Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
|
|
- Tobias Lindegaard
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave at forklare, hvordan man kommer frem til facit i de enkelte opgaver. Der er altså ikke afkrydsningsfelter, der er kun facit og tilhørende udregninger. Udregningerne er meget udpenslede, så de este kan være med.
2 Indhold Problem 3 Problem 4 Problem 3 5 Problem 4 6 Problem 5 7 Problem 6 8 Problem 7 9 Problem 8 0 Problem 9 Problem 0 4 Problem 5 Problem 6 Problem 3 8 Problem 4 9 Problem 5 0
3 Problem Et ligningssystem er givet ved x x + x 3 = x 4x + 3x 3 = 7 x + x =. Find det rigtige udsagn. Svar: Den "lange"metode ville være at rækkereducere. Lad os i stedet prøve at bruge udelukkelsesmetoden. For det første: Der kan ikke være løsninger. Enten er der uendeligt mange, én eller ingen løsninger. Hvis x =, x = og x 3 = 3 er en løsning, kan vi ikke konkludere, om den er den eneste løsning. Men vi ville kunne sige, at svaret 'ingen løsninger' ikke passer. Hvis x =, x = 0 og x 3 = 3 er en løsning, kan vi konkludere, at svarmulighed nummer 3 er den rigtige løsning. Så lad os vælge at indsætte disse værdier i ligningssystemet: = = ( ) = = 7 ( ) + 0 = + 0 =. Det vil sige, at svarmulighed 3 er det rigtige svar. Bemærk: Hvis dette ikke var en løsning, så skulle vi have tjekket svarmulighed to. Ud fra dette tjek ville vi så kunne bestemme om svarmulighed eller var det rigtige svar. 3
4 Problem Lad W = span{v, v, v 3 }, hvor v =, v =, v 3 =. 3 4 a. Hvilken af vektorerne ligger ikke i W? Opstil koecientmatricen for spannet samt en vilkårlig vektor a b. c Da fås: a b r r r a a r 3 +r r b a r r r b a 5(b a) 3 4 c c + a c + a 3 Vi ser, at v 3 er lineært afhængig af v og v (der er ingen pivotindgang i 3. søjle). Derudover ses det, at hvis en vilkårlig vektor ikke skal ligge i spannet af v og v, så skal der gælde, at sidste indgang i den sidste vektor ikke må være nul (hvis den er forskellig fra 0, så er der en pivot i sidste søjle, hvorfor denne vektor ikke vil ligge i spannet). Vi kan altså lave følgende opskrivning: 5(b a) 3 + c + a 0. Denne kan reduceres ved at gange med 3 på begge sider: 5(b a) + 3c + 3a = 5b 0a + 3c + 3a = 7a + 5b + 3c 0. Dermed kan vi let udregne for de givne vektorer (vi behøver ikke nulvektoren, den ligger i alle underrum pr. denition): = = ( ) = = = = = = 0 Dermed er det altså kun der ikke ligger i W., 0 b. Hvad er dimensionen af W? Jamen vi ved, at v og v er lineært uafhængige, men v 3 er lineært afhængig. Dermed er dimensionen. 4
5 Problem 3 To matricer er givet ved A = 0, B = 0. Ved matrixmultiplikation fås C = AB. a. Hvad er størrelsen af matrix C? Da A er en 3 3-matrix og B er en 3 -matrix fås: (3 3)(3 ) = 3. b. Hvad er indgangen c? Vi skal blot gange række i A og søjle i B sammen: [ ] 0 0 = = 4 + = 6. 5
6 Problem 4 Betragt følgende seks matricer: A = 0 0, A = 0 3 0, A 3 = 0 0, A 4 = B = 5, C = 5. a. For hvilket i er A i ikke en elementær matrix? Vi har, at I r r 3 A I 3r r 3r 3 r 3 A I 5r r A3 I r +r r A 4, hvorfor det er klart, at A ikke er en elementær matrix (der skal mere end rækkeoperation til at nå fra identitetsmatricen til denne). b. Hvor hvilket i er A i B = C? Vi ser, at B r +r r C, hvilket stemmer over ens med rækkeoperationen for A 4. Dermed er i = 4. 6
7 Problem 5 En matrix er givet som Hvad er matricens determinant? Svar: Lad os udregne den ved at rækkereducere. Husk, at determinanten er uforandret, når en række lægges til eller trækkes fra en anden. Hvis der blot ganges med en skalar i en række, så skal determinanten ganges med skalarens inverse (dvs. divideres med skalaren). Ombyttes to rækker, skifter determinanten fortegn. Vi reducerer: r 3 r r 3 r3 r r 3 r 4 r r r r r 4 r 3 r Vi har kun lavet en rækkeoperation, der ændrer determinanten, hvilken er at gange. række med. Vi har (ved at betragte determinanten), at: det = det = det = det = det = ( ( )) = Husk, at determinanten af trekantsmatrix er alle diagonalindgangene ganget sammen. 7
