Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Transkript

1 Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt. Noterne forudsætter kendsk til Geometrinoter 1. 1 Trekntens formler I dette fsnit ser vi på en treknt ABC hvor s etegner den hlve omkreds, r er rdius i den indskrevne cirkel, R er rdius i den omskrevne cirkel, og T er relet. Herons formel Arelet f en treknt kn eregnes ud fr trekntens sidelængder vh. Herons formel Ifølge cosinusreltionen er T = s(s )(s )(s c). (2c) 2 cos 2 A = ( 2 + c 2 2 ) 2. Vi ved t 4T = 2c sin A, og ved kvdrering 16T 2 = (2c) 2 sin 2 A. Desuden er sin 2 A = 1 cos 2 A. Smlet giver dette 16T 2 = (2c) 2 (2c) 2 cos 2 A = (2c) 2 ( 2 + c 2 2 ) 2 = (2c c 2 2 )(2c 2 c ) = (( + c) 2 2 )( 2 ( c) 2 ) = ( + + c)( + c )( + c )( + c) = 16s(s )(s )(s c). Brhmgupts formel Arelet f en indskrivelig firknt ABCD kn tilsvrende eregnes ud fr firkntens sidelængder: T = (s AB )(s BC )(s CD )(s DA ) hvor s også her etegner den hlve omkreds. Opgve 1.1 (Om Brhmgupts formel). Vis Brhmgupts formel. (Hint: Del firknten i to treknter, og rug smme idé som i eviset for Herons formel). Sætning om rel og rdius i den indskrevne cirkel Der gælder t T = rs. Opgve 1.2 (Om rel og rdius i den indskrevne cirkel). sætningen om rel og rdius i den indskrevne cirkel. Sætning om rdius i den omskrevne cirkel Om rdius i den omskrevne cirkel gælder der 2R = sin A = sin B = c sin C. Hermed er Herons formel evist.

2 Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 2 Af figuren ses t sin A = sin A = og sin C = c 2R, og dermed i lt 2R = sin A = 2R. Tilsvrende ses t sin B = 2R sin B = c sin C. Sætning om rel og rdius i den omskrevne cirkel Der gælder t 4RT = c. Ifølge sætningen om rdius i den omskrevne cirkel smt sætningen om relet f en treknt udtrykt ved sinus til en vinkel og længden f de hosliggende sider, er 4RT = 2 2R T = 2 sin A 1 c sin A = c. 2 Opgve 1.3. I et kvdrt ABCD er indskrevet en cirkel med rdius R. kldes E. Vis t AE 2 + BE 2 + CE 2 + DE 2 = 4R 2. Opgve 1.5. Vis t der findes uendeligt mnge treknter hvor sidelængderne er tre på hinnden følgende hele tl, og relet f treknten er et helt tl. (NMC 1995) Opgve 1.6. Vis for en treknt ABC t cos A + cos B + cos C = r R + 1. Her er r rdius i den indskrevne cirkel, og R er rdius i den omskrevne cirkel. Opgve 1.7. Vis for en treknt ABC t c + 1 c = 1 2rR. Her er r som før rdius i den indskrevne cirkel, og R er rdius i den omskrevne cirkel. Opgve 1.8. I en treknt ABC dnner de tre fodpunkter for højderne en ny treknt. t rdius i den omskrevne cirkel til den nye treknt er hlvt så stor som rdius i den omskrevne cirkel til treknt ABC. En tngent til cirklen skærer linjestykkerne AB og AD i henholdsvis P og Q. Rdius i den indskrevne cirkel til treknt AP Q kldes r. Udtryk relet f treknt AP Q vh. r og R. Opgve 1.4. Firknt ABCD er indskrevet i en cirkel med rdius R. Digonlerne står vinkelret på hinnden, og deres skæringspunkt

