Målgruppe. Læseren henvises til læsevejledningen på side 5, hvor der gives en kort præsentation af afsnittene i rapporten. - iii -

Transkript

1 Abstract I denne rapport udvikles et geografisk informations system (GIS) baseret på fuzzy logik. Denne GIS kaldes FuzzyGIS og anvendes til løsning af en problemstilling om gødningstilførelse på Sjælland. Formålet er at give en vurdering af fuzzy logiks potentiale indenfor GIS. Dette vurderes ud fra to kriterier. I det første kriterium vurderes kvaliteten af fuzzy logik, hvor der undersøges om den fuzzy løsning af en problemstilling er mere korrekt end en traditionel løsning. I det andet kriterium vurderes om fuzzy logik kan nedsætte kompleksiteten af en problemstilling, så den bliver enklere at løse. På baggrund af problemstillingen om gødningstilførelse på Sjælland konkluderes at potentialet i forhold til kvalitet er højt, da den fuzzy løsning er mere præcis end den traditionelle løsning fra plantedirektoratet. Denne konklusion gælder kun den undersøgte problemstilling, da det generelt kan være vanskeligt at finde cases, hvor fuzzy logik kan anvendes med fordel. På baggrund af problemstillingen konkluderes at potentialet med hensyn til kompleksitet er lavt. Dette skyldes at fuzzy logik ikke mindskede kompleksiteten af den undersøgte problemstilling, men tværtimod øgede den. - i -

2

3 Målgruppe GIS er en videnskab som bygger både på datalogiske og geografiske fagtraditioner. Den ideelle læser af rapporten vil derfor være en person, som har en baggrund i begge fag. Jeg har dog søgt at skrive rapporten, så den kan forstås af personer med udgangspunkt i blot én af disse fagtraditioner. Det forventes at læseren har et kendskab til Java, da mit GIS-program er udviklet i dette programmeringssprog. En vis erfaring med GIS-applikationer såsom ArcMap vil også være en fordel, da der løbende vil blive henvist til denne applikation og dets funktionalitet. Det antages ikke at læseren har kendskab til fuzzy logik, da rapporten introducerer teorien fra bunden. Læseren henvises til læsevejledningen på side 5, hvor der gives en kort præsentation af afsnittene i rapporten. - iii -

4

5 Forord Denne projektrapport omhandler udviklingen af et geografisk informations system (GIS) baseret på fuzzy logik. Denne GIS er udviklet i Java og anvendes til analyse af en case om gødningstilførelse på Sjælland. Projektet indgår som en del af overbygningsuddannelsen på datalogi ved Roskilde Universitets Center. Projektet hører under 3. modul og tæller 22,5 ECTS. Jeg vil gerne takke min vejleder lektor Keld Helsgaun for hans vejledning gennem projektet, samt hans forslag til optimering af programkoden. Desuden skal lektor Eva Bøgh og lektor Niels H. Jensen for forslag henholdsvis til case og for hjælp til fremskaffelse af data. Til sidst skyldes en stor tak til docent Niels Schrøder, som under en forelæsning i Geologi gav mig inspiration til at undersøge den danske jordbundsklassificering, da han påpegede dens mangelfuldhed i forhold til den sene glaciation på Sjælland. Jonas Hansen Datalogi OB, Roskilde - den 29. maj v -

6

7 Indholdsfortegnelse 1 Indledning Projektets problemfelt Kvalitet Kompleksitet Fokusering af problemfelt Klassificering Kravspecifikation Læsevejledning Teori Kunstig intelligens og fuzzy logik Et eksempel Definition af fuzzy logik En matematisk repræsentation af fuzzy logik Fuzzy mængder Standard medlemskabsfunktioner Operationer på fuzzy mængder Lingvistiske variable og værdier Fuzzy ekspertsystemer Fuzzy regler opbygning af ekspertsystemet Fuzzy interferens Sammenfatning GIS og fuzzy klassifikation Fuzzy- og traditionel klassificering Repræsentation af geografiske kriterier Repræsentation af uforståede koncepter Fuzzy klyngeanalyse Designovervejelser Integration med eksisterende GIS Valg af programmeringssprog Kravet om dataudveksling Repræsentation af geografisk data via TIFF-rasterdata En begrænsning ved TIFF-formatet Overordnet opbygning Dokumentation Den overordnede struktur Dokumentation af FuzzyLogic Pakken FuzzySets vii -

8 5.2.2 Klassen FuzzyDomain Pakken FuzzyRules Klassen FuzzyExpertSystem Pakken IO Dokumentation af GeoAnalyst Interfacet GeoInputFile Pakken PixelIO Pakken Features Klassen GeoExpertSystem Pakken Misc Valg af eksemplarisk case Case - kvælstofregulering i dansk landbrug Problemstillingen Analyse FuzzyGIS Detaljeret redegørelse Konvertering af data til TIFF-raster Fuzzyficering af jordtyper Fuzzy ekspertsystem til kvælstofregulering Vurdering af analysen Den fuzzy kvælstofregulering Plantedirektoratets kvælstofregulering Sammenligning af rasterceller Sammenfatning Diskussion Opfyldelse af problemfeltet Diskussion af problemstillingens repræsentativitet Vurdering af kvalitet Vurdering af kompleksitet Konklusion Litteraturliste A Konvertering af data til TIFF-formatet B Fuzzy regler til kvælstofregulering C Validering af fuzzy kvælstofregulering D Programkode viii -

9 1 Indledning Geografi er en videnskab som beskæftiger sig med elementer eller aspekter, der har en rummelig udbredelse. Disse elementer siges at have en geografisk udbredelse. I denne forbindelse er geografiske informations systemer (GIS) et computerbaseret værktøj, der kan repræsentere, manipulere og analysere geografisk informationer [Burrough et al, 1998]. Denne projektrapport er udarbejdet ud fra et ønske om at få et nærmere kendskab til GIS. Interessen opstod i forbindelse med et udvekslingsophold på geografi i Holland. Her blev jeg positivt overrasket over GIS mange muligheder til løsning af geografiske problemer. I Holland var undervisningen fokuseret på anvendelsen af GIS, men som datalog var jeg også nysgerrig efter at forstå disse systemer indefra. Derfor tog jeg et kursus i GISalgoritmer, som belyste nogle af problemstillingerne ved programmering af GIS. Disse oplevelser har vækket min interesse for GIS, og jeg synes derfor det ville være spændende at udvikle et GIS-program. Spørgsmålet er hvilken type GIS, der skal udvikles, da feltet er relativt bredt. De etablerede GIS-programmer så som ArcGIS og Erdas Imagine indeholder en udstrækning af funktionaliteter, som er blevet udviklet og videreudviklet siden slutningen af 1960 erne [Heywood, 2002]. Det ville derfor være en smule utopisk at udvikle et GIS, som kan overgå disse programmers udbud af funktionalitet. I stedet har jeg tænkt i alternative baner og valgt at basere mit GIS på fuzzy logik. Dette skyldes dels inspiration fra et speciale skrevet af Lars Hansen (se Hansen [2000]), hvor der beskrives fuzzy logiks muligheder for klassifikation ved approksimation af det menneskelige sprog. Fuzzy logik er heller ikke blevet implementeret i de store kommercielle GIS-programmer [Robinson, 2003], og jeg synes derfor dette er en spændende indgangsvinkel til et projekt. Dels fordi det åbner muligheder for at udvikle noget nyskabende, og dels fordi det muliggør en undersøgelse af fuzzy logiks muligheder og begrænsninger inden for GIS. I denne forbindelse har jeg læst en række artikler, og talt med det videnskabelige personale på RUC s geografiske institut. Under en samtale med lektor Anita Veihe erfarede jeg, at fuzzy logik var en teknologi, der forventes betydeligt af i geografi. Naturgeograferne er i deres arbejde ofte nødt til at skrive komplicerede scripts, når de skal anvende modeller og data i deres forskning. Anita havde hørt, at dette besværlige og ofte tidskrævende arbejde delvist kunne undgås ved brug af fuzzy logik. Fordelen ved fuzzy logik skulle være at matematiske og datalogiske modeller kan opbygges relativt let via lingvistiske (sproglige) udsagn. Dette kunne for eksempel være et udsagn fra en jordbundsgeograf, der lyder: Hvis det er en leret jord, så er det god landbrugsjord. Dette udsagn ville typisk være svært at implementere i en model, da det rummer en del upræcished for hvad er god landbrugsjord og hvad kan betragtes som en - 1 -

10 lerjord? Geografen vil typisk have et koncept om dette, men kan have svært ved at opsætte de præcise retningsliner. Fuzzy logik skulle være velegnet til repræsentation af sådan upræcis viden, da de sproglige udsagn kan omdannes til beregnelige størrelser. Ifølge Burrough [1996] skulle fuzzy logik derfor have et stort potentiale indenfor geografi, da faget netop rummer mange problemstillinger, som er upræcise af natur. Her er det værd at bemærke at et GIS baseret på fuzzy logik skal være let anvendelig, hvis geografer skal anvende programmet. Dette skyldes dels at geografer ikke er dataloger og typisk har svært ved at tage GIS-teknologien til sig [Heywood, 2002]. Ved en rundspørgelse på geografisk institut på RUC kunne dette ligeledes påvises, da kun én af tre naturgeografer anvendte GIS i deres arbejde - selvom det ville være oplagt. Hvis man skal gøre sig forhåbninger om, at et GIS-program skal have en bred anvendelse, skal det altså være relativt let at anvende. Ud fra disse betragtninger kan projektets problemfelt opstilles. 1.1 Projektets problemfelt Projektets problemfelt er beskrevet i boksen nedenfor. a) Vurderingen af fuzzy logiks potentiale indenfor GIS Dette gøres ved udvikling af et GIS-program baseret på fuzzy logik, som kaldes FuzzyGIS. FuzzyGIS skal kunne repræsentere upræcisheder i menneskelig viden og kunne anvende denne viden til løsning af geografiske problemstillinger. b) Vurderingen af potentialet skal bygge på en eksemplarisk case Som case er valgt en problemstilling om gødningstilførelse på Sjælland. Vurderingen skal baseres på følgende kriterier: i) Kvaliteten af problemstillingens løsning ii) Kompleksiteten i problemstillingens løsning. I projektet ønskes fuzzy logiks potentiale indenfor GIS undersøgt. Dette gøres ved at udvikle et GIS-program baseret på fuzzy logik. Dette program kaldes FuzzyGIS, og vil gennem rapporten blive refereret under dette navn. FuzzyGIS skal kunne repræsentere upræcis menneskelig viden - så som udsagnet hvis det er en leret jord, så dette er det god landbrugsjord, og kunne anvende denne repræsentation til løsning af geografiske problemstillinger. FuzzyGIS skal anvendes til at vurdere fuzzy logiks potentiale indenfor GIS. I denne vurdering skal FuzzyGIS anvendes på en eksemplarisk geografisk case, så potentialet kan vurderes. Konkret har jeg valgt en problemstilling om gødningstilførelse på Sjælland. Denne problemstilling beskrives i kapitel 6. Vurderingen af potentialet vil blive baseret på de to kriterier

11 1.1.1 Kvalitet I det første kriterium vurderes kvaliteten af casens løsning det vil sige om FuzzyGIS kunne bestemme en tilfredsstillende løsning på casen. Dette gøres ved at sammenligne den fuzzy løsning med en traditionel løsning og vurdere om den fuzzy løsning er mere præcis. Under dette punkt ønskes ligeledes vurderet om en tilsvarende løsning med samme kvalitet, kunne være fundet på traditionel vis uden brug af fuzzy logik Kompleksitet Ifølge litteraturen kan fuzzy logik være forsimplende på udviklingen af datalogiske modeller. Det ønskes derfor undersøgt om fuzzy logik kan nedsætte kompleksiteten i løsningen af en problemstilling. Denne analyse udføres via FuzzyGIS, hvor det vurderes hvorvidt den fuzzy løsning fremstår mere enkel end en traditionel løsning. Nødvendigheden af at inddrage traditionelle GIS-programmer til løsning af casen vil ligeledes blive vurderet. Herved undersøges graden af traditionel GIS-viden, som er nødvendig. Hvis graden er høj, har fuzzy logik måske ikke reduceret kompleksiteten af problemstillingen nævneværdigt. Dette er yderst relevant, hvis der skal gøres forhåbninger om at geografer vil anvende fuzzy logik 1. Begge disse vurderingskriterier har en tendens til at blive subjektive. Dels fordi vurderingen vil afhænge af den valgte case, og dels fordi vurderingen vil afhænge af implementering af FuzzyGIS. Denne subjektivitet er vanskelig at undgå, men søges begrænset ved løbende at sammenligne mine vurderinger med litteraturen. 1.2 Fokusering af problemfelt I dette afsnit fokuseres det ovenstående problemfelt. Dette gøres ved indskærpe Fuzzy- GIS funktionalitet til at kun at omhandle klassificering. Til sidst opstilles en kravspecifikation, der mere detaljeret specificerer kravene til FuzzyGIS funktionalitet Klassificering Traditionelt har geografien beskæftiget sig med klassificering. Dette skyldes at geografiske data ofte er vanskelige at beskrive. Dels har geografisk data en rummelig udbredelse, og dels har geografisk data et tematisk aspekt, som karakteriserer data [Heywood, 2002]. Et eksempel kunne være en jordprøve, hvor den geografiske udbredelse angiver, hvor prøven stammer fra, mens det tematiske aspekt beskriver hvad prøven består af. Dette gør det ofte nødvendigt at simplificere de undersøgte data og inddele dem i kategorier, som hver beskriver en række fællestræk mellem disse data. Denne inddeling i kategorier kaldes for en klassificering [Wikipedia]. Dette princip bruges for eksempel i jordbundskort, hvor hver jordtype dækker over en mængde jordprøver med en række fællestræk. Disse jordtyper er indført for at simplificere jordbundskortet, da det ville være for komplekst at overskue alle de data, som betegner hver eneste jordprøve. Klassificering spiller således en central rolle indenfor geografien og i denne sammenhæng finder jeg fuzzy logik interessant. Klassificeringer bygger ofte på skarpe opdelinger, 1 Husk at mange geografer finder de traditionelle GIS-programmer komplicerede

12 hvor et fænomen enten hører til en kategori eller ej. For eksempel kan en jordprøve enten være en lerjord eller en sandjord, men hvad hvis den befinder sig midt mellem disse to kategorier? Her ville den traditionelle jordbundsklassificering vælge den mest betegnende kategori. I fuzzy logik skulle det være muligt at repræsentere disse dobbelttydigheder eller upræcisheder. Burrough et al [1998] påpeger ligeledes at fuzzy logik har et stort potentiale indenfor området, og jeg vælger derfor at fokusere FuzzyGIS på klassificering. Dette leder til kravspecifikationen Kravspecifikation I det følgende opstilles en række krav til funktionaliteter af FuzzyGIS. Kravene skal virke som en slags rettesnor for udviklingen af FuzzyGIS, så det sikres at programmet er velegnet til at besvare projektets problemfelt - at give en vurdering af fuzzy logiks potentiale indenfor GIS. 1 krav: FuzzyGIS skal kunne indlæse geografisk data. 2 krav: FuzzyGIS skal anvende fuzzy logik til klassificering af geografiske data. 3 krav: FuzzyGIS skal kunne visualisere klassificeringsresultaterne. 4 krav: FuzzyGIS skal kunne gemme klassificeringsresultaterne, så de kan anvendes i andre GIS-applikationer. 5 krav: FuzzyGIS skal give feedback om klassificeringen, så kvaliteten af klassificeringen kan vurderes. Krav 1 Indlæsning af geografisk data Der stilles krav om at FuzzyGIS skal kunne indlæse geografisk data. Disse data skal indlæses på et format, som er bredt anvendt eller som er let at konvertere til. Dette krav skal sikre at FuzzyGIS kan anvende virkelige data til belysning af geografiske problemstillinger. Krav 2 Anvendelse af fuzzy logik til klassificering Der stilles krav om at FuzzyGIS skal anvende fuzzy logik til klassificering af geografisk data. Herunder kræves at fuzzy logiks repræsentation af upræcis viden benyttes til klassificeringen. Dette krav er ret væsentligt, da det sikre at FuzzyGIS kan foretage fuzzy klassificeringer. Krav 3 Visualisering af resultatet Der stilles krav om at FuzzyGIS skal kunne visualisere resultatet af en fuzzy klassificering. Dette krav skal sikre at FuzzyGIS kan præsentere løsningen overfor brugeren, så han kan få et overblik over løsningen. Krav 4 Gemme resultater Der stilles krav om at FuzzyGIS skal kunne gemme resultaterne af en fuzzy klassificering. Resultatet skal kunne gemmes på et format, som er bredt anvendt eller som er sim

13 pelt at konvertere til. Dette krav skal sikre, at resultaterne ikke bliver isoleret i Fuzzy- GIS, men også kan indlæses i andre GIS-applikationer. Krav 5 Feedback Der stilles krav om at FuzzyGIS skal kunne give feedback, så det er muligt at vurdere kvaliteten af den udførte klassificering. Der stilles ikke krav om i hvilken form denne feedback skal gives, men det skal sikres, at brugeren gøres opmærksom på eventuelle problematiske områder. Dette var de overordnede krav, som vil blive anvendt som rettesnor til implementeringen og udvikling af FuzzyGIS. 1.3 Læsevejledning I det følgende gives en vejledning til de enkelte afsnit i rapporten, og hvordan de kan læses. Kapitel 2 introducerer teorien bag fuzzy logik og der indføres en række begreber, som kan være vigtige i forståelse af rapporten. Denne teoretiske gennemgang vil ikke være specifikt minded på GIS og er en generel gennemgang af fuzzy logik. Kapitel 3 er relativt kort og undersøger fuzzy logiks muligheder og anvendelse indenfor GIS. I dette afsnit vil forskellige anvendelsesmuligheder blive undersøgt ved at undersøge litteraturen på området. Kapitlet anbefales til læsere, som er interesseret i fuzzy logik og GIS, men det er ikke vitalt for forståelse af rapporten. Kapitel 4 beskriver designet af FuzzyGIS og redegør for nogle væsentlige valg i implementeringen af programmet. Dette afsnit anbefales til alle læsere med datalogisk interesse, da der gives et overblik over designet af FuzzyGIS. Kapitel 5 indeholder dokumentationen af FuzzyGIS. I kapitlet beskrives programmets opbygning, og teksten suppleres med relevante kodeuddrag. Dette afsnit er ret omfattende og er henvendt til dataloger, som ønsker en indsigt i opbygning af et GIS baseret på fuzzy logik. Kapitel 6 beskriver den valgte problemstilling om gødningstilførelse på Sjælland. Dette afsnit beskriver en del tekniske detaljer om jordbundsforhold og er derfor mest tilgængelig for geografer. Kapitlet anbefales dog til alle læsere, da det beskriver problemstillingen, som skal fungere som case til vurderingen af fuzzy logiks potentiale. Kapitel 7 indeholder analysen af den valgte problemstilling. Kapitlet vil indledningsvist give en præsentation af FuzzyGIS og gennemgå, hvordan programmet kan anvendes til løsning af problemstillingen. Herefter følger en detaljeret analyse, hvor der skridt for skridt beskrives hvordan problemstillingen er løst. Dette kapitel er ret omfattende, men anbefales til læsere som ønsker at kunne forstå og anvende FuzzyGIS. Kapitel 8 vurderer resultatet af analysen. Her sammenlignes resultatet af den fuzzy klassificering med en traditionel klassificering, og kvaliteten af de to løsninger vurderes i forhold til hinanden. Kapitlet indeholder en del geografisk analyse og er primært interes

14 sant for geografer. Andre læsere anbefales dog som minimum at læse afslutningen af kapitlet, hvor der gives et sammendrag af vurderingerne. Kapitel 9 indeholder rapportens diskussionen, mens konklusionen gives i kapitel

15 2 Teori Dette kapitel beskriver teorien bag fuzzy logik. Indledningsvist gives en introduktion til fuzzy logik, og teorien placeres indenfor rammerne af kunstig intelligens. Efterfølgende gives en detaljeret gennemgang af teorien, hvor der løbende vil blive perspektiveret til et opstillet eksempel. 2.1 Kunstig intelligens og fuzzy logik Fuzzy logik er en teori indenfor kunstig intelligens, som blev introduceret af professor Lofti Zadeh i Rent organisatorisk hører fuzzy logik til den gren af kunstig intelligens, som kaldes soft computing (eller computational intelligence) [Konar, 2005]. Denne gren indbefatter foruden fuzzy logik: bl.a. neurale netværk og evolutionær programmering (se figur 2.1). I kontrast står hard computing (operations research), som består af de traditionelle teknologier indenfor kunstig intelligens: bl.a. ekspertsystemer og konventionel logik [Konar, 2005]. Hard computing Soft computing Klassisk logik Fuzzy logik Andre Neurale netværk Ekspertsystemer Evolutionærprogrammering Figur 2.1 Figuren viser hvordan kunstig intelligens kan opdeles i to kategorier: hard computing og soft computing. I denne forbindelse hører fuzzy logik til soft computing. Relevansen af denne opdeling er vidt debatteret; Prade et al [1998] finder den for eksempel skadelig, da han mener forskningen indenfor kunstig intelligens bliver opdelt på en uhensigtsmæssig måde. Trods denne diskussion er det relevant at nævne en række forskelle på de to grupperinger. Typisk kan hard computing teknologierne anvendes til løsning af problemstillinger inden for et veldefineret område med klart opstillede betingelser [Konar, 2005]. Soft computing teknologierne er i denne henseende mere robuste og kan anvendes til problemløsning, hvor data er mangelfulde, eller problemstillingen ikke kan defineres præcist. Til gengæld kan hard computing teknologierne ofte validere kvaliteten af de fundne løsninger - i nogen tilfælde endda vurdere om de er optimale. Soft computing teknologierne kan sjældent garantere for kvaliteten af en løsning, eller om løsningen overhovedet kan findes [Int-Group, 2004]

16 Zadeh udviklede fuzzy logik som en reaktion mod hard computing - især konventionel logik og klassiske ekspertsystemer - som han mente havde vanskeligt ved at repræsentere menneskelig viden [Negnevitsky, 2005]. Problemet er, at denne viden ofte er upræcis og tvetydig, og er vanskelig at repræsentere [Openshaw, 1997]. Dette illustreres i eksemplet nedenfor, hvor en ingeniørs viden til styring af en forbrændingsovn skal overføres til et ekspertsystem. Eksemplet vil desuden blive brugt løbende gennem dette kapitel som forklaring af fuzzy logik. Læseren anbefales derfor at studere eksemplet indgående. 2.2 Et eksempel Til styring af en forbrændingsovn, skal en ingeniørs viden overføres til et ekspertsystem. Systemet skal styre effekten på ovnen så: a) ovnen ikke risikerer at overophede og eventuelt nedsmelte ved for høj temperatur og b) så ovnens effekt er tilpasset mængden af affald. Det sidste skal for eksempel sikre at der ikke spildes energi, hvis ovnen ikke er fyldt op. Denne viden skal overføres fra ingeniøren til ekspertsystemet. Dette gøres via et interview, hvor ingeniøren blandt andet udtrykker at: Når ovnen er overophedet, skal effekten være lav. Det kan være problematisk, at implementere dette udsagn, for hvad mener ingeniøren med, at ovnen er overophedet? Og hvad betyder det, at effekten skal på lav? I et traditionelt ekspertsystem ville ingeniøren blive bedt om at vælge en skarp grænse - for eksempel 1000 grader - hvor ovnen opfattes som overophedet. Herefter skal effekten reduceres til en vis værdi svarende til lav effekt. Dette kunne udtrykkes i ekspertsystemet med følgende regel: IF temperatur >= 1000 THEN effekt = 25% Men hvad hvis temperaturen er 990 grader? Måske ønsker ingeniøren stadig at reducere effekten - bare mindre. Her kan ekspertsystemet vælge ikke at gøre noget indtil temperaturen bliver 1000 grader og så skrue ned. Alternativt kan der udvikles en separat regel, som anviser den ønskede effekt ved 990 grader: IF temperatur >= 990 THEN effekt = 30% En anden mulighed er at bede ingeniøren om at opstille en matematisk formel, som beskriver effekten som funktion af temperaturen. Ingen af disse løsninger er simple. Enten skal opstilles et utal af regler, som gør ekspertsystemet langsomt og uoverskueligt [Negnevitsky, 2005]. Ellers skal ingeniøren udtrykke sin viden via eksakte og veldefinerede udsagn og formler. Det sidstnævnte kan være yderst vanskeligt, da det ikke er den naturlige måde for ingeniøren - eller mere generelt for et menneske - at tænke på [Openshaw, 1997]. Et andet problem opstår, hvis flere eksperter spørges til råds og ikke er enige. Her kan det være vanskeligt at opstille en specifik regel, da udsagnene ikke bare er uklare men også tvetydige. Et af hovedformålene med fuzzy logik er at kunne repræsentere og løse sådanne problemstillinger. 2.3 Definition af fuzzy logik Ordet fuzzy kan oversættes med upræcis eller uklar [Hornby, 2000], mens logik lidt løst kan defineres som [en] formalisme, der anvendes i formulering af og manipulation med udsagn, dvs. størrelser (eller sætninger) som kan opfattes at være sande eller falske - 8 -

17 [Andreasen et al, 1996]. I denne sammenhæng er det vigtigt at uddybe hvordan disse definitioner skal forstås. Først og fremmest er fuzzy logik ikke en form for logik, som er upræcis eller uklar, som det umiddelbart kunne fremstå. I stedet er fuzzy logik en form for logik, der kan beskrive uklare eller upræcise udsagn [Negnevitsky, 2005]. Historisk set har dette navn også givet teorien en række problemer, fordi den forskende verden fandt navnet useriøst, og ifølge Openshaw [1997] kunne dette måske være årsagen til teorien først fik bred anvendelse i 1990 erne. Fuzzy logik er heller ikke en logik i traditionel forstand, da fuzzy logik ikke optræder med booleske udsagn, som udelukkende kan være sande eller falske. I stedet anvendes fuzzy udsagn og sandhedsgrader, eller som Zadeh [1969] definerer: Fuzzy logik er en mænge af matematiske principper til at repræsentere viden baseret på sandhedsgrader i stedet for booleske værdier fra konventionel logik. Et fuzzy udsagn kan således have forskellige sandhedsgrader, som angiver i hvilken grad udsagnet er sandt. Denne sandhedsgrad s er defineret som et kontinuerligt interval fra 0 til 1 (s ε [0;1]), hvor 0 repræsentere et udsagn som er komplet falskt, og 1 repræsentere et udsagn som er komplet sandt. Således vil et udsagn med en sandhedsgrad på 0,3 være 30 % sandt - jo nærmere sandhedsgraden er på 1, jo mere sandt er udsagnet. I forhold til booleske udsagn skulle fordelen ved fuzzy udsagn, er at de ligger tættere på det sprog, vi mennesker finder naturligt til at udtrykke viden [Nguyen, 2006]. Dette kan illustreres via eksemplet fra afsnit 2.2, hvor ingeniøren ønsker at skrue ned for effekten, når ovnen er overophedet. Her kan udsagnet overophede tolkes ved sandhedsgrader, da ingeniøren vil opfatte ovnen som mere overophedet, hvis temperaturen er 1000 grader, end hvis den er 980 grader. Således vil udsagnet være mere eller mindre sandt afhængigt af temperaturen. I konventionel logik ville ingeniøren vælge en bestemt temperatur - for eksempel 1000 grader hvorpå ovnen tolkes som overophedet. Ved lavere temperaturer opfattes ovnen ikke som overophedet. Forskellen på de to former for logik er illustreret på figur 2.2. Konventionel logik Fuzzy logik Sand Sand Overophedet Overophedet Falsk T (grader) Falsk T (grader) Figur 2.2 Figuren illustrerer forskellen på konventionel og fuzzy logik. I konventionel vil ovnen først opfattes overophedet når temperaturen er 1000 grader eller højere (figuren til venstre). I fuzzy logik bliver dette udsagn sandere jo højere temperaturen bliver (figuren til højre)

