Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10
|
|
- Ludvig Jessen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning an generaliseres på flere måder, og i dette afsnit sal vi studere en af disse generaliseringer, de såaldte Bernoulli-differentialligninger De lineære differentialligninger er arateriseret ved, at den uendte y ie indgår med potenser eller som en del af sammensatte funtioner Lineære differentialligninger (af første, anden eller højere orden) er de mest håndterlige Her an vi ofte bestemme løsninger esat og sabe os et overbli over den fuldstændige løsning (dvs mængden af alle løsninger til den forelagte differentialligning) Esempler på sådanne differentialligninger er typerne = y, = b ay, ' + b + cy = 0 og ' + f() + g()y = h() Definitionsmængderne indsrænes un, hvis der er problemer med definitionsmængderne for nogle af de funtioner, der indgår i ligningen Anderledes er det med ie-lineære differentialligninger For den logistise differentialligning så vi, at visse løsninger fi indsrænet definitionsmængden dramatis Mange ie-lineære differentialligninger an ie løses esat I stedet an man vælge at foretage en numeris løsning, eller man an af og til tilnærme med lineære differentialligninger Endelig an man også få en del oplysninger ved at analysere differentialligningen uden direte at løse den som fes oplysninger om løsningers monotoniforhold En del familier af ie-lineære differentialligninger an dog løses esat Den logistise er således med i en større familie, vi samlet alder Bernoullis differentialligning De har fået navn efter Jacob Bernoulli, der levede samtidig med Newton og Leibniz Bernoullis differentialligning er interessant af flere grunde Den træder ind på scenen i så forsellige situationer som opstilling af modeller for et frit fald med luftmodstand inden for fysien og opstilling af matematise fiserimodeller inden for biologi Den generelle form og nogle specialtilfælde Bernoullis differentialligning an i sin generelle form opsrives således: = g y f y, (*) hvor f og g er ontinuerte funtioner defineret på et interval I som evt an være alle reelle tal og er et reelt tal ØVELSE Angiv hvad f() og g() samt er i følgende differentialligninger: y ' = by ay = hy y 4y = + y Vi ser først på et par specialtilfælde: = : ' ' y = g y f y y = g f y Dette genendes som et specialtilfælde fra behandlingen af den generelle lineære ordens differentialligning I tilfældet, hvor funtionerne er onstante: f() = b og g() = a, og vi sætter = a b, genendes den første type differentialligning, vi løste: = y
2 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 0 = 0: ' ' ' ( y = g y f y y = g f y y + f y = g ) Dette genendes som den lineære ordens differentialligning, som vi an opsrive den fuldstændige løsning til I tilfældet, hvor funtionerne er onstante: f() = a og g() = b, genendes differentialligningen: = b ay = : = g( ) y f ( ) y = y g( ) y f ( ) Denne minder om den logistise differentialligning I tilfældet, hvor funtionerne er onstante: f() = b og g() = a, får vi: = y(b ay) Altså ser vi, at den logistise differentialligning er et specialtilfælde af Bernoullis differentialligning Løsning af den generelle Bernoulli-ligning Vi gennemfører nu løsningen af differentialligningen: ' y = g y f y (*) I det følgende antages 0 og Ofte løses differentialligningen un i tilfældet med onstante oefficienter; men det vanseliggør ie løsningen i særlig grad at betragte det generelle tilfælde, så det lægger vi ud med Vi lader os inspirere af løsningsmetoden ved den logistise differentialligning: Dengang dividerede vi igennem med y, og efter nogle omsrivninger lyedes det at substituere tilbage til en lineær differentialligning Lad i det følgende f og