VA 'iß ^^V. "^'^^fis?^^ BrT^^'^StfS ^^ÄI!Z5 1 A^ 552 1V5 BS5

Transkript

1 VA 'iß ^^V "^'^^fis?^^ 4 BrT^^'^StfS ^^if. ^^^^ ^^ÄI!Z5 ^M 1 A^ 552 1V5 BS5 F^

2

3

4

5 L.^REBOG ANALYTISK PLANGEOMETRI AF DR. NIELS NIELSEN DOCENT I REN MATEMATIK VED KJOnENHAVNS UNIVERSITET MEDLEM AF INDERVISNl NGSINSFKKTIONEN FOR DE L^RDE SKOLER GYLDENDALSKE BOGHANDEL NORDISK FORLAG KJOBENHAVX 1905 KRISTIANIA

6 TRYKT HOS J. JORGENSEN & Co. (M. A. HANNOVER)

7 af saa faa almindelige Principper som muligt^). Det er af denne Grund, at jeg definerer Keglesnittene ved Hjaelp at Ledelinie og Braendpunkt, hvorved jeg fritages for at gennemfore flere analoge Bestemmelser af Tangent, Diameter og Polar. Desuden forekommer det mig, at Undersogelsen af den ved Ligningen jj/2 ^;ir -f- qx'^ definerede Kurve giver Eleven bedre Midier ihaende til Behandling af andre Kurver, der fremstilles ved Ligninger af h0jere Grader, end Tilfasldet er, naar man definerer Keglesnittene ved deres Braendpunktsegenskaber. Efter min Opfattelse bor det elementsere Kursus afsluttes med Diskussionen af den almindelige Ligning af anden Grad i X og j/, dels for at give Eleven dette Pensum i en virkelig naturlig Begrsensning, dels for at lette ham Losningen af forskellige Opgaver, der forer til Keglesnit i mindre simpel Beliggenhed i Forhold til Koordinatsystemet. Derimod er jeg, i Henhold til ovenstaaende Bemserkninger, slet ikke gaaet ind paa Keglesnittenes Definition som Skaeringskurver mellem Kegle og Plan, saa meget mere som vi jo i den danske Lasrebogsliteratur besidder udforlige Fremstillinger af dette yemne. Det er mig en kaer Pligt at takke Hr. Mag. scient. C R. Ette for hans fortrseffelige Gennemsyn af Korrekturerne og Hr. cand. mag. 0, A. Smith for hans Bidrag af smukke Opgaver til Losning. Heidelberg, d. 5. August Forf. ') Derimod finder jeg det fortr^effeligt, som adskillige Lserere virkelig gennemforer det, ved Losningen af Opgaver at vise de forskellige Ivlctoders Fordele og Mangler. Dette Princip har jeg ogsaa antydet i nogle af Opgaverne til Losning.

8 INDHOLDSFORTEGNELSE F0RSTE KAriTEL. Harmonisk Deling. ^-^^^ I. Abscisser. Opg. i 2 i 2. Harmonisk Deling i Forholdet m. Opg Almindelige Betingelser for harmonisk Deling. Opg. 6 ii 5 4. Konstruktioner ved harmonisk Deling, Opg ANDET KAPITEL. Koordinater. Kurver. 5. Retvinklede og polaere Koordinater. Opg Forhold. Trekantens Tyngdepunkt. Opg ii 7. De retvinklede Koordinaters /Endring. Opg Kurver og deres Ligninger. Opg Kurvers Skoering, Opg TREDJE KAPITEL. Den rette Linie. 000 coo 10. II Ligningen af forste Grad i x og y. Opg To rette Liniers Sksering og Parallelisme. Opg Vmklen mellem to rette Linier. Opg Normalformen for en Linies Ligning. Opg Anvendelser af Xormalformen. Opg Trekantens Areal, Tre Punkter i ret Linie. Opg Tre rette Linier gennem samme Punkt. Opg Liniebundter. Opg Lignmger, der er homogene i x og y, Opg FJERDE KAPITEL. Cirklen, 19. Cirklens Ligning i retvinklede og polasre Koordinater. Opg Cirklen gennem tre givne Punkter, Opg Cirkelbundter og Radikalaxe. Opg

9 Side i^ 22. Cirklens Tangent. ()pg , Trekantens firc Roringscirkler 52 i:; 24. Geometriske Steder, Opg coo FEMTE KAPITEL. Keglesnit med Toppunkt i Begyndelsespunktet. F?ellesligningen for alle Keglesnit. Opg Forskellige Former af Keglesnit. Opg Hyperblens Asymptoter. Opg Diametre, Tangenten. Opg Opg Polaren. Opg Parablens Tangent og Normal. Opg. iii , Geometriske Konstruktioner ved Parablen. Opg SJETTE KAPITEL. Ellipse og Hyperbel. 33- Symmetriaxerne som Koordinataxer. Opg , Ellipsen som retvinklet Projektion af Cirklen. Opg , Den vilkaarlige Hyperbel som Projektion af den ligesidede. Opg Ligningerne for Tangent og Polar. Opg Tangent og Normal. Opg Geometriske Konstruktioner ved Ellipse og Hyperbel. Opg SVVENDE KAPITEL. Ligningen af anden Grad i 00 og y. 39. To rette Linier. Opg Ellipse eller Hyperbel. Opg Parablen. Opg , Oversigt over Diskussionen af Ligningen (39). Opg , Bundter af Keglesnit, Opg TILLÄ^:G. Bemserkninger om Tangentens Ligning 104 Om den kvadratiske Ligning 105

10 F0RSTE KAPITEL Harmonisk Deling. I. Abscisser. Vaeiger vi paa en ret Linie et Punkt 0, Begyndelsespunktet, som Udgangspunkt, kan vi entydig bestemme et andet Punkt A paa Linien, naar vi opgiver Liniesegmentet OA og desuden ved, til hvilken Side det skal afsaettes ud fra 0. Denne Bestemmelse af Punkterne bliver overskueligere, naar vi karakteriserer Afstandene fra 0 til de forskellige Punkter paa Linien ved at regne dem positive^ naar de skal afsaettes til den ene Side, og negative, naar de skal afsaettes til den modsatte Side paa Linien fra 0, Den Side af Linien, til hvilken de positive Afstande skal afsaettes fra 0, kaldes Liniens positive Retning, denne karakteriseres ved en Pil; Liniesegmentet OA, maalt baade i St0rrelse og Fortegn, kaldes Abscissen til A. Liniens negative Retning er den modsatte af dens positive. Naar vi saaledes regner Liniesegmenter med Fortegn, t0r vi ikke mere naevne deres Endepunkter i en vilkaarlig Orden; da nemlig AB og BA regnes modsat paa Linien, har man altid (i) AB = BA. Vor Definition af Abscissen til et Punkt forer os imidlertid til folgende Saetning: N, Nielsen: Laerebog i analytisk Plangeometri. I

11 Et Punkt paa en ret Linie med given positiv Retfting og givet Begyndelsespunkt er entydig bestemt ved sin Abscisse^ ligesom omvendt Punktet entydig bestemmer deiine Abscisse. Da den rette Linie ved et vilkaarligt af sine Punkter deles i to fuldstaendig adskilte Dele, maa man med numerisk voxende Abscisser stedse fjaerne sig mere og mere fra Begyndelsespunktet 0 i Liniens positive eller negative Retning uden nogensinde mere at kunne vende tilbage til dette Punkt. Et Punkt, hvis Abscisse numerisk voxer uden Graense, kaldes uendelig fjcernt. Begyndelsespunktet 0 har Abscissen NuL Efter disse indledende Bemaerkninger vil det nu vaere let at bevise folgende vigtige Saetning: Betegner A^ B og C tre vilkaarlige Pu7tkter paa samme rette Linie, haves altid (la) AB^AC^ CB. Ved Beviset maa vi betragte tre Tilfaelde: i^. C falder paa Segmentet AB\ Identiteten (i a) er da en umiddelbar Folge af et bekendt geometrisk Postulat. 2^. B falder paa Segmentet AC, da faas paa samme Maade AC^ CB = AB-{-BC+ CB^AB, 3^. A falder paa Segmentet CB, da faas ligeledes AC+ CB = AC+ CA +AB=^AB; dermed er vor Saetning fuldstaendig bevist. Identiteten (i a) kan uden Vanskelighed generaliseres, idet man atter under Anvendelse af (i a) kan indskyde et fjerde Punkt I) mellem C og B, dernaest et femte Punkt E mellem D og B o. s. V. Som Anvendelse af (i a) vil vi betragte en i Planen beliggende brudt Linie A^ A^... A^,, hvis Vinkelspidser vi projicerer paa en i Planen beliggende ret Linie i henholdsvis A\, A^,...., A^, da udledes af (i a) (I b) A\ Ar. = A\ A, +A,A, A,_, An\ altsaa:

12 Projiceres de enkelte Segmenter af en brtidt Linie A^ Ac,.. >. An paa en i dens Plan beliggende ret Linie, er Sum>nen af de enkelte Projektioner Hg 7ned ProjektioneJi af det Segment A^ Ar,, der forbinder den brudte Linies to Endepunkter. Af ovennaevnte almindelige Identitet (i a) udleder man endvidere folgende mere specielle Saetning: Af standen fra et Puiikt til et a7idet faas ved at subtrahcre det ferste Punkts Abscisse fra det sidstes. Lad nemlig Punkterne A og B have Abscisserne x^ og x>^ altsaa OA = x^ og OB = x^, da faas ifolge (i a) (i c) AB = AO + OB^x^ x^. Lad dernaest Midtpunktet JM af ovennaevnte Segment AB have Abscissen x, da er hvoraf ifolge (i c) altsaa (id) AM = MB, -^ ^ _ ^ ^ ^^ -^ x^ + x^ x = og dermed har vi bevist den ny Saetning: Abscissen til Midtpu7iktet af et Linieseg7ne7it er de7i halve SuTn af Endepu7tkter7ies Abscisser. 1. Vaeig en Enhed og konstruer de Punkter, hvis Abscisser er 5, I og ^(i + ]"^). 2. Endepunkterne af et Segment har Abscisserne 13 og 7; find Laengden af Segmentet og Abscissen til dets Midtpunkt. 2. Harmonisk Deling i Forholdet /w. Vi taenker os givet to Punkter A og B med Abscisserne ^1 og x^\ et tredje Punkt P paa samme rette Linie siges da at dele Segmentet AB i Forholdet m, naar

13 (2) AP\BP^m\ dette Forhold er derfor negativt, naar P ligger paa selve Segmentet AB, ellers positivt. Betegner a^ Abscissen til P, faas af (2) if0lge (i c) (2 a) a. X. ' = m, cti x^ a^ = mx.2 ^1 ;;/ I Af Formlerne (2 a) fremgaar det, at Punktet P e7itydig bestemmer Forholdet w, og omvendt, at Forholdet 7n entydig bestemmer Punktet P. For m ^ I faas af (2 a) % = {x^ -\- x^): 2, saa at P bliver Midtpunktet af Segmentet AB. For m ^ i faas a^^ = oc; det tilsvarende Punkt P er derfor uendelig fjaernt. Endelig giver m = o og m = 00 henholdsvis a^ = x^, ag = x^^ saa at P i disse Tilfaelde falder enten i A eller B. Vi betragter endnu et fjerde Punkt Q med Abscissen ag paa samme rette Linie som for, saaledes at Q deler Segmentet AB i Forholdet m, da erholdes af (2 a), idet m erstattes med m, (2 b) a^ = ~~ i- De to saaledes bestemte Punkter P og Q siges at dele Segmentet AB harmonisk i Forholdet w; alle fire Punkter siges at vaere harmonisk forbu7tdne. For at undersoge, hvorledes Beliggenheden af /^ og Q forandres, naar m varierer, tager vi (2 a) og (2 b) sammen og behover da kun at lade m gennemlobe alle Vaerdier fra o til + oc. For m =^ o faas a^ ^ a.^ = x^\ ^ og Q falder derfor begge i A. Lader vi dernaest 7n voxe, vil P og Q fjaerne sig fra A, saaledes at Q bevaeger sig ind paa Segmentet AB, medens P fjaerner sig fra A til den modsatte Side. For m = I falder Q i Midtpunktet af AB, medens P er uendelig fjaernt.

14 5 Idet ;;/ passerer i, gaar Q over Midtpunktet af AB henimod B, medens P Springer over paa den anden Side af Linien og naermer sig B udefra. For m ^^ oo faas a^ i^ a, = -tro; P og Q falder derfor begge i B. Loses endelig Ligningerne (2 a) og (2 b) med Hensyn til ^1 og x^, og anvendes Identiteterne (w + i) {771 i) = 2, {ßn + l) + {7n i) = 27n, giver en simpel Regning ^ l 7n I ^ ^ 7n I 2 ' i (2 c).^i m -{- i ^ X., " 771 -^ i ;;/ 1 hvoraf Saetningen : Deler P og Q Seg7ne7itet AB har7no7iisk i Forholdet 771, vil A og B dele Seg7ne7itet PQ harmonisk i Forholdet {7n + i) : {771 i). 3. Find Abscisserne til de Punkter, der deler Segmentet AB harmonisk i Forholdet, naar A og B har Abscisserne 6 og Segmentet AB, hvis Endepunkter har Abscisserne 13 og 7, deles i tre ligestore Dele; find Abscisserne til de Punkter, der sammen med ethvert af Delingspunkterne er harmonisk forbundet med A og B. 5. Abscisserne til tre Punkter A, B og C er henholdsvis 3, 7 og 8; find Abscissen til det Punkt D, der sammen med A deler BC harmonisk. I hvilke Forhold deles BC af A og Z)? 3. Almindelige Betingelser for harmonisk Deling. Betingelsen for, at to Punktpar A, B med Abscisserne x^, X2 og P, Q med Abscisserne a^, ag, der alle ligger paa samme rette Linie, er harmonisk forbundne, kan findes ud fra Definitionen

15 (3) eller ifolge (i c). {3 a) AP\BP= «1 ^1 _ A(J\.bl. a^ x^ 69 Xi^ hvoraf, idet denne Ligning bringes paa hei Form, (3 b) 2 (aia2 + x^x,^) = (a^ + a^) {x^ + x^), hvilket er den nedvendige og tilstrcekkelige Betlngelse for, at de to Punktpar A, B og P, Q er harmonisk forbundne. Ligningen (3 b) kan ogsaa findes ved at eliminere m af (2 a) og (2 b). Betingelsen (3 b) er anvendelig, hvor Begyndelsespunktet O end er beliggende paa den rette Linie. I Anvendelserne har man ret hyppig Brug for en mere speciel Beliggenhed af (9, nemlig: lo. 0 er Midtpunktet af AB; da faas x^ = ~ x^, og (3 b) antager den simplere Form (3c) x,'- = a,a,, OA^ = OP.OQ\ heraf folger, at Midtpunktet 0 af Segmentet AB altid maa falde udenfor PQ. 2^. 0 falder i A; her er x^ = o, hvoraf ifolge (3 b) (3 d) 2aia2 = x^ (a^ + a^), eller ved Division med Produktet.;r2a^a2 X2 kaldes de7i harmoniske Mellemproportional mellem % og ag. 6. Hvorledes kan man udlede Betingelsen (3 a) af (3 b)? 7. Angiv Betingelsen for, at Rodderne i de to kvadratiske Ligninger ;ir- + ^;r + ^2 _ Q, X""- -{- CX -{- d- = O kan vaere Abscisserne til to harmonisk forbundne Punktpar.

16 8. Find Abscissen til det Punkt, der sammen med 0 deler AB harmonisk, naar Abscisserne til ^ og -5 er Rodder i Ligningen ;r2 2ax -\- b'- = o. 9. Find Abscisserne til Punkterne A og B, der skal dele Segmentet CD harmonisk, naar C og D har Abscisserne 2 og 7, medens Midtpunktet af AB har Abscissen 5. I hvilke Forhold deler A og B Segmentet CD} IG. Hvilken Betingelse maa Koeßicienterne i Ligningen x'^ - - ax"^ -\- dx -{- c = o tilfredsstille, naar Rodderne skal vaere Abscisser til tre Punkter, der sammen med 0 danner to harmonisk forbundne Punktpar? II. Under hvilken Betingelse kan Rodderne i Ligningen x^ + ax^ + bx^ -{- ex -{- d o vaere Abscisser til fire harmonisk forbundne Punkter? 4. Konstruktioner ved harmonisk Deling. De i de to foregaaende Paragraffer udviklede Formler giver et simpelt Middel til Udforelsen af visse fundamentale Konstruktioner vedrorende harmonisk Deling; vi vil naermere betragte folgende Opgaver: i^. Ko7istruer de Pu7tkter P og Q, S0771 deler et givet Li7tiesegme7it AB harmo7iisk i Forholdet 771. Gennem A og B traekkes to Paralleler; paa den gennem B gaaende Linie afsaettes til begge Sider fra B de numerisk ligestore Segmenter BC og BD\ dernaest afsaettes paa Parallelen gennem A et Segment AE=^7n,BC', Linierne EC og ED vil da skaere den givne gennem ^ og ^ i de to Punkter P og ö. Man faar nemlig l\aeq^/\bdq, l\aep^l\bcr 2^. Paa en ret Li7tie er der givet Pu7ikterne A, B og P; ko7istruer Punktet Q, der sammen med P deler AB harinonisk.

17 8 Gennem A og B traekkes som for to Paralleler, der skceres af en Linie gennem P i henholdsvis E og C; dernaest afsaettes paa Linien gennem B Segmentet BD numerisk lig med BC, men til modsat Side af B. Linien ED vil da skaere den givne i Punktet Q. 3^. Paa e7t ret Li7iie er der givet Pu7ikter7te M, P og Q; konstruer de to Punkter A og B, der har M til Midtpu7tkt, og som deler PQ harmonisk. Anvendes (3 c), og erindres det, at Tangenten er mellemproportional mellem hele Sekanten og dens udenfor Cirklen liggende Stykke, tegnes en vilkaarlig Cirkel gennem P og Q og Tangenten MN til denne fra M. A og B bestemmes da som Skaeringspunkter mellem den givne Linie og Cirklen med M til Centrum og MN til Radius. 12. Konstruer x^ og x^y naar x^ ;r2 = ^ og x^x^ = b\ hvor ^ og ^ er givne Linier. 13. Konstruer Rodderne i den kvadratiske Ligning x^ ax -^ b^ = o, hvor a og b er givne Linier; Ligningen maa ikke loses. ANDET KAPITEL. Koordinater. Kurver. 5. Retvinklede og polaere Koordinater. For at bestemme Punkterne i en Plan, konstruerer vi i denne to paa hinanden vinkelrette Linier med Skaeringspunktet 0 og med de positive Retninger x og y, der bestemmes saaledes, at {xy) = -\-n\2. Planens positive Om-

18 lobsretning er derfor bestemt ved Opgivelsen af disse to positive Retninger. Linierne x og y kaldes henholdsvis Abscisse- og Ordinataxe; tilsammen danner de et retvinklet Koordinatsystem med Begyndelsespunktet 0. Et Punkt 3/ 1 Planen, hvis Projektioner paa Axerne betegnes med henholdsvis M^ og J/,, vil da vaere e7itydig bestemt, naar man kender Beliggenheden af disse Projektioner, eller med andre Ord, naar de to Segmenter OM^ = a og OM2 = b er givne baade i Storrelse og Fortegn. Er omvendt M givet i Planen, er baade M^ og M.y og derfor ogsaa de to Segmenter ^ og ^ entydig bestemte. OM^ = a og OM.2 = b kaldes henholdsvis Abscisse og Ordinat, tilsammen de retvinklede Koordinater, til M\ dette Punkt betegnes kort ved (^, b). Begyndelsespunktet O faar derfor Koordinaterne (o, o). Vi vil dernaest betragte to Punkter i Planen M [x^, y^) og N [x^, y^)\ den positive Retning af Linien gennem MN betegnes ved /, og endvidere saettes (5) JAV-r, [xl) = v. Projiceres M og N paa Abscisse- og Ordinataxe i henholdsvis M^, N^ og M^y No, haves ifolge (i c) (5 a) J/^A; = x.^ x^, M^N^ = 72 J'i, medens den saedvanlige Projektionssaetning giver (5 b) -^^A-^i = ^ ^^^ ^' M.uVo = ^ sin v, hvoraf ved Sammenligning med (5 a) (5 c) X2 x^ = r cos Vy y.2 y^ = r sin v. Kvadreres og adderes disse to Ligninger, faas dernaest (5d) r= ±lk--^i)-^ + (j2-ji)^ og ved Division af de samme Ligninger j'2 yi (Se) tgt; = ^2 -n

19 10 Hvis man kun kender Koordinaterne til M og N, kan Formlerne (5 d) og (5 e) ikke entydig bestemme r og v, idet Fortegnet for r er ubestemt, medens v kun er bestemt paa et Multiplum af n naer; dette haenger sammen med, at den positive Retning / ikke er opgivet. Kendes derimod tiuige /, kan Fortegnet for r strax bestemmes, hvbrefter Ligningerne (5 c) da angiver den Kvadrant, hvori V er beliggende, saaledes at denne Vinkel er bestemt paa et Multiplum af 2JT naer. Af Grunde, som vi skal laere at kende i 10, kaldes igv Retningskoefficienten til Linien gennem M og N\ (5 e) giver da Saetningen: Retni7igskoefficie7ite7i til Linie7i ge7tne7fi to ^ Pu7ikter er Kvotienten melle77t Differe7iser7ie af Punkter7ies Ordinater og Abscisser. En anden Bestemmelse af Planens Punkter faas ved Hjaelp af de saakaldte polcere Koordinater. Vaeiges nemlig et fast Punkt P og gennem dette en fast Linie med den positive Retning /, vil ethvert Punkt i Planen va^re entydig bestemt, naar man kender Afstanden PM = p og Vinklen 0 fra / til den positive Retning af PM. Er omvendt Punktet M givet, faas derimod to Bestemmelser af p og 0, saaledes som det tydelig fremgaar af Formlerne (5 d) og (5e); hvis det ene Säet Koordinater til M er p og 0, bliver det andet p og 0 + JT. Afsta7iden p og Vi7ikle7i 0 kaldes de pole^re Koordi7iater til M med P som Pol og l sojn Polaraxe; p er Radiusvektor og 0 Amplitude7i til M. Lad os nu sammen med det polaere Koordinatsystem i samme Plan betragte et retvinklet, i hvilket Polen P er [x^, y^), medens / er parallel med ;i:-axen, saaledes at i^xl) = 2pn] lad endvidere Punktet {x, y) have de polaere Koordinater p og 0, da faas ifolge (5 c) (5 f) x=^ x^-\-pcos(d, y =y^ +p sin 0; disse Formler kan tjene til Overgang fra det ene af de to ovennaevnte Koordinatsystemer til det andet.

20 II 14- Segmentet AB, hvis Endepunkter har Abscisserne 5 og II, danner en Vinkel paa 60^ med Abscisseaxen; find Laengden af AB. 15. Af to Punkter paa Linien gennem (3,4) og (5,1) har det ene Abscissen 5, det andet Ordinaten 3; find Ordinat og Abscisse til disse Punkter. 16. Find Laengderne af Sider og Medianer i Trekanten med Vinkelspidserne (3,41 (1,3) og (2,2). 17. Bevis, at den Linie, der forbinder Midtpunkterne af de to Sider i en Trekant, er parallel med den tredje Side og halvt saa stör som denne. 18. For enhver Trekant skal man med de saedvanlige Betegnelser bevise Formlen a- + /;- = 277/^'- 4- ^c-, (Uden at indskraenke Bevisets Almengyldighed, kan man laegge Koordinatsystemet, saa at Trekanten faar X^inkelspidserne (o, o), (a, o) og ( 3, Y); derved lettes Regningerne betydelig.) 19. Find de polaere Koordinater til (5,7), naar ( 1,3) tages til Pol, og Polaraxen danner Vinklen z' med;r-axen, saaledes at cos v = 0, Bestem det polaere Koordinatsystem, i hvilket (3,7) har Koordinaterne p = i, 0 = 30*^. 6. Forhold. Trekantens Tyngdepunkt. De i 2 og 3 udviklede Formler kan umiddelbart overfores til Punkter paa en vilkaarlig ret Linie i en Plan med et retvinklet Koordinatsystem; kun maa vi da erindre, at vi her stedse faar Formelpar svarende til hver enkelt af de tidligere udviklede Formler. Soger vi saaledes Koordinaterne (a, 3) til det Punkt P, der deler Segmentet AB med Endepunkterne [x^, y^) og [x^, y^) i Forholdet w, projiceres de tre Punkter paa Abscisse- og Ordinataxe i henholdsvis A^, B^, P^ og A^, B.,. Py- Det er da aabenbart, at /\ og P^ ogsaa maa dele Segmenterne A^B^ og AoB.y i Forholdet w; derved faas ifolge (2 a)

