsforhold omkring blæser Den relative hastighed V mellem vinden og vingen består af en aksial hastighedskomposant V a og en rotationel hastighedskomposant V rot, se figur 4.14 på næste side. Flow-vinklen φ kan beregnes ved ( ) φ = tan 1 Va v rot [grader] (4.21) Hvis vingen er pitchet med vinklen β pitch målt mellem kordelinjen c og vandret, se figur 4.15 på modstående side, er angrebsvinklen α givet ved: α = φ β pitch [grader] (4.22) α Angrebsvinkel [grader] β pitch pitchvinkel [grader] Teoretisk model

27 4.3 Rotor karakteristik V a Vrot V rel Rotorplan c V rel α Φ β pitch Figur 4.14: Komposanterne af den relative vindhastighed; V rot og V a. Figur 4.15: Angrebsvinklen α, pitchvinklen β pitch og flowvinklen φ set i forhold til rotorplanet. Når blæseren roterer, vil arbejdet udført af rotoren omsættes til kinetisk energi i luftstrømmen omkring rotoren. Som reaktion på det moment, flowet påvirker rotoren med, vil luftstrømmen efter en vindmølle rotere den modsatte vej i forhold til rotoren, mens det for en blæser vil rotere samme retning, se figur 4.16 [Manwell et al., 2005]. Dette skyldes at en blæser med en stor masse accelererer luftmolekyler med meget mindre masse, og pga. impulsbevarelse vil luftmolekylerne følge blæserens omløbsretning. Figur 4.16: Luftstrømmen bag blæseren [Manwell et al., 2005]. Denne rotation vil inducere en tangentiel hastighedskomponent V r,ind i samme retning af vingernes rotation og en aksial hastighedskomponent V a,ind samme vej som vindens retning, tilsammen kaldet den inducerede drag [Hansen, 2008]. Dette betyder, at vindens hastighed V vind før rotoren ændres til en anden hastighed V 1 bag rotoren. Først længere bag rotorplanet vil luftstrømmen blive blandet med den omkringliggende luft og igen få sin oprindelige hastighed V vind. Modelleres flowet omkring vingen i 2D, kan der tages højde for dette ekstra bidrag til vindmodstanden ved at korrigere den angrebsvinkel α, der benyttes i beregningerne. Forholdet mellem komposanterne til vindens hastighed V rot og V a lige før og lige efter vingen angives ved henholdsvis en aksial og en tangentiel induktionsfaktor a og a [Hansen, 2008]. Kendes induktionsfaktorerne, kan komposanterne til den relative hastighed V mellem vingen og vinden nu beregnes, idet: V a = (1 + a) V 0 [m/s] (4.23) V rot = (1 + a ) ω rot r [m/s] (4.24) 4. Teoretisk model 19

28 4.3 Rotor karakteristik a aksial induktionsfaktor [ ] a Tangentiel induktionsfaktor [ ] V 0 Vindens hastighed (uforstyrret) [m/s] ω rot Rotorens vinkelhastighed [rad/s] r Radial afstand fra rotationsaksen [m] V vind V 1 V vind V vind V a V rot V r,ind V a, ind (a) (b) Figur 4.17: (a) illustrerer hvordan vindens hastighed ændrer sig, når rotorplanet passeres. På (b) er komposanterne til den relative hastighed V mellem vingen og vinden samt komposanterne til den inducerede hastighed vist. Vindhastighed v vind i (a) er den samme som den aksielle vindhastighed i (b) Normal- og tangentiel kraft på vingerne Når F D er parallel og F L normal på den relative vinds retning, kan momentbidragene fra disse kræfter omkring krøjaksen bestemmes ved at finde de komposanter til den relative vindhastighed, der er normal på rotorplanen, se figur 4.18 på side 22. Kraften fra F L og F D normal på rotorplanen vil være: F N = F L cos(φ) + F D sin(φ) [N] (4.25) Ligeledes er komposanten til den resulterende kraft af F L og F D tangentielt på rotorplanen givet ved: F T = F L sin(φ) F D cos(φ) [N] (4.26) Ved at normalisere ligning 4.25 og 4.26 med hensyn til 1 2 ρ V 2 c ses det, at F N og F T kan karakteriseres ved to koefficienter, hhv. C N og C T : C N = C l cos(φ) +C d sin(φ) [ ] (4.27) C T = C l sin(φ) C d cos(φ) [ ] (4.28) Teoretisk model

29 4.3 Rotor karakteristik Ud fra C N og C T kan udtryk for induktionsfaktorerne a og a defineret i formel 4.24 udledes [Hansen, 2008]: a = a = 1 4 sin(φ) 2 σ C N sinφ cosφ σ C T 1 [ ] (4.29) (4.30) [ ] (4.31) a aksial induktionsfaktor [ ] a Tangentiel induktionsfaktor [ ] φ Flow-vinkel, se figur 4.15 på side 19 [rad] σ Soliditet, defineret i formel 4.32 [rad/s] Soliditeten af vingen σ(r) er defineret som en funktion af radius ud til det vingestykke, der regnes på. σ(r) er bestemt ud fra, hvor stor en del af hele rotoromkredsen vingestykkerne dækker over: σ(r) = c(r) B 2 π r [ ] (4.32) c(r) Lokal kordelængde [m] B Antal vinger [ ] r Radial afstand til vingeelement [m] 4. Teoretisk model 21

30 4.3 Rotor karakteristik Rotorplan F n F l Φ C_ 4 Φ F t df Va V rel V rot Figur 4.18: Den resulterende kraft normal på planen (F N ) og den resulterende kraft tangentielt på planen (F T ) for en af blæserens vinger. Vingen er vist med et tværsnit i forhold til rotorplanen og bevæger sig nedad. Desuden vises kræfterne F L og F D samt flowvinklen Φ. Ydermere vises den relative hastighed (V rel ) og dens komposanter (V a og V rot ) Moment omkring krøjeaksen Normalkraften på rotorplanet er afhængig af både α og rotationshastigheden. Ved at ændre på pitchvinklen og ændre på rotationshastighed er det altså muligt at regulere normalkraften og derved også momentet omkring krøjaksen. Dette vil gøre det muligt at accelerere eller deaccelerere nacellen ud fra Newtons 2. lov for rotation: M = J ω [N m] (4.33) Til bestemmelse af momentet deles vingen op i N stykker (se figur 4.19), hvor summen af de enkelt bidrag udgør det samlede resulterende moment. Dette gøres, da hele vingen ikke er af ens udformning fra nav til vingtip, ligesom hastigheden varierer langs vingen. Størrelsen af hvert enkelt stykke r, er givet ved: r = R r r N [m] (4.34) Teoretisk model

31 4.3 Rotor karakteristik r radius for et vingestykke [m] R radius fra nav til vingetip [m] r r restradius [m] N antal vingestykker [ ] Det første stykke fra 0 r r r antages ikke at have nogen indvirkning på det resulterende krøjemoment, da hastigheden her og arealet af stykket er relativt lille i forhold til resten af vingen. R N r r r Figur 4.19: Opdeling af vingen i N stykker med størrelsen r. Indsættes udtryk for F l og F d i (4.25), kan normalkraften ud af rotorplanet beregnes for det enkelte vingestykke: F n = 1 2 ρ V 2 rel,n (C L,n cos(φ) +C D,n sin(φ)) c r [m] (4.35) Armen for denne kraft er givet ved radius for det enkelte stykke n, der findes ud fra følgende formel: r n = r r + (n 1 ) r (4.36) 2 Ud fra denne opdeling af vingen, kan momentbidraget for det enkelte vingestykke findes. Dette er illustreret på figur 4.20 og er givet ved: M n = F n r n [N m] (4.37) Momentbidraget fra de enkelte vingestykker afhænger dog af rotorens position. Når vingen er i vandret position, vil den give en moment påvirkning på 100 %, hvorimod bidraget er 0% i lodret position. Nulpunktet for rotoren defineres som lodret position, hvorfor det samlede moment, der giver krøjningen, kan skrives som M res Resulterende moment [Nm] B Antallet af vinger [ ] M res = sin(θ Rotor ) B N i=1 M n [N m] (4.38) Dette udtryk for momentet kan kun benyttes, hvis kræfterne på vingerne ikke varierer som funktion af vingernes position. 4. Teoretisk model 23

32 4.3 Rotor karakteristik nav vingestykke n Δr rn nacelle Fn γ k M n Figur 4.20: Vindmøllen set oppefra. Det enkelte vingestykke n påvirkes af normalkraften F N, der giver et momentbidrag. Armen for kraften er afstanden fra n og ind til navet, r n. Derved beregnes momentet omkring navet, der er identisk med det omkring nacellen, M n Beregning af samlet momentpåvirkning på rotoren For at udregne det resulterende moment på hele rotoren er det nødvendigt at kende fordelingen af kræfter på begge vinger på én gang. Figur 4.21 viser retningerne af lift F L og drag F D på de to vinger. F L F N V rel F N F L rotorplan V rel 2 F D rotorplan 1 F D Figur 4.21: Kræfterne på vingen, der giver anledning til moment. Den blå linje angiver rotorplanet og den røde vingernes kordelinje. Komposanten F N er vinkelret på rotorplanet, og har samme retning for begge vinger. Vinge 1 har større pitchvinkel og derfor en større F N end vinge 2, hvilket giver et moment omkring blæserens nacelle, som vist på figur Af denne figur ses, at komposanterne til de resulterende kræfter normal på rotorplanet, F N,1 og F N,2, vil pege i samme retning. Dette betyder, at hvis kræfterne på de to vinger er lige store, vil nacellen ikke blive påvirket af et moment og derfor ikke krøje. Når vingerne roterer, vil den ene have større pitchvinkel, og derved angrebsvinkel, i forhold til rotorplanet end den anden. Betragtes kurverne for lift- og dragkoefficienterne for vingeprofilet, figur 4.13 på side 18 ses det, at forskellen i angrebsvinkel giver anledning til forskellige lift- og dragkoefficienter på de to vinger. Dermed vil størrelsen af F N på hver af vingerne være forskellig, hvilket resulterer i et moment omkring nacellens krøjeakse. Pitches vingerne som på figur 4.21, vil der opstå et moment som vist på figur 4.22 på næste side. Det samlede moment kan derved ikke beregnes ved at benytte formel 4.38 direkte. Istedet beregnes det resulterende moment på rotoren ved at beregne det gennemsnitlige moment på én vinge i løbet af én omdrejning, og Teoretisk model

33 4.4 Nacelle karakteristik - F N,2 F N,1 Figur 4.22: F N,1 og F N,2 angiver kræftpåvirkningen normal på rotorplanet. Forskellen på de to giver et momentet om krøjeaksen, i dette tilfælde med uret, som regnes negativt. herefter gange dette resultat med antallet af vinger B. Delkonklusion Vingerne på blæseren udsættes for kræfter, der afhænger af deres pitchvinkel såvel som vinden omkring dem. Ud fra den relative vindhastighed og pitchvinklen findes vingens angrebsvinkel α. Denne anvendes til beregning af lift- og dragkræfterne ud fra vingeprofilen. Til beregning af kræfterne tages desuden hensyn til induktionsfaktorerne a og a, der beskriver ændringen af vindhastigheden igennem rotorplanet. Kræfterne opdeles i komposanterne F n og F t der er de aksielle og tangentielle kræfter på vingen i forhold til rotorplanet, hvor F n giver momentet omkring krøjeaksen. Ved at opdele den enkelte vinge i flere stykker n, beregnes kræfterne, radius og derved moment for det enkelte stykke. Det samlede moment på rotorplanet er derved givet ved summen af de enkelte bidrag. 4.4 Nacelle karakteristik Det samlede moment som resultat af kræfterne vil give en krøjning, som begrænses af friktion. Ud fra Newtons 2. lov kan dette beskrives ved: M nacelle = M res M dynamisk frik M statisk [N m] (4.39) 4. Teoretisk model 25

34 4.4 Nacelle karakteristik M nacelle samlet moment for nacellen [Nm] M dynamisk frik viskøse friktion [Nm] M statisk coulomb friktion + stribeck friktion [Nm] M statisk er målt ved at finde størrelsen på den kraft, der skal bruges til at få nacellen i bevægelse. Den er målt til 1,8N ved en arm på 0,106m, hvilket giver et moment på 0,191Nm, dette moment ses der dog bort fra. M statisk består hovedsageligt af coulomb friktionen, som giver et konstant bidrag, mens den også består af stribeck friktionen, som dog ofte er væsentlig mindre [Henrik Clemmesen, 2009]. Der kan tillades at ses bort fra M statisk, da coulomb friktionen giver et konstant bidrag, som der ikke ønskes en overføringsfunktion for, da der kun kigges på nacellen i bevægelse og dermed kun på ændringer i forhold til arbejdspunktet. Desuden kan M statisk betragtes som en diskontinuitet, som ikke kan håndteres med lineær reguleringsteori, hvilket også er en medvirkende faktor til, at der ses bort fra denne størrelse. Ligningen for nacellens moment opskrives derfor som: [ ω k Krøjevinklens acceleration rad/s 2 ] [ J Nacellens inertimoment kg m 2 ] B Viskøse friktionsfaktor [kg m s] ω k Krøjevinklens hastighed [rad/s] J ω k = M res B ω k [N m] (4.40) Hvis denne ligning Laplace transformeres, og det antages systemet er i hvile, giver det følgende resultat: Dette kan igen omskrives ved at sætte ω k (s) udenfor en parentes: J ω k (s) s = M res B ω k (s) (4.41) Dermed kan overføringsfunktionen for nacellekrakteristikken sættes op: (J s + B)ω k (s) = M res (4.42) ω k (s) 1 = M res (J s + B) (4.43) Inertimomentet udregnes i afsnit 9 på side 86 til at være 0,0917 kg m 2, mens B udregnes i afsnit 8.4 på side 77 til at være 0,249 N m s. Hvis disse tal sættes ind, bliver overføringsfunktionen for nacelle karakteristikken følgende: ω k (s) 1 = G n (s) = M res (0,0917 s + 0,249) (4.44) Hvis ønsket, kan udtrykket yderligere ganges med 1 s for at finde et udtryk for krøjevinklen γ k Teoretisk model

35 4.5 Model af Rotor karakteristik i MATLAB Simulink 4.5 Model af Rotor karakteristik i MATLAB Simulink For at bestemme en overføringsfunktion for ndersystemet Rotor Karakteristik, er en model af dette system blevet udviklet i MATLAB Simulink. Dette afsnit beskriver først beregningstrinene i modellen, hvorefter selve opbygningen dokumenteres Beregningstrin Modellen skal give sammenhængen mellem den duty cycle, servomotoren styres ved, og det resulterende moment på rotoren. Som input skal modellen dermed have duty cyclen, og skal som output give det beregnede moment. Duty cyclen og momentet kan herefter plottes i forhold til hinanden, hvorved overføringsfunktionen kan bestemmes. Herunder følger en beskrivelse af de forskellige beregningstrin, der gennemføres: 1. Ud fra den givne duty cycle beregnes pitchvinklen, β, som beskrevet i modellen for det mekaniske system, formel 4.15 på side Herefter beregnes angrebsvinklen, α, som i (4.22) ved (a) først at beregne den aksiale og tangentiele vindhastighed ud fra (4.24), hvor startværdierne for induktionsfaktorerne a og a gættes til at være lig nul. (b) Herefter findes flowvinklen φ, der angiver vinklen mellem rotorplanet og den relative vindhastighed ud fra ( 4.21 på side 18). 3. Ud fra angrebsvinklen findes lift- og dragkoefficienterne C l og C d fra kurvefit, se formel 4.20 på side Herefter beregnes a og a på ny ud fra C l og C d. Hvis værdierne har ændret sig mere end en given tolerance vendes tilbage til trin (2). 5. Fordelingen af belastninger på vingen kan nu beregnes, idet drag og lift kræfterne beregnes ud fra formel (4.17) og ( 4.18 på side 17). 6. Kræfterne opløses i komposanter normal og tangentielt til rotorplanet, idet komposanten normal på rotorplanet F N bidrager til momentet omkring krøjeaksen som i formel ( 4.25 på side 20). Vingen inddeles i n stykker, hvor også r n for hvert stykke findes. 7. Det samlede moment M res om krøjeaksen findes ved at summere enkeltbidragene fra hvert stykke på hver vinge regnet med fortegn, som vist i formel (4.38). 8. Momentet, der giver krøjningen, plottes i en graf som funktion af duty cyclen. 9. Der laves et kurvefit af grafen, som tilnærmes med et 1. grads polynomium. Dette kurvefit anvendes herefter til at bestemme overføringsfunktionen Opbygning af model De følgende blokdiagrammer skitserer, hvordan modellen er opbygget i MATLAB Simulink. Modellen består af tre niveauer; i et subsystem beregnes induktionsfaktorerne a og a, i næste subsystem beregnes normalkraften på hvert vingeelement F n, og på sidste niveau beregnes det resulterende moment på vingerne. Symbolerne markeret med rødt på figurerne er input til hver del af modellen, mens symbolerne markeret med grønt er output fra den pågældende del af modellen. Symbolet f (u) angiver, at beregningen er foretaget ved en MATLAB funktion. Modellen samt m-scriptet, som loader de konstanter, der anvendes i modellen, er vedlagt på cd-rom. 4. Teoretisk model 27

36 4.5 Model af Rotor karakteristik i MATLAB Simulink D f(u) β pitch θ rotor ω rotor normalkraft 1 s Beregning af F n M n Σ M Iterator n f(u) r n Figur 4.23: Blokdiagram over hvordan det resulterende moment på vingerne beregnes. Figur 4.23 illustrerer den overordnede beregningsgang i modellen. Som det ses, får modellen som input rotorens omdrejningshastighed ω Rotor samt størrelsen D af duty cyclen, hvorfra pitchvinklen β Pitch beregnes. En iterator er tilkoblet modellen i en løkke, og giver som input giver den heltal n mellem 1 og 10. Derved opdeles vingen i 10 ens stykker, og radius r n fra navet til vingestykke n beregnes. Fra subsystemet Beregning af normalkraft findes normalkraften F n på hvert af de n vingeelementer, og ud fra dette beregnes momentet M n på hvert vingeelement. Disse bidrag summeres, og det resulterende moment M på vingen findes. Subsystemet Beregning af normalkraft er vist på figur ω r n rotor f(u) σ Beregning af a og a' V 0 a a' V a V rot β pitch f(u) f(u) Φ V rel α f(u) + - f(u) C l C d f(u) F N Figur 4.24: Simplificeret blokdiagram over hvorledes normalkraften F n beregnes. Ud fra de førnævnte inputs og vindens hastighed V ind beregnes først induktionsfaktorerne a og a, hvorved komposanterne V n og V t til den relative vindhastighed efter blæseren findes. Ud fra disse bestemmes flowvinklen φ, og angrebsvinklen α kan beregnes. Ved hjælp af kurvefits for C l og C d kan disse værdier nu findes, og normalkraften F n bestemmes. Figur 4.25 viser subsystemet, som beregner a og a. Dette subsystem bestemmer først soliditeten σ og koefficienterne C N og C t med henholdsvis r n, C l, C d og φ som input. Herefter beregnes a og a. Værdierne for a og a beregnes som en vægtet sum mellem den beregnede værdi og den forrige værdi for de to induktionsfaktorer. Som krav til itereringen er det valgt, at modellen fortsætter med at beregne nye værdier for a og a, indtil forskellen på to på hinanden følgende værdier ligger indenfor en valgt tolerance. Til dette benyttes memory -blokkene, der også er vist på figur Startværdierne for a og a er sat til nul. Som beskrevet beregner modellen kun det resulterende moment på én vinge ad gangen. For at beregne det samlede moment for hele rotoren, dvs. for de to vinger, beregnes først det gennemsnitlige moment over flere Teoretisk model

37 4.6 Resultater og verificering af model MEMORY C l f(u) f(u) a σ r n f(u) φ tolerance OR C d C n MEMORY + - While Iterator f(u) C t f(u) a' + - Figur 4.25: Forsimplet blokdiagram der viser beregningen af induktionsfaktorerne a og a. rotationer ud fra simuleringens resultater. Dette resultat ganges herefter med 2, hvorved det resulterende moment på rotoren bestemmes. 4.6 Resultater og verificering af model Den opstillede model testes i dette afsnit for at undersøge, om den kan verificeres. Først undersøges og beskrives de resultater, den opstillede model for det resulterende moment som funktion af den påtrykte duty cycle giver som output. Under opbygningen af modellen blev det tydeligt, at formel 4.31 på side 21 ikke ville give resultater for a og a, der lå indenfor det forventede interval. Af denne grund blev værdierne for henholdsvis a og a fastlåst til at ligge i et interval 0,2-0,4 og 0,0-0,4, jvf. figur 4.26 gengivet efter [Manwell et al., 2005]: 0.4 Induktionsfaktor a a' Dimensionsløs radius for vingeblad r/r Figur 4.26: Graf over interval for a og a for en ideel vindmølle, hvor r/r angiver forholdet mellem radius fra nav til en bestemt vingesektion r og radius for hele vingen R. På figur 4.27 ses grafer over størrelsen af momentet på en enkel vinge, som funktion af tiden for forskellige duty cycles ved en vinkelhastighed for rotoren på 20 rad/s. Graferne viser dermed, hvorledes momentet på en vinge ændrer sig som funktion af vingens position rundt i rotorplanet. Som graferne viser, vil momentet på vingen stige fra en startværdi på nul til en maksimal værdi, hvorefter det igen falder til værdien nul. Herefter antager momentet negative værdier til en minimumsværdi, hvorefter mo- 4. Teoretisk model 29

38 4.6 Resultater og verificering af model Figur 4.27: Det resulterende moment vingerne yder omkring nacellen som funktion af tiden for to omdrejninger. mentet igen stiger til værdien nul. De positioner hvor momentet M = 0 er, når vingen er i lodret position, mens momentet må antage sin maksimale værdi regnet med fortegn, når vingen er i vandret position. Dette betyder, at vingen i den ene halvdel af rotorplanet vil bidrage med moment i den positive retning, og i den anden halvdel af rotorplanet vil momentet virke i den negative retning, hvorfor det gennemsnitlige resulterende moment på to vinger vil være forskellen på gennemsnittet af det positivt regnede moment og gennemsnittet af det negativt regnede moment. På figuren er kurven for duty cyclen D = 7,5% fremhævet, idet det tydeligt ses, at ved denne duty cycle vil vingerne blive påvirket af et lige stort, men modsatrettet moment uafhængigt af tiden og dermed vingernes position i rotorplanet. Figur 4.28 på næste side viser det resulterende moment på rotoren M res i forhold til duty cyclen D, som servomotoren påtrykkes - igen ved en vinkelhastighed på 20 rad/s. Det ses, at M res falder til værdien 0 for en duty cycle på 7,5%, hvorefter værdien for M res stiger med negativt fortegn. Dette betyder, at for duty cycles mindre end 7,5% vil nacellen krøje den ene vej rundt, og for duty cycles større end 7,5% vil nacellen krøje den modsatte vej rundt, hvilket er i overensstemmelse med konklusionen fra afsnit 4.2 på side 10. Størrelsen af M res ligger fra 0,15Nm til 0,15Nm. Sammenhængen mellem M res og rotorens vinkelhastighed ω rot gives også som output fra modellen. Denne sammenhæng er vist på figur 4.29 på næste side for D = 9%. Grafen viser, at størrelsen af momentet stiger som funktion vinkelhastigheden. Da momentet har negativt fortegn, vil nacellen i dette tilfælde krøje med positiv omløbsretning Teoretisk model

39 4.6 Resultater og verificering af model Figur 4.28: Simuleret værdi af det resulterende moment M res, som funktion af duty cyclen D samt den tilnærmede kurve, der benyttes til at finde en overføringsfunktion. Beregnet ved en rotorhastighed på ω rot = 20 rad/s 200RPM Resulterende moment M res [Nm] Vinkelhastighed ω [rad/s] Figur 4.29: Det resulterende moment M res som funktion af vinkelhastigheden ω ved D = 9 % Verifikation af model ved måling af moment For at verificere modellen udviklet i MATLAB Simulink undersøges sammenhængen mellem duty cyclen D og det resulterende moment omkring nacellen M res ved forskellige omdrejningshastigheder eksperimentelt. Dette er gjort vha. strain gauges på akslen, nacellen er monteret på, og derefter at fastlåse kuglelejet, således nacellen ikke kan rotere. Forsøgsjournalen for eksperimentet kan ses i afsnit 8.2 på side 65. Figur 4.30 på næste side viser grafer over de målte værdier for det resulterende moment M res i forhold til duty cyclen D. 4. Teoretisk model 31

40 4.6 Resultater og verificering af model Figur 4.30: Målte resultater for det resulterende moment, som funktion af duty cyclen for forskellige omdrejningstal. Sammenlignes grafen for 200RPM med grafen på figur 4.28, som viser det simulerede resultat for M res i forhold til D ved en vinkelhastighed ω = 20 rad/s 200 RPM, ses det, at det simulerede moment ligger i intervallet ±0,15 Nm, mens det målte moment ligger i intervallet 5, Nm og Nm. Dette betyder, at modellen giver et resultat, der er omkring 30 gange større end det målte. På begge grafer er der dog en tydelig lineær sammenhæng mellem D og M res. Desuden ses det, at der ikke er et moment på 0 Nm ved D = 7,5 %, men nærmere ved D = [7,1;7,4] %. Dette skyldes, at det mekaniske system med navstængerne og swash platene er lidt skæve, hvilket gør at den cykliske pitchvinkel for vingerne på forsøgsopstillingen varierer en smule, når vingerne roterer. Ved nærmere inspektion konstateres det, at servoarmen heller ikke er fuldstændig nulstillet ved en duty cycle på 7,5%, men nærmere afviger en smule fra punktet som vist i figur Afvigelse 0 o Servoarm -90 o 90 o Servoaksel Figur 4.31: Servoarmens afvigelse fra nulstillingspunktet ved en duty cycle D = 7,5% Teoretisk model

41 4.7 Verifikation af model ved bestemmelse af krøjehastighed Den målte sammenhæng mellem M res og vinkelhastigheden ω rot er vist på figur 4.32 for forskellige duty cycles D. Moment [Nm] 8 x Strain-gauge målinger ved faste duty-cycles og varierende vinkelhastigheder D = 5% D = 5.5% D = 6% D = 6.5% D = 7 % D = 7.5 % D = 8 % D = 8.5 % D = 9 % D = 9.5 % D = 10 % Vinkelhastighed ω [rad/s] Figur 4.32: Målt sammenhæng mellem M res og ω for varierende duty cycle D. Det målte moment på figur 4.29 ved en dutycycle på 9 % ligger i intervallet fra -0,01 Nm til -0,04 Nm, mens det simulerede moment ligger i intervallet -0,01 Nm til -0,2 Nm. Modellen giver dermed et resultat for denne situation, som er op til 5 gange større end det målte resultat. At grafen på figur 4.32 er relativt ujævn skyldes usikkerhed på måleresultaterne. Dette er yderligere belyst i afsnit 8.2. Begge grafer viser dog, at størrelsen af M res stiger som funktion af rotorens vinkelhastighed. 4.7 Verifikation af model ved bestemmelse af krøjehastighed I dette afsnit vil krøjeforsøget beskrevet i afsnit 8.5 på side 81 danne grundlag for at antagelsen om, at den statiske friktion negligeres, blive vurderet. Desuden kan forsøget bruges til at sammenligne og verificere resultater, fra strain gauge forsøget samt simuleringsresultater fra modellen, af momentet som funktion af duty cyclen. På figur 8.29 på side 82 fra krøjeforsøget ses det på hver graf, at tiden nacellen bruger på at blive accelereret op, ikke tager mere end 1/10 sekund, hvorefter hastigheden er konstant, og accelerationen dermed er nul. På baggrund af dette konstateres det, at den statiske friktion næsten ikke påvirker systemet, hvorfor det er rimeligt at se bort fra den statiske friktion i formel 4.40 på side 26. For at sammenligne krøjeforsøget med med strain gauge forsøget, skal der anvendes resultater der er skabt ud fra samme forudsætninger. Det vælges, at basere sammenligning ved et omrejningstal på 300RPM og en duty cycle på 9%. I forsøget hvor blæserens krøjning er målt, er værdien målt til 5, Nm, og i forsøget hvor momentet er målt ved brug af strain gauges, er værdien målt til 6, Nm. Den relative afvigelse fra strain gauge forsøget er følgende: 4. Teoretisk model 33

42 4.8 Delkonklusion på verifikation af model 0,0064Nm 0,00539Nm 0, 0064Nm = 15,7% (4.45) Hvis størrelsen på krøjemålingen for 9 % duty cycle sammenlignes med størrelsen for den simulerede model ved samme forudsætninger, er den relative forskel følgende: 0,225Nm 0,00539Nm 0, 225Nm = 97,6% (4.46) Størrelserne af momentet modellen give rsom output, er en del større end de faktiske værdier. Da forsøgenes afvigelser ikke er så langt fra hinanden, antages det derfor, at det er rimelig at opstille en empirisk model for momentet ud fra fra strain gauges målingerne. 4.8 Delkonklusion på verifikation af model Ud fra sammenligninger mellem resultater fra modellen og strain gauge forsøget (se afsnit 8.2), kan det konkluderes, at modellen viser de samme tendenser som de eksperimentelle resultater dog med for høje værdier. Krøjeforsøget (se afsnit 8.5) viser tilsvarende resultater for sammenhængen mellem duty cycle og moment. Den udledte model kan hermed ikke verificeres. Af denne grund vælges det, at overføringsfunktionen der giver sammenhængen mellem duty cylen D og det resulterende moment M res baseres på en empirisk model udfra resultaterne fra strain gauge forsøget. En samlet matematisk model for systemet er i dette kapitel blevet opstillet. Dette er gjort ved at dele systemet op i tre undersystemer; en beskrivelse af pitchvinklen som funktion af servomotorens påtrykte dutycycle, en rotorkarakteristik der ud fra de aerodynamiske kræfter på vingerne udregner det resulterende moment på rotoren, og nacelle karakteristisk der angiver, hvor meget nacellen vil krøje ud fra en given momentpåvirkning. Det er desuden blevet undersøgt, hvorvidt den opstillede model for det resulterende moment på rotoren som funktion af dutycyclen kunne verificeres. Det blev konkluderet, at den opstillede model viste de samme tendenser men for høje resultater sammenlignet med resultater fra tests, hvorfor den ikke kan verificeres. I det følgende kapitel udledes derfor en empirisk model baseret på måleresultater fra forsøget, hvor momentet er blevet målt ved brug af strain gauges Teoretisk model

43 5 Empirisk model I kapitel 4 er det konkluderet, at den teoretiske model ikke kan verificeres, da den ikke stemmer overens med de målte data. Derfor opstilles en empirisk model for systemet i stedet. I dette kapitel beskrives, hvordan denne opbygges ud fra måledata, hvorefter modellen lineariseres, således en overføringsfunktion kan beskrives. Denne overføringsfunktion er nødvendig for at kunne designe en regulator til systemet, som efterfølgende beskrives i kapitel Udledning af empirisk model På baggrund af konklusionen for den teoretiske model i afsnit 4.8 på modstående side, udledes der på baggrund af forsøget beskrevet i afsnit 8.2 en empirisk model, der beskriver sammenhængen mellem duty cyclen D og det resulterende moment på rotoren M res. I forsøget undersøges først sammenhængen mellem M res og D ved fast omdrejningstal RPM. Figur 4.30 på side 32 viser måleserier for syv forskellige værdier for RPM. Af grafen ses, at der er en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng mellem duty cyclen og momentet ved faste omdrejningstal, og dette kan derfor approksimeres med en funktion på formen: M res (D) = a D + b (5.1) Da den empiriske model skal kunne give sammenhængen mellem momentet og duty cyclen som funktion af vinkelhastigheden, udledes to funktioner K a og K b, der angiver en funktion af vinkelhastigheden ω rot for henholdsvis hældningen a og skæringen mde y-aksen b. Dette er gjort i afsnit 8.2. Heraf fås: K a (ω rot ) = = 0, ω rot + 0,12680 K b (ω rot ) = = 0, ω rot 0, Modellen for M res som funktion af både D og ω rot bliver derved; M res (D,ω) = K a (ω rot ) D + K b (ω rot ) M res (D,ω rot ) = 0, D ω rot + 0,12680 D + 0, ω rot 0, (5.2) Modellen afprøves ved at plotte måleserierne sammen med de tilsvarende funktioner beregnet ud fra formel 5.2. Dette er vist på figur 5.1. Figuren viser rimelig god overensstemmelse mellem de målte resultater og de tilsvarende grafer, der er lavet på baggrund af funktionerne fra modellen. For at verificere denne funktion undersøges i forsøget tilsvarende sammenhængen mellem M res og ω rot for faste værdier af D. 35

44 5.1 Udledning af empirisk model 8 x Krøjemoment som funktion af duty cycle og vinkelhastighed modellen 10,47 rad/s 13,09 rad/s 15,71 rad/s 18,33 rad/s 20,94 rad/s 23,56 rad/s 26,18 rad/s Moment [Nm] Duty Cycle (%) Figur 5.1: Målepunkterne plottet sammen med tilsvarende funktioner beregnet ud fra modellen udledt i ligning 5.2. Her foretages 11 måleserier for faste duty cycles i intervallet [5 %;10 %]. Disse er plottet på figur Igen ses, at graferne kan approksimeres ved en lineær sammenhæng, hvor hældningen a og off-settet b er givet ved to funktioner K a og K b af D, dvs.; M res (ω rot,d) = K a (D) ω rot + K b (D) (5.3) Var momentet blevet målt ved et større interval for vinkelhastighederne, ville den lineære sammenhæng sandsynligvis ophøre, da det reulterende moment er proportional med vinkelhastigheden i anden, idet de aerodynamiske kræfter på vingerne er proportionale med den relative hastighed i anden. K a og K b udledes i afsnit 8.2: K a (D) = 0, D + 0, K b (D) = 0,14244 D 0, Dermed bliver udtrykket for M res som funktion af ω rot og D: M res (ω rot,d) = K a (D) ω + K b (D) M res (ω rot,d) = 0, D ω rot + 0,14244 D + 0, ω rot 0, (5.4) På figur 5.2 er målepunkterne, samt den tilsvarende funktion beregnet ud fra formel 5.4, plottet med henholdsvis Empirisk model

45 5.1 Udledning af empirisk model fuld optrukken og stiplet linje. Moment [Nm] 8 x Afprøvning af krøjemoment modellen 5% 5,5% 6% 6,5% 7% 7,5% 8% 8,5% 9% 9,5% 10% Vinkelhastigheder [rad/s] Figur 5.2: Målepunkterne plottet sammen med den tilsvarende funktion beregnet ud fra modellen. Som figuren viser, er der igen god overensstemmelse mellem de målte resultater og resultaterne frembragt af den udledte model. Sammenlignes ligning 5.2 og ligning 5.4 ses det, at de to modeller for M res som funktion af både D og ω rot stemmer godt overens. Det vælges derfor, at den empiriske model, som benyttes videre i projektet til at bestemme overføringsfunktionen for systemet, benytter gennemsnittet af 5.2 og ligning 5.4. Dermed bliver udtrykket for den empiriske model for M res givet ved formel 5.5: M res (D,ω rot ) = 0, D ω rot + 0,13462 D + 0, ω rot 0, (5.5) For modellen der beskriver blæserens krøjehastighed ω k som funktion af momentet M res, anvendes den tidligere udledte overføringsfunktion. Denne anvendes idet, den i forvejen er baseret på målinger på forsøgsopstilingen, og derfor antages at være gyldig. Denne er besrekvet i afsnit 4.4 på side 25 og i Laplace-domænet givet ved: G n (s) = ω k(s) 1 = M res (J s + B) = 1 (0,0917 s + 0,249) (5.6) Hidtil er den empiriske model udelukkende baseret på stationær værdien af krøjemoment som funktion af både duty cycle og rotorens vinkelhastighed. Ligesom ved alle andre fysiske systemer går der noget tid fra der gives et input, til der opnås et stationært output. Denne eksponentielle tidsforskydning er afbildet på figur 5.3 på 5. Empirisk model 37

46 5.2 Linearisering empirisk af model næste side. De stationære tilstande er markeret som K og tidskonstanterne som τ. M(D,ω ) rot K Krøje moment ω (M) k K Krøje vinkelhastighed 0.63K 0.63K τm t τk t Figur 5.3: Eksponentiel afbildning af krøjemoment og krøjevinkelhastighed. Tidskonstanterne τ m og τ k er defineret som tiden hvortil 63% af slutværdien er opnået. τ m er væsentlig mindre end τ k, hvorfor den kan negliceres, som vist på figur 5.4. Grafen til venstre på figur 5.3 er en afbildning af krøjemoment som funktion af D og ω rot, mens grafen til højre illustrerer, hvor lang tid der går, fra at nacellen påvirkes af et moment, til en konstant krøjevinkelhastighed opnås. Momentgrafen er dermed et input til grafen over vinkelhastigheden. Den eksponentielle dynamik for momentresponsen kan negliceres, da det antages, at tidskonstanten for momentet τ m er væsentlig mindre end tidskonstanten for vinkelhastigheden τ k. Hermed approksimeres momentet et konstant input til beregningen af krøjevinkelhastigheden. Figur 5.4 viser forløbet fra de konstante inputs af duty cycle og roterende vinkelhastigheder til det dynamiske output af krøjevinkelhastigheden. ω rot D M ω k D ω rot Duty cycle Roterende vinkelhastighed ω M(D, rot ) (D) k Krøje moment Krøje vinkelhastighed ω Figur 5.4: Hele forløbet fra duty cycle og roterende vinkelhastighed som input i systemet til en resulterende krøjevinkelhastighed opnås. Momentet antages som værende et konstant input, idet tidskonstanten antages neglicibel lille. 5.2 Linearisering empirisk af model For at kunne analysere og derpå designe regulatorer til systemet, skal der udledes overføringsfunktioner, som beskriver systemet. En overføringsfunktion er en funktion, der beskriver forholdet mellem to tilstande i et lineært tidsinvariant system. En del af modellen er allerede beskrevet ved en lineær ligning, jævnfør ligning 4.44 på side 26. For at finde de resterende overføringsfuktioner, der beskriver outputtet for modellen som funktion Empirisk model

47 5.2 Linearisering empirisk af model af inputs, tages der udgangspunkt i ligning 5.5 på side 37, som vises nedenfor. M(D,ω) = 0, D ω + 0,13462 D + 0,0012 ω 0, (5.7) Denne funktion er ulineær og kræver derfor en linearisering. Konstanterne i udtrykket bliver defineret til: c 1 = 0, c 2 = 0,13462 c 3 = 0,0012 c 4 = 0, Udtrykket kan herpå skrives som: M(D,ω) = c 1 D ω + c 2 D + c 3 ω + c 4 (5.8) Til at linearisere udtrykket benyttes en 1. ordens taylor approksimation. Der skal derfor vælges et arbejdspunkt. Der tages udgangspunkt i det arbitrære punkt (M 0,D 0,ω 0 ): M(D,ω) M 0 + M(D,ω) D (D D 0 ) + M(D,ω) (ω ω 0 ) (5.9) ω D=D0,ω=ω 0 D=D0,ω=ω 0 M(D,ω) M 0 + (c 1 ω 0 + c 2 )(D D 0 ) + (c 1 D 0 +C 3 )(ω ω 0 ) (5.10) Det er ikke nødvendigt, at betragte den absolutte ændring af momentet, som funktion af den absolutte duty cycle og vinkelhastighed. Det er tilstrækkeligt, at modellen blot beskriver ændringen i moment fra arbejdspunktet, som funktion af ændring i duty cycle eller vinkelhastighed. I forhold til arbejdspunktet kan ligningen yderligere forsimples til formel 5.11: M = M(D,ω) M 0 D = D D 0 ω = ω ω 0 M( D, ω) = (c 1 ω 0 + c 2 ) D + (c 1 D 0 + c 3 ) ω (5.11) Da modellen skal bygges op af SISO (Single input, Single output) overføringsfunktioner, vil det være nødvendigt at omskrive ligningen til to ligninger. Én der giver ændringen i moment ved konstant omdrejningstal som funktion af ændringen i duty cyclen, og én der giver ændringen i moment ved konstant duty cycle som funktion af ændringen i omdrejningstal. En ændring i vinkelhastigheden ændrer ikke duty cyclen, mens en ændring i duty cyclen giver en ændring i vinkelhastigheden. Dette hænger sammen med, at vinkelhastigheden er proportional med spændingen og belastningen. Ved at ændre duty cyclen og dermed pitchvinklen på vingerne, ændres belastningen samtidig, og dermed stiger eller falder vinkelhastigheden, da spændingen er konstant. Denne indirekte sammenhæng mellem vinkelhastigheden og duty cyclen antages ikke at være til stede. Ændringerne er, som defineret tidligere, fra arbejdspunktet. 5. Empirisk model 39

48 5.2 Linearisering empirisk af model M( D) = (c 1 ω 0 + c 2 ) D (5.12) M( ω) = (c 1 D 0 + c 3 ) ω (5.13) Ligningerne beskriver ikke systemet korrekt, hvis inputtet bevæger sig væk fra arbejdspunktet. Dette vil dog kunne løses ved at have tilstrækkeligt mange arbejdspunkter/modeller, som beskriver hvert sit interval. Under reguleringen vil det være en mulighed at anvende forskellige regulatorparametre i forskellige intervaller Valg af arbejdspunkt Udgangspunktet for reguleringen bliver det arbejdspunkt, hvor det forventes, at forsøgsopstillingen for det meste vil befinde sig. Arbejdspunktet vælges til at være, hvor der er en vinkelhastighed på 30 rad/s, og derefter findes duty cyclen, der skal til for at have M = 0 ud fra ligning 5.5 på side 37. ω 0 = 30rad/s (5.14) D 0 = 7,32% (5.15) Der er blevet udviklet et MATLAB script der kan beregne overføringsfunktionerne ud fra et givent arbejdspunkt. Det er vedhæftet som bilag på den vedlagte cd (CD/MATLAB/regulering.m). Ligningerne kan nu opstilles: M( D) = 0, 3571 D (5.16) M( ω) = 0, 4906 ω (5.17) Disse to ligninger, samt ligning 4.44 på side 26, danner grundlag for modellen, der beskriver forsøgsopstillingen i reguleringssystemet. Dette system er vist på figur 5.5. Δω rot M ω rot ΔD M D 1 J s + B Δω k Figur 5.5: Model af forsøgsopstillingen. Da modellen, som tidligere nævnt, skal bruges til at undersøge dynamikken i systemet dels ved step-input og dels ved forskellige frekvenser, har det ingen betydning, hvilket fortegn overføringsfunktionerne har. Det er signalernes fortegn, der har betydning. Det betyder, at overføringsfunktionens negative fortegn kan fjernes. At beholde dem vil blot medføre en større risiko for fejl. Dette skyldes, at et negativt fortegn kan opfattes som et positivt tal med et fasedrej på 180, hvilket kan lede til misforståelser. Overføringsfunktionerne, der beskriver Empirisk model

49 5.2 Linearisering empirisk af model systemet i arbejdspunktet, bliver derfor som vist nedenfor i følgende ligninger 5.18 og 5.19: G 1 = ω M = 1 0,0917 s + 0,249 (5.18) G 2 = M D = 0,3571 (5.19) Det skal bemærkes, at G 2 vil ændre sig, hvis arbejdspunktet ændres. I dette kapitel er en empirisk, ulineær model for det resulterende moment, som funktion af duty cyclen og rotorens vinkelhastighed, opstillet ud fra måleresultater. Denne blev lineariseret, hvorefter en lineær model, givet ved overføringsfunktioner for det samlede system, kunne opstilles. 5. Empirisk model 41

50 6 Regulering I dette kapitel designes en regulator til styring af nacellens krøjemekanisme ud fra overføringsfunktionerne for systemet udledt i afsnit 5.2. Regulatoren designes ved hjælp af værktøjer beskrevet i kapitel 13. Først designes en P-regulator til systemet uden at tage højde for forsøgsopstillingens fysiske begrænsninger, da disse resulterer i en ulineær model. Stepresponsen for den ulineære model udledt i afsnit 5.1 undersøges herefter både med og uden regulator. En regulator til systemet skal designes. I første omgang vil der blive taget udgangspunkt i den lineære model udledt i afsnit 5.2 på side 38. Dette betyder, at der ikke vil blive kigget på de fysiske begrænsninger. F.eks. antages det, at duty cyclen kan varieres frit og ikke blot imellem 5% og 11%. Modellen er blevet udledt ved et arbejdspunkt på ω 0 = 30 og D = 7,32%. Derfor vil regulatorens stabilitet blive vurderet ved andre arbejdspunkter end disse. Den udregnede regulator vil herefter blive vurderet ved at betragte stepresponsen af en ulineær model. Til sidst vil regulatoren blive implementeret og stepresponsen blive målt med henblik på sammenligning med stepresponsen uden regulator. Desuden vil der blive vurderet på den ulineære models beskrivelse af virkeligheden. 6.1 Design af regulator Selve reguleringen og designet af regulatoren kan gøres på mange måder, da der i designproceduren ofte skal vælges mellem to eller flere positive egenskaber; eksempelvis minimering af oversving og hurtigere transient respons. Dette afsnit vil indeholde design af reguleringssystemet vha. systemets frekvensrespons. Der tages udgangspunkt i den mest simple model. Den simpleste model af systemet tager ikke højde for eventuelle forstyrrelser i rotorens vinkelhastighed. Et blokdiagram for dette system, hvor rotorens vinkelhastighed ikke er med som input, er vist på figur 6.1. γ set D M G c2 G 2 G 1 ω k 1 s γ k Figur 6.1: Lukket sløjfe regulering. Fra afsnit 5.2 bruges følgende overføringsfunktioner i forhold til det valgte arbejdspunkt på 7,32 %: G 1 = ω M = 1 0,0917s + 0,249 (6.1) G 2 = M D = 0,3571 (6.2) Der ses bort fra G 3, da det antages at rotorhastigheden holdes konstant på arbejdspunktet ved 30 rad/s. Den ulineære funktion, der beskriver momentet, og den lineære funktion er plottet i figur 6.2 nedenfor. 42

51 6.1 Design af regulator MDω 0 MDω M lin D 0 D 0 M lin D D Reel 30 rad/s Reel Lineariseret 30 rad/s30 rad/s Lineariseret 30 rad/s D D Figur 6.2: Sammenligning af momentet for den lineære og den ulineære funktion ved konstant vinkelhastighed ( ω = 0). Det ses, som forventet, at blot vinkelhastigheden holdes konstant ved 30rad/s, stemmer den lineære funktion overens med den ulineære funktion. Hvis vinkelhastigheden ændres til ω = ±5 rad/s, vil fejlen i momentet dog have betydning. Det er derfor vigtigt, at vinkelhastigheden holdes konstant. Et plot af fejlen kan ses i figur 6.3. MDω 0 5 MDω M lin D D MMDω 0 5 lin D D 0 MDω Reel 25 rad/s Lineariseret Reel Reel rad/s rad/s Lineariseret Reel 35 rad/s D D Figur 6.3: Sammenligning af momentet for den lineære og den ulineære funktion ved vinkelhastigheden sat til ω = 25 og ω = 35 rad/s. Når vinkelhastigheden negligeres, giver det følgende åben-sløjfe forstærkning. Integratoren 1 s krøjevinklen i stedet for krøjevinkelhastigheden: er med for at få G OL = G cg 2 G 1 s (6.3) Bodeplottet for systemet er vist på figur 6.4 på næste side. Det ses, at systemet har uendelig forstærkningsmargin, da fasen ikke skærer Den har dog en fasemargin 6. Regulering 43