18 2.4 En matematisk repræsentation af fuzzy logik I definitionen af fuzzy logik er det ikke specificeret, hvordan teorien skal repræsenteres, så i praksis kan teorien baseres på et vilkårligt matematisk princip. I de fleste tilfælde benyttes dog Zadehs egen repræsentationen, som er baseret på fuzzy mængder [Nguyen, 2006]. Denne teori og tilhørende begreber beskrives i det følgende Fuzzy mængder Zadehs hovedfilosofi er at alle menneskelige udsagn kan tolkes på baggrund af fuzzy mængder [Negnevitsky, 2005]. Lad os for eksempel analysere udsagnet Jorden er rund. I klassisk logik vil dette udsagn opfattes som sandt, da elementet jorden må betragtes som tilhørende mængden rund. Problemet er at jorden ikke er helt rund, men faktisk er svagt elliptisk. Det ville derfor være praktisk at kunne angive at udsagnet er sandt, men ikke 100 procent sandt det vil sige at jorden er rund, men ikke helt rund. I det fuzzy logik løses dette ved at indføre fuzzy mængder. En fuzzy mængde M har en medlemsgrad μm(x), der angiver i hvilket omfang et element x tilhører mængden. Denne medlemsgrad er ligesom sandhedsgrader defineret i intervallet fra 0 til 1 det vil sige μm(x) ε [0;1]. Her angiver 1 at x har 100 % medlemskab af M og 0 angiver et 0 procent medlemskab: μ M ( x) = 1 ; hvis x fuldt tilhører M μ M ( x) = 0 ; hvis x ikke tilhører M 0 < μ ( x) < 1 ; hvis x delvist tilhører M M En fuzzy mængde kan derfor siges at være en variant af det klassiske mængdebegreb, hvor omfanget af mængden er upræcist [Demicco et al, 2004]. Dette er illustreret på figur 2.3. Domæne Fuzzy mængde Klassisk mængde Figur 2.3 Figuren giver en grafisk illustration på fuzzy og klassiske mængder. En klassisk mængde er fast afgrænset, mens en fuzzy mængde bliver mere og mere udvisket i takt med sandhedsgraden aftager Standard medlemskabsfunktioner Til at definere en fuzzy mængde anvendes en matematisk funktion, der kaldes en medlemskabsfunktion. Denne funktion tildeler medlemmerne deres medlemsgrad og kan antage forskellig form afhængigt af problemstillingen der belyses. I litteraturen er der generelt uenighed om betydningen af disse medlemskabsfunktioner. Openshaw [1997] mener ikke, formen er betydningsfuld og beretter at trekantsfunktionen bør anvendes på

19 grund af sin enkelhed. Argumentationen er dog modsat i Kollias et al [1999] og Burrough et al [1998], hvor forskellige medlemskabsfunktioner anbefales afhængigt af problemstillingen. Konklusionen må derfor være, at funktionerne skal vælges med en vis omhu afhængigt af den undersøgte problemstilling. I litteraturen nævnes en række standard medlemskabsfunktioner, som er beskrevet i det følgende [Klir et al, 1995]. Trekantsfunktionen Den simpleste og mest benyttede medlemskabsfunktioner er trekantsfunktionen (se figur 2.4). Trekantsfunktion μ M (x) 1 t 0 a Overophedet b T (grader) Figur 2.4 Figuren viser trekantsfunktionen, som er den mest benyttede af medlemskabsfunktionerne. Hvor a er nederste venstre hjørne, b nederste højre hjørne og t er toppunktet. Forskriften for denne funktion er givet ved: ( x a) /( t a) μ M ( x) = ( b x) /( b t) 0 ; a < x < t ; t x < b ; x a x b Trapezfunktion En hyppigt benyttet medlemskabsfunktion er trapezfunktion (se figur 2.5). μ M (x) 1 Trapezfunktion t 0 t 1 0 a Overophedet b T (grader) Figur 2.5 Figuren viser trapezfunktionen. Hvor a er nederste venstre hjørne, b nederste højre hjørne og t0 er venstre toppunkt og t1 er højre toppunkt. Forskriften for denne funktion er givet ved:

20 ( x a) /( t0 a) 1 μ M ( x) = ( b x) /( b t1) 0 ; ; ; ; a < x < t t 0 x < t t x < b x a x b Venstre- og højre skulderfunktion Nogle udsagn er kun upræcise i en del af en fuzzy mængde, hvorefter udsagnet kan betragtes som sandt. Dette kunne for eksempel være tilfældet med ovnen, hvor temperaturer omkring 1000 grader kan opfattes som en delvis overophedning, mens højere temperaturer kan tolkes som ovnen er overophedet. Til at repræsentere dette fænomen kan skulderfunktionerne anvendes. På figur 2.6 er den venstre og den højre skulderfunktion illustreret. μ M (x) 1 Venstre / højre skulderfunktion t Nedkølet Overophedet 0 a T (grader) Figur 2.6 Figuren viser den venstre skulderfunktion (nedkølet) og den højre skulderfunktion (overophedet). Hvor a er nederste venstre hjørne og t er toppunktet for den højre skulderfunktion. Forskriften for denne funktion givet ved: ( x a) /( t a) μ M ( x) = 1 0 ; a < x < t ; x t ; x a Forskriften for den venstre skulderfunktion er ikke angivet, da den er indlysende ud fra ovenstående forskrift Operationer på fuzzy mængder Ligesom klassiske mængder er det muligt at udføre en række operationer på fuzzy mængder. I litteraturen - for eksempel Nguyen [2006] - nævnes en lang række operationer, som kan være anvendelige i forskellige sammenhænge. I denne opgave vil jeg begrænse mig til tre af disse operationer, da de skønnes mest relevant: komplementærmængde, foreningsmængde og fællesmængde. Disse operationer vil blive beskrevet ud fra medlemskabsfunktionen, da dette er klassisk praksis [Konar et al, 2005]. Komplementærmængde I klassisk mængdelære defineres komplementærmængden (eller komplimentet af en mængde), som de elementer der ikke tilhører mængden. I fuzzy logik bestemmer kom

21 plimentet i hvilken grad elementerne ikke tilhører mængden. For en given fuzzy mængde M defineres komplimentet M således [Negnevitsky, 2005]: μ M ( x) = 1 μ ( x) Denne operation er illustreret grafisk på figur 2.8 for mængden M der er defineret ved en trekantsfunktion. M μ M (x) 1 Fuzzy mængde μ M (x) 1 Komplementærmængde M M 0 x 0 x Figur 2.8 På figuren til venstre ses den fuzzy mængde M, som er defineret ved trekantsfunktionen. På figuren til højre ses komplementærmængden til M. Foreningsmængde I klassisk mængdelære defineres foreningsmængden (eng: intersection) mellem to mængder, som de elementer der tilhører begge mængder. I fuzzy logik bestemmer foreningsmængden i hvilken grad disse elementer tilhører begge mængder. Afhængigt af det ønskede kan denne operation defineres forskelligt, men to populære metoder er minimum eller algebraiske produkt. For to fuzzy mængder M og N defineres foreningsmængden M Ո N således [Konar et al, 2005]: Minimum: μ M N ( x) = min[ μ M ( x); μ N ( x)] Algebraisk produkt: μ ( x) = μ ( x) μ ( x) M N Algebraisk produkt giver typisk lavere værdier end minimum og er hermed en mere restriktiv form for foreningsmængden. Af ovenstående definitioner ses at foreningsmængden både er associativ og kommutativ. Et eksempel på minimum er illustreret på figur 2.9. M N μ M (x) 1 μ M (x) 1 Minumum M N M N 0 x 0 x Figur 2.9 På figuren til venstre ses to fuzzy mængder, som er defineret ved trekantsfunktionen. På figuren til højre ses foreningsmængden via minimumsmetoden

22 Fællesmængde I klassisk mængdelære defineres fællesmængden (eng: union) mellem to mængder, som de elementer der tilhører en af eller begge mængderne. I fuzzy logik bestemmer fællesmængden i hvilken grad elementerne tilhører en eller begge mængder. Som tilfældet med foreningsmængde kan fællesmængde defineres forskelligt afhængigt af det ønskede. To populære metoder er maksimum og algebraisk sum. For to fuzzy mængder M og N defineres fællesmængden M U N således [Konar et al, 2005]: Maksimum: μ M N ( x) = max[ μ M ( x); μ N ( x)] Algebraisk sum: μ ( x) = μ ( x) + μ ( x) μ ( x) μ ( x) M N Det ses af ovenstående definitioner at fællesmængden både er associativ og kommutativ. Et eksempel på fællesmængde via maksimum er illustreret på figur M N M N μ M (x) 1 μ M (x) 1 Maksimum M N M U N 0 x 0 x Figur 2.10 På figuren til venstre ses to fuzzy mængder defineret ved trekantsfunktionen. På figuren til højre ses fællesmængden via maksimum metoden. 2.5 Lingvistiske variable og værdier Hovedkernen i fuzzy logik er at kunne repræsentere menneskelige viden og udsagn så som: Kedlen er overophedet. Dette gøres via såkaldte lingvistiske udsagn, der består af en lingvistisk variabel og en lingvistisk værdi. På pseudo BNF-form kan dette angives: <lingvistisk udsagn> ::= <lingvistiske variable> IS { NOT } <lingvistiske værdi> En lingvistiske variabel er en (fuzzy) variabel, som tager værdier af ord i stedet for numeriske værdier [Klir et al, 2004]. Disse værdier kaldes lingvistiske værdier 2 og beskrives via fuzzy mængder [Negnevitsky, 2005]. Illustreret ved eksemplet fra starten af afsnittet vil Ovnen er overophedet således være et lingvistisk udsagn, hvor ovnen er en lingvistiske variabel og overophedet er en lingvistiske værdi. I menneskelige viden og udsagn, kan det være nødvendigt, at udtrykke, at noget ikke gælder. Så som Ovnen er ikke overophedet. Disse negerede udsagn repræsenteres i fuzzy logik ved at indføre NOT operatoren, som er vist på den ovenstående BNF-form. Denne operator implementeres ved fuzzy komplementærmængde, hvor sandhedsgraden fra det ikke negerede udsagn subtraheres fra 1. 2 I litteraturen anvendes også andre terminologier, hvor for eksempel Klir et al [2004] kalder disse ord for lingvistiske termer i stedet for lingvistiske værdier

23 En lingvistisk variabel kan typisk tage en række forskellige lingvistiske værdier. Disse værdier siges at være defineret indenfor domænet af den lingvistiske variable, og domænet angiver således de mulige værdier for en lingvistiske variabel. I eksempel fra tidligere kunne forbrændingsovnen måske både være nedkølet eller overophedet, så der henholdsvis skal skrues op eller ned. Dette kunne ingeniøren udtrykke som: Når ovnen er overophedet, skal effekten på lav og Når ovnen er nedkølet skal effekten på høj. Her kan den lingvistiske variabel ovnen både tage værdien overophedet og nedkølet. Det tilhørende domæne - som jeg har kaldt ovntemperatur - er illustreret på figur 2.11 ved skulderfunktionerne. μ M (x) 1 værdi Ovntemperatur domæne Nedkølet Overophedet T (grader) Figur 2.11 Figuren viser det fuzzy domæne ovntemperatur, hvor der er defineret to lingvistiske værdier nedkølet og overophedet. Figuren illustrer desuden det faktum, at en lingvistisk variabel godt kan have to forskellige værdier på samme tid nemlig at ovnen samtidigt kan være nedkølet og overophedet. Dette kan måske virke lidt kontra intuitivt, men i mange tilfælde er det praktisk, da menneskelig viden kan være udtrykt på denne lidt modstridende måde [Openshaw, 1997]. I næste afsnit vil dette blive behandlet mere indgående, hvor der beskrives fuzzy logiks repræsentation af menneskelig viden til problemløsning. 2.6 Fuzzy ekspertsystemer Hidtil er det beskrevet hvordan fuzzy logik kan repræsentere menneskelig viden og udsagn via lingvistiske udsagn. Der er dog ikke redegjort for hvordan denne repræsentation kan bruges til et intelligent system. Zadehs [1973] forslag er at bruge et fuzzy ekspertsystem i stedet for et klassisk ekspertsystem. Tanken er som i det klassiske ekspertsystem at indfange en række eksperters viden, og herefter anvende denne viden til problemløsning. I denne forbindelse er det vigtigt at bemærke, at et specifikt fuzzy ekspertsystem typisk er begrænset til netop én specifik problemstilling [Negnevitsky, 2005]. For eksempel hvis der udvikles et system til styring af en forbrændingsovn, vil dette system (sandsynligvis) ikke være egnet til styring af noget andet. Fuzzy ekspertsystemer kan dog bruges til løsning af talrige problemstillinger, såfremt der udvikles et system for hver problemstilling. I det følgende beskrives princippet bag et fuzzy ekspertsystem. Jeg har valgt at inddele denne beskrivelse i to sektioner. Den første sektion omhandler opbygningen af systemet, hvor en eller flere eksperters viden indfanges og repræsenteres ved fuzzy regler. Den anden sektion omhandler den fuzzy interferens proces, hvor det gennemgås hvordan et system kan resonere sig til en løsning

24 2.6.1 Fuzzy regler opbygning af ekspertsystemet Det første trin i opbygning af et fuzzy ekspertsystem er repræsentation af eksperternes viden om den ønskede problemstilling. Dette gøres typisk via en række IF-THEN regler, som kaldes fuzzy regler. Strukturen af disse regler er angivet på pseudo BNF-form nedenfor: <udsagn> ::= <lingvistiske udsagn> <op> ::= AND OR <regel> ::= IF <udsagn> [<op> <udsagn>] THEN <udsagn> Opbygningen af en regel kan inddeles i to: En IF-del som beskriver betingelsen for at regelen er opfyldt, og en THEN-del som beskriver konsekvensen, hvis betingelsen er opfyldt. Som det ses består IF-betingelsen af et eller flere lingvistiske udsagn, som er forbundet med fuzzy operatorer. I dette tilfælde begrænser vi os til operatorne AND eller OR, men i visse ekspertsystemer anvendes også andre operatorer. Disse operatorer angiver i hvilken grad et eller flere af udsagnene skal være opfyldt, for at betingelsen opfyldes [Konar, 2005]. AND er typisk repræsenteret ved fuzzy foreningsmængde, mens OR typisk er repræsenteret ved fuzzy fællesmængde. Et eksempel på evaluering af en IF-betingelse, kunne være for en regel der angiver at der skal skrues ned for ovnen, når den er overophedet eller når den er halvfuld: IF ovnen IS overophedet OR ovnen IS halvfuld THEN effekt IS lav Først skal sandhedsgraden af begge udsagn i IF-betingelsen bestemmes det vil sige udsagnene ovnen IS overophedet og ovnen IS halvfuld. Lad os antage at ingeniøren - som har opstillet reglerne - har angivet domænerne som ses på figur μ M (x) 1 Ovntemperatur μ M (x) 1 Ovnfuldhed 0,8 Nedkølet Overophedet 0,25 Tom Halvfuld Fuld T (grader) % Figur 2.12 Figuren viser to mulige domæner, som ingeniøren kunne have opstillet. Domænet ovntemperatur beskriver ovnens temperatur, mens domænet ovnfuldhed beskriver opfyldningen af ovnen. Hvis det antages at temperaturen er 1000 grader og ovnen er 15 % fuld, så kan det aflæses at sandhedsgraden for det første udsagn er 0,8 og sandhedsgraden for det andet er 0,25. Herefter beregnes OR-operationen for eksempel via fællesmængde og maksimummetoden: maksimum[0,8;0,25]. Sandhedsgraden for IF-betingelsen bliver således 0,8 - så regelen er 80 % sand

25 Som det fremgår af BNF-formen består THEN-konsekvensen af en fuzzy regel af ét lingvistisk udsagn 3. I et klassisk ekspertsystem vil denne konsekvens træde i kraft, hvis IFbetingelsen er sand. I et fuzzy ekspertsystem har IF-betingelsen en sandhedsgrad, så konsekvensen skal udføres i en udstrækning svarende til denne sandhedsgrad. Dette gøres i praksis ved at indføre et domæne for den lingvistiske variabel i THEN-konsekvensen. I eksemplet med ovnen vil dette dreje sig om udsagnet: Effekt IS lav. Her kunne ingeniøren angive et domæne kaldet ovneffekt, hvor den lingvistiske værdi lav er angivet. Dette domæne et angivet på figur Da sandhedsgraden af IF-betingelsen var 0,8 vil effekten skulle skrues ned på 80 % af den lingvistiske værdi lav. I praksis findes der forskellige teknikker til at bestemme en værdi for en regelkonsekvens, men i dette tilfældet kan en simpel aflæsning på figur 2.13 giver resultatet. Her ses, at det vil svare til en effekt på cirka 23 procent. μ M (x) 1 0,8 Ovneffekt Lav Middel Høj % Figur 2.13 Figuren viser domænet for ovneffekt, hvor de lingvistiske værdier lav, middel og høj er defineret. Typisk består et fuzzy ekspertsystem ikke blot af en enkelt regel, men en hel række. Disse regler kaldes en regelbase eller en vidensbase og skal repræsentere ekspertens viden omkring hele problemstillingen [Hansen, 2000]. Eksempelvis kunne ingeniøren opstille følgende vidensbase: Regel-1: Regel-2: Regel-3: Regel-4: IF ovnen IS nedkølet THEN effekt IS høj IF ovnen IS halvfuld THEN effekt IS middel IF ovnen IS fuld THEN effekt IS høj IF ovnen IS overophedet OR ovnen IS tom THEN effekt IS lav Den opmærksomme læser vil bemærke, at reglerne kan komme i konflikt med hinanden. For eksempel hvis ovnen både er overophedet (medfører at effekt skal på lav), og ovnen er fuld (medfører at effekt skal på høj). Dette er helt legalt for ingeniørens synspunkt, da han intuitivt ved hvilke faktorer, der skal tillægges størst betydning. For eksempel vil han nok vælge at skrue ned uanset ovnens fuldhed, hvis den er ved at nedsmelte. I et klassisk ekspertsystem ville dette være problematisk, da det ikke umiddelbart ville være muligt at bestemme hvilken regel, som skal eksekveres 4 [Negnevitsky, 2005]. Konflikter som dette er relativt uproblematiske i et fuzzy ekspertsystem, da de kan afgøres via sandhedsgraderne. Dette belyses i næste afsnit, hvor processen bag fuzzy interferens gennemgås. 3 I nogle ekspertsystemer tillades flere konsekvenser, som er forbundet med AND-operatoren [Negnevitsky, 2005]. Eksempel: IF ovn IS overophedet THEN effekt IS lav AND fare IS stor. For simpelhedens skyld tillades dette ikke i de ekspertsystemer, som omtales i dette kapitel. 4 Der findes dog løsninger. For eksempel kan reglerne prioteres, så kun den vigtigste regel udføres [Negnevitsky, 2005]

26 2.6.2 Fuzzy interferens Efter opstilling af den fuzzy vidensbase er ekspertsystemet parat til at modtage input og resonere sig en løsning på problemstillingen. Dette gøres via fuzzy interferens, der kan defineres som transformationsprocessen fra et givent input til et givent output ved brug af fuzzy mængder [Negnevitsky, 2005]. Den mest anvendte interferensteknik er Mamdani-metoden, som blev opfundet i 1975 af professor Ebrahim Mamdani fra London universitet. Mamdani-metoden tager udgangspunkt i fire trin: a) Fuzzifikation b) Evaluering af regler c) Aggregering af regelkonsekvenser d) Defuzzifikation I det følgende beskrives disse trin, hvor gennemgangen tager udgangspunkt i den opstillede vidensbase - de fire regler der blev opstillet i forrige afsnit til styring af ovnen. Desuden antages det, at ingeniøren har opstillet de to domæner ovntemperatur og ovnfuldhed til at beskrive input i systemet, og at han har opstillet domænet ovneffek til beskrivelse af outputtet fra systemet. Disse domæner er ligeledes beskrevet i forrige afsnit. Domæner som definerer input i systemet vil for fremtiden blive betegnet inputdomæner, mens domæner som definerer output vil blive betegnet outputdomæner. a) Fuzzifikation Fuzzifikation er den proces, hvor almindelig input omformeres til fuzzy input. Dette gøres via de opstillede inputdomæner i vidensbasen. For hvert inputdomæne bestemmes medlemsgraden for de fuzzy mængder som indgår i domænet. Lad os, med udgangspunkt i eksemplet, antage at ovntemperaturen på et givent tidspunkt er 1000 grader og ovnens fuldhed er 15 %. Dette input fuzzificeres ved at aflæse domænerne på figur Ved aflæsning af domænet ovntemperatur fås medlemsgraden μophedet = 0,8 for mængden overophedet og medlemsgraden μnedkølet = 0 for nedkølet. Ved aflæsning af domænet ovnfuldhed fås medlemsgraden μtom = 0,3 for tom, μhalvfuld = 0,25 for halvfuld og μfuld = 0 for fuld. Input 1000 O C Input 25% fuld μ M (x) 1 0,8 Ovntemperatur μ N (x) 1 Ovnfuldhed 0 Nedkølet 980 Tom Overophedet 0,3 Halvfuld 0, T (grader) Fuld % Figur 2.14 Figuren viser princippet bag fuzzifikation af input for de to inputdomæner ovntemperatur og ovnfuldhed

27 b) Evaluering af regler Med udgangspunkt i fuzzifikationen kan reglerne i vidensbasen evalueres. Først bestemmes sandhedsgraderne af udsagnene i IF-betingelserne. Hvis en betingelse består af flere udsagn sammensættes disse sandhedsgrader via de fuzzy operatorer (AND eller OR). I eksemplet ville dette give følgende sandhedsgrader for de enkelte regler: Regel 1: s1 = μnedkølet = 0 Regel 2: s2 = μhalvfuld = 0,25 Regel 3: s3 = μfuld = 0 Regel 4: s4 = maks[μophedet; μtom] = 0,8 Her blev maksimum-metoden anvendt til OR-operatoren i regel 4. Men som beskrevet i afsnit kunne andre metoder, såsom algebraisk sum være anvendt. Næste skridt er at bestemme konsekvensen af de enkelte regler i vidensbasen. Dette gøres for hver regel ved at vægte konsekvensens udsagn med sandhedsværdien fra IFbetingelsen. Dette kan gøres efter forskellige principper, men typisk anvendes skalering eller klipning [Negnevitsky, 2005]. Begge disse principper er illustreret på figur 2.15 på konsekvensen af regel nummer 2: μ M (x) 1 Klipning af ovneffekt μ M (x) 1 Skalering af ovneffekt 0,3 Middel 0,3 Middel 0 a 50 % b 0 50 % Figur 2.15 Figuren viser to metoder til vægtning af konsekvensen fra en fuzzy regel. Til venstre er princippet bag klipning illustreret mens skalering er illustreret til højre. I klipning anvendes arealet under den kurve, som beskriver medlemsfunktionen for konsekvensen. Denne kurve klippes af sandhedsværdien, som bestemmer den maksimale funktionsværdi af medlemsfunktionen. Således kan vægtningen V for en given regel r bestemmes: V r b = min[ s ; μ ( x)] dx a Hvor sr er sandhedsværdien for reglen, og a og b er grænserne for den medlemsfunktion, som beskriver reglens konsekvens. Da klipning skærer toppen af medlemskabsfunktionerne tabes noget information. En mere præcis metode er skalering, som kan skalere formen på medlemskabsfunktionen i forhold til sandhedsværdien. Denne metode kræver dog flere beregninger og er vanskeligere at implementere end klipning, så de fleste ekspertsystemer fortrækker den sidstnævnte metode [Negnevitsky, 2005]. Hele regelevalueringsprocessen for eksemplet er angivet på figur 2.16 nedenfor. På figuren er klipning valgt som vægtningsmetode. r r

28 μ M (x) 1 Ovntemperatur μ Z (x) 1 Ovneffekt Nedkølet 0,0 Lav Middel Høj T (grader) % Regel 1: IF ovnen IS nedkølet (0,0) THEN effekt IS høj (0,0) μ N (x) Ovneffekt Ovnfuldhed μ Z (x) 1 1 0,25 Halvfuld Lav Middel Høj 0, % % Regel 2: IF ovnen IS halvfuld (0,25) THEN effekt IS middel (0,25) μ N (x) 1 Ovnfuldhed μ Z (x) 1 Ovneffekt Fuld 0,0 Lav Middel Høj % % Regel 3: IF ovnen IS fuld (0,0) THEN effekt IS høj (0,0) μ M (x) 1 0,8 Ovntemperatur Overophedet μ N (x) 1 0,3 Ovnfuldhed 0,8 Tom 0,3 OR (MAX) μ Z (x) 1 0,8 Ovneffekt Lav Middel Høj T (grader) % % Regel 4: IF ovnen IS ophedet (0,8) OR ovnen IS tom (0,3) THEN effekt IS lav (0,8) Figur 2.16 Figuren illustrerer processen bag regelevaluering På figuren vises evalueringen af hver af de fire regler fra eksemplet om forbrændingsovnen. b) Aggregering af regelkonsekvenser Evalueringen af reglerne fører til en række konsekvenser, som er blevet klippet eller skaleret i forhold til sandhedsværdien. Disse output samles til én fuzzy mængde via en proces som kaldes aggregering. Her anvendes en simpel summering, hvor de klippede eller skalerede fuzzy mængder summeres [Openshaw, 1997]. Denne proces er illustreret på figur

29 μ Z (x) 1 Ovneffekt μ Z (x) 1 0,8 Ovneffekt μ Z (x) 1 0,8 Ovneffekt 0,25 Middel Lav 0, % effekt IS middel (0,25) effekt IS lav (0,8) 100 % Figur 2.17 Figuren viser princippet bag aggregering, hvor regelkonsekvenserne summers. d) Defuzzifikation Resultatet af aggregeringen giver en fuzzy mængde, men i det fleste tilfælde er det nødvendigt med en præcis værdi til løsningen af en problemstilling. Denne konvertering fra fuzzy resultat til almindelig værdi foretages af defuzzifikation. Der findes mange metoder til defuzzifikation, men den mest anvendte er beregning af tyngdepunktet (kaldes også for COG - Center Of Gravity). Her beregnes tyngdepunktet på baggrund af den aggregeret fuzzy mængde. Formlen for bestemmelse af tyngdepunktet t er for en fuzzy mængde M er givet ved: b μ ( x) x dx a M M = b μ M a t ( x) dx I teorien bliver tyngdepunktet beregnet over et kontinuerligt interval, men ifølge Negnevitsky [2005] kan et acceptabelt estimat beregnes over en diskret mængde af punkter. Dette forsimpler formlen for tyngdepunktet til en summeration: t M b x= a = b x= a μ ( x) x M μ ( x) M (formel 2.1) Tyngdepunktet for den aggregeret fuzzy mængde fra eksemplet er angivet på figur 2.18 nedenfor. μ Z (x) 0,78 0,8 Ovneffekt 0,4 0, % t p = 25% Figur 2.18 Figuren viser defuzzifikationen for eksemplet med forbrændingsovnen. Til defuzzifikationen er brugt den diskrete formel for tyngdepunkt