21 12 (6) a = ^^-^, ^^^l^-^il. ^ m i 7n I Omvendt maa det ved (6) bestemte Punkt (a, ß) ligge paa Linien gennem y^ og ^ og derfor dele Segmentet AB i Forholdet ;;/; ti man finder af (6) (6a) a x^= ^ ~ i ' (^2 ^i\ ß yi = ^ZTl' (-^2 ~Ii\ saa at Liniesegmenterne PA og PB, der har Punktet A faelles, tillige faar samme Retningskoefficient. Skal dernaest de to Punktpar A, B med Koordinaterne ( ^1. ;'i)> (^2> y^ og P, Q med Koordinaterne (a^, ßi), (a2, ßa) vaere harmonisk forbundne, faas paa samme Maade som for, ifolge (3 b), de to Betingelser ^ ' y 2{^i^2+yiy2) = {^i + ^2){yi+y2)' Er omvendt disse to Betingelser opfyldte, vil de fire Punkter A, B, P og Q ogsaa vaere harmonisk forbundne og derfor ligge i samme rette Linie, naar blot tre af dem har denne sidste Egenskab. Opgives nemlig Koordinaterne til tre af disse Punkter, f. Ex. {x^, jj, [x^, Ja) og («1, ßi), saaledes at BP a^ x^ ßi J^2 og bestemmes derpaa det fjerde Punkt ö («2. ß2) ved Hjailp af Ligningerne (6 b), saa haves, idet Betingelserne (3 a) og (3 b) er identiske, «2 ^1 ^ ß2 7i ^ _ «2 ^2 ß2 J2 ^' og dermed er vor Paastand bevist. Er det derimod paa Forhaand givet, at de fire ovennaevnte Punkter ligger i.samme rette Linie, behover man kun at anvende en af Ligningerne (6 b). Ved Undersogelser af denne Art traeder Fordelen ved de polaere Koordinater klart frem. Laegges nemlig Polen i den

22 13 rette Linie, hvorom' Talen er, behover man kun at indfore de fire Radiivektorer i Stedet for de fire Säet retvinklede Koordinater. De polaere Koordinater saetter os derfor i Stand til at behandle Punkter paa en vilkaarlig ret Linie med samme Lethed som Punkterne paa en af det retvinklede Koordinatsystems Axer. Som en anden Anvendelse af (6) vil vi finde Tyngdepunktet T i en Trekant med Vinkelspidserne {x^, y^, (.r.,, jo) og (^3> yz)^ Er il/midtpunktet af Siden gennem [x^, ji'2) (^3, y^, medens A er den modstaaende Vinkelspids, faar M Koordinaterne [(x^ + x^ : 2, (j'.> -j-j3): 2), medens T deler Segmentet AM i Forholdet 2; derved erholdes, ifolge (6), Saetningen: TyngdepU7iktet 2 e7i Trekant 77ied Vinkelspidserne [x^. y^], (^2. y-l) og {X^y J3) ^^ (6c) fe + ^- + -^, yi±yi±ih. 21. Siderne i en Trekant med Vinkelspidserne (7,1), (5,3) og (17,5) deles i Forholdene i, 2 og 3; find Tyngdepunktet i den Trekant, der har sine Vinkelspidser i Delingspunkterne. 22. I hvert af de 7i Punkter med Koordinaterne {x^, y^, ( ^2» y\..., (^n» jkn) anbringes en Partikel med samme Vaegt; vis, at Systemets Tyngdepunkt er /^^ + ;rg + + -^n ^.^ ' + :>^n\ \ j 7. De retvinklede Koordinaters jendring. Ved mange Undersogelser har man Brug for at aendre det oprindelig anvendte retvinklede Koordinatsystem, saaledes at et bestemt Punkt i Planen bliver Begyndelsespunkt, medens en bestemt ret Linie gennem dette Punkt bliver Abscisseaxe i det ny System.

23 14 Denne almindelige ^ndring kan bekvemmest oploses i to andre, nemlig en Parallelforskydning af begge Koordinataxer, saa at det onskede Punkt bliver Begyndelsespunkt, og en derpaa folgende Drejning om det ny Begyndelsespunkt af det saaledes dannede System, saa at ;r-axen falder sammen med den onskede Linie. Vi vil i det folgende betragte hver af disse ^ndringer for sig. I ^. Parallelforskyd7ii7igen. Lad det ny Begyndelsespunkt A i det oprindelige Koordinatsystem va^re {a, b); betegnes dets Projektioner paa Axerne ved A^ og A^, er da OA-^ a, OA2 = b. Lad dernaest Punktet M i det oprindelige System v^re {x, y), i det ny derimod {x^, y^), medens dets Projektioner paa de gamle Axer er M^ og M^, paa de ny N^ og N^y da faas OM^ = X, OM^ =y] A^M^ = x^, A^M^ =y^, saaledes at (i a) giver X = OM^ = OA^ + A^M^ =x^-y a y = OM^ = OA, + A,M, =y, + b; ti man har aabenbart AN^ = A^M^, AN, = A^M,. Ved ovennaevnte Parallelforskydning faar man derfor -^ndringsformlerne (7) x = x^-i- a, y =y^ + b. 2. Drej7iingen. Gennem 0 laegges et nyt Koordinatsystem med Axerne x' og f, saaledes at {xx') == v. Hvis et Punkt J/ i de to Koordinatsystemer er [x, y) og {x\ f), medens den positive Retning af OM betegnes ved /, og [xl) = <dy [x'l) = &y faas derfor 0 = 0' + ^; sattes endvidere OM = p, erholdes ifolge (5 f) de to Formelgrupper )7 a) x = p cos 0 r=: p cos (0'+ v), y =ps'm(d p sin (0'+ v) (7b) x'=p cos 0'=p cos (0 v), y=p sin 0'=p sin (0 2^). Anvendes dernaest i (7 a) de saedvanlige Additionsformler for cos (0' + v) og sin (0' + v)y findes ved Hjaelp af de forste Udtryk i (7 b)

24 (7 c) ;ir = x' cos v y sin v, y = x' sin v { f cos v, 15 der altsaa tjener til Overgang fra det gamle Koordinatsystem til det ny. Behandles derpaa (7 b) paa lignende Maade, faas Formlerne (7 d) x' =^ X cos V -\- y sinv, y' = x sin v -\- y cos v, hvorved man kan gaa over fra det ny System til det gamle Sammenholdes yendringsformlerne (7) og (7 c), haves Saetningen : ASndres et retvinklet Koordi7iatsystem saaledes, at [a. b) tages til Begy7idelsespu7ikt, 77tedens de7i 7iy Abscisseaxe faas ved at dreje de7i opri7idelige Vi7ikle7i v, og bestemmes et og samme Punkt i de to Systemer som henholdsvis {x, y) og [x\ y'), saa er (7 e),r = Ä + x' cos z' y sin v, y = b -{- x' sin v -{ y cos v. 23. Find Koordinaterne til Punktet (3,7), naar ( 1,3) tages til Begyndelsespunkt, medens Koordinatsystemet drejes Vinklen v^ saaledes bestemt at cos z; ^ 0,8, sinv^o, Parallelforskyd Koordinatsystemet, saaledes at Punktet (5,8) faar Koordinaterne (7,3). 25. Find cosz' og sin 7^ af de almindelige Drejningsformler (7 c) eller (7 d). 8. Kurver og deres Ligninger. Ligningen med to Ubekendte (8) f{x, y) = o vil i Almindelighed tilfredsstilles af et ubegraenset Antal Vaerdisaet af disse Ubekendte; man kan nemlig f. Ex. tillaegge x forskellige Vaerdier og derpaa af (8) finde den eller de tilsvarende Vaerdier af y. Hvis de saaledes bestemte sammenhorende Vaerdisaet er reelle, kan de opfattes som Koordinater til Punkter i en Plan med et forud givet Koordinatsystem.

25 i6 Lad dernaest x og y, x -\- h og y -\- k va^re to sammenhorende Vaerdisaetj som tilfredsstiller (8); det vil da i Almindelighed, naar den forelagte Ligning (8) er nogenlunde simpel, vaere muligt at vaeige h \ saa lille, at \ k\ bliver mindre end et forud opgivet nok saa lille positivt Tal. Vi kan ikke her bevise denne Egenskab ved (8); men gaar vi ud fra den som givet, kan vi deraf slutte, at de Punkter, hvis Koordinater tilfredsstiller en saadan Ligning, maa danne en Kurve K, der bestaar af en eller flere ko7itinuerte Gre7ie, og som er fuldstaendig bestemt, naar vi kender Ligningen (8), altsaa dens Koefficie7iter, hvis f er et helt Polynomium i x og y. Vi siger derfor, at f{x, jj/) = o er Ligningen i retvinklede Koordinater for Kurven K. Dermed mener vi, at K er geoi7ietrisk Sted for de Pu7tkter, hvis Koordi7iater tilfredsstiller ovenncbv7ite Ligni7ig. Skal en saadan Ligning virkelig kunne fremstille en Kurve, maa xogy blot vaere bundne til at tilfredsstille Ligningen, men iovrigt vaere ganske vilkaarlige; de kaldes l0be7ide Koordi7tater. Onsker vi at omskrive (8) i polcere Koordi7iater, anvendes (5 f), hvoraf den sogte Ligning (8 a) 9 (p, 0) =/(^L + p cos 0, /i + p sin 0) =. o. Ex. I. Ligningen maa fremstille en kontinuert Kurve; ti tilfredsstiller x og y, X + h og y -r k denne Ligning, erholdes umiddelbart k = h[lx^lh)', vaeiges nu >^ saa lille, at \ h\<:i2.\x\, faas derved \k\<c?> \x\.\h\\ altsaa \k\<iz, naar blot ^ << e : (3. ;r ). For x = o gaelder dette Raesonnement ikke; men da haves 4^ = 3>^^ saa at Kontinuiteten der er aabenbar. Lad nu f{x, j) = o og g[x, y) = o vaere Ligningerne for to Kurver K^ og K,\ den ny Ligning

26 17 (8 b) F {x, y) =f{x, y). g {x, y) = o, vil da fremstille en Kurve, der bestaar af K^ og K.^ tagne under et; ti (8 b) er tilfredsstillet af Koordinaterne til de Punkter, der ligger enten paa K^ eller K, eller paa dem begge, men derimod ikke af Koordinaterne til andre Punkter. Kurver, der fremstilles ved Ligninger af Formen (8 b), kaldes sammensatte. De foregaaende Bemserkninger viser, at den analytiske Geometri strax stiller os folgende to Fundamentalopgaver til Losning: i^. Med e7i Kurv es geometriske Egenskab er som UdgangspU7tkt skal 7na7i finde dens Lig7ii7tg. Ex. 2. Find Ligningen for en Cirkel med Centrum i [a, b) og Radius r. Anvendes Cirklens Definition, faas af (5 d) r= ±^[x-ay + {y-byy hvor [Xy y) er et vilkaarligt Punkt paa Cirklen; den sogte Ligning, bragt paa rational Form, bliver derfor [x ay-i- {y by = r^. Ex. 3. Find Ligningen for en ret Linie, der gaar gennem {a, a), og som med Abscisseaxen danner en Vinkel paa 135^. Anvendes (5 e), ser man, at Punkterne {x, y) paa denne rette Linie karakteriseres ved at skulle opfylde Betingelsen y :{x a) = i eller x -{- y ^ a, der altsaa bliver den rette Linies Ligning. 2^. Med Kurvens Lig7ii7ig som Udgangspunkt skal m,a7i finde de7is geometriske Egenskaber. Ex. 4. Ligningen y = b fremstiller en ret Linie parallel med Abscisseaxen i Afstanden b\ Abscisseaxen faar derfor Ligningen jj/ = o. N. Nielsen: Lasrebog i analytisk Plangeometri. 2

27 i8 Vi vil i det folgende faa Lejlighed til fuldstaendig at gennemfore Losningen af specielle Exempler paa begge de ovennaevnte almindelige Opgaver. 26. Plnd Ligningen i polaere Koordinater for en Cirkel med Radius r og Centrum i Polen, samt for en ret Linie, der gaar gennem Polen, og som ved Polaraxen danner Vinklen v. 27. Hvilken Form antager Ligningen ;r2 - - j/2 _ ^2^ ^^^j. Koordinatsystemet drejes Vinklen v om Begyndelsespunktet.? 28. Hvilken Form antager Ligningen x^ y^ = o, naar Koordinatsystemet drejes Vinklen 45*^ om 0} Omskriv ogsaa ovennaevnte Ligning i polaere Koordinater, naar Polen falder i 0 og Abscisseaxen er Polaraxe. Hvilken Kurve fremstiller den forelagte Ligning.? 29. Konstruer den Kurve, hvis Ligning er ^x -j- 4y = Konstruer Kurverne y = sinx, y = cos x, y == tgx og y = cot X. 31. Find den numerisk storste Abscisse og Ordinat, som noget Punkt af Kurven b^x^ + a^y^ = a^b^ kan faa, Hvorledes ligger denne Kurve i Forhold til Koordinatsystemet? Hvilke Egenskaber kan man udlede om 0 i Forhold til ovennaevnte Kurve, naar dens Ligning omskrives i polaere Koordinater med 0 som Pol og.^r-axen som Polaraxe.^ 9. Kurvers Sksering. Vi vil nu betragte to Kurver K og K^ med Ligningerne (9) /(^> j) = o, g{xy y)=^o\ Sk^ringspunkterne mellem K og K^ vil da have den Egenskab, at deres Koordinater tilfredsstiller begge Ligninger (9), hvoraf Saetningen:

28 19 Koordi7iaterne til Sk(Bri7igspu7ikter7ie melle^n to Kurver bestemmes ved at lese de to tilsvare7ide Lig7ii7iger med Hensyn til X og y. Ved Losningen af denne Opgave, hvor imagincere Rodsaet altsaa maa forkastes, kan der indtraeße et Par ejendommelige Tilfaelde, som vi naermere vil omtale: i^. Hvis L0S7ii7ige7i af to Kurv ers Ligninger giver samme7ifaldende Rods(Et, rorer de to Kurver hzna7ide7i i dit eller de derved bestemte Pu7ikter. Ex. I. Soges Skaering mellem Kurverne 9;r2 -[ = 25, <^x + \6y 25, findes en af de Ubekendte, f. Ex. Xy af den sidste Ligning, udtrykt ved den anden, her altsaa y. Indsaettes det saaledes fundne Udtryk i den forste af Ligningerne, faas Dobbeltrode7i y =: i, hvortil svarer x==^ i] de to Kurver rorer altsaa hinanden i Punktet (i, i). Vi vender nu tilbage til de to Ligninger (9) og antager, at de begge er algebraiske i x og y og af Graderne ;/ og p. Man kan da bevise, at det er muligt at eliminere en af de to Ubekendte, f. Ex. y, saa at der dannes en Ligning af Graden 7ip i x, og at de to Ligninger tilfredsstilles af 7ip Vaerdisaet af de Ubekendte. De to ovennaevnte Kurver maa derfor have np Skaeringspunkter, saafremt intet af de fundne Rodsaet er imagi7i( re. Det kan imidlertid i specielle Tilfaelde ske, at ovennaevnte Ligning i x bliver af lavere Grad end den ;//^^, fordi Koefiicienterne til de hojeste Potenser af x bliver Nul. En almindelig algebraisk Saetning^) giver da her folgende speciellere Regel: 2^. Hvis SkcBringe7i i7ieue77i to Kurv er, efter den ove7ifor a7igiv7ie Regel, skal fere os til en algebraisk Lig7iing af 771^^ Grad i e7i af Koordi7iater7tc, i7i 7i de7i7ie Lig7ii7ig kun bliver af Grade7i 771 q, fordi de q hojeste Potenser faar Koefficienter7ie Nul, har ove7t7icev7ite Koordi7iat q ue7idelig M Se 42 i min Lm-ebog i Algebra.

