DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING
|
|
- Søren Gregersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING JOHAN P. HANSEN Resumé. Under den historiske indføring forklares, hvad der menes med en Diofantisk ligning. Der gøres rede for formulering af Fermats Store Sætning, som siger, at x n + y n = z n ikke har postive heltallige løsninger for n >. Alle heltallige løsninger til den Pythagoræiske ligning a + b = c bestemmes. Fermat nedstigning omtales og bruges til at vise Fermats Store Sætning i tilfældet n = 4. I løsningen af den Pythagoræiske ligning og beviset for Fermats Store Sætning i tilfældet n = 4, benyttes i begge tilfælde entydig faktorisering. Det næste kapitel omhandler vigtige matematikere, der har arbejdet med Fermats Store Sætning og dets bevis. Visse forsøg, der mislykkedes på grund af manglende entydig faktorisering, beskrives og der forklares, hvorfor det tog så lang tid at få sætningen bevist. Indhold 1. Kort historisk indføring til Diofantiske ligninger og Fermats store sætning. Den fuldstændige løsning til den Pythagoræiske ligning a + b = c 5 Eksempel på bestemmelse af talsæt 6 3. Fermat nedstigning og ligningen x 4 + y 4 = z Vigtige matematikere der har arbejdet med Fermats sidste sætning 9 Leonhard Euler 10 Sophie Germain 10 Gabriel Lamé, Augustin Cauchy og Ernst Kummer 11 Yutaka Taniyama og Goro Shimura 1 Ken Ribet 13 Andrew Wiles 13 Hvorfor tog det så lang tid at bevise Fermats store sætning? Grundlæggende talteori 13 Regning med rester modulo fire (modulær regning) 13 Primtalsfaktorisering og kvadrater 14 Dokument version: 5. maj
2 JOHAN P. HANSEN Litteratur Kort historisk indføring til Diofantiske ligninger og Fermats store sætning Man mener, at Diofantos, som levede i ca. 50 år e. kr., var den første, der fandt bevis og metode 1 til at bestemme samtlige heltallige løsninger til den Pythagoræiske ligning a + b = c. (1.1) Disse løsningssæt kaldes Pythagoræiske tripler. Dog har man set problemet vendt af Euclid (350 f. kr.) i The Elements, Book X. Men den store overraskelse kom ved fundet af lertavlen fra f.kr., som har fået navnet Plimpton 3 3. Den viser, at Babylonerne for over 3000 år siden havde en tabel for nogle heltallige løsninger til den Pythagoræiske ligning (1.1). De første tre linier 4 ser således ud (bemærk at skribenten har lavet en fejl i Nr., hvor tallet fra lertavlen i parentes er forkert): Nr. a b c (1151) Hvad denne lertavle har været brugt til vides ikke, men det formodes, at den har været brugt til astronomi, markopmåling eller lign. 5 Den Pythagoræiske ligning er et eksempel på en Diofantisk ligning. Definition 1.1. En Diofantisk ligning 6 er et polynomialt udtryk med en eller flere variable, hvor de søgte løsninger er givet ved hele tal eller brøker. At det er et et polynomialt udtryk vil sige, at der kun er tale om at multiplicere, addere og subtrahere variable og hele tal. Andre eksempler på Diofantiske ligninger er følgende: 1 [Holme, side 56] [Edwards, side 4] 3 [Holme, side 4-43] 4 Uddraget af tabellen [Holme, side 46] 5 [Holme, side 48] 6 [Edwards, side 4]
3 DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING 3 3x + 5y = 1 x + 4x = 3 x n + y n = z n, n positivt helt tal Det, at Diofantos specielt interesserede sig for ligninger med løsninger som hele tal eller brøker, kan tænkes at stamme helt tilbage fra Pythagoras broderskab. For Pythagoras bestod matematikkens skønhed i den ide, at de rationale tal (heltal og brøker) kunne forklare alle naturfænomener. 7 Det Pythagoræiske broderskab med Pythagoras som leder, troede altså at der umuligt kunne findes andre tal end brøker og hele tal. Det siges også, at denne overbevisning som Pythagoras var af, kostede en elev ved navnet Hippasos livet ved drukning 8. Hippasos havde efter sigende fundet et bevis for, at ikke var en brøk. Beviset har muligvis set således ud. Bevis. 9 Vi antager er en uforkortlig brøk p, hvor p og q er positive heltal. Ud fra disse oplysninger kan vi udlede følgende Diofantiske q ligning p q = ( ) p = p q q = p = q. Da to ganget med et hvilket som helst tal, ulige eller lige, vil give et lige tal, kan vi konkludere at p og hermed p er lige. Desuden kan vi konkludere, at q er ulige, ellers er det muligt at forkorte med og vi antog at p var en uforkortelig brøk. Men ved at dividere med på q begge sider, får vi p = q p = q. Da p er lige, kan det divideres med, altså kan p divideres med 4. Derfor må p være lige. Men det er et paradoks, da q er ulige. Altså er p og er derfor ikke en brøk. q Diofantos skrev et værk af tretten bøger ved navnet Arithmetica, men syv af bøgerne gik tabt i en af byen Alexandrias utallige brande. Det var en af disse seks overlevende bøger, der skulle give Fermat inspiration til hans Store sætning. Pierre de Fermat var dommer i Toulouse i 1600 tallet. 10. Det hævdes, at Fermat ikke havde andre inspirationskilder end de seks bøger af Arithmetica. I Arithmetica var beviset for alle heltallige løsninger til den Pythgoræiske ligning a +b = c. Fermat fik 7 [Singh, Nederst side 73] 8 [Singh, side 74] 9 Dette bevis er blevet bearbejdet ud fra [Lund m.fl., side 64-65] 10 [Silverman, side 57-58]
4 4 JOHAN P. HANSEN den ide, at ændre eksponenten til et positivt helt tal n større end. Han konstaterede, at denne ligning ikke havde nogle heltallige løsninger.