52 6.1 Design af regulator 30 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 64.5 deg (at 1.29 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur 6.4: Bodeplot af systemet uden forstyrrelse. på 64,5. Lukket-sløjfe systemet er givet nedenfor i ligning 6.4. G CL = G cg 2 G 1 s + G c G 2 G 1 (6.4) Stepresponsen for dette system uden regulator (G c = 1) er plottet på figur 6.5 på modstående side. Figuren viser systemets steprespons, og ud fra dette kan oversving, stigtid, og indsvingningstiden bestemmes, se tabel 6.1. M p 5 % T s 3,32 s 1,06 s T r Tabel 6.1: Tabellen viser stigtiden, peak-værdien og indsvingningstiden for systemet uden regulator. Ved at designe en regulator kan systemet evt. gøres hurtigere, men da responsen er meget pænt uden regulator vil det være svært. Betragtes overføringsfunktionen for systemet ses det, at den har en fri integrator. Af denne grund vil der, teoretisk set, ikke være en stationær fejl ved et stepinput jævnfør afsnit 13 på side 99. Det er derfor unødvendigt at indføre et integratorled i regulatoren. Det kan altså være tilstrækkeligt at have en regulator med et P-led. Overføringsfunktionen for en P-regulator er givet ved formel 6.5: G C (s) = K P (6.5) Regulering

53 6.1 Design af regulator 1.4 Step Response System: G_CLu Peak amplitude: 1.05 Overshoot (%): 5.09 At time (sec): 2.19 System: G_CLu Settling Time (sec): 3.32 Amplitude 0.8 System: G_CLu Rise Time (sec): Time (sec) Figur 6.5: Steprespons for simpel model uden regulator Åben-sløjfe forstærkningen har en fasemargin på PM = 64,5. Systemet designes efter at have en fasemargin på PM = 45. Derfor undersøges det, hvor stor en forstærkning regulatoren skal have for at opnå denne margin. Frekvensen, hvor åben-sløjfe fasedrejet er G OL = = 135, er aflæst på figur 6.4 på forrige side til at være: ω 1 = 2,72rad/s. Systemets forstærkning i det punkt er 0,3726, hvilket kræver at regulatoren får en forstærkning på G c = 1/ G( jω 1 ) = 2,6842 (6.6) for at tvinge systemet til at skære 0 db aksen ved den frekvens, og derved definere fasemarginen her. Bodeplottet kan ses på figur 6.6 på den følgende side. Stepresponsen med regulatoren er plottet i figur 6.7. G c = 2,6842 (6.7) Betragtes stepresponsen igen, ses det, at den nu har fået en meget mindre stigtid men på bekostning af et større oversving. De aflæste værdier kan ses i tabel 6.2. I tabellen er disse værdier samtidig sammenlignet med værdierne for stepresponsen uden regulator for at se de procentvise ændringer. Det ses, at ved implementering af regulatoren, opnås der et system, der har en betydelig mindre stigtid men på bekostning af meget større oversving og en smule længere indsvingningstid. For bedre at kunne sammenligne systemerne med og uden regulator, er de begge plottet i samme figur. Resultatet ses på figur 6.8. Systemet vurderes umiddelbart til ikke at være væsentligt bedre reguleret med P-regulatoren, end uden. 6. Regulering 45

54 6.1 Design af regulator 40 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 45 deg (at 2.72 rad/sec) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur 6.6: Bodeplot der viser fasemargin for systemet med P-regulator System: G_CLm Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 23.3 At time (sec): 1.09 Step Response 1 System: G_CLm Settling Time (sec): 3.44 Amplitude 0.8 System: G_CLm Rise Time (sec): Time (sec) Figur 6.7: Steprespons for systemet med P-regulator Regulering

55 6.2 Stabilitet i flere arbejdspunkter M p 23 % T s 3,44 s 0,47 s T r M p 360 % T s 3,7 % T r -56 % Tabel 6.2: Den øverste tabel viser stigtiden, peak-værdien og indsvingningstiden for systemet med regulator, mens den nederste tabel viser de relative afvigelser fra responsen for systemet uden regulator. 1.4 Step Response Uden Med Amplitude Time (sec) Figur 6.8: Steprespons for systemet med og uden regulator 6.2 Stabilitet i flere arbejdspunkter Frekvensresponsen ved arbejdspunkterne ω 0 = 25rad/s og ω 0 = 35rad/s, med regulator, er i figur 6.9 plottet sammen med frekvensresponsen for det valgte arbejdspunkt ω 0 = 30rad/s. Det ses, at fasemarginen falder ved øget vinkelhastighed. Ved en vinkelhastighed på ω 0 = 35rad/s vil fasemarginen være PM = = 41. Systemet vil derfor stadig have en tilladelig fasemargin selv ved højere rotorhastigheder. Det skal bemærkes, at modellen stadig tager udgangspunkt i at rotorhastigheden holdes konstant blot på et højere niveau. 6. Regulering 47

56 6.3 Ulineær model Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm = 41.1 deg (at 3.11 rad/sec) G25 G30 G35 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur 6.9: Frekvensrespons for systemet med regulator ved 3 forskellige scenarier af konstant rotorhastighed. 6.3 Ulineær model Da den lineære model ikke tager højde for de fysiske begrænsninger, vil det være muligt at beskrive systemet mere præcist ved hjælp af den ulineære model udregnet i afsnit 5.1 på side 35. Modellen, indtegnet i MATLAB Simulink, er vist på figur Programmet er sat op til et step-input, samt en vinkelhastighed på ω 0 = 30 rad/s. Step Step -amplitude 1 Gain Gc(s) 1 Transfer Fcn1 30 Constant Saturation D f(u) Fcn M 1 k 1 k s s Transfer Fcn Integrator theta _k To Workspace Scope Figur 6.10: Den ulineære model som er sat op til at give stepresponsen. Modellen er blevet anvendt til at give et steprespons for systemet uden regulator og med regulator. Resultatet ses i figur Betragtes outputtet kan det konkluderes, at systemet opfører sig meget anderledes end den lineære model. Det tager ca. 25 sekunder længere at nå indsvingningstiden. Det er dog til dels forventet pga. begrænsningen på duty cyclen. Responsen er vist med fokus på oversving og stationær fejl på figur Det kan på figur 6.12 tydeligt ses, at den stationære fejl bliver mindre ved at anvende regulatoren, hvilket ikke kan ses ved den lineære model. Den beskrevede P regulator er blevet valgt. Hvorvidt valget kunne være Regulering

57 6.3 Ulineær model Med Uden Figur 6.11: Steprespons for systemet med regulator og uden regulator baseret på den ulineære model. 1 Med Uden Figur 6.12: Steprespons for systemet med og uden regulator baseret på den ulineære model med fokus på oversving og stationær fejl. foretaget bedre, vil nu blive beskrevet. 6. Regulering 49

58 6.4 Afprøvning af regulator 6.4 Afprøvning af regulator For at vurdere design af regulator, samt for at verificere den ulineære model, er der blevet lavet en række måleserier. Forsøgsbeskrivelsen findes i afsnit 8.6 på side 84. Modellen vil først blive verificeret Verifikation af ulineær model Figur 6.13 viser stepresponset for systemet med 3 forskellige P regulatorer. I figuren er der plottet resultater fra den ulineære model (grøn) og fra forsøget (blå). Alle resultater er ved en vinkelhastighed for rotoren på 30 rad/s. 1 P=10 P=1 P= Krøjevinkel [rad] Tid [s] Figur 6.13: Steprespons for systemet ved 3 forskellige P-regulatorer. Den grønne graf er resultatet fra den ulineære model, og den blå er resultatet fra forsøg. Alle resultater er ved en vinkelhastighed for rotoren på 30 rad/s. Betragtes den midterste graf, hvor stepresponset for en P-regulator med en forstærkning på K p = 1 vises, er afvigelsen imellem model og målinger ikke af betydning. Begge grafer har nogenlunde samme karakteristik. Afvigelsen ligger i en stationær fejl for modellen, som er større end i virkeligheden. Afvigelsen i slutværdi er på ca. 0,07 svarende til ca. 7%. Desuden er stigtid og indsvingningstid mindre i virkeligheden, end modellen foreskriver. Forskellen på stigtid er ca. 3 sek, hvilket er under 14% af den reelle værdi. Derfor må modellen siges, at stemme nogenlunde overens med virkeligheden ved en regulator på 1. Det kan derfor konkluderes, at den ulineære model tilnærmelsesvis beskriver virkeligheden i et interval for P regulatoren tæt ved 1. Dette svarer til, at systemet ikke har en regulator på, da der ganges med Regulering

59 6.4 Afprøvning af regulator Graferne til højre og venstre på figur 6.13 er hhv. for en forstærkning på 10 og på 0,1. Det ses tydeligt, at modellen har nogle væsentlig andre tendenser end virkeligheden. Hvis den højre graf betragtes, ses det, at modellen resulterer i en meget større stationær fejl end den burde. Det kunne tyde på, at forstærkningen i virkeligheden er meget højere end den modellerede. Den stationære fejl er givet ved formel 6.8. Ud fra denne formel kan det ses, at K p er proportional med G OL, hvilket betyder at den statinære fejl bliver større, hvis K p bliver mindre. SS error = (lim ω 0 G OL ) (6.8) Betragtes den venstre figur, hvor regulatoren er på 10, ses det at responset begynder at oscillere, med konstant amplitude og frekvens. Dette fænomen opstår dog ikke ved modellen, uanset hvor høj forstærkning der anvendes. Det ses, at når værdien for K p bliver højere end 1, hvilket svarer til en negativ fejl, bliver resultatet et kraftigt ryk i den modsatte retning, hvorefter regulatoren forholdsvis langsomt regulerer blæseren ind til den ønskede vinkel igen, hvorefter rykket opstår på ny. Dette kunne tyde på en forsinkelse i målingen, og i aktueringen af servomotoren. En forsinkelse er altid destabiliserende. Det er hermed ikke nødvendigvis givet, hvorfor dette resulterer i en begrænset cyklus med konstant frekvens, bedre kendt ved sin engelske betegnelse limit cycle. Forklaringen skal findes i mætningen af servomotoren. En mætning kan beskrives, som en inputafhængig dæmpning, afsnit i [Franklin et al., 2002]. På figur 6.14 ses forstærkningen K som funktion af inputtet u. Det ses, at forstærkningen falder, når inputtets forstærkning stiger. Dette betyder, at forstærkningen i reguleringssløjfen vil have en maksimumværdi. K Forstærkning a Input u Figur 6.14: Generel form for den effektive forstærkning af mætning [Franklin et al., 2002]. Figur 6.15 på den følgende side viser nogle teoretiske limit cycles, hvor det kan ses, at svingningens amplitude og frekvens er uafhængig af steppets størrelse. Dermed ville yderligere forsøg kunne bekræfte eller afkræfte teorien om, at det oscillerende respons skyldes en kombination af forsinkelse og mætning Verifikation af regulatordesign For at undersøge hvordan regulatoren, designet ud fra frekvensresponset for den lineære model, performer i virkeligheden, er der blevet lavet et forsøg med regulatoren, hvor stepresponset blev målt. Resultatet af forsøget 6. Regulering 51

60 6.4 Afprøvning af regulator 10 r = 8 Amplitude, r 5 r = 4 r = Tid [s] Figur 6.15: Illustation af limit cycles for et tilstandafhængigt system med en mætning af forstærkningen i reguleringssløjfen. sammenlignet med et tilsvarende forsøg, uden regulator, og er plottet på figur Der ses en tydelig forskel på de to grafer når værdien nås. Regulatoren gør i praksis systemet dårligere. Stigtiden forbliver den samme, det samme gælder den stationære fejl, men indsvingningstiden bliver væsentligt forringet. Det formodes, at det er det lille oversving i kombination med systemets forsinkelse, som der giver de efterfølgende forstyrrelser. 1 Verifikation af regulatordesign Krøjevinkel [rad] Uden Med Tid [s] Figur 6.16: Målt steprespons for systemet med og uden regulator, ved en rotorhastighed på 30 rad/s Regulering

61 6.5 Delkonklusion på regulering 6.5 Delkonklusion på regulering Det kan konkluderes, at regulatoren ikke formåede at forbedre systemperformance, tværtimod forringede regulatoren responsen. Der er dog udviklet modeller og lavet forsøg, som skaber grundlag for at arbejde videre med nye designforslag. Det skal bemærkes, at systemet har et relativt godt steprespons uden en regulator, hvorfor det bliver svært at forbedre dette. Den stationære fejl er ens for begge tilfælde med og uden regulatoren, men det ses, at den stationære fejl falder med øget forstærkningen. Hvis forstærkningen bliver for høj, opstår der uønskede forstyrrelser i form af limit cycles. I dette kapitel blev først en P-regulator designet til systemet ud fra den lineære model. Da denne ikke tog højde for forsøgsopstillingens fysiske begrænsninger, blev stepresponsen for den ulineære model med og uden regulator undersøgt, hvorved der kunne konkluderes, at P-regulatoren giver et lille oversving, men til gengæld minimerer den stationære fejl. For at afprøve regulatoren blev den igennem forsøg testet for at se responsen. Det viste sig, at regulatoren ikke optimerede systemet, og rent faktisk havde en destabiliserende effekt. 6. Regulering 53

62 7 Konklusion Projektet tog udgangspunkt i en forsøgsopstilling, hvor rotorsystemet fra en fjernstyret modelhelikopter var monteret på et stativ, således rotoren fungerede som en blæser. Da de aerodynamiske principper for en vindmølle og en blæser blev antaget at være de samme, var projektets gyldighed i forhold til problemformuleringen bevaret. På forsøgsopstillingen blev pitchningen styret af vingerne vha. en servomotor ved, at denne blev påtrykt en given duty cycle, og ved nærmere inspektion af det mekaniske pitchsystem blev en matematisk sammenhæng mellem duty cyclen og pitchvinklen udledt. Det kunne konkluderes, at for duty cycles henholdsvis over og under 7,5% ville nacellen krøje hver sin vej, mens for duty cycles på 7,5% ville nacellen ikke krøje. Vingeprofilen på forsøgsopstillingen blev identificeret som et NACA 3312 vingeprofil, og de aerodynamiske kræfter på vingerne blev undersøgt. Herudfra blev en model til beskrivelse af det resulterende moment omkring krøjeakslen som funktion af duty cyclen, udviklet i MATLAB Simulink. Dette blev gjort efter bladelement-metoden ved at opdele vingen i 10 stykker og beregne kræfterne på hvert enkelt vingestykke, som herefter blev summeret. Derved kunne det resulterende moment omkring krøjeakslen beregnes. Slutteligt, for den teoretiske model, blev en karakteristik af nacellen udledt, som beskrev nacellens krøjning ud fra en given momentpåvirkning. Til dette formål blev den statiske friktion (0,19 Nm) og den dynamiske friktionskoefficient (0,249 Nm s) hver især bestemt gennem forsøg. Det kunne konkluderes, at den statiske friktion er negligerbar i forhold til modelleringen af systemet. Desuden blev inertimomentet for blæseren igennem Solidworks bestemt (0,092 kg m 2 ). MATLAB Simulink modellen af rotorens karakteristik blev herefter forsøgt verificeret igennem to forsøg. Dette blev først gjort ud fra en test, hvor momentpåvirkningen på krøjeaklsen blev målt ved hjælp af strain gauges, både som funktion af duty cyclen og som funktion af rotorens vinkelhastighed. Derefter blev sammenligningen foretaget på baggrund af en test, hvor nacellens krøjehastighed blev målt for forskellige duty cycles. Da nacellen i sidstnævnte test krøjede med konstant hastighed, kunne det resulterende moment igen findes som funktion af duty cyclen. Ved at sammenligne med tilsvarende resultater fra MATLAB Simulink modellen kunne det konkluderes, at resultaterne fra simuleringen var væsentligt højere end de målte resultater, men at den viste de samme tendenser som måleværdierne. Da der under modelleringen af kræfterne på vingerne viste sig problemer med anvendelsen af teori for vindmøller, kan denne muligvis ikke direkte overføres til at gælde for en blæser. At forsøgene derudover afveg fra den teoretiske model, skyldtes sandsynligvis, at modellen ikke tog højde for bøjede navstænger eller skæve vinger på forsøgsopstillingen. Ydermere kan det være et problem, at vingeprofilen anvendt i modelleringen ikke helt svarer til den faktiske vingeprofil, hvilket vil resultere i andre aerodynamiske kræfter på vingen. Da den opstillede model for rotorkarakteristikken derfor ikke kunne verificeres, blev en empirisk model for det 54

