Maple 11 - Chi-i-anden test
|
|
- Malene Pedersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest. Den nye Gym-pakke introduceret til Maple 16 indeholder en række gode værktøjer til netop dette emne. Da emnet med Chi-i-anden tests er noget involveret, har jeg for begge typers vedkommende gennemgået hele processen, der fører frem til en accept eller en afvisning af hypotesen. Det er gjort for at man får en bedre forståelse af emnet, selv om noget lignende er gennemgået i flere lærebøger. Efter denne manuelle gennemgang (analyse af problemstilling) forklares det, hvordan man let løser opgaven med Gym-pakken. Hvis du gerne vil vide lidt mere om teorien for Chi-i-anden tests, så kan du med fordel læse en af nedenstående dokumenter. De er udarbejdet af Susanne Christensen, Lektor i Statistik, Aalborg Universitet, og specielt henvendt til gymnasiet. At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle (Kan eventuelt bruges direkte i klassen) Kursusmateriale til det nye statistikpensum (Kursusmateriale til et kursus for lærere - går mere i dybden) Goodness of fit test Lad os kigge på et eksempel. Før vi løser opgaven med Gym-pakken beskrives, analyseres situationen, så eleverne får en fornemmelse af, hvad der foregår. Det kan også være fornuftigt at løse opgaven "manuelt" skridt for skridt den første gang, inden man begiver sig ud i de automatiske løsninger. Eksempel 1 En person deltager i et terningespil i en spilleklub. Personen er i tvivl om terningen er falsk, altså om antallet af øjne 1, 2, 3, 4, 5 og 6 forekommer med samme sandsynlighed. I al hemmelighed foretager han en række kast med terningen - i alt 120 gange slår han med terningen og hyppighederne af de enkelte antal øjne fremgår af tabellen nedenfor. Der ønskes en vurdering af om terningen kan være falsk. Antal øjne Hyppighe d Page 1 of 14
2 Analyse af problemstilllingen Eksemplet med terninger er velegnet, fordi det er tydeligt for enhver, at der er tale om tilfældigheder. Der er udtaget én stikprøve, som er resultatet efter at have slået 120 gange med en terning. Havde man gentaget forsøget, ville man efter al sandsynlighed have fået et andet stikprøve-resultat. Og det er også klart, at vi på ingen måde med sikkerhed kan afgøre om terningen er falsk eller ej. Det kunne jo i princippet hænde - ved en ekstrem tilfældighed - at en ægte terning ville vise for eksempel 2 øjne i alle 120 kast! For at udnytte oplysningen om stikprøven, vender vi derfor tingene på hovedet: Vi opstiller en såkaldt nulhypotese, kaldet H 0, som består i at antage, at terningen er ægte. Alternativhypotesen, som er den modsatte hypotese af nulhypotesen og betegnes H 1, er da at terningen er falsk. Under antagelse af at nulhypotesen er sand, vil vi derefter udregne sandsynligheden for på denne baggrund at få den pågældende stikprøve eller noget der i en vis forstand er "mere skævt" end den observerede stikprøve. Vi vedtager da, at hvis denne sandsynlighed er mindst 5% eller 0.05, så vil vi acceptere nulhypotesen, mens vi vil afvise nulhypotesen, hvis sandsynligheden er mindre end 5%. Man siger, at vi sætter signifikansniveauet til 5%. I visse situationer vælger man et signifikansniveau på 1%. Det er de mest almindelige - med 5% som den mest anvendte. H 0 -hypotesen: Terningen er ægte H 1 -hypotesen: Terningen er falsk Som et mål for, hvor langt en stikprøve er fra den forventede fordeling benyttes den såkaldte Q-værdi, indført af den britiske statistiker Karl Pearson ( ) i år 1900: Q => observeret antalkforventet antal 2 forventet antal Der summeres over alle mulige udfald, dvs. for hvert muligt udfald (fx en et'er, en to'er, en tre'er, etc.) skriver man hvor mange, der blev observeret af hver slags og trækker det forventede antal fra, sætter i anden potens, og dividerer med det forventede antal. I øvrigt betegnes Q-værdien også test statistikken. Da vi slår 120 gange med en terning vil vi forventeligt få 120 / 6 = 20 af hvert antal øjne. Dermed fås i dette tilfælde: Qd 10K = 21 2 at 10 digits C 27K C 16K C 18K C 24K C 25K Q giver kun 0, hvis for hvert udfald, det observerede antal er lig med det forventede antal. Der er altså fuld overensstemmelse i det tilfælde mellem de observerede antal og de forventede antal for hver eneste mulige udfald. Jo større Q er, jo dårligere stemmer antallet af observerede værdier overens med antallet af forventede værdier. Det er i hvert fald sådan, vi definerer det. Man kan vise - hvilket er uhyre svært - at Q tilnærmelsesvist er χ 2 -fordelt (Chi-i-anden fordelt) med nk1 frihedsgrader, hvor n står for antallet af mulige udfald, her 6. Begrebet antal frihedsgrader kan opfattes som antallet af mulige udfald, hvis hyppigheder kan varieres frit i skemaet ovenfor. Da summen skal være 120, kan den sidste hyppighed ikke varieres frit, derfor er der nk1 frihedsgrader. Omtalte fordeling skal vi slet ikke kende til i detaljer - det er Uni stof! Vi kan dog godt få Maple til at tegne tæthedsfunktionen for Chi-i-anden fordelingen med nk1 = 6K1 = 5 frihedsgrader: restart Page 2 of 14
3 with Statistics : X d RandomVariable ChiSquare 5 : fdx/pdf X, x : plot f x, x = x Vi udregnede en Q-værdi på 10.5 ovenfor. Sandsynligheden for at få en Q-værdi på 10.5 eller større svarer (tilnærmelsesvist) til arealet under grafen fra 10.5 til uendelig. Det fås som integralet af funktionen fra 10.5 til uendelig: N 10.5 f x dx = Denne værdi kaldes p-værdien og er en tilnærmet værdi for sandsynligheden for at Q-værdien er 10.5 eller derover. Da p-værdien er over 0.05 accepterer vi nulhypotesen. Terningen ser altså ud til at være ægte. Da værdien imidlertid er meget tæt på de 0.05 kunne det måske være hensigtsmæssigt i en praktisk situation at gennemføre en stikprøve mere. Det kunne også være interessant at bestemme den kritiske værdi, som er den Q-værdi, der giver anledning til en p-værdi på netop Det kan klares ved en simpel ligningsløsning. Vi skal bestemme den "hale" under grafen for f, hvis areal er Vi bruger fsolve, da der kun er én reel løsning: fsolve N K f x dx = 0.05, K Den kritiske værdi er altså (2.1) Løsning med Gym-pakken Med Gym-pakken er ovenstående proces yderst nem. Man laver en liste (husk firkantede parenteser) Page 3 of 14
4
5 For at tilnærmelsen er god, skal hyppighederne af de enkelte observationer helst alle være mindst 5. Bemærk, at p-værdien ikke angiver sandsynligheden for at terningen er ægte!!! p-værdien er derimod en tilnærmelsesvis værdi for sandsynligheden for at man får den pågældende stikprøve eller noget der afviger mere fra det forventede, givet at nulhypotesen er korrekt. Stikprøvens afvigelse fra det forventede er beskrevet ved Q-værdien. Som nævnt i analysedelen ovenfor kan man sagtens komme ud for at drage en forkert konklusion på baggrund af Chi-i-anden testen. Man taler om de såkaldte type I og type II fejl. Ved type I fejl afvises en nulhypotese, som faktisk er korrekt. Ved type II fejl accepteres en nulhypotese, som faktisk er falsk. Vi kan skrive det op i et skema: H 0 acceptere s H 0 afvises H 0 er sand Korrekt afgørelse Type I fejl H 0 er falsk Type II fejl Korrekt afgørelse Type I fejl forekommer især, hvis den stikprøve, man har opnået, er meget usædvanlig. Bemærkninger 2 Hvis man for eksempel ønsker at foretage en hypotesetest med et andet signifikansniveau, fx 1% eller 0.01, så kan det gøres ved at tilføje en option til kommandoen: ChiKvadratGOFtest obs, forv, level = 0.01 Eksempel 2 Lad os prøve at se, hvad der ville ske, hvis alle hyppighederne i tabellen i eksempel 1 blev fordoblet, altså: Antal øjne Hyppighe d restart with Gym : obsd 20, 54, 32, 36, 48, 50 : forvd 40, 40, 40, 40, 40, 40 : ChiKvadratGOFtest obs, forv Page 5 of 14
6
7 to procenter er meget forskellige eller er meget ens. Men hvad når der er tale om en mellemting som her? Det er ikke muligt at formulere en regel om, at hvis forskellen på de to procenter er så og så stor, så kan man sige, at der er tale om tilfældigheder. I eksempel 2 i forrige afsnit så vi nemlig, at også antallet af observationer - ikke blot procenterne - spiller en stor rolle i afgørelsen. For at løse opgaven på en pålidelig og matematisk måde, må man gøre brug af den såkaldte Chi-i-anden uafhængighedstest. Her opstilles de to hypoteser: H 0 -hypotesen: Chancen for at bestå køreprøven er uafhængig af hvilken af de to byer man bor i. H 1 -hypotesen: Chancen for at bestå køreprøven er ikke uafhængig af hvilken af de to byer man bor i. Man kan se på data for de to byer som en slags stikprøve. Det skal forstås på den måde, at hvis man lod 1429 andre personer fra Haderslev og 2026 andre personer fra Slagelse gå op til køreprøve, så ville man højst sandsynligt få et andet resultat. Der er altså noget tilfældighed indbygget. Spørgsmålet er, om man med rimelighed kan sige, at chancen for at dumpe i de to byer er den samme, eller om der måske gør sig noget andet gældende. Det kan for eksempel være, at det er særligt svært at køre rundt i den ene af byerne - dette ville nok være tilfældet hvis København var inde i billedet - så det er sværere at bestå. Dette kan også være, at de køresagkyndige i den ene by er mere hårde i bedømmelsen end de køresagkyndige i den anden by, etc. Mange forklaringer kan være mulige. Ligesom i Chi-i-anden Goodness of fit testen i forrige afsnit griber vi opgaven modsat an: Vi antager at nulhypotesen er sand, dvs. at chancen for at bestå køreprøven er uafhængig af i hvilken af de to byer man tager prøven. Dernæst bestemmer vi - på baggrund af denne antagelse - sandsynligheden for at få den "stikprøve" vi allerede har opnået eller noget, der er længere fra det forventede end denne. Hvis denne sandsynlighed, kaldet p-værdien, er større end eller lig med signifikansniveauet på de 0.05, så vedtager vi at acceptere nulhypotesen. I modsat fald afvises nulhypotesen. Som et mål for, hvor langt en stikprøve ligger fra det forventede, bruger vi den samme størrelse som i forrige afsnit, nemlig Q-værdien givet ved: Q => observeret antalkforventet antal 2 forventet antal og som blev indført af Karl Pearson i år De forventede antal er lidt sværere at bestemme end tilfældet var i eksempel 1 i forrige afsnit. Da vi ikke har anden viden end de fire data-værdier fra Haderslev og Slagelse, så er vi nødt til selv at konstruere et godt bud eller estimat på det forventede antal af hver type. Det mest overskuelige er at skrive data ind i et skema, en såkaldt antalstabel: Bestået Ikke bestået Sum Haderslev Slagelse Sum Observerede værdier hvor vi har udregnet summerne i både vandret og lodret retning. Vi ser, at betragtet over begge byer, så er 2264 ud af 3455 bestået. Det giver en beståelsesprocent på 2264 / 3455 = , altså 65.53%. Det vil derfor være rimeligt at forvente at 1429$ = består i Haderslev og 2026$ = består i Slagelse. Vi kan også foretage beregningen i et hug: Page 7 of 14
8 restart $1429 = $2026 = at 10 digits at 10 digits På tilsvarende måde kan vi udregne de forventede værdier for antal ikke beståede i henholdvis Haderslev og Slagelse: $1429 = $2026 = at 10 digits at 10 digits Disse forventede værdier, kan nu føjes ind i en tabel: Bestået Ikke bestået Sum Haderslev Slagelse Sum Forventede værdier Vi ser at de vandrette og lodrette summer giver det samme som i tabellen med de observerede værdier. Det er ingenlunde et tilfælde - det sker altid op til afrunding. Du kan fundere over hvorfor? Vi har nu de fire observerede hyppigheder og de fire forventede hyppigheder. Dem indsætter vi i formlen for Q. Det giver: Qd 915K C 514K C 1349K C 677K = Teorien siger nu - og det er alt for svært at bevise i gymnasiet - at Q-værdien, også kaldet test statistikken eller test størrelsen, tilnærmelsesvist er Chi-i-anden fordelt med sk1 $ rk1 frihedsgrader. Her betyder s antallet af søjler i den inderste del af tabellen, dvs. den med data uden summer. Tilsvarende betyder r antallet af rækker i samme tabel. Her har vi at gøre med to rækker og to søjler, så sk1 $ rk1 = 2K1 $ 2K1 = 1$1 = 1. Ligesom i afsnit 2 kan vi prøve at tegne tæthedsfunktionen for Chi-i-anden fordelingen med 1 frihedsgrad: with Statistics : X d RandomVariable ChiSquare 1 : fdx/pdf X, x : plot f x, x = Page 8 of 14
9 x Vi udregnede en Q-værdi på ovenfor. Sandsynligheden for at få en Q-værdi på eller større svarer (tilnærmelsesvist) til arealet under grafen fra til uendelig. Det fås som integralet af funktionen fra til uendelig: N f x dx = Denne værdi kaldes p-værdien og er en tilnærmet værdi for sandsynligheden for at Q-værdien er eller derover. Da p-værdien er over 0.05 accepterer vi nulhypotesen. Hypotesen om at der er lige stor chance for at bestå i de to byer kan dermed godt accepteres indenfor et signifikansniveau på Til slut kunne det være interessant at bestemme den kritiske værdi, som er grænsen for Q-værdien, der skiller en accepteret nulhypotese fra en afvist nulhypotese. fsolve N K f x dx = 0.05, K Den kritiske værdi er altså 3.84, hvilket betyder, at hvis Q er større end 3.841, så afvises nulhypotesen og hvis den er eller derunder, så accepteres den. (3.1) Løsning med Gym-pakken Efter en restart og kald af Gym-pakken skal vi have skrevet de observerede hyppigheder ind i en matrix, som hentes i paletten Matrix ovre i venstre side. Den skal have dimensioner 2 2: Page 9 of 14
10
11
12 "Forventet" "Bestået" "Ikke bestået" "i alt" "Haderslev" "Slagelse" "i alt" (3.2) Hvis du skriver obs med forklaringer, kommer tabellen med de forventede værdier også med forklaringer! Chi-i-anden fordelingen I dette afsnit skal vi blot overfladisk betragte den såkaldte Chi-i-anden fordeling med n frihedsgrader, også skrevet med det lille græske bogstav χ for chi: χ 2 -fordelingen med n frihedsgrader. Ligesom tilfældet er for Normalfordelingen, er der tale om en kontinuert sandsynlighedsfordeling. I Maple kan man definere en stokastisk variabel X ved hjælpe af kommandoen: RandomVariable. Som argument skal man fortælle hvilken fordeling denne stokastiske variabel skal have. Chi-i-anden fordelingen med n frihedsgrader hedder her ChiSquare n. Da kommandoerne ligger i pakken Statistics skal du huske at kalde denne pakke, før du går i gang. Endelig kan man referere til den stokastiske variabels tæthedsfunktion vis kommandoen PDF. Nedenfor har vi gjort alt dette og endda plottet fordelingen i tilfældet n = 3. restart with Statistics : X d RandomVariable ChiSquare 3 : fdx/pdf X, x : plot f x, x = x Chi-i-anden fordelingens tæthedsfunktion ser ret forskellig ud for de forskellige værdier af n. Vi kan Page 12 of 14
13 prøve at tegne tæthedsfunktionerne for tilfældene 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7 i samme koordinatsystem. restart with Statistics : for k from 1 to 7 do X k d RandomVariable ChiSquare k : f k d x/pdf X k, x : end do: plot seq f k x, k = 1..7, x = x Forklaring Husk at man kan tegne graferne for flere funktioner i samme koordinatsystem, hvis man sætter dem ind i en liste - dvs. angivet med komma imellem og med firkantede parenteser omkring. Da der er systematik i det her, kan vi hurtigt definere tæthedsfunktionerne ved hjælp af en for-løkke. Bemærk at hele løkken står i ét matematikfelt, selv om det fylder flere linjer. Man kan skrive på flere linjer, hvis man skifter linje med Shift+Enter. Endelig kan man bruge kommandoen seq for "sequence" til at spare plads. seq f k x, k = 1..7 er det samme som f 1 x, f 2 x, f 3 x, f 4 x, f 5 x, f 6 x, f 7 x. Vil man ydermere have betegnelser på hvilke kurver, der hører til hvilke Chi-i-anden fordelinger, kan man enten tilføje en legend option, som vist nedenfor. Man kan dog også manuelt højreklikke på grafen og vælge Legend > Show Legend. Derved kommer der som default betegnelserne "Curve 1", "Curve 2", etc., men man kan hurtigt redigere i dem ved at klikke på dem og skrive det man vil. Man skal dog være opmærksom på, at de manuelle ændringer føres tilbage til default tilstanden ved genberegning. Det gør det derimod ikke, når man skriver direkte i kommandoen. Page 13 of 14
14 plot seq f k x, k = 1..7, x = 0..20, legend = "λ = 1", "λ = 2", "λ = 3", "λ = 4", "λ = 5", "λ = 6", "λ = 7" x λ = 1 λ = 2 λ = 3 λ = 4 λ = 5 λ = 6 λ = 7 Page 14 of 14
2 -test. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske formler. 2 -test blev opfundet af Pearson omkring år 1900.
2 -fordeling og 2 -test Generelt om 2 -fordelingen 2 -fordelingen er en kontinuert fordeling, modsat binomialfordelingen som er en diskret fordeling. Fordelingen er særdeles kompleks at beskrive med matematiske
Læs mereVærktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:
Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereq-værdien som skal sammenlignes med den kritiske Chi-i-Anden værdi p-værdien som skal sammenlignes med signifikansniveauet.
Introduktion: Chi-i-Anden test (Goodness of Fit) på computeren fungerer som en "black-boks"- kommando, hvor eleverne med udgangspunkt i en nulhypotese (H ) taster de forventede og de observerede talværdier
Læs mereχ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium
χ 2 -test i GeoGebra Jens Sveistrup, Gammel Hellerup Gymnasium Man kan nemt lave χ 2 -test i GeoGebra både goodness-of-fit-test og uafhængighedstest. Den følgende vejledning bygger på GeoGebra version
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereEn intro til radiologisk statistik
En intro til radiologisk statistik Erik Morre Pedersen Hypoteser og testning Statistisk signifikans 2 x 2 tabellen og lidt om ROC Inter- og intraobserver statistik Styrkeberegning Konklusion Litteratur
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereKapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.
Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs merea) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :
Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs merec) For, er, hvorefter. Forklar.
1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele
Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om
Læs mereKursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereNewtons afkølingslov
Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereChi-i-anden Test. Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller
Chi-i-anden Test Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller Chi-i-anden Test Chi-i-anden test omhandler data, der har form af antal eller frekvenser. Antag, at n observationer kan inddeles
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereFlemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger
Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereKort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog
Kort gennemgang af Samfundsfaglig-, Naturvidenskabeligog Humanistisk metode Vejledning på Kalundborg Gymnasium & HF Samfundsfaglig metode Indenfor det samfundsvidenskabelige område arbejdes der med mange
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereAt lave dit eget spørgeskema
At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-
Læs mereVejledning i brug af Gym-pakken til Maple
Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det
Læs merefor gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen
Læs mereForelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1
! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1 Eksempel 1 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) En producent af tyggegummi påstår at en pakke tyggegummi i gennemsnit vejer
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mere1 - Problemformulering
1 - Problemformulering I skal undersøge, hvordan fart påvirker risikoen for at blive involveret i en trafikulykke. I skal arbejde med hvilke veje, der opstår flest ulykker på, og hvor de mest alvorlige
Læs mereRegneark II Calc Open Office
Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage
Læs mereEn intro til radiologisk statistik. Erik Morre Pedersen
En intro til radiologisk statistik Erik Morre Pedersen Hypoteser og testning Statistisk signifikans 2 x 2 tabellen og lidt om ROC Inter- og intraobserver statistik Styrkeberegning Konklusion Litteratur
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereVelkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode
Velkommen til Flemmings store Maplekursus 1. lektion. Skift mellem tekst- og matematikmode Man kan skifte mellem tekst- og matemamatikmode ved at trykke på F5. I øjeblikket er jeg i tekstmode.. 2. lektion.
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereSchweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.
Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 2014 Institution Vid Gymnasier, Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Ann Risvang
Læs mereLars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.
Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt
Læs mereCMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM
CMU PROJEKT HYPOTESETEST OG SIMULERING MICHAEL AGERMOSE JENSEN CHRISTIANSHAVNS GYMNASIUM FORMÅL - BEKENDTGØRELSEN STX MATEMATIK A Kompetencer anvende simple statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereTjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr.
Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren 2007 udgave Varenr. 7522 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning...
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereTegning af grafer. Grafen for en ligning (almindelig) Skriv ligningen ind. Højreklik og vælg Plots -> 2-D Plot of Right Side.
TgPakken TgPakken er en række kommandoer til Maple tilegnet til det danske gymnasium. Det er rigtig smart til at kontrollere ens opgaver, men som alenestående svar til en eksamen er det ikke altid tilstrækkeligt.
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereLøsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014
Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 4 Statistik & sandsynlighedsregning 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereI. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner
Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,
Læs mereT A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C
T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et
Læs merePeter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.
Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereGenerelt er korrelationen mellem elevens samlede vurdering i forsøg 1 og forsøg 2 på 0,79.
Olof Palmes Allé 38 8200 Aarhus N Tlf.nr.: 35 87 88 89 E-mail: stil@stil.dk www.stil.dk CVR-nr.: 13223459 Undersøgelse af de nationale tests reliabilitet 26.02.2016 Sammenfatning I efteråret 2014 blev
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereTips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF
Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De
Læs mereModellering med Lego education kran (9686)
Modellering med Lego education kran (9686) - Et undervisningsforløb i Lego education med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Kranen - et modelleringsprojekt
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereVelkommen til ABC Analyzer! Grundkursusmanual 2 vil introducere dig til ABC Analyzers mere avancerede funktioner, bl.a.:
Velkommen til ABC Analyzer! Grundkursusmanual 2 vil introducere dig til ABC Analyzers mere avancerede funktioner, bl.a.: Kategoriseringer uden ABC-kategorier Krydstabel (trebenede) Beregnede og avancerede
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereStikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik
Hypotesetest s og spørgeskemaer Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Kumuleret sandsynlighed 1 0.9 0.8
Læs mereStatistik II 4. Lektion. Logistisk regression
Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:
Læs mereKapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven
Kapitel 8 Chi-i-anden (χ 2 ) prøven Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 19 Indledning Forskelle mellem stikprøver undersøges med z-test eller t-test for data målt på
Læs mere(Projektets første del er rent deskriptiv, mens anden del peger frem mod hypotesetest. Projektet kan gemmes til dette emne, eller tages op igen der)
Projekt 2.4 Menneskets proportioner (Projektets første del er rent deskriptiv, mens anden del peger frem mod hypotesetest. Projektet kan gemmes til dette emne, eller tages op igen der) I. Deskriptiv analyse
Læs mereMatematik B. Højere handelseksamen
Matematik B Højere handelseksamen hhx122-mat/b-17082012 Fredag den 17. august 2012 kl. 9.00-13.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereEksamensadministration, EUD, udtrækning af elever Sidst opdateret 16-03-2010/version 1.3 /UNI C/Steen Eske Christensen
Eksamensadministration, EUD, udtrækning af elever Sidst opdateret 16-03-2010/version 1.3 /UNI C/Steen Eske Christensen Indhold Ændringer Centrale begreber Generelt Arbejdsgange mv. Vejledningen består
Læs mereStatistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test
Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mere