5 DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING 5 Fermat (1600-tallet) skrev i margenen på Arithmetica 11 Det er umuligt at dele en kubus i en sum af to kuber, en fjerdepotens i en sum af to fjerdepotenser, og i almindelighed en hvilken som helst potens større end to i en sum af to tilsvarende potenser og ligeledes skrev han: jeg har fundet et virkeligt vidunderligt bevis for denne sætning, men denne margen kan ikke rumme det Dermed startede han en jagt gennem 350 år på at bevise dette krontrofæ inden for talteoriens verden. Sætning 1. (Fermats Store Sætning 1 ). Fermat ligningen x n + y n = z n, hvor n > og er et positivt helt tal, har ingen positive heltallige løsninger x, y, z. Sætningen blev endelig bevist i 1995 af Andrew Wiles. 11 [Singh, side 84-86] 1 [Silverman, side 1]
6 6 JOHAN P. HANSEN. Den fuldstændige løsning til den Pythagoræiske ligning a + b = c Et primitivt triple er et talsæt (a, b, c), der ikke har en fælles divisor forskellig fra et. Alle løsninger til den Pythagoræiske ligning kan forkortes ned til primitive tripler, der er løsninger til ligningen. Følger af, at a + b = c (ka) + (kb) = (kc). Sætning.1. Et triple (a, b, c), hvor a er ulige og b lige er primitivt og en løsning til den Pythagoræiske ligning hvis og kun hvis det er på formen a + b = c a = st, b = s t, c = s + t, (.1) hvor s > t 1 og s, t begge er ulige og har ikke nogen fælles divisor forskellig fra et. Bevis. 13 I første del af beviset viser vi, at talsættet i (.1) er løsninger til a + b = c. Dette gøres ved at indsætte udtrykkene for (a, b, c) i a + b = c. ( ) s (st) t ( ) s + t + = s t + s4 + t 4 s t 4 4s t + s 4 + t 4 s t 4 = s4 + t 4 + s t 4 = s4 + t 4 + s t 4 0 = 0 I anden del vil vi vise, at hvis (a, b, c) er løsning til a + b = c, hvor a er ulige og b lige, så er det givet ved formen (.1). a + b = c a = c b a = (c b)(c + b) (.) Vi bruger nu, at når produktet af to tal er et kvadrat er de to tal selv kvadrater, hvis tallene ingen fælles faktorer har, se Følgesætning 5.3. Kvadraterne kaldes s og t. } (c b) = t a = s t b = t s (c + b) = s c = t + s Det første lighedstegn på højre side findes ud fra (.). De to næste findes hhv. ved addere og subtrahere. Vi forkorter og får a = st, b = s t, c = s + t. 13 Dette bevis er blevet bearbejdet ud fra [Silverman, side 14-16]
7 DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING 7 I og med, at vi antog, at a er ulige, må s og t være ulige. Hvis der er en fælles divisor for s og t, må denne ligeledes være divisor for a,b og c. Men hvis dette er tilfældet, er det ikke noget primitiv tripel. Omvendt gælder det også, at hvis s og t ikke har nogen fælles divisor, så har a,b og c heller ingen. Eksempel på bestemmelse af talsæt. Vi vil som eksempel bestemme et primitivt pythagoræisk talsæt, hvor 836 er et af disse. Vi antager at b = 836. b = s t = = s t 167 = (s t)(s + t) Vi undersøger nu hvilke to tal, hvis produkt er 167. For disse hele tal skal det gælde, at de lige, da s og t er heltal og ulige. Endvidere skal vi huske, at s > t 1 og har ingen fælles divisor ud over 1. En undersøgelse viser, at de eneste lige hele tal, hvis produkt er 167, er følgende: (s t)(s + t) = = = = = 167 Vi viser eksemplet med 836 = 167. Vi isolerer t i (s + t) = 836 og får t = 836 s, som vi indsætter i (s t) = dvs. (s (836 s)) = s = 838 s = 419. Nu da vi kender s, er t let at bestemme t = = 417 Talsættet i vores eksempel bliver da a = = b = = 836 c = = På samme måde findes samtlige s, t, a og c værdier for b = 836. s t s + t t s a b c