3 Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 3 2 Trekntens ydre røringscirkler Definition f trekntens ydre røringscirkler En treknt ABC hr tre ydre røringscirkler, en for hver side i treknten. Den ydre røringscirkel til siden BC er en cirkel der ligger uden for treknten, og som tngerer siden BC smt forlængelserne f AB og AC. Sætning om de ydre røringscirklers centre Centrum for den ydre røringscirkel til siden BC i treknt ABC er skæringspunktet for vinkelhlveringslinjen til vinkel A og de ydre vinkelhlveringslinjer til vinkel B og C. De tre ydre røringscirklers centre dnner en treknt i hvilken vinkelhlveringslinjerne for treknt ABC er højder. Af dette ses t de ydre røringscirklers centre O A, O B og O C dnner en treknt hvis sider går gennem henholdsvis A, B og C. Vinkelhlveringslinjen til vinkel A står vinkelret på siden O B O C, d BAO A = CAO A og O B AC = O C AB. Sætning om den ydre røringscirkel og den hlve omkreds. Betrgt den ydre røringscirkel til siden BC i treknt ABC hvor den hlve omkreds etegnes s. Kld røringscirklens røringspunkter med siden BC smt forlængelserne f AB og AC for henholdsvis A 1, A B og A C. D er s = AB + BA 1 = AC + CA 1 = AA B = AA C. Først emærker vi t BA B = BA 1 og CA C = CA 1, dvs. t AA B + AA C er lig trekntens omkreds. Desuden er AA B = AA C, og dermed s = AA B = AA C og s = AB + BA 1 = AC + CA 1. D den ydre røringscirkel til siden BC tngerer BC smt forlængelserne f AB og AC, må dens centrum ligge i smme fstnd til disse tre linjer. D vinkelhlveringslinjen netop er det geometriske sted for de punkter der hr smme fstnd til de to vinkelen, må den ydre røringscirkel centrum ligge på vinkelhlveringslinjen til vinkel A smt de ydre vinkelhlveringslinjer til vinkel B og vinkel C. Opgve 2.1. I treknt ABC indtegnes tre ceviner fr vinkelspidserne til røringspunkterne for de tre røringscirkler. Vis t de tre ceviner skærer hinnden i et punkt. Opgve 2.2. For en treknt ABC etegner T relet, r rdius i den indskrevne cirkel og r 1, r 2 og r 3 rdierne i de tre ydre røringscirkler. Vis t T 2 = rr 1 r 2 r 3.

4 Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 4 3 Rdiklkse I Geometrinoter 1 så vi t et punkt P s potens mht. en cirkel med centrum O og rdius r defineres som tllet OP 2 r 2, og dermed t potensen f et punkt på cirkelperiferien er nul. Definition f rdiklkse Rdiklksen for to cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der hr smme potens mht. de to cirkler. Sætning om rdiklkse Kld centrum i de to cirkler for henholdsvis O 1 og O 2, cirklernes rdier for henholdsvis r 1 og r 2, og ld d etegne fstnden mellem de to centre. D er rdiklksen en ret linje der står vinkelret på linjen O 1 O 2. Rdiklksens fstnd til henholdsvis O 1 og O 2 er r1 2 r2 2 +d2 og r2 2 r2 1 +d2. Hvis cirklerne skærer hinnden i to punkter A og B, er rdiklksen netop linjen gennem A og B. Ld Q være punktet på linjen O 1 O 2 med QO 1 = r2 1 r2 2 +d2 og QO 2 = r2 2 r2 1 +d2. (Dette er muligt d r2 1 r2 2 +d2 + r2 2 r2 1 +d2 = d). Antg t P er et punkt på rdiklksen, og ld P være projektionen f P på O 1 O 2. At P er et punkt på rdiklksen er ensetydende med t P O 1 2 r1 2 = P O 2 2 r2. 2 Dette er ensetydende med t Hvis cirklerne skærer hinnden i to punkter A og B, hr egge punkter potens nul mht. de to cirkler, og dermed er rdiklksen netop linjen gennem A og B. Opgve 3.1. En linje gennem A skærer en cirkel i to punkter, B og C, på en sådn måde t B ligger mellem A og C. Fr punktet A tegnes de to tngenter til cirklen. Tngenterne rører cirklen i punkterne S og T. Ld P være skæringspunktet mellem linjerne ST og AC. Vis t (NMC 2007) AP P C = 2 AB BC. P P 2 + O 1 P 2 r 2 1 = P P 2 + (d O 1 P ) 2 r 2 2, og yderligere t O 1 P = r2 1 r2 2 + d2. Dette er ensetydende med t P = Q, og dermed t P ligger på linjen gennem Q vinkelret på O 1 O 2. Vi hr dermed vist t rdiklksen netop estår f punkterne på denne linje.