29 20 Store Va^rdiery saa at de to Kurver skcbrer hi7ia7ide7i i q uendelig fj(br7ie Punktery) Ex. 2. Soges Skaering mellem Kurverne faas folgende Ligning i x ^3 j^ yz ^ laxy, X -^y + ^ = o, l{a q) x"^ + 3^ (^ q) '^ q^ = Oy da denne Ligning skulde blive af tredje Grad i x, har de to Kurver derfor altid et uendelig tjaernt Skaeringspunkt. Saettes specielt q ==^ a, bliver alle tre Skaeringspunkter uendelig fjaerne. Vi vil i denne Sammenhaeng endnu bevise Saetningen: Hvis Lig7ii7iger7ie (9) fremstiller Kurver7ie K og K^, vil den 7iy Kurve med Ligni7ige7i (9 a) F {x, y) =f{x, y) + k.g{x, y) = o, hvor k er e7i vilkaarlig af x og y uafhce7zgig Konsta7it, gaa gennem Sk(Eri7igspu7ikter7ie for K og K-y, hvis saadan7ie existerer. Er nemlig x-^ og y^ et Rodsaet for Ligningerne (9), faas /(^i> Ji) = o og g[x^, y^) = o og derfor ogsaa F[x^, y^) =- o; (9 a) vil derfor ogsaa vaere tilfredsstillet af de imagincsre Rodsaet, som findes ved at lose Ligningerne (9) med Hensyn til X og y. 32. Find Skaeringspunkterne mellem Kurven löx'^ -\- gy'^ = 36 og enhver af de to Linier, der halverer Vinklerne mellem Koordinataxerne. ^) Man kan antyde dette Forhold ved at skrive ovennaevnte Ligning a^x^ + <i\.^^ ~ ^ + + ^q i-^'" q + I + ao^x^ ~ '^ :111=0 paa Formen ' +^^(^) + + «1-^(7)'~^+'^^(i)'+ +" "(7)"= =,a:ucs derpaa i den sidste Ligning ßq I = o, a<^ o. faa^ q Vaerdier for - lig med Nul, eller q \'a:rdier af x uendelig ^tore.

30 Bestem a og ^ saaledes, at de to Kurver y = ax + q og x- y^ ax -j- by = c- skaerer hinanden i to uendelig fjaerne Punkter. 34. Bestem q ved r og a, saaledes at Kurverne y = ax -~ q og ;tr-+j- = r- rorer hinanden, Hvilken Form antager den forste af disse Ligninger, naar Roringspunktets Koordinater x^ og j'^ indfores i Stedet for a og cj: 35. Find Skaeringspunkterne mellem Kurverne y = 0,3 og y = sin X samt mellem y = sin x og x = 0,3. TREDJE KAPITEL Den rette Linie. ^10. Ligningen af forste Grad i x og y. Som forste Exempel paa den i ^ 8, 2*^ naevnte Fundamentalopgave i den analytiske Geometri vil vi bestemme de Kurver, der kan fremstilles ved den almindelige Ligning af forste Grad i x og y; denne Ligning kan altid bringes paa Formen (10) ax -{- by = c, hvor a, b og c er uafhaengige af x og y. Bemaerkes det, at mindst en af Konstanterne i (10) maa vaere forskellig fra NuL hvis denne Ligning overhovedet skal kunne fremstille nogen Kurve, kan man bortdividere denne Konstant, saa at (10) ikke kan indeholde mere end to af hinanden uafhaengige Konstanter, men i AlmindeHghed heller ikke faerre. Kurven, der fremstilles ved (10), vil vaere bestemt ved to Betingelser, den skal opfylde, og som tillader os at bestemme de to Konstanter i (10). Skal f. Ex. ovennaevnte Kurve gaa

31 22 gennem de to givne Punkter [x^, y^) og [x.y, y.y), faas Betingelserne { ax. + b]\ = c ax., -}- by, = c'y de tre Ligninger (lo) og (loa) er homogene, lineaere i a, b og ^; da nu mindst en af disse ubeke7idte Konstanter ikke kan vaere Nul, faar man (10 b) X y \ x^ y^ I X, y, I = o. Idet (lo b) da og kun da kan vaere tilfredsstillet, naar {x, y) er et Punkt paa ovennaevnte Kurve, er (lob) derfor dennes Ligning. For at omforme (lob), traekkes anden Raekke fra de to andre i Determinanten; derved faas Ligningen (ro c) {y y^ [x, x^) = {x x^) [y, y^), som altsaa er identisk med (lob). Antages dernaest i (lo c) ;i;^> ^ ;ir^, kan (loc) bringes paa Formen (lo d) [y jj : {x x^) = [y, y^) : [x, x^); denne Ligning udtrykker ifolge (5 e), at ForbindelsesUnien mellem et fast Punkt [x^, y^) og ethvert andet Punkt [x, y) paa Kurven danner Vinklen v med ;i:-axen, idet (10 e) ^g^-^?^^'' den sogte Kurve kan derfor ikke vaere nogen anden end en ret Linie, der med.;t:-axen danner den ved (loe) bestemte Vinkel v. Vi har endnu tilbage at betragte det specielle Tilfaelde af (10 c), hvor X, = x-^y da faas, idet y.^ yi = o maa udelukkes, Ligningen (lof) x = x^y

32 som fremstiller e7i ret Li7iie parallel 7ned Ordinataxe7i i Afstanden x^\ ti denne Linie er geometrisk Sted for de Punkter, der har Afstanden x-^ fra j'-axen. Ordinataxen faar derfor Ligningen (log) ^ = 0. Saettes i (lod) j'-> =j)^i, er x, x^ =o udelukket; paa samme Maade som for ser vi da, at Ligningerne (loh) y =yx^ y = 0 fremstiller henholdsvis en ret Li7iie parallel 7ned Abscisseaxe7i i Afsta7ide7i y^ og Abscisseaxe7i selv. Antages i (loa) baade x.^ ^ x^ og y.-y <-jj'i, faas af disse Ligninger y-i yi ^ ^. sammenholdes dette Resultat med de speciellere Formler (lof) og (loh), faas den almindelige Saetning: Lig7ii7igen (lo) fre77tstiller altid e7i ret Li7iie med Ret- 7iingskoefficie7ite7i a\b. Af (lo d) faar man (10 i) y y^ = 7 ^ ^ (^ - ^l); denne Ligning, eller den dermed identiske (lob), vil derfor fremstille e7i ret Li7iie ge7inem de to giv7ie Pu7ikter {x^, y^ -Og [x y,). Er specielt x, =J'2 =0, findes Ligningen for en ret Linie gennem Begyndelsespunktet og [x-^, y^) at vaere (lo k) x^y = y^x. (loi) Af (loe) og (loi) findes endvidere y yi = (^' ^i)-tg^', som derfor er Ligningen for en ret Linie, der danner Vi7ikle7i V med Abscisseaxe7i og gaar genne77i Pu7tktet (^i, J'i). Er dette givne Punkt Begyndelsespunktet, faas Ligningen (IG m) y X. tgv.

33 24 Er det i (lol) givne Punkt derimod (o, y^), afskaerer den ovennaevnte Linie Stykket y^ af Ordinataxen, hvoraf Saetningen: E7i ret Linie, der afskcerer Stykket q af Ordinataxe7i, og S0771 har Retningskoefficie7iten a, faar Ligninge7i (lo n) y =. ax -\- q. Denne Form for den rette Linies Ligning er fuldt almindelig og kan hyppig med Fordel anvendes. Vi vil endnu betragte det Tilfaelde, hvor i7igen af Koefficienterne i (lo) er Nul; saettes i (lo) x ^=- o og derpaa jj^ = o, ser man, at den dertil svarende Linie vil afskaere Stykkerne q = c: b og p =^ c\ a af henholdsvis Ordinat- og Abscisseaxe; divideres dernaest med Cy antager Ligningen Formen (loo) f + ^ = I. 36. Parallelforskyd en af Koordinataxerne, saa at Linien ax -\- by ^=^ c kommer til at gaa gennem det ny Begyndelsespunkt. 37. Drej Koordinatsystemet, saaledes at Linien ax -\~ by =^ o bliver enten Abscisse- eller Ordinataxe. 38. Find det geometriske Sted for de Punkter, der har ligestore Afstande fra to givne. (Losningens Almengyldighed indskraenkes ikke, hvis man tillaegger de givne Punkter Koordinaterne {a, o) og ( ^, o)). 39. Find det geometriske Sted for de Punkter, hvis Afstande fra to givne har Kvadratdifferensen k"^, hvor k er et givet Liniesegment. II. To rette Liniers Sksering og Parallelisme. For at finde Skaeringspunktet mellem to rette Linier, maa vi lose deres Ligninger -\- by = ^ { ax X + b.j = c^ med Hensyn til x og y.