8 8 JOHAN P. HANSEN 3. Fermat nedstigning og ligningen x 4 + y 4 = z 4 Vi vil vise Fermats store sætning i tilfældet n = 4. Beviset er et indirekte bevis, der anvender en teknik kaldet Fermat nedstigning 14. Vi antager, at vi har en løsning (x, y, z) af positive hele tal til ligningen x 4 + y 4 = z. Ud fra denne løsning skabes ved hjælp af en bestemt metode, en ny løsning (X, Y, u) af positive hele tal, hvor u er mindre end z (i metoden er det en meget vigtig forudsætning, at der er entydig faktorisering, det behandles i afsnittet om grundlæggende talteori). Denne proces kan bruges igen og igen i det uendelige. Men det er paradoksalt, da der kun er endelig mange positive hele tal mindre end vores startværdi z. Altså må vi konkludere, at der ikke findes nogle løsninger til ligningen x 4 + y 4 = z. Når der ikke findes løsninger til ligningen x 4 +y 4 = z, viser det sig, at der heller ikke findes nogle løsninger til Fermat-ligningen x 4 + y 4 = z 4. Sætning 3.1 (Fermats store sætning i tilfældet n = 4). Ligningen har ingen positive heltallige løsninger. x 4 + y 4 = z 4 (3.1) Bevis. 15 For at bevise dette antager vi i starten, at der er en løsning til (3.1). Hvis (x, y, z) er løsning til x 4 + y 4 = z 4, så er (x, y, z )løsning til x 4 + y 4 = z. Vi skriver x 4 +y 4 = z om, for at få den til at ligne den Pytagoræiske ligning på formen a +b = c ved at lade x = a, y = b og z = c. Vi ved fra vores behandling af den Pytagoræiske ligning (.1), at løsningerne er på formen x = a = st, y = b = s t, z = c = s + t, hvor s > t 1 og s, t begge er ulige samt har ingen fælles divisor forskellig fra 1. I det følgende vil vi regne med rester (Se under grundliggende talteori for information om dette). Resterne ved division med 4 er 0,1,,3. Lad os se på resten af x = st ved division med 4. Ved at sætte resterne i anden og dividere med 4 fås resterne 0 og 1, se tabellen (5.1). Men da st skal være ulige, findes kun resten 1. Vi har altså, at st 1 (mod 4) Vi ganger resterne for s og t og undersøger hvor produktet ved devision af 4 har rest 1. Dette er kun tilfældet hvor s og t har ens rester nemlig 14 Metoden stammer tilbage fra Fermat[Singh, side 107] 15 Dette bevis er lavet med inspiration fra [Silverman, side ]
9 DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING 9 rest 1 og 3, se tabellen (5.1), dvs. eller sagt på en simplere måde s 1 (mod 4) og t 1 (mod 4) s 3 (mod 4) og t 3 (mod 4) s t (mod 4). Vi vil nu se nærmere på y = b. Først vil vi omforme lidt på udtrykket y = b = s t y = s t y = (s t)(s + t). (3.) Vi ved at s og t er ulige og at de ingen fælles faktorer har udover 1. Desuden kan vi se, at 4 går op i (s t) da mens fire ikke går op i (s + t) da Dog gælder det for dem begge, at s t 0 (mod 4), s + t (mod 4). s t 0 (mod ) s + t 0 (mod ). Altså den eneste ikke-trivielle fælles divisor for s t og s + t er. Men da s + t ikke kan divideres med 4, må s + t være gange et ulige tal og s t må være 4 gange et tal. Desuden ved vi fra (3.), at (s t)(s + t) er gange et kvadrat. Hvis produktet af to tal er gange et kvadrat, er det ene tal gange et kvadrat og det andet 4 gange et kvadrat, hvis tallenes eneste fælles ikke-trivielle faktor er, se Følgesætning 5.4. Vi kan da konkludere følgende s + t = u og s t = 4v, hvor u og v er hele tal uden fælles faktorer. Vi addere og subtrahere de to ligninger, da vi ønsker at isolere s og t s + t (s t) = u 4v t = u v s + t + (s t) = u + 4v s = u + v. Vi kan nu gange de to s og t værdier sammen og derved få x st = x = (u v )(u + v ) x = u 4 4v 4 x + 4v 4 = u 4. Denne ligning kan vi omskrive til den Pythagoræiske ligning, ved at lade A = x, B = v og C = u : A + B = C.