8 Problem 6 Lad T : R n R m være en lineær transformation med standard matrix 3 0 A =. 4 4 a. Hvad er værdien af n? Da T : R n R m, betyder det, at transformationen T tager en vektor i R n og giver et output i form af en vektor i R m. Vi skal altså nde ud af dimensionen af v, således Av er veldeneret. Men da A har 5 søjler, da skal v have 5 rækker. Dermed er n = 5. b. Hvad er værdien af m? Igen, vi skal blot nde ud af, hvor mange indgange en vektor har, når vi har ganget startvektoren på. Men dette antal afhænger udelukkende af antallet af rækker i A, hvilket er 3. Dermed er m = 3. c. Er T injektiv (en-til-en)? Den eneste måde, at T er injektiv på, er, hvis nulrummet har dimension 0. Dette svarer dog til at sige, at der skal være pivotindgange i alle søjler. Men da der er ere søjler, end der er rækker, kan der ikke være pivot i alle søjler. Dermed kan T ikke være injektiv. d. Er T surjektiv (på)? Vi skal tjekke, om der er pivot i alle rækker. Vi har: Der er altså ikke pivot i alle rækker, hvorfor T heller ikke er surjektiv. e. Findes der to vektorer u og v således, at T (u) = T (v)? Ja, da T ikke er injektiv. En lineær afbildning er injektiv, hvis der IKKE kan ndes to vektorer u og v således, at T (u) = T (v). Men vi afgjorde i opgave c, at T ikke er injektiv, hvorfor vi altså kan nde sådanne vektorer. Helt specikt er det fordi, at nulrummet har dimension større end 0 (der er ikke pivot i alle søjler), hvorfor Ax = 0 ikke kun har x = 0. 8
9 Problem 7 Betragt matricen Hvad er dens egenværdier? A = [ ] Svar: Det er let nok at spotte. Ellers er udelukkelsesmetoden også hurtig. Men lad os tage den gode gamle metode. Vi skal løse det(a λi) = 0. Vi har altså: [ ] 5 λ 4 det = ( 5 λ)(7 λ) 4 ( 8) = 35+5λ 7λ+λ +3 = λ λ 3 = λ Vi nder diskriminanten til dette andengradspolynomium: D = ( ) 4 ( 3) = 4 + = 6. Dermed er λ = ( ) ± 6 = ± 4 = ± = { 3. Der vil altid være egenværdier, hvis man medtager komplekse egenværdier. Men det er ikke alle, der har Calculus før Lineær Algebra - hvorfor man udelukkende beskæftiger sig med reelle mængder i dette kursus. 9
10 Problem 8 En matrix og en vektor er givet ved 6 8 A = 4 3 8, v =. 4 6 a. Vektoren v er en egenvektor til A. Hvad er den tilhørende egenværdi? Denitionen af egenvektorer og deres egenværdier fremgår af ligheden Av = λv. Vi skal blot nde det λ, der opfylder dette krav. Vi ser altså: Av = = = = = v Altså er egenværdien. b. Det oplyses, at λ = 3 er en egenværdi for A. Hvad er dimensionen af det tilhørende egenrum? Vi betragter: A 3I = = Da der er frie variable ( søjler uden pivot) for A 3I, er dimensionen af det tilhørende egenrum ligeledes. c. Er A diagonaliserbar? Ja. Da A er en 3 3-matrix, er der 3 egenværdier med multiplicitet. Hvis en egenværdi kun har multiplicitet, kan der ikke være problemer der, da egenrummet også har dimension. Problemet kan ligge i multiplicitet større end. Men vi har lige konstateret i opgave b, at egenværdien 3 har et egenrum med dimension. Dermed skal egenværdien 3 altså som minimum have multiplicitet. Den kan heller ikke have mere end, da den tredje egenværdi er redegjort for ved egenværdien. Dermed har vi samlet set samme dimensioner af egenrummene, som vi har multiplicitet af det samlede antal egenværdier, hvilket er kravet for, at en matrix er diagonaliserbar. d. Hvad er determinanten af A? Så vi ved, at A er diagonaliserbar. Det betyder, at A kan skrives som A = P DP, hvor P er en matrix med egenvektorer i søjlerne, og D er en diagonalmatrix med de tilhørende egenværdier på diagonalen. Vi har altså: det A = det(p DF ) = det(p ) det(d) det(p ) = det(p ) det(p ) det(d), 0
