Integration af IKT i matematikundervisningen

Transkript

1 Integration af IKT i matematikundervisningen 4m 3m 2m Horisont 1m ground A bottel of chees and pest Udarbejdet af Kaj Østergaard Århus Dag- og Aftenseminarium 2004/2005

2 1. Forord Baggrund for projektet Formelle krav Politiske tegn Ideen bag udviklingsarbejdet Udviklingsarbejdets formål De involverede skoler Teori Kategorisering af programmer Undervisningsprogrammer Værktøjsprogrammer Tre typer elevvirksomhed Den usikre og defensive elevvirksomhed Den løsningsorienterede elevvirksomhed Den reflekterende elevvirksomhed Matematisk modellering Elevernes evaluering Spørgeskemaundersøgelse på Frijsenborg Ungdomsskole Spørgeskemaundersøgelse på Engdalskolen Resultater af spørgeskemaundersøgelser Hold B2, Frijsenborg Ungdomsskole Beskrivelse af hold og årsforløb Vilkår for IKT i undervisningen Geometer Excel Spil Økonomi Er eleverne blevet dygtigere til matematik ved at anvende edb i undervisningen? Hold B1, Frijsenborg Ungdomsskole Beskrivelse af undervisningsforløb Et undervisningsforløb sidst på året

3 6.3 IKT vilkår på skolen Blev IKT en naturlig del af matematikundervisningen? a, Engdalskolen Status: Mål: Tiltag: Tegn: Evaluering: Litteraturliste Links Bilag Bilag 1: Jon Lissners evalueringer

4 1. Forord Denne rapport er et resultat af udviklingsarbejdet med titlen Integration af IKT i matematikundervisningen i Folkeskolen, som blev gennemført i skoleåret 2004/2005. I arbejdet deltog to lærere med 5. klasser fra Engdalsskolen (folkeskole) i Brabrand, to lærere med klasser fra Frijsenborg Ungdomsskole (efterskole) i Hammel, en lærer med 10. klasse fra N. Kochs Skole (privat skole) i Århus og undertegnede, Kaj Østergaard (KJ), som er adjunkt ved Århus Dag- og Aften-Seminarium. Desværre blev den deltagende lærer fra N. Kochs Skole syg under forløbet og måtte forlade arbejdet. I overskriften har jeg brugt betegnelsen IKT (Informations- og Kommunikations- Teknologi), andre steder i rapporten bruger fx undervisningsministeriet betegnelsen IT og endnu andre steder blot computer. I praksis beskæftigede udviklingsarbejdet sig udelukkende med brug af computere. Arbejdet forløb efter følgende tidsskema: Marts - Aug Indledende studie af litteratur. Udvælgelse af litteratur til lærere. 4. August 2004 Indledende møde. Hvorfor integrere IKT i matematikundervisningen? Forskellige typer programmer. Forskellige elevtilgange. Konkrete forslag til undervisning med inddragelse af IKT. Ideudveksling. Aug. Nov forløb. 10.November møde. Evaluering af første undervisningsforløb. Lærer eleverne matematik, når vi inddrager IKT? Fokus på arbejdsformer og formulering af problemstillinger til brug i skolen. Matematisk modellering. Ideudveksling. Nov. Feb. 2004/05 2. forløb. 9. Feb Møde. Hvad lærer eleverne? Evaluering af undervisning. Statistik og sandsynlighedsregning med Excel, herunder simulering. Rapportskrivning. Udarbejdning af idekatalog. Ideudveksling. Feb. April forløb. 28. April møde. Evaluering. Rapportskrivning. Juni 2004 Afsluttende sammenskrivning af rapport. Figur 1. De 4 mødegange bestod af en kombination af oplæg fra KJ, erfaringsudveksling, udvikling af konkrete forløb til undervisningen og diskussion af litteratur

5 I hver af de tre mellemliggende perioder gennemførte hver lærer minimum et forløb, hvor IKT blev integreret i matematikundervisningen. Til slut udfærdiges nærværende rapport. Kapitel to beskriver baggrunden og begrundelsen for projektet, stort set som det blev beskrevet i ansøgningen for udviklingsarbejdet. Kapitel 3 er en indføring i den bagvedliggende teori, med nogle kommentarer til, hvordan teorien blev brugt konkret i arbejdet på skolerne, og kapitel 4 er elevernes evaluering af projektet. I kapitel 5-7 beskriver tre lærere så praksis (den fjerde har, stik imod aftale, ikke bidraget), det konkrete arbejde på skolerne, som er kommet ud af projektet. Kapitel 5-7 er således, som det fremgår, skrevet af tre af de medvirkende lærere, hvorimod resten udelukkende er KJ s ansvar. Formålet med rapporten er, at give nogle af de overvejelser de involverede har gjort sig, før under og efter de gennemførte forløb, videre, samt inspirere andre til at arbejde videre med de beskrevne ideer og problemstillinger. 2. Baggrund for projektet I 70 erne og starten af 80 erne var matematikfaget stort set det eneste, der forsøgte at bruge computeren i undervisningen i folkeskolen. I løbet af de sidste 30 år er det forventede boom i brugen af computere i matematikundervisningen imidlertid udeblevet. Samtidig er det lykkedes for en række andre fag fx sprogfagene og dansk i langt højere grad at integrere det nye medie. Dette ses fx af Undervisningsministeriets evaluering af folkeskolens prøver, det såkaldte PEU-hæfte (Undervisningsministeriet 2004), hvoraf det fremgår, at kun 9,2% (FSA) og 13,62% (FS10) af eleverne anvendte computer til den skriftlige prøve i matematik ved sommerprøven 2004, mens det er yderst få steder computeren og brug af IT indgår som en naturlig og integreret del af de mundtlige prøver (Undervisningsministeriet 2004, side 105). Der er dog meget store udsving fra klasse til klasse. Til sammenligning brugte 74,44% af eleverne computer ved den afsluttende skriftlige prøve i engelsk (sommerprøven 2004). Der er imidlertid fra flere sider ønske om, at brugen af informationsteknologi styrkes såvel i folkeskolen som helhed, som i folkeskolens matematikundervisning. 2.1 Formelle krav Alle folkeskolens fag har siden folkeskoleloven fra 1993 været forpligtet på at integrere IKT i undervisningen (en af de tre dimensioner ). Herudover står der, at grundlæggende færdigheder at kunne kommunikere, dvs. læse, skrive og anvende engelsk, samt anvende tal og informationsteknologi er fælles ansvarsområder for alle fag, samarbejdet mellem fagene og skolens aktiviteter i øvrigt. (Faghæfte 12, s. 9, Undervisningsministeriet 2001)

6 I de to sidste faghæfter for matematik Klare Mål (Undervisningsministeriet 2001) og Fælles Mål (Undervisningsministeriet 2003) er brugen af computere tydeligt pointeret, hvilket fremgår af nedenstående citater, som er udvalgt blandt mange: Delmål: Forventninger til, hvad eleverne almindeligvis kan og ved indenfor området: Indskolingen: - behandle data, fx ved hjælp af lommeregner og computer (ibid. s. 14) Mellemtrinnet: Tegne, undersøge og eksperimentere med geometriske figurer, fx ved at benytte en computer: (ibid. s. 16) Afsluttende trin: benytte computeren til tegning, undersøgelser og beregninger vedrørende geometriske figurer. (ibid. s. 17) Beskrivelser/Læseplan: Indskolingen: Efterhånden kan computeren supplere arbejdet med konkrete materialer, hvor den udnyttes som et fleksibelt redskab til at undersøge og eksperimentere med geometriske figurer (ibid. s. 30) Mellemtrinnet: Simulering af eksperimenter gennemføres ved hjælp af computer (ibid. s. 52) Afsluttende klassetrin: Anvendelse af enkle matematiske modeller i forbindelse med brug af computeren til undersøgelse og beskrivelser af samfundsmæssige forhold inddrages. (s. 54) 2.2 Politiske tegn Der har gennem de sidste 15 år været talrige eksempler på politiske tiltag, som indikerer at man ønsker at udvikle og udbygge brugen af computere i folkeskolens fag. Her skal blot nævnes et par enkelte markante tiltag: Efteruddannelse af lærere. To-tredjedele af lærerne i folkeskolen har gennemgået et pædagogiske it- efteruddannelseskursus, oftest det såkaldte pædagogiske itkørekort ( Udvikling af undervisningen. I perioden gennemførtes de såkaldte ITMF-projekter (IT, Medier og Folkeskolen) (se for samlet 340 millioner kroner. Indkøb af computere. Som det fremgår af tabel 1 er antallet af elever pr. computer i folkeskolen faldet kraftigt i den omtalte periode. Desværre er der en tendens til at den kraftige udvikling er stoppet omkrig årtusindskiftet, og det er samtidig værd at bemærke, at tallene dækker over meget store lokale forskelle, således er der kommuner, hvor der er mere end 300 (!) elever om hver nyere computer, mens antallet andre steder er under 4. (

7 Tabel 1. Udvikling i antal elever pr. computer, 1992 til 2002 Kilde: Også den nuværende regering ønsker i høj grad at satse på udvikling i brug af computere i undervisningen. I publikationen It i Folkeskolen fra 2003 hedder det bl.a: It skal være et fremherskende pædagogisk værktøj i den danske folkeskole, og eleverne skal bruge computeren som et personligt redskab, hvor de kan lære med de værktøjer, de selv og lærerne har valgt for at nå målene (Undervisningsministeriet 2003) I samme publikation fremsætter regeringen følgende mål: at it effektivt understøtter den enkelte elevs mulighed for et højt fagligt udbytte af undervisningen at anvendelse af it så tidligt som muligt bliver en naturlig del af elevernes hverdag at børn og unge opnår de bedste betingelser i forhold til at begå sig i et samfund, hvor it indtager en stadig større rolle på stadig flere områder. (ibid.) Regeringen har derfor iværksat en handlingsplan, således at der i perioden investeres 495 mio. kr. i it i folkeskolen heraf 370 mio. til indkøb af nye computere, svarende til ca. 64% af antal computere i 2002 ( Dette tiltag har særlig henblik på at opgradere antallet af computer i 3. klasse, således at brugen af computere kan integreres i den daglige undervisning på et tidligere tidspunkt i skoleforløbet. 2.3 Ideen bag udviklingsarbejdet Der er således et helt oplagt misforhold mellem politiske og pædagogiske intentioner, de formelle krav, og den konkrete undervisningen i folkeskolen i hvert tilfælde hvad matematik angår. Dette misforhold kan forklares fx med manglende computere (i nogle kommuner/skoler), mangel på (efter-)uddannelse og mangel på egnet software. Erfaringer fra min egen virksomhed i folkeskolen/efterskolen, fra de efteruddannelseskurser jeg har holdt for skolens lærere, samt fra mit daglige arbejde med lærerstuderende, har imidlertid indikeret, at lærerne herudover mangler didaktiske redskaber til, hvordan man griber en undervisning med integration af IKT an, det vil sige, hvordan organiserer man en sådan undervisning, hvilke arbejdsformer er specielt egnede, hvordan formulerer man brugbare problemstillinger, hvordan undgår man at tiden og energien bruges på at lære at bruge en given software frem for det matematiske indhold, samt ikke mindst, hvordan gør man computeren til et redskab, som eleverne kan vælge, på lige fod med fx lommeregner eller passer, til løsning af de problemstillinger, som opstår i den daglige matematikundervisning.. Det var derfor især disse spørgsmål, der blev sat fokus på gennem arbejdet, da de, ud over selvfølgelig en - 6 -

8 generel indføring i brug og vurdering af software, må anses for at være helt centrale for uddannelsen af kommende lærere og for udviklingen af undervisningen på dette felt. 2.4 Udviklingsarbejdets formål Inddragelse af IKT er ikke noget mål i sig selv. Først i det øjeblik hvor teknologien er med til at lette vejen til, at eleven opnår den intenderede læring, eller hvor den åbner nye indholdsmæssige muligheder, bliver den det stærke redskab i undervisningssammenhæng, den har vist sig at være i mange andre sammenhænge. Udviklingsarbejdets formål er at undersøge og vurdere de nye muligheder, som brugen af IKT giver. Hvordan tilrettelægges en undervisning, hvor inddragelse af IKT påvirker vilkårene for læring i en positiv retning, det vil sige, hvor kan brugen af IKT åbne nye veje og muligheder for læring? 2.5 De involverede skoler Efter at repræsentanten fra N. Kochs Skole måtte melde fra, var der kun to skoler, Engdalskolen (ES) og Frijsenborg Ungdomsskole (FUS), tilbage. Disse to skoler, og de klasser/lærere der repræsenterede dem, er meget forskellige på afgørende punkter for udviklingsarbejdet. Først og fremmest er antallet af computere pr. elev og computernes tilgængelighed helt forskellig. Til brug i den daglige undervisning råder ES, ud over 10 bærbare computere som lærerne oplever som meget besværlige at bruge i den daglige undervisning, kun over 18 computere placeret i et kælderlokale til de ca. 700 elever. I modsætning hertil råder FUS over 30 computere til 88 elever, som er placeret i og omkring undervisningsmiljøet, således at de er umiddelbart tilgængelige for eleverne, både når alle elever skal arbejde med dem, og når enkelte elever eller grupper selv vælger at bruge dem i undervisningen. Herudover var det to 5. klasser som deltog fra ES, hvorimod det var to 9./10. klasser fra FUS, og da FUS er en efterskole, er stort set alle elever nye på skolen ved skoleårets begyndelse, hvilket betyder at eleverne naturligvis møder med vidt forskellige erfaringer og forudsætninger i forhold til brug af computere i undervisningen, ligesom den didaktiske kontrakt hvert år skal tegnes på ny, med fælles indarbejdelse af rutiner, arbejdsmetoder, normer osv, i modsætning til ES, hvor disse ting er opbygget gennem det hidtidige skoleforløb. Da de to klasser på ES, som følge af det meget ringe antal computere på skolen, kun havde meget begrænsede erfaringer i brug af computere i matematikundervisningen, skulle alle klasser ved skoleårets begyndelse starte fra bunden med introduktion af program(mer). Alle fire lærere valgte at starte med en introduktion af Excel. Selv om forholdene på de to skoler således var vidt forskellige, startede de således det samme sted. Det er klart, at ovenstående forhold kom til at begrænse mulighederne for gensidig inspiration og erfaringsudveksling, men det viste sig alligevel i høj grad muligt, at diskutere centrale problemstillinger, som var relevante for begge parter

9 3. Teori I det følgende kapitel gives et kort overblik over den teori, som blev brugt i projektet. Det meste af litteraturen blev læst af alle, andet blev gennemgået af KJ på møderne, og det resterende blev læst og brugt som baggrundsmateriale af KJ. 3.1 Kategorisering af programmer Computerprogrammer til brug i matematikundervisningen kan overordnet kategoriseres i to hovedgrupper: undervisningsprogrammer og værktøjsprogrammer Undervisningsprogrammer Undervisningsprogrammer (naturligvis i dette tilfælde underforstået matematikundervisning) er karakteriseret ved, at de er specielt designede til undervisning i et afgrænset matematisk-fagligt emne oftest på et helt bestemt tidspunkt i skoleforløbet. Indholdet kan fx være procentregning, arealberegning, eller matematiske modeller som fx bremselængde i forhold til hastighed eller lignende. Oftest kræver arbejdet med programmerne, at der har været et indledende arbejde med det givne område, og programmerne kan så bruges som træning, uddybning, visualisering, eksemplificering eller lignende. Dette er en meget stor og forskelligartet gruppe af programmer både i omfang og kvalitet. De fleste er små og billige programmer, som ofte fås i større pakker som fx INFA-pakken (DLH) og Orfeus-pakken (UNI-C). Andre er udviklet af matematiklærere, som naturligvis er amatører med hensyn til at udvikle software. Undervisningsprogrammer kan opdeles i to undergrupper. Den første gruppe, som er meget stor i antal, er træningsprogrammer, designet til at træne helt specifikke færdigheder. Disse kan ofte sammenlignes med opgaveark, eventuelt krydret med forskellige småeffekter, når eleven løser opgaverne rigtigt eller forkert. Et eksempel er et program, som træner eleven i Færdighedsdelen til Folkeskolens Afgangsprøve ved at stille eleven opgaver, som ligner prøven. Programmet kan så registrere, hvilke typer opgaver eleven løser rigtig og forkert. Computerens eneste funktioner er, at den angiveligt skulle motivere eleverne til arbejdet og spare læreren for en del af rettearbejdet. Motivation er imidlertid i bedste fald kortvarig og gælder kun en del af eleverne. Lærerens arbejdsbesparelse er også til at overse, idet læreren alligevel er nødt til at undersøge elevens besvarelse nøjere for at kunne analysere elevens kundskaber. Træningsprogrammer har lukkede opgaver med kun et facit, og er således uforenelige med en undervisning, som bygger på åbne problemstillinger. De tilbyder som sådan ikke noget nyt til matematikundervisningen, men er blot en kopi af arbejdsformer som tidligere er benyttet via andre medier. Arbejdet med disse programmer optager skolens computere og var med til at vende en generation af matematiklærere mod inddragelse af computere i matematikundervisningen. (Noss & Hoyles, 1996, side 54) Den anden undergruppe af undervisningsprogrammer er simuleringsprogrammer (fx Kugle1, 2 og 3, Brems ( og mange andre). Oftest - 8 -

10 simuleres forskellige matematiske modeller, som bruges i matematik i anvendelse. Styrken ved denne type programmer er, at computeren på kort tid kan simulere et stort antal forsøg og fremstille resultaterne på en overskuelig form. Desuden kan udregninger, som er for svære rent fagligt for eleven, udføres af computeren, således at eleven udelukkende skal forstå og forholde sig til informationer og analysere sammenhænge. Om simuleringsprogrammer skriver Noss og Hoyles: This relates to our second, more fundamental objection. Software which fails to provide the learner with a means of expressing mathematical ideas also fails to open any windows onto the process of mathematical learning. A student working with even the very best simulation, is intent on grasping what the simulation is demonstrating, rather than attempting to articulate the relationship involved. It is in the articulation witch offers some purchase on what the learner is thinking, and it is in the process of articulation that a learner can create mathematics and simultaneously reveal this act of creation to an observer. (Noss & Hoyles, 1996, side 54) De fleste (alle?) modeller til simuleringer kan konstrueres af enten elever eller lærere i forskellige værktøjsprogrammer (som omtales i næste afsnit), hvor der i langt højere grad åbnes mulighed for at analysere på de involverede størrelser og deres sammenhæng. Har man således valgt at bruge et antal værktøjsprogrammer, er der ikke nogen begrundelse for at supplere med forprogrammerede simuleringsprogrammer, som ofte giver mere begrænsede muligheder for udforskning og analyse Værktøjsprogrammer Den anden gruppe af programmer er værktøjsprogrammer. Værktøjsprogrammer er først og fremmest karakteriseret ved deres blanke overflade og dermed mangfoldige muligheder afhængig af brugeren. Med blanke overflade menes, at programmerne i udgangspunktet er som et blankt stykke papir. Det er brugeren selv, i dette tilfælde eleven, der skal lægge indholdet ind. Eksempler på værktøjsprogrammer er regneark (inklusiv VisiRegn fra INFA), dynamiske geometriprogrammer og CAS-programmer (Computer Algebra System). Nogle værktøjsprogrammer er som undervisningsprogrammer udviklet specielt til undervisning (fx GeoMeter, DataMeter og MatematiKan), andre er udviklet til anden form for professionel brug, fx er regneark (eksempelvis Excel) udviklet til brug i forretningslivet. Alligevel er Excel, som det bl.a. kan ses af elevevalueringerne i kapitel 4 det mest udbredte program i folkeskolens matematikundervisning, men oprindelsen fra forretningslivet giver naturligvis anledning til en række problemer, som det bl.a. er fremført af Inge B. Larsen (2000): Regneoperationerne, i regnearket kaldet formler, er skjult, således at eleverne ikke umiddelbart kan se, hvad computeren gør, kun resultatet er synligt. Ved at anbringe cellemarkøren i en celle kan man se formlen men kun i en celle af gangen. Skifter man til vis formler kan alle formler ses, men nu forsvinder resultaterne. Dette gør det svært, især for den utrænede elev, at overskue sammenhænge, som involverer mere end nogle få variable. Navngivning af variable er helt forskellig fra den vi sædvanligvis bruger i matematik. I regnearket bruges cellenavne som A4, C7 i stedet for x, y, a, b osv

11 Samtidig er cellenavnet også henvisning til en bestemt position i regnearket. Læreren bliver nødt til at vælge: Skal eleverne lære begge navne, eller kun den ene? Det er naturligvis utilstrækkeligt, at de kun lærer navnet fra regnearket. Endelig er der muligheden for at omdøbe cellernes navne til dem vi kender fra matematikken, men dette giver en ekstra arbejdsgang. Notationen i regnearket er helt forskellig fra den, vi kender i matematik. Igen skal vi afgøre om eleverne skal lære begge notationer og deres indbyrdes forhold, eller de kan nøjes med den ene, og i givet fald hvilken? Regneark indeholder rigtig mange forskellige diagramtyper, men kun meget få lever op til de er standarder, vi normalt bruger i matematikundervisningen. At oprette et diagram i fx Excel er herudover en ret lang proces, hvor man skal foretage mange valg og fravalg, hvilket er en svær færdighed, som kræver en del tid at lære især for den ikke-erfarne computerbruger. At Excel alligevel er langt det mest brugte program i matematikundervisningen, kan skyldes flere forhold: Alle skoler har Excel (eller eventuelt et andet lignende regneark), som er købt i samme pakke som tekstbehandlingsprogrammet. Excel er det eneste matematikrelevante program, som indgår i det pædagogiske it-kørekort (Skole-it), og således det program, som flest matematiklærere er fortrolige med. Der er efterhånden udgivet en del undervisningsmateriale til Excel. Eleverne møder regneark forskellige steder udenfor skolen, hvilket giver disse en autenticitet, som er af stor betydning især i de ældste klasser. Elever har derfor også en formodning om, at de vil komme til at bruge Excel i deres fremtidige uddannelses- arbejds- og fritidsliv, hvilket naturligvis er motiverende. Et dynamiske geometriprogram er helt nødvendigt, for at kunne opfylde de formelle mål, som er citeret i afsnit 2.1. Allerede med Klare Mål (Undervisningsministeriet 2001) skulle eleverne benytte computeren til tegning, undersøgelser og beregninger vedrørende geometriske figurer, hvilket er svært at opfylde, uden at bruge et dynamisk geometriprogram. Alligevel er denne type program stadig forbavsende lidt brugte i folkeskolen. Et af målene i udviklingsarbejdet blev derfor af gøre eleverne fortrolige med et sådan program, for at undersøge muligheder og potentialer. Man kan læse mere om dette i Jon Lissner og Lars Juelsgaard Nielsens afsnit og i elevevalueringerne (kap 5, 6 og 4). Den sidste type værktøjsprogram, som skal nævnes her, er de såkaldte CASprogrammer, der meget langsomt er ved at vinde indpas i folkeskolen. Mathcad er efterhånden kommet ned i en prisklasse, som har gjort, at nogle få skoler har købt det, der er i år gennemført et meget omtalt forsøgsarbejde på Statens Pædagogiske Forsøgscenter ( med MathCad (Nielsen og Grode 2005), som umiddelbart har meget lovende resultater, og sidst men ikke mindst er det første

12 dansksprogede CAS-program, MatematiKan, så småt på vej til at blive udgivet (Enggaard 2004). I forhold til undervisningsprogrammer, som ofte er lige til at gå til, har værktøjsprogrammer en forholdsvis høj indgangstærskel. Det er nødvendigt at læreren bruger en del tid, og eleverne bruger nogen tid, på at sætte sig ind i programmets funktioner, inden man får det fulde matematiskfaglige udbytte af programmerne. Det er med denne baggrund at nogle lærere angiver manglende tid eller Det er for svært at bruge, som begrundelse for ikke at bruge denne type programmer. Der er imidlertid også en række gode grunde til at vælge værktøjsprogrammer: For det første har hvert enkelt program flere forskellige anvendelsesmuligheder, således at eleven kun skal lære at anvende et lille antal programmer. Et dynamisk geometriprogram som GeoMeter kan introduceres allerede tidligt i skoleforløbet til eksperimenter med geometriske former, og bruges videre helt frem til universitetsniveau. For det andet er det forholdsvis uproblematisk at skifte mellem forskellige værktøjsprogrammer (fx Excel, og Works og Lotus 1-2-3), da brugerfladen ligner hinanden meget. Den tredje og helt afgørende fordel ved værktøjsprogrammer er dog pædagogisk. Værktøjsprogrammerne giver eleven mulighed for at eksperimentere og prøve sig frem med matematiske sammenhænge, samtidig med at eleven kan udtrykke matematiske ideer og sammenhænge programmerne kan bruges til kommunikation. Noss og Hoyles bruger Illich s udtryk convivial : Og videre: To the degree that he masters his tools, he can invest the world with his meaning; to the degree that he is mastered by his tools, the shape of the tool determines his own self-image. Convivial tools are those which give each person who uses them the greatest opportunity to enrich the environment with the fruits of his or her vision. (Illich i Noss and Hoyles side 57) The extent to which a tool may be seen as convivial is the extent to which the use of the tool creates meaning for its users, catalyses intellectual experience and growth. (Noss and Hoyles side 57) Skal et computerprogram være et convivial redskab for eleverne, skal de være helt fortrolige med programmet. Da værktøjsprogrammer generelt er noget sværere at bruge end undervisningsprogrammer, fordi de har mange flere funktioner, forudsætter en sådan fortrolighed, at de bruger det samme program i forskellige sammenhænge mange gange gennem skoleforløbet. Programmet skal blive et redskab på lige fod med lommeregneren eller vinkelmåleren, således at opmærksomheden flyttes fra den rent tekniske beherskelse af programmet til det matematiske indhold. Det er klart, at dette begrænser antallet af programmer, læreren kan præsentere eleverne for, betydeligt. Først når elevens opmærksomhed fjernes fra programmet og computeren og henledes på det matematiske indhold, opnås en situation, hvor eleven kan begynde at eksperimentere, afprøve og udtrykke forskellige ideer

13 Balacheff illustrerer computerens betydning for den didaktiske situation i nedenstående model: Knowledge Student Milieu Educational softvare Didactical situation Teacher Fig. 2: Balacheffs model af computerens betydning for den didaktiske situation (Fra Blomhøj, 1999) Computerprogrammet er en del af læringsmiljøet, og er dermed med til at danne rammen om den didaktiske situation. Det er i elevens interaktion med læringsmiljøet, at viden opbygges, men det er nødvendigt, at eleven ikke overlader kontrollen til computeren, men selv tager kontrollen med situationen. Ellers kommer eleven til at bruge energien på at afkode, hvad læreren gerne vil opnå, i stedet for at udvikle egne ideer. Lærens opgave er derfor for det første at designe læringsmiljøer, hvor eleven uden lærerens umiddelbare indblanden kan agere, og for det andet at give eleven de nødvendige færdigheder til at bruge redskabet. På baggrund af ovenstående valgte vi fra projektets start at arbejde med værktøjsprogrammer frem for undervisningsprogrammer. På grund af den begrænsede adgang til computere på ES, måtte man her satse på ét program. Lærerne valgte Excel, fordi det var det, de var mest fortrolige med, og umiddelbart så flest muligheder i. På FUS valgte lærerne at introducere både Excel og GeoMeter tidligt på året med henblik på fra starten at gøre disse to programmer til naturlige redskaber i den daglige undervisning. Herefter blev den næste opgave at formulere relevante, åbne problemstillinger med klare faglige mål, som kunne udvikle en eksperimenterende, undersøgende undervisning, hvor et værktøjsprogram indgik som naturligt redskab. 3.2 Tre typer elevvirksomhed På den første mødegang introduceredes Morten Blomhøjs tre forskellige former for elevvirksomhed ved matematikundervisning med inddragelse af IKT: Den usikre og defensive, den løsningsorienterede og den reflekterende elevvirksomhed (Blomhøj, 1999). Ideen var hermed at få en fælles referenceramme, samt at skærpe opmærksomheden på at bringe eleverne hen imod en reflekterende virksomhed. Beskrivelserne er ikke karakteriseringer af enkelte elever, men et forsøg på at indkredse, forskellige typer elevvirksomhed i arbejdet med computere. Karakteriseringen er sket på baggrund af observationer og interviews i et udviklingsarbejde på Holstebro og

14 Nørresundby gymnasier i perioden Blomhøj antager, at disse former for elevvirksomheder kan genfindes på andre gymnasier, og at analysen og beskrivelserne derfor kan bruges om matematikundervisningen i gymnasiet generelt. Opdelingen har også vist sig at være anvendelig som grundlag for en analyse i folkeskolesammenhæng, specielt på de ældste klassetrin Den usikre og defensive elevvirksomhed Det karakteristiske for den usikre og defensive elevvirksomhed er, at eleverne har en uklar opfattelse af de matematiske begreber. Når disse elever i interviewene bliver spurgt hvorfor, de har gjort, som de har, afviser de at forholde sig til det, som regel med den begrundelse at de ikke kan huske det. Eleverne føler, at det er stærkt følelsesmæssigt belastende at skulle forholde sig til det faglige indhold, fordi de derved bliver konfronteret med deres manglende formåen. De prøver på alle måder at undgå personlig involvering, fordi de er bange for en følgende nederlagsoplevelse, som de har oplevet så ofte før. For disse elever drejer matematik sig om at huske, hvordan man foretager en bestemt beregning, eller hvilken formel man skal bruge. De mangler oftest en mere fundamental forståelse af de matematiske objekter. Elever med en usikker og defensiv elevvirksomhed oplever computeren som et ekstra element, de skal lære at bruge, ved siden af at de skal lære matematikken. Computeren bliver derfor i elevernes forståelse en hindring for læring af matematik og ikke et hjælpemiddel i læringsprocessen. Efterhånden som de lærer at bruge programmerne, bliver computeren dog også et hjælpemiddel i den helt konkrete løsning af opgaver, fordi de lærer at bruge nogle specifikke funktioner i den rigtige sammenhæng, på samme måde som man kan lære at bruge en formel i en bestemt sammenhæng. Den mere grundlæggende forståelse mangler imidlertid stadig, så eleverne vil stadig være meget usikre i deres forklaring af, hvorfor de har valgt den pågældende løsningsmetode. På denne måde opstår der et modsætningsforhold for eleven, hvor computerne både opleves som en barriere for læringen, og som et nødvendigt redskab til løsning af opgaver. Det er klart, at en sådan instrumentel brug af computeren ikke bidrager til elevens læring af matematik, selv om det kan se sådan ud, fordi eleverne i nogle tilfælde vil kunne løse nogle opgavetyper ved hjælp af computeren. Bruges computerprogrammer til løsning af standardiserede opgaver er det helt nødvendigt med en opfølgende dialog, hvor eleverne skal forklare og sætte ord på, hvorfor de har valgt netop de valgte løsningsmetoder Den løsningsorienterede elevvirksomhed For eleven med den løsningsorienterede elevvirksomhed er målet at løse de af læreren stillede opgaver så hurtigt og let som muligt. Matematik handler om at løse opgaver, og det gælder om at hoppe over, hvor gærdet er lavest. IKT er et udmærket hjælpemiddel til at løse opgaver og udnyttes derfor effektivt til dette, men computeren opfattes ikke som en integreret del af matematikken, som kan bruges til at opbygge en begrebsmæssig forståelse. Disse elever tager derfor heller ikke uopfordret udfordringer op fx ved at undersøge, eksperimentere og generalisere problemstillinger, som der arbejdes med. Elever med den løsningsorienterede elevvirksomhed opfatter ikke inddragelse af IKT som et middel til at støtte og øge deres læring af det matematikfaglige indhold, men blot som et hjælpemiddel i løsningen af opgaver. Dette skyldes i høj grad den type opgaver, eleverne er sat til at løse. Skal der skabes sammenhæng mellem opgaveløsning, begrebsdannelse og inddragelse af IKT, skal eleverne, i højere grad end de bliver det i det beskrevne udviklingsarbejde (Blomhøj, 1999), stilles overfor mere åbne