g være ontinuerte funtioner defineret på et interval I (I an som tidligere nævnt udmæret være alle reelle tal) Hvis > 0 er funtionen y = 0 en løsning til (*), hvilet ses ved indsættelse Hvis < 0 an y ie være 0 Derfor antages i det følgende, at y 0 Da y er ontinuert gælder derfor, at y 0 i et helt interval inden for I Vi arbejder videre inden for dette interval og vil afslutningsvis bestemme definitionsmængden, så denne bliver så stor som muligt Vi regner nu ensbetydende ud fra (*) = g y f y (ganger med y ) y = g f y y y = g f y (**) Vi bemærer nu: ( y )' = ( ) y Inspireret heraf ganger vi (**) igennem med ( ), idet vi bemærer, at ( ) ( ) ' ( ) ( ) = y y g f y ( y )' ( ) g( ) ( ) f ( ) y ( y )' = ( ) f ( ) y + ( ) g( ) = 0: Substituér: z = y :
3 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 ' = ( ) + ( ) z f z g Dette er en lineær ordens differentialligning, og vi unne derfor nu opsrive den fuldstændige løsning hertil Den formel, vi når frem til, er imidlertid så lodset og lidet oplysende, at vi i stedet løser differentialligningen herfra i hvert onret tilfælde Første onlusion om Bernoullis differentialligning Ligningen = g y f y, hvor 0 og, løses i det generelle tilfælde efter følgende opsrift: Indfør substitutionen z = y Løs den lineære ordens differentialligning ( ) ( ) ( z ' = f z+ g ) Substituér tilbage og find y = z 4 Bestem definitionsmængden for y Bemær, at selv om vi i omsrivningerne ovenfor har forudsat y 0, så an det godt tænes, at vi i tilfældet > 0 får udvidet definitionsmængden til også at omfatte tal, der giver y = 0 ØVELSE Før vi ser vi på nogle esempler og øvelser i relation til det generelle tilfælde, vil vi betragte specialtilfældet, hvor f() og g() er onstanter, henholdsvis b og a y = ay by z = a b z, hvor z = y Anvend løsningsformlen for denne type differentialligning til at bestemme den fuldstændige løsning: Vis at vi i så fald får ' ' ( ) ( ) ( ) z = c e + b b a Gennem øvelse har vi argumenteret for: Anden onlusion om Bernoullis differentialligning Den fuldstændige løsning til differentialligningen findes som løsningen til y ' = ay by, hvor,b 0, og, ( ) a = + = 0 b b y c e y EKSEMPEL Løs differentialligningen = y+ y Vi bemærer, at dette er en Bernoulli-differentialligning med onstante oefficienter og med = Så an vi simpelthen indsætte i formlen i onlusion med a =, b = (idet vi alder den uafhængige variabel for t):
4 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 4 af 0 ( ) = + = 0 = = 0 t t y c e y y c e y y = y = y = 0 t t c e c e Definitionsmængden bestemmes: t t t c e > 0 c e > e < c t Dvs un positive c-værdier er mulige For en given c-værdi får vi e c t ( c) så Dm( f ) = ; ln( c) ØVELSE < <, Undersøg grafens forløb for t og for t ln c, og sitser det grafise forløb EKSEMPEL Bestem den løsning til differentialligningen y ' y = y, hvis graf går gennem puntet P(0,4) Før vi går i gang, registrerer vi lige, at y un har mening for y 0 Vi bemærer, at det er en Bernoulli-differentialligning med a =, b =, =, og vi indsætter: = + = 0 = + 6 =0 t t y c e y y c e y Puntet P(0,4) fortæller, at den søgte løsning ie an være y = 0 Indsæt (0,4): 0 4 = c e + 6, hvoraf vi får c = 4 Indsæt c: y t e = y findes nu ved at vadrere; men derved regner vi ie længere ensbetydende, så Dm fastlægges på dette sted: y 0 ræver, at 4 e t + 6> 0 Ved at løse denne ulighed får vi Tilnærmet får vi t, 6 ln (,5 ) t eller t 4ln(,5) t Konlusionen bliver derfor, at den søgte løsning er y ( 4 e 6) ØVELSE 4 = +, t 4ln,5 ; Undersøg grafens forløb for t og for t 4ln,5, og sitser det grafise forløb
5 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 5 af 0 EKSEMPEL Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen: y = y i strimlen < < Vi begynder med at omsrive, så vi an genende det som en Bernoulli-differentialligning (hvorfor må vi gøre det?): = y + y Vi bemærer, at ligningen nu har samme form som (*), hvor: f ( ) =, g ( ) =, og = Vi følger første onlusion og substituerer z y y y = = =, og får z' = ( ) z+ ( ) z' = z (***) Vi får nu brug for formlen til løsning af lineære ordens differentialligninger: Samtlige løsninger til differentialligningen = f y+ g, hvor f og g er tilfældige ontinuerte funtioner, er funtionerne med forsriften: F( ) F( ) F( ) y = c e + e g e d hvor c er en onstant, og F er en stamfuntion til f ØVELSE 5 For at løse denne lineære differentialligning (***) sal vi således først finde en stamfuntion F() til funtionen Vis at ( F = ln = ln ( ) ) (evt på nær en onstant) Hvorfor er der ingen problemer i at opsrive ( ), dvs? Anvend nu løsningsformlen på (***): ln ( ) ln ( ) ln ( ) z = c e + e e d z = c ( ) + ( ) d ( ) ( ) ( ) z = c + d
6 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 6 af 0 ØVELSE 6 Vis at løsningen bliver z c ( ) = Ved at substituere tilbage får vi endelig y = c ( ) c fastlægges af et givet punt (en begyndelsesbetingelse) Dm bliver en del af intervallet ] og fastlægges ved hjælp af puntet ;[ ØVELSE 7 Bestem den endelige forsrift og definitionsmængde for en løsning, hvis graf går gennem P(0,) Samme spørgsmål med puntet Q( 05,5) ØVELSE 8 Begynd med at fastlægge områderne, hvor vi an regne, i de følgende opgaver Bestem den fuldstændige løsning til = y y 4y Bestem den fuldstændige løsning til = + y Bestem den fuldstændige løsning til y ' + y = y y 4 Bestem den løsning til y ' + = y, der opfylder y ( ) = 5 Bestem den løsning til + y = y, der opfylder 6 Bestem den fuldstændige løsning til Matematise fiserimodeller y = 4 y y = De første matematise fiserimodeller blev sabt i Storbritannien i 50 erne Målet med modellerne var at regne sig frem til, hvordan man på længere sigt får den størst mulige fangst Man så på hver fiseart for sig (aldes en én-arts-model) og var således ie opmærsom på, at der unne være et samspil mellem de forsellige fisebestande Man gi således ud fra, at en regulering af fiseriet på en bestand ie havde afsmittende virning på andre bestande Først i 70 erne begyndte danse fiseribiologer med endsab til matemati at sætte spørgsmålstegn ved denne antagelse Ved brug af matematise modeller sabte de en model af Nordsøen, den såaldte Nordsømodel Vi sal i det følgende se på en matematis én-arts-model Definitioner N(t) = antal fis til tidspuntet t w(t) = vægten af en enelt fis til tidspuntet t
7 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 7 af 0 Bertalanffys ligning Vi huser, at w'(t) angiver den hastighed, hvormed vægtændringen foregår til tidspuntet t Bertalanffy opstillede følgende model for vægtændringen: () () () w' t = h w t w t, hvor h og er positive tal Begrundelse for denne model findes i bilaget om Bertalanffy-modellen ØVELSE 9 Argumentér for at Bertalanffys ligning er en Bernoulli-ligning, og vis at den fuldstændige løsning til ligningen er h () t = e + h h eller () ( ) t wt e wt =, når vi antager, at w(t) = 0 til tidspuntet t = 0 (fisen vejer ie meget til at begynde med) ØVELSE 0 Gør rede for at grafen for w har en vandret asymptote når t h Prøv at tegne grafen for w når = 5 i hvert af tilfældene = 0,4, = 0,8 og =, Vi vender nu tilbage til N(t) (antallet af fis til tidspuntet t) og antager, at fisebestanden ie er udsat for fiseri ØVELSE Argumentér for at N(t) må opfylde N'( t) = a N(), t hvor a er den brødel af fisene, der dør pr tidsenhed Bestem herefter N(t) ØVELSE Lad B(t) være den samlede fisemængde til tidspuntet t Argumentér for at Bt () = Nt () wt (), hvor N(t) er antal fis til tiden t, og w(t) er gennemsnitsvægten af en fis til tiden t ØVELSE I øvelse så vi, at N(t) må opfylde N'( t) = a N(), t hvor a er den brødel af fisene, der dør pr tidsenhed Tallet a består af et bidrag fra naturlig død M og et bidrag fra fiseriet f, så ligningen an forfines til N'( t) = ( M + f ) N( t), hvor M er den brødel af fisene, der pr tidsenhed dør naturligt, og f er fiseriintensiteten, dvs den brødel af fisene, der pr tidsenhed fanges (f er fes 0, eller 0%) Ved at løse ligningen får vi ( M f ) t N t = e +