11 0 0 men D = 0 3 0, hvormed det(a) = det(d) = 3 =
12 Problem 9 Tre vektorer er givet ved v =, v =, u = og et underrum er deneret som W = span{v, v }. a. Er {v, v } en ortogonal mængde? Vi skal blotte prikke vektorerne i denne mængde og se, om disse giver 0. Vi har: v v = = ( + ( ) + + ( )) = 0. 4 Da vektorproduktet giver 0 for alle (begge) vektorerne imellem i mængden, er disse alle (begge) ortogonale på hinanden. Mængden er da en ortogonal mængde. b. Hvad er dimensionen af W? Da W er udspændt af v og v, og disse er ortogonale (og dermed lineært uafhængige), har W en dimension på. c. Hvad er dimensionen af W? Da W R 4 og dim W =, får vi, at dim W = 4 =. 3 5, d. Hvad er den ortogonale projektion af u på W? Vi anvender formlen w = v u v v + v u v v. Vi bemærker dog først, at længden af v og v er : v = + ( ) + + ( ) = = 4 = =. Samme udregning kan laves for v, da vektornormer er ligeglade med fortegnet af indgangene (pga. kvadrerede udtryk). Vores formel er altså reduceret til: w = (v u)v + (v u)v. Prikprodukterne er givet ved: 3 v u = = 4 ( 3 + ( ) + ( ) + ( ) 5) = =. 5
13 v u = 3 5 = ( ( ) + 5) = 8 = 4. Dermed fås: w = v + 4v = + 4 = + = 3. 3 e. Hvad er afstanden fra u til W? Da w ligger i W og er projektionen af u ned på W, skal vi blot udregne længden af forskellen mellem disse to. Vi har: u w = (3 ) + ( 3) + ( ) + (5 3) = = 4 4 = 4 = 4. 3
14 Problem 0 Lad Q = a 0 b c Find den kombination, som gør Q til en ortogonal matrix. Svar: En ortogonal matrix består som bekendt af vektorer med længde. Vi ser, at den sidste vektor i matricen kun har én ikke-nul indgang, hvilken er c - vi skal dog huske at gange / ind, så der står reelt c/. Vi skal reelt bare nde det c, således at længden af vektoren bliver. Vi har altså: c = c =. Vi ser, at de eneste muligheder, der er tilbage, er a = og b =, eller a = og b =. Det er værd at bemærke, at og har lige stor indydelse på længden. Det vil sige, at forskellen i længderne ligger ved b-værdierne. Vi ser dog, at første søjle i Q indeholder to -taller. Det betyder, at hvis a = eller a =, så skal b også være eller. Dermed er a =, b =, c = svaret. 4
15 Problem [ ] [ ] 0 Lad B = {b, b } være basen for R med b = og b =. Lad desuden T : R R være en lineær transformation. Matrix repræsentationen af T relativt til basen B er [ ] [T ] B =. Hvad er standard matricen for T? Svar: Vi benytter formlen A = B[T ] B B. [ ] [ ] 0 0 Vi har, at B =. Vi kan hurtigt nde den inverse B =. Vi har altså: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A = = =. 5
16 Problem En liste af vektorerne er givet ved: 0 v = 0, v = 0, v 3 = 0, v 4 = 0 0, v 5 =, v 6 = a. Hvilken af de følgende mængder er lineært uafhængige? Du må gerne opstille samtlige matricer, rækkereducere dem og konkludere (u)afhængighed på baggrund af pivotsøjler. Men du må også gerne gøre som jeg: {v, v } Vi kan hurtigt se, at vektorerne er lineært uafhængige, da de hver har ikke-nul indgange et sted, hvor den anden har en nul indgang. {v, v 3 } Vi ser, at v har en nul-indgang i 4. komponent, hvor v 3 har et ikke-nul komponent. De er altså lineært uafhængige. {v 5 } Well... Det er en vektor. Så selvfølgelig er det en lineært uafhængig mængde. {v, v 3, v 4 } Vi ved, at v og v 3 er lineært uafhængige. Derudover kan vi se, at v 4 også har en nul-indgang ved 4. komponent. Derfor kan v 3 ikke bruges til noget i en linear kombination, hvor v 4 skal beskrives. Kan v beskrive v 4 for sig selv? Nej, for v kan ikke lave et 0 i. komponent uden at lave et 0 i første komponent. Altså er mængden lineært uafhængig. {v 3, v 5, v 6 } Denne er lidt mere uoverskuelig, men det er dog stadig let at se, at v 3 + v 5 = v 6. Dermed er disse lineært afhængige. {v, v, v 3, v 4, v 5, v 6 } Vektorerne bender sig i R 4. Dermed kan vi konkludere, at dette er en lineært afhængig mængde, da der maksimalt kan være 4 lineært uafhængige vektorer i en mængde, hvor vektorerne ligger i R 4. b. Hvilke af følgende mængder udspænder R 4? Okay. For at en mængde skal udspænde R 4, skal der som minimum være 4 vektorer i mængden. Derfor gider jeg ikke inkludere dem med færre. 6
