GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj Kl GL091-MAA. Undervisningsministeriet

Transkript

1 GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl Undervisningsministeriet GL091-MAA

2 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Af opgaverne 11A, 11B, 11C, 11D og 11E skal kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgavesættet består af opgaverne 1-9 med i alt 18 spørgsmål samt valgfrie opgaver 10A-10D med i alt 2 spørgsmål og 11A-11E med i alt 4 spørgsmål. De 24 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder IT-værktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst. 2

3 Side 1 af 8 sider Opgave 1 I den retvinklede trekant ABC er C = 90, AC = 6 og BC = 5. a) Bestem AB og A. På siden AB er punktet D bestemt ved, at AD = 3,5. b) Bestem CD. Opgave 2 En funktion f er bestemt ved 3 2 f ( x) = x + 3x 9x+ 3. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P( 2,5). b) Bestem funktionens monotoniforhold og lokale ekstrema. Opgave 3 Grafen for funktionen f ( x) = x+ 1 afgrænser sammen med førsteaksen og andenaksen en punktmængde M, der har et areal. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om førsteaksen. 3

4 Side 2 af 8 sider Opgave 4 År efter Fangst af hellefisk 18,0 18,4 22,2 28,4 29,0 32,1 målt i kt Tabellen viser grønlandske kutteres fangst af hellefisk ved Grønland i årene I en model beskrives sammenhængen mellem antal år efter 1992 og fangsten af hellefisk, målt i kt (kilotons), ved en eksponentielt voksende funktion. a) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for denne funktion. b) Benyt modellen til at bestemme den årlige procentvise vækst i fangsten af hellefisk og til at bestemme fordoblingskonstanten. c) Benyt modellen til at bestemme fangsten af hellefisk i Bestem, hvor mange procent dette tal er større end den faktiske fangst, som i 1998 var 30 kt. Kilde: Opgave 5 En funktion f er givet ved f x 1,3 ( ) = 7,5 x. a) Løs ligningen f( x ) = 20. b) Med hvor mange procent vokser f ( x ), når x vokser med 17%? 4

5 Side 3 af 8 sider Opgave 6 Til angivelse af holdbarhed af et bestemt ferskt fiskeprodukt fra tempererede farvande anvendes følgende model: Holdbarheden H(t) (målt i døgn) ved temperaturen t (målt i C) bestemmes ved 50 Ht () =, t> 3. 2 (0,1t + 1) a) Benyt modellen til at bestemme holdbarheden ved temperaturen 15 C. b) Bestem den temperatur, hvor holdbarheden ifølge modellen er 80 døgn. Kilde: Opgave 7 To vektorer er givet ved! 2 a = 1 og! 4 b = 3. a) Bestem koordinatsættet til projektionen af a! på b!.!! b) Bestem koordinatsættet til a+ b, og bestem arealet af det parallelogram, der udspændes!!! af vektorerne a+ b og b. Opgave 8 En funktion f er bestemt ved f( x) = 4sin( x) 2. a) Bestem en forskrift for den stamfunktion F(x) til f (x), hvor grafen for F(x) går gennem punktet P(0,0). 5

6 Side 4 af 8 sider Opgave 9 En gryde med suppe stilles til afkøling udendørs, hvor temperaturen er 2 grader celsius. Med f () t betegnes suppens temperatur målt i grader celsius til tiden t målt i minutter. Det antages, at f (t) er en løsning til differentialligningen dy 0,1 0, 05 y. dt = a) Bestem den hastighed, hvormed suppens temperatur ændres, når suppens temperatur er 70 grader celsius. b) Bestem et udtryk for f () t, når det oplyses at f (0) = 90. 6

7 Side 5 af 8 sider Suliassanit ukunannga: 10A, 10B, 10C aamma 10D taamaallaat ataaseq naliligassatut tunniunneqassaaq. Suliat ataatsimik amerlanerit tunniunneqarpata taamaallaat suliassiissummut siullermut akissutit nalilerneqassapput. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes kun besvarelsen af den første opgave. Opgave 10A: Vektorregning i rummet. I et koordinatsystem i rummet er givet et punkt A(2, 1, 3) samt to vektorer 2! b = 2 4 og 3! c = 0 1. a) Bestem vinklen mellem b og c. b) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punktet A, og som udspændes af vektorerne b og c. Opgave 10B: Vektorfunktioner i planen. I et koordinatsystem i planen er en kurve givet ved parameterfremstillingen x = ln( t) = y t t, t [1;6]. a) Tegn en skitse af parameterkurven, og bestem koordinatsættet til hvert af parameterkurvens skæringspunkter med x-aksen. b) Bestem koordinatsættet til det punkt på parameterkurven, hvor parameterkurvens tangent er parallel med x-aksen. 7