8 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 8 af 0 Denne ligning gælder, fra og med vi begynder at fise Lad os antage, at vi først begynder at fise efter t c år, dvs efter at årgangen har nået en vis størrelse Før vi begynder at fise, udviler antallet af fis sig efter udtryet N() t = N0 e Mt, hvor N 0 angiver antallet af nylæede fis (fes millioner) f t Vis at = N c 0 e Ud fra øvelse 5 finder vi ved indsættelse f t () c M f t N t = N0 e e +, der er gyldig for t > t c, hvor t c er det tidspunt, vi begynder at fange fis af årgangen (fes når fisene er år gamle), N 0 er antallet af nylæede fis, som»starter«årgangen (fes millioner), t regnes ud fra»fødslen«af denne årgang, M er den brødel af fisene, der pr tidsenhed dør naturligt, og f er fiseintensiteten, dvs den brødel af fisene, der pr tidsenhed fanges Vi fandt tidligere, at den enelte fiss vægt unne besrives ved h () ( ) t e wt =, h samt at tallet w = er den masimale vægt for den pågældende fiseart (den asymptotise grænse for w(t)) er en proportionalitetsonstant fra»nedbrydningsleddet«ved differentialligningen for w(t)) Sættes de to udtry ind, får vi følgende: () ( M f ) t t Bt = w N e e e f tc + 0 Den samlede biomasse og den samlede fangst Vi antager, at alle årgangene har samme startværdi N 0 Et bestemt år indeholder Nordsøen fis fra mange årgange: år gamle, år gamle,, T år gamle, hvis vi siger, at denne type fis højst bliver T år i alt Den samlede biomasse af denne fiseart er således summen af alle årgangenes bidrag Fangsten ser med en intensitet på f Fisenes årgange er spredt mellem hinanden, så vi fanger samme andel af alle årgange ældre end t c ØVELSE 4 Argumentér for, at den samlede fangst Y er givet ved T () Y = f B t dt, dvs tc T tc ( M f ) t t Y = f w N e e e dt f tc + 0 ØVELSE 5 6 Indsæt følgende onstanter: f =, t =, T = 6, w N = 0 0, =, 5, M = 0, Vis: e = e + e e t t t,5 t Indsæt dette og beregn integralet ved hjælp af stamfuntioner: c
9 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 9 af 0 t t t Vis: Y = 0 e e + e e + e,,6,,6 Udregn Y for disse værdier af onstanterne ØVELSE 6 6,,6,,6 t Tilsvarende an det vises med bogstaver: ( f + M) t ( f + M+ ) t ( f + M+ ) t ( f + M+ ) t f t e e e e c Y = f w N0 e + + f + M f + M + f + M + f + M + Vi er interesseret i at finde sammenhængen mellem Y og f, samt mellem Y og t c f an reguleres ved voter, antal trawlere osv t c an reguleres ved garnmasernes størrelse Overvej dette! Disse to sammenhænge an vi finde på flere måder Vælg én af følgende: ØVELSE 7 (a) Indtast formlen i din lommeregner med bogstaver på bogstavernes plads Læg samme talstørrelser ind på onstanternes plads som i øvelse 5 Begynd nu at variere f: Udregn værdien Y for f =,,,5,,5,, 8 Plot igen ind og find den værdi af t c, der giver bedste resultat ØVELSE 7 (b) Indtast formlen i programmet MultiMat med de givne onstanter bortset fra f, der srives med bogstavet f Lav numeris integration med varierende f-værdier Gennemfør så samme procedure som ovenfor Gentag processen med t c ØVELSE 7 (c) Udnyt et regnear Formlen indtastes på lommeregner eller i regnear Lav nu tabelværdier for f, og beregn de tilsvarende Y-værdier ved hjælp af regnearet Tegn grafen og find masimum Når dette er gjort, an du prøve at variere de øvrige onstanter og se, om du an drage nogle onlusioner heraf Lav derefter det tilsvarende for t c ved indtastning på lommeregner eller i regnear Hvad er det bedste rerutteringsår? Kan du finde et samlet svar? Hvile værdier af f og t c vil vi anbefale? Kan du forlare, hvorfor vi ie får det bedste resultat ved blot at fise løs? Vend tilbage til udledningen af modellen Gennemgå de forsellige antagelser, vi gør undervejs, og giv et søn på, hvor sire vi an være i fastlæggelsen af onstanterne og i vurderingen af, hvordan tingene spiller sammen 6 T tc
10 Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 0 af 0 Bilag om Bertalanffys model Modellering af vægten af en enelt fis som funtion af tiden Lad os betegne vægten af en fis med m og tiden med t Væsthastigheden af m an analyseres ved at splitte op i to led: Tilvæst pr tid = Ind Ud, hvor Ind-leddet er fødeoptagelse pr tid, og Ud-leddet er udsillelse pr tid ved forbrænding, tab af affaldsstoffer mm Ud-leddet, antager vi, er proportionalt med fisens masse, dvs Ud = m Hvorfor er det en rimelig antagelse? Ind-leddet vedrører fødeoptagelse og antages derfor at være proportionalt med arealet af overfladen af det tarmsystem, hvorigennem føden optages 4 En fis er et tredimensionalt væsen Rumfanget af en ugle med radius r er givet ved π r, dvs rumfanget er proportionalt med radius i tredje potens Rumfanget af en terning er ligeledes proportionalt med tredjepotensen af dens endimensionale udstræning Derfor antager vi nu, at rumfanget af en fis er proportionalt med den tredje potens af et mål for dens endimensionale udstræning Det samme må så også gælde for massen m af en fis, dvs m = a r, hvor a er en onstant, og r er et mål for fisens endimensionale udstræning (radius, hvis det var en uglefis) Overfladearealet af en ugle med radius r er givet ved 4 π r Det samme forhold gælder for andre flader: Arealet er proportionalt med vadratet på et mål for fladens endimensionale udstræning Derfor antager vi også, at dette gælder for overfladen af tarmsystemet, eller som vi argumenterede for ovenfor: Ind-leddet er proportionalt med vadratet på et mål for fisens endimensionale udstræning (radius hvis det er en uglefis): Ind = b r Vis nu ud fra de to ligninger, at Ind = h m, hvor h er en onstant Samler vi Ind-leddet og Ud-leddet, får vi væsthastigheden af m til h m m eller m' t = h m m ()
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereNumerisk løsning af differentialligninger
KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un
Læs mereProjekt 5.3 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projet 53 De reelle tal og 2 hovedsætning om ontinuitet Mens den 1 hovedsætning om ontinuerte funtioner om forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2 hovedsætning betydeligt vanseligere
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs merecos( x) dt = 3.1 Vi udregner integralet: sin( x) 2 + cos( x) sin( x) 2 t cos( x)
6x-MA 7 (4..8) opg () Cec om den angivne værdi er orret b) ( sin( x) + cos( x) ) 3. Vi udregner integralet: sin( x) + cos( x) + sin( x) + sin( x) [x] + ( ) cos( x) sin( ) t cos( x) cos( x) cos( x) + sin(
Læs mere3.8 Lineære differentialligninger af første orden
92 Differentialligninger af 1. orden Fordelen ved differentialligningen ved empiris modellering Bemær, at en blandt andre fordele ved at have en differentialligning for logistis væst i modsætning til blot
Læs mereUGESEDDEL 7 LØSNINGER. Opgave 7.2.1
UGESEDDEL 7 LØSNINGER Opgave 7.2.1 Definition 1. En følge {x } in R n onvergerer mod puntet x, dersom der, for ethvert ɛ > 0, findes et N N sådan at x x < ɛ for alle N. Her definerer vi 1) x x 2 = x 1)
Læs mereJordskælvs svingninger i bygninger.
