Matematik 2 AL. Opgave 2 (20p)

Transkript

1 Opgver til besvrelse i 4 timer. Alle sædvnlige hjælpemidler må medbringes. Sættet består f 6 opgver. Opgve 1, 2, 3, 4, 5 og 6 er for de studerende, der hr læst efter nyt pensum. Opgve 1, 2, 3, 4, 5, og 6b er for de studerende, der hr læst efter gmmelt pensum. Ved hver opgve er et pointtl opgivet for korrekt besvrelse. Prøven er bestået ved opnåelse f mindst 55 points. Opgverne 1 6 er vedlgt i (let forkortet) engelsk version. I sættet betegner C n den cykliske gruppe med n elementer, tidligere noter benytter betegnelsen n. Opgve 1 (16p) Ld følgende 3 belske grupper f orden 24 være givet 1) Er nogle f disse grupper isomorfe? C 6 C 4 C 2 C 12 og C 24 2) Angiv for hver f grupperne den størst mulige orden et element kn hve. 3) Angiv en belsk gruppe med 24 elementer, som ikke er isomorf med nogle f ovennævnte grupper. 4) Angiv en ikke belsk gruppe med 24 elementer. Ld R betegne ringen f Gussiske hele tl i. (1) Fktoriser 3 i i irreducible fktorer i R. Opgve 2 (20p) (2) Find største fælles divisor for 3 i og 7 7i i R. (3) Ld S betegne fktorringen (residueringen) R i 2, hvor i 2 betegner idelet frembrgt f i 2 i R. For R betegnes endvidere med, s restklsse med hensyn til i 2. Vis, t der ved f h h, defineres en surjektiv ringhomomorfi fr på S. (4) Vis, t Ker f er et mksimlt idel i og find en frembringer for Ker f. 19. juni 1994/LK Opgvesættet fortsættes på side 2

2 Side 2 Opgve 3 (16p) Ld F betegne legemet med p elementer F p p. G betegner mtricerne på formen b F 1) Vis, t G 0 X G detx 0 udgør en gruppe med mtrixmultipliktion som komposition. 2) Det ønskes vist, t G 1 X G 0 detx 1 udgør en norml undergruppe i G 0. Find ntllet f elementer i G 1 for p 2 og 3. 3) Angiv gruppestrukturen f G 0 G 1 for p 2 og p 3. Opgve 4 (18p) Betrgt permuttionen p 0 i den symmetriske gruppe S 10, hvor p (1) Skriv p 0 som produkt f disjunkte cykler og ngiv p 0 s orden. (2) Gør rede for, t p 0 ikke er konjugeret til p 1 givet ved p (3) Vis, t der findes et q S 10 så q 1 p 1 q p 2 1 og find et sådnt q. (4) Vis, t der findes et element f orden 30 i S 10. Opgve 5 (10p) Betrgt polynomiumsringene t og 5 t, hvor 5 betegner legemet med 5 elementer 5. (1) Undersøg om t 2 1 er irreducible i nogle f de 2 ringe. (2) Er t t 2 1 eller 5 t t 2 1 et legeme? Opgvesættet fortsættes på side 3

3 Side 3 Opgve 6 (20p) Ld G 1 og G 2 være 2 endelige grupper. 1) Vis, t g i er konjugeret med g i i G i, i 1 2, hvis og kun hvis g 1 g 2 konjugeret med g 1 g 2 i G 1 G 2. 2) Angiv klsseligningen for C 4 S 3 og for S 4. 3) Vis, t diedergruppen D 12 hverken er isomorf mod C 4 S 3 eller S 4. (Vink: betrgt f.eks. elementer f orden 2). 4) Angiv en norml undergruppe H 1 (resp. H 2 ) f C 4 S 3 (resp. S 4 ) så fktorgruppen (kvotientgruppen) er isomorf med C 2 i begge tilfælde. Opgve 6b (20p) 1) Vis, t 8 S 3 er opløselig og ngiv en kompositionsrække. 2) Vis, t 8 S 3 hr et element f orden 24 og ngiv et sådnt. 3) Gør rede for, t 2 4 S 3 ikke er isomorf med 8 S 3. 4) Giv et eksempel på 2 grupper med smme kompositions fktorer som ikke er isomorfe. Opgvesættet fortsættes på side 4

4 Side 4. Let 3 belin groups of order 24 be given 1 (16p) C 6 C 4 C 2 C 12 nd C 24 1) Are ny of these isomorphic? 2) Determine the highest order of n element for ech of the groups. 3) Find n belin group with 24 elements not isomorphic to ny of the bove. 4) Find non belin group of order (20p) Let R denote the ring of Gussin integers, i. (1) Fctor 3 i into irreducible fctors in R. (2) Determine the gretest common divisor of 3 i nd 7 7i. (3) The residue ring R i 2 is denoted by S nd for R. Let denote the residue of in S. Prove tht the mp f defined by h h is surjective ringhomomorphism from to S. (4) Prove tht ker f is mximl idel nd determine genertor for ker f Let F denote the field with p elements 3 (16p) p nd let G denote the set of mtrices of the form 1) Prove tht G 0 X G detx 0 is group with mtrixmultipliction s composition. 2) Prove tht G 1 X G 0 detx 1 is norml subgroup of G 0. Find the number of elements in G 1 for p 2 nd p 3. 3) Also for p 2 nd 3 describe the group G 0 G 1. b F 4 (18p) Let the permuttion p 0 in the symmetric group S 10 be given by (1) Write p 0 s product of disjoint cycles. p Opgvesættet fortsættes på side 5

5 Side 5 (2) Prove tht p 0 is not conjugte of p 1, where p (3) Determine q S 10 such tht q 1 p 1 q p 2 1. (4) Find n element of order 30 in S (10p) Consider the two rings of polynomils t nd 5 t. (1) Is t 2 1 n irreducible element in ny of the two rings. (2) Is ny of the rings t t 2 1 nd 5 t 2 1 field. Let G 1 nd G 2 be 2 finite groups. 6 (20p) 1) Prove tht g i is conjugte of g 1 i 1 2 in G i, if nd only if g 1 g 2 is conjugte of g 1 g 2. 2) Find the clss equtions for C 4 S 3 nd S 4. 3) Prove tht the dihedrl group D 12 is not isomorphic to ny of the two groups C 4 S 3 nd S 4. (Hint: Consider elements of order 2). 4) Find norml subgroup H 1 H 2 resp.) of C 4 S 3 S 4 resp.) such tht the quotient is isomorphic to C 2 (C 2 resp.)