17 {v, v, v 3, v 4 } Vi ved fra opgave a, at v, v 3 og v 4 udgør en lineært uafhængig mængde. Hvad disse tre vektorer har til fælles er, at deres 3. komponent er et 0. Men hov! v har en ikke-nul indgang i 3. komponent. Dermed kan disse tre vektorer ikke beskrive v og denne vektor kan ikke hjælpe med at beskrive de andre. Dermed er denne mængde lineært uafhængig, hvorfor den udspænder R 4. {v 3, v 4, v 5, v 6 } Det kan gøre være, at denne mængde har 4 vektorer, men vi konkluderede, at v 3, v 5 og v 6 var lineært afhængige i opgave a. Derfor kan mængden maksimalt udspænde 3 dimensioner af de i alt 4, som R 4 har. Altså udspænder denne mængde IKKE R 4. {v, v, v 3, v 4, v 5, v 6 } Da {v, v, v 3, v 4 } udspændte R 4 og udspænder denne altså også hele R 4. {v, v, v 3, v 4 } {v, v, v 3, v 4, v 5, v 6 }, 7
18 Problem 3 Lad A og B være 4 4-matricer med det(a) = og det(b) = 5. a. Hvad er det(a 3 )? Vi har: det(a 3 ) = det(a A A) = det(a) det(a) det(a) = det(a) 3 = ( ) 3 = 8. b. Hvad er det(a B )? Vi har: det(a B ) = det(a ) det(b ) = det(a) det(b) = 5. c. Hvad er det(b)? Vi skal her huske på, at B er en 4 4-matrix, da -tallet er ganget ind på alle indgange (og dermed alle rækker. ): det(b) = 4 det(b) = 6 det(b) = (0 + 6)5 = = 80. Prøv at nd determinanten af identitetsmatricen, hvor I gør dette, hvis I er forvirret over, hvorfor 8
19 Problem 4 Et underrum af R 4 er givet som W = span{v, v, v 3, v 4, v 5, v 6 }, hvor 4 9 v =, v =, v 3 =, v 4 = 4 4, v 5 =, v 6 = Man vil gerne nde en basis for W og bruger MATLABs Command Window som følger: A = [ 4 9 ; ; - -4 ; ]; rref(a) ans = Hvilken mængden udgør en basis for W? Svar: Vi ser, at første, tredje og sjette søjle er pivotsøjler. Dermed er {v, v 3, v 6 } en basis for W. 9
20 Problem 5 Den lineære transformation [ x T : R R ; T ( y ] ) = 3 [ 5 5 ] [ ] x y beskriver en spejling i en akse gennem Origo. Hvilken af vektorerne ligger på spejlingsaksen. Svar: Hvis vi smider en vektor ind, der ligger på spejlingsaksen, vil denne ikke blive påvirket. Vi har: [ ] T ( ) = [ ] [ ] 5 = [ ] + 5 = [ ] 3 = [ ] [ ] 3 = Hey se der, vi fandt vektoren (jeg læser "Hvilken af vektorerne ligger på spejlingsaksen"som, at der kun er ét svar), der ikke er påvirket af spejlingen. Altså må denne vektor ligge på spejlingsaksen. 0
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs merePrøveeksamen A i Lineær Algebra
Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereMat10 eksamensspørgsmål
Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. februar, 3. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den 9. februar, 4. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereSandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!
LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereLinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013
LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereBiologisk model: Epidemi
C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereForslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mereOpgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereLineær uafhængighed 1. Lineær afbildninger 2. Spektralteori 3. Komplekse tal 4. Indeks 8. u 3 = u 1 + u 2 (3) V u3 =
Goutham Jørgen Surendran3. januar 22 LINEÆR UAFHÆNGIGHED Indhold Lineær uafhængighed Lineær afbildninger 2 Spektralteori 3 Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler 4 Komplekse tal 4 (Hvad ethvert dannet
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mere