Jordsælvssvingninger side 1 Institut for Matemati, DTU: Gymnasieopgave Jordsælvs svingninger i bygninger. Jordsælv. Figur 1. Forlaring på de tetonise bevægelser. Jordsælv udløses når de tetonise plader
Læs mereJ n (λ) = dvs. n n-jordan blokken med λ i diagonalen. Proposition 1.2. For k 0 gælder. nullity (J n (λ) λi) k 1) 1 for 1 k n. n for k n.
. Jordan normalform Målet med dette notat er at vise hvorledes man ud fra en given matrix beregner dens Jordan normalform. Definition.. For n og λ C sættes λ 0... 0. 0 λ... J n λ).......... 0....... λ
Læs mereBilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen
Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en tenis besrivelse af DEA-modellen FRSYNINGSSERETARIATET INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Indledning Data
Læs mereUGESEDDEL 7 LØSNINGER. ) og ɛ > 0 N N : (1 + konvergerer ikke, thi følgen x 1 + = ( 1)k
UGESEDDEL 7 LØSNINGER Opgave 7.2. Definition. En følge {x } in R n onvergerer mod puntet x, dersom der, for ethvert ɛ > 0, findes et N N sådan at x x < ɛ for alle N. Her definerer vi ) x x 2 = x ) x )
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereDagens forelæsning. Grinblatt & Titman kap. 5. Introduktion. Introduktion. Exhibit 5.1. Investeringsmulighedsområdet. Investeringsmulighedsområdet
Dagens forelæsning Investeringsmulighedsområdet Grinblatt & Titman ap. 5 Sammenhængen mellem risio og forventet afast (security maret line Capital Asset Pricing Model ( Empirise tests af 2 G&T ap 4: Introdution
Læs mereSammenligning af proteiners 3-dimensionelle strukturer
Sammenligning af proteiners 3-dimensionelle struturer Køreplan 01005 Matemati 1 - FORÅR 2006 1 Formål Formålet med opgaven er at lave en metode til sammenligning af proteiners 3-dimensionale struturer
Læs mereMaksimum likelihood estimation af parametrene i logitmodellen med stokastiske individparametre Et simulationsstudie.
Masimum lelihood estimation af parametrene i logitmodellen med stoastise individparametre Et simulationsstudie Jørgen Kai Olsen Institut for Afsætningsøonomi Handelshøjsolen i København 23 Indholdsfortegnelse
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmars Tenise Universitet Sriftlig prøve, tirsdag den 15. december, 009, l. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysi 1 Kursus nr. 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning": Besvarelsen bedømmes
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereProjekt 5.9 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse hos Archimedes og Kepler
Hvad er matemati? Projeter: Kapitel 5 Differentialregning Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse Projet 59 Keplers vintønder Empiri og teori bag rumfangsbestemmelse hos Archimedes
Læs mereFoldningsintegraler og Doobs martingale ulighed
Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs merea ortogonal med b <=> ( ) 4p q
STX Mat A.maj 9 KP NB: i opg -5, som er uden hjælpemidler, benytter jeg her un Mathcad som srivemasine og bruger derfor onsevent det logise (fede) lighedstegn, da det ie har regnemæssige følger. Opg. a
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00. stx143-mat/a-05122014
Matematik A Studentereksamen stx143-mat/a-05122014 Fredag den 5. december 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereOpgave 6. Opgave 7. Opgave 8. Peter Harremoës Mat A delprøve med hjælpemidler 15 december 2015
Opgave 6 a) Se Bilag 3! b) Funktionen differentieres, sættes lig nul og ligningen løses. g (x) = 0 K ln (x) + K = 0 K ln (x) = K ln (x) = 1 x = e 1. Det stationære punkt har x = e 1. Opgave 7 a) Data indlæses
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereMatematik B. Højere forberedelseseksamen
Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe131-mat/b-31052013 Fredag den 31. maj 2013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereImputeret forbrug over livscyklussen
Imputeret forbrug over livscylussen Stephanie Koefoed Rebbe Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Arbejdspapir 2014:1 Marts 2014 Abstract Arbejdspapiret beregner individers private forbrug
Læs mereDet skrå kast - med luftmodstand. Erik Vestergaard
Det srå ast - ed luftodstand Eri Vestergaard Eri Vestergaard www.ateatisider.d Eri Vestergaard, Haderslev 9. Eri Vestergaard www.ateatisider.d 3. Indledning Denne note an danne udgangspunt for et 3g-projet
Læs mereStatistisk mekanik 1 Side 1 af 11 Introduktion. Indledning
Statistis meani Side af Indledning Statisti er et uundværligt matematis redsab til besrivelsen af et system med uoversueligt mange bestanddele. F.es. er der så mange luftmoleyler i blot mm 3 luft, at det
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2008 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 14. maj 2008. Kl. 09.00 14.00 STX081-MAA
STUDENTEREKSAMEN MAJ 008 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 14. maj 008 Kl. 09.00 14.00 STX081-MAA Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål. Delprøven
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereFrit fald med luftmodstand
Frit fald med luftmodstand Indholdsfortegnelse ABSTRACT... INDLEDNING... 2 NEWTONS 2. LOV... 2 BEVIS FOR SEPARATION AF DE VARIABLE... 3 FRIT FALD UDEN LUFTMODSTAND... 7 FRIT FALD MED LUFTMODSTAND... 8
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mereLektion 6 Logaritmefunktioner
Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereStrålingsintensitet I = Hvor I = intensiteten PS = effekten hvormed strålingen rammer en given flade S AS = arealet af fladen
Strålingsintensitet Skal det fx afgøres hvor skadelig en given radioaktiv stråling er, er det ikke i sig selv relevant at kende aktiviteten af kilden til strålingen. Kilden kan være langt væk eller indkapslet,
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereVejledende Matematik A
Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes
Læs mereFysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger
Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters
Læs mereHandicappolitik Bornholms Regionskommune 2009
Handicappoliti Bornholms Regionsommune 2009 Forord Bornholms Regionsommunes handicappoliti er blevet til i et samarbejde mellem alle setorer i ommunen, Handicaprådet og borgerne. Politien har været længe
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs merematematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1
33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereGymnastik Periodeplan for 4. klasse. Skoleåret august 2015-2016
Gymnasti Periodeplan for 4. lasse. Soleåret august 2015-2016 Hvis vejret tillader det, vil alle gymnastitimerne primært foregå udendørs i den næste perioden, frem til efterårsferien. Vi sal bla. lave løbetræning
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK A-NIVEAU. Fredag den 12. december 2008. Kl. 09.00 14.00 STX083-MAA
STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2008 MATEMATIK A-NIVEAU Fredag den 12. december 2008 Kl. 09.00 14.00 STX083-MAA Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net
STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mere2. ordens differentialligninger. Svingninger.
arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af
Læs mereVarmepumpen. Eksempel på anvendelse af Termodynamikkens 1. og 2. hovedsætning
Varmepumpen Esempel på anvendelse af ermodynamiens. og. hovedsætning Indhold. Syrlig indledning om 005 reformen (Kan overspringes).... Varmepumpen anven i fysiundervisningen i gymnasiet... 3. eoretis besrivelse
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereGymnastik Periodeplan for 5. Birk. Skoleåret august 2015-2016
Lærere: Edmund D/ Mette K. Gymnasti Periodeplan for 5. Bir. Soleåret august 2015-2016 Udendørs ativiteter: Hvis vejret tillader det, vil alle gymnastitimerne primært foregå udendørs i den næste periode,
Læs mereFigur 1.1: Blokdiagram over regulatorprincip
Indhold 1 Design af regulator til DC-motor 2 1.1 Besrivelse af regulatorer............................. 2 1.2 Krav til regulator................................. 3 1.2.1 Integrator anti-windup..........................
Læs merebrikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk
Læs mere8 + NÅR SPILLET SLUTTER INFORMATION OM BATTERIER. Handelsenheden fortæller dig efter 1 time, at spillet er slut.
NÅR SPILLET SLUTTER andelsenheden fortæller dig efter 1 time, at spillet er slut. BRAND Find ud af, hvor meget du er værd, ved at følge disse trin: en anden spiller sulle betale, hvis de landede på det
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereUNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN. Maten1atik A. Studenterel<sam.en. Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-14.
- UNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN Maten1atik A Studenterel
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereEksempler på differentialligningsmodeller
1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereMatematik A studentereksamen
Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var
Læs mereHøjere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007. Matematik Niveau A
Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve Maj 2007 07-0-1 Matematik Niveau A Dette opgavesæt består af 8 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med følgende omtrentlige
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMatematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2
Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 0 = 8 0 = 8 0 2 Opgave 2 a) Først differentierer vi løsningen: y = 10x. Dernæst indsættes løsningen y i y og vi får: y = 2 5x2 x =
Læs mere1RWHWLOGLIIHUHQWLDOOLJQLQJHU
ote til differentialligninger rik Bennike marts 00 ROGIIUQOOJQQJU Først skal man naturligvis gøre sig klart hvilken orden differentialligningen er af. G G,? Indgår,, ( ) kun, eller er der også, ( ) 'IIUQOOJQQJUII
Læs mereFacitliste til MAT X Grundbog
Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation
Læs mereMatBio. = r K xy, dx dt. = r xy. (2)
.1 Epidemier. En population (Storkøbenhavns befolkning, fiskene i et dambrug, en bakteriekultur,... ) rammes af en epidemi. Antag, at populationens størrelse er konstant individer. Heraf er individer inficerede
Læs mereMonotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:
Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereFacitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-2005
Facitliste til eksamensopgaver hf-tilvalgsfag 1999-005 99-8-1 C = (,-) radius = 7 f (x) = 6x + 4x 5 + y = x + : dist(t, ) = 1,0607 A(1,) og B(5,-1) M AB = (,1) m: y = x 1 x Redegørelse! f(x) = 70,74 x
Læs mereLogistisk regression. Statistik Kandidatuddannelsen i Folkesundhedsvidenskab
Logistis regression Statisti Kandidatuddannelsen i Folesundhedsvidensab Multipel logistis regression Antagelser: Binære observationer (Y i, i=,.,n) f.es Ja/Nej Høj/Lav Død/Levende Kodet: / 0 Y i uafhængige
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven med hjælpemidler består af opgave 7-14 med i alt 19 spørgsmål.
Læs merePeter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 15. december 2014. f (x) = 0. 2x + k 1 x = 0 2x 2 + k = 0 2x 2 = k x 2 = k 2. k 2.
Opgave 6 Se Bilag 3! Funktionen f er givet ved f (x) = x 2 + k ln (x), x > 0. Det oplyses at funktionen har netop ét ekstremum, når k > 0, så x-værdien til dette ekstremum må kunne findes ved at løse ligningen
Læs mereLektion 5 Det bestemte integral
a f(x) dx = F (b) F (a) Lektion 5 Det bestemte integral Definition Integralregningens Middelværdisætning Integral- og Differentialregningens Hovedsætning Beregning af bestemte integraler Regneregler Areal
Læs mereKepler fortæller selv om hvordan han i 1613 blev optaget af problemerne med opmåling af vintønder:
Projet 4.5 Keplers vintønder 1. Indledning Kepler fortæller selv om hvordan han i 161 blev optaget af problemerne med opmåling af vintønder: "Da jeg i november sidste år havde hjembragt en ny one til mit
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mereTjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr.
Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren 2007 udgave Varenr. 7522 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning...
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet
GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og
Læs merea) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres to lister med data fra opgaven År d 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 :
Eksemplarisk løsning af eksamensopgave Nedenstående opgaver er delprøven med hjælpemidler fra Matematik B eksamen d. 22 maj 2014 restart with Gym : Opgave 7 a) For at bestemme a og b i y=ax+b defineres
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består
Læs mere