8 Side 6 af 8 sider Opgave 10C: Kvadratisk optimering. En ellipse E er givet ved ligningen 2 2 4x + 24x y + 8y = 16. a) Bestem centrum og halvakser for E. Funktionen f er givet ved f ( xy, ) = x 24x y 8 y. Det antages, at 0 x 5 og 0 y 0,5x+ 8 skal være opfyldt. b) Bestem størsteværdien af f. Opgave 10D: Sandsynlighedsregning og statistik. En gruppe drenge skal plukke sortebær i bakker, som skal indeholde 500 gram. Det vides, at bakkernes vægt er normalfordelt med spredning σ = 20 gram. Der udtages tilfældigt en stikprøve på 30 bakker, og den gennemsnitlige vægt af disse er 490 gram. a) Bestem et 95% konfidensinterval for den gennemsnitlige vægt pr. bakke sortebær. b) Vurdér, om man kan afvise, at den gennemsnitlige vægt pr. bakke sortebær er 500 gram. 8

9 Side 7 af 8 sider Suliassanit ukunannga: 11A, 11B, 11C, 11D aamma 11E taamaallaat marluk naliligassatut tunniunneqassapput. Suliat marlunnik amerlanerit tunniunneqarpata taamaallaat suliassiissutinut siullernut marlunnut akissutit nalilerneqassapput. Af opgaverne 11A, 11B, 11C, 11D og11e skal kun to opgaver afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af de første to opgaver. Opgave 11A: Rentes- og annuitetsregning. A indsætter et beløb på en konto. Beløbet vokser i løbet af 5 år til 9733,22 kr. Renten tilskrives helårligt og er i hele perioden 4% p.a. a) Bestem størrelsen af det indsatte beløb. De 9733,22 kr. ønskes udbetalt i form af 7 lige store årlige ydelser. Den første ydelse udbetales efter 1 år. Renten er fortsat i hele perioden 4% p.a. b) Bestem størrelsen af den årlige ydelse. Opgave 11B: Beskrivende statistik. En gymnasieklasse består af 30 elever, der alle dyrker sport. Skemaet viser, hvor mange timer om ugen eleverne bruger til at dyrke sport. Antal timer ]0;2] ]2;4] ]4;6] ]6;8] ]8;10] ]10;12] Antal elever a) Bestem det antal timer, eleverne i denne klasse i gennemsnit bruger til at dyrke sport. b) Tegn sumkurven. Bestem kvartilsættet, og forklar betydningen af øvre kvartil. 9

10 Side 8 af 8 sider Opgave 11C: Klassisk geometri og trigonometri. I trekant ABC kendes følgende størrelser: AB = 5, BC = 6 og A = 45. Det oplyses, at vinkel B er stump. a) Bestem størrelsen af vinkel C, og bestem længden af medianen m a fra A. b) Bestem størrelsen af den spidse vinkel mellem medianen m a og linjestykket BC. Opgave 11D: Lineær programmering. Et polygonområde er bestemt af følgende begrænsninger: 1 y x+ 8 2 y x+ 10 x 0 y 0. En lineær funktion f i to variable er givet ved forskriften f ( xy, ) = 3x+ 4 y. En niveaulinje N (t) er defineret ved f ( x, y) = t. a) Tegn polygonområdet samt niveaulinjerne N (0) og N (12) i samme koordinatsystem. b) Bestem størsteværdien af f inden for polygonområdet. Opgave 11E: Analytisk beskrivelse af linjer, parabler og cirkler. I et koordinatsystem er en cirkel bestemt ved ligningen og en parabel er bestemt ved ligningen 2 = 0, ,5. y x x = 10, 2 2 x x y y a) Bestem cirklens radius og koordinatsættet til dens centrum. b) Gør rede for, at linjen med ligningen y = 2x 5 er tangent til både parablen og cirklen. 10

11

12