10 10 JOHAN P. HANSEN Fra vores afsnit om pythagoræiske tripler, ved vi, at vi kan bestemme S og T. Desuden ved vi, at S og T er ulige og har ingen fælles faktorer. x = A = ST, v = B = S T, u = C = S + T. Vi undersøger andet led v = B v S T 4v = S T = (S T )(S + T ). Vi ved at S og T er ulige og har ingen fælles faktorer. Den største fælles faktor for (S T ) og (S + T ) er. Desuden ved vi, at deres produkt er et kvadrat. Hvis produktet af to tal er et kvadrat, er begge gange et kvadrat, hvis tallenes eneste fælles ikke-trivielle faktor er, se Følgesætning 5.5 S + T = X og S T = Y. Vi bestemmer S og T ved at addere og subtrahere ligningerne sammen. (S + T ) (S T ) = X Y T = X Y (S + T ) + (S T ) = X + Y S = X + Y Vi indsætter vores to nye S og T værdier i u = C og får u = C = S + T = (X + Y ) + (X Y ) = X 4 + Y 4. Vi har altså her en ny løsning (X, Y, u) til den oprindelige ligning x 4 + y 4 = z. Vi sammenligner de to trediekoordinater z, ui løsningerne z = s + t = (u + v ) + (u v ) = u 4 + 4v 4 og ser, at u vil altid være mindre end z. Dvs. at hvis du finder en løsning af positive hele tal, vil der altid være en anden løsning af positive hele tal, hvor trediekoordinaten er mindre. Men da der ikke er uendelige mange heltal er dette et paradoks, altså findes der ingen heltallige løsninger til x 4 +y 4 = z. Dette kaldes uendelig nedstigning. 4. Vigtige matematikere der har arbejdet med Fermats sidste sætning Matematikerne er angivet kronologisk efter, hvordan bevisførelsen er skredet frem.
11 DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING 11 Leonhard Euler. Euler var en af det attende århundredes største matematiker. Han beviste blandt andet Fermats primtalssætning 16 : Ethvert primtal ligger i én ud af to grupper, alt efter, om det er af formen 4n + 1 eller 4n 1....et primtal af den første type er altid en sum af to kvadrattal, hvorimod et primtal af den anden type aldrig er det 17 Euler ville bevise Fermat store sætning ved først at bevise, at en af ligningerne ingen løsninger havde og derefter føre resultatet over til de andre ligninger. Det var denne metode, han havde brugt til at løse hans netværksregel, ved at finde et bevis for det simpleste mulige udtryk og derefter udlede de andre løsninger fra denne. Det lykkedes da også Euler at bevise sætningen for n = 3. Han havde bevist denne ved hjælp af Fermat teknik uendelig nedstigning, som tidligere brugt, og indrage helt nye tal kaldet imaginære tal. Men Euler kunne ikke bruge den samme metode til at bestemme andre løsninger til ligninger med højre potens og gav derfor op. 18 Sophie Germain. Germain blev født i 1776, på dette tidspunkt var det uhørt at kvinder studerede matematik. For at hun kunne studere matematik tog hun en tidligere elev på École Polytechnique i Paris navn til sig som dæknavn for at hun kunne modtage skolens opgaver. Dette gik da også meget godt indtil hun en dag modtog et brev fra kursets vejleder. Vejlederen havde lagt mærke til at den generelt dårlige tidligere elevs opgaver havde ændret sig markant til det bedre. Vejlederen havde så bedt om et møde med eleven. Sophie Germain blev nødt til at bekende kulør over for vejlederen, der blev positivt overrasket. Endelig havde Germain en ordentlig vejleder, der kunne inspirere hende. Dette gjorde at hun fik mere selvtillid og derfor kastede sig over uløste sætninger inden for talteorien og det var her, hun stødte på Fermat store sætning. 19 Efter at hun havde arbejdet på det i nogle år, mente hun, at hun havde en metode til at bevise sætningen for nogle specielle primtal p, der havde den egenskab, at p + 1 også var et primtal. Tallet 5 er fx et af disse primtal da = 11 og 11 er et primtal. Hun rådførte sig med tidens største matematiker Carl Friedrich Gauss. Disse primtal kaldes Germain-primtal. 16 Et primtal er et tal uden devisorer - intet tal går op i det undtagen 1 og tallet selv. 17 [Singh, side 87-90] 18 [Singh, side ] 19 [Singh, side ]
12 1 JOHAN P. HANSEN Matematikere begyndte så at lede efter løsninger til Fermat store sætning med Germain metode. Gustav Lejeune-Dirichlet og Adrien- Marie Legendre beviste hver for sig Fermat store sætning for n = 5 i 185 og fjorten år senere beviste Gabriel Lamé sætningen for n = 7. 0 Dette var egentlig det eneste bidrag, hun havde til matematikken. Sophie Germain stoppede med at arbejde inden for matematikken, da Gauss ikke længere svarede på hendes breve. Gabriel Lamé, Augustin Cauchy og Ernst Kummer. 15 år efter at Gabriel Lamé havde bevist Fermat store sætning for n = 7, udtalte han til et møde, at han var tæt på at bevise sætningen helt. Lige efter at Gabriel Lamé havde udtalt dette byttede han pladsen ved talerstolen med Augustin Cauchy, der sagde, at også han var tæt ved at bevise hele sætningen. Dette møde startede et kapløb mellem disse to matematikere. Ud over selve prestigen i at bevise sætningen havde det franske akademi udstedt en pris til den, der først beviste Fermat store sætning, på franc og en guldmedalje. 1 De to matematikere udgav hele tiden små detaljer omkring deres beviser. Og det var også ud fra disse detaljer, at Ernst Kummer fandt en fejl, der optrådte i begge beviser. Kummer havde indset at de begge brugte samme metode til at bevise sætningen og derved havde den samme fejl. Fejlen lå i, at både Lamé og Cauchy brugte entydig faktorisering i deres bevis. Med entydig faktorisering menes som sagt at et tal netop kan skrives som produkt af primtalsfaktorer på kun en måde. Men dette er kun sandt så længe tallet er et naturligt tal, altså ikke imaginære tal. Det var dette, der var problemet, både Lamé og Cauchy havde brugt entydig faktorisering for imaginære tal. Kummer viste, at det ikke betød, at deres beviser ikke kunne bruges til noget, han viste, at ved nogle specielle teknikker kunne han stadig bruge den entydig faktorisering for specielle værdier af n. Teknikken kunne bruges for alle primtal op til n = 37, dette primtal kunne ikke klares på denne måde og Kummer påpegede, at der var uendelige af disse irregulære primtal. 3 Lamé indså hurtigt, at dette ikke var til at reparere i hans bevis, mens Cauchy ikke mente, dette ville ramme ham så hårdt som ved Lamé. Men han gav også op efter et par måneders tid. Det franske akademi valgte at trække spørgsmålet tilbage og tildelte så Ernst Kummer medaljen 4. 0 [Singh, side ] 1 [Singh, side 136] [Singh, side ] 3 [Singh, side ] 4 [Singh, side ]
13 DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING 13 Yutaka Taniyama og Goro Shimura. Taniyama og Shimura prøvede ikke direkte at bevise Fermat store sætning, men de bidrog med et fundament for, at det var muligt at bevise sætning ad en anden vej, end man før havde prøvet. Da Shimura i 1954 var på jagt på biblioteket efter en speciel bog, han skulle bruge til et problem, blev han konfronteret af den ærgelse, at en anden havde lånt den ønskede bog. Denne anden var Taniyama, Shimura sendte ham et brev og forklarede ham, at han var gået fast i et specielt problem og han havde hårdt brug for bogen til en argumentation. Taniyama svarede ham med et brev, hvori han forklarede, at han ligeledes var gået i stå det samme sted, så han spurgte om de ikke skulle mødes og udveksle ideer eller måske arbejde det igennem sammen. Dette var med til at starte et makkerskab mellem disse unge matematikere. 5 Senere begyndte Taniyama og Shimura at interessere sig for modulære former. Taniyama begyndte at erfare, at der var en vis sammenhæng mellem modulære former og eliptiske kurver. På denne tid mente man, at disse to emner var helt forskellige og havde ingen sammenhæng. I starten ignorerede resten af verdens matematikere denne sammenhæng undtagen Taniyama samarbejdspartner Shimura. Shimura ville efter et gæsteophold på Institute for Advanced Study i Princeton hjælpe Taniyama med at ligge noget mere belæg under hypotesen. Men inden Shimura kom hjem til Japan havde Taniyama begået selvmord. 6 I et brev havde Taniyama forklaret sit selvmord således: Hvad årsagen til mit selvmord angår, forstår jeg den ikke selv, men den er ikke en følge af en bestemt hændelse eller af en bestemt ting. Lad mig blot sige, at jer i en sådan sindstilstand, at jeg har mistet troen på min fremtid. 7 Shimura begyndte nu selv at lede efter argumentation for deres formodning. Det lykkedes ikke Shimura at bevise formodningen, men han fik lavet så gode argumenter og eksempler, hvor det passede, at den vestlige verden tog formodningen til sig. 8 Taniyama-Shimura-formodningen blev først kædet sammen med Fermat store sætning, da Gerhard Frey hævdede i 1984, at hvis man beviste Taniyama-Shimura-formodningen, ville man indirekte bevise Fermat store sætning. 9 Frey 30 antog hypotetisk, at der var en løsning til Fermat ligningen A N + B N = C N. 5 [Singh, side 09] 6 [Singh, side 19-1] 7 [Singh, side 4] 8 [Singh, side 5-6] 9 [Singh, side 31-33] 30 [Singh, side 3-33]
14 14 JOHAN P. HANSEN Ved at bruge ovenstående løsning (A, B, C), så han på en ligning på følgende form: y = x 3 + (A N B N )x A n B N Denne nye ligning er en elliptisk ligning. Frey påstod, at denne nye ligning kunne umuligt være modulær. Dette ville være modstridende med Taniyama-Shimura-formodningen, nemlig at alle elliptiske ligninger er modulære. Ifølge Frey var det nu muligt, at bevise Fermat store sætning ved at bevise Taniyama-Shimura-formodningen. Ken Ribet. Nu var problemet bare, at det skulle bevises, at Freys hypotetiske elliptiske ligning ikke var modulær. Den matematiker, der endeligt skulle kæde Taniyama-Shimura-formodningen sammen med Fermats store sætning blev Ken Ribet. Beviset 31 kom først i 1986, 18 måneder efter Freys opdagelse. Andrew Wiles. Da Andrew Wiles 3 hørte om Ken Ribets bevis brugte han syv år på at bevise Taniyama-Shimura formodningen. Kort efter udgivelsen af hans bevis, opdagede man en fejl. Dette brugte Wiles så et halvt år på at rette sammen med en studerende ved navn Richard Taylor. 33 Hvorfor tog det så lang tid at bevise Fermats store sætning?. Fermats ligning har trods sit umiddelbare letforståelige formulering vist sig at være nærmest umulig at bevise. Sværheden ligger i, at beviset Wiles lavede, berørte mange emner inden for matematikken såsom elliptiske ligninger, modulære former og talteori. Til selve det bevis Wiles lavede, udnyttede han helt nye værktøjer fra det tyvende århundrede, mens han selv også opfandt og beviste nogle. Ved at Wiles beviste Taniyama-Shimura-formodningen, beviste han også at Fermats store sætning var sand. Men først måtte Frey få den ide, at kæde de to ting sammen og Ribet bevise dette, før at Wiles havde en chance for at bevise sætningen. At det tog 350 år, synes hovedsageligt at være på grund af de værktøjer, der skulle bruges, var 350 år om at blive skabt. Et godt billede på, at det også er tiden, der afgør, hvornår en sætning bliver bevist. 5. Grundlæggende talteori Regning med rester modulo fire (modulær regning). Definition 5.1. To hele tal a og b kaldes kongruente 34 modulo 4, hvis 4 er divisor i a b. Det skrives således 31 [Singh, side 37-38] 3 [Singh, side 41] 33 [Singh film, Uddraget fra filmen] 34 [Carstensen, side 8] a b (mod 4).
15 DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING 15 Tabellen for multiplikationen s t med rester modulo 4. Man bestemmer let med udregning, at s t (5.1) Primtalsfaktorisering og kvadrater. Talteoriens hovedsætning er at ethvert helt tal har en entydig primtalsopløsning. Entydig primtalsopløsning indebærer, at ethvert givet tal kan skrives som et produkt af primtalsfaktorer på kun én måde 35. Sætning 5.. For ethvert helt tal n > 1 findes entydigt bestemte primtal p 1 < p < < p s og entydigt bestemte hele tal n i, så n = p n 1 1 p ns s Beviset for denne sætning kan findes i [Silverman, Side 4]. Følgesætning 5.3. Hvis produktet af to tal er et kvadrat, er de to tal selv kvadrater, hvis tallene ingen fælles faktor har. Bevis. Tallene a og b har ingen ikke-triviel fælles divisor, så a og b har primtalsopløsninger uden fælles primtal. Derfor er x = a b = (p n 1 1 p ns s ) (q m 1 1 qs ms ), (5.) dvs. p i q j. Når tallet x har følgende primtalsopløsning da har x denne primtalsopløsning x = r l 1 1 r lu u, x = r l 1 1 r lu u, dvs. alle eksponenterne er lige. Da vi nu har vist, at eksponenterne på venstre side af (5.) er lige, må eksponenterne på højre side også være lige pga. entydighed. Da alle eksponenterne er lige, må a og b være kvadrater. De andre Følgesætninger bygger på samme ide. Følgesætning 5.4. Hvis produktet af to tal er gange et kvadrat, er det ene tal gange et kvadrat og det andet 4 gange et kvadrat, hvis tallenes eneste fælles ikke-trivielle faktor er. Følgesætning 5.5. Hvis produktet af to tal er et kvadrat, er begge gange et kvadrat, hvis tallenes eneste fælles ikke-trivielle faktor er. 35 [Singh, side 141]
16 16 JOHAN P. HANSEN Litteratur [Carstensen] Carstensen, J., Talteori, Systime, [Edwards] Edwards, H. M., Fermat s Last Theorem, Springer- Verlag, [Holme] Holme, A., Matematikkens Historie, Fagbokforlaget, 001. [Jensen m.fl.] Jensen, S. T., Matthiasen, J. Matematikse Ideer, Matematiklærerforeningen, [Lund m.fl.] Lund, E., Pihl, M., Sløk, J., De europæiske ideers historie, Gyldendal, [Silverman] Silverman, J. H., A Friendly Introduction to Number Theory, Prentice Hall, [Singh] Singh, S., Fermat s store sætning, Gyldendal, [Singh film] Singh, S., Fermat s store sætning, Horizon BBC video, Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet address: matjph@imf.au.dk
Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereOPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM FERMATS SIDSTE SÆTNING OG SOPHIE GERMAIN
OPLÆG TIL STUDIERETNINGSPROJEKT I MATEMATIK-HISTORIE OM FERMATS SIDSTE SÆTNING OG SOPHIE GERMAIN Indledning Fermats sidste sætning påstår, at ligningen n n n x + y = z ikke har positive heltalsløsninger
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereJESUS ACADEMY TEMA: GUDS FULDE RUSTNING
Tro på Gud Det første punkt i troens grundvold er Omvendelse fra døde gerninger, og dernæst kommer Tro på Gud.! Det kan måske virke lidt underlig at tro på Gud kommer som nr. 2, men det er fordi man i
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereTalteori II. C-serien består af disse arbejdskort: C1 Talteori på forskellige klassetrin C2 Den pythagoræiske tripelsætning
1 Talteori er ikke direkte nævnt i Fælles Mål 2009 som et fagområde, alle skal arbejde med. Det betyder dog ikke, at talteori nødvendigvis må vælges fra som indhold i skolen. Faktisk kan det tænkes, at
Læs mereAnalyse af PISA data fra 2006.
Analyse af PISA data fra 2006. Svend Kreiner Indledning PISA undersøgelsernes gennemføres for OECD og de har det primære formål er at undersøge, herunder rangordne, en voksende række af lande med hensyn
Læs mereMatematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver
Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereFaglig læsning i matematik
Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereItalien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008
Italien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008 Før besøget Jeg begyndte mine forberedelser til turen med at deltage i fire fem-timers moduler i engelsk, en del
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereTALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.
Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereOpgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.
Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereDet Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereREELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer
LÆRERVEJLEDNING REELLE TAL Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Danskerne og ketchup Medieforbrug Decimaltal, brøker og procent og 2 Procentregning
Læs mereTal nordisk det nytter! Hvordan vi undgår at tale engelsk i nordisk sammenhæng
Tal nordisk det nytter! Hvordan vi undgår at tale engelsk i nordisk sammenhæng Af Karin Guldbæk-Ahvo For mange andre nordboer er det meget svært at finde ud af, om danskerne taler om lager, læger, lejr,
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne
ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R. kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereFermat, ABC og alt det jazz...
Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereRettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version
Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mere1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereInterview med K, medhjælper i Hotel Sidesporets restaurantkøkken
BILAG H Interview med K, medhjælper i Hotel Sidesporets restaurantkøkken Informanten var udvalgt af Sidesporets leder. Interviewet blev afholdt af afhandlingens forfattere. Interview gennemført d. 24.09.2015
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs meremennesker noget andet navn under himlen, som vi kan blive frelst ved. Ap.G. 4,7-12
Fra det gamle testamente: Luk retfærdighedens porte op, jeg vil gå ind og takke Herren! Her er Herrens port, her går de retfærdige ind! Jeg takker dig, for du svarede mig og blev min frelse. Den sten,
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs merePrædiken til Helligtrekongers søndag, 1. Tekstrække, d. 4/1-2015. /Søren Peter Villadsen
1 Prædiken til Helligtrekongers søndag, 1. Tekstrække, d. 4/1-2015. /Søren Peter Villadsen Evangeliet, Matt. 2,1-12: Da Jesus var født i Betlehem i Judæa i kong Herodes' dage, se, da kom der nogle vise
Læs mereBeboerportræt: "Når jeg skriver, er det som terapi for mig. Så kommer mine tanker ud gennem fingrene"
Beboerportræt: "Når jeg skriver, er det som terapi for mig. Så kommer mine tanker ud gennem fingrene" Af Sarah Z. Ehrenreich, Greve Nord Projektet Når Fatma skriver, lever hun sig ind i en helt anden verden.
Læs mereGør din tid som seniormedarbejder i ældreplejen i Faxe Kommune til en god tid
Baggrund for og beskrivelse af projektet har en hel del medarbejdere, der allerede er fyldt 50 år. Vi har haft dette projekt i ældreplejen, da vi har et ønske om at blive en attraktiv arbejdsplads, også
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mere8. søndag efter trinitatis I Salmer: 392, 390, 295, 320, 428, 6
8. søndag efter trinitatis I Salmer: 392, 390, 295, 320, 428, 6 Da jeg for efterhånden nogen år siden var konfirmand og gik til konfirmationsforberedelse, havde vi en aften i vores konfirmandklub besøg
Læs merestudie Frelsens erfaring
studie 4 Frelsens erfaring 28 Åbne spørgsmål Hvornår i dit liv har du følt dig længst væk fra Gud? Hvad hjalp dig i de situationer til at komme tættere på ham? Åbningshistorie Sådan er livet. Det var et
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereVærkstedsarbejde i matematik i 5. klasse
Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse Om grundbogen Format er et læremiddel, som både har en grundbog med 8 hovedafsnit, et tilhørende evalueringsmateriale og til hvert af hovedafsnittene er der ligeledes
Læs merePotenser, rødder og logartime
Potenser, rødder og logartime Hamid Yar Mohammad 9/0-03 0. Potens Almen kendte definition på potens, når n N kan a R. a n = a a... a } {{ } a multipliceret n gange Mere kompleks definition a n = e n In(a),
Læs mereWorkshop om fejl ndende og -rettende koder
Workshop om fejl ndende og -rettende koder Kjeld Bagger Laursen October 11, 2005 1 Indledning 1 Kig på bagsiden af en hvilkensomhelst bog udgivet indenfor de seneste år. Et eller andet sted - ofte i nederste
Læs merePrædiken til 2. Påskedag kl. 10.00 i Engesvang
Prædiken til 2. Påskedag kl. 10.00 i Engesvang 2. påskedag 408 Nu ringer alle klokker 222 Opstanden er den Herre Krist 234 Som forårssolen 241 Tag det sorte kors fra graven Nadververs 478 v. 4 af Han står
Læs merePrædiken til midfaste søndag, Joh 6,24-37. 2. tekstrække. Nollund Kirke Søndag d. 6. marts 2016 kl. 11.00 Steen Frøjk Søvndal
1 Nollund Kirke Søndag d. 6. marts 2016 kl. 11.00 Steen Frøjk Søvndal Prædiken til midfaste søndag, Joh 6,24-37. 2. tekstrække Salmer DDS 736: Den mørke nat forgangen er (mel: Winding) Dåb DDS 448,1-3
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereForældreperspektiv på Folkeskolereformen
Forældreperspektiv på Folkeskolereformen Oplæg v/ personalemøde på Hareskov Skole d. 23. januar 2014 Tak fordi jeg måtte komme jeg har glædet mig rigtig meget til at få mulighed for at stå her i dag. Det
Læs mereSecret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.
1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg
Læs mereTIPS TIL SAMARBEJDET OM SAMTALEGUIDEN
Samtaleguiden 36 Samtaleguiden er lavet primært til unge, der ryger hash. Som vejleder, mentor m.fl. kan du bruge Samtaleguiden som et fælles udgangspunkt i samtalen med den unge. Du kan dog også blot
Læs mereBørnehave i Changzhou, Kina
Nicolai Hjortnæs Madsen PS11315 Nicolaimadsen88@live.dk 3. Praktik 1. September 2014 23. Januar 2015 Institutionens navn: Soong Ching Ling International Kindergarten. Det er en børnehave med aldersgruppen
Læs merePrædiken til 3. s. i advent kl. 10.00 i Engesvang
1 Prædiken til 3. s. i advent kl. 10.00 i Engesvang 78 - Blomster som en rosengård 86 - Hvorledes skal jeg møde 89 - Vi sidder i mørket, i dødsenglens skygge 80 - Tak og ære være Gud 439 O, du Guds lam
Læs mereTør du tale om det? Midtvejsmåling
Tør du tale om det? Midtvejsmåling marts 2016 Indhold Indledning... 3 Om projektet... 3 Grænser... 4 Bryde voldens tabu... 6 Voldsdefinition... 7 Voldsforståelse... 8 Hjælpeadfærd... 10 Elevers syn på
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereMin intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du
Min intention med denne ebog er, at vise dig hvordan du får en bedre, mere støttende relation til dig selv. Faktisk vil jeg vise dig hvordan du bliver venner med dig selv, og især med den indre kritiske
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mere6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur
6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs merePrædiken til 4. Søndag efter påske konfirmation
Prædiken til 4. Søndag efter påske konfirmation Salmer: Indgangssalme: DDS 749: I østen stiger solen op Salme før prædikenen: DDS 70: Du kom til vor runde jord Salme efter prædikenen: DDS 478: Vi kommer
Læs mereFrank Villa. 15. juni 2012
2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereJulemandens arv. Kapitel 23. Efter et kort øjeblik blev døren åbnet, og Frederikke Severinsen stod foran dem.
Kapitel 23 Efter et kort øjeblik blev døren åbnet, og Frederikke Severinsen stod foran dem. Goddag og velkommen Hr. Branzoo sagde hun henvendt til Johnny. Hun vendte sig om mod Jenny med et spørgende blik.
Læs mereRejsebrev fra Færøerne
Rejsebrev fra Færøerne Hygge under aftensmaden. Side 1 af 6 Studerendes navn: Studienummer: E-mail.: Cathrine Dohn Jensen PS12414 1022065@ucn.dk Praktikperiode: 2. el. 3. Praktikperiode nr. 2. Praktik
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereSom udgangspunkt var denne foretaget med henblik på, at man vil lave en afstemning om hvorvidt man ville anke retssagen i mod os i have 56.
Min forundring Når jeg læser skrivelse fra Strandparkens advokat ser jeg han blandt har skrevet: Under henvisning til Rettens fristudsættelse skal jeg oplyse at bestyrelsen hos min klient delvist er fratrådt(min
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mere