63 resulterende moment udledt. Idet den empiriske model skulle have både duty cyclen og rotorens vinkelhastighed som input, var den ulineær. Da dele af designproceduren for regulatoren anvendt i dette projekt kun gør sig gældende for lineære, tidsinvariante systemer, blev denne derfor lineariseret. Ved at linearisere og antage at vinkelhastigheden på rotoren var konstant, ville modellen ikke længere tage højde for systemets dynamik i forhold til varierende vinkelhastigheder. For at designe en regulator til systemet, blev stepreponsen for den lineære model uden regulator undersøgt. Systemet havde et oversving på 5 % samt en indsvingningstid på 1,06 s. For at gøre systemet hurtigere blev en P-regulator designet ud fra et ønske om at have en fasemargin PM = 45. Herved blev det fastlagt, at regulatoren skulle have en forstærkning på G c = Dette gav en hurtigere stigtid på 0,47 s, hvilket gav et oversving på 23 %. Da den fornævnte regulator ikke tog hensyn til forsøgsopstillingens fysiske begrænsninger, blev en ulineær model for systemet herefter opstillet, hvor duty cyclen blev begrænset til intervallet [5 %;11 %]. Dette gav anledning til, at indsvingstiden steg med ca. 25 s, hvilket var forventet netop grundet begrænsningen af duty cyclen. Dog blev den stationære fejl mindre ved implementeringen af regulatoren. Den designede regulator blev herefter testet på forsøgsopstillingen. Herved kunne det konkluderes, at den ikke havde en positiv effekt på systemets steprespons, idet den forlængede indsvingningstiden uden at have en tilsvarende positiv effekt. Dette skyldes hovedsageligt, at modellen ikke tog højde for begrænsningen af duty cyclen, og at der ikke blev taget højde for servomotorens reaktionstid. Regulatoren vil derfor formentlig kunne optimeres, hvis en mere præcis model baseret på forsøget beskrevet i afsnit 8.6 på side 84 blev anvendt. Formålet med dette projekt var at undersøge, hvordan pitchstyringen af en vindmølle kunne reguleres, så en ønsket krøjning blev opnået. Da den designede regulator ikke opfylder dette, blev forskellige P-regulatorer testet på det fysiske system. Heraf kunne det konkluderes, at en regulator på G c 1 performede bedst. Dette betyder, at et lukket-sløjfe system uden regulator vil være tilstrækkelig til at regulere pitchstyringen på forsøgsopstillingen. 7. Konklusion 55

64 Litteratur Abbott og Doenhoff, Ira H. Abbott og Albert E. Von Doenhoff. Theory of Wing Sections. ISBN: , 2. Edition. Dover Publications, Inc., Bertin og Cummings, John J. Bertin og Russell M. Cummings. Aerodynamics For Engineers. ISBN: Prentice Hall, 5. udgave edition, DreeseCODE Software, LLC, DreeseCODE Software, LLC. DesignFOIL. URL: Tilgængelig: Energiministeriet, Energiministeriet. Dansk klima- og energipolitik. URL: dkklimaogenergipolitik.aspx, Tilgængelig: Franklin, Powell, og Emami-Naeini, Gene F. Franklin, J. David Powell, og Abbas Emami-Naeini. Feedback Control of dynamic systems. ISBN: , 4. Edition. Prentice Hall, Hans Møller, Hans Møller. Vestas. URL: og_ledelse/erhvervsliv/erhvervsvirksomheder/vestas, Tilgængelig: Hansen, Martin O. L. Hansen. Aerodynamics of Wind Turbines. ISBN: , 2. Edition. Earthscan, Henrik Clemmesen, AAU Henrik Clemmesen. Samtale om friktion 15/ , Høgh, Søndergaard, Nielsen, Andersen, og Knudsen, Dianna Nymark Høgh, Søren Reinholt Søndergaard, Morten Lundby Nielsen, Rasmus Foldager Andersen, og Rene Lehmann Pultz Knudsen. Alternativt krøjesystem til vindmølle, P5 rapport, Hitec, Hitec. Annoumced Specification of HS-625MG Standard Deluxe High Speed Servo, Jewett og Serway, John Jewett og Raymond A. Serway. Physics for Scientists and Engineers , 7. Edition. Cengage Learning, Manwell, McGowan, og Rogers, J. F. Manwell, J. G. McGowan, og A. L. Rogers. Wind Energy Explained. ISBN: (H/B), 3. Edition. Wiley, Marshall Brain, Marshall Brain. How Helicopters Work. URL: Tilgængelig: Meriam og Kraige, J. L. Meriam og L. G. Kraige. Dynamics. ISBN: , 6. Edition. Wiley,

65 LITTERATUR NACA airfoil, NACA airfoil. NACA airfoil. URL: Tilgængelig: Phillips og Harbor, Charles L. Phillips og Royce D. Harbor. Feedback Control Systems. ISBN: , 4. Edition. Prentice Hall, Ryan Jones, Ryan Jones. Classictubeamps. URL: Tilgængelig: Vindmølleindustrien, Vindmølleindustrien. Rundtur i vindkraftens verden. URL: Tilgængelig: LITTERATUR 57

66 8 Appendiks A: Forsøgsjournaler I dette kapitel er forsøgene udført under projektforløbet samlet og beskrevet med forsøgsjournaler. Først er vindens hastighed bestemt som funktion af radius på vingen, herefter er der foretaget målinger af momentet på rotoren som funktion af den påtrykte dutycycle ved hjælp af strain-gauges. Dernæst er et potentiometer blevet testet for at bestemme sammenhængen mellem spændingsudslaget og nacellens position. Potentiometeret anvendes herefter til at bestemme friktionen i kuglelejet, og sammenhængen mellem hvor meget vingerne er pitchet og hastigheden, hvormed nacellen krøjer, er desuden undersøgt. Afslutningsvis er potentiometeret anvendt til at sammenligne blæserens steprespons med og uden regulatoren. 8.1 Måling af vindhastigheder forårsaget af vingens bevægelse Formål Formålet med dette forsøg er at bestemme de aksielle vindhastigheder som funktion af radius på vingen. Pitchvinklen og omdrejningstallet er to variable, der påvirker vindhastigheden, hvorfor sammenhængen mellem vindhastighed og pitchvinkel samt sammenhængen mellem vindhastighed og omdrejningstal skal bestemmes individuelt. Udstyr Komponent Fabrikant AAU nr Thermal conductivity apparatus Pasco N/A DAQ National Instrument Anemometer DC-Power supply GW Instex DC-Power supply GW Instex Tabel 8.1: Tabel over anvendt udstyr til forsøget. Teori Rotoren består af to vinger, der roterer ved et givent omdrejningstal. Hver gang en af vingerne passerer et givent punkt i rotorplanen, vil vingen påvirke de omkring liggende luftmolekyler og accelerere disse i en retning med en komposant, der er vinkelret på rotorplanen. Dette kaldes en mekanisk bølge, da den er iværksat af en mekanisk bevægelse og forplanter sig i et medium (luften) [Jewett and Serway, 2007]. Er der ingen eksterne kræfter til at dæmpe bølgen, vil den mekaniske bevægelse lave en sinusformet halvbølge, som vil flytte sig i en given retning med samme amplitude. Se figur 8.1 for illustration. Da vingerne påvirker luftmolekylerne i hele rotorplanen på forskellige tidspunkter, vil de varierende pulser skabe hvirvelstrømme, når luftstrømmene blandes. Luftstrømmene kan derfor karakteriseres som en turbulent 58

67 8.1 Måling af vindhastigheder forårsaget af vingens bevægelse v vt 1 v A t 0=0 t t1 t Figur 8.1: To stillbilleder af en bevægelse af en puls med en hastighed v. Side 489 i [Jewett and Serway, 2007]. strømning, og vindhastighederne bestemmes derfor som en gennemsnitlig værdi ud fra en længerevarende måleserie foretaget under samme forhold (omdrejningstal og pitchvinkel). Forsøgsbeskrivelse Følgende fremgangsmåde er anvendt: 1. At drive vingerne i rotorplanen kræver en spændingsforsyning tilsluttet motorterminalerne, der kan levere en strøm på 6A. Ved at ændre på spændingen kan omdrejningstallet bestemmes. Dette gøres ved at variere spændingen, indtil hall-sensoren giver et output svarende til det ønskede omdrejningstal. 2. Herefter tilsluttes en spændingsforsyning til den servomotor, der styrer pitchvinklen. Spændingen indstilles til 4, 8V med en strømbegrænsning på 500mA for at sikre, at servomotoren ikke brændes af. Pitchvinklen ændres ved at indstille duty cyclen på servomotoren. Denne sammenhæng er givet ved formel 4.15 på side 15. En duty cycle på D = 7,5% giver teoretisk en konstant cyklisk pitchvinkel på Afslutningsvis måles vindhastigheden med et anemometer, der er tilsluttet en DAQ. Figur 8.2 viser hvor på vingen, målingerne foretages. 4. Vindhastighederne måles på de markerede punkter i 10 sekunder ad gangen, og gennemsnitsværdien for hvert punkt anvendes. Der måles konsekvent ved en rotorvinkel på Dataopsamlingen er gennemført ved et LabVIEW program beskrevet i kapitel 10 på side 90, og databehandlingen er foretages vha. følgende MATLAB script: < CD/MAT LAB/vindmaaling.m >. A B C D E 0 cm 6,5 cm 15 cm 22,5 cm 31 cm 39 cm Figur 8.2: Punkterne på vingen hvor vindhastigheden måles. Vindhastighed-Omdrejningstal I forsøget hvor sammenhængen mellem vindhastigheden og omdrejningstallet bestemmes, sættes duty cyclen til D = 7,5% på servomotorens kontrolport. Målingerne foretages i intervallet 100RPM til 350RPM med 50RPM mellem hver måling. Omdrejningstallet varieres ved at ændre spændingen over DC motoren, og aflæses ved hjælp af hall-sensoren. 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 59

68 8.1 Måling af vindhastigheder forårsaget af vingens bevægelse Vindhastighed-Pitchvinkel I forsøget til at bestemme sammenhængen mellem vindhastigheden og pitchvinklen sættes omdrejningstallet til 200RPM. Målingerne foretages i intervallet D = [5% : 7,5%] med et step på 0,5% i mellem hver måling. Databehandling Som beskrevet ovenfor pulserer vingens mekaniske bevægelse i rotorplanen vinden i en sinusformet halvbølge. Figur 8.3, viser målinger over 10 sekunder, og bekræfter delvis denne teori. De første målinger ved henholdsvis 100RPM og 150RPM viser tydeligt en karakteristik af nogle pulser. Den sidste måling på 200RPM har en række mindre pulser, der er svære at skelne fra støj og turbulens. Dette kan skyldes, at højere omdrejningstal giver flere pulser, og dermed flere hvirvelstrømme, som blandes op i den omkringliggende vind. På baggrund af disse forhold anvendes en gennemsnitsværdi ud fra en længerevarende måling til at beregne vindhastigheden ved et givet omdrejningstal og en given position på vingen. Sammenhæng mellem vindhastighed og omdrejningstal Måleresultaterne kan ses på figur 8.4. Til trods for, at der er mange usikkerheder forbundet med målepunkterne langs vingen grundet turbulens i strømningen, viser de forskellige målinger, at der er en tydelig sammenhæng mellem graferne med et toppunkt omkring 25 30cm fra akslen. I udtrykket for normalkraften på vingen givet ved 4.35 indgår den relative vindhastighed i 2. potens. Da den målte vindhastighed blot er en komposant af den samlede vindhastighed, vil små værdier ikke have stor betydning. Ydermere ses i formel 4.37, at momentbidraget fra et givet stykke af vingen er givet ved normalkraften ud af vingen gange en arm. Da momentarmen i det første stykke af graferne i figur 8.4 er kort og vindhastighederne relativt små, vil det samlede momentbidrag ikke påvirkes betydeligt af det første vingestykke. Derfor undlades det første stykke op til 15cm fra akslen i kurvefittet. Figur 8.4 viser, at der tilnærmelsesvis er en lineær sammenhæng mellem vindhastigheden og omdrejningstallet, når radius holdes konstant. Denne sammenhæng er illustreret i figur 8.5. På grund af den lineære sammenhæng er det tilstrækkeligt at lave et enkelt kurvefit af graferne, der optræder i figur 8.4, og derefter skalere denne ud fra den lineære sammenhæng til et ønsket scenarie. Da modellerne er baseret på vinkelhastigheder, omregnes omdrejningstallet ved følgende ligning. ω = x rpm 2π 60s/m (8.1) RPM RPM RPM Figur 8.3: En måling på 10 sekunder over vindens hastighed på position E for forskellige omdrejningstal Appendiks A: Forsøgsjournaler

69 8.1 Måling af vindhastigheder forårsaget af vingens bevægelse 2.5 Vindhastigheder ved varierende RPM og duty cycle på 0,075 2 Vindhastighed [m/s] Afstanden fra aksel til positionen på vingen [m] Figur 8.4: Målinger af vindhastigheden langs vingen ved forskellige omdrejningstal. 1.aksen angiver afstanden fra nav til positionen på vingen (armen) og 2.aksen angiver vindhastigheden Vindhastigheder ved varierende RPM og fast målings position på midten af vingen Målepunkter y=0.0062x Vindhastighed [m/s] Omdrejningstallet [RPM] Figur 8.5: Lineær sammenhæng mellem vindhastigheden og omdrejningstallet ved position C. I formel 8.2 er den lineære sammenhæng af vindhastigheden som funktion af omdrejningstallet, omregnet til en vindhastighed som funktion af vinkelhastigheden. V a,rpm = 0,0062 x rpm 0,0635 [m/s] V a,ω = 6, ω 0,0066 [m/s] (8.2) V a,rpm Aksial vindhastighed som funktion af omdrejningstallet (x rpm ) [m/s] V a,ω Aksial vindhastighed som funktion af vinkelhastigheden (ω) [m/s] x rpm Omdrejningstallet [o/min] ω Vinkelhastighed [rad/s] 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 61

70 8.1 Måling af vindhastigheder forårsaget af vingens bevægelse Sammenhæng mellem vindhastighed og duty cycle Det ses ud fra figur 8.6, at der tilnærmelsesvis er en lineær sammenhæng mellem vindhastigheden og duty cyclen ved en fast position. Kræfterne på vingerne ændres med pitchvinklen, hvorfor omdrejningstallet stiger eller falder. Derfor skal rotationshastigheden påny indstilles til 200RPM ved alle målinger. Der er af den grund mindre usikkerheder forbundet med indstillingen af omdrejningstallet ved hvert målepunkt, hvilket kan være forklaringen på, hvorfor enkelte målepunkter afviger mere end andre Vindhastigheder ved varierende duty cycle og 200 RPM Målt data y= x Vindhastighed [m/s] Duty cycle Figur 8.6: Tilnærmelsesvis liniær sammenhæng mellem vindhastigheden og duty cyclen ved et omdrejningstal på 200 RPM ved position C. Den lineære sammenhæng er givet ved formel 8.3. V duty Aksial vindhastighed som funktion af duty cyclen [m/s] D Duty cycle [%] V duty = 34,1053 D + 3,7747 (8.3) I afsnit 4.2 er det mekaniske bindingsled mellem servomotoren og vingerne undersøgt. Figur 8.7 viser sammenhængen mellem pitchvinklen og duty cyclen ved en rotorvinkel på 270. Kurvefittet for denne graf givet ved formel 8.4 viser, at der er en lineær sammenhæng mellem påtrykt duty cycle og den resulterende pitchvinkel. β pitch Pitchvinklen [ o ] D Duty cyclen [%] β pitch = 580,8842 D + 54,0490 (8.4) Formel 8.3 omskrives, således at den aksiale vindhastighed som funktion af duty cyclen i stedet er givet som funktion af pitchvinklen. Først isoleres duty cyclen D i formel 8.4 og dernæst indsættes udtrykket i foregående formel Appendiks A: Forsøgsjournaler

71 8.1 Måling af vindhastigheder forårsaget af vingens bevægelse Pitchvinkel som funktion af duty cycle ved en rotorvinkel på 270 grader Målt data Kurvefit 22 Pitchvinkel [ ] Duty cycle Figur 8.7: Sammenhængen mellem pitchvinkel og duty cyclen ved en rotorvinkel på 270. D = β pitch 54,049 = 0, β pitch + 0, , 88 V pitch = 0,05871 β pitch + 0,6013 (8.5) Skaleringsfaktorer De lineære sammenhænge gør det muligt at skalere et enkelt kurvefit af graferne på figur 8.4 med et forudbestemt duty cycle og omdrejningstal til et ønsket scenarie. To variable skaleringsfaktorer skal derfor indføres; henholdsvis skaleringsfaktoren for duty cyclen K duty og skaleringsfaktoren for omdrejningstallet K rpm. Kurvefittet vælges til at være over målingerne der er foretaget ved et omdrejningstal på 350RPM (= 36, 6519 rad/s) og en duty cycle D = 7,5%, dvs. en konstant cyklisk pitchvinkel på 10. Ved disse værdier skal skaleringsfaktorerne have værdien 1. For at bestemme skaleringsfaktorerne bestemmes først output et ved de angivne værdier. V omega (36,6519) = 6, ,6519 0,0066 = 0,0172 V pitch (10) = 0, ,6013 = 1,1885 Dernæst skal disse ligninger skaleres i forhold til output et, og derved er de variable skaleringsfaktorer bestemt. 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 63

72 8.1 Måling af vindhastigheder forårsaget af vingens bevægelse K omega = V omega = 0, ω 0, [ ] 0,01719 K duty = V pitch 1,1885 = 0,04940 β pitch 0,50598 [ ] Kurvefit og anvendelse af skaleringsfaktoren Kurvefittet for omdrejningstallet 350RPM (= 36, 6519 rad/s) og duty cycle på 7, 5% bestemmes ved MATLABs polyfit funktion til at være et 3. grads polynomium, se formel 8.6. V a (r) = 95,0065 r 3 155,4007 r ,1595 r 7,0873 (8.6) V a Aksial vindhastighed ud af rotorplanen [m/s] r Afstanden fra aksel til vingestykke [m] Skaleringsfaktorerne kan nu ganges på 4. grads polynomiet, og dermed kan den samlede model for den aksiale vindhastighed opskrives ved formel 8.7. V a (r,ω,d) = K omega (ω) K duty (D) (95,0065 r 3 155,4007 r ,1595 r 7,0873 ) (8.7) V a Den aksiale vindhastighed ud af rotorplanen [m/s] r Afstanden fra aksel til vingestykke [m] ω Vinkelhastigheden [rad/s] D Duty cyclen [%] På figur 8.8 kan nøjagtigheden af den matematiske model for vindhastigheden ses. Her skal det bemærkes, at graferne er lavet ud fra omdrejningstal RPM og ikke vinkelhastigheder. Vindhastighed [m/s] Vindhastigheder ved varierende RPM og duty cycle på 0, RPM 150 RPM 200 RPM 250 RPM 300 RPM 350 RPM Sorte linjer linreg Afstanden fra aksel til positionen på vingen [m] Figur 8.8: Kurvefit af de aksiale vindhastighedsmålinger langs vingen ved forskellige omdrejningstal Appendiks A: Forsøgsjournaler

73 8.2 Måling af moment Fejlkilder Grundet pulsering af vinden vil der opstå hvirvelstrømme, turbulens og en sammenblanding af hurtigere og langsommere vinde. Dette vil give målinger der ikke er ensartede, selvom de blev foretaget med samme duty cycle, omdrejningstal og position på vingen. Vindmåleren blev håndholdt, mens målingerne blev foretaget, og derfor er der mindre usikkerheder forbundet med den nøjagtige position på vingen, hvor målingerne er foretaget. Omdrejningstallet svingede i intervallet ±2RPM omkring det indstillede omdrejningstal. Diskussion og konklusion Modellen for den aksiale vindhastighed giver en hastighedsprofil for vinden langs vingen, og denne kan tilpasses et ønsket scenarie med et givet omdrejningstal og duty cycle. Det ses tydeligt i figur 8.8, at modellen er lavet over den gule graf (350RPM), hvor resten af kurverne er skaleret i forhold til denne. De andre kurver rammer ikke målepunkterne helt præcist, men giver dog acceptable resultater i intervallet mellem 100RPM til 350RPM, da tendensen stemmer overens med målingerne. Fejlkilderne taget i betragtning er vindmodellen anvendelig i den samlede model, hvor det resulterende moment modelleres som funktion af duty cyclen, idet den giver tendensen i de reelle vindprofiler, når vindprofilerne holder sig indenfor de fastsatte grænser; henholdsvis RPM og 5 7,5% duty cycle. 8.2 Måling af moment Formål For at verificere hvorvidt de opstillede matematiske modeller for krøjemomentet som funktion af duty cyclen er korrekte udføres et forsøg, hvor det resulterende moment på rotoren måles som funktion af duty cyclen, servomotoren påtrykkes. Til dette benyttes strain gauges koblet i en wheatstone bro, som måler momentet ved at måle ændringen i spænding over en af strain gauges ne. Først bestemmes spændingsudslaget under påvirkning af kendte momenter. Herefter måles spændingsudslaget, når vingerne er i bevægelse. Teori En strain gauge er en metallisk folie, som har en elektrisk modstand. Når strain gaugen ændrer dimension, vil den elektriske modstand også ændre sig. Ved at fastmontere en strain gauge på en aksel, som påvirkes af et moment, vil vridningen i akslen deformere strain gaugen, hvorved den elektriske modstand ændres. Til måling af vridningen i akslen placeres fire strain gauges i en wheatstone bro, der er udformet som vist på figur 8.9 på den følgende side. Ved at påtrykke en fast spænding V ind over broen bestående af fire ens modstande, vil spændingsfaldet V ud være nul. Ved at variere en eller flere af modstandene som resultat af deformationen af strain gaugen, vil spændingen V ud ligeledes variere. Udstyr og forsøgsopstilling Til forsøget er brugt følgende udstyr: 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 65

74 8.2 Måling af moment R 1 R 3 V ind V ud R 2 R 4 Figur 8.9: Wheatstone bro. Komponent Fabrikant AAU-nr. Dynamometer Strømforsyning SW INSTEX GPS Multimeter HP-973A Tabel 8.2: Apparater brugt til forsøg På figur 8.10 ses opkoblingen af strain gauges og hall-sensor til forsøget Strain gauge Hall sensor PFI1 +5V DGND AI1 AI GND 1 kω modstand Figur 8.10: Opkobling af forsøgsopstilling til test af strain gauges. Strain gauges måler moment omkring krøjeaksen på blæseren og hall sensoren måler rotorhastigheden. Forsøgsbeskrivelse For at undersøge momentet omkring nacellen fikseres krøjemekanismen, og en solid momentarm fastmonteres, således at en momentpåvirkning ikke vil deformere forsøgsopstillingen andre steder end i akslen mellem nacelle og tårn. Til dette forsøg blev der brugt en 0,15m lang arm, som ved brug af et dynamometer blev påvirket med en kraft fra 0N til 5N vinkelret på armen i positiv omløbsretning (mod uret). Forsøgsopstillingen er vist på figur 8.11 på modstående side. Ved en fast forsyningspænding V ind på 10V over wheatstone broen, noteres V ud for hver gang kraftpåvirkningen øges. Momentpåvirkningen fra vingerne giver små spændingsforskelle mellem Appendiks A: Forsøgsjournaler

75 8.2 Måling af moment brokoblingerne. For at måle denne spænding skal signalet forstærkes. Til dette anvendes et digitalt strainmeter. Det forstærkede signal kobles op med en DAQ, som anvendes til at logge målt data. Dataopsamlingen er gennemført ved et LabVIEW program beskrevet i kapitel 10 på side 91, og databehandlingen er foretaget vha. følgende MATLAB script: <CD/MATLAB/moment-strain-gauge.m>. 300 mm Mn Figur 8.11: Forsøgsopstilling af krøjemoment test. Blæseren påvirkes af en kraft ved at trække i et newtonmeter i en afstand på 150 mm fra aksen, der giver et krøjemoment. Databehandling Der blev foretaget 10 forskellige målinger i intervallet 0N til 5N. Momentet strain gauges ene blev påvirket af udregnes udfra den påtrykte kraft og den påmonterede momentarm. Dette er vist på figur På figuren er en tendenslinje er tilføjet, hvorved et udtryk for krøjemomentet som funktion af spændingen over målebroen kan findes: 0.8 Moment som funktion af spænding Moment [Nm] Spænding [V] Figur 8.12: Krøjemomentet som funktion af spændingen over wheatstone bro. 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 67

76 8.2 Måling af moment M = 26,1628 V ud 0,0532 [Nm] Formlen anvendes til at kalibrere spændingsmålingerne over wheatstone broen, når vingerne er i bevægelse, således momentet kan beregnes udfra spændingsudslaget. Det ses tydeligt på grafen, at der er et mindre offset i målingerne til trods for, at offsettet er nulstillet manuelt i det digitale strain-meter. Offsettet er målt til at være (V, M) = (2,03mV,0Nm). For at flytte grafen så den går gennem origo, skal alle målepunkter justeres med 2,03mV. Hermed fås formel 8.8, der opfylder superpositionsprincippet. M = 26,1628 V ud [Nm] (8.8) Vingernes bevægelse rundt i rotorplanen skaber et varierende krøjemoment i akslen. Disse varierende momenter er målt for en testopstilling med et omdrejningstal på 200RPM og en duty-cycle på 5% over en periode på 10 sekunder. Resultatet kan ses på figur Det ses tydeligt, at værdierne varierer meget, og af den grund anvendes gennemsnitsværdien for en måleserie på 10 sekunder i alle opstillinger. Grafen viser spændingsudslaget over wheatstone bro med vingerne i bevægelse Spænding [V] Samples Figur 8.13: Spændingsudslaget over wheatstone broen med vingerne i bevægelse. Figur 8.14 på næste side viser histogrammer over måleserier på henholdsvis 5% og 10% duty cycle, hvor omdrejningstallet er på 250RPM for begge målinger. 1.aksen viser de målte momenter og 2.aksen angiver hyppigheden af de målinger. Histogrammerne giver et tydeligt billede af, at målingerne er forskudt omkring origo. Den øverste graf med 10% duty cycle har en middelværdi på M = 8, Nm, mens den nederste måleserie har en middelværdi på M = 7, Nm. Krøjemoment ved fast omdrejningstal og varierende duty-cycle Målingerne viser, at der er en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng mellem krøjemomentet og duty cyclen ved faste omdrejningstal. Figur 8.15 på side 70 viser målinger krøjemomentet og duty cyclen for forskellige omdrejningstal i intervallet [100 : 250]RPM. Det ses, at den lineære sammenhæng gøre sig gældende i alle tilfælde. Figuren viser også et kurvefit af graferne for omdrejningstal på 100RPM og 250RPM. Som det ses i figuren, er Appendiks A: Forsøgsjournaler

77 8.2 Måling af moment 600 Måleserie #77 ved 250RPM og duty cycle på 10% Måleserie #7 ved 250RPM og duty cycle på 5% Figur 8.14: Disse histogrammer viser hyppigheden af målingerne for henholdsvis et omdrejningstal på 250 RPM med en duty cycle på 10% og et omdrejningstal på 250 RPM med en duty cycle på 5%. disse måleserier de ydre grænser for alle måleserierne, og deres forskrifter ses i i formel 8.9. M 100 (D) = 0,04523 D + 0, M 250 (D) = 0,30328 D + 0, (8.9) Det viser sig, at alle graferne skærer første aksen ved en duty cycle i intervallet [0,07 : 0,075]. Da de to forskrifter skærer hinanden i punktet (D;M) = (0,0735;0,22365mNm), defineres dette til at være nulpunkt for modellen, dvs. den duty cycle der giver et moment på 0Nm. Yderligere ses det, at hældningen på graferne falder med omdrejningstallet. Til at finde en model der beskriver momentet som funktion af både duty cycle og omdrejningstal anvendes derfor en fremgangsmåde, hvor det antages, at både hældningen og offsettet ændrer sig lineært med omdrejningstallet inden for grænseværdierne. Disse sammenhænge kan findes i formel 8.10 på den følgende side for hældningen og formel 8.11 på næste side for offsettet. De punkter der er anvendt til at finde de lineære sammenhænge er henholdsvis hældningerne og skæringerne med anden aksen i formel 8.9. Da den samlede model anvender hastigheder omregnes omdrejningstallet desuden til vinkelhastighed. 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 69

78 8.2 Måling af moment 8 x Strain gauge målinger ved faste omdrejningstal og varierende duty cycles 100 RPM 125 RPM 150 RPM 175 RPM 200 RPM 225 RPM 250 RPM Linfit 250 RPM Linfit 100 RPM 2 Moment [Nm] Duty Cycle (%) Figur 8.15: Grafen viser krøjemoment som funktion af duty cyclen ved faste omdrejningstal, samt et kurvefit af graferne for 100 RPM og 250 RPM. Hældningen y = a x + b a = y 2 y 1 0,30328 ( 0,045232) = ω 2 ω pi/ pi/60 = 0, b = y a x = 0,30328 ( 0,016428) pi/60 = 0,12680 K a (ω) = = 0, ω + 0,12680 (8.10) Offset y = a x + b a = y 2 y 1 0, , = ω 2 ω pi/ pi/60 = 0, b = y a x = 0, , pi/60 = 0, K b (ω) = = 0, ω 0, (8.11) Forskrifterne for de to lineære sammenhænge mellem offsettet og mellem hældningerne, giver anledning til at bestemme den endelige model for krøjemomentet som funktion af både vinkelhastighed ω og duty cycle D. Udledningen af modellen er givet ved formel 8.12 på næste side Appendiks A: Forsøgsjournaler

79 8.2 Måling af moment M(D,ω) = K a (ω) D + K b (ω) M(D,ω) = 0, ω + 0,12680 D + 0, ω 0, M(D,ω) = 0, D ω + 0,12680 D + 0, ω 0, (8.12) Resultatet af modellen kan ses på figur 8.16, hvor den stiplede linje er modellens resultat og den fuldt optrukne linje er målingerne. Som det ses i figuren stemmer modellen pænt overens med målingerne. Der er enkelte afvigelser, men set i lyset af at alle de anvendte målepunkter er gennemsnitsværdier af et oscillerende signal, er disse afvigelser dog acceptable. 8 x Krøjemoment som funktion af duty cycle og vinkelhastighed modellen 10,47 rad/s 13,09 rad/s 15,71 rad/s 18,33 rad/s 20,94 rad/s 23,56 rad/s 26,18 rad/s Moment [Nm] Duty Cycle (%) Figur 8.16: Krøjemoment som funktion af duty cyclen ved faste omdrejningstal, samt et kurvefit af graferne for 100 RPM og 250 RPM. Krøjemoment ved fast duty cycle og varierende omdrejningstal Målingerne for momentet ved varierende omdrejningstal og faste duty cycles er vist i figur 8.17 på næste side. Spændingen over strain gauges ene er direkte omregnet til momenter ved formel 8.8 på side 68. Igen ses, at der er et mindre offset i målingerne, da det tyder på, at alle måleserier gåt mod samme punkt for omdrejningstallet gående mod nul. Offsettet bestemmes derfor ved at lave kurvefit af alle grafer for derefter at lade disse forskrifter løbe mod et omdrejningstal på nul. Omdrejningstallet omregnes igen til vinkelhastigheder for at ensarte variablerne i den samlede model. Figur 8.18 på næste side viser det område hvor graferne skærer hinanden. 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 71

80 8.2 Måling af moment 4 x 10 3 Strain gauge målinger ved faste duty cycles og varierende omdrejningstal 2 0 Moment [Nm] % duty 5,5% duty 6% duty 8 6,5% duty 7% duty 7,5% duty 10 8% duty 8,5% duty 9% duty 9,5% duty % duty Omdrejningstal [o/min] Figur 8.17: Krøjemoment som funktion af omdrejningstal ved forskellige duty cycles. Moment [Nm] 4 x Strain gauge målinger ved faste duty cycles og varierende vinkelhastigheder 5% 5,5% 6% 6,5% 7% 7,5% 8% 8,5% 9% 9,5% 10% Vinkelhastigheder [rad/s] Figur 8.18: Visning af punktet, hvor graferne for moment som funktion vinkelhastigheden skærer hinanden. Graferne skærer hinanden i intervallet ω = [8 : 9,5]rad/s og M = [ 3,4 : 3,7]mNm. Skæringspunktet bestemmes til at være (ω,m) = (9rad/s; 3,6mNm), og derfor justeres alle målepunkter med et offset på 3,6mNm. Da alle grafer skærer hinanden i samme område, er fremgangsmåden til at bestemme en model for krøjemomentet som funktion af vinkelhastigheden ved faste omdrejningstal, at alle graferne har samme skæringspunkt med første aksen, og at grafernes hældninger og skæring med anden aksen korreleres lineært med duty cyclen. Skæringspunktet med første aksen for modellen bestemmes udfra justeringerne af offsettet til at være Appendiks A: Forsøgsjournaler

81 8.2 Måling af moment (ω,m) = (9rad/s;0Nm). Sammenhængen mellem duty cycle ene og hældningerne samt skæringerne med anden aksen kan ses på figur x [Nm s] Målepunkter A Målepunkter B 3 Kurvefit A Kurvefit B Duty cycles Figur 8.19: De to grafer viser sammenhængen mellem duty cyclen og hældningen af kurvefittet for momentet som funktion af vinkelhastigheden og sammenhængen mellem duty cyclen og skæringen med 2. aksen for kurvefittene. Det viser sig, at der er en forholdsvis lineær sammenhæng, og forskriften for de optrukne tendenslinjer er givet ved formel K a (D) = 0, D + 0, K b (D) = 0,14244 D 0, (8.13) Disse forskrifter angiver koefficienterne til den resulterende model for krøjemomentet som funktion af duty cycle ved faste omdrejningstal. Denne vil dermed være givet ved formel M(ω,D) = K a (D) ω + K b (D) M(ω,D) = ( 0, D + 0, ) ω + 0,14244 D 0, M(ω,D) = 0, D ω + 0,14244 D + 0, ω 0, (8.14) Formlen er afprøvet og plottet sammen med målepunkterne i figur 8.20, så det er muligt at vurdere modellens nøjagtighed. 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 73

82 8.2 Måling af moment Moment [Nm] 8 x Afprøvning af krøjemoment modellen 5% 5,5% 6% 6,5% 7% 7,5% 8% 8,5% 9% 9,5% 10% Vinkelhastigheder [rad/s] Figur 8.20: Modellen afprøvet. Målingerne er ligeledes plottet i grafen, så det er muligt at sammenholde resultaterne. Fejlkilder Støj og forstyrrelser ved måleserier under fastdefinerede forhold. Eksempelvis varierede omdrejningstallet omkring det indstillede niveau. Målingerne oscillerede, selvom omdrejningstallet og duty cyclen blev indstillet til en konstant værdi. Der er anvendt en fullbridge wheatstone kobling af strain gauges ne, med en brokobling på hver sin side af akslen. Selvom denne fullbridge wheatstone kobling gør målingerne mindre følsom overfor temperaturændringer, så har der været en ujævn fordeling af temperaturpåvirkninger over wheatstone brokoblingerne, hvilket kan have påvirket målingerne. Konklusion Den samlede model for krøjemoment som funktion af duty cycle og vinkelhastigheder blev fundet med to forskellige fremgangsmåder. Begge fremgangsmåder resulterede i modeller, der afviger meget lidt fra hinanden. Modellen viser, at der er en lineær sammenhæng mellem krøjemomentet og duty cyclen eller vinkelhastigheden, hvis en af disse variable holdes konstant Appendiks A: Forsøgsjournaler

83 8.3 Test af potentiometer 8.3 Test af potentiometer Formålet med forsøget er at undersøge sammenhængen mellem en givet position for nacellen og spændingen over potentiometret. Teori Et potentiometer består af tre terminaler og en kontakt, der kan rotere, som illustreret på figur Figur 8.21: Roterende potentiometer [Ryan Jones, 2009]. Signalterminalen kaldes wiperen og kan rotere 270 grader. Ved tilslutning af wiper og en forsyningsterminal fungerer potentiometret som en variabel modstand, når wiperen roterer. Ved tilslutning af alle terminaler kan potentiometret bruges som en spændingsdeling som vist på figur Et ækvivalent diagram er desuden illustreret på figur signal 4,93 V R 1 R x V pot Figur 8.22: Skitse indvendig af potentiometer. Figur 8.23: Ækvivalent diagram af potentiometer. Udstyr og forsøgsopstilling Til forsøget anvendes følgende udstyr: 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 75

84 8.3 Test af potentiometer Komponent Fabrikant AAU-nr. Potentiometer N/A N/A DAQ Assistant type USB-6215 National Instruments Multimeter HP-973A Tabel 8.3: Apparater brugt til test af potmeteret. På figur 8.24 ses opkoblingen af potentiometeret. (lilla) til multimeter - + signal potmeter DAQ AO GND (p14) (sort) +5V (p10) (rød) AAU: Figur 8.24: Opkobling af potentiometer til DAQ. DAQ giver et output på ca. 5V (reelt 4, 93V ) over potmeteret og signalet fra midterbenet måles med multimeter. Fremgangsmåde Ved at måle spændingen V pot over den variable modstand R x samtidig med at gradtallet for rotationen af wiperen kendes, kan spændingen findes som funktion af det antal grader, wiperen har drejet, se figur 8.25 på næste side. Spændingen over potentiometret måles i intervallet -135 til +135 i steps på 15. Således fås 19 målinger i alt. Til efterfølgende databehandling er anvendt MATLAB scriptet: < CD/MAT LAB/Vinkelgra f.m >. Måledata På figur 8.25 på modstående side ses måledata fra testen. Databehandling Ud fra figur 8.25 kan ligning 8.15 sættes op, som er gældende når der påsættes 4,93 Volt over potmeteret: Appendiks A: Forsøgsjournaler

85 8.4 Måling af friktion i kuglelejet Figur 8.25: Sammenhæng imellem spænding over potmeter som funktion af antal grader, wiperen har drejet. Der er påsat 4,93 Volt over potmetret. V pot Spænding over potmeter [V ] γ k Krøjevinkel i grader [ ] V pot = 0,0002 γ 2 k + 0,0173 γ k + 0,8562 [V ] (8.15) Udover denne sammenhæng er modstanden i potentiometeret desuden målt, når wiperens vinkel 0. Her er modstanden målt til 1,756 kω. Ligning 8.15 kan desuden omskrives, så den giver krøjevinklen som funktion af spændingen: γ k = 1,338 V 5 pot 19,356 V 4 pot + 106,214 V 3 pot 274,938 V 2 pot + 363,060 V pot 163,832 [ ] (8.16) Denne sammhæng er plottet i figur 8.26 på næste side. 8.4 Måling af friktion i kuglelejet Formål Formålet med forsøget er at bestemme den viskøse friktionskoefficient B, da den har betydning for hastigheden, hvormed blæseren krøjer. Desuden er koefficienten nødvendig for at bestemme overføringsfunktionen for 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 77

86 8.4 Måling af friktion i kuglelejet Figur 8.26: Krøjevinkel som funktion af spænding over potmeter. systemet. Teori I afsnit på side 22 er bevægelsen for nacellen beskrevet. Her er opstillet følgende udtryk ud fra Newtons 2. lov: J ω k = M res B ω k [Nm] (8.17) [ J Nacellens inertimoment kg m 2 ] [ ω k Krøjevinklens acceleration rad/s 2 ] M res Momentetbidrag fra vingerne som følge af lift og drag [Nm] B Viskose friktionsfaktor [kg m s] ω k Krøjevinklens hastighed [rad/s] Ud fra denne ligning kan der opstilles en overføringsfunktion i Laplace-domænet: G(s) = ω k M res = 1 B J B s + 1 (8.18) Hvis der sættes et step-input på ligning 8.18, bliver overføringsfunktionen omskrevet til følgende: G step (s) = 1 B J B s s (8.19) Appendiks A: Forsøgsjournaler

87 8.4 Måling af friktion i kuglelejet Ligning 8.19 giver desuden også sammenhængen for overføringsfunktionen for nacellens krøjevinkel: G n (s) = γ k = G(s) 1 1 M res s = B J B s s (8.20) Hvis der gives et input i form af en impuls, vil responsen være givet ved den samme overføringsfunktion (der ganges med 1 i Laplace-domænet). Stepresponsen for et 1. ordens system er defineret til følgende [Phillips and Harbor, 2000]: K τ s s (8.21) K Gain faktor [ ] τ systemets tidskonstant [s] For nacelle karakteristikken gælder derfor at tidskonstanten er givet ved: τ = J B (8.22) Nacellens inertimoment er beregnet ud fra nacellens mål, som beskrevet i afsnit 9 på side 86. Derfor kan friktionskoefficienten bestemmes ud fra systemets tidskonstant. Tidskonstanten er defineret som 63% af tidsintervallet fra at impulsinputtet påføres, til at der opnås en stabil respons. Rent fysisk gives et stepinput til overføringsfunktionen G(s), hvilket matematisk set er identisk med et impulsinput for G n (s), hvilket godtgør at tidskonstanten for de to overførinssystemer er ens. Udstyr og forsøgsopstilling Til forsøget anvendes potentiometret, som er monteret på krøjeakslen således nacellens krøjevinkel er ens med potentiometrets gradtal. Potentiometret fungerer og er forbundet som beskrevet i testen i afsnit 8.3 på side 75. Dog anvendes en DAQ i stedet for multimeter til måling af spændingen over potentiometret. Opkoblingen af potentiometret ses på figur 8.27 på næste side. Fremgangsmåde Til forsøget er der fremstillet et LabVIEW program, der beregner nacellens vinkelposition (γ k ) i forhold til spændingen over potentiometret ud fra sammenhængen målt og beskrevet i ligning 8.15 på side 77. En beskrivelse af programmet ses i kapitel 10 på side 89. Programmet foretager 5000 samples, hvor spændingen måles og omregnes til en vinkel, ligesom tidsintervallet mellem hver sample beregnes. Værdierne skrives til en tekstfil, der derefter behandles med MATLAB scriptet: < CD/MAT LAB/ f riktion.m >. Fremgangsmåden for forsøget er følgende: 1. Potentiometret på nacellen forbindes til DAQ ligesom beskrevet i 8.3 på side Nacellen drejes til en position svarende til Nacellen påvirkes af en kraft i form af et skub, således den krøjer. 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 79

88 8.4 Måling af friktion i kuglelejet - + signal potmeter (lilla) (sort) (rød) AI1 (p17) DAQ A0 GND (p14) +5V (p10) AAU: Figur 8.27: Opkobling af potentiometer til DAQ. DAQ giver et output på 5V over potentiometret og signalet fra midterbenet måles som input. Således anvendes potentiometret som spændingdeler, hvor spædningen afhænger af wiperens gradtal. Ændringen af wiperens gradtal er identisk med ændringen af nacellens krøjevinkel. Målt data På figur 8.28 ses de målte data fra forsøget. 03 C4 63 % 100 % τ Figur 8.28: Målt data til bestemmelse af den viskøse friktionskoeficient i nacellen leje Appendiks A: Forsøgsjournaler

89 8.5 Bestemmelse af krøjehastighed Databehandling Tidskonstanten τ skal beregnes fra, hvor nacellen krøjer med maksimal vinkelhastighed og til, hvor den igen står stille. Derfor laves et fit af måledata med et polynomie, der differentieres. Den afledte angiver derved hastigheden og denne er størst ved en position på 46,2 efter 1140 ms. Nacellen er stabil (står stille) igen ved en position på -74,75 efter 1990 ms. Dette tidsinterval er makeret på figuren som 100%, hvilket betyder at 63% af tidsintervallet er givet ved tiden 1508 ms og en vinkel på -29,9. Dette giver tidskonstanten: Den viskose friktionskoefficient B kan nu beregnes som: τ = 1,508s 1,140s = 368ms = 0,368s (8.23) B = J τ = 0,0917kg m2 0, 368s = 0,249 [N m s] (8.24) Fejlkilder En mulig fejkilde er, at nacellen bliver ført rundt i stedet for at få et enkelt skub. Dette vurderes dog til ikke at være sket. Ydermere ligger eventuelle fejlkilder i det anvendte udstyr og software. Hvis ikke potentiometret er testet korrekt og sammenhængen mellem krøjevinkelen og spændingen over potentiometret er forkert, vil det give en fejl i de målte data. Diskussion og konklusion Da de nævnte mulige fejlkilder ikke vurderes at være af nogen væsentlig betydning, anses de målte data for at være gyldige. Værdierne har ligeledes en størrelse der gør, at de ikke kan neglivceres fra bestemmelse af modellen for systemet. Den beregnede tidskonstant på 0,386 s og friktionskoefficient B på 0,249 Nm s anvendes derfor til bestemmelse af overføringsfunktionen for systemet. 8.5 Bestemmelse af krøjehastighed Formål Formålet med forsøget er, at bestemme hastigheden hvormed nacellen krøjer, og hvordan denne er afhængig af pitchvinklen for vingerne. Ud fra dette kan momentet for nacellen desuden beregnes, hvilket videre kan bruges til sammenligning af momentet ved strain gauge forsøget og det udregnede moment fra modellen. Fremgangsmåde 1. Potentiometer, hall-sensor og servomotor sættes til en DAQ som vist på figur. 2. Rotorens hastighed indstilles til 300 o/min og duty cycle indstilles til det ønskede. Nacellen holdes fast med håndkraft i en position svarende til ca. 0 krøjevinkel. 3. Nacellen slippes, således den krøjer ud til en vinkel på ca. ± Appendiks A: Forsøgsjournaler 81

90 8.5 Bestemmelse af krøjehastighed 4. Dette udføres for duty cycles på 5 %, 6 %, 7,5 %, 9 %, 10% og 11%. 5. Databehandling gennemføres vha. MATLAB scriptet: < CD/MAT LAB/Kroe je f orsoeg.m > Målt data På figur 8.29 ses de målte data for forsøget. Her angives hvor meget vinklen ændrer sig i forhold til tiden. Dvs. at figuren viser hvor hurtigt blæseren krøjer ved forskellige duty cycles. Figur 8.29: Målt data for krøjeforsøg, der viser blæseren krøjehastighed ved forskellige duty cycles. Databehandling Det ses af graferne på figur 8.29, at der først er en hurtig acceleration fra nacellen står stille, til den er i bevægelse. Herefter er krøjehastigheden konstant, da ændringen af vinklen kan tilnærmes en ret linje, hvor størrelsen Appendiks A: Forsøgsjournaler

91 8.5 Bestemmelse af krøjehastighed af hastigheden er givet ved hældningen af den rette linje. Der er lavet et lineært kurvefit af de forskellige grafer, hvor hastighederne kan ses i tabel 8.4. Duty cycle, D Hastighed, ω k [ /s] [ Moment, M res 10 3 Nm ] 5 % -2,83-12,29 6 % -0,75-3,26 7,5 % 0,06 0,26 9 % 1,24 5,39 10 % 2,29 9,95 11 % 5,32 23,12 Tabel 8.4: Krøjehastigheder og moment ved forskellige duty cycles. Som beskrevet tidligere, er nacellens bevægelse beskrevet ud fra Newtons 2. lov ved J ω k = M res B ω k (8.25) Da nacellens hastighed er konstant vil accelerationen være nul. Det gælder derfor at blæserens vinger yder et moment med størrelsen: M res = B ω k (8.26) Friktionskoefficienten er beregnet i afsnit 8.4 på side 77, hvorfra momentet kan beregnes for de forskellige duty cycles. Dette er vist i tabel 8.4. Fejlkilder En af de væsentligste fejlkilder til forsøget er, at nacellen holdes fast med hånden. Det kan ske, at nacellen skubbes eller trækkes en smule, idet hånden fjernes. Dette ses eksempelvis ved målingen med en duty cycle på 10 %, hvor nacellen er blevet trukket en smule imod krøjeretningen, lige når den slippes. Dette giver dog ikke den store forskel i resultaterne. Idet alle målinger ønskedes foretaget ved en rotor hastighed på 300RPM, blev der ved flere af målingerne justeret en smule undervejs. Det skete, at rotorhastigheden faldt en smule, idet nacellen begyndte at rotere, hvorfor den blev justeret lidt op. Det er med høj sandsynlighed fejlkilden til, at nogle af delene på graferne ikke er helt rette. Dette ses mest tydeligt på målingerne ved duty cycles på 9, 10 og 11%, hvor linjen har en lille bue, der angiver en hastighedsforøgelse. Ændringen er dog så lille, at det ikke giver nogen væsentlig forskel i forhold til at tilnærme graferne som lineære. Diskussion og konklusion De ses at hastigheden som forventet er større, jo længere væk duty cyclen er fra 7,5%. Den er størst ved en duty cycle på 11%, hvor der krøjes med 5,32 /s, mens hastigheden falder når en duty cycle på 7,5 % nærmes. Ved en duty cycle på 5% krøjer nacellen til den anden side, hvorfor krøjehastigheden her er -2,83 [ /s]. På figur 8.29 ved en duty cycle på 7,5% krøjer nacellen med 0,06 /s. Nacellen burde dog ikke krøje her, da 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 83

92 8.6 Blæserens respons med og uden regulator det resulterende moment ifølge modelleringen er 0Nm (se figur 4.28 på side 31). At nacellen alligevel krøjer, skyldes at den cykliske pitchvinkel for vingerne på forsøgsopstillingen varierer en smule, når vingerne roterer, hvilket den ikke burde ved D = 7, 5%. Dette skyldes formentligt, at det mekaniske system med navstængerne og swashbladene er lidt skæve. Det kan desuden konkluderes, at momentet for nacellen varierer mellem -12, Nm og 23, Nm for duty cycles imellem 5 % og 11 %. Her ses det også, at størrelsen på momentet stiger, jo længere væk duty cyclen er fra 7,5 %. 8.6 Blæserens respons med og uden regulator Formål Når blæseren bliver påvirket af en duty cycle, ændres systemets respons alt efter hvilken regulator der anvendes. Formålet med dette forsøg er at bestemme regulatorens effekt på systemets respons. For at sammenligne effekten, skal forsøget udføres med forskellige værdier for regulatoren samt et forsøg uden en regulator. Forsøgsopstilling og udstyr DAQ Assistant type USB-6215 National Instrument stk DC-Power supply GW Instex GPS / Blæseren N/A Fremgangsmåde Som i tidligere forsøgsopstillinger anvendes blæseren med alle de relevante målesensorer og motorer til at styre og måle på blæseren. Instrukserne til at sætte disse enheder op er givet i tidligere forsøgsbeskrivelser. Essensen i forsøget er, at logge nacellens position over tid, fra systemet bliver bedt om at krøje, til en bestemt vinkel for nacellen er krøjet derhen. Forsøget udføres med og uden en regulator, for at sammenligne resulaterne, samt for forskellige værdier af regulatoren. Målingerne er gennemført vha. LabVIEW program 10 på side 92. Databehandling Måleresultaterne kan ses på figur På figuren øverst til venstre er stepresponsen med en regulatorforstærkning på 0,1 plottet. Det ses, at indsvingningstiden her ikke er meget anderledes end indsvingningstiden for de andre grafer, men systemet har dog en stationær fejl på ca. 8 %. Grafen for responsen uden regulator er vist øverst til højre på figur 8.30, og nederst til venstre med en regulatorforstærkning på 2,684. Disse er stort set identiske. Indsvingningstiden for responsen uden regulator er faktisk lidt kortere, men fælles for plottene er, at der næsten ingen stationær fejl er. Ved det sidste plot er regulatorforstærkningen justeret op til 5. Her ses det tydeligt, at systemet bliver ustabilt og begynder at oscillere med en fast frekvens og amplitude Appendiks A: Forsøgsjournaler

93 8.6 Blæserens respons med og uden regulator 1 Steprespons på blæseren med en P regulator på P=0,1 1 Steprespons på blæseren uden regulator Vinkelposition [rad] Tid [s] Vinkelposition [rad] Tid [s] 60 Steprespons på blæseren med en P regulator på P=2,68 1 Steprespons på blæseren med en P regulator på P= Vinkelposition [rad] Vinkelposition [rad] Tid [s] Tid [s] Figur 8.30: Steprespons på blæseren med forskellige værdier for regulatoren. Fejlkilder Da dette forsøg er baseret på hele systemet, som der allerede er lavet forsøg over, er fejlkilderne allerede beskrevet tidligere. For at fremhæve en væsentlig fejlkilde, kan det nævnes, at det roterende omdrejningstal svinger i et interval omkring det indstillede niveau. Dette sker pga. de varierende belastninger, der skyldes de løbende ændringer af duty cyclen. Diskussion og konklusion Forsøget viser tydeligvis, at den designede proportional regulator med værdien P = 2,68 ikke giver en mærkbar effekt. Faktisk stiger indsvigningstiden en smule med denne regulator, og ved en øget forstærkning bliver systemet ustabilt. Konklusionen på dette forsøg er, at responset for systemet uden en regulator, ikke kan forbedres pga. duty cyclens fysiske begræsninger. 8. Appendiks A: Forsøgsjournaler 85

94 9 Appendiks B: Blæserens inertimoment I dette afsnit udregnes inertimomentet for blæseren. I programmet Solidworks er blæseren tegnet, som det ses på figur 9.1. Den blå linje på figuren er afstanden imellem aksen for massemidtpunktet og rotationsaksen. Denne afstand er 86,43 mm. Figur 9.1: Blæseren tegnet i Solidworks. Afstanden fra aksens igennem massemidtpunktet og hen til den parallelle rotationsakse for blæseren er 86,43 mm. Ved parallelakse-sætningen kan inertimomentet gennem en akse, der er parallel med en akse igennem massemidtpunktet, beregnes [Meriam and Kraige, 2008]: J n = J CM + m d 2 [kg m 2 ] (9.1) 86

95 J n J CM [ kg m 2 ] [ kg m 2 ] Inertimoment for nacellen rundt om dens rotationsakse Inertimoment rundt om blæserens massemidtpunkt m masse af blæseren [kg] d længde imellem aksen igennem massemidtpunktet og aksen igennem rotationsaksen [m] I Solidworks er det angivet, hvilket materiale de forskellige dele består af. Rotationsklodsen og vingerne er lavet af nylon, træklodsen af træ, afstandsstykket er lavet af aluminium, mens det mekaniske system er lavet af udhulet plastik. I Solidworks er tingene tegnet med de rette mål i forhold til hinanden, og dermed kan programmet automatisk give en gyldig vægt for den tegnede genstand. Massen for blæseren bliver dermed: m = 2,919 kg (9.2) Solidworks kan også automatisk udregne massemidtpunktet på figuren og inertimomentet omkring dette massemidtpunkt. Dermed fås følgende værdi for J CM : J CM = 0,0699 kg m 2 (9.3) Med værdierne indsat i formel 9.1 er inertimomentet for blæseren (J n ) følgende: J n = 0, ,919 0, = 0,0917 kg m 2 (9.4) 9. Appendiks B: Blæserens inertimoment 87

96 10 Appendiks C: LabVIEW programmer I dette bilag beskrives de forskellige LabVIEW programmer, der anvendes i forbindelse med forsøgene. Duty cycle Til at styre vingernes pitchvinklen, er der monteret en servomotor på forsøgsopstillingen. Til styring af servomotoren kræves en spændingen på 4,8 V samt et PWM-signal på 50 Hz. Duty cyclen af dette signal bestemmer herefter servomotorens position. Til generering af PWM-signalet bruges et counter output, som et illustreret på figur Nedenfor gennemgås figur 10.1, hvor tallet svarer til tallet på figuren. Figur 10.1: Styring af duty cyclen. 1. Laver et Counter Output, som producerer et PWM-signal. Som inputs defineres frekvensen til en konstant 50 Hz, og duty cycle tillades at variere i intervallet [0,05;0,11]. Idle state-inputtet definerer om PWMsignalet skal være høj eller lav til at starte med. 2. Angiver, hvor langt PWM-signal skal være. Her er Continuous Samples valgt, og signalet stopper derfor først, når programmet bliver stoppet. 3. Starter genereringen af PWM-signalet. 4. Tjekker om signalet er udført korrekt. 5. Skriver signalet til hardwaren. I programmet er indsat en numerisk kontrol, der gør det muligt at indstilles duty cyclen manuelt. 88

97 Hall sensor Til at måle rotorens omdrejningstal er der benyttet en hall sensor. Der tilsluttes + 5V samt en 1k Ω pull-up modstand over sensorens signal- og outputterminal. Vha. to magneter monteret på rotorakslen induceres en høj puls, hver gang en af magneterne rotorer forbi hall sensoren, hvilket læses vha. et digitalt counter-input. Ved at tælle antallet af pulser, repræsenteres det dobbelte omdrejningstal, og der divideres derfor i programmet med to, for at få det korrekte omdrejningstal. På figur 10.2 er LabVIEW programmet vist, og programmet gennemgås nedenfor. Figur 10.2: Aflæsning af hall sensorens counter signal. 1. Opretter en kanal til at måle frekvenser af et counter input. 2. Læser frekvenser af counter inputtet og sender det til en numerisk indikator. Omregnes desuden til omdrejningshastighed i [rad/s] og [o/min]. 3. Funktion til at clear task, når programmet stoppes. Derved nultstilles der hver gang programmet køres. Potentiometer Til at måle nacellens position samt undersøge friktionen i lejet er der monteret et potentiometer på nacellen. Positionen angives ved en spænding, som nærmere uddybes i afsnit 8.3 på side 75. På figur 10.3 på den følgende side er programmet vist. 1. Læser input-signalet defineret i en task. Her er tasken sat til, at måle spændingen på en bestemt kanal på DAQ en. 2. En Mathscript Node bruges til at omregne spændingen til en tilsvarende vinkel. Se formel 8.16 på side Til måling af friktionen skal positionen til en bestemt tid logges. Vha. urene måles tid i millisekund og disse data logges sammen med den aktuelle position. Begge data føres ind i en Array Builder. 4. Konverterer dataene fra Array Builderen så den kan skrives til en csv-fil (kommasepareret fil), der kan indlæses i fx MATLAB. 10. Appendiks C: LabVIEW programmer 89

98 Figur 10.3: Spændingen over potentiometret skrives til en csv-fil, samtidig med at tiden måles. Vindmåler Til målingen af vindhastigheden er der benyttet et dynameter, som kan generere en spænding svarende til en faktor 100 gange mindre, end den målte vindhastighed i m/s. Ved at måle denne spænding kendes vindhastighed dermed indirekte. Da vinden er pulserende grundet de forbipasserende vinger, logges flere data og middelværdien findes herefter. På figur 10.4 på modstående side er programmet vist. Numrene på figuren refererer til nedestående forklaring. 1. Læser input signal defineret i en task. Her er task lavet til at måle en spænding på en bestem kanal. 2. Til filtrering af støj er der indsat et lavpas-filter med en cut-off frekvens på 50 Hz. 3. For at have tilpas mange målinger er der i while-løkken opsat en tæller vha. et shift-register. Når programmet køres, sendes et 0 fra venstre side. Denne værdi måles med den forudbestemte værdi i Stop måling ved. Er værdien fra shift-registret højere stoppes programmet, ellers sendes den videre og adderes med 1 indtil værdien fra registret har samme størrelse som den forudbestemte værdi. 4. Dataene fra det filtrerede signal skrives til et regneark Appendiks C: LabVIEW programmer

99 Figur 10.4: Diagram over program anvendt til måling af vindhastigheder. Strain gauge Til målingen af vridningen i krøjeakslen og derved også momentet om denne, er der med en wheatstone fuldbro lavet forsøg over dette. Til dataopsamlingen er der brugt programmet vist på figur Diagrammet er næsten identisk med programmet for vindmålingen, da inputtet for begge forsøg er en kontinuerlig spænding, der beregnes en middelværdi af. Figur 10.5: Diagram over Strain gauge dataopsamlingsprogram. 10. Appendiks C: LabVIEW programmer 91

100 1. Læser input signal defineret i en task. Her er task lavet til at måle en spænding på en bestem kanal. 2. Til filtrering af støj er der indsat et lavpas-filter med en cut-off frekvens på 50 Hz. 3. Tiden for dataopsamlingen er forudbestemt, og programmet stoppes, når timeren når denne værdi. 4. Dataene fra det filtrerede signal skrives til et regneark. Samlet system Til implementering af regulatoren i en test, anvendes programmet vist på figur Dette program benytter sig af to underprogrammer; potentiometer og duty cycle. Disse vil fremgå som SubVIs, da de allerede er blevet beskrevet. Figur 10.6: Diagram over program der bruges til at teste regulatoren. 1. SubVI af programmet for potentiometret. Input-spændingen regnes om til en position 2. Den ønskede position trækkes fra den målte position, og differensen gemmes i en global variabel. Variablen hentes i while løkken forneden og sendes gennem regulatoren. 3. Størrelsen af duty cyclen undersøges af hensyn til de fysiske begrænsninger beskrevet i afsnit på side 6. Overstiger duty cyclen 11 % mættes signalet og der sendes konstant 11 % duty cycle til servomotoren. Hvis duty cyclen går under 5 % mættes signal ligeledes, og der sendes konstant 5 % duty cycle til servomotoren. 4. SubVI af programmet for duty cyclen Appendiks C: LabVIEW programmer

101 11 Appendiks D: Vindmøller Dette appendiks beskriver hvordan en vindmølle er opbygget, samt hvordan den styres og reguleres. Hvis ikke andet er nævnt, er [Vindmølleindustrien, 2009] brugt som kilde til de forskellige afsnit. Komponenter En vindmølle består overordnet af selve tårnet, nacellen (huset) og rotoren (vingerne). På figur 11.1 er de forskellige komponenter i en vindmølle skitseret. Figur 11.1: Oversigt over komponenterne i en Vestas vindmølle på 2 MW [Hans Møller, 2009]. På langt de fleste moderne vindmøller, består rotoren af tre vinger. Vingerne er hovedsageligt lavet af letvægts kompositmaterialer som glasfiberforstærket polyester eller -epoxy. Men også andre materialer som fx kulfiber og træ benyttes i forskellige kombinationer. Vingerne er som regel snoede eller vredet tættere på roden. Dette gøres for at kompensere for, at vindens angrebsvinkel er stejlere tættere på roden af vingen. Hvis dette ikke gøres, risikeres det at vinklen til vinden bliver for stejl, hvorved vingen staller og mister opdriften. Vingerne er forbundet i selve vingekonsollen, der er forbundet med navet. På navet sidder lavhastighedsakselen (hovedakselen), der således roterer med samme hastighed som vingerne, hvilket typisk er o/min. Denne hastighed er dog alt for lav til at drive generatoren, hvorfor der benyttes gearing med et forhold på typisk 93