34 25 Hvis den til (ii) hörende Determinant ab^ af) Nul, har Linierne derfor Skaeringspunktet ( cb. c.b ac^ (^\c\ Oia \-T S.' -^ u)' \ao^ a^^b ab^ a^oj Er derimod ovennaevnte Determinant Nul, er altsaa / ux a ay (,.b) --ö=-x ikke er har de to Linier ifolge lo samme Ret7ii7igskoefficient; der kan da taenkes to Muligheder: i^. Hvis en af Taellerne i (na) ikke er Nul, maa den anden have samme Egenskab; man faar nemlig da a ^ > a^ b^<^ c^ saa at de to Ligninger (ii) er i Strid med hinanden; de kan derfor ikke* begge tilfredsstilles af samme e7idelige Vaerdisaet for X og y. De forelagte Linier er parallele. 2^. Er derimod en af Taellerne i (na) Nul, maa den anden ogsaa vaere det; man faar nemlig i dette Tilfaelde ( A\ a b c^ (II d) = = -; ^ ' a^ b^ q de Ubekendte bliver ubeste7nte: de to Ligninger (ii) er identiskey og de tilsvarende Linier derfor sam7ne7ifalde7tde. Af det foregaaende folger, at (II e) a{x x^) + b [y y^) = o vil vaere Ligningen for en ret Linie, der gaar gennem Punktet (^1) yi) ^S ^^ parallel med Linien ax -{- by c. 40. Bestem Koordinaterne til Tyngdepunktet i i\ ABCy naar A har Koordinaterne (5, 7), AB danner en Vinkel paa 45^ med Abscisseaxen, medens AC ga3,r gennem Punktet (i? 8), og BC afskaerer Stykkerne 5 og 3 af Koordinataxerne.

35 I /\ ABC trs^kkes Medianen 6yl/og en Linie CE ^ AB] bevis, at enhver ret Linie skaerer AC, BC og CM, CE i to harmonisk forbundne Punktpar. (Laeg Koordinatsystemet, saaledes at A, B og C faar Koordinaterne (o, o), {a, o) og [b, c); man behover da tilmed kun at betragte en Linie gaaende gennem J/.) 42. En vilkaarlig ret Linie skaerer Siderne i /\^ ABC i henholdsvis My N og P\ bevis Formlen AM BN CP _ 'BM'TN' 'AP~ '^^' 43. Gennem et vilkaarligt Punkt i Planen og Vinkelspidserne i /\ ABC traekkes rette Linier, der skaerer Trekantens modstaaende Sider i henholdsvis i^, NogP\ bevis Formlen AN CM BP^ 'CN' BM' AP~ '^" 12. Vinklen mellem to rette Linier. Soges Vinklen mellem to rette Linier, givne ved deres Ligninger, kan man altid forudsaette, at ingen af disse Linier er parallele med nogen af Axerne; ti disse specielle Tilfaelde kan let behandles direkte. Skrives Ligningerne paa Formen ( y = ax ^r p *'^' l y = ^^ +,, er derfor hverken a eller j3 Nul eller uendelig störe. Betegner / og /^ Liniernes positive Retninger, er som bekendt (/4) = [ix) + K) = K) - [xi), hvoraf, idet a = tg [xl), 3 = tg [xl^): Hvis de positive Retninger / og /^ virkelig er opgivne, er dermed [11^) bestemt paa et Multiplum af 271 naer; kendes

36 27 derimod kun Ligningerne (12), bestemmer (12 a) kun ovennaevnte Vinkel paa et Multiplum af rr naer. Vi vil saerlig betragte folgende to Tilfaelde: lo. (//^) ^ pn\ Li7iier7ie er parallele. Dette kan, med vore Forudsaetninger om a og ß, kun indtraeffe for a = l^, altsaa naar Linierne har sa7n77ie Ret7ii7tgskoeficie7it. 2^. (//^) - -j- /: T; Li7iierne staar vi7ikelret paa /mia7iden. Dette kan kun ske, naar Naevneren i (12 a) bliver Nul, altsaa naar (I2b) ß^_l, hvoraf Saetningen: To Linier er vi7ikelrette paa hi7ta7tde7t^ 7iaar de7i encs Ret7iingskoefficie7it er lig med de7i a7ide7is reciproke Veerdi 7ned modsat Teg7i. Vi vil dernaest söge Ligningen for en ret Linie l^, der gaar gennem det givne Punkt {x^, y^, og som med den givne Linie /, hvis Ligning er {12 c) y ^1 ax -^ q, danner en given Vinkel v. Af Identiteten faas umiddelbart K) = [xl] + (//,) = {xl) + V (12 d tg ;tr/.) = ^-^, ^ ^ ^^ ^^ \ a\.gv saa at den sogte Ligning bliver (12 e) y j'i = ^~~ (x xa. Denne Form for Ligningen for /^ er dog ubrugelig, naar enten a = 00 eller z' = rr: 2, altsaa enten l ^ y eller l ^ /^. En simpel Omformning giver imidlertid henholdsvis (12 f) y j'i = [x x{) cot V, (12 g) y-y^=. -^{x-x,), hvilket ogsaa let udledes direkte.

37 Find Vinklerne i Trekanten med Vinkelspidserne (I,5)T (3>2) og (- 5,1). 45. Bestem a^ saaledes at Vinklen mellem Linierne "^x jj^ = 7» t^x -\r ay ^=^ 6 er 135 ^. 46. Find Ligningen for en ret Linie, der gaar gennem Punktet (1,7), og som med Linien ix -{- jy = i danner en Vinkel paa 45^. 47. Find Vinklerne mellem 'ix yy = i og enhver af Linierne I4;t: + l6y = 3 og 2iy = 9:1: Find Ligningen for den vinkelrette paa Midten af Segmentet mellem Punkterne {x^, y^) og [x,, y,). 49. Angiv Betingelsen for, at Trekanten med Vinkelspidserne (^1. yi\ (^2> 72) og (^3> ^3) er retvinklet ved [x^, jj, og bevis dernaest Pythagoras's Laeresaetning. 13. Normalformen for en Linies Ligning. For at finde Afstanden d fra Linien / med Ligningen (13) ax -^ by = c til Punktet M{x^y y^) soger vi forst Skaeringspunktet [x,y y,) mellem / og den vinkelrette /^ fra M paa /. Da /^ faar Ligningen (13a) bx ay ^=^ bx^ ay^, findes x^^ og y, ved (na); derved erholdes ac + b^x^ aby^ _ ^^ abx^ -f- a^^ ^2 = a^j^b^ ' ^' ~ ^2 + ^2 ' hvoraf umiddelbart ^2 ^i=-^j2i^ ^^i ^yx\ y2 yi^-rj^j2{^ ^^x hi)r saaledes at (5 d) strax giver folgende Udtryk for den sogte Afstand (13 b) ^^ax, + öy^-c^ hvoraf Saetningen:

38 29 Skrives Formen Lig7ii7ige7i for de7i rette Li7iie ax -{- by ^=^ c paa ax -^ by c bliver Afsta7ide7i d fra den7ie Linie til Pu7iktet {x^, y^ det Udtryk, ma7i finder ved i venstre Side ^(130) for x og y at i7ids(ette Pu7iktets Koordinater x^ <^g ^i- Det er muligt at bestemme en Vinkel v, saaledes at (13 d) cos -z/ = + ^^- ) sm z^ = + ya^ -{- b^ " ya^^ + ^2 da disse Definitioner giver tgv = b:a, medens Linien (13c) har Retningskoefficienten a : b, er v den Vinkel, som en Linie vinkelret paa (13 c) danner med ;i:-axen. Skrives ifolge (13 d) Ligningen (13 c) paa Formen (13 e) X cos v-^ysinv-^-p = 0, bliver p, ifolge (13 b), Afstanden fra den givne Linie (13 c) til Begyndelsespunktet. Paa Grund af denne geometriske Betydning af Vinklen v og Afstanden p kaldes (13 c) eller den dermed identiske (13 e) den rette Linies Ligning paa Normalform. Disse Ligninger udtrykker, at Afstanden fra Linien til ethvert af dens Punkter er Nul; ti i Almindelighed betyder Udtrykkene paa venstre Side i disse Ligninger Afstanden fra ovennaevnte Linie til Punktet {x, y). Ligningen (13 e) kan ogsaa meget let udledes ved Drejning af Koordinatsystemet; man finder forst for Afstanden d fra Linien / med Ligningen H +/ = o til Punktet il/( i, rji) folgende Udtryk d=^c.,+p; drejes dernaest Koordinatsystemet Vinklen v, giver Formlerne (7 c) Ligningen for / paa Formen X cos V -\- y sinv -\- p == o og for Afstanden ^Udtrykket, idet Mi det ny System er [x^, j^), d ^ x^ cos V + y-^ sin v -^ p.

