Prisfastsættelse af konverterbare obligationer

Transkript

1 Prisfastsættelse af konverterbare obligationer H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - efterår 2009 Opgaveløser: Mikkel H. Skovsgaard Jensen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. E7 2. november 2009

2 Indhold 1 Indledning 1 2 Problemformulering 1 3 Annuitetslån Amortisering af annuitetslån Effektiv rente Obligationslån Kontantlån Konverterbare obligationer Konvertering Omlægning Konverteringsoption Nulkuponrenter 19 6 Rentestrukturmodel BDT-modellen Arrow-Debreu Forward algoritmen Volatilitetsstruktur Beregning af volatiliteten Konverteringsmodellen 34 i

3 8.1 Den amerikanske optionsmodel Gevinstkravsmodellen Konverteringsgevinst Poolfaktor Restløbetid Datagrundlaget Konverteringsraten Konverteringsmodel med debitorer Implementering og resultater Konverteringsgevinst Konverteringsfunktion Prisfastsættelsen De forklarende variable Restløbetiden Poolfaktoren Konverteringsgevinsten Beregning af prisen Implementering og resultater Konklusion 71 A Programmeringskode (VBA) 76 ii

4 Figurer 1 Andelen af renter og afdrag på en 120 terminers annuitet En illustration af sammenhængen mellem kursen på en inkonverterbarog en konverterbar obligation som funktion af den effektive rente for den inkonverterbare obligation Markedskurser for en stats- og konverterbar obligation som funktion af den effektive rente for statsobligationen. Inspiration til figuren er hentet fra [Ras99] Binomialgitter som illustrerer notationen for knudepunkterne To eksempler på rentevolatilitet: a) Lav volatilitet. b) Høj volatilitet Den implicitte volatilitet på swaptioner tilpasset funktionen i ligning Den implicitte volatilitet på swaptioner fra Danske Analytics Den gennemsnitlige lange obligationsrente for realkreditobligationer i danske kroner. Kilde: Realkreditrådet Konverteringsraten (CPR) som funktion af terminerne for de 10 udvalgte obligationer Fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen, som angiver sandsynligheden svarende til en fraktil Konverteringsraten som funktion af konverteringsgevinsten Den faktiske konverteringsrate som funktion af den estimerede konverteringsrate Den faktiske- og den estimerede konverteringsrate som funktion af tiden iii

5 Tabeller 1 Amortisering af obligationslån og kontantlån Konverteringsmodellen er baseret på disse 10 obligationer De tre forklarende variable, konverteringsgevinsten, poolfaktoren og restløbetiden som indgår i konverteringsfunktionen, der skal estimere et skøn på konverteringsraten (CPR) Restgælden opdelt på debitorniveau til brug for beregning af konverteringsraterne for de to debitorgrupper Beta-værdierne for konverteringsfunktionen uden opdeling på debitorgrupper Beta-værdierne for konverteringsfunktionen med opdeling på debitorgrupper Teoretiske priser og markedspriser på de 10 udvalgte konverterbare obligationer, hvor afvigelsen angiver forskellen mellem markedsprisen og den pågældende teoretiske pris iv

6 2 PROBLEMFORMULERING 1 Indledning Interessen for fastforrentede lån er de seneste år faldet markant i takt med, at den korte rente er faldet til et historisk lavt niveau. Senest satte National Banken udlånsrenten ned til 1,25% p.a. Mens 6 ud af 10 låntagere i 3. kvartal 2008 valgte et fastforrentet lån, foretrak kun 1 ud af 10 låntagere i 2. kvartal 2009 denne lånetype. Den seneste tendens viser, at 2 ud af 10 låntagere vælger fastforrentet i 3. kvartal 2009 [Rea09c]. Renten på fastforrentede konverterbare realkreditobligationer har ikke fulgt samme tendens, hvilket naturligvis hænger sammen med denne lånetypes lange løbetid. Muligheden for en langt lavere ydelse på rentetilpasningslån har derfor resulteret i det store antal rentetilpasningslån. Udtalelserne fra økonomerne om at renterne muligvis vil begynde at stige til næste år (2010), har fået lidt flere låntagere end sidste kvartal til at vælge et fastforrentet lån. Der kommer flere og flere lånetyper på markedet, men i en situation hvor man står overfor stigende renter, vil efterspørgslen på lånetyper med en fast rente eller et loft over renten formentlig stige. Det er derfor sandsynligt, at man kan forvente en stigende interesse for de fastforrentede konverterbare realkreditobligationer igen. 2 Problemformulering Kursen på konverterbare obligationer følger ikke den normale kurs/rente sammenhæng, da en konverterbar obligation både består af en inkonverterbar obligation og en konverteringsoption. Konverteringsoptionen giver låntageren ret til at førtidsindfri sit lån til kurs 100. Låntager udnytter typisk denne option, såfremt der er mulighed for at konvertere til et lån med en lavere ydelse. Dette gør prisfastsættelsen kompliceret og skaber et behov for en konverteringsmodel, der kan beskrive låntagers konverteringsadfærd. For at prisfastsætte en konverterbar obligation kræves yderligere en model, som tager højde for konverteringsoptionen. Her benyttes en implementation af binomialmodellen (BDT-modellen), der kan kalibrere en rentestruktur til den gældende 1

7 2 PROBLEMFORMULERING nulkuponrente- og volatilitetsstruktur. Udover de financielle udfordringer indebærer prisfastsættelsen af konverterbare obligationer også programmeringsmæssige udfordringer. På grund af den lange løbetid på denne type obligationer vil beregningsarbejdet være en uoverkommelig opgave, såfremt dette skulle udføres manuelt. På baggrund af ovenstående beskrivelse vil jeg besvare følgende spørgsmål: Hvordan konstrueres en model til at prisfastsættes fastforrentede, konverterbare realkreditobligation i praksis? Hvor anvendelig er denne model i praksis? 2

8 3 ANNUITETSLÅN 3 Annuitetslån En obligation er et lån med en bestemt ydelsesprofil. Der findes grundlæggende tre forskellige lånetyper og afdragsformer [Chr05b]: Serielån Ståendelån Annuitetslån Da hovedparten af konverterbare realkreditobligationer er annuitetslån, vil kun denne lånetype blive beskrevet her. En annuitet er en betegnelse for en lånetype med konstant ydelse 1 hver termin i lånets løbetid. Ydelsen består af renter og ordinære afdrag på restgælden. Når låntager betaler afdrag, får investor udtrukket et tilsvarende antal obligationer. Et annuitetslån er karakteriseret ved at rentebetalingen er aftagende i lånets løbetid, mens afdraget stiger tilsvarende. Figur 1 viser et eksempel på ydelsesprofilen for en 30 årig annuitet med fire årlige terminer og en kupon på 5%. Det ses at rentebetalingerne (det hvide areal) i begyndelsen udgør ca. 80% af ydelsen og langsomt aftager mod udløb. Afdraget udgør derfor i begyndelsen ca. 20% af ydelsen og stiger mod udløb. Renten og antallet af terminer er afgørende for ydelsesprofilen. Havde kuponen f.eks. været højere, ville andelen af renter udgøre mere end 80% og have en stejlere hældning hen imod udløb. Renterne bliver beregnet på baggrund af restgælden, hvilket betyder at rentebeløbet reduceres i takt med, at der bliver afdraget på restgælden. På grund af den lange løbetid på et realkreditlån (typisk 30 år) består hovedparten af ydelsen i begyndelsen af renter. Da ydelsen typisk udgør en stor andel af låntagers indkomst, er det skattemæssigt afgørende at opnå et så stort rentefradrag i begyndelsen af 1 Realkreditinstitutterne benytter faste terminsdatoer. Hvis et annuitetslån ikke oprettes på disse datoer vil den første og sidste termin være såkaldte skæve terminer. Realkreditinstituttet justerer terminsydelsen herfor. 3

9 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN Y d e l s e Terminer Figur 1: Andelen af renter og afdrag på en 120 terminers annuitet. låneforløbet som muligt. Denne lånetype giver låntager de største nettorenteudgifter, som er fradragsberettigede og giver dermed låntager det største disponible beløb efter skat. I takt med at andelen af renter falder, reduceres rentefradraget og påvirker låntagers disponible beløb efter skat. Til gengæld bliver låntagers indkomst løbende justeret for inflation, hvorfor indkomsten med tiden bliver relativt større i forhold til den konstante ydelse. 3.1 Amortisering af annuitetslån Et annuitetslån består af en række ydelser. Som nævnt i forrige afsnit er ydelserne lige store, mens rentebetalingerne falder og afdragene stiger med løbetiden. Dette afsnit opstiller ligningerne og giver et eksempel på, hvordan et annuitetslån amortiseres (afvikling af lånet): Eftersom ydelsen er sammensat af renter og afdrag, må følgende ligninger gælde: 4

10 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN Y = R t + Z t (3.1) R t = R RG t 1 (3.2) Z t = Y R RG t 1 (3.3) RG t = RG t 1 Z t (3.4), hvor Y er den konstante ydelse pr. termin, R t er rentebetalingen til tid t, R er obligationens pålydende rente, Z t er afdraget til tid t og RG t er restgælden til tid t. Ligning 3.1 viser ydelsen beregnet som summen af rente og afdrag til tid t. Ligning 3.2 er renten til tid t, beregnet som den pålydende rente af restgælden til tid t 1. Ligning 3.3 er afdraget til tid t beregnet som ydelsen fratrukket renten til tid t 1. Endelig viser ligning 3.4, hvordan restgælden til tid t beregnes som restgælden til tid t 1 fratrukket afdraget til tid t. Dette ligningssystem gentages for alle terminer i løbetiden. Den sidste termin skal nedbringe restgælden til 0 og summen af afdrag skal således svare til hovedstolen. Ydelsen pr. termin, Y, for en annuitet kan bestemmes udfra følgende ligning: RG 0 = n j=1 Y (1 + R) j (3.5), hvor RG 0 er restgælden til tid 0, R er den årlige effektive rente (se afsnit 3.1.1), n er antal terminer og (1 + R) j er diskonteringsfaktoren. Da hovedstolen for en annuitet er 100, svarer den effektive rente til den pålydende rente. Restgælden er derfor summen af ydelser tilbagediskonteret med den pålydende rente. Ydelsen findes numerisk ved at lade Solveren i Excel finde den ydelse som løser ligningen. Ydelsen kan også findes direkte ved hjælp af følgende lukkede formel: R Y = RG 0 1 (1 + R) n (3.6), hvor R er obligationens pålydende rente, og n er tiden til udløb angivet i år. Hvis 5

11 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN obligationen har kvartårlige terminer, skal den pålydende rente divideres med fire og løbetiden skal angives i antal kvartaler Effektiv rente Den effektive rente er et udtryk for investors afkast på obligationen. Den effektive rente kan opfattes som den gennemsnitsrente, som tilbagediskonterer alle fremtidige ydelser og giver nutidsværdien. Ydelsen modtager investor, og det antages, at den kan geninvesteres til den effektive rente. For at kunne beregne den effektive rente, skal man kende den pålydende rente, antal terminer pr. år, samt den kurs obligationen blev købt til, svarende til bogført værdi. Den effektive rente består derfor af to komponenter - rente og kursregulering. Rentekomponenten kaldes for den direkte rente og udtrykker kuponen i forhold til bogført værdi. Køber investor f.eks. en 5% stående obligation til kurs 98, som udløber til kurs 100 om ét år, er den direkte rente 5%/ = 5,10%. Kursreguleringen udgør forskellen mellem udløbskursen og købskursen, dvs = 2. I forhold til det investerede beløb er afkastet på kursreguleringen (100 98)/98 = 2,04%. I alt bliver den effektive rente derfor 5,10% + 2,04% = 7,14% [Chr05b]. Ved kurs 100 er den effektive rente lig med den pålydende rente. Dvs. at den effektive rente svarer til den direkte rente, da kursreguleringen er 0. Overstiger den effektive rente den pålydende rente, vil kursen være under 100. Er den effektive rente derimod lavere end den pålydende rente vil kursen være over 100. Dette forhold skyldes diskonteringseffektens påvirkning af de fremtidige betalinger. Beregningen ser anderledes ud, hvis der er tale om en obligation med flere terminer. I så fald findes den effektive rente som den rente, der løser ligning 3.5. Ligningen kan løses numerisk, f.eks. ved hjælp af Solveren i Excel. Ønsker man yderligere en opdeling på direkte rente og kursregulering, kan afkastet på kursreguleringen findes ved hjælp af 3.5 og Solveren, hvorefter dette resultat trækkes fra den effektive rente for at finde den direkte rente. Det skal bemærkes, at den effektive rente antager, at rentekurven er flad, således investor kan genplacere til samme rente, som der oprindelig blev investeret til. 6

12 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN Derudover skal betalingsrækken være kendt, hvilket ikke er tilfældet med konverterbare obligationer, som påvirkes af låntagers ret til at indfri til kurs 100 (se afsnit 4) Obligationslån Realkreditlån optages som obligationslån eller som kontantlån (se afsnit 3.1.3). Det som karakteriserer et obligationslån er, at ydelsen og hovedstolen fastsættes ved, at realkreditinstituttet udsteder obligationerne til låntager til gengæld for pantebrevet. Låntager kan nu sælge obligationerne og forpligter sig til at tilbagebetale investor 100 kr. pr. stk. Det er derfor afgørende, at kurstabet er så lille som mulig, da kursen svarer til det låneprovenu som låntager får udbetalt 2. Hvis kursen er over 100, kan låntager lave overkurs arbitrage, hvilket vil sige at låntager omgående kan opsige lånet til kurs 100. På den måde kan låntager tjene forskellen mellem udstedelseskursen og kurs 100, som en arbitragegevinst [Sve99]. Hovedstolen svarer til den nominelle beholdning obligationer, som bliver solgt, og renten svarer til kuponerne på disse obligationer. Da ydelsen bliver beregnet på baggrund af hovedstolen og den pålydende rente, kan ydelsen enten bestemmes med den lukkede formel i ligning 3.6 eller numerisk med ligning 3.5. Låneprovenuet kendes som nævnt først, når obligationerne er solgt. Det har naturligvis den ulempe, at kursen kan nå at falde i perioden fra udstedelsen til obligationerne bliver solgt. Derfor risikerer låntager at stå med et mindre låneprovenu end nødvendigt. Denne opgørelsesmetode kaldes for obligationssiden. På side 8 er givet et eksempel på amortiseringen af en annuitet som obligationslån Kontantlån Et kontantlån er karakteriseret ved, at låneprovenuet (kontantlånshovedstolen) fastsættes med det samme, hvorefter mængden af obligationer, der bliver solgt, tilpasses låneprovenuet. Kontantlån eksisterer derfor kun på debitorsiden, mens 2 I virkeligheden er det dog realkreditinstituttet, som står for salget af obligationerne [Chr05a]. 7

13 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN kreditor kun ser obligationssiden. Låneprovenuet, X, er kursværdien, som er den restgæld, der beregnes rente af. Låneprovenuet fås ved at udstede obligationer til kurs k 0. I alt skal der udstedes obligationer for nominelt k X 0 for at opnå det fastsatte låneprovenu [Bec06a]. Ydelsen er den samme som på obligationssiden. Kontantlånsrenten findes nu som den rente, der tilbagediskonterer ydelserne og resulterer i en nutidsværdi svarende til låneprovenuet. Ligning 3.5 kan benyttes til at finde kontantlånsrenten, som svarer til den effektive rente, R. Denne opgørelsesmetode kaldes for kontantsiden. Som regel vil den effektive rente være højere end kuponrenten, da obligationerne udstedes til en kurs under 100 således at overkurs arbitrage (se afsnit 4) undgås. Den højere rente resulterer i større rentebetalinger på kontantlånet, da renten bliver beregnet på baggrund af den effektive rente. Der gælder, at desto større kurstab og dermed effektiv rente, desto større rentebetalinger. Dette skyldes, at kurstabet bliver omdannet til renter, som er fradragsberettigede for låntager. Isoleret set er dette naturligvis en fordel for låntager, og gør kontantlånet til det billigste lån. Til gengæld betød en ændring i skattelovgivningen i 1996, at kursgevinster er skattepligtige, hvis låntager førtidsindfrier sit lån [Bol09], sålænge det ikke er i forbindelse med et salg. Der er tale om en kursgevinst, hvis obligationerne kan købes tilbage til en lavere kurs end udbetalingskursen. Lovændringen har derfor gjort kontantlån uinteressante i forbindelse med opkonvertering (se afsnit 4.2). Set med investors øjne gælder det om at få så store kursgevinster som muligt, da disse er skattefri for nogle investorers vedkommende [Bec06a]. Eksempel: Formålet med dette eksempel er at vise forskellen på amortiseringen af en annuitet som et obligationslån og et kontantlån. I eksemplet vises en låntager som ønsker at optage et kontantlån på kr. finansieret ved udstedelse af 4 årige 5% annuitetsobligationer med helårlige terminer. Kursen er 98. Obligationssiden: Nominel hovedstol = =

14 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN Y = % Y = (1 + 5%) 4 R 1 = 5% R 1 = Z 1 = Z 1 = Kontantsiden: Ved hjælp af Solveren løses ligning 3.5 for den effektive rente, R: = (1 + R) j R = 5,875% j=1 R 1 = 5,875% R 1 = Z 1 = Z 1 = Obligationssiden Kontantsiden Tid Ydelse Rente Afdrag Restgæld Rente Afdrag Restgæld Sum Tabel 1: Amortisering af obligationslån og kontantlån. Tabel 1 viser amortiseringen af et obligationslån (obligationssiden) og et kontantlån (kontantsiden). Hovedstolen på obligationssiden svarer til den nominelle hovedstol, mens hovedstolen på kontantsiden svarer til låneprovenuet. Som det 9

15 3.1 Amortisering af annuitetslån 3 ANNUITETSLÅN fremgår er ydelsen identisk, uanset om der er tale om et obligationslån eller et kontantlån. Derimod er andelen af renter og afdrag ikke identiske. Fordelen ved kontantlånet er som nævnt under afsnit 3.1.3, at rentefradraget bedre kan udnyttes. Dette sker ved at låntager får vekslet nogle ikke fradragsberettigede afdrag til fradragsberettigede renter på grund af den højere kontantlånsrente [Bec06a]. Dette større rentefradrag giver dermed et større disponibelt beløb efter skat. 10

16 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER 4 Konverterbare obligationer Kursen på en fastforrentet inkonverterbar realkreditobligation 3 er bestemt udfra renterne i markedet. Desto lavere markedsrenter, desto højere vil kursen og dermed restgælden være. Den omvendte sammenhæng gør sig naturligvis også gældende. Ulempen ved et inkonverterbart lån er derfor usikkerheden omkring restgælden. Til gengæld er der sikkerhed omkring ydelsen, som er fast. Endvidere vil kursen på en inkonverterbar obligation være højere end på en konverterbar obligation med samme kupon (se afsnit 4.3). Den højere kurs har betydning for den nominelle restgæld, når der skal udstedes obligationer for at skaffe et låneprovenu. I perioder med lave markedsrenter er det billigt at låne penge. Den billige finansiering kan stimulere priserne på boligmarkedet til at stige. Da en inkonverterbar obligation ikke indeholder nogen garanti for, hvor meget restgælden kan stige, kan låntager (boligejeren) risikere, at restgælden overstiger markedsværdien på boligen. Såfremt låntager ikke ønsker at påtage sig denne risiko, kan han/hun vælge en konverterbar obligation. En konverterbar obligation har en indbygget restgældsgaranti. Denne type obligation har integreret en konverteringsoption (se afsnit 4.3), som giver låntager ret til at indfri (opsige) sit obligationslån til kurs 100 til førstkommende termin 4, hvis kursen er over 100. Restgælden kan med andre ord aldrig overstige kurs 100. Denne option er naturligvis ikke relevant, såfremt låntager holder sit lån til udløb. Ønsker låntager at indfri sit lån når kursen er under 100, straksindfrier låntager sit lån ved at købe obligationerne til markedskursen. Fordelen ved konverterbare obligationer er derfor, at sætte en begrænsning på størrelsen af restgælden. Dette kan være en stor fordel for låntager, da en salgssituation kan opstå uventet. Ulemperne ved en konverterbar obligation er dog følgende: Lavere markedskurs i forhold til inkonverterbare obligationer, da låntager 3 Med få undtagelser er alle realkreditobligationer konverterbare [Chr05a]. 4 Den sidste opsigelsesdato til kurs 100 er sidste hverdag to måneder før termin [Rea09a]. 11

17 4.1 Konvertering 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER også skal betale for konverteringsoptionen (dette vil blive beskrevet nedenfor). Låntager skal til hver opsigelsesdato overveje om det er en fordel at konvertere (se afsnit 4.1 og 4.2), hvilket koster ressourcer. På grund af større relative omkostninger er små låntagere langsommere til at konvertere end store låntagere, viser erfaringerne. Derfor er obligationsserier med små låntagere mere efterspurgte, hvilket bidrager positivt til kursen. I serier med både små og store låntagere sælges obligationerne til en gennemsnitspris, hvilket begunstiger de store låntagere på bekostning af de små [Bec06b]. Konverteringsoption koster en præmie, som afspejles i kursen. Dette skyldes, at investor er eksponeret overfor en kursrisiko. I tilfælde af at låntager konverterer, når kursen er over 100, bliver obligationerne udtrukket til kurs 100 og investor taber forskellen mellem markedskursen og kurs 100. Denne type afdrag kaldes for et ekstraordinært afdrag. En konverterbar obligation skaber derfor usikkerhed omkring de fremtidige betalingsrækker, hvilket påvirker den effektive rente (se afsnit 3.1.1). Dette kræver investor en præmie for. Derudover er investor eksponeret overfor en geninvesteringsrisiko, da det udtrukne beløb skal refinansieres i et marked med lavere renter. Såfremt der ikke er tale om et ekstraordinært udtræk, skal investor kun refinansiere det ordinære udtræk hver termin. 4.1 Konvertering Den årlige rente på et obligationslån er obligationens kupon af den nominelle hovedstol på 100 kr. Alt andet lige vil en højere kupon derfor give en højere ydelse. Da låntager naturligvis er interesseret i at betale så lidt i rente som muligt, er formålet med at konvertere derfor at opnå en lavere rentebetaling og dermed en lavere ydelse. Ved en konvertering indfris det eksisterende lån derfor med henblik på at optage et nyt lån med lavere kupon. Af den grund bliver denne form for konvertering populært kaldt for nedkonvertering. 12

18 4.2 Omlægning 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER I en periode med faldende renter vil obligationskurserne stige. Dette kan betyde, at en obligation med lavere kupon går hen og bliver attraktiv i forbindelse med konvertering, da kursen bevæger sig op i nærheden af 100. Kurstabet skal være så lille som muligt På grund af konverteringsoptionen vil restgælden være næsten uændret, idet låntager indfrier sit gamle lån til kurs 100 og optager et nyt lån til en kurs lige under 100. Når låntager optager et nyt lån, skal der udstedes et antal obligationer, som gør låntager i stand til at indfri det gamle lån. Da kursen på det nye lån som regel er under 100, vil låntager skulle udstede en nominel værdi der er større end den nominelle værdi for det gamle lån. Dette skyldes at der skal udstedes 100/kurs antal obligationer for at få et låneprovenu på 100 kr. Der er en sammenhæng mellem høj kupon og stor konverteringsaktivitet, idet sandsynligheden for at renterne i markedet er lavere end kuponen på obligationslånet er større end for et obligationslån med en lavere kupon. De højtforrentede lån bliver derfor konverteret først [Chr05b]. 4.2 Omlægning I en periode med stigende renter vil obligationskurserne falde, hvilket åbner muligheden for at låntager kan lægge sit lån om til en obligation med en højere pålydende rente. Derfor bliver denne type omlægning også kaldt for opkonvertering. Kursen på det gamle lån er derfor faldet, og restgælden kan købes billigt tilbage. Dette foregår ved at optage et nyt lån i en obligation med en højere pålydende rente. Til gengæld for den mindre restgæld stiger ydelsen som regel på grund af den højere pålydende rente. Incitamentet til omlægningen er derfor at nedkonvertere på et senere tidspunkt og dermed betale en lavere ydelse af en lavere restgæld. For at dette kan lade sig gøre, kræver det at renterne falder tilstrækkeligt til, at en nedkonvertering kan foretages. Sker dette ikke, hænger låntager på den højere ydelse i resten af løbetiden og summen af betalte ydelser kan ende med at være større, end hvis låntager aldrig havde opkonverteret. 13

19 4.3 Konverteringsoption 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER Denne form for låneomlægning er derfor af mere spekulativ karakter end nedkonvertering. Der er en række kriterier som skal være opfyldt, for at det overhovedet kan betale sig at opkonvertere. Bl.a. skal kursen på det gamle lån være så høj som mulig, da det blev oprettet. Der skal minimum være et givent antal kurspoint mellem det nye og gamle lån. Restgælden på det gamle lån skal have en hvis størrelse. Løbetiden skal minimum have en hvis længde. Både konverteringer og omlægninger resulterer derfor i, at restgæld bliver indfriet før tid, hvilket også bliver kaldt for ekstraordinære udtrækninger. 4.3 Konverteringsoption Når investor køber en konverterbar obligation svarer, det til at købe en inkonverterbar obligation og sælge en amerikansk call option på den inkonverterbare obligation. Når en call optionen sælges, modtager sælger den præmie som køber betaler. Det forklarer, hvorfor kursen er lavere på en konverterbar obligation end en inkonverterbar obligation. Det er call optionen, som hver termin giver låntager ret til at købe de udstedte obligationer tilbage til kurs 100 før udløb. Mere præcist er optionen en Bermuda option, idet den kan udnyttes (excercises) før udløb af obligationen, men kun på fire fastlagte tidspunkter om året. Der gælder følgende sammenhæng for kursen på den konverterbare obligation: K konverterbar = K inkonverterbar P c (4.1), hvor P c er prisen på call optionen og dermed konverteringspræmien [Bec06b]. Isoleres P c i denne ligningen ses, at konverteringspræmien er lig med forskellen mellem kursen på den inkonverterbare obligation og den konverterbare obligation. Kursen på den konverterbare obligation fås nu ved at finde kursen på den inkonverterbare obligation fratrukket værdien af call optionen. Den samlede værdi af konverteringsoptionen består af summen af indre værdi og 14

20 4.3 Konverteringsoption 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER tidsværdi. For call optioner, som der er tale om, gælder at den indre værdi er den maksimale værdi af nul og den værdi optionen ville have, hvis den blev udnyttet nu. Dvs. forskellen mellem kursen (spotkursen), S, på det underliggende aktiv (den inkonverterbare obligation) og excercisekursen, X, dog minimum nul: Indre værdi af call option = max(s X, 0) (4.2) Som det fremgår af ligning 4.2, består værdien af konverteringsoptionen først af indre værdi, når spotkursen er større end excercisekursen. For optionen gælder, at desto højere spotkursen på den inkonverterbare obligation bliver i forhold til excercisekursen, desto større vil værdien af optionen blive. Tidsværdi er den værdi, som optionen tilskrives, fordi der er tid til udløb og spotkursen på det underliggende aktiv kan nå at stige. Det kan ofte betale sig at vente med at udnytte en amerikansk option, i stedet for at udnytte den med det samme [Hul06]. Det skyldes, at der er en sandsynlighed for at optionen ender in-themoney, dvs. at S > X. Derfor tilskrives optionen tidsværdi. Derudover resulterer en højere pålydende rente i en højere konverteringspræmie, idet kursforskellen mellem den konverterbare- og den inkonverterbare obligation vil være større ved lave renter. Endelig bidrager en højere rentevolatilitet også til en større værdi af optionen. På figur 2 ses en inkonverterbar- og en konverterbar obligation. Figuren viser den ovenfor beskrevne sammenhæng mellem kursen på hhv. den inkonverterbare- og den konverterbare obligation som funktion af den effektive rente på den inkonverterbare obligation. Det ses, at der er en betydelig kursforskel afhængig af renteniveauet. Ved en høj effektiv rente opfører den konverterbare obligation sig næsten som en inkonverterbar obligation, dvs. at kurserne følges pænt ad. Dette skyldes, at den indre værdi er nul og tidsværdien er meget lille, da sandsynligheden for at spotkursen vil blive større end excercisekursen er meget lille. I ligning 4.1 er konverteringspræmien, P c, derfor tæt på nul og udgør et næsten ubetydeligt led. Derfor 15

21 4.3 Konverteringsoption 4 KONVERTERBARE OBLIGATIONER K u r s Effektiv rente Figur 2: En illustration af sammenhængen mellem kursen på en inkonverterbar- og en konverterbar obligation som funktion af den effektive rente for den inkonverterbare obligation. er kursen på den konverterbare obligation stort set lig med kursen på den inkonverterbare obligation. Falder renten nu, således at kursen på den konverterbare obligation er lige under kurs 100, øges kursforskellen til den inkonverterbare obligation yderligere. Dette skyldes, at sandsynligheden stiger for at låntager udnytter sin konverteringsoption. Optionen har stadig ingen indre værdi, men tidsværdien stiger, da sandsynligheden for at spotkursen bliver større end excercisekursen er vokset. I ligning 4.1 tager investor nu en lidt større konverteringspræmie, hvilket bidrager til en lidt lavere kurs på den konverterbare obligation. På figur 2 ses, at kursen på den konverterbare obligation kan overstige kurs 100. Dette skyldes bl.a., at en konvertering er forbundet med konverteringsomkostninger 5, skatteeffekter og manglende rationalitet fra låntagers side. I den ideelle verden uden omkostninger, skatter og manglende rationalitet ville alle låntagere konvertere nu, idet kursen (nutidsværdien) lige akkurat kommer over 100. Årsagen er, at nutidsværdien af det gamle lån er større end nutidsværdien af det nye lån, 5 De vigtigste konverteringsomkostninger er faste omkostninger, bidrag til reservefond, stiftelsesprovision, stempelafgift og kurtage [Bec06b] 16