5 Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 5 4 Eulerlinjen og Simsonlinjen Sætning om Eulerlinjen I en treknt ABC kldes medinernes skæringspunkt som sædvnligt M, højdernes skæringspunkt H og midtnormlernes skæringspunkt O. Punkterne H, M og O ligger på en ret linje som kldes Eulerlinjen, og M deler HO således t 2 MO = MH. Kld midtpunkterne f BC og AC for henholdsvis M og M, og skæringspunktet mellem BM og HO for P. Vi ønsker t vise t P = M smt t 2 OM = HM. Simsonlinjen. Opgve 4.1 (Om Simsonlinjen). t punkterne P 1, P 2 og P 3 ligger på en ret linje. Hint: Vis t firknterne P CP 2 P 1, P P 3 BP 1 og P P 2 AP 3 er indskrivelige, og udnyt dette til t vise t CP 1 P 2 = BP 1 P 3. D AB er prllel med midtpunktstrnsverslen M M, OM er prllel med BH d de egge står vinkelret på AC, og OM er prllel med AH d de egge står vinkelret på BC, er treknterne ABH og M M O ensvinklede med forholdet 2 : 1. Desuden er treknt OP M ensvinklet med treknt HP B med smme forhold. Dermed er 2 M P = P B, og herf ses det ønskede nemlig t P = M og 2 MO = MH. Sætning om Simsonlinjen Ld P være et punkt på den omskrevne cirkel til treknt ABC, P 1 projektionen f P på linjen BC, P 2 projektionen f P på linjen AC og P 3 projektionen f P på linjen AB. Punkterne P 1, P 2 og P 3 ligger på en ret linje, og denne linje kldes Opgve 4.2. Betrgt fem punkter A, B, C, D og E sådn t firknt ABCD er et prllelogrm, og firknt BCED hr en omskreven cirkel. Ld l være en linje gennem A. Antg t l skærer det indre f linjestykket DC i F og linjen BC i G. Antg derudover t EF = EG = EC. t l er vinkelhlveringslinje for vinkel DAB. Hint: Benyt resulttet om Simsonlinjen til t vise t projektionen f E på linjen BD netop er skæringspunktet mellem digonlerne i firknt ABCD. (IMO 2007)

6 Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 6 5 Oversigt Herons formel: Arelet T f en treknt ABC er givet ved (s )(s )(s c) hvor s etegner den hlve omkreds. Brhmgupts formel: Arelet T f en indskrivelig firknt ABCD er T = (s AB )(s BC )(s CD )(s DA ) hvor s etegner firkntens hlve omkreds. Trekntens formler: Arelet f en treknt ABC etegnes T, den hlve omkreds s, og rdius for den indskrevne og omskrevne cirkel etegnes henholdsvis r og R. D gælder følgende formler: 2R = sin A = T = rs sin B = 4RT = c c sin C Ydre røringscirkel En treknt ABC hr tre ydre røringscirkler, en for hver side i treknten. Den ydre røringscirkel til siden BC er en cirkel der ligger uden for treknten, og som tngerer siden BC smt forlængelserne f AB og AC. Rdiklkse Rdiklksen for to cirkler med forskellige centre er det geometriske sted for de punkter der hr smme potens mht. de to cirkler. Rdiklksens eliggenhed Rdiklksen til to cirkler er en ret linje der står vinkelret på linjen mellem deres centre. Hvis cirklerne skærer hinnden i to punkter A og B, er rdiklksen netop linjen gennem A og B. Eulerlinjen: I en treknt ABC ligger højdernes skæringspunkt H, medinernes skæringspunkt M og midtnormlernes skæringspunkt O på en ret linje som kldes Eulerlinjen, således t 2 MO = MH. Simsonlinjen: Ld P være et punkt på den omskrevne cirkel til treknt ABC, P 1 projektionen f P på linjen BC, P 2 projektionen f P på linjen AC og P 3 projektionen f P på linjen AB. Punkterne P 1, P 2 og P 3 ligger på en ret linje, og denne linje kldes Simsonlinjen. De ydre røringscirklers centre Centrum for den ydre røringscirkel til siden BC i treknt ABC er skæringspunktet for vinkelhlveringslinjen til vinkel A og de ydre vinkelhlveringslinjer til vinkel B og C. De tre ydre røringscirklers centre dnner en treknt i hvilken vinkelhlveringslinjerne for treknt ABC er højder. Den ydre røringscirkel og den hlve omkreds. Kld røringspunktet mellem den ydre røringscirkel og siden BC i treknt ABC for A 1, og trekntens hlve omkreds for s. D er s = AB + BA 1 = AC + CA 1.