39 30 Af (13 c) faas den speciellere Saetning: Skrives Lig7ii7ige7i for den rette Linie ge7inem (x^, y^) og [x,, JK2) p^^ For77ie7i (13 f) (^2 ^1) (7 j'i) (72 yx) (^ ^'1) ^ o, bri7iges de7ine Lig7ii7ig paa Nor7nalfor7n ved Divisio7i med det re7ie Tal, der 7naaler Afsta7iden 7nelle77i de to givne Pimkter [x^, y^) og {x y,). Det fremgaar tydelig af (13 c) og (13 e), at den rette Linies Ligning paa to Maader kan bringes paa Normalform; i (13 c) er nemlig Fortegnet for Kvadratroden i Naevneren ubestemt; i (13 e) gaelder dette derimod den positive Retning for Normalen til den givne Linie, -andres denne positive Retning, skifter p Fortegn, medens v erstattes med v ^n. Den positive Retning for Normalen og dermed tillige Fortegnet i (13 c) kan bestemmes derved, at Afstanden fra Linien til et bestemt Punkt i Planen skal vaere positiv. Da Vinklen v dermed er e7itydig bestemt, vil alle Normaler til den givne Linie have deres positive Retninger til den Side, hvor det ovennaevnte Punkt er beliggende. Den givne Linie deler derfor Planen i to Halvplaner, saaledes at alle Afstande fra Linien til Punkterne i den ene Halvplan er positive, til Punkterne i den anden derimod negative. 50. En Trekant har Vinkelspidserne (3, i), (7, 4) og (6, 3); find Trekantens Hojder, der alle skal vaere positive. 51. Fra et Punkt i Grundlinien af en ligebenet Trekant faeldes vinkelrette paa Benene; bevis, at Summen af disse Vinkelrette er lig med Trekantens Hojde. 52. Ligningerne for Siderne i en ligesidet Trekant, hvis to Vinkelspidser er {a, o) og (o, o), skal baade ved Anvendelse af (i3e) og (13 f) bringes paa Normalform, saa at alle Afstande ind mod Trekanten er positive. 53. Bevis, at Summen af Afstandene, regnede med Fortegn, fra et vilkaarligt Punkt i Planen til Siderne i en ligesidet Trekant er lig med Trekantens Hojde.

40 Anvendelser af Normalformen. Den i 13 givne ny Form for den rette Linies Ligning tillader en Maengde forskellige Anvendelser, af hvilke vi her vil omtale nogle gennem Losningen af folgende Opgaver: I ^. Find Lig7ii7ige7i for det geo7netriske Sted for de Pu7tkter, der har Afsta7iden 5 fra de7i rette Li7iie (14) I2;tr 5j' = 2. Bringes (14) paa Normalform, ser man, at Afstanden fra denne Linie til Punktet [x, )>) bestemmes ved Udtrykket \2X 5j)/ 2 saettes dette lig med 5, faas som geometrisk Sted de to rette Linier, parallele med (14) 12;ir 5j = 67 \2X ^y = 63. 2^. Hvorvidt ligger Punktet (3, 4) melle77i de to parallele Li7iier (14a) 3.^ 4j=i, 6;r 8_^ = 7.? Bringes de to Ligninger (14 a) paa Normalform, idet vi lader den fra 0 udgaaende faelles Normal have samme positive Retning for begge Linierne, faas f. Ex. ^x 41/ I 6x 8y 7 ^ = o, ^ - = o; 5 ' 1 0 indsaettes derpaa 3 og 4 i Stedet for x og y \ disse Ligninger, ser man, at Afstandene fra begge Linier (14 a) til ovennaevnte Punkt er 7iegative\ Punktet (3, 4) ligger derfor ikke mellem Parallelerne. 3^. Halveri7tgsli7iierne for Vi7tklerne mellem to Li7iier. Lad to Liniers Ligninger paa Normalform vaere (14b) ;i:cos u -{- y ^\nu +/ = O, ;i:cos e' + jj/sin z^ + ^ = O,

41 da vil Ligningerne for de Linier, der halverer mellem de to givne, vaere Vinklerne (14 c) ;ircos u -{-y s'm u -\- p = + (;rcosz/ -]- y sinv - - q); ti disse Ligninger udtrykker netop, at Afstandene fra de to Linier (14 b) til Punktet {Xy y) er ligestore med samme eller med modsatte Tegn. For at skaelne de to Halveringslinier i (14 c) fra hinanden, maa vi naermere karakterisere dem, som det f. Ex. vil ske i folgende Opgave: 4^. Fi7id Lig7ii7tge7i for den Li7iie, der halverer det Par Topvinkler mellem Li7iierne (14 d) 3^-f 47=1, 5^ 127 = 7, hvori Pmiktet (i, i) er beligge7ide. De to Ligninger (14 d) paa Normalform bliver / V 3-^ + 4r I ^x \2y l ( 4e) ^ ^ = ' +13 = = for at finde den forlangte Halveringslinie, bestemmer vi Fortegnene i (14 e) saaledes, at Afstandene fra de givne Linier til Punktet (i, i) begge buver positive; Ligningerne (14 e) bliver da 3;t; + 4y I ^ ^ 5;tr+ I2J/ + 7 ^ ^ 5 ' 13 og den sogte Halveringslinie faar derfor Ligningen %x j / = Vis, at de to Halveringslinier i (14 c) staar vinkelret paa hinanden. 55, Find det geometriske Sted for de Punkter, hvis Afstande fra Linierne har Forholdet a, 2ß

42 Indeni Trekanten med Vinkelspidserne-^(2, l), B{ i, ) og C{ ^-f'y -\^-) skal man bestemme et Punkt, hvis Afstande fra Trekantens Sider forholder sig som i : 2 : I /\ABC halveres A og dens Nabovinkel; vis, at Halveringslinierne skaerer Siden BC i Punkter, der deler ^(T harmonisk i Forholdet AB: AC 15. Trekantens Areal. Tre Punkter i ret Linie. For at finde Arealet af Trekanten med Vinkelspidserne (^1) yil (^2> 72) og {x^y 73), vaeiger vi [x^, y^) til Toppunkt, Laengden g af Grundlinien bliver da (15) CT ^> ±i{^2 ^3)' + {y2-ysr^ medens Laengden af den tilsvarende Hojde h findes, efter at vi har bragt Grundliniens Ligning paa Normalform. Anvendes Ligningen (10 b) eller den dermed identiske (13 f), bliver den sogte Ligning paa Normalform X X, Xc y 72 ys g o, hvoraf ved at indsaette Toppunktets Koordinater i Stedet for X og y (15 a) 2T = g. h X, yi hvor T betyder Trekantens Areal. Udregnes Determinanten, faas, idet anden Raekke traekkes fra forste og derpaa tredje fra anden, {15 b) 2 7 = (^1.r,) [y, J3) [y^ ;',) [x, x^). Hvis Trekantens Areal bestemmes ved en af Formlerne (15 a) eller (15 b), bliver dens Fortegn ubeste7nt. Det er muligt ved Hjaelp af (15 a) at regne ovennaevnte Areal med Fortegn, idet Koordinaterne til Vinkelspidserne indfores i N. Nielsen: Laerebog i analytisk Plangeometri. 3 ^2 ^3 y2 J's