Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable"

Transkript

1 Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4 Fraktiler:...4 Skæve fordeliger:...5 Varias:...6 Spredig/stadardafvigelse:...6 Variatioskoefficiet:...6 Diskrete stokastiske variable:...7 Biomialfordelig:...7 Hypergeometrisk fordelig:...9 Poissofordelig:...11 Kotiuerte stokastiske variable:...1 Normalfordelige:...1 Ekspoetialfordelige:...14 Uiformfordelige:...15 Log-Normalfordelige:...16 Regeregler for stokastiske variable...17 Trasformatioer...18 Stikprøvefordeliger med kedt varias:...19 Uedelig populatio: (stikprøve lille i forhold til populatio)...19 Edelig populatio: (stikprøve stor i forhold til populatio)...19 Stikprøvefordeliger med estimeret varias:...0 t-fordelige:...0 χ -fordelige:...1 F -fordelige:... Iferes for geemsit...3 Maksimal fejl på et estimat...3 Kofidesiterval for geemsit...3 Sadsylighed og kofides...4 Hypotese test - geerelt...5 Fejltyper:...5 Iferes for Middelværdi...6 Hypotesetest af é middelværdi (t-test)...6 Sammehæg mellem hypotesetest og kofidesitervaller:...7 Hypotesetest for sammeligig af middelværdier (t-test):...8 Kofidesiterval for forskel i middelværdi...9 Parrede t-tests...9 Iferes for varias...30 Kofidesiterval for varias...30 Hypotesetest af é varias...30 Hypotesetest for sammeligig af to variaser

2 Iferes for adele...3 Puktestimat af adel:...3 Kofidesiterval (1-α)% for e adel:...3 Maksimal fejl på estimat:...3 Bestemmelse af stikprøvestørrelse, :...3 Hypotesetest for e adel...3 Hypotesetest for to adele s Kofidesiterval (1-α)% for forskelle mellem to adele...33 Hypotesetest for flere adele...33 Goodess of fit...34 Regressiosaalyse...35 Korrelatioskoefficiet...35 Simpel lieær model...36 Regressiosaalyse/iferes i regressios model...37 Hypotesetest om skærig med Y-akse...37 Hypotesetest om hældige...37 Kofidesitervaller...38 Variasaalyse...39 Esidet variasaalyse...39 (1-α) kofidesiterval for forskelle i middelværdi, s Tosidet variasaalyse / radomiseret blokforsøg s

3 Geerelt: Stokastisk variabel: E stokastisk variabel X er e fuktio defieret på Ω, der atager værdier på de reelle akse. Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel: (frekvesfuktio / hyppighed) Et godt plot af f(x) er histogram for kotiuerte variable og barchart for diskrete variable Sadsylighedsfuktio (Diskret variabel): S er udfaldsrummet for X Tæthedsfuktio (Kotiuert variabel): Husk at: E kotiuert stokastisk variabel har puktsadsylighed = 0 for alle udfald, dvs. Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel: Diskret variabel: Et godt plot er de kumulative fordelig. Kotiuert variabel: 3

4 Geerelt: Middelværdi: µ bliver estimeret af geemsittet x. Diskret variabel: μ = alle x x f (x) Kotiuert variabel: S er udfaldsrummet for X, ormalt (- ; ). Geemsit: x er et estimat af middelværdie. Diskret variabel: Grupperede data (i itervaller): Fraktiler: Defiitio: De p ede fraktil er e værdi, x p i datasættet, hvor midst p % af alle observatioer x p. For at udrege de p ede fraktil for observatioer, udreges k = p, hvor p er i %. 100 Dette tal fortæller oget om, hvilke observatio vi skal tælle op til. Vigtigt: Husk at orde datasættet, så observatioere står i umerisk rækkefølge. Hvis k ikke er et heltal, rudes op til æste observatio, som vil have værdie x p. Hvis k er et heltal, tages geemsittet af k og k + 1. Specielle fraktiler: Media: 50 % Nedre kvartil hhv. øvre kvartil : 5 % og 75 %. Decilere er 10%, 0%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80% og 90%. 4

5 Eksempel 1: Fide 5 % -fraktile (de edre kvartil) for 13 observatioer: Givet: p = 5 = 13. Derfor: k = 0,5 13 = 3,15. Da k ikke er et heltal, ruder vi op til 4. Derfor er x p = de 4. observatio. Eksempel Fide 50 %-fraktile (mediae) for 50 observatioer: Givet: p = 50 = 50 Derfor: k = 0,50 50 = 5. Da k er et heltal, skal vi fide geemsittet mellem observatio 5 og 6. Derfor er x p = x + x 5 6. Media: Mediae er 50%-fraktile, dvs. de midterste observatio i det ordede datasæt. Hvis ma har ekstremt afvigede værdier, er mediae at foretrække frem for middelværdie. For e symmetrisk fordelig er mediae = geemsittet x Skæve fordeliger: Hvis fordelige har e hale, så de ikke lægere er symmetrisk, er de skæv. Fordelige er højreskæv, år hale ligger til højre (positively skewed). Mediae for højreskæve fordeliger > x. For delige er vestreskæv, år hale ligger til vestre (egatively skewed). Mediae for vestreskæve fordeliger < x. 5

6 Geerelt: Varias: Diskrete variable: σ = (x μ) f (x) alle x Grupperede data (i itervaller): Kotiuerte variable: S er udfaldsrummet for X, ormalt (- ; ). Spredig/stadardafvigelse: σ = σ Variatioskoefficiet: Bruges hvis ma skal sammelige variatioe mellem forskellige datasæt. 6

7 Diskrete stokastiske variable: Diskrete stokastiske variable er tællevariable, der tager heltalsværdier. Biomialfordelig: = atal forsøg p = sadsylighedsparameter Bruges år: Verde ka deles op i to, dvs. der ka tælles atal succes og atal fiaskoer. Et udfald er uafhægigt af tidligere udfald, dvs. p er kostat/ sadsylighede for succes er es for alle forsøg. Eksempler på brug: Stikprøver med tilbagelægig Vælgertilslutig til Vestre bladt 500 vælgere Atal korrekte svar i e multiple choice test med 5 spørgsmål Hvor mage seksere der slås på 6 slag Hvor mage gage ma får kroe ud af 10 kast med e møt Sadsylighedsfuktio: f (x) = P(X = x) = p x (1 p) x x NB: husk for at udrege, bruges kommadoe Cr(, x) / Cr(øverst, ederst) på TI89 x Fordeligsfuktio: Disse værdier ka fides i tabelle s Middelværdi: Varias: 7

8 Diskrete stokastiske variable: Diskrete stokastiske variable er tællevariable, der tager heltalsværdier. Biomialfordelig: Approksimatio af biomialfordelige vha. Poissofordelige Biomialfordelige ka approksimeres med poissofordelige, hvis er tilstrækkeligt stort og p tilstrækkeligt lille. Herved fås λ = p. E tommelfigerregel er, at dee approksimatio ka avedes år 0 og p 0,05. Hvis 100, er det dog tilstrækkeligt, at p 10. Hvis p er tæt på 0,50, avedes ormalfordelige til at approksimere (se edefor). Approksimatio af biomialfordelige vha. ormalfordelige Biomialfordelige ka approksimeres med ormalfordelige, hvis er stor og p er tæt på 0,50. Herved udreges Z: X p Z = p (1 p) hvor Z følger e stadardormalfordelig med µ = 0 og σ = 1. Dee trasformatio er idetisk med trasformatioe der ormalt avedes til at stadardisere ormalfordeliger, da µ = p og σ = p (1-p) for biomialfordelige. Det er vigtigt at ædre græsere for Z, da biomialfordelige er e diskret fordelig, hvor ormalfordelige er e kotiuert fordelig. (Forskelle ligger i at de diskrete fordelig udelukkede består af puktsadsyligheder, hvorimod puktsadsylighede i de kotiuerte = 0.) Hvis ma fx skal fide P(X 8), vil de X-værdi, ma skal idsætte i formle, være 8,5, da ormalfordeliges iterval (7,5 ; 8,5) dækker biomialfordeliges X = 8. Hvis ma fx skal fide P(X < 8), vil X-værdie være 7,5, da, hvad der svarer til biomialfordeliges X = 8, ikke skal være ikluderet. Hvis ma fx skal fide P(3 X < 8), vil de to X-værdier skulle være hhv.,5 og 7,5. 8

9 Diskrete stokastiske variable: Diskrete stokastiske variable er tællevariable, der tager heltalsværdier. Hypergeometrisk fordelig: = atal forsøg a = atal defekte i populatioe N = populatioes størrelse Bruges år: Verde ka deles op i to, dvs. der ka tælles atal succes og atal fiaskoer. Et udfald er afhægigt af tidligere udfald, dvs. p ikke er kostat/sadsylighede for succes ædrer sig for hvert forsøg. Eksempler på brug: Stikprøver ude tilbagelægig Sadsylighede for at få 5 hjerter hvis ma udtager 5 kort fra et almideligt spil kort. Sadsylighede for at få blå bolde, hvis ma udtager 5 bolde fra e pose med 15 blå bolde og 5 røde. Sadsylighede for at fide 10 defekte fjersy ud af e prøve på 0, år prøve er taget fra et parti på 80 ideholdede 34 defekte. Sadsylighedsfuktio: NB: husk Cr(øverst, ederst) på TI89 Fordeligsfuktio: Middelværdi: Varias: σ = a N (1 a N ) (N N 1 ) 9

10 Diskrete stokastiske variable: Diskrete stokastiske variable er tællevariable, der tager heltalsværdier. Hypergeometrisk fordelig: Approksimatio af de hypergeometriske fordelig vha. biomialfordelige: De hypergeometriske fordelig ka approksimeres med biomialfordelige, år stikprøve () er lille i forhold til populatioe (N). N skal være midst 10, før dee approksimatio ka avedes. De approksimerede biomialfordeligs parametre er så =, og p = a N. 10

11 Diskrete stokastiske variable: Diskrete stokastiske variable er tællevariable, der tager heltalsværdier. Poissofordelig: λ = itesitete/geemsittet pr. ehed Bruges år: Verde ikke ka deles op i ete succes eller fiasko. Fx hadler det ikke om e bombe slår ed eller ej, me hvor mage bomber der slår ed. Fordelige karakteriseres ved λ, som er itesitete af vores variabel. λ agives på forme atal pr. oget (fx pr. dag/pr. areal/pr. perso etc.). Poissofordelige bruges ofte, år der ikke er oge aturlig øvre græse for λ. Poissofordelige avedes, år det ikke er muligt at tælle, hvor mage fiaskoer, der ikke er. Dvs. det totale atal fiaskoer ikke kedes. Eksempler på brug: Hvor mage persoer der idlægges pr. dag grudet luftforureig. Hvor mage kuder der går id i et supermarked på e time. Hvor mage computere der går ed på e dag. Hvor mage gestade alkohol Jae drikker på e gaske almidelig uge. Hvor mage fejl der er pr. meter sejlgar Sadsylighedsfuktio: år λ > 0 Fordeligsfuktio: Se tabel s. 570 Middelværdi: Varias: 11

12 Kotiuerte stokastiske variable: Kotiuerte stokastiske variable er måledata, der derfor er reelle tal. Sadsylighedere reges i itervaller. Normalfordelige: μ = middelværdie σ = variase Stadardormalfordelige (også kaldet Z-fordelige) er; P(Z X) ka fides i Tabel 3. Bruges år: Ma har kotiuerte observatioer, som har e klokkeformet sadsylighedsfuktio, Eksempler på brug: Fordelige af værepligtiges højde Vægte af melposer fyldt af e robot Tide det tager for e ambulace at å frem til e givet distace Hvor lag tid det tager at poppe e pose mikrobølgeovspopcor Tæthedsfuktio:, - < x < Fordeligsfuktio: For stadardormalfordelige se forrest i boge eller Tabel 3 HUSK at for stadardormalfordelige gælder at Middelværdi: Varias: 1

13 Kotiuerte stokastiske variable: Kotiuerte stokastiske variable er måledata, der derfor er reelle tal. Sadsylighedere reges i itervaller. Normalfordelige: Stadardiserig: Ka stadardiseres ved at berege: Der gælder da, at Og at Husk i øvrigt at P(Z 1 X Z ) =Φ(Z ) Φ(Z 1 ) Itervallet [μ-σ,μ+σ] rummer mere ed halvdele af udfaldee. 13

14 Kotiuerte stokastiske variable: Kotiuerte stokastiske variable er måledata, der derfor er reelle tal. Sadsylighedere reges i itervaller. Ekspoetialfordelige: Bruges til: At beskrive levetider og vetetider. At beskrive (vete)tide mellem hædelser i poissofordelige. Eksempler på brug: Tide der går mellem kuders akomst til et supermarked. Hvor lag tid der går mellem idlæggelser pga. luftforureig. Hvor lag tid der går mellem computere går ed. Hvor lag tid der går mellem Jaes idtagelse af alkohol. Hvor mage cm der er mellem fejl på et stykke sejlgar Tæthedsfuktio: ß = 1 λ Fordeligsfuktio: Sadsylighede for at vetetide er midre ed x: x x x 1 F(X x) = e β β dx = 1 e 0 β Sadsylighede for at vetetide er over x: x x x 1 β β β F( X x) = e dx= 0 ( e ) = e β Middelværdi: x Varias: Sammehæg med Poissofordelige: Poisso: Diskrete hædelser pr. ehed Ekspoetial: De kotiuerte afstad mellem diskrete hædelser 14

15 Kotiuerte stokastiske variable: Kotiuerte stokastiske variable er måledata, der derfor er reelle tal. Sadsylighedere reges i itervaller. Uiformfordelige: Bruges år: Der er e kotiuert stokastisk variabel hvor alle udfald i et iterval er lige sadsylige Eksempel på brug: Trykket på fælge uder bremseklodse, år ma bremser på si cykel. Tæthedsfuktio: For α < x < β. For alle adre x er f (x) = 0. Middelværdi: Varias: 15

16 Kotiuerte stokastiske variable: Kotiuerte stokastiske variable er måledata, der derfor er reelle tal. Sadsylighedere reges i itervaller. Log-Normalfordelige: α = µ, β =σ. Bruges år: Når de stokastiske variabel er ormalfordelt, hvis ma tager l af P(X). Eksempler på brug: Itervallet mellem superova-eksplosioer. Forstærkelse af trasistorsigaler Tæthedsfuktio: Når x > 0 og β > 0 Ellers er f(x) = 0 Middelværdi: Varias: Trasformerig til stadardormalfordelig: Ka stadardiseres ved at berege: 16

17 Regeregler for stokastiske variable s. 183 Geerelt E(X) = de forvetede værdi af X (på egelsk: expected value) = middelværdie = µ. Var(X) = variase af X = σ. X er e stokastisk variabel, a og b er kostater. E(X) E(aX + b) = ae(x) + b E(a 1 X 1 + a X a X ) = a 1 E(X 1 ) + a E(X ) a E(X ) Var(X) Var(aX + b) = a Var(X) Var(a 1 X 1 + a X a X ) = (a 1 ) Var(X 1 ) + (a ) Var(X ) (a ) Var(X ) Vigtigt! Når ma skal bestemme variase, er det vigtigt at fide ud af, om ma får iformatio om variase for hvert ekelt X (uafhægige variable) eller blot om geemsitsvariase for alle X (afhægige variable). Hvis ma ku keder geemsitsvariase, bruges de første formel ( der sættes i.). Hvis ma keder variase for hvert ekelt X, svarer det til at bruge de ade formel ( der sættes ikke i.). Da a i = 1 for alle X i, vil alle (a i ) = (-1) /1 = 1. Derfor skal ma blot lægge variasere samme. Eksempel: Der er blevet taget tid på, hvor lag tid det tager for e computer at læse e chip. E(X) = sekuder og Var(X) = 0,05 sekuder. Desude tager computere præcis 60 sekuder om at starte op. Fid E(00X + 60) og Var(00X + 60) E(00X + 60) = 00 E(X) + 60= = 460 sekuder For at fide Var(X), skal det først bestemmes om X er e afhægig eller e uafhægig variabel: Hvis ma tester de samme chip 00 gage, er X e afhægig variabel. Derfor er Var(00X + 60) = 00 Var(X) = 00 0,05 = 000 sekuder Hvis ma tester 00 forskellige chips é gag hver, er X e uafhægig variabel. I dette tilfælde er Var(00X + 60) = Var(X) + Var(X) Var(X) = 00 Var(X) = 10 sekuder. 17

18 Trasformatioer s. 193 Hvis ma har meget skæve fordeliger, ka ma formidske ekstreme værdiers idflydelse på datasættet ved at trasformere datasættet. I 99% af alle tilfælde avedes l(x). Derved vil e vestreskæv fordelig blive klokkeformet og derfor kue approksimeres med e ormalfordelig. For vestreskæve fordeliger: (hale er til vestre) Her skal store værdier gøres midre. Her avedes oftest: l(x) 1 x x 4 x For højreskæve fordeliger (hale er til højre): Her skal store værdier gøres større: Der avedes ofte: x x 3 18

19 Stikprøvefordeliger med kedt varias: s. 09 X er middelværdie for stikprøve. X = 1 x i i= 0 Uedelig populatio: (stikprøve lille i forhold til populatio) Bruges år: Stikprøve er lille i forhold til populatioe. Der kedes: µ og σ (populatioes middelværdi og varias) Fordelig: Uaset selve populatioes fordelig, vil stikprøves X altid følge e ormalfordelig, år stikprøvestørrelse gøres stor ok (se figurer s. 13). X følger e fordelig med middelværdi μ og varias X er ka tilærmes med ormalfordelige σ X N μ, Stadardiserig: Ifølge de cetrale græseværdisætig s. 1 vil X μ Z = σ / Z følger e stadardormalfordelig for Edelig populatio: (stikprøve stor i forhold til populatio) Bruges sjældet Bruges år: Stikprøve er stor i forhold til populatioe Der kedes: µ og σ (populatioes middelværdi og varias) Fordelig: X følger da e fordelig med middelværdi μ og varias 19

20 Stikprøvefordeliger med estimeret varias: s. 16 X er middelværdie for stikprøve. X = 1 x i i= 0 S er de estimerede varias af stikprøve. S = 1 1 (X i X ) i=1 t-fordelige: Mider meget om ormalfordelige, er også symmetrisk omkrig 0. Me t-fordelige er bredere. Bruges til: Det er e stikprøvefordelig for middelværdie Fordelige: X t = μ S t er da e stokastisk variabel og følger e t-fordelig med parameter υ = -1 υ kaldes frihedsgrade Opslag: Tabel 4, s. 587 Ved t α (υ) forstås de værdi således at HUSK at i t-fordelige læser ma større ed eller lig med i tabelle, modsat ormalfordelige. Ka approksimeres med: Stadardormalfordelige, hvis υ > 9 for da er det stort set det samme. Der gælder at: t( ) = stadardormalfordelig e t-fordelig er bredere ed e stadardormalfordelig 0

21 Stikprøvefordelig for variase: s. 18 X er middelværdie for stikprøve. X = 1 x i i= 0 S er de estimerede varias af stikprøve. S = 1 1 (X i X ) i=1 χ -fordelige: χ -fordelige er ikke symmetrisk, er vestreskæv. Bruges til: Det er e stikprøvefordelig for variase. Fordelige: χ er da e stokastisk variabel og følger e χ -fordelig med parameter υ = -1 υ kaldes frihedsgrade Opslag: Tabel 5, s. 588 Ved χ α(υ) forstås de værdi således at HUSK at i χ -fordelige læser ma større ed eller lig med i tabelle, modsat ormalfordelige. 1

22 Stikprøvefordelig for sammeligede variaser: s. 0 X er middelværdie for stikprøve. X = 1 x i i= 0 S er de estimerede varias af stikprøve. S = 1 1 (X i X ) i=1 F -fordelige: F-fordelige er ikke symmetrisk Bruges til: Det er e stikprøvefordelig for sammeligig af variaser. Når: Der haves stikprøver fra to ormalfordeliger med samme varias. S 1 er de estimerede varias af de ee stikprøve med størrelse 1. S er de estimerede varias af de ee stikprøve med størrelse. Fordelige: F er da e stokastisk variabel og følger e F-fordelig med parametre υ 1 = 1-1 og υ = -1 υ kaldes frihedsgrade. Opslag: Tabel 6, s. 589 og frem Ved F α (υ 1,υ ) forstås de værdi således at HUSK at i F-fordelige læser ma større ed eller lig med i tabelle, modsat ormalfordelige. OBS! Der er e tabel for hver sadsylighed se toppe. F 0,05 betyder at 5% er over værdie.

23 Iferes for geemsit s. 6 Stikprøve skal være repræsetativ for populatioe. Følgede er mål for, hvor god stikprøve er: Cetral estimator: Stikprøve skal være cetreret omkrig de sade middelværdi (ubiased). Efficiet estimator: Variase på stikprøve skal være så lille som muligt. Maksimal fejl på et estimat Forudsætig: Observatioere skal kue atages at være ormalfordelte. σ kedt: De maksimale fejl med sadsylighed 1-α er: σ E1 α = zα/ z α/ fides i stadardormalfordelige, tabel 3, eller i ederste lije i tabel 4. σ ukedt, > 30: E1 α = zα/ S σ ukedt, < 30: E1 α = tα/ S t α/ fides i tabel 4, med frihedsgrad v = -1 Stikprøvestørrelse Bereges ud fra de maksimale fejl ma vil have på sit geemsit, med (1-α)100% sasylighed. zα / σ = E Kofidesiterval for geemsit Itervalestimat vi ka med 1-α sikkerhed (kofides) atage at X ligger ide for dette iterval. σ kedt: σ σ x zα/ < μ < x+ zα/ σ ukedt, > 30: 3

24 S x zα/ < μ < x+ zα/ σ ukedt, < 30: S x tα/ < μ < x+ tα/ Sadsylighed og kofides Sadsyligheder udtaler sig om fremtide. Kofides udtaler sig om allerede målte data. S S 4

25 Hypotese test geerelt s. 38 Nul hypotese, H 0 : μ = μ 0 : Udgagspukt, som vi øsker at forkaste ud fra stikprøve. Alterativ hypotese, H 1 : μ μ 0 : Står i modsætig til H 0 og er de hypotese, vi øsker at sadsyliggøre. Esidet alterativ: H 1 : μ < μ 0 H 1 : μ > μ 0 Tosidet alterativ: H 1 : μ μ 0 Fejltyper: Vi accepterer H Vi forkaster H H er sad Korrekt beslutig Fejl af type 1 H er falsk Fejl af type Korrekt beslutig Type 1: Made er uskyldig, me dømmes skyldig Type : Made er skyldig, me frikedes P(fejl af type 1)=α, er som regel 0,05 eller 0,01 = sigifikasiveauet P(fejl af type )=β, ka ikke styres Ædrig af fejle ved hypotesetest Ma ka ædre på fejle ved hypotesetest. Dette sker ved at ædre på parametree α eller. Hvis ma øger, vil ma midske sadsylighede for fejl af både type 1 og type. Hvis ma øger α, midsker ma risikoe for type 1 fejl, me øger samtidig risikoe for type -fejl. E tests styrke er defieret ved 1 β. 5

26 Iferes for Middelværdi s. 46 Hypotesetest af é middelværdi (t-test) Bruges år: Det er e forudsætig, at observatioere er ormalfordelte. Det skal testes, om ma ud fra data ka bestemme, om de foreslåede μ 0 er sadsylig. Metode: Opstil hypotesere H 0 (ofte μ = μ 0 ) og H 1, og vælg sigifikasiveau α Husk at lighedsteget skal stå i H 0. Bereg teststørrelse: σ kedt: Stadardormalfordelige bruges: X μ Z = 0 σ Z N(0,1 ) σ ukedt, > 30: Stadardormalfordelige bruges: X μ Z = 0 S Z N(0,1 ) σ ukedt, < 30: t-fordelige bruges X μ t = 0 S t t(v), hvor υ = -1 Beregig af kritisk værdi: Slå op i t-fordelige med υ = 1 frihedsgrader, z-fordelige svarer til v = Beregig af P-værdi: P-værdie er sadsylighede for e midst lige så ekstrem værdi som de kritiske værdi. Fås ved at slå de fude Z-værdi op i tabelle og fide de tilsvarede sadsylighed p = P(Z k)=1- P(Z k)=. Hvis P-værdie er midre ed α, forkastes H 0. Ka ku udreges, hvis observatioere følger e ormalfordelig og σ er kedt. 6

27 Iferes for Middelværdi Hypotesetest af é middelværdi (t-test) Metode - fortsat: Sammelig teststørrelse og kritisk værdi Sammelig P-værdi og sigifikasiveau. Sammehæg mellem hypotesetest og kofidesitervaller: s. 51 Hvis ma har et (1-α) 100% - kofidesiterval, svarer det til acceptområdet af ulhypotese, hvis ma laver e tosidet test. Dvs. at ulhypotese accepteres, hvis de kritiske værdi ligger ide for kofidesitervallet med samme sigifikasiveau. 7

28 Iferes for middelværdi Hypotesetest for sammeligig af middelværdier (t-test): s. 60 Bruges år: Der sammeliges geemsit for stikprøver; Stikprøve 1: 1, X 1, s 1 Stikprøve :, X, s Forudsætig: x1 og x skal være uafhægige. Ma atager at observatioere er ormalfordelte. Der er variashomogeitet : s 1 = s. Dette kotrolleres med e F-test. Hvis der ikke er variashomogeitet, skal ma bruges kors -formle i tabelle på æstsidste side. Metode: Først opstilles H 0, som oftest er af forme H 0 : µ 1 - µ = δ Som alterativ hypotese har ma ete µ 1 - µ > δ, µ 1 - µ < δ eller µ 1 - µ δ Teststørrelse bereges: For stikprøver med kedte variaserσ 1 og σ Z = (X X ) δ 1 σ 1 + σ, hvor Z N(0,1 ) 1 For stikprøver 30, med ukedte variaser Z = (X X ) δ 1 s 1 + s, hvor Z N(0,1 ) 1 For stikprøver 30 og med ukedte variaser t = (X 1 X ) δ s p + s, hvor s p = ( 1)s ( 1)s og t t(ν), hvor ν = 1 + p Beregig af kritisk værdi: Dette gøres vha. t-fordeligstabelle, hvor ma har bestemt frihedsgrade. For ormalfordelige er frihedsgrade = Teststørrelse og de kritiske værdi sammeliges: 8

29 Kofidesiterval for forskel i middelværdi Ma ka for store stikprøver berege et (1-α) kofidesiterval for δ=u 1 -u : s x 1 x ± z 1 α + s. 1 Hvis σ 1 og σ kedes, bruges de i stedet for s 1 og s. For små stikprøver med ukedt σ 1 og σ bereges et (1-α) kofidesiterval for δ=u 1 -u : x 1 x ± t α ( 1 1)s 1 + ( 1)s , hvor frihedsgrade i t-fordelige er Parret t-test s. 68 Parrede t-tests avedes, år ma har to datasæt, som er parret/uafhægige/beskriver e udviklig i populatioe/stikprøve. Fx hvor mage cigaretter mødre ryger før og efter fødsle, hvor mage kilo ma har tabt efter 4 uger, etc.. Det er e ødvedig forudsætig, at observatioere er ormalfordelte. Metode: Ma fider blot forskelle mellem alle sæt af værdier, D=Y-X, og behadler det som et helt almideligt datasæt med e middelværdi, d. Dee middelværdi beskriver e mulig ædrig (hvis de er sigifikat forskellig fra 0), og kofidesitervallet er: S d t d t D D α < μd < + α med frihedsgrad -1 S 9

30 Iferes for varias s. 81 Kofidesiterval for varias ( 1) S χ α < σ ( 1) S < χ 1 α Fraktilere for χ har υ = 1 frihedsgrader HUSK: kofidesitervallet er ikke ødvedigvis symmetrisk! Hypotesetest af é varias S = 1 1 (X i X ) i=1 Bruges år: Det er e forudsætig, at observatioere er ormalfordelte. Det skal testes, om ma ud fra data ka bestemme, om de foreslåede σ er sadsylig. Metode: Opstil hypoteser H 0 (ofte σ = σ 0 ) og H 1, og vælg sigifikasiveau (α) Husk at lighedsteg skal stå i H 0. ( 1) S Bereg teststørrelse: χ = σ 0 Beregig af kritisk værdi: slå op i χ -fordelige tabel 5 med υ = 1 frihedsgrader Sammelig teststørrelse og kritisk værdi 30

31 Iferes for varias Hypotesetest for sammeligig af to variaser, F-test s. 86 S = 1 1 (X i X ) i=1 Bruges år: Ma har to stikprøver og vil sammelige deres varias. Det er ataget at data fra begge stikprøver er ormalfordelt vigtigt! Metode: Opstil hypoteser H 0 (ofte σ 1 = σ ) og H 1, og vælg sigifikasiveau (α) Husk at lighedsteg skal stå i H 0. Bereg teststørrelse: se tabel edefor. HUSK at kvadrere S ere! Beregig af kritisk værdi: slå op i F-fordelige tabel med frihedsgrader se tabel edefor Sammelig teststørrelse og kritisk værdi Kofidesiterval for to stikprøver hvor variase ka atages at være es (= ˆ σ p ): ( + ) ˆ σ ( + ) ˆ σ 1 p 1 p < σ < χα χ1 α Hvor frihedsgrade for Ki^ er

32 Iferes for adele (s. 9) Puktestimat af adel: x pˆ = hvor p ˆ [0;1 ] Det kræves at > for at få et præcist estimat. Kofidesiterval (1-α)% for e adel: Bruges ved e stor stikprøve. x x x x 1 1 x x z α/ < p< + z α/ Maksimal fejl på estimat: s. 96 p(1 p) E = zα / Hvis estimatet ˆp bruges i stedet for parametere p, fås et estimat af E. Bestemmelse af stikprøvestørrelse, : s. 96 p estimeret: zα / = (1 ) p p E p ukedt (p atages at være ½, da det kræver de største stikprøve): 1 zα / = 4 E Hypotesetest for e adel: s. 98 Gælder for store stikprøver 1. H 0 : p=p 0 H 1 : p p 0 eller p<p 0 eller p>p 0 X p0. Teststørrelse: Z = p0(1 p0) 3. H 0 forkastes hvis Z >z α (z α/ ) 3

33 Hypotesetest for to adele (s. 304) Sammeligig af adele for to forskellige biomialfordelte populatioer. Kræver store stikprøver! H 0 : p 1 =p Z = X X pˆ(1 pˆ) + 1 hvor pˆ = X + X Kofidesiterval (1-α)% for forskelle mellem to adele p 1 -p X1 X1 X X 1 1 X X ± z + α / 1 1 Hypotesetest for flere adele, atalstabeller (s. 309) Sammeligig af adele for flere ed to forskellige populatioer, eller udersøgelse af sammehæge med flere iddeliger. Tabelle ideholder diskrete data. Fx: Er stemmefordelige es 4 uger før og uger før valget? Er det de samme, som får gode karakterer i matematik og statistik? Er der e sammehæg mellem IQ og hårfarve? De observerede hyppigheder er opstillet/givet i e tabel. Start med at lægge alle værdier i de ekelte søjler og rækker samme! χ -fordelige er her e approksimatio, derfor: Alle de forvetede hyppigheder skal være større ed 5! H 0 : p 1 =p = =p k H 1 : o H 0 - dvs. altid esidet test! Eller: H 0 : uafhægighed mellem rækker og søjler. H 1 : afhægighed dvs. altid esidet test! Teststørrelse: r s χ = ( oij eij ) e i= 1 j= 1 ij o ij er de observerede værdi og e ij er de forvetede værdi. e ij udreges ved at tage rækkesumme søjlesumme de totale sum Forkast H 0, hvis χ > χ α (atal rækker-1)(atal søjler-1). Altid esidet, brug altid alpha. 33

34 Goodess of fit (s. 311) Udersøger hvor godt et datasæt følger e bestemt fordelig. Typisk er der givet to søjler, hvor de ee søjle ideholder de stokastiske variabel, og de ade søjle ideholder hyppigheder. Ma atager at datasættet har e bestemt fordelig, fx at de er ormalfordelte eller poissofordelte. Så udreges de hyppigheder, ma ville forvete, ud fra dee fordelig. (=sadsylighedere gage det totale atal observatioer) Disse sammeliges med de observerede værdier o i, ved at udrege teststørrelse χ. χ k ( oi ei) = e i= 1 i Hvis χ > χ (k-1-m), forkastes H 0, og datasættet ka ikke atages at have dee fordelig. k er atal kategorier / iddeliger, og m er atal estimerede parametre, som bruges i modelle. Ex: Hvis vi atager, at dataee følger e Poisso-fordelig med λ=λ 0, er m=1 Hvis vi atager, at dataee er ormalfordelte, med μ=μ 0 og σ = σ 0, er m= Hvis e forvetet hyppighed er uder 5, må e eller flere grupper slås samme, så både de forvetede hyppighed og de observerede hyppighed stiger. 34

35 Regressiosaalyse Bruges år: Det ee udfald afhæger af det adet. To kotiuerte variable. Korrelatioskoefficiet s. 374 Korrelatioskoefficiet: 1 xi x yi y r = ( )( ) = 1 s s i= 1 Der gælder at r [ 1,1 ] Hvis r = 1 haves e fuldstædig lieær forbidelse med positiv hældig Hvis r = -1 haves e fuldstædig lieær forbidelse med egativ hældig Hvis r = 0 er de slet ikke lieær r udtrykker grade af lieær sammehæg Forklarigsgrade, del af variatioe der bliver dækket af modelle = r Hvis r > 0,8 er det e god model Hvis r > 0,5 er det e brugbar model x y S S xx xy S yy (S ere er defieret på æste side) 35

36 Regressiosaalyse Simpel lieær model s. 338 Y = α + β x + ε Hvor Y = afhægig kotiuert variabel x = uafhægig kotiuert variabel α = skærig med Y-akse β = hældig ε = residual (tilfældig fejl) HUSK: at her avedes a + bx og ikke som ormalt ax + b Midste kvadraters metode: Bruges år residualere er tilfældigt spredt og ikke følger et møster. Går ud på at miimere de kvadratiske afstad mellem pukter og liie Der defieres: xx = ( i ) = x ( 1) i= 1 yy = i = y i= 1 S x x s S ( y y) s ( 1) S xy = i= 1 ( x x)( y i i y) S xy β ka estimeres med b = S xx α ka estimeres med a = y b x Excel: Idtast data Marker data Tryk på guide diagram (diagram iko) Vælg xy pukt plot Vælg det hvor de ikke hæger samme Tryk udfør Højreklik på e af prikkere i diagrammet og vælg tilføj tedesliie Uder faebladet type vælg lieær Uder faebladet idstilliger hakkes af i vis ligig og vis R-kvadreret værdi i diagram Tryk ok 36

37 Regressiosaalyse/iferes i regressios model Modelles usikkerhed: Det atages at ε er uafhægige og ormalfordelte stokastiske variable med middelværdi 0 og kostat varias σ. σ ka estimeres med s e = S yy ( S xy ) / S xx Hypotesetest om skærig med Y-akse Ka α fx atages at være 0? H 0 : H 1 : a = α a α Teststørrelse er: ( a α) S xx t = s S + ( x) e Kritisk værdi: t α / ( v) Hvor v = Forkast H 0 hvis t > t ) xx α / ( v Hypotesetest om hældige H 0 : b = β H 1 : b β Hvis b = 0 er der ige sammehæg og derfor ige model. Teststørrelse er: ( b β ) t = S xx s e Kritisk værdi: t α / ( v) Hvor v = Forkast H 0 hvis t > t ) α / ( v 37

38 Regressiosaalyse/iferes i regressios model Kofidesitervaller s. 346 Kofidesiterval for α: a ± t α / s e 1 ( x) + S xx Kofidesiterval for β: 1 b ± t α / se S xx Kofidesiterval for α + βx 0 : Kofidesiterval for modelle i puktet x 0. ( a β x ) ± t + 0 α / s e 1 ( x0 x) + S xx Bruges til at se på hvor geemsittet af Y-værdier ligger. F.eks. atal kroer i geemsit pr. uge Prædiktiositerval for α + βx 0 : Prædiktiositerval for modelle i puktet x 0. ( a β x ) ± t + 0 α / s e 1 ( x0 x) 1+ + S Bruges til at forudsige é målig. F.eks. atal kroer i æste uge. Prædiktiositervallet er bredere ed kofidesitervallet. xx 38

39 Variasaalyse (Aova) Tabellere mider om atalstabeller, me ideholder kotiuerte måliger (Y). X iddeles i grupper. Er der forskel i middel på gruppere? Ma skal atage at variasere i hver gruppe er es, og at observatioere er ormalfordelte. Esidet variasaalyse (s. 400) E faktor testes. (Excel: vælg Aova ekelt faktor) Fx om Mærkeligt ok testes forskelle i middelværdier ved at sammelige variaser og deres fordelig. Y ij = μ + α i + ε ij Det atages at fejleeεij N(0, σ ) Altså at der ikke er oge systematik i fejlee, og at alle fejl har samme variatio. μ er geemsittet for alle måliger. α i er : i te kategoris geemsit μ. (rækkeeffekte) Det vil sige, at hvis α i overalt er 0, er middelværdiere es. H 0 : α i = α j for alle i,j. H 1 : α i α j midst ét i,j Det ka udersøges hvor meget af de totale variatio (SST), der skyldes forskelle i kategorieres middelværdier(ss(tr)), og hvor meget der skyldes fejl(sse). SST=SS(Tr)+SSE Teststørrelse F: SS( Tr)/( k 1) F = SSE /( N k) hvor N er det totale atal observatioer, og k er atal kategorier eller grupper. Forkast H 0, hvis F > F α (k-1,n-k) (brug ALTID α, og ikke α/) Sum of squares/ kvadratafvigelsessummer ( hjælpestørrelser): Se også s T C = N Hvor T er summe af alle observatioer, og N er atal observatioer, k i SST = y C i= 1 j= i ij Udreges ved at kvadrere alle observatioer, lægge dem samme og trække C fra 39

40 k Ti SS( Tr) = C i= 1 i Udreges ved at lægge alle observatioer samme i i te kategori, kvadrere dee sum, dividere de med atal observatioer i kategorie, og trække C fra. Også lig med: De kvadrerede forskel mellem hver observatio i de i te kategori og geemsittet i de i te kategori, gaget med atal observatioer i de i te kategori. SSE = SST-SS(Tr) Variatiosaalysetabel Variatioskilde Sum of squares Frihedsgrader S Teststørrelse F Behadlig/Treatmet SS(Tr) k-1 S tr= SS(Tr)/(k-1) S tr/s err Residual/Error SSE N-k S err= SSE/(N-k) Total SST N-1 Totale atal frihedsgrader = Frihedsgrader for behadlig Frihedsgrader for residualere (1-α) kofidesiterval for forskelle i middelværdi (s. 410) 1 1 yi yl ± tα / s i l Brug at s = S err= SSE/(N-k) y i og yl er geemsit for de ekelte behadliger. Frihedsgrade for t er fejles frihedsgrad, altså N-k. Tosidet variasaalyse / radomiseret blokforsøg (s.417) To faktorer har (muligvis) idflydelse på data. (Excel: Vælg Aova, to faktorer ude getagelse). Der er delt op i blokke, idet der er to forskellige iddeligskriterier. Fx: hvad har idflydelse på måleresultatere af forskellige materialers styrke: måleistrumetere eller materialet? Y ij = μ + α i + β j + ε ij εij N(0, σ ) α i svarer til kategorieres idflydelse, β j svarer til blokkees idflydelse. Fejlee skal ige være ormalfordelte og usystematiske. μ er geemsittet for alle måliger. α i er : i te kategoris geemsit μ. β j er : j te bloks geemsit μ. Behadlig: H 0 (kategori): α 1 =α = =α a =0 H 1 : o H 0 SS(Tr)/(a-1) F tr = SSE/(a-1)(b-1) Forkast H 0, hvis F > F α (a-1,(a-1)(b-1)) 40

41 Blokke: H 0 (blok): β 1 = β = = β b=0 H 1 : o H 0 SS(Bl)/(b-1) F Bl = SSE/(a-1)(b-1) Forkast H 0, hvis F > F α (b-1,(a-1)(b-1)) Det ka udersøges hvor meget af de totale variatio (SST), der skyldes forskelle i kategorieres middelværdier(ss(tr)), forskelle i blokkees middelværdier og hvor meget der skyldes fejl(sse). SST=SS(Tr)+SS(Bl) + SSE Variatiosaalysetabel s. 40 Variatioskilde Sums of squares Frihedsgrader S Teststørrelse F Behadlig/Treatmet SS(Tr) a-1 S tr= SS(Tr)/(a-1) S tr/s err Blokke SS(Bl) b-1 S bl= SS(Bl)/(b-1) S bl/s err Residual/Error SSE (a-1)(b-1) S err= SSE/(a-1)(b-1) Total SST N-1 a er atal behadliger, b er atal blokke. Ma ka behadle lige så mage faktorer ma har lyst til, idet de ekelte faktors bidrag til variase udersøges hver for sig. De sættes altid i forhold til fejles bidrag. Atal faktorer = atal dimesioer Sums of squares (s. 419) Formler for SS(Tr), SS(Bl), SST og SSE for mauel udregig. T C = ab Hvor T er summe af alle observatioer, a SST = y C b i= 1 j= i ij Udreges ved at kvadrere alle observatioer, lægge dem samme og trække C fra a Ti SS( Tr) = C i= 1 b T i udreges ved at summere over de b observatioer i hver treatmet. T i lægges samme, divideres med atal blokke, og C trækkes fra. b T j SS( Bl) = C j= 1 a T j udreges ved at summere over de a observatioer i hver blok. T j lægges samme, divideres med atal treatmets, og C trækkes fra. SSE = SST-SS(Tr)-SS(Bl) 41

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Opsamling. Lidt om det hele..!

Opsamling. Lidt om det hele..! Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Uge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro

Uge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test: Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau

Hypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere

Note til styrkefunktionen

Note til styrkefunktionen Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion

Læs mere

Bestemmelse af vandføring i Østerå

Bestemmelse af vandføring i Østerå Bestemmelse af vadførig i Østerå Geerelt varierer vadstade og vadførige i daske vadløb over året. Normalt er vadførige lille om sommere for derpå at øge om efteråret. Om vitere ses ormalt de højeste vadføriger

Læs mere

Program. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.

Program. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud

Læs mere

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Morten Frydenberg version dato:

Morten Frydenberg version dato: Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige

Læs mere

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 17. udgave 016 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de

Læs mere

Konfidensinterval for µ (σ kendt)

Konfidensinterval for µ (σ kendt) Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Module 12: Mere om variansanalyse

Module 12: Mere om variansanalyse Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

BILAG I PRODUKTRESUME

BILAG I PRODUKTRESUME BILAG I PRODUKTRESUME 1 1. LÆGEMIDLETS NAVN Nimerix pulver og solves til ijektiosvæske, opløsig i fyldt ijektiossprøjte Meigokokgruppe A, C, W-135 og Y kojugeret vaccie 2. KVALITATIV OG KVANTITATIV SAMMENSÆTNING

Læs mere

Supplement til Kreyszig

Supplement til Kreyszig Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X. Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere