Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Transkript

1

2 Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax = b kan findes ved Find én løsning v til Ax = b (det fandt I i MatLab) Find alle løsninger til den homogene ligning Ax = 0 og skriv dem som Span(w 1, w 2,..., w j ). (j er antallet af frie variable) Vektorerne w 1, w 2,..., w j kan findes ved MatLab kommandoen null(a) Løsningsmængden til Ax = b er hvor c 1,..., c j R v + c 1 w 1 + c 2 w c j w j Argument/grundlæggende indsigt: Hvis Aw = 0 og Av = b så er A(w + v) = Aw + Av = 0 + b = b Hvis Av 1 = b og Av 2 = b så er A(v 1 v 2 ) = Av 1 Av 2 = b b = 0. Altså er v 1 v 2 løsning til Ax = 0.

3 Matrixprodukt Multiplikation En n m matrix A = [a ij ] og en m k matrix B = [b ij ] med søjler b 1,..., b k multipliceres AB = [Ab 1 Ab 2... Ab k ] Produktet C = AB er en n k matrix. Den j te søjle i C er matrix-vektorproduktet Ab j. M.a.o. C = [c ij ] hvor c ij = Σ n r=1 a ir b rj skalarprodukt af den i te række i A med den j te søjle i B. OBS: Antal søjler i A = Antal rækker i B. Ellers giver det ikke mening.

4

5

6 Regneregler for matrixprodukt associativitet A(BC) = (AB)C når A er m n, B er n k, C er k r m.a.o., når produkterne giver mening. venstre distributivt A(B + C) = AB + AC når A er m n, B og C er n k højre distributivitet (B + C)A = BA + CA A er m n, B og C er k m r(ab) = (ra)b = A(rB) når A er m n, B er n k, r R neutralt element AI n = I m A = A, når A er m n og I k er k k identitetsmatricen. ikke kommutativt Generelt er AB BA Heller ikke i de tilfælde, hvor begge produkter giver mening. (selvom det naturligvis kan passe i visse tilfælde.) (AB) T = B T A T OBS: Rækkefølgen!!

7 Sammensatte afbildninger f : U V og g : V W kan sættes sammen og give g f : U W g f (x) := g(f (x)) - den sammensatte afbildning.

8 Sammensatte lineære afbildninger T 1 : R n R m, T 2 : R k R p Kan sammensættes til T 2 T 1, hvis m = k Kan sammensættes til T 1 T 2, hvis p = n T 2 T 1 : R n R p skrives T 2 T 1

9 Matricer og sammensætning af lineære afbildninger Sætning Når T 1 : R n R m, T 2 : R m R p er lineære afbildninger med standard matricer hhv. A for T 1 og B for T 2. Da er T 2 T 1 (x) = BAx

10

11 Regulære matricer Definition En kvadratisk (n n) matrix A er regulær (invertibel), hvis der findes en kvadratisk (n n) matrix B, så AB = BA = I n. Ellers kaldes A singulær OBS: A og B har samme størrelse. B er en invers til A B er entydigt bestemt - der er højst en matrix B, som passer i ligningerne AB = BA = I n. Denne matrix kaldes herefter A 1 Når A og B er regulære n n matricer er A 1 regulær og (A 1 ) 1 = A AB er regulær og (AB) 1 = B 1 A 1. OBS: Rækkefølgen! A T er regulær og (A T ) 1 = (A 1 ) T

12

13 Invertible afbildninger Definition f : U V er invertibel, hvis der findes g : V U, så g f (u) = u for alle u U f g(v) = v for alle v V g kaldes en invers. Notation: g = f 1 OBS: Ikke det samme som 1 f f er invertibel, hvis og kun hvis f er bijektiv. Eks: f : R R f (x) = x 3. f 1 (x) = x 1/3

14 Invertible lineære afbildninger Definition T 1 : R n R n er invertibel, hvis der findes T 2 : R n R n, så T 2 T 1 (x) = x for alle x R n T 1 T 2 (x) = x for alle x R n Sætning 2.13 T : R n R n med standard matrix A er invertibel hvis og kun hvis A er regulær. T 1 er da lineær. Standardmatricen for T 1 er A 1.

15 Specielt for 2 2 matricer I SIF opgave 54 ser man Determinantkriteriet [ ] a b A = c d er regulær hvis ad cb 0 og singulær, hvis ad bc = 0 Tallet ad bc kaldes determinanten af A. Mere om det senere. Den inverse Den inverse til en regulær 2 2 matrix er [ ] 1 a b = c d 1 ad bc [ d ] b c a

16

17 Elementære matricer Der er tre typer elementære matricer: Definition En n n matrix E er en elementær matrix, hvis den kan fremkomme ved en elementær rækkeoperation på identitetsmatricen I n

18 Ombytning af rækker. Ombytning af række i 1 og række i 2 giver E = [e ij ] med e ij = 1 hvis i = j og i {i 1, i 2 } eller ij = i 1 i 2 eller ij = i 2 i 1. e ij = 0 ellers Diagonalen har 1-taller, bortset fra de to indgange, e i1 i 1 = 0 og e i2 i 2 = 0. Udenfor diagonalen er alt 0, bortset fra e i1 i 2 = e i2 i 1 = 1

19 Skalering af en række Multiplikation af række i 0 med m 0 giver e ij = 1 for i = j i 0, e i0 i 0 = m og e ij = 0 ellers m

20 Addition af et multiplum af en række til en række Addition af kr i0 til R j0 (kr i0 + R j0 R j0 ) giver e ij = 1 for i = j, e j0 i 0 = k og alle andre indgange er k

21 Elementære matricer og rækkeoperationer Enhver elementær matrix er regulær Enhver rækkeoperation på en m n matrix A kan udføres ved multiplikation EA med den m m elementære matrix, som svarer til rækkeoperationen. Den reducerede trappeform R af A kan skrives E k E k 1... E 1 A, hvor E l er elementære matricer.

22

23 Søjlekorrespondance Når R = [r 1 r 2... r n ] er den reducerede trappeform af A = [a 1 a 2... a n ] så er a i = Pr i og r i = P 1 a i hvor P er produkt af elementærmatricerne brugt i en reduktion af A til R. P er regulær, da elementærmatricer er regulære. Heraf: r i = Σ j i c i r j a i = Σ j i c i a j Specielt: En delmængde af søjlerne i R er lineært uafhængige, hvis og kun hvis den tilsvarende delmængde af søjlerne i A er lineært uafhængige. Enhver ikke-pivotsøjle er en linearkombination af de foranstående pivotsøjler.

24

25 Algoritme til udregning af invers Man kan afgøre, om A er regulær. Og samtidig finde den inverse - hvis A er regulær. Opskriv n 2n matricen [A I n ] Brug Gauss algoritmen til at reducere A (og lav de samme rækkeoperationer på I n synkront) Når A er på trappeform afgøres, hvor mange pivotsøjler der er. Er der n, er A regulæ. Hvis A er regulaer: Reducer videre til A er bragt på reduceret trappeform. [R C]. Da er C = A 1 Lad P = E k E k 1... E 1 være elementærmatricerne brugt til reduktionen. Så er R = PA og C = PI n = P. Altså er A 1 = P

26

27 Kriterier for regularitet For en n n matrix A, er følgende ækvivalent: 1 A er regulær. 2 Den reducerede trappeform af A er I n 3 A har rang n 4 Spændet af søjlerne i A er R n 5 Ligningen Ax = b er konsistent for ethvert b R n 6 Nulliteten af A er 0 7 Søjlerne i A er lineært uafhængige 8 Den eneste løsning til Ax = 0, er 0 9 Der findes en n n matrix B, så BA = I n 10 Der findes en n n matrix C, så AC = I n 11 A er et produkt af elementære matricer.

28 Algoritme til udregning af A 1 B Hvis A er regulær kan matrix ligningen AX = B løses. X = A 1 B A er n n, B n k og X er ubekendt - nødvendigvis n k. Algoritmisk: Opskriv n 2n matricen [A B] Brug Gauss algoritmen til at reducere A til reduceret trappeform(og lav de samme rækkeoperationer på B synkront) Resultatet [R C], hvor R er A på reduceret trappeform. Da er C = A 1 B

29