Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau maj maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler"

Transkript

1 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for den tilsvarende andengradsligning og derefter indsætte i toppunktsformlen: d b 4ac b d 4 64 T ; T ; T 1; 8 a 4a 4 Opgave : Trekanterne ABC og ADE er ensvinklede, da de deler vinkel A, og da det som angivet på figuren gælder, at ACB AED, hvilket følger af, at linjerne DE og BC er parallelle og vinklerne dannes af den samme rette linje, der skærer de to parallelle linjer. Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem ensliggende sider i de to trekanter konstant (og dette forhold kaldes skalafaktoren): DE AE AE 10 0 DE BC 5 BC AC AC 4 4 Opgave 3: Man kan både løse ligningssystemet med lige store koefficienters metode og ved substitutionsmetoden: Substitutionsmetoden: x y 11 x 11 y Indsættes i den anden ligning: 6x y y y 4 4y y 4 y 6 Dette indsættes i den første ligning: x xy Dvs. løsningen til ligningssystemet er, 5,6 Lige store koefficienters metode: x y 11 x y 6x y x y 4 6x y 4 6x y 4 4x 0 x 5 Dette indsættes i den øverste ligning: 5 y 11 y 6 xy Dvs. løsningen til ligningssystemet er, 5,6

2 Opgave 4: Ligningen skal omskrives til formen direkte kan aflæses: x a y b r, hvor radius r og centrum C(a,b) så x 6x y y 6 0 x 3 y x 3 y 1 6 Dvs. r 6 og C 3, 1 f x ax 5x x 1 Opgave 5: 3 Først bestemmes den afledede funktion ved af differentiere ledvist, og derefter udnyttes kendskabet til differentialkvotienten i 1: f ' 1 3 til at bestemme a: f f x ax x ax x ' Da ' 1 3har man : 3 3a a 10 3a 15 a 5 1 Opgave 6: Der skal integreres ved substitution, da udtrykket består af en sammensat funktion x 7 multipliceret med den afledede af den inderste funktion x 7 ' x Dette kan gøres på flere måder: Metode 1: Der integreres med hensyn til nævneren: x x dx 7 1 dx d x 7 ln x 7 k ln x 7 k x 7 x 7 x x 7 I sidste skridt er det benyttet, at argumentet x 7 altid er positivt, så numerisktegnet er overflødigt. Metode : Man indfører substitutionen t x 7 Så har man: dt d x 7 x dx dx dt dx x Hermed bliver udregningerne: x x dt 1 dx dt ln t k ln x 7 k ln x 7 k x 7 t x t

3 Opgave 7: ABC : A 80, a 1, b 11 a) Først tegnes en skitse af trekanten: Umiddelbart er der tale om det dobbelttydige trekantstilfælde, men som det ses ved udregningerne, er der kun én mulig trekant med de opgivne mål. Hvis man anvender cosinusrelationerne, slipper man for overvejelser angående stumpe og spidse vinkler, men sinusrelationerne er hurtigere at regne på: Cosinusrelationerne: Udregningerne foretages i Maple: Sinusrelationerne: sin B sin A sin 80 sin B 11 b a 1 1 sin 80 1 sin 80 B sin 11 B180 sin B 64, B 115, Da længden af siden a er større end længden af siden b, kan vinkel B ikke være større end vinkel A, og dermed må den stumpe vinkel forkastes. Vinkel C kan så bestemmes ved at udnytte, at vinkelsummen i en trekant er 180.

4 b) Da medianen fra A deler siden BC i to lige store dele, får man ved at regne på trekant ACD: M t Opgave 8: t b a M er det årlige antal møder og t er tiden målt i antal år efter a) Der er tale om en eksponentiel udvikling, og da man kender mere end to sæt sammenhørende værdier, skal der laves regression. Udregningerne foretages i Maple: b) År 010 svarer til t = 47, så antallet af årlige møder i 010 beregnes ved:

5 f x x 5x 7,5 x Opgave 9: 3 a) Grafen for f indtegnes i Geogebra (hvor man også kan placere et punkt og få Geogebra til at finde tangentens ligning): Ligningen for tangenten til grafen i (1,f(1)) udregnes ved først at finde y-koordinaten for røringspunktet og derefter tangentens hældning: f ,51 157,5 1,5 3 Tangentens hældning: f ' x 3x 10x 7,5 f ' ,5 0,5 Dette indsættes så i ligningen for den rette linje: y y0 ax x0 y 1,5 0,5 x 1 y 0,5 x 1 b) Skæringspunktet mellem tangenten og grafen beregnes i Maple, og da man kan se, at tangenten ligger øverst i det pågældende interval, kan man efterfølgende beregne arealet af området M.

6 A 1,5 B 9,17 Opgave 10: a) For at bestemme en parameterfremstilling har man brug for et punkt, som linjen går igennem, og en retningsvektor for linjen. Her vælges punktet A som punkt, og som retningsvektor skal man bruge en vektor, der er parallel med vektoren fra A til B: AB rl AB En parameterfremstilling med parameteren t er så: x t y 5 3 b) Projektionen af P10,1 på linjen l, svarer til skæringspunktet mellem linjen l og linjen m, der går gennem P og står vinkelret på l. Retningsvektoren for l svarer til en normalvektor for m: nm rl Så en ligning for linjen m bliver: a x x b y y x 10 3 y 1 0 x 3y 43 0 Skæringen mellem de to linjer bestemmes ved at indsætte koordinaterne for linjen l i ligningen for linjen m: 1 t 3 53t t 6 0 t Dette indsættes i parameterfremstillingen for linjen l for at finde koordinatsættet: x 1 5 y Dvs. koordinatsættet til projektionen er: (5,11)

7 Opgave 11: I Maple defineres punkterne som stedvektorer, så de er nemmere at regne med:

8 Opgave 1: a) Stikprøven er - som det også ret tydeligt fremgår af opgaveteksten - de 1005 familier med bil, der har fordelt sig som angivet i den nederste tabel. Populationen er samtlige familier i Danmark med bil. Nulhypotesen er, at fordelingen på de fem regioner i Danmark ikke har ændret sig. b) Der skal laves et χ -GOF-test. Det gøres i Maple.

9 du Opgave 13: 0,1518 U U er skibets CO-udledning målt i g/ton/km. x er skibets fart målt i knob. dx a) I Maple bestemme den partikulære løsning til differentialligningen, der går gennem punktet (5 ; 6,5). b) Hvis man tager udgangspunkt i, at 6,5g/ton/km er 100%, kan man regne procenterne ud for de forskellige hastigheder: (Muligvis skal man kun teste de 3%, men opgaveformuleringen er ikke helt klar)

10 Opgave 14: a) Omkredsen beregnes ved at tage tre sider fra rektanglet og sider fra trekanten. O y x y x x 3x y Når x 50 og y 100 får man: O Dvs. omkredsen er 350m Arealet kan beregnes ved lægge arealerne for de to figurer sammen, hvor arealet af trekanten bestemmes med ½-appelsinformlen: 1 1 A Arektangel Atrekant x y x xsin sin , Dvs. at arealet er 608,53m b) Hvis omkredsen skal være 00m, har man: 00 3x x y y 00 3x y 100 x 3 Da sin 60, får man: x x 3 3 x 3 3 Ax x y x100 x 100x x x 100x c) Det største areal i området 0 x 60 bestemmes ved at finde nulpunkter for den afledede funktion og fortegn for den anden afledede de pågældende steder for at afgøre, om det er maksimum, minimum eller vandrette vendetangenter:

11 7. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Udtrykket reduceres ved at anvende en kvadratsætning på første led: p q pq q p q pq pq q p Opgave : x x15 0 Ligningen løses med diskriminantmetoden: d b 4ac dvs. løsninger. 5 b d x x 3 x a 4 3 Opgave 3: Ct 1,5 0,64 t, hvor C(t) er koncentrationen af medicinen i blodet målt i mg/ml og t er tiden målt i timer efter indsprøjtningen. Det er en eksponentiel udvikling, og 1,5 er begyndelsesværdien, så lige efter indsprøjtningen i blodet er koncentrationen af medicinen i blodet 1,5 mg/ml. 0,64 er fremskrivningsfaktoren, så vækstraten bliver r a1 0,64 1 0,36 36%, dvs. at koncentrationen aftager med 36% i timen. Opgave 4: Væksthastigheden svarer til hældningen for tangenten i det pågældende punkt, så det afgørende er, om hældningen er positiv eller negativ. På den røde og på den grønne graf har tangenterne i x = 0 negative hældningen, så væksthastighederne er negative for f og h. På den blå graf har tangenten i x = 0 positiv hældning, så væksthastigheden er positiv for g. dy f x e x x x y dx Det undersøges, om funktionen er en løsning til differentialligningen, ved at indsætte i differentialligningen og se, om man får en identitet: x f ' x e x x Opgave 5: Indsættes: dy x dx y e x x e x x x x x x e x e x 0 0 Da dette er en identitet, er funktionen en løsning til differentielligningen. Opgave 6: I intervallet ]0,[ ligger f over g, så arealet af M kan bestemmes ved: 0 AM f x g x dx F x G x F G F 0 G

12 7. maj 014: Delprøven MED hjælpemidler Opgave 7: Man har 7 t a og b 3 6, og første spørgsmål løses i Maple: b) Hvis determinanten skal være 30, får man: 7 t 1 det a, b t 30 3t 4 30 t f h Opgave 8: a b h f(h) er belastningsevnen målt i 10 3 mm 3 og h er højden målt i mm. a) Der er tale om en potensfunktion, så man skal lave potensregression.

13 f x ln x 5 0, 5 x 1 Opgave 9: a) I Geogebra indtegnes grafen, og man kan finde skæringspunktet ved at vælge 'Punkt' --> 'Skæringsværktøj' hvorefter grafen og 1. aksen markeres. Dvs. førstekoordinaten er grafisk bestemt til -1,01. Men man kan også lade Maple finde stedet ved at udnytte, at f x 0, når grafen skærer 1. aksen i x: Dvs. førstekoordinaten til grafens skæringspunkt er -1, b) Arealet af området M, der ligger i. kvadrat, kan beregnes som det bestemme integral med nedre grænse -1,01164 og øvre grænse 0:

14 Opgave 10: a) Nulhypotesen er: Der er ikke forskel på, hvilke opholdssteder de to ålearter foretrækker. (Denne nulhypotese er ækvivalent med at sige, at ålenes opholdssteder er uafhængige af ålenes art).

15 Opgave 11: a) Når x = 4, kender man længderne af de to kateter i den retvinklede trekant ABC, og dermed kan hypotenusen beregnes ved Pythagoras: AB AC BC AB AC BC , Da siderne måles i enheden meter, har man AB 4,1m Når man nu kender AB, har man alle tre sidelængder i trekant ABD, og dermed kan en vinkel bestemmes med en cosinusrelation: cos v AD BD AB AD BD v cos 109, b) Arealet af den retvinklede trekant ABC kan bestemmes ved T h g, hvor den ene katete fungerer som højde og den anden som grundlinje, mens arealet af den skævvinklede trekant kan bestemmes med ½-appelsinformlen. Man får så: A Tret Tskæv h g AD BD sin v 14 3sin 109, 471 4, Dvs. arealet af området er 4,83m 1 1 T x x 4 x x ; 8 x 4 4 c)

16 Opgave 1: Stedvektorerne for de opgivne punkter defineres i Maple, så man kan regne videre med dem:

17 Opgave 13: f x 3sin x 0,7 1 ; P 3, f 3 a) For at bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i P skal man kende røringspunktets andenkoordinat samt tangentens hældning. Røringspunktets andenkoordinat bestemmes først: b) Da sinusfunktionen højst kan antage værdien 1 og mindst værdien -1, får man: f f max min Perioden T er den værdi, der skal lægges til x-værdien, for at sinusfunktionen har foretaget én bølge. Dette sker, når argumentet (udtrykket inde i parentesen) øges med. Dvs. at: x T 0, 7 x 0, 7 x T 0, 7 x 0, 7 T T

18 dy Opgave 14: a 0 5t y dt a) Da det vides, at temperaturen i beholderen til t = 0 er 0 C, kan differentialligningen løses, når a sættes til 0,07: b) Konstanten a kan bestemmes, når man kender temperaturen efter 16 minutter:

19 14. august august 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: x x15 0 Da koefficienten for andengradsleddet er 1 a 1, kan man løse andengradsligningen ved først at faktorisere, hvis man kan finde to tal, hvis produkt er -15 og sum er. Dette gælder for 5 og -3, så man har: x x 15 0 x 5 x 3 0 x 5 x 3 Man kunne også have anvendt diskriminantmetoden: d b 4ac dvs. løsninger b d x Dvs. x 5 x 3 a 1 5 Opgave : f x,5 x 15 Det er en lineær model, og hældningen -,5 fortæller derfor, at for hver krone prisen sættes op (x-værdien øges med 1), vil antallet af solgte is falde med,5 (y-værdiens tilvækst er -,5). Ingen solgte is svarer til f x 0, så for at finde den pris, der ikke giver nogen solgte is, skal man løse følgende ligning: 0,5 x 15,5 x x 50,5 Dvs. at hvis prisen sættes til 50 kroner, vil der ikke længere sælges nogle is. Opgave 3: Da trekant ABC er retvinklet, kan man bruge Pythagoras til at finde længden af siden BC. AC BC AB 4 BC 5 BC BC 3 (Ved sidste biimplikation er det underforstået, at længden nødvendigvis må være positiv) Da de to trekanter er ensvinklede, er forholdene mellem ensliggende sider ens, så man har: DE DF DF DE AB AB AC AC DE 5 5 4

20 Opgave 4: For at kunne aflæse cirklens centrum (a,b) og radius r, skal ligningen omskrives til formen x a y b r Man får: x y x 4x y 6y 3 0 x y Dvs. C, 3 og r 4 dy f x xe y e dx Det undersøges om funktionen er en løsning til differentialligning ved at indsætte funktionsudtrykket samt udtrykket for den afledede funktion i differentialligningen og se, om det giver en identitet: Den afledede funktion bestemmes ved produktreglen: f ' x 1e x xe x e x x e x Opgave 5: x x Indsættelse i differentialligningen giver: x x x x e xe xe e Da udtrykkene på begge sider er ens, er det en identitet, dvs. funktionen er en løsning til differentialligningen. 3 3x Opgave 6: dx 3 x 7 Man kan bestemme værdien af dette bestemte integral ved at integrere med hensyn til 3 3 x x d x 7 x d x 7 dx 3 x 7' x 7 x 7 x 7 3x x d x ln x 7 ln 3 7 ln 7 ln 0 ln 1 ln 0 3 x 7 : Man kan også udregne det ved at lave substitutionen: 3 t x 7 dt 3x dx dt 3x dx x x 3 : t : t x 1 dx dt ln t ln 0 ln 1 ln 0 x 7 t

21 14. august 014: Delprøven MED hjælpemidler Opgave 7: 1 a og b 3 5 a) Vinklen mellem de to vektorer bestemmes ved formlen cosv Udregninger foretages i Maple: ab a b Dvs. at vinklen mellem vektorerne er 40, ab b) Projektionen af a på b beregnes ved ab b b Dvs. at a b

22 h Opgave 8: a) Modellen er d b a, hvor h er den uafhængige variabel, og da den står som eksponent, er modellen en eksponentiel udvikling. Da man har en hel tabel med værdier, skal der anvendes regression. Dette gøres i Maple: b) Hvis modellen holder, vil diameter i højden 6km (h=6) være: c) Tallet a er fremskrivningsfaktoren, der er forbundet med vækstraten ved a1 r, dvs.: r a11, ,0464 4,64% Tallet a fortæller altså, at diameteren vokser med 4,6% for hver km vejrballonen stiger op. En forøgelse på 50% svarer til en fremskrivningsfaktor på 1,5. Så man har: hstart hstart h dstart ba 1,5 dstart ba 1,5 a h h start h start 1,5 d d start ba start ba Hermed bliver: ln(1,5) ln(1,5) h ln a h 8, ln(1, ) Dvs. højden skal øges med 9,0km h

23 f x ln x x 5 ; x 0 Opgave 9: a) For at kunne bestemme tangentens ligning skal man kende røringspunktets koordinater og tangentens hældning. Røringspunktets andenkoordinat bestemmes: f ln 5 ln 1 1, Hældningen bestemmes ved først at finde den afledede funktion ved ledvis differentiation: 1 f ' x x 1 3 f ' 3 3 Tangentens ligning bliver så: y ln 1 x y x 4 ln b) Først bestemmes nulpunkter for den afledede funktion: f ' x 0 0 x x x 1 Fortegnet for den anden afledede af f i x bestemmes: 1 f '' x x 1 1 f '' Da den anden afledede er negativ, er der lokalt maksimum i x. Og da definitionsmængden kun består af de positive tal, har man: 1 f er voksende i intervallet 0; og aftagende i intervallet 1 ; Opgave 10: C1,, 1 P1,0,5 : y 6z 40 0 a) Ligningen for kuglen kan opskrives, når man kender radius og centrums koordinatsæt. Centrum kendes allerede, og radius svarer til afstanden mellem C og P: r CP Da kuglens ligning er x y z x a y b z c r, har man: b) Afstanden fra centrum til planen bestemmes: dist( C, ) 40 r Da afstanden fra centrum til planen ikke svarer til radius, er det ikke en tangentplan.

24 y 0,034 1 a x a x,1 Opgave 11: a) I Maple gemmes ligningen, og den plottes i intervallet 0 x 10 b) Hvis bolden skal gå midt gennem kurven, skal punktet 10;3,05 ligge på kurven: Dvs. at a 0,5308 a,4104

25 Opgave 1: a) Nulhypotesen er, at terningen er ærlig. Da der er 6 udfald med lige store sandsynlighed, er sandsynligheden for et bestemt øjeantal Med 1000 kast skulle et bestemt øjeantal altså fremkomme , 6 gange. 6 Den forventede tabel på baggrund af nulhypotesen er derfor: Antal øjne Hyppighed b) Man undersøger fordelingen med et χ -Goodness of Fit-test:

26 f x 0,00105 x 0,0467 x 0, 45 x 4,78 Opgave 13: 3 Da grafen ikke kommer under y-aksen i det pågældende interval, bestemmes arealet ved: Dvs. AM 87,73 b) Rumfanget af omdrejningslegemet beregnes ved: Dvs. vasens rumfang er 3 146,cm

27 Opgave 14: dn a N 90 N dt a) Da tiden t regnes i antal år efter 1996, har man N 0 3 og Differentialligningen løses med betingelserne: N b) I logistisk vækst angiver tælleren (der er aflæst som tallet i parentesen i differentialligningen) den øvre grænse for funktionsværdien. Dvs. den øvre grænse for antallet af fødedygtige ulvepar er 90 Da det er logistisk vækst, ved man, at væksthastigheden er størst, når halvdelen af den øvre grænse er nået, dvs. når der er 45 ulvepar. Så man udregner: Man kunne også have løst det ved at finde det eller de steder, hvor den anden afledede er 0, og hvor den tredje afledede er negativ (svarende til lokalt maksimum for den første afledede funktion, der angiver væksthastigheden):

28 Opgave 15: AB 6 ; BC 5 ; AC 7 a) Man kender alle tre sider i trekanten, så vinkler man bestemmes med cosinusrelationerne: cos A AC AB BC AC AB A cos 44, b) Arealet af trekant ADE kan udregnes med ½-appelsinformlen: 1 1 TADE AD AE sin A x 6 ysin A 1 7x 60x 5 TADE x x 6 sin 44, x 84 For at bestemme den værdi for x, der giver trekant ADE det største areal, findes først nulpunkter for den afledede funktion (Maple anvendes):

29 5. december 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: x 5x14 0 Det er en andengradsligning, og da andengradsleddets koefficient er 1, kan man faktorisere ved at finde to tal, hvis produkt er -14 og sum er 5, dvs. 7 og -: x 5x 14 0 x 7 x 0 x 7 x Man kan også anvende diskriminantmetoden: d b 4ac dvs. løsninger. b d x a 1 7 Opgave : Lad A være arealet af havisen målt i millioner km. Lad t være antal år efter 008. Da arealet aftager med en fast procentdel, skal modellen være en aftagende eksponentiel udvikling, og da r 1,3%, er fremskrivningsfaktoren a1 r10,013 0,987. Med begyndelsesværdien 6 fås altså: At 6 0,987 t Opgave 3: På figuren skal man have konstrueret en trekant, så man kan regne på situationen. Punktet D (gyngen) projiceres ind på gyngestativet i punktet B, og punkterne A, B og D danner så en retvinklet trekant med den rette vinkel B. Da BD CE 4m, giver Pythagoras: AB BD AD AB AD BD 5m 4m 5m 15m 9m 3m Man skal bestemme gyngens højde over jorden dvs. DE, og man har så: DE BC AC AB 6,3m 3m 3,3m

30 1 Opgave 4: f x 6 x, x 0 P 1,8 x Først bestemmes ved ledvis integration den form samtlige stamfunktioner er på: 3 3 F x ln x x k ln x x k (numerisktegnet fjernes, da x > 0) Punktets koordinater indsættes for at finde k: 3 8 ln 1 1 k 8 0 k k 6 3 Dvs. F x ln x x k dy x 1 dx y 1 For at bestemme en ligning for tangenten til grafen for f i P, skal man kende tangentens hældning samt røringspunktets koordinater. Da man allerede kender P's koordinater, mangler man kun hældningen, og den kan bestemmes ved at indsætte punktets koordinater i differentialligningen, da dy netop angiver funktionens væksthastighed - dvs. tangenthældningen - det pågældende Opgave 5: P,3 dx sted. dy 1 5 dx 31 Så tangentens ligning er: y y a x x y 3 x y x f x x 6x x Opgave 6: 3 Man skal finde det sted, hvor ledvis differentiation: f ' x 3x 1x 1 f ' x er maksimal, så først bestemmes den afledede funktion ved Her kan man bemærke, at grafen for den afledede funktion er en parabel med benene pegende nedad, så man skal altså bestemme førstekoordinaten for toppunktet: b 1 1 xmax a 3 6 Hvis man ikke opdager, at det er en parabel, kan man også anvende standardmetoden, hvor man dog skal bemærke, at det ikke er funktionen, men den afledede funktion, der skal være maksimal, og derfor skal man finde det sted, hvor den anden afledede er nul og den tredje afledede negativ. Nulpunktet for den anden afledede bestemmes: f '' x 6x 1 f '' x 0 6x 1 0 6x 1 x Det tjekkes, om fortegnet for den tredje afledede er negativ dette sted: f ''' x 6 dvs. f ''' 6 0

31 5. december 014: Delprøven MED hjælpemidler Opgave 7: Kvartilsættet kan aflæses direkte ud fra tabellen, da vægten af rejerne er angivet i en ordnet tabel. Der er 5 rejer (et ulige antal), så medianen er den 13. observation (den midterste observation). Der er nu 1 observationer tilbage i de to halvdele, og da det er et lige antal, vil den nedre kvartil være gennemsnittet af 6. og 7. observation, mens den øvre kvartil vil være gennemsnittet af 19. og 0. observation. Man får altså: 8 8 Nedre kvartil 8 Median = 15 Øvre kvartil Boksplottet tegnes i Maple:

32 C 1, 1 og radius 5. Opgave 8: Cirkel med centrum i a) Cirklens ligning x x y y 3 0 omskrives til formen x a y b r, hvor centrum og radius direkte kan aflæses: x x y y x y Her kan centrums koordinater aflæses C a, b C 1, , og radius aflæses til r 5 b) l : x 7y 17 0 For at bestemme skæringspunkterne mellem linjen og cirklen, kan man isolere x i linjens ligning og indsætte den i cirklens ligning, hvorved man kan finde y-værdierne for de punkter, hvor linjen skærer cirklen. Ud fra y-værdierne kan man i linjens ligning efterfølgende bestemme de tilsvarende x-værdier. Men alt dette kan også gøres i Maple, der kan løse de to ligninger med to ubekendte: a Opgave 9: Modellen hedder v b T, og da variablen T står som rod i en potens, er det en potensfunktion. Da man kender en hel tabel af værdier, skal der laves regression, hvilket gøres i Maple: a)

33 Opgave 10: Ud fra de angivne stykker i trekant ABC tegnes en skitse i Maple (med 'Insert' --> 'Canvas'):

34 Opgave 11: f x x x e x Monotoniforholdene bestemmes ved først at finde de steder, hvor der er lokalt maksimum, lokalt minimum eller vandret vendetangent, da det opdeler x-aksen i de områder, hvor funktionen er monoton. For at finde disse steder bestemmes de steder, hvor den afledede funktion er nul, og fortegnet for den anden afledede funktion anvendes til at se, om det er maksimum, minimum eller vandret vendetangent: a)

35 f t 3, 0,4sin 1,5 t ; 0 t 5 Opgave 1: Det er en trigonometrisk funktion, så man skal huske at regne i radianer (dvs. ikke i grader). a)

36 Opgave 13: a) Nulhypotesen er, at der ikke er nogen sammenhæng mellem aktivitetsniveau og rygevaner, dvs. at de to størrelser er uafhængige. Dette undersøges med et χ -uafhængighedstest:

37 5 x Opgave 14: f x 5 ;,1 x,1,1 a) Rumfanget af omdrejningslegemet bestemmes i Maple: dh Opgave 15: 0,16 h dt dh a) Når græshøjden h er 4, har man 0,16 4 0,64 dt Dvs. at græsset vokser med 0,64 cm, når græshøjden er 4cm. døgn b) Da græshøjden er 3cm umiddelbart efter græsslåning, har man begyndelsesbetingelsen h 0 3. Med denne betingelse kan differentialligningen løses:

38 A 3,0,0 B 0,5,0 C 0,0, t Opgave 16: a) Arealet af trekant ABC er halvdelen af arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne AB og AC. Arealet af parallelogrammet svarer til længden af krydsproduktet mellem de to vektorer. b) x 1 10 l : y 1 s 6 ; s z 1 15

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2013 Løsningerne er hentet på www.szymanskispil.dk Quizspillene ASHRAM, MIR og SPORTSNØRD Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 013 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Udtrykket reduceres

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014 Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2011 18. maj 2011: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2011 18. maj 2011: Delprøven UDEN hjælpemidler Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 011 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: x x1 0 Dette er en andengradsligning, der kan løses enten ved diskriminantmetoden eller ved at finde to

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1, maj 2008 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Det antages, at der ikke også opstår pengeinstitutter efter 2001, dvs. antallet af pengeinstitutter falder

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet

STUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 011-01 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 5x 11 19x 17 1117 19x 5x 8 14x x Opgave : T K T K KT T K T K KT KT T Parentesen er udregnet ved hjælp

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx131-MATn/A-29052013 Onsdag den 29. maj 2013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX

MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX MATEMATIK B til A Vejledende løsning på eksamensopgaven fra 27 maj 2016 STX Anders Jørgensen & Mark Kddafi 2016 matematikhfsvar.page.tl 8. august 2016 15. august 2016 Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK

Læs mere

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven 2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX A-niveau (Rød bog)

Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX A-niveau (Rød bog) Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik STX A-niveau (Rød bog).: C(,-) r = Cirklens ligning er: y Koordinatsystemets andenakse har =, og det bruges til at finde

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :

a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 : Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Delprøven uden hlælpemidler

Delprøven uden hlælpemidler Matematik B - Juni 2014 Af hensyn til CAS-programmet er der anvendt punktum som decimaltegn. Delprøven uden hlælpemidler Opgave 1 AB=8, A1B=12, AC=10 Opgave 2 Hvor y er salget af øko. fødevarer i mio.

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple

Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014

Matematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 9.00-14.00. 2stx141-MAT/A-27052014 Matematik A Studentereksamen stx141-mat/a-705014 Tirsdag den 7. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på htx. - med særlig henblik på anvendelse af IT.

Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på htx. - med særlig henblik på anvendelse af IT. Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på ht. - med særlig henblik på anvendelse af IT. Baggrund Ved anvendelse af diverse matematikprogrammer i forbindelse med de skriftlige prøver

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Parallelle linjer En linje l går gennem punktet og er parallel med linjen m der er givet ved:

Læs mere

3m Undervisningsbeskrivelser matematik A maj-juni 2013 JE Marie Kruses Skole, side 1 af 19

3m Undervisningsbeskrivelser matematik A maj-juni 2013 JE Marie Kruses Skole, side 1 af 19 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2013 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer stx Matematik A Jørgen Ebbesen

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt 1STX161-MAT/A-24052016 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren Matematik B, 5 december 2014 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere