Geometri. Ib Michelsen

Transkript

1 Geometri Ib Michelsen Ikast 2008

2 Forsidebilledet Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) tilhørende Ib Michelsen. Version: Version: Version: Rettet trykfejl side 22; tilføjet hyperlink samme sted. Version: Tilføjer Astronomi-afsnit og trigonometri Version: Rettet sætning om hk side 53 Version: Rette (=fjernet for a og b) fodtegn p. 58. Tilføjer Pythagoraskapitlet Ordnet ombrydning Ajourført indeks og indholdsfortegnelse Tlføjet link til udv sindef

3 Indholdsfortegnelse Praktiske bemærkninger...5 Brug af bogen...7 Arven fra Grækenland...9 Græsk matematik...11 Ideernes verden...12 Sprogbrug...13 Hvad betyder det?...13 Konstruktioner...20 At dele et linjestykke...21 Ligedannede figurer...24 Ensvinklede trekanter...24 Trekanter med proportionale sider...24 Ligedannede trekanter...25 Ligedannede trekanter...25 Ligedannede trekanter...25 Euklid...31 Aksiomerne...33 Euklids første sætninger i bog Kongruens...34 Nogle af Euklids øvrige sætninger fra bog I...35 Verdensbilledet og Astronomiske beregninger...37 Jordens omkreds (Eratosthenes)...38 Afstand til sol og måne I...39 Afstand til sol og måne II (Aristarchos)...40 Afstanden til månen...41 Trigonometri...45 Trekantsberegninger - en oversigt...47 Korttegning...47 Johannes Mejers kort...48 Trianguleringen i Danmark...48 Målebordsblade...49 Standardtrekanter...51 Definition: sin(a)...52 Definition: cos(a)...52 Sætning: mk = hyp*sin(v)...53 Sætning: hk = hyp*cos(v)...54 Definition: tan(a)...57 Sætning: tan(v) = mk / hk

4 Pythagoras sætning...58 Pythagoras og andre sætninger...63 Pythagoras...65 Pythagoras sætning...66 Omvendt Pythagoras...68 Pythagoras i standardtrekanten...69 Afstandsformlen...70 Sinus og cosinus igen...71 Definition af sinus og cosinus (ny)...72 Sinusrelationerne...73 Trekantens areal...76 Cosinusrelationerne...76 Litteratur...81 Stikordsregister

5 Praktiske bemærkninger

6

7 Brug af bogen Du kan finde denne bog på og downloade den gratis. Fra den elektroniske udgave kan du benytte hyperlinkene direkte ved at klikke på dem. Du vil så derfra have adgang til flere hjælpemidler. Er der noget, du gerne vil spørge om eller fortælle, er du velkommen til at sende en til mig: Du skal skrive i din bog! Du tænker bedre med en blyant i hånden. Og det er vigtigt, at du ikke læser hen over teksten uden at have sikret dig, at du har forstået, hvad du læste. Det er blandt andet det, diverse opgaver skal sikre. Ligeledes er det vigtigt, at du kan huske, hvad du læste. Det kontrollerer du dels ved at løse opgaver og dels ved at fortælle en anden, hvad du har læst. Eller skrive en note om det efter at du har lukket bogen. Altså: Skriv i bogen: Du skal ikke være bange for at skrive noget forkert. Så opdager du, at det er forkert, og så retter du det. Går det helt galt, findes bogen jo på Internettet, hvorfra du kan udskrive reservesider. For at du kan finde rundt i bogen, som består af 4 dele (Geometri, Funktioner, Statistik og Sandsynlighed samt et appendiks), er den forsynet med en indholdsfortegnelse forrest, et stikordsregister (og en litteraturliste) bagerst. Nogle af siderne har fået en baggrundsfarve; betydningen fremgår af afsnittet side 25. Når du læser en roman eller ser en film, er det vigtigt, at du forstår alt og får det hele med. Men hvis du springer et par kedelig sider over eller henter en kop kaffe under filmen, kan du godt føle, at du får det fulde udbytte. Det gælder slet ikke i matematik: Du er nødt til at få det hele med! Det, du skulle have lært i sidste uge, er nødvendig viden for at forstå den følgende uges matematik. Derfor: kom ikke bagefter. 7

8

9 Arven fra Grækenland

10

11 Græsk matematik Der er i dag - ca år efter den græske kulturs blomstringstid - en stor lighed mellem grækernes opfattelse af matematik dengang og en moderne opfattelse. Ud fra en række nærmere beskrevne begreber og nogle grundantagelser ("aksiomer") udledes ("bevises") en række sætninger (dvs. "generelle påstande") om en eller anden sammenhæng. Arbejdet hermed er "matematik". Tidligere kulturer som den babyloniske og den ægyptiske har også anvendt matematik, og man har kendt mange af de regler, der genfindes i den græske. Disse kulturer har haft et ret praktisk syn på matematikken: "Hvis det virker, kan vi bruge det." Typisk er det, at fx arealet af en cirkel er blevet beregnet på mange forskellige måder. Fx. beregnedes på et tidspunkt som 256/92*r2, ikke rigtigt, men næsten idet 256/92 = 3,1605; det tit anvendte 3+1/7 = 3,1429 og π = 3, Det emne, vi vil undersøge først, er "geometri"; ordet er græsk og betyder jordmåling. Matematikken har her en praktisk betydning, når den kan levere velbegrundede regler for, hvorledes noget af praktisk betydning kan udregnes. Og sådan er megen matematik opstået for at kunne beskrive og løse et praktisk problem. Både af hensyn til skatteforhold og af hensyn til naboer, er det vigtigt at vide, hvor stor ens jordlod er og hvor grænserne går. Men megen matematik er også opstået, fordi matematikere har fundet spændende og udfordrende strukturer, som har dannet grundlag for en teoriopbygning uden noget praktisk formål. Nogle matematikere har oven i købet fundet, at denne "unyttige" matematik var den "rigtige" matematik. Forunderligt nok har det somme tider vist sig - måske lang tid efter at teoriopbygningen blev startet - at den unyttige teori har fået praktisk anvendelse: et ofte fremhævet eksempel er studiet af primtal, som er kommet til at danne grundlag for kryptologi. I forbindelse med Internettet er kryptologi, som handler om hemmeligholdelse af information, blevet særdeles vigtigt. I tiden, før grækerne ændrede forholdet, har man som nævnt levet med regler, der ikke er blevet bevist: nogle rigtige, andre kun omtrent rigtige. Dengang har man ved studiet af mange eksempler set generelle træk, og derfor accepteret den observerede regelmæssighed som en almengyldig regel. I Euklids arbejder ser vi et væsentligt højere ambitionsniveau: han vil med argumenter sikre sig, at 1 For en oversigt se: 11

12 reglen altid gælder uden undtagelser. Som et eksempel: Pythagoras sætning har været kendt lang tid før Pythagoras. Han har fået æren for den. Og hos Euklid ser vi den bevist. Og derefter er den blevet bevist mange millioner gange siden: både af matematikere, der har kunnet bevise sætningen på nye måder, men nok så mange gange ved gentagelser af det kendte bevis for at senere generationer også skulle overbevises om sætningens rigtighed og forstå argumentationen. Det er en umulig opgave selv at finde alle mønstrene: Derfor har det været almindeligt, at læreren viser sætningen og argumenterne for den, dvs. beviser den. Er man meget kvik, har man nu lynhurtigt fået et instrument til at løse opgaver. Men man har ikke fået en forståelse af matematikerens slidsomme arbejde med at finde disse mønstre - og måske undtagelser fra mønstrene. Denne bog er tilrettelagt sådan, at noget af arbejdet med at lære matematik sætter dig i den arbejdende matematikers stol. Du er dog lidt heldigere stillet og behøver ikke at arbejde i årevis. Selvom læreren ikke fortæller dig hvordan, vil hans og bogens spørgsmål hjælpe dig på vejen mod målet. Ideernes verden Euklid er en berømt græsk matematiker, der lever ca. år 300 FVT; han er inspireret af den lidt tidligere filosof Platon ( fvt.) Denne sondrede mellem de fysiske fænomener (floder, heste o.l.) og ideen om fænomenet. Platon opfattede "ideen om hesten", det som kendetegner alle heste, som den "rigtige hest". Når Euklid skal forklare (definere), hvad punkter, linjer og trekanter er, taler han ikke om de fysiske fænomener, men ideerne om dem. Det ses tydeligt i hans berømte værk: Elementerne, hvor han i begyndelsen beskriver de begreber, han vil anvende i matematikken. Som to eksempler fra værket (Bog 1) viser: 1. Et punkt er det, som ikke kan deles Det er set med moderne øjne ikke en specielt god definition; modsat ved alle hans læsere omtrent, hvad et punkt er. Og nu bliver det sat helt på plads: Et punkt kan ikke deles! 2. En linje er en længde uden bredde Igen er det klart, at Euklid arbejder med et begreb, som ikke findes i den fysiske verden. Når du tegner en ret linje, har den en bredde lige meget, hvor spids din blyant er. Din tegning kan støtte dig i at holde styr på tankerne, men må ikke 12

13 forlede dig til at tro, at det du ser (på tegningen), er det, der gælder. De sandheder, du kan finde frem til, er alene dem du logisk kan argumentere for med udgangspunkt i dine antagelser. På den baggrund er det klart, at du aldrig kan tegne en rigtig cirkel, en rigtig trekant osv. Alligevel tillader vi os gang på gang at gøre det vel vidende, at figurerne ikke er fuldkomne. Men når du så anvender de fundne resultater fra matematikken i den ufuldkomne virkelige verden, skal du selvfølgelig være opmærksom på, at modellens resultater ikke kan overføres uden videre. Sprogbrug Matematik har sit eget tit meget præcise sprog. Næsten hvert ords betydning forklares meget nøje. Disse forklaringer kaldes definitioner. De følgende (kursiverede) ords betydning, må du gerne kende: Hvad betyder det? Et plan kaldes hos Euklid: En plan flade. I definition 7 forklares: "En plan flade er en flade, som ligger lige mellem de rette linjer i den." Meningen er nok lidt uklar, men i dagligdagen har vi ikke besvær med at forestille os idealiserede gulve, vægge, tavler osv. som plane flader. De kan både være begrænsede eller ubegrænsede; det sidste er tit forudsat. En trekant er en figur, der er indesluttet af 3 rette linjestykker. Linjestykkerne er trekantens sider. De tre punkter (linjestykkerne ligger imellem) kaldes trekantens hjørner eller vinkelspidser. Hjørnerne navngives med store bogstaver, den modstående side (der forbinder de to andre punkter) navngives med det tilsvarende lille bogstav. Til hjørnet A svarer altså siden a. Da a har endepunkterne B og C kaldes linjestykket også BC. Til højre på siden ses ABC. Sæt de manglende betegnelser på tegningen (både for hjørner og sider.) Siderne har en længde, der kan måles. Hvis det er siden a, vi vil angive længden på, kan vi for eksempel skrive a = 3, hvis a har længden 3. Oftest vil vi ikke angive, om det er cm eller km, men angiver længden som et ubenævnt tal. Du bemærker altså, a har to betydninger: det er ABC både navnet på siden og er samtidig et tal, nemlig tallet der angiver længden. Vi kan også benytte skrivemåden BC for længden, 13

14 hhv. BC som navn for a. Mål ABC 's sider (med en almindelig lineal), og skriv målene i tabellen herunder med 1 decimals nøjagtighed: Side Længde i cm a b cc En vinkel er en figur bestående af et punkt (vinkelspidsen) og to halvlinjer (eller linjestykker) gående ud fra punktet. Halvlinjerne kaldes vinklens ben; forestil dig, at du sidder i vinklens spids og placerer dine ben over vinklens ben. Så er vinklens venstre ben under dit venstreben og tilsvarende for højre vinkelben. Vinkler har også et navn og en størrelse, og som for siderne bruges ofte samme betegnelse for vinklen og vinklens størrelse. I ABC kan der benyttes flere navne for den samme vinkel: A understreger, at det er en vinkel med vinkelspidsen A, BAC præciserer, at A er en vinkelspids (da det er det midterste bogstav) og at B og C er punkter, der ligger på hver sit vinkelben. I forbindelse med trigonometriske beregninger som sin(a) undlades vinkeltegnet. Endelig kan vi vælge særskilte symboler for punkt og vinkelstørrelse, for eksempel: A og α (alfa, det græske alfabets første bogstav). Der var intet i vejen for at benytte andre danske bogstaver, som for eksempel v, men benyttes det græske bogstav, kan man se, at vinkelstørrelsen α hører sammen med A. Der findes adskillige måder at måle vinkler på: I begyndelsen vil vi her benytte grader som måleenhed, men på et senere tidspunkt introduceres et andet mål: radianer. Du er sikkert bekendt med, at en hel cirkel svarer til 360. Vinkler inddeles i grupper efter størrelse: lige (præcis 180 ), stumpe (mellem 90 og 180 ), rette (præcis 90 ) og spidse vinkler (mellem 0 og 90 ). Skriv vinklens type i hver sin ramme 14

15 Indenfor søfart har man brugt streger til at angive retninger. På en kompasrose er der 16 navngivne retninger som fx NNV. Mellem disse 16 er der yderligere 16 som kan angives fx NØ til N (for retningen mellem NNØ og NØ). Find en kompasrose på Internettet og skriv den ud Skriv navne på de 16 retninger Beregn for hver retning vinklen med vinkelspids i rosens centrum og det ene ben gående gennem N og det andet gennem den valgte retning. Når du bevæger dig fra N mod Ø (dvs. "med uret") vokser vinklen og efter at have passeret S er vinklen over 180 Lav en tabel, der viser sammenhængen mellem retning, streger og grader. Forklar også sammenhængen "med ord". Enhver trekant har nogle linjer (linjestykker) med særlige navne: højder, som er linjestykker fra en vinkelspids til den modstående side, der står vinkelret på denne. Højden fra B til b betegnes h eller hb, for at præcisere hvilken af de tre højder, der er tale om. Hvad hedder den tegnede højde mere præcist? Skriv det på tegningen. vinkelhalveringslinjer som er halvlinjer fra en vinkelspids, der deler vinklen i 2 lige store vinkler. Betegnelsen er v eller va (hvis vinkelspidsen er A). Hvilken præcis betegnelse kan bruges for v (på tegningen)? Skriv det! Hvis A = 61,.hvor stor er så β? Skriv det. medianer, der er linjestykker fra en vinkelspids til midtpunktet af den modstående side. De betegnes m eller mc (hvis medianen går fra C til et punkt på c). 15

16 Hvad vil du kalde den tegnede linje m mere præcist? midtnormaler til siderne er linjer, der står vinkelret på en side i sidens midtpunkt. Afhængig af øvrige anvendte betegnelser, kan du benytte betegnelser som m eller n for linjen. 2 Kald skæringspunktet for midtnormalerne O, og skriv det på tegningen Med O som centrum og OP som radius tegnes en cirkel Kender du navnet på cirklen? skriv navnet her! På figuren sættes ens mærker på lige lange linjestykker (mærker, dvs. en eller to små tværstreger eller en lille cirkel ol.) Hvad kan du sige om længden af linjestykkerne: PV, VQ, QS, SR, RU, UP? Skriv det herunder: Der findes særlige trekantstyper: Ligesidede, hvis alle 3 sider er lige store, ligebenede, hvis 2 af de 3 sider er lige store, spidsvinklede, hvis trekantens største vinkel er spids, retvinklede, hvis trekantens største vinkel er ret, og stumpvinklede, hvis trekantens største vinkel er stump. 2 Der er ikke mange 100 % faste regler for navngivning, men derimod mange sædvaner, som det er fornuftigt at følge, fordi det ikke forvirrer læseren, hvis navnene følger det vante skema. 16

17 Tegn alle 5 trekantstyper på en transparent En cirkel er en plan figur begrænset af en linje: cirkelperiferien; alle punkterne på cirkelperiferien har den samme afstand til ét punkt: cirklens centrum. Afstanden kaldes radius og ethvert linjestykke mellem centrum og et punkt på cirkelperiferien kaldes en radius. Prøv at lave en lang liste over alle de ord, der benyttes ved omtale af cirkler: diameter, korde, tangent, centervinkel, periferivinkel... og beskriv for hver af dem præcist, hvad de betyder. Hvilke formler kender du i forbindelse med cirkler? Skriv dem herunder: 17

18 Tegn en række cirkler: både store og små. Karton og pap er velegnet til de små og lidt større cirkler. Klip eller skær dem ud. Find også andre cirkler: cykelhjul, fade, møllesten... For alle måles og noteres radius og omkreds. Noter resultaterne i en tabel med 2 rækker: øverst radius (x-værdi), lige under den tilsvarende omkreds (y-værdi). Omkredsen findes i nogle tilfælde lettest ved at markere et punkt på periferien; cirklen "trilles" langs en ret linje indtil mærket er i samme position og den kørte afstand måles. Sommetider er centrum givet, men ikke altid. Forklar, hvordan du så vil finde det! Indret et koordinatsystem på mm-papir, så din tegning fylder hele papiret: indtegn et punkt for hver cirkel med de målte værdier som koordinater. Forsøg at tegne en ret linje gennem (0 ; 0) tæt ved alle punkterne: Kan det lade sig gøre? Hvorfor skal linjen gå gennem (0 ; 0)? Kan du ved hjælp af tegningen finde omkredsen for en cirkel med radius 10 cm - selv om du ikke har målt en sådan cirkel? Besvar samme spørgsmål, hvor radius er 1 cm. Ligner det sidste svar et tal du kender? 18

19 Hvis firkanten har 4 rette vinkler, kaldes den et rektangel; er også alle siderne er lige store, kaldes den et kvadrat. Hvis firkanten har ét par modstående sider parallelle, er den et trapez; er begge par modstående sider parallelle, kaldes den et parallelogram; er alle siderne lige store i parallelogrammet, kaldes det en rombe. Udfyld skemaet om firkanter med krydser Rombe Parallellogram Trapez Kvadrat Hvilke firkanter kan have flere navne? Rektangel Dvs. for hvert ord i forspalten sættes ét eller flere 'x' under de betegnelser, der også kan anvendes. For eksempel står der 'Rektangel' i forspalten. På samme linje er der 5 tomme felter. Når vi ved, at vi har et rektangel, kan ordet rektangel anvendes derfor x under rektangel. Men ikke alle rektangler er kvadrater: derfor skal næste felt være tomt. 3. felt er under trapez: vi har et rektangel, kan det også kaldes et trapez? hvis ja, sætter vi 'x'. Og sådan fortsætter du... Rektangel Kvadrat Trapez Parallellogram Rombe Parallelle linjer er rette linjer, der ikke skærer hinanden. Tegn 2 sæt parallelle linjer (på et løst A4-ark) med samme afstand mellem de parallelle linjer. Linjerne skærer hinanden, så der dannes en firkant. Hvilken type firkant er det? Skriv svaret her: Hvad er begrundelsen for dit svar? 19

20 Konstruktioner med passer og lineal For de græske matematikere var det ikke nok at vide, hvordan man skulle udføre en bestemt konstruktion. Mindst lige så vigtigt var det at kunne påvise, hvorfor konstruktionen var rigtig. Det hedder "konstruktioner med passer og lineal", fordi det var de eneste redskaber, der måtte benyttes. Når man opbygger en teori, er det vigtigt at starte på et enkelt, klart grundlag: så få, enkle redskaber som muligt. Du kan så spekulere over, hvorfor man netop har valgt disse? Og hvilken passer og lineal, der kan bruges i marken? En interessant tilføjelse er, at en dansker: Georg Mohr ( ) påviste, at linealen ikke var nødvendig, men at man kunne nøjes med en passer, i værket: Euclides Danicus, Amsterdam Berømmelsen udeblev imidlertid i samtiden, og først ved et tilfælde dukker bogen op i Præcisering af reglerne Opgaven drejer sig om punkter: Enten vi vil finde et bestemt punkt, en linje (hvor vi skal benytte 2 punkter), en cirkel (stadig 2 punkter) eller en trekant eller noget fjerde. Vi er nødt til at starte med 2 punkter: et udgangspunkt og et mere for at skabe en afstand (måleenhed). Det er så tilladt med linealen at tegne en ret linje gennem 2 kendte punkter Det er tilladt at placere passerens ene ben i et kendt punkt og indstille den, så det andet ben er i et andet kendt punkt, og derefter tegne en cirkel Nye - derefter kendte - punkter opstår ved skæring mellem 2 rette linjer eller 2 cirkelbuer eller en ret linje og en cirkelbue Tegn to punkter på et kladdepapir. Hvor mange nye (kendte) punkter kan du finde med 3 handlinger (tegning af linjer eller cirkler)? 20

21 At dele et linjestykke Konstruktionsopgaven går ud på at dele et kendt linjestykke. Vi beskriver her punktvis, hvorledes opgaven løses: 1. Opgaven Vi kender et linjestykke givet ved endepunkterne A og B og skal konstruere et nyt punkt M på linjestykket, således at AB deles i to lige store linjestykker, dvs. at AM = MB. Nedenunder følger konstruktionsbeskrivelsen. Tegn samtidig med gennemlæsningen figuren på et kladdepapir. Når du er færdig, rentegnes den i rammen på næste side. 2. Konstruktionsbeskrivelsen I. Tegning af en ligesidet trekant på AB Med A som centrum og AB som radius tegnes en cirkel(bue). Med B som centrum og AB som radius tegnes en cirkel(bue). Cirklerne skærer hinanden i punkterne C og C'. II. Tegning af vinkelhalveringslinjen i C Halvlinjen v fra C gennem C' tegnes III. Løsningen M Halvlinjen v skærer linjestykket AB i punktet M 3. Konstruktionen tegnes af dig i rammen til højre: 4. Begrundelse for rigtigheden af konstruktionen 21

22 Nedenfor begrunder du, hvorfor konstruktionen er rigtig. Mest elegant vil det være at henvise til de relevante sætninger, men da dette er en introduktionsopgave, benyttes lidt mere uformelle begrundelser: Hvorfor er ABC en ligesidet trekant? Hvor meget ligner ACC' og ΒCC' hinanden? Hvorfor er v en vinkelhalveringslinje? Hvor meget ligner AMC og ΒMC hinanden? Hvorfor deler M AB på midten? Konstruer en trekant Givet linjestykket AB skal du konstruere en ligesidet trekant, hvor alle siderne er dobbelt så lange som AB. Udfør alle 4 punkter. Konstruer en cirkel Givet linjestykket AB skal du konstruere en cirkel, hvor både A og B ligger på cirkelperiferien. Udfør alle 4 punkter. Vil alle løsninger nødvendigvis være ens? Vil alle løsninger blive ens, hvis radius skal have længden AB? 22

23 Benyt GeoGebra GeoGebra er et gratis matematikprogram, der både kan bruges til geometriske konstruktioner og til beregninger. Måske ligger det på din PC? Ellers kan du hente det her: Download GeoGebra Klik på GeoGebra WebStart Du ser så dialogboksen her: og klikker ok! En betingelse for at programmet virker er, at du har programmet Java på din PC. I mange af bogens øvelser og opgaver er det ikke nødvendigt at have GeoGebra installeret i forvejen; man kan blot klikke på det pågældende link og de nødvendige programdele hentes automatisk. Dog er det stadig en betingelse, at Java er installeret. Eksperimenter med GeoGebra: Klik her Benyt samme link til at konstruere et linjestykke AB og derefter finde midtpunktet M, jævnfør øvelsen side Kontroller, at konstruktionen virker, selv om du flytter A eller B med musen Gem dit arbejde som en hjemmeside sådan: Klik på Fil / Eksport / Dynamisk ark som Netside... Udfyld titel: Linjestykkets midtpunkt Skriv dit navn Tilpas tekst over / under konstruktion evt. bare tomt felt Klik på Eksport Vælg mappe og filnavn Gem Når din hjemmeside vises: tjek, at den ser rigtig ud Udskriv Benyt igen samme link til at lave andre konstruktioner på samme måde: Nedfæld den vinkelrette Oprejs den vinkelrette 23 Konstruer en vinkelhalveringslinje Konstruer højder i en trekant Konstruer medianer i en trekant Konstruer midtnormaler i en trekant

24 Ligedannede figurer Først vil vi se nærmere på par af trekanter; dertil indføres følgende definitioner: Ensvinklede trekanter To trekanter er ensvinklede, hvis der for hver vinkel i den ene findes en tilsvarende lige så stor vinkel i den anden. Trekanter med proportionale sider To trekanter har proportionale sider, hvis der for hver side i den ene findes en tilsvarende side i den anden, der blot er forstørret (eller formindsket) med den samme skalafaktor. Tegn på et A4-ark en ret stor tilfældigt valgt trekant Mål siderne og skriv målene på figuren Tegn en ny trekant, hvor alle siderne er halvt så store Mål alle 6 vinkler Sammenlign dit resultat med de andre elevers Tegn evt. en ny trekant, hvor du har ganget de oprindelige sidelængder med et tilfældigt valgt tal (skalafaktoren). Mål også de nye vinkler... Kan du formulere en regel? Skriv den herunder: Tegn på et A4-ark en ret stor tilfældigt valgt firkant Mål siderne og skriv målene på figuren Tegn en ny firkant, hvor alle siderne er halvt så store Mål alle 8 vinkler Sammenlign dit resultat med de andre elevers og med den foregående øvelses resultat. Kan du formulere en regel? 24

25 Tegn på et A4-ark en ret stor tilfældigt valgt trekant Mål vinklerne og skriv målene på figuren Tegn en ny trekant, hvor vinklerne har samme mål Mål alle 6 sider Beregn de 3 forhold mellem tilsvarende siders længder, fx k = a/a', k' = b/b' og k'' = c/c' Sammenlign dit resultat med de andre elevers Kan du formulere en regel? Skriv den herunder: Ligedannede trekanter To trekanter er ligedannede, hvis de både er ensvinklede og er trekanter med proportionale sider Ligedannede trekanter To trekanter er ligedannede, hvis de enten er ensvinklede eller er trekanter med proportionale sider 1. Sætningen påstår, at ved jeg, at trekanterne er ensvinklede, har de også proportionale sider. 2. Og: Hvis jeg i stedet ved, at de har proportionale sider, ved jeg også, at trekanterne er ensvinklede. Bemærk, at sætningen i virkeligheden er 2 sætninger. Der er to forskellige påstande. Ligedannede trekanter Vi vil ikke bevise 3 ovenstående sætninger (om ligedannede trekanter). Men ved hjælp af de tidligere opgaver er du måske overbevist om rigtigheden? Men hvordan bliver du sikker på, at sætningens påstand altid gælder? Farvernes betydning For at gøre bogens struktur mere gennemskuelig, er der benyttet farvet baggrund mv. for nogle afsnit. 3 Sætningen hører ikke til de mest elementære sætninger, men den trækkes frem her, fordi alle de geometriopgaver, du skal kunne løse, direkte eller indirekte afhænger af den. 25

26 Definitioner4 Når vi definerer begrebet ligedannede trekanter som ovenfor, betyder det, at vi kommer med en præcis forklaring på, hvornår vi vil kalde to trekanter ligedannede. Tilsvarende gælder for andre definitioner. Forklaringerne er konsekvent markeret med en lys gul baggrundsfarve som her. Sætninger En sætning er en påstand; ovenstående sætning påstår blandt andet, at hvis du ved, at to trekanter er ensvinklede, så kan du være sikker på, at de er ligedannede. Denne sætning er en generel påstand: det er alle par (og ikke bare nogle) ensvinklede trekanter, der også er ligedannede. Sætninger er konsekvent markeret med en lys violet baggrundsfarve som her. Beviser En sætning er- som sagt - en påstand. Den kan være rigtig eller forkert. Vi vil meget naturligt gerne være sikker på, at de sætninger, vi arbejder med altid er rigtige. Tænk for eksempel på sætningen om vinkelsummen i en trekant. Hvordan kan man vide, at den altid er rigtig? Ingen kan have undersøgt alle trekanter! Men når mange har undersøgt mange trekanter og ikke fundet undtagelser, ligner det et mønster. Man regner med, at der findes en regelmæssighed og reglen formuleres. Sådan laves matematik. Men nu mangler vi bare at sikre os imod, at der kommer en med en speciel trekant, hvor reglen ikke gælder. For så ville sætningen jo ikke være sand. Hvis det skete ville sætningen være forkert eller falsk (og ikke gældende); den ville være falsificeret. Et modeksempel er nok til at reglen ikke er sand. Det vi mangler, er at stable nogle argumenter på benene, således at både vi og andre indser, at sætningen nødvendigvis altid er sand. At gøre dette er at bevise sætningen; argumenterne er beviset. Beviser er konsekvent markeret med en lyseblå baggrundsfarve som her. Baggrundsviden Forskellige former for baggrundsviden ofte historisk er markeret med en lys grøn farve som her. 4 Farvebetegnelserne er upræcise. Her henviser de til den trykte udgave. På skærmen kan farverne være anderledes. 26

27 Oversigter Nogle steder i bogen er der nogle oversigter, der opsummerer fx definitioner, sætninger, teknikker mv. Disse er markeret med en lys rød farve som her. Opgaver eller øvelser I en tynd blå ramme er opgaver og øvelser skrevet med rød skrift. Med punkttegn er der markeret, at her skal du gøre noget! Her ser du et minieksempel: Orientering om opgaven... Opgaven: Besked om, hvad du skal gøre Eksempel på beregninger Trekanterne herover er ligedannede. Vinkelspidser (hvor vinklerne er lige) store er navngivet med samme bogstav - i den røde trekant med fodtegnet 1. Det er oplyst, at forstørrelsesfaktoren k = 1,7. Oplyses det også, at a = 10,66, kan a1 beregnes ved indsættelse i a1 = k*a, dvs. a1 = 1,7*10,66 a1 = 18,13 Oplyses det, at c1 = 16,62, kan c beregnes ved indsættelse i c = a/k, dvs. c = 16,62/1,7 27

28 c = 9,77 Tegn en pil fra den blå trekant til den røde. Marker den med "*k". Hvorfor? Tegn en pil fra den røde til den blå og marker den med...? Hvordan findes sider, der svarer til hinanden? Model for skriftlige besvarelser Opgaven ABC og A1B1C1 er ensvinklede, hvor Α = Α1, Β = Β1 og C = C1. a = 3 og a1 = 5,2; desuden kendes c1 = 4,8. Beregn c. 28

29 Besvarelsen Skitse (Tegning) 3 5 Da de to trekanter er ensvinklede, ved vi at de også er ligedannede og at der findes en fælles skalafaktor k for sider, der svarer til hinanden..6 *k 5,2 4,8 Da siderne a og a1 er modstående sider til den samme vinkel kan forstørrelsesfaktoren k findes ved: k = a1 / a De kendte tal indsættes i formlen: k = 5,2 / 3 7 Da siderne c og c1 er modstående sider til den samme vinkel, gælder der også: k = c1 / c c = c1 / k De kendte tal indsættes i formlen: c = 4,8 : (5,2 / 3) = 2,76 = 2,8 8 Ekstra opgave Antag, at du også kender b = 1,8 fra opgaven lige ovenover. Vis den fulde besvarelse ved beregning af b1 (men genbrug blot tegningen;-) Geometriopgaver indledes altid med en tegning påført de oplyste størrelser Begrundelse for at trekanterne er ligedannede; det sidste skal benyttes ved løsningen Omskrivning til decimalbrøk unødvendig Bemærk parentesen om brøken og svaret både før og efter afrunding. Der vælges at aflevere facit med samme nøjagtighed som de oplyste størrelser. 29

30 Flere opgaver En sommerdag har Jens en skygge på 2,60 m; han måler selv 1,85 m i højden. En mast i nærheden har en skygge 7,50 m. Hvor høj er masten? Hvile forudsætninger har du benyttet ved beregningen? Præciser dem. Hvor bred er åen? Vibeke og Yrsa kan se et træ på brinken på den anden side af åen og har med pejlestokke og målebånd lavet nedenstående skitse som ikke er målfast. Deres mål er: AB = 40 m, CD = 50 m, AC = 15 m, BD = 45 m. Beregn bredden. Bredden er m Hvad er stiltiende forudsat? 30

31 Euklid et overblik

32

33 Aksiomerne Som nævnt begynder Euklid med at definere punkter, rette linjer, figurer med videre. 23 definitioner i alt. En definition er en forklaring på, hvad der menes med et bestemt (nyt) ord. Du har læst om et punkt og en linje bl.a. Euklid går endvidere ud fra nogle "indlysende sandheder" (aksiomer.) Han forudsætter de 5 følgende postulater som (sit) grundlag for geometrien: 1. At man kan tegne et linjestykke mellem 2 punkter 2. At man kan forlænge et linjestykke ud i et til en ret linje 3. At man kan tegne en cirkel med ethvert centrum og enhver radius 4. At alle rette vinkler er lige store 5. At når én ret linje skærer 2 rette linjer, mødes de to rette linjer på den side, hvor summen af de indvendige vinkler er mindre end summen af to rette vinkler. Postulaternes indhold er visualiseret: følg links. Derudover baserer Euklid sin argumentation på de følgende 5 almindelige begreber: 6. Størrelser, der er lige så stor som en anden størrelse, er lige store. 7. Hvis der lægges lige meget til lige store størrelser, fås lige store størrelser. 8. Hvis der trækkes lige meget fra lige store størrelser, fås lige store størrelser. 9. Størrelser, der kan dække hinanden, er lige store. 10. Det hele er større end en del. På dette grundlag bygges geometrien. Enhver sætning, der anvendes, skal først bevises ved hjælp af disse aksiomer eller andre allerede beviste sætninger. 33

34 Euklids første sætninger i bog 1 Over en periode på flere tusinde år, er det næsten umuligt at overlevere bøger, på trods af at bøger før Gutenberg har været kostbarheder, der måtte værnes om. Så hvad vi i dag ved om Euklid er baseret på afskrifter af afskrifter med den usikkerhed det giver, kommentarer og henvisninger i andre værker og sammenligning og sammendrag af mange forskellige kilder. I Danmark blev der i slutningen af 1800-tallet lavet et stort og fortjenstfuldt arbejde af den klassiske filolog J. L. Heiberg, som udarbejdede en græsk udgave af Euklids bøger baseret på en lang række kilder sammen med H. Menge. Hans elev, Thyra Eibe, oversatte dette værk til dansk omkring århundredeskiftet (1900). Denne oversættelse fik uvurderlig betydning i Danmark til den dag i dag - og kunne i højere grad også have fået det internationalt om dansk havde været et internationalt sprog. Bogen findes i nyere oplag, men er ikke tilgængelig på Internettet. Det er derimod D. E. Joyce hjemmeside på adressen: hvor en kommenteret tekst kan findes med illustrerende java-apletter. På trods af at Euklid ikke selv benytter ordet kongruens, vil vi alligevel anvende det om "ens trekanter". Kongruens To trekanter siges at være kongruente, hvis de har siderne parvis ens, vinklerne parvis ens og samme arealer. Kongruens I. (SVS) To trekanter er kongruente, hvis de har to sider parvis ens samt den mellemliggende vinkel. (Euklid, I.4) II. (SSS) To trekanter er kongruente, hvis de har alle sider parvis ens. (Euklid, I.8) III. (VSV)To trekanter er kongruente, hvis de har to vinkler parvis ens samt den mellemliggende side. (VVS) To trekanter er kongruente, hvis de har to vinkler parvis ens samt en af de modstående sider. (Euklid, I.26) 34

35 Forkortelserne som fx SVS - beskriver en trekantstype, med kendt side, vinkel, side Disse sætningerne bevises ikke; den interesserede studerende henvises fx til D. E. Joyce' hjemmeside (se ovenfor.) Nogle af Euklids øvrige sætninger fra bog I De første sætninger handler om: at kunne konstruere en ligesidet trekant at kunne flytte linjestykker at trække et linjestykke fra et andet at en ligebenet trekant har lige store grundvinkler og at hvis grundvinklerne er ens, er trekanten ligebenet at kunne konstruere en vinkelhalveringslinje at kunne dele et linjestykke at kunne oprejse den vinkelrette (dvs. konstruere en linje vinkelret på en anden i et givet punkt) at kunne nedfælde den vinkelrette (dvs. konstruere et linje gennem et givet punkt, der står vinkelret på en given linje)... Ekstra konstruktionsopgaver Konstruer med passer og lineal følgende en vinkelhalveringslinje en midtnormal givet et punkt og en linje konstrueres en linje vinkelret på den givne gennem punktet en indskreven cirkel (i en trekant) en omskreven cirkel (om en trekant) eller benyt GeoGebrakonstruktionerne fra side 23 Argumenter for rigtigheden af konstruktionerne Renskriv bedste konstruktion med forklaringer 35

36

37 Verdensbilledet og Astronomiske beregninger Vedrørende diskussionen om jordens facon følger her et kort citat fra slutningen af Holbergs Erasmus Montanus (skrevet 1731): Act V, Scen. 5 MONTANUS. Ach gunstige Herre! Jeg skal følge hans Raad, og beflitte mig paa, at blive et andet Menniske herefter. LIEUTENANT. Got, saa gir jeg eder da løs igien, naar I har giort de Løffter baade til eders egne, og eders Sviger-forældre, og bedet dem om Forladelse. MONTANUS. Jeg beder eder da ydmygst med grædende Taare alle om Forladelse, og lover at føre et gandske andet Levnet herefter, fordømmer mit forrige Væsen, fra hvilket jeg er bragt ikke meere ved den Tilstand, jeg er geraadet udi, end ved denne brave Mands grundige Tale og Lærdom, for hvilken jeg derfor næst mine Forældre, skal altid have meest estime for. JERONIMUS. Saa holder I da ikke meere for min kiære Svigersøn, at Jorden er rund; thi den post ligger mig meest om Hiertet. MONTANUS. Min hierte Svigerfar, jeg vil ikke disputere videre derom. Men jeg vil allene sige dette, at alle lærde Folk er nu omstunder af de Tanker, at Jorden er rund. JERONIMUS. A Hr. Lieutenant! Lad ham blive Soldat igien, til Jorden bliver flack. MONTANUS. Min kiære Svigerfar, Jorden er saa flack, som en Pandekage, er han nu fornøyet. JERONIMUS. Ja, nu er vi gode Venner igien; nu skal I faae min Dotter, kommer nu allesammen ind hos mig, og drikker paa en Forligelse; Hr. Lieutenant giør os den Ære at komme ind. 37

38 Verdensbilledet i gennem 2000 år I det antikke Grækenland opfattede man Jorden som verdens centrum med sol, måne og planeter kredsende rundt om jorden. Denne opfattelse blev formuleret (og begrundet) af filosoffen Aristoteles (384 FVT 322 FVT) og blev overtaget af kirken. I små 2000 år accepteres modellen af de fleste; Aristarchos (se nedenfor) er en enkelt undtagelse. Først i 1543 foreslår Kopernicus en model med solen i centrum. Tycho Brahe ( ) arbejdede stadig med en model med jorden i centrum, men hans mange observationer af himmelrummet satte Kepler ( ) i stand til at formulere en teori om, at planeterne i vort solsystem kredser om solen i ellipseformede baner. Endelig i 1687 kommer Isac Newtons ( ) tyngdelov og giver mulighed for at forklare himmellegemernes bevægelser. Hermed indledes oplysningstiden. Jordens omkreds (Eratosthenes) Eratosthenes (240 FVT.) opnåede berømmelse for sin vurdering af jordens omkreds. Hans argumenter var: På en bestemt dag stod solen lodret over Syrene; samtidig kunne Erastostenes i Alexandria måle vinklen mellem lodret og en linje til solen som 1/50 af en hel cirkel. Alexandria ligger stik nord for Syrene, altså på samme meridian. Afstanden mellem Alexandria og Syrene blev opmålt til 5000 stadier Denne afstand (buelængden) er ligefrem proportional med centervinklen (som er den samme som den målte β, da solstrålerne forudsættes at være paralle) Derfor beregnes jordens omkreds (over polerne) til 50x5000 stadier = stadier eller godt km 9 9 Argumentationen er rigtig, men forudsætningerne halter en lille smule: Solen har ikke stået præcist lodret over Syrene og Alexandria ligger ikke præcist N for Syrene, men den største 38

39 Hvad forestiller de røde, rette linjer på tegningen? Hvor mange grader er 1/50 af en hel cirkel? Hvorfor er det vigtigt, at Alexandria ligger stik nord for Syrene? Er solstrålerne parallelle? Hvilken sætning bruges for at begrunde, at de to markerede vinkler er ens? Hvordan ville du praksis måle β? Kugle eller pandekage? Eratostenes går ud fra, at jorden er rund. Før ham har der ikke været almindelig enighed herom. Dog kan det ikke have været en fjern tanke, fordi det - i modsætning til den flade model - kan forklare: hvorfor ser sømanden, der er på vej mod land, først bjergets top? hvorfor jordens skyggebillede ved måneformørkelser altid er cirkulært en skiveformet jord ville oftere lave et elliptisk skyggebillede?10 Afstand til sol og måne I Set fra jorden er det ikke umiddelbart indlysende, at de to "største" himmellegemer: solen og månen, ikke er lige store. De fylder jo lige meget på himlen: nemlig ca. ½. At de er meget tæt på at være lige store, kan du nemt overbevise dig om ved at se på billeder af solformørkelser som dette. Men det betyder jo ikke, at de er lige store - blot at skivernes radier har det samme forhold som afstandene til betragteren (eller som afstandene til jordens centrum; i den sammenhæng er jordens radius ikke stor) Bemærk de to ligedannede trekanter på principskitsen. fejlkilde har været den unøjagtige bedømmelse af afstanden mellem de to byer. Yderligere mangler vi præcis viden om forholdet km/stadier

40 Forklar, hvad tegningen ovenover forestiller. Hvor er der solformørkelse? Viser skitsen også, hvor der er delvis solformørkelse? Hvis solen - mere realistisk - havde en større afstand til jord og måne, hvad ville der så ske med: arealet af området med total solformørkelse? og med arealet af området med delvis solformørkelse? Find de to ligedannede trekanter Forklar, hvorfor de er ligedannede Hvad er skalafaktoren på skitsen ( k > 1)? I virkeligheden er den ca. 400 Vælg nogle passende, beskrivende navne på længderne af siderne i trekanterne (fx Afstand_Til_Sol) og skriv k som 2 ens, men forskelligt skrevne brøker med disse navne Afstand til sol og måne II (Aristarchos) Aristarchos ( FVT) er (måske) den første med et heliocentrisk verdensbillede: i stedet for at have jorden som verdens centrum sætter han solen i centrum. Skitsen ovenover belyser, hvorledes han fandt forholdet mellem afstandene fra jorden til hhv. solen og månen. Antag, at vi har halvmåne; det betyder, at månen set fra jorden belyses fra siden og at SMJ = 90. MJS kan måles på jorden (og blev målt til ca. 87 ). Dermed kan der tegnes trekanter, der er ligedannede med himmelrummets trekant og derfra kan forholdet findes - omend med stor usikkerhed. Senere vil du indse, at forholdet også kan beregnes (med trigonometriske funktioner); dette ændrer dog ikke noget på usikkerheden, der ligger i at bestemme MJS nøjagtigt og fastslå præcist, hvornår det er halvmåne. Hvert minuts fejl medfører en vinkelfejl på ca. 0,01. Og uden særlige hjælpemidler vil en fejl på adskillige timer være det normale. Ved at følge linket her, kan du se en model, der demonstrerer, hvad små ændringer af vinklen gør mht. forholdet af afstandene. På grund af fejlbedømmelsen af vinklen finder Aristarchos forholdet til 19:1, hvor det skulle være 389:1. 40

41 Lav en tabel med to rækker og 10 kolonner ved at benytte linket til Aristarchos model: øverst skrives en række vinkler, nedenunder de tilsvarende størrelsesforhold mellem afstandene til solen og månen. Udskriv 2 af trekanterne Er Aristarchos resultater værdiløse, når der tages hensyn til målefejl? Hvis vi benytter Aristarchos resultat: hvad er forholdet mellem rumfanget af solen og rumfanget af månen? Hvad er forholdet, hvis vi i stedet går ud fra at forholdet mellem afstandene er 389:1? Afstanden til månen Figuren herunder viser solen og jorden og helskyggen på jordens natside. Når månen er på jordens natside kan den ofte ses alligevel, fordi månens bane ligger udenfor jordens helskygge. Den svæver oftest uden om skyggen. Men engang imellem kommer den ind i skyggen og vi kan så se en måneformørkelse. Aristarchos noterer sig, at tiden, fra måneformørkelsen begynder til månen er helt inde i skyggen, svarer til tiden, den er helt inde i skyggen: derfor kan månen som tegningen viser ligge på halvdelen af den del af månebanen, der ligger i helskyggen. 41

42 Begrund påstanden. Følg linket. Benyt skyderen på figuren til at lade månen passere skyggen. Månen kan passere jordens helskygge i forskellige baner: de kan variere fra lige at strejfe skyggen til at gå tværs igennem skyggen. Hvad betyder det for måneformørkelsens udseende og tid? og for Aristarchos argumentation? Linjen gennem jordens og solens centrer tangerer derfor månen, når den lige er kommet helt ind i helskyggen - eller lige er på vej ud. Samtidig tangeres månen på den anden side af solens og jordens fællestangent - der jo ligger i helskyggens yderflade. Den hvide vinkel er 0,5 ; det er jo vinklen, som månen ses under (og det gør ikke megen forskel om det er fra jordens overflade eller fra jordens centrum; forskellen på afstandene er under 2 %.) Den grønne vinkel er præcist halvdelen af den vinkel solen ses under: dvs. 0,25. Da den mellemliggende vinkel så udgør resten af 180, fås, at i SCM kendes en vinkel og da siden overfor M er (mindst) 19 gange længere end siden over for S, vil M være ca 19 gange større end S. Noget unøjagtigt kan M beregnes til 0,71. Tegn 3 forskellige stumpvinklede trekanter, hvor den ene af de hosliggende sider er 19 gange større end den anden. Mål de spidse vinkler Beregn forholdet mellem de spidse vinkler, dvs. (største spidse vinkel):(mindste spidse vinkel) Kommenter dit resultat Hvorledes fremkommer 0,71? Benyt evt. linket: Linjestykket CH er en linje fra jordens centrum ud til røringspunktet for tangenten SM. CH står vinkelret på SM. I den "mest røde" MCH kendes nu både den rette H og den spidse M samt siden overfor M (det er jo jordens radius.) Derfor kan vi nu (i princippet) tegne en formindsket udgave af trekanten: M'C'H' med de samme vinkler. Forstørrelsesfaktoren k kan når man kender jordens ra42

43 dius - så beregnes. Alternativt kan afstanden fra jorden til månen måles i jordradier. 11 I stedet for at studere tiden for en passage genne jordens skygge, kan man også studere et fotografi af en måneformørkelse og fx med GeoGebra finde de (relative) diametre for hhv. måne og et tværsnit af jordens skygge, hvor månen passerer skyggen. Følg linket. Prøv selv noget tilsvarende med andre fotografier af måneformørkelser. 11 Du skal snart se, hvorledes man beregner disse størrelser uden nødvendigvis at måle på trekanter 43

44

45 Trigonometri Vinkel v 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00 16,00 17,00 18,00 19,00 20,00 21,00 22,00 23,00 24,00 25,00 26,00 27,00 28,00 29,00 30,00 sin(v) 0,00 0,02 0,03 0,05 0,07 0,09 0,10 0,12 0,14 0,16 0,17 0,19 0,21 0,23 0,24 0,26 0,28 0,29 0,31 0,33 0,34 0,36 0,37 0,39 0,41 0,42 0,44 0,45 0,47 0,48 0,50 Vinkel v 30,00 31,00 32,00 33,00 34,00 35,00 36,00 37,00 38,00 39,00 40,00 41,00 42,00 43,00 44,00 45,00 46,00 47,00 48,00 49,00 50,00 51,00 52,00 53,00 54,00 55,00 56,00 57,00 58,00 59,00 60,00 sin(v) 0,50 0,52 0,53 0,54 0,56 0,57 0,59 0,60 0,62 0,63 0,64 0,66 0,67 0,68 0,69 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 Vinkel v 60,00 61,00 62,00 63,00 64,00 65,00 66,00 67,00 68,00 69,00 70,00 71,00 72,00 73,00 74,00 75,00 76,00 77,00 78,00 79,00 80,00 81,00 82,00 83,00 84,00 85,00 86,00 87,00 88,00 89,00 90,00 sin(v) 0,87 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,91 0,92 0,93 0,93 0,94 0,95 0,95 0,96 0,96 0,97 0,97 0,97 0,98 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

46

47 Trekantsberegninger - en oversigt Den retvinklede trekant Pythagoras' sætning: Modstående katete (mk) = hyposenusen*sin(v), hvor v er størrelsen af den aktuelle spidse vinkel Hosliggende katete (hk) = hypotenusen*cos(v) Modstående katete (mk) = hosliggende katete (hk)*tan(v) c 2=a 2 b En vilkårlig trekant Ensvinklede trekanter er ligedannede og omvendt Sætning om vinkelsummen i en trekant: A + B + C + = arealsætning: T =½ h g 2. arealsætning: T =½ ab sin C 3. Herons formel: T = s s a s b s c hvor s er trekantens halve omkreds a b c = = sin A sin B sin C Sinusrelationerne: Cosinusrelationerne: c 2=a 2 b 2 2 b c cos A Trigonometri betyder trekantsberegninger. Grunden til at trekanten benyttes er, at den er en meget enkel figur, hvori beregningerne er forholdsvis lette. Samtidig kan enhver polygon ( det betyder mangekant) opdeles i trekanter. Firkanten deles for eksempel af diagonalen i to trekanter. Trigonometri er vigtig ved korttegning. I Danmark fx er en stor mængde målepunkter spredt ud landet; de forbindes til et net af trekanter for at kunne fastlægge målepunkternes placering i forhold til hinanden. Det kaldes triangulering. Korttegning Som det allerede er nævnt, betyder geometri jordmåling og resultaterne benyttes til at 47

48 tegne kort. Formålet kunne fx være at finde vej eller at fastlægge skel eller beregne ejendommes størrelse. I Danmark skyldes de ældste kort optegnelser gjort af Ptolemæus fra Alexandria ca. 200 EVT. Selve kortet er dog tegnet væsentligt Det ældste Danmarkskort senere. Johannes Mejers kort De første første gode kort i Danmark og hertugdømmerne skyldes Johannes Mejer fra Husum. Han tegnede en lang række kort: først for hertugen på Gottorp, Friedrich 3. og senere for den danske konge, Christian 4. Han havde Kort tegnet efter optegnelser fra studeret matematik i København, som dengang Ptolemæus af Alexandria, 200 E.V.T. også bl.a. inkluderede astronomi, landmåling og kartografi. I midten af 1600-tallet var hans kort ubestridt de bedste, og det vedblev de med at være i en lang periode. Trianguleringen i Danmark Blandt de mange kort, der blev tegnet før 1700-tallet, var der et uløst problem: at få lokale kort til at hænge rigtigt sammen med andre lokale kort. Først så sent som i 1764 startede Bugge 12 en opmåling, hvor hele landet blev delt ind i trekanter, som skabte et net til at placere lokale kort korrekt. Teknikken var: Bugge startede med en omhyggelig opmåling af én side i den første trekant (basislinjen). Derefter målte han vinklen i et trekantshjørne, hvor basislinjen er det ene vinkelben og sigtelinjen mod trekantens 3. punkt er det andet ben. Denne vinkelmåling blev gentaget i det andet trekantshjørne på basislinjen. Så kunne alle sider og vinkler bestemmes i denne første trekant. Fra de beregnede sider i trekanten kunne man arbejde sig videre og opmåle nye trekanter udelukkende ved at bestemme vinkler. Således blev hele Danmark dækket af et net af trekanter, der kunne bruges til korrekt placering af de kort, der dækkede et mindre område. De lokale kort, der dækkede et areal på ca. 6,3 km x 9,4 km, udførtes som målebordsblade - se nedenfor. Vi vil både studere hvordan måleblade tegnes og hvorledes beregningerne i forbindelse med trekanter foretages

49 Tinghøj Brøndbye Høi Rundetårn 1.:Triangulering (Bugges første trekanter) Basislinjen er den blå (omhyggeligt opmålte) linje fra Tinghøj til Brøndbye Høj. Alle øvrige (sorte) afstande er beregnet ved hjælp af vinklerne og basislinjen. Fra de nye punkter arbejdes der videre på trekantsnettet over Ballerup, Ølstykke... til det fjerne Jylland. Målebordsblade Samtidigt med trianguleringen blev landet opmålt og tegnet på målebordsblade. Det var meget detaljerede kort i målestokken 1: De fik en ganske lang levetid under forskellige myndigheder. I hvertfald solgtes de stadig i boghandlen efter 1970 som fx M 2108 Finderup, opmålt 1877, rettet 1954, trykt i Köbenhavn 1964 ved Geodætisk Institut. Det var teknikken ved fremstillingen, der gav dem navn. En lidt forenklet gengivelse af denne er: Man benyttede et bord, hvor det kommende kort blev fastgjort. 2 punkter (hvorfra der var en vis udsigt) A og B i naturen blev udvalgt, afstanden mellem dem målt, og punkterne overført til kortet med en tilsvarende (meget mindre) afstand mellem de tegnede punkter: lad os kalde dem A1 og B1. Bordet blev så stillet op: først ved fx A med kortets A1 præcist over A og linjen A1B1 lå lige over en del af AB. Andre punkter i landskabet blev lagt ind ved at tegne sigtelinjer fra A1 (A) på papiret sigtende fx mod et kirkespir K. Når et passende antal sigtelinjer mod vigtige punkter var indlagt, blev bordet flyttet til B med B1 lige ovenover og igen A1B1 liggende over en del af AB. Når der så herfra blev tegnet en sigtelinje mod K var der dannet to ligedannede trekanter: ABK i naturen og A1B1K1 på kortet. Med tilpas mange støttepunkter 49

50 kunne den rutinerede kartograf indtegne øvrige detaljer på fri hånd. Herunder er vist det rektangulære målebord efter at det er flyttet. I positionen, hvor A1 lå over A (og B1 lå over punktet i naturen markeret B1), blev den blå sigtelinje tegnet. Efter flytningen tegnes så en ny sigtelinje, og K1 s position findes i skæringspunktet. I skolegården eller et andet passende sted markeres 2 steder som hhv. A og B. Ude i gården er der plantet 3 eller flere landmålerstave i punkter, der skal afsættes på kortet. I skal i grupper lave et målebord og en anvendelig sigtelineal. Ved opstilling af bordet ved punktet A hhv. B og tegning af sigtelinjer findes de markerede øvrige punkters position på kortet. Rentegn kortet Forsyn kortet med diverse detaljer: vej, bygning, beplantning mv. Ved opmåling på kortet beregnes afstande mellem alle punkter i "naturen". Til sidst sammenlignes resultaterne med lærerens opmålinger. 50

51 Standardtrekanter Her er der tegnet en retvinklet ABC: C =90. Både A og B er spidse vinkler. Siden overfor den rette vinkel kaldes hypotenusen; de to andre sider (i en retvinklet trekant) kaldes kateterne. For at kende forskel på dem. kaldes hhv. den modstående katete og den hosliggende katete. Hvad der er hvad, afhænger af, hvilken spids vinkel vi går ud fra. de Hvis vi vælger at gå ud fra A, ligger a overfor denne vinkel: a er den modstående katete. A har 2 ben: det ene er hypotenusen og det andet er den hosliggende katete (her b). Var vi gået ud fra B, bytter kateterne navne. Sæt en lille ring om hjørnet A på figuren ovenover og skriv modstående og hosliggende på de tilsvarende kateter Lav samme øvelse på et nyt papir med samme tegning; nu går du ud fra B og sætter ring om dette hjørne Herunder er der tegnet et koordinatsystem, en enhedscirkel (dvs. radius har længden 1) og en retvinklet ABC, hvor A ligger i koordinatsystemets begyndelsespunkt og B ligger i 1. kvadrant på cirkelperiferien og C på x-aksen (eller første-aksen). En trekant, hvor hypotenusen har længden 1, kaldes en standardtrekant. 51

52 På tegningen måles A og a = BC. Resultaterne skrives i tabellen herunder: A 66 a 0,92 Tegn på mm-papir et koordinatsystem og en enhedscirkel (hvor 1 svarer til 10 cm). Skriv tallene 0,1 ; 0,2; 0,3;... ; 1,0 på begge akser. Vælg 5 punkter på kvartcirklen i 1. kvadrant og kald punkterne B1, B2, B3, B4, B5 Tegn de tilsvarende standardtrekanter gerne med forskellige farver. Mål i hver trekant A og a = BC og skriv resultaterne i en tabel som ovenstående. Benyt tal med 2 decimaler. Kontroller alle resultaterne på lommeregneren ved at indtaste sin(a); lommeregnerens skærm er vist herover for eksemplet ovenover. Din lommeregner kan vise det lidt anderledes. Kontroller aflæsninger mv., hvis din aflæsning afviger mere end 0,01 fra lommeregneren. Sammenlign med tabellen på kapitlets forside. Definition: sin(a) sin(a) [læses: sinus til A] defineres som længden af den modstående katete til den spidse vinkel A i standardtrekanten. På helt tilsvarende måde kunne vi have målt den hosliggende side i standardtrekanten. Længderne svarende til vinklen A kaldes cos(a): Definition: cos(a) cos(a) [læses: cosinus til A] defineres som længden af den hosliggende katete til den spidse vinkel A i standardtrekanten. 52

53 Begrundelsen for at arbejde med standardtrekanter er, at alle størrelser i en standardtrekant er kendte: I standardtrekanten med den spidse vinkel v er hypotenusen 1, den ene spidse vinkel altså v og den anden 90 v. Kateternes sidelængder kan enten måles på en tegning eller aflæses i en tabel eller beregnes på en lommeregner. Disse resultater benyttes så til at beregne størrelser i en vilkårlig retvinklet trekant, som det ses herunder: Sætning: mk = hyp*sin(v) I en retvinklet trekant, hvor en spids vinkel har størrelsen v, den tilsvarende modstående katete har længden mk og hypotenusen har længden hyp, gælder mk = hyp * sin(v) Bevis Der er givet en tilfældig retvinklet trekant hvor den spidse vinkel har størrelsen v (fx 63,69 ). Denne trekant er ensvinklet med en standardtrekant, der også har en spids vinkel af størrelse v, idet det tredje par vinkler bliver ens pga. 180 reglen. Derfor er trekanterne ligedannede; skalafaktoren k beregnes vha. siderne overfor den rette vinkel som k = hyp / 1 = hyp; da siderne med længderne mk og sin(a) ligger overfor vinkler med den samme størrelse, nemlig v, fås sætningen mk = k * sin(a) = hyp * sin(v) 53

54 Sætning: hk = hyp*cos(v) I en retvinklet trekant, hvor en spids vinkel har størrelsen v, den tilsvarende hosliggende katete har længden hk og hypotenusen har længden hyp, gælder hk = hyp * cos(v) Løs resten af opgaven på samme måde, idet: Gennemfør beviset på tilsvarende måde som for den foregående sætning. Renskriv beviset. Typiske opgaver Givet en retvinklet trekant med hypotenusen 5 og en spids vinkel på 30. Beregn de to manglende sider. Løsning (Tegn altid en skitse, påfør de oplyste mål): Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: mk = hyp * sin(v) De oplyste tal indsættes: mk = 5*sin(30 ) = 5*0,50 mk = 2,50 mk = 2,5 Løs resten af opgaven på samme måde, idet: du beregner den manglende vinkel benytter samme metode og opstilling som vist og desuden angiver en alternativ løsningsmetode Tegn hjælpeskitser som den viste ud for de følgende eksempler. Flere eksempler Givet en retvinklet trekant med en spids vinkel på 30 og en modstående side på 0,8. Find hypotenusen. 54

55 Løsning (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål): Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: mk = hyp * sin(v) De oplyste tal indsættes: 0,8 = hyp*sin(30 ) = hyp*0, ,8 : 0,50 = hyp*0,50:0,50 1,6 = hyp Givet en retvinklet trekant, hvor sin(v) = 0,6561. Find vinklen. Bemærkning: Hvis du ser på tabellen, der indleder kapitlet, er der to kolonner: en for vinkler og en for sinus-værdier. Tabellen kan læses begge veje: Kender du vinklen, starter du i 1. kolonne, kender du sinus-værdien, starter du i 2. kolonne og går tilbage til 1. kolonne. At gå tilbage (til vinklen) i sinustabellen skrives: sin-1. Løsningsmetode 1 sin(v) = 0,6561 v = sin-1(0,6561) v = 41 Løsningsmetode 2 Tabeller er ikke den bedste metode til at løse opgaven. Indtil for knap år siden var det metoden, men i dag benyttes lommeregnere. På lommeregneren indtastes en sekvens som [2nd] [sin] ( 0,6561 ) [enter] eller 0,6561 [inv] [sin] eller noget tredje. Læs manualen til lommeregneren! Mht. opstilling er det principielt lige meget, hvordan du finder sin-1(0,6561); 13 Bemærk, at det er en almindelig ligning, der skal løses. I stedet for det sædvanlige x står der blot hyp. Metoden til at isolere hyp eller x er som altid: gør det samme på begge sider af lighedstegnet, således at den ubekendte står mere og mere alene. Her fjernes faktoren 0,50 ved at dividere på begge sider med 0,50 55

56 dog bør du vise resultatet både før og efter en afrunding til det ønskede antal decimaler, som vist her: sin(v) = 0,6561 sin-1(sin(v)) = sin-1(0,6561) 14 v = 41,00 v = 41,0 Find den spidse vinkel i en retvinklet trekant, når det oplyses, at hypotenusen har længden 20 og den modstående katete 3. Løsning (Tegn selv en skitse, påfør de oplyste mål): Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: mk = hyp * sin(v) De oplyste tal indsættes: 3 = 20 * sin(v) 3 : 20= 20 * sin(v) : 20 3/20 = sin(v) sin(v) = 3/20 v = sin-1(3/20) v = 8,62 v = 8, Du bemærker, at vi som sædvanligt har gjort det samme på begge sider af lighedstegnet. Det betyder, at vi har to ens tal, finder dem i sinustabellens højre kolonne og derefter finder det tilsvarende tal i venstre kolonne. Og begge opslag i tabellen giver naturligvis det samme resultat. (Fordi alle tal i højre kolonne er forskellige!) Derfor er tallene i næste ligning også ens... På venstre side står der: Find vinklen v i venstre kolonne, find den tilsvarende sinusværdi i højre kolonne og gå så tilbage og se, hvad der stod i venstre kolonne. Da du bare er gået frem og tilbage skriver man normalt straks: v. 15 Bemærk, at det er hensigtsmæssigt at undlade at regne med afrundede decimalbrøker og at udskyde anvendelsen af lommeregneren indtil det endelige resultat kan udregnes ved én tastesekvens. 56

57 Træningsopgaver: Tegn en lang række retvinklede trekanter (hvor den rette vinkel tegnes så præcist som muligt). Mål i hver af dem yderligere to størrelser og beregn derefter de manglende. Der bør indgå opgaver, hvor du kender en spids vinkel og den modstående katete en spids vinkel og den hosliggende katete en spids vinkel og hypotenusen en katete og hypotenusen Kontroller ved måling på din tegning, om du har regnet rigtigt. Definition: tan(a) tan(a) [læses: tangens til A], hvor A er en spids vinkel defineres som tan A = sin A cos A Sætning: tan(v) = mk / hk Når v er en spids vinkel i en retvinklet trekant, gælder tan v = mk hk Bevis Når v er en spids vinkel i en retvinklet trekant, gælder mk hyp sin v = hk hyp cos v ifølge vore sætninger mk hyp sin v sin v = = hk hyp cos v cos v forkort med hyp mk hyp sin v sin v = = =tan v iflg. definitionen hk hyp cos v cos v Typiske opgaver Givet en retvinklet trekant hvor den modstående katete har længden 3 og den hosliggende har længden 5 beregnes de to spidse vinkler. Løsning (Skriv mål på skitsen): 57

58 Da trekanten er retvinklet, benyttes sætningen: tan v = mk hk De oplyste tal indsættes: tan v = v =tan 1 5 v =30,96 =31,0 v = 31,0 Pythagoras sætning For enhver retvinklet trekant gælder: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kateternes kvadrater. Bemærkninger Kvadratet på hypotenusen kan betyde: arealet af det kvadrat, der har hypotenusen som side eller arealets størrelse (dvs. et tal), der fås som længden af hypotenusen i anden Kaldes længderne hyp, k1 og k2 fås: hyp = k1 + k2 Ofte gengives sætningen (idet der som eksempel benyttes ABC) som c2 = a2 + b2 Beviset for sætningen følger senere Typiske opgaver Når du kender 2 af siderne i en retvinklet trekant, kan du altid beregne den tredje ved indsættelse i ligningen herover. Ligninger af denne type har to løsninger, men der ses naturligvis bort fra den negative løsning; en sidelængde er et positivt tal. Eksempel: Hypotenusen i en retvinklet trekant har længden 5 og den ene katete længden 3; beregn længden af den sidste katete. 58

59 Løsning (Skriv mål på skitsen): Da trekanten er retvinklet gælder Pythagoras sætning: hyp2 = k12 + k22 De oplyste størrelser indsættes: 52 = 32 + k = 32 + k = k22 k2 = 4 (eller k2 = -4, hvilket ikke er muligt) k2 = 4 Bemærkninger Her er resultatet heltalligt og er anført som et helt tal. Det normale er, at svaret er en decimalbrøk; hvis de oplyste værdier er hele tal eller tal anført med en decimal, angives svaret først uafrundet med 2 decimaler og derefter afrundet efter 5-reglen med 1 decimal. Ellers anføres svaret med samme antal decimaler som i de oplyste størrelser. Længder i matematikopgaver oplyses ofte uden angivelse af enheder (som cm eller km); så skal svaret heller ikke angives med nogen enhed. Opgaver I en række retvinklede trekanter får du yderligere 2 oplysninger; find for dem alle de manglende sider, vinkler og arealet. 1: Hypotenusen har længden 10 og den ene katete har længden 6 2: Arealet er 12 og den ene katete har længden 8 3: Den ene spidse vinkel er 38 og den modstående katete har længden 40 4: De to kateter har hhv. længderne 5 og : Den ene spidse vinkel er 30 og arealet er 42,37 (Kræver lidt fantasi!) 59

60 Eksempel Ofte møder du en opgave med et eksempel fra "det virkelige liv". Den kunne være formuleret således: "Bestem solhøjden (dvs. vinklen mellem vandret plan og en sigtelinje til solen) når Peter, der måler 1,80 m kaster en 2,30 m lang skygge på jorden." Besvarelse Vi formulerer en matematisk model ved at indføre nogle forenklende antagelser: Peter kan beskrives ved et lodret linjestykke med længden 1,80, hans skygge ved et vandret linjestykke. De to linjestykker er benene i en ret vinkel med spids under Peters fødder. På tegningen herover er den matematiske model skitseret: Opgaven består i at finde vinklen β ; da de to kateter kendes i den retvinklede trekant, benyttes sætningen tan v = mk hk Heri indsættes de kendte størrelser: tan beta = beta=tan 1 1,80 2,30 1,80 =38,04 =38,0 2,30 Dvs. at solhøjden β er 38,0 60

61 Egne geometriopgaver for par eller grupper I Alle gruppens medlemmer laver opgaver til hinanden vha. hjemmesiden pcp4.mimimi.dk/c/trigonometriret På hjemmesiden trækker opgavestilleren punkterne A, B og C til en tilfældigt valgt position og udskriver siden i et passende antal eksemplarer. For de sider, der skal udleveres, skjuler du først algebravinduet: Menuen: Vis / Algebra vindue Til gengæld noterer opgavestilleren 2 af oplysningerne (om sider, højder eller vinkler eller arealer eller andre størrelser) fra sin egen kopi på de sider der udleveres til de andre. Benyt alle decimaler. Skriv spørgsmålstegn på tegningen for de størrelser, der ønskes beregnet. Beregninger foretages på løse ark. Svar skal gives med samme antal decimaler som de oplyste størrelser. For ikke at lave unøjagtige beregninger pga. afrunding af mellemfacit er det en god vane 1. At udskyde brug af lommeregner indtil du kan finde det ønskede direkte uden at skulle genindtaste mellemfacitter. 2. Hvis du skal bruge et tidligere beregnet resultat, bruger du ikke det nedskrevne resultat, men ét, du har gemt i lommeregnerens hukommelse. T er arealet, A = α, B = β. Du kan også selv lave dine egne opgaver: Tegn en tilfældigt valgt retvinklet trekant, mål 2 sider eller en vinkel og en side og beregn de manglende størrelser. Du kontrollerer svarene ved at måle på tegningen. 61

62

63 Pythagoras og andre sætninger

64

65 Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt, og som det afbildede græske frimærke på den foregående side viser et eksempel på. Selve sætningen kan føres tilbage til babyloniske kilder, der er mindst 1000 år ældre end Pythagoras. Men hvem der er ophavsmand til det første bevis, står hen i det uvisse. Men nogle hundrede år senere kan vi finde 2 forskellige beviser for sætningen hos Euklid. Pythagoras lægger iøvrigt også navn til pythagoræiske talsæt: det vil sige 3 heltal, der svarer til sidelængderne i en retvinklet trekant. Et par eksempler er: {3; 4; 5} og {5; 12; 13} Nu vil vi bevise hans sætning med et af de mange beviser, der i tidens løb er fremkommet. Du kan finde en lang række andre beviser på Det første, der nævnes der, er det ene af Euklids beviser for sætningen: nemlig I.47 fra Euklids første bog. De fleste af de øvrige sætninger i dette kapitel er direkte eller indirekte afledt af denne sætning. 65

66 Pythagoras sætning For enhver retvinklet trekant gælder: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kateternes kvadrater.16 Bevis Hovedideen i beviset vises her; detaljer fremgår af den efterfølgende opgave: 1. Vi har givet en vilkårlig retvinklet trekant (her kaldt ABC) med tilhørende kvadrater; c er hypotenusen og a og b er kateterne 2. Vi betragter summen af kateternes kvadrater (svarende til arealet af den sammensatte blårøde figur) 3. Vi fjerner et areal svarende til 2 gange trekantens areal (markeret med sort) - og lægger det samme til et andet sted (rød og blå trekant). Det samlede areal er uforandret. 16 "Kvadratet på hypotenusen" kan opfattes: 1) som arealet af det kvadrat, der har samme sidelængde som hypotenusen eller 2) som tallet, der fortæller hvor stort kvadratets areal er (og det får man ved at gange hypotenusens længde med sig selv.) I det bevis der følger, vises sammenhængen for arealerne, men deraf følger sætningen (hvor der bruges tal): hypotenusen2 = katete12 + katete22 eller forkortet: hyp2 = k12 + k22 66

67 Den nye figur (til højre) er et kvadrat med samme side som hypotenusen; dermed er sætningen bevist. Opgave: Om frimærket fra kapitlets forside Vi måler længder på figurerne ved at sætte sidelængden på de helt små tern til 1 (en). Den hvide trekant i midten er retvinklet. Hvor lang er hypotenusen? Svar: Hvad er hypotenusens kvadrat (som tal)? Svar: Hvad er den mindste katetes kvadrat? Svar: Hvad er den største katetes kvadrat? Svar: Hvad er måleenheden for arealerne? Svar: Passer Pythagoras sætning i dette tilfælde? Svar: Hvorfor? Svar: 67

68 Opgave: Præciser argumentationen Der findes mange forskellige beviser for denne sætning. Her beviser vi den med geometriske argumenter; andre metoder benytter også algebraiske argumenter, det vil sige inddrager beregninger i argumentationen. Beviset gennemgås i et diasshow; det følger hovedideen som nævnt ovenfor, men er en mere detaljeret gennemgang. For at forstå beviset er det nødvendigt at besvare de spørgsmål, der kommer undervejs. Hent diasshowet: (fx. med Internet Explorer; højreklik og vælg 'fuld skærm'. Når du skal udskrive et dias, klik <ESC> og udskriv normalt. Følg instruktionen på skærmen. Detaljen med at dreje trekanterne kan ses på hjemmesiden: Bemærk, at ingen af begrundelserne har noget med den valgte trekant at gøre. Du kan faktisk ændre på størrelse og beliggenhed af ABC - og gentage alle argumenterne. Omvendt Pythagoras For enhver trekant gælder: at hvis kvadratet på en af siderne er lig med summen af de to andres kvadrater, så er det en retvinklet trekant. Eksempel Vi har en trekant med siderne 5, 12 og 13. Beregnes kvadraterne fås hhv. 25, 144 og 169. Det ses nemt, at = 169. Sætningen påstår så, at denne trekant er retvinklet. 68

69 Opgave Tegn en retvinklet trekant med kateter på 12 og 5 cm Beregn hypotenusens længde Begrund omhyggeligt, hvorfor din tegning har samme vinkler som trekanten i eksemplet med siderne 5, 12 og 13. Bevis Det generelle bevis overlades til dig selv. Opgave De oplyste tal er de tre sidelængder i 5 trekanter: T, S,... Sæt ud for de retvinklede. T: 16, 63, 65 S: 12, 16, 20 R: 20, 22, 29 P: 97, 72, 65 O: 65, 16, 63 Hvis trekanten er retvinklet, har du et pythagoræisk talsæt. Pythagoras i standardtrekanten Hvis v er en spids vinkel gælder cos 2 v sin 2 v =1 Bemærk betydningen af skrivemåden: cos 2 v =cos v cos v Bevis Tegningen ved siden af er en tilfældig valgt standardtrekant. Kald den ene spidse vinkel v. Skriv sidernes længder på tegningen. Benyt Pythagoras sætning. 69

70 Afstandsformlen Eksempel Opgaven er at beregne afstanden mellem P(-200;100) og Q(300;250) i det retvinklede koordinatsystem. Derfor dannes PQR; R vælges med det ene punkts x-værdi og det andet punkts yværdi. Her har R koordinaterne (300;-100). PR er dermed parallel med x-aksen og QR med y-aksen. Trekanten er derfor retvinklet og Pythagoras sætning kan anvendes. Først beregnes længderne af kateterne: q = (-200) = 500 og p = (-100) =350 Værdierne indsættes i: hyp2 = k12 + k22: hvorefter r2 = r2 = r = 610,3 r = 610 Det ses at, uanset om man beregner længden af kateten eller den tilsvarende negative 70

71 værdi, vil værdien af afstanden være den samme når tallene er indsat i formlen. Generelt fås sætningen: Hvis P(x1;y1) og Q(x2;y2) er 2 punkter i et retvinklet koordinatsystem, kan afstanden mellem dem beregnes som PQ = x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 Sætningen kan nemt generaliseres; i det 3-dimensionale rum fås helt tilsvarende: PQ = x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 Sinus og cosinus igen Vi har tidligere defineret sinus- og cosinusfunktionerne ved hjælp af standardtrekanter. Definitionerne var gældende for alle spidse vinkler. Der er herunder tegnet et koordinatsystem og en enhedscirkel. A ligger i (0 ; 0), B er et punkt på enhedscirklen (kaldet retningspunktet) og C er et punkt på x-aksen med samme x-værdi som B. Link til figur: Først bemærkes, at cos(a) = AC og at sin(a) = CB ifølge vor hidtidige definition, så længe B ligger i 1. kvadrant. Det vil sige, at koordinaterne til B(xB;yB) = (cos(a) ; sin(a)) sin(a) kunne derfor lige så godt være defineret som: sin(a) = yb, og tilsvarende for cos(a): cos(a) = xb. Hvis vi ændrer definitionen, får det ingen betydning for de hidtidige vinkler, men vi får nu mulighed for at finde sinus og cosinus til andre vinkler end hidtil. Ændringen af definitionen er en udvidelse; nu kan den anvendes på alle mulige vinkler: stumpe, rette, spidse osv. 71

72 Definition af sinus og cosinus (ny) For en vilkårlig vinkel v vælges (0 ; 0) som vinkelspidsen. Det ene vinkelben er x-aksen, det andet er en linje drejet vinklen v mod uret fra x-aksen. For v > 0 er x-aksen vinklens højre ben, for v < 0 er x-aksen venstre ben. Principielt kan et hvilkensomhelst gradtal (blandt de reelle tal) anvendes. Der hvor det drejede ben skærer enhedscirklen findes retningspunktet B(xB;yB). Så defineres sin(a) = yb, og cos(a) = xb. Herunder findes en enhedscirkel med en række retningspunkter. Lav en tabel med overskrifterne: Navn, Positiv vinkel, Negativ vinkel, cos(v), sin(v). Ud over rækken med overskrifter skal der være 8 rækker: en for hvert punkt. Benyt vinkelmåler. Udfyld tabellen. Forklar: hvorfor har fx vinklerne 120 og -240 samme sinusværdi? er der flere vinkler med præcis denne sinusværdi? hvor mange? Tegn en række tilfældige trekanter og mål sider og vinkler så præcist som muligt (med lineal og vinkelmåler.) Kald den første trekant ABC. Beregn brøkerne: a b c ; ; sin A sin B sin C Beregn de tilsvarende brøker for dine andre trekanter. Kan du se et mønster? Sammenlign dine beregninger med din sidemands beregninger. Kan I formulere en regel? (En sætning.) Hvis JA: skriv den herunder: 72

73 Sinusrelationerne I en vilkårlig ΔABC gælder: a b c = = sin A sin B sin C Bevis En vilkårlig ΔABC opdeles af en højde h i 2 retvinklede trekanter. I den brune retvinklede ΔACH er hypotenusen b; i forhold til vinkel A er h den modstående katete. Derfor gælder: h=b sin A Tilsvarende fås for den guleδbch, at hypotenusen er a og i forhold til vinkel B er h igen den modstående katete. Derfor fås: h=a sin B Da h er den samme i begge ligninger fås: b sin A =a sin B Divider begge sider med sin A sin B. b sin A a sin B = sin A sin B sin A sin B Forkort venstre side med sin A, forkort højre side med sin B. b a = sin B sin A På nøjagtig samme måde kan det vises ved at dele trekanten med højden fra B, at c a = sin C sin A Derfor er alle tre brøker lige store: a b c = = sin A sin B sin C hvilket skulle vises. 73

74 I beviset ovenover har vi forudsat, at ΔABC kunne opdeles i to retvinklede trekanter. Det er ikke altid tilfældet - se figuren her. Men bevis så, at også her gælder: h=b sin A Noter: hvor er den retvinklede trekant, hvor A er en spids vinkel og b er hypotenusen? h=a sin B Bemærk, at sin(b) = sin(180 -B) Derfor er det uden betydning, om højden falder indenfor eller udenfor trekanten. Typiske opgaver For at anvende sinusrelationerne skal du kende en af brøkerne, dvs. både tæller og nævner. Sagt på en anden måde: du skal kende både en vinkel og den tilsvarende modstående side. Så skal du yderligere kende en side eller en vinkel mere. Er den 3. oplysning en vinkel, kan du nemt beregne den sidste vinkel og indsætte de kendte tal i formlen: der er altid præcist et svar for de manglende størrelser. Er den tredje oplysning en sidelængde, kan der opstå 3 situationer: der er 1 løsning, 2 løsninger eller 0 løsninger.17 Hvordan kan det gå til? Se på figuren ovenover: her er vinkel A givet, c er givet og a er givet. De 2 første størrelser er vist på figuren. Forestil dig nu, at a er meget lille! hvad sker der så? eller a er meget stor! hvad sker der så? og endelig, at a har en mellemstørrelse. Find svarene ved at tegne cirkler på figuren. 17 Når der skal findes vinkler, kan du skrive sinusrelationerne: sin A sin B sin C = = a b c Hvorfor er det også rigtigt? Hvorfor er det praktisk? 74

75 Eksempel I ABC er A= 75 ; a = 5 og c = 4. Beregn manglende sider og vinkler. Svar Sinusrelationerne gælder i enhver trekant, derfor gælder: a c = eller sin A sin C sin A sin C = a c Ved indsætning fås: sin 75 sin C = sin 75 sin C = 5 4 sin 75 C=sin 1 5 C = 50,60 = 50,6 18 Derefter kan B beregnes med reglen om vinkelsummen i en trekant; Β = ,6 75 = 54,4 Den sidste side fås ved at anvende sinusrelationerne igen: a b = sin A sin B Ved indsætning fås: 5 b = sin 75 sin 54,4 5 sin 54,4 =b sin 75 b = 4,20 = 4,2 18 Sinus-ligningen har normalt to løsninger mellem 0 og 180 ; hvis v er løsning er 180 -v også en løsning. Dog skal det også gælde, at overfor den største side ligger den største vinkel. Men da a > c og A= 75 < ,6 = 129,4, kan C ikke være 129,4. I tilfældet her er der kun én løsning. Det kan også nemt indses ved at konstruere trekanten. 75

76 Trekantsberegninger med sinusrelationer19 I ABC er B= 68 og C = 59 ; c = 5. Beregn de manglende sider og vinkler. I ABC er Β= 68 og b = 8 og c = 10. Beregn de manglende sider og vinkler. Tegn en vilkårlig trekant og mål 3 af størrelserne heraf 1 eller 2 sider og mindst en vinkel overfor en kendt side. Beregn de manglende størrelser. Kontroller, at de beregnede mål stemmer overens med tegningen. Trekantens areal Arealet T for en vilkårlig trekant ABC kan beregnes som T = b c sin A = a c sin B = a b sin C Bevis I beviset for sinusrelationerne viste vi, at h c =b sin A =a sin B Vælges c som grundlinje og hc som højde gælder: T = h g= b sin A c= b c sin A og T = h g = a sin B c= a c sin B Den tredje sætning fås tilsvarende ved at benytte en af de andre højder. Cosinusrelationerne I en vilkårlig trekant gælder det, at a =b c 2 b c cos A b2=a 2 c 2 2 a c cos B c 2=a 2 b 2 2 a b cos C Huskeregel: Sætningen kaldes også "udvidet Pythagoras". Den ligner den alm. sætning, men der er til sidst et "rettelsesled" med alle 3 bogstaver. Vinklen skal svare til siden på venstresiden af ligninen. 19 Lav nøjagtige tegninger, hvor mål kan kontrolleres. 76

77 Bevis c=z w c deles ad H i linjestykkerne z og w 1.2 c 2= z 2 w2 2 z w fås af 1.1 z =b cos A som fås af sætningen om den hosliggende katete anvendt på den venstre (blå) retvinklede trekant h =b z 2 og 2 2 h =a w som fås af Pythagoras sætning anvendt på den blå og den røde trekant 2 som følger af 1.4 a 2 w 2=b 2 z a 2=b 2 z 2 w 2 2 a =b2 c 2 z 2 w 2 c 2 som følger af 1.5 idet 1.2 benyttes 1.6 a 2=b2 c 2 z 2 w 2 z 2 w 2 2 w z a 2=b2 c 2 2 z 2 2 w z a 2=b2 c 2 2 z z w som følger af 1.1 og a =b c 2 b cos A c a 2=b2 c 2 2 b c cos A QED 20 Det forudsættes stiltiende, at c kan deles i to linjestykker af punktet H (som er fodpunktet for højden.) Selvom det ikke er tilfældet kan sætningen også bevises, men